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ALGEBRA LINEAR 1 – RESUMO E EXERCÍCIOS* P1

*Exercícios de provas anteriores escolhidos para você estar preparado para qualquer questão na prova. Resoluções em simplificaaulas.com

VETORES

Um vetor é uma lista ordenada de números que tem como

interpretação geométrica uma "seta" que dá uma direção,

sentido e tem um certo tamanho (chamado de norma ou

módulo). Dois vetores são equivalentes se possuírem o mesmo

módulo, a mesma direção e o mesmo sentido, mesmo estando

em locais diferentes do espaço.

OPERAÇÕES COM VETORES

Soma - somar as coordenadas.

Subtração - subtrair as coordenadas.

Multiplicação por escalar - o número (escalar) multiplica cada coordenada do vetor.

COMBINAÇÃO LINEAR E INDEPENDÊCIA LINEAR Combinação linear é quando escreve-se um vetor como

combinação de outros (�⃗� = 𝛼�⃗⃗� + 𝛽𝑐). Para fazer uma

combinação linear usamos as operações de soma, subtração ou multiplicação por escalar. Quando um vetor é combinação linear de outros dizemos que eles são Linearmente Dependentes (LD). NORMA OU MÓDULO Dado o vetor �⃗� = (𝑎, 𝑏, 𝑐), a sua norma (ou módulo) é igual a:

‖�⃗�‖ = √𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2

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BASE Pode-se entender a base como as coordenadas de um espaço vetorial: a partir dos elementos da base é possível escrever qualquer elemento do subespaço como uma combinação linear única. Isso significa que a base possui somente elementos linearmente independentes. Se o espaço vetorial tem dimensão n, uma base sua terá n elementos linearmente independentes.

PARAMETRIZAÇÃO

Parametrização é quando descrevemos espaços (um ponto, uma reta, um plano) em função de vetores. A primeira coisa com que é preciso se preocupar é qual a dimensão do espaço

que queremos descrever. Por exemplo, uma reta tem dimensão um, um plano tem dimensão dois, um ponto tem dimensão zero. O número de dimensões do seu espaço é o número de vetores LI's necessários para descrevê-lo.

Ponto: zero dimensões

Reta: uma dimensão → um vetor

Plano: duas dimensões → dois vetores

Sólido tridimensional: três dimensões → três vetores Cada vetor linearmente independente dá uma direção: esses

vetores são chamados vetores diretores. Sabendo a dimensão agora é preciso saber por onde o espaço passa, por quais pontos. Conhecendo 1 ponto do espaço e vetores linearmente independentes desse espaço você consegue defini-lo. Exemplo: Parametrize um plano α que passa pelo ponto (1,2,3)

e contém os vetores (1,1,1) e (1,0,1). α=(1,2,3) +t(1,1,1) + s(1,0,1)=(1+t+s,2+t,3+t+s)

Possui duas variáveis independentes pois um plano tem duas dimensões.

PRODUTO ESCALAR

�⃗⃗� . �⃗� = ‖�⃗⃗�‖. ‖�⃗�‖. 𝑐𝑜𝑠𝜃 (𝜃 é o ângulo entre os dois vetores)

Ou, com as coordenadas, sendo �⃗⃗� = (𝑢1, 𝑢2, 𝑢3) e �⃗� = (𝑣1, 𝑣2, 𝑣3):

�⃗⃗� . �⃗� = 𝑢1𝑣1 + 𝑢2𝑣2 + 𝑢3𝑣3

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PROJEÇÃO ORTOGONAL

Quando queremos fazer a projeção ortononal de um vetor em outro (projeção na direção do outro):

SISTEMAS LINEARES

São um conjunto de equações cartesianas. FORMA MATRICIAL DE SISTEMAS LINEARES Um sistema linear pode ser entendido como uma multiplicação

Matriz-Vetor da forma A*x = b, onde A é a matriz cujas entradas são os coeficientes que multiplicam o vetor incógnita (ou vetor reposta) x = (x,y,z,...), b é o vetor dos termos independentes. Exemplo:

{𝑥 + 𝑦 = 100

10𝑥 + 20𝑦 = 1250

Podemos escrever o sistema de duas formas:

[1 1

10 20] ∗ [

𝑥𝑦] = [

1001250

] ou [1

10

120

100

1250]

SISTEMA HOMOGÊNEO É o sistema linear cujo vetor b dos termos independentes é totalmente nulo. Em forma matricial, um sistema homogêneo tem a forma A*x =0.

