OFICINA DE MATEMÁTICA

ALEXSANDRO KESLLER

05 GEOMETRIA ESPACIAL

29/05/2020

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GEOMETRIA ESPACIALGEOMETRIA ESPACIAL

PIRÂMIDES I

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Nos guichês das companhias aéreas dos aeroportos, há caixas que auxiliam os passageiros a identificarem se suas bagagens de mão estão dentro dos padrões estabelecidos pela Agência Nacional de Aviação Civil (ANAC). As figuras mostram as dimensões da caixa.

Considerando que todo o conteúdo da bagagem de mão esteja uniformemente distribuído, a densidade máxima da bagagem é, aproximadamente,

A) 20.000 cm3.B) 35.000 cm3.C) 44.000 cm3.D) 52.000 cm3.E) 60.000 cm3.

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SOLUÇÃO

5

hAV BASEPRISMA

altura x largura x oComprimentV

552040V

3cm44.000 V

Considerando que todo o conteúdo da bagagem de mão esteja uniformemente distribuído, a densidade máxima da bagagem é, aproximadamente,

A) 20.000 cm3.B) 35.000 cm3.C) 44.000 cm3.D) 52.000 cm3.E) 60.000 cm3.

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PIRÂMIDEA pirâmide tem dois tipos de faces

A base (polígono ABCDEF).

Faces laterais (triângulos).

Superfície total da pirâmide é a união da base com a superfície lateral.

V

AB C

D

EF

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Elementos principais da pirâmide

A pirâmide tem dois tipos de arestas

arestas da base(AB, BC, CD, DE, EF e FA).

arestas laterais(VA, VB, VC, VD, VE e VF ).

V

A

B CD

EF

9

h

A distância h do vértice ao plano da base é a altura da pirâmide.

V

AB C

D

EF

Elementos principais da pirâmide

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Classificação

•Uma pirâmide é classificado pelo tipo de polígono que constitui sua base.

Pirâmide hexagonalhexágonoPirâmide pentagonalpentágono

Pirâmide quadrangularquadradoPirâmide triangulartriângulo

PirâmidePolígono da base

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Veja algumas dessas pirâmides

Pirâmide triangular Pirâmide Pentagonal

1212

Pirâmides regulares

A base da pirâmide é um quadrado

Pirâmide quadrangular regular

A base da pirâmide é um hexágono regular

Pirâmide hexagonal regular

V

h

O

V

h

O

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V

A B

CD

Apótema da pirâmide

VM é o apótema (p) da pirâmidep

M BM = MC

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Segmentos notáveis na pirâmide regular

VO = h, altura; V

B

A

MO

ah

m

r

p

b

VA = a, aresta lateral; AB = b, aresta da base;

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Segmentos notáveis na pirâmide regularV

B

A

MO

ah

m

r

p

b

OM = m, apótema da base;

OA = r, raio da base;

VM = p, apótema pirâmide;

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A pirâmide e o teorema de Pitágoras

p2 = h2 + m2

V

B

A

MO

h

m

p

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A pirâmide e o teorema de Pitágoras

V

A

O

ah

r

a2 = h2 + r2

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A pirâmide e o teorema de Pitágoras

a2 = p2 + (b/2)2

V

B

A

M

ap

b/2

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Volume da pirâmide

•Se um prisma e uma pirâmide têm alturas iguais e suas bases têm a mesma área, então o volume da pirâmide é a terça parte do volume do prisma.

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hA3

1V B

Calcule o volume de uma pirâmide regular quadrangular de altura 6 cm e aresta da base 4 cm.

4 cm

6 cm

2121

22Base cm 164A

6163

1V 616

3

1V

216V

3cm 32V

hA3

1V BPIRÂMIDE

(VUNESP) O prefeito de uma cidade pretende colocar em frente à prefeitura um mastro com uma bandeira, que será apoiado sobre uma pirâmide de base quadrada feita de concreto maciço, como mostra a figura.

Sabendo-se que a aresta da base da pirâmide terá 3 m e que a altura da pirâmide será de 4 m, determine o volume de concreto (em m³) necessário para a construção da pirâmide.

2222

23

3 m

4 m

22Base m 93A

493

1V 43V

3m 12V

hA3

1V BPIRÂMIDE

Calcule a área total e o volume de um octaedro regular cujas arestas medem 2 cm.

2424

25

2 cm

2 cm2 cm

TRIÂNGULO EQUILÁTERO

ll

l

OCTAEDRO 8 FACES

4

32A

2

4

34A

2cm 3A

2TOTAL cm 38A

26

1 cm

2 cm

H

1 cm

H

Pitágoras

2

32h cm 3h

3 222

1H3

1H3 2

2H 2

cm 2H

27

2 cm

2 cm

22Base mc 42A

2

hA3

1V BPIRÂMIDE

243

1V

2 x 3

24VOCTAEDRO

3cm3

24V

3OCTAEDRO cm

3

28V

Calcule o volume de uma pirâmide regular de base hexagonal sabendo que sua altura é de 12 cm e que cada aresta da base mede 8 cm.

8 cm

8 cm

8 cm 8 cm

2828

4

38A

2

4

364A 2cm 316

6 x 316AHEXÁGONO

2BASE cm 396A

29

12 cm

2BASE cm 396A

hA3

1V BPIRÂMIDE

123963

1V

4396V

3cm 3384V

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Suponha que o volume de terra acumulada no carrinho de mão do personagem seja igual ao do sólido esquematizado na figura ao lado, formado por uma pirâmide reta sobreposta a um paralelepípedo retângulo.

Assim, o volume médio de terra que Hagar acumulou em cada ano de trabalho é, em dm3, igual a:

A) 12B) 13C) 14D) 15E) 16

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PIRÂMIDES II