RESOLUÇÃO DE SISTEMAS Existem várias formas de resolver sistemas. A mais conhecida é a substituição, que consiste em isolar uma variável em uma equação e substituir na outra até só sobrar uma. No entanto a mais eficiente é o escalonamento, que consiste em usar a matriz do sistema e através de combinações das linhas transformá-la em uma matriz triangular superior.

�⃗� = 𝑝𝑟𝑜𝑗�⃗⃗⃗��⃗� =�⃗�. �⃗⃗⃗�

‖�⃗⃗⃗�‖2 �⃗⃗⃗�

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INTERPRETAÇÃO DAS SOLUÇÕES DE UM SISTEMA Existem três possibilidades para a solução de um sistema:

SPD: Sistema Possível Determinado → um único vetor resposta x para o sistema. Geometricamente, essa solução é um ponto no espaço.

SPI: Sistema Possível Indeterminado → Infinitos vetores

resposta x para o sistema. A solução pode ser uma reta, um plano, um hiperplano...

SI: Sistema Impossível → não tem solução: não existe x que satisfaça o sistema.

MATRIZ INVERSA Uma matriz é chamada de inversível ou não singular se, e somente se, seu determinante é diferente de zero, por isso uma matriz só pode ser inversível se for uma matriz quadrada com

determinante diferente de zero e é representada pelo número -1 sobrescrito ao nome da matriz. Exemplos:

A-1 é a representação da matriz inversa de A B-1 é representação da matriz inversa de B

Para encontrar a inversa, devemos resolver a equação matricial:

𝐴. 𝐴−1 = 𝐼 , onde I é a matriz identidade. Lembrando que matriz identidade é a matriz quadrada (n x n) em que todas as entradas da diagonal principal são iguais a 1 e as demais são iguais a zero. Propriedades:

Se A e B são inversíveis, A.B também é e (𝐴. 𝐵)−1 = 𝐵−1. 𝐴−1

Se 𝐴𝑛 é inversível, então (𝐴𝑛)−1 = (𝐴−1)𝑛

Se 𝐴𝑡 é inversível, então (𝐴𝑡)−1 = (𝐴−1)𝑡

Talvez pareça confuso e inútil mas não é. Você verá isso melhor nos exercícios de provas anteriores. MATRIZ TRANSPOSTA

Encontramos a matriz transposta trocando linhas por colunas e vice e versa.

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DETERMINANTES

A toda matriz quadrada está associado um número ao qual

damos o nome de determinante.

Para o cálculo de determinantes de matrizes quadradas de ordem menor ou igual a 3 (n≤3), temos algumas regras práticas

para realizar estes cálculos. Entretanto, quando a ordem é superior a 3 (n>3), muitas destas regras não são aplicáveis.

Por isso veremos o teorema de Laplace, que, utilizando o conceito do cofator, conduz o cálculo dos determinantes para

regras que se aplicam a quaisquer matrizes quadradas.

Temos que cada elemento de uma matriz quadrada possui o seu respectivo cofator, sendo este cofator um valor numérico, que é obtido através da expressão a seguir:

Onde: Aij é o cofator do elemento aij da matriz A i é o número da linha j é o número da coluna Dij é o determinante da matriz obtida através da matriz A, entretanto você deverá excluir da matriz os elementos da linha i e da coluna j.

O teorema de Laplace consiste em escolher uma linha ou

coluna da matriz e somar os produtos dos elementos dessa linha/coluna pelos seus respectivos cofatores.

Exemplo:

Calcule o determinante da matriz C, utilizando o teorema de Laplace:

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Vamos utilizar a primeira coluna:

Encontrando os valores dos cofatores:

Sendo assim, pelo teorema de Laplace, o determinante da matriz C é dado pela seguinte expressão:

Note que não foi preciso calcular o cofator do elemento da matriz que era igual a zero, afinal, ao multiplicarmos o cofator, o resultado seria zero de qualquer forma. Diante disso, quando nos depararmos com matrizes que possuem muitos zeros em alguma linha ou coluna, a utilização do teorema facilita as coisas .

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PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES 1) O determinante de uma matriz é igual a zero se:

os elementos de uma linha ou de uma coluna são iguais a zero;

ocorrer igualdade de elementos entre duas linhas ou duas colunas;

duas linhas ou duas colunas tiverem elementos de valores proporcionais.

Exemplos:

2) Ao multiplicarmos todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz por um número K, o seu determinante fica multiplicado por K.

Os elementos da 1ª linha foram multiplicados por 2, então: det P’=2*detP 3) det (k*A) = kn * det A 4) det R = det (Rt). 5) Ao trocarmos duas linhas ou duas colunas de posição de uma matriz, o valor do seu determinante passa a ser oposto ao determinante da anterior. 6) O determinante de uma matriz triangular (aquela que os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são iguais a zero) é igual à multiplicação dos elementos da diagonal principal. 7) Considerando duas matrizes quadradas de ordem iguais e AB matriz produto, temos que: det (AB) = (det A) * (det B) 8) Ao multiplicarmos todos os elementos de uma linha ou de uma coluna pelo mesmo número e adicionarmos os resultados aos elementos correspondentes de outra linha ou coluna, formamos a matriz B, onde ocorre a seguinte igualdade: det A = det B.

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EXERCÍCIOS (vídeos de resoluções destes exercícios em simplificaaulas.com)

1) (P1 2015) Sejam �⃗� , �⃗⃗⃗� ∈ 𝑉3 vetores tais que:

‖�⃗�‖ = 3, ‖�⃗⃗⃗�‖ =1

E tais que a medida do ângulo entre �⃗� e �⃗⃗⃗� seja igual a 𝜋

6. Se 𝜃 denota

a medida do ângulo entre �⃗� + �⃗⃗⃗� 𝑒 �⃗� − �⃗⃗⃗� , então cos ϴ é igual a:

(a) 8

√73;

(b) 10

3√7;

(c) 8

√76;

(d) 10

√73;

(e) 8

3√7.

2) (P1 2017) Sejam �⃗� , �⃗⃗⃗�, 𝑧 ∈ 𝑉3 vetores tais que �⃗� e �⃗⃗⃗� sejam ambos

ortogonais a 𝑧. Suponha que: ‖�⃗� + �⃗⃗⃗� + 𝑧‖2

= ‖�⃗� ‖2

+ ‖�⃗⃗⃗� ‖2

+ ‖𝑧 ‖2e

considere as seguintes afirmações:

(I) 𝑧 = 0⃗⃗;

(II) �⃗� e �⃗⃗⃗� são ortogonais ;

(III) �⃗� e �⃗⃗⃗� são linearmente dependentes.

Assinale a alternativa correta:

(a) apenas a afirmação (III) é necessariamente verdadeira;

(b) apenas a afirmação (II) é necessariamente verdadeira;

(c) apenas as afirmações (I) e (III) são necessariamente

verdadeiras;

(d) apenas a afirmação (I) é necessariamente verdadeira;

(e) apenas as afirmações (II) e (III) são necessariamente

verdadeiras.

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3) (P1 2017) Sejam �⃗�, �⃗⃗⃗�, 𝑧 ∈ 𝑉3 vetores tais que �⃗� 𝑒 �⃗⃗⃗� sejam ambos

ortogonais a 𝑧,

‖�⃗�‖ = 3, ‖�⃗⃗⃗�‖ = 4 e ‖𝑧‖ = 5 e a medida do ângulo entre �⃗� 𝑒 �⃗⃗⃗� seja igual

a 𝜋

3.

Temos que ‖�⃗� + �⃗⃗⃗� − 𝑧‖ é igual a:

(a) √62;

(b) 4;

(c) 5;

(d) √5;

(e) √10.

4) (P1 2017) Sejam �⃗� , �⃗⃗⃗�, 𝑧 ∈ 𝑉3 vetores tais que:

‖�⃗�‖ = 3, ‖�⃗⃗⃗�‖ = 2 e ‖𝑧‖ = 1

Suponha que �⃗� e 𝑧 sejam ortogonais, que a medida do ângulo entre

�⃗� e �⃗⃗⃗� seja igual a 𝜋

3 e que a medida do ângulo entre �⃗⃗⃗�, 𝑒 𝑧 seja igual a

𝜋

4 . Temos que a projeção ortogonal de �⃗� + 2�⃗⃗⃗� + 𝑧 sobre �⃗� é igual a:

(a) 4

3 �⃗�;

(b) 4 𝑣⃗⃗⃗⃗;

(c) 2 �⃗�;

(d) 5

3 �⃗�;

(e) 11

9 �⃗�.

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5) (P1 2017) Seja ℬ uma base ortonormal de 𝑉3 e considere os

vetores: �⃗� = (1, 0, -1)ℬ

e �⃗⃗⃗� = (0, 1, 1)ℬ

.

Seja �⃗� = 𝑝𝑟𝑜𝑗�⃗⃗⃗��⃗� e seja �⃗⃗� = (x, y, z)ℬ

uma combinação linear de �⃗� e �⃗⃗⃗�

que seja ortogonal a �⃗� e que satisfaça a igualdade �⃗�. �⃗⃗� = 1 .

Temos que x + y + z é igual a:

(a) − 8/3 ;

(b) − 4/3 ;

(c) 10/3 ;

(d) 2/3 ;

(e) −2.

6) (P1 2017) Seja ℬ uma base de 𝑉3 e considere os vetores: �⃗�1 =

(1, −2,0)ℬ, �⃗�2 = (0,3, −1)ℬ e �⃗�3 = (3, −3, −1)ℬ. Se β, γ ∈ R forem tais que

�⃗�1 + 𝛽�⃗�2 + 𝛾�⃗�3 = 0⃗⃗, então βγ será igual a:

(a) −1

9 ;

(b) 1

9 ;

(c) −1;

(d) 1

3 ;

(e) −1

3 .

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7) (P1 2017) Seja ℬ uma base ortonormal de 𝑉3 e considere os

vetores: �⃗� = (1, -1, 2)ℬ

e �⃗⃗⃗� = (3, -1, 1)ℬ

. Seja 𝑧 o vetor paralelo a �⃗�

tal que �⃗⃗⃗� − 𝑧 seja ortogonal a �⃗�. A norma do vetor 2𝑧 − �⃗⃗⃗� é igual a:

(a) √10;

(b) √11 ;

(c) √7;

(d) √8;

(e) √12.

8) (P1 2017) Seja a ∈ R e considere os vetores : �⃗⃗�1 = (1, −𝑎, −1)ℬ, �⃗⃗�2 =

(𝑎, 1, −1)ℬ e �⃗⃗�3 = (1,1,1)ℬ, em que ℬ é uma base de 𝑉3. Pode-se afirmar

que:

(a) {�⃗⃗�1, �⃗⃗�2, �⃗⃗�3} é uma base de 𝑉3 se, e somente se, 1 ≤ a < 3;

(b) {�⃗⃗�1, �⃗⃗�2, �⃗⃗�3} é uma base de 𝑉3 se, e somente se, 3 ≤ a < 5;

(c) {�⃗⃗�1, �⃗⃗�2, �⃗⃗�3} é uma base de 𝑉3 se, e somente se, −2 < a < −1;

(d) {�⃗⃗�1, �⃗⃗�2, �⃗⃗�3} é uma base de 𝑉3 se, e somente se, 5 ≤ a < 7;

(e) {�⃗⃗�1, �⃗⃗�2, �⃗⃗�3} é uma base de 𝑉3.

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9) (P1 2017) Considere a matriz:

𝐴 = (

1 0 −1−1 0 −10 2 0

111

2 0 1 0

)

Temos que a soma dos elementos na diagonal principal da matriz

𝐴−1 é igual a:

(a) −1

2;

(b) 3

4 ;

(c) 1

4;

(d) 0;

(e) −1

4;

10) (P1 2015) Seja A uma matriz real 3 X 3 tal que det(A) = 7. Temos

que: (det(𝐴3) + det(3𝐴)) det(𝐴−1) é igual a:

(a) nenhuma das outras alternativas é correta;

(b) 76;

(c) 3724;

(d) 534

7;

(e) 52.

11) (P1 2017) Sejam A e B matrizes reais 5 × 5 e suponha que: det(A)

= 3 e det(B) = −1. Denote por 𝐴𝑡 a transposta da matriz A. Temos que

det(−2𝐴𝐵𝐴𝑡 ) é igual a:

(a) −18;

(b) 6;

(c) 288;

(d) 18;

(e) −288.

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12) (P1 2014) Considere a matriz A ∈ M3(ℝ), dada por 𝐴 = (

𝑎 𝑏 𝑐𝑑 𝑒 𝑓𝑔 ℎ 𝑖

)

. Se B = (

𝑎 𝑐 5(𝑏 − 2𝑐)

𝑑 𝑓 5(𝑒 − 2𝑓)𝑔 𝑖 5(ℎ − 2𝑖)

), sabendo que det(A) = 2, pode-se afirmar

que det(𝐵−1) é igual a:

(a) −1/10

(b) −1/100

(c) −1/20

(d) 1/100

(e) 1/20

13) (P1 2016) Considere a matriz:

𝐴 = (

2 1 01 1 0

−1 1 1

−110

1 2 0 1

)

e denote por 𝐴𝑡 a sua transposta. Temos que det(𝐴3) − det[3(𝐴𝑡)−1] é

igual a:

(a) -26;

(b) 55;

(c) 0;

(d) 26;

(e) 81.

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14) (P1 2014) Considere as matrizes:

𝐴 = [

1 30

−11

132

−2 −301

−1

−13

−2

] 𝐵 = [

1 03

−2−3

10

−1

−1 1313

2−1−2

]

e as afirmações abaixo:

(I) det(A) ≠ det(B)

(II) det(A) = det(B)

(III) det(𝐴2𝐵) = −63

(IV) det(A𝐵2) = −43

Está correto o que se afirma em:

(a) (I), (III) e (IV), apenas.

(b) (II) e (IV), apenas.

(c) (I) e (III), apenas.

(d) (I) e (IV), apenas.

(e) (II) e (III), apenas.

15) (P1 2015) A igualdade abaixo:

(

1 1001

00

−1

0 0110

1−10

)

−1

(

1 1111

001

−1 0−1−1−1

110

0022

) = (

1 1010

000

−1 00

−10

010

1−111

)

não é valida. Qual coluna da matriz do lado direito da igualdade deve

ser alterada para que a igualdade se torne valida?

(a) a primeira;

(b) a segunda;

(c) a quinta;

(d) a quarta;

(e) a terceira.

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16) (P1 2017) Seja a ∈ R e considere o sistema linear

{

𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑧 = 𝑎𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1

𝑥 + 𝑦 + 𝑎𝑧 = 𝑎2

nas incógnitas reais x, y e z. Temos que esse sistema possuirá uma

única solução se, e somente se:

(a) 0 < a < 1;

(b) a = 0;

(c) a ≠ 0;

(d) a ≠ 1;

(e) a = 1.

17) (P1 2014) Uma caixa contendo moedas de 1, 5 e 10 centavos tem

13 moedas totalizando 83 centavos. Então, pode-se afirmar que o

número de moedas de 1 somado com o número de moedas de 5

menos o número de moedas de 10 é igual a:

(a) 1

(b) 5

(c) 7

(d) −5

(e) −1