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Ajuste de curvas.Interpolacion.

Curso: Metodos Numericos en IngenierıaProfesor: Dr. Jose A. Otero HernandezCorreo: [email protected]: http://metodosnumericoscem.weebly.comUniversidad: ITESM CEM

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Introduccion Interpolacion polinomial de Newton

Topicos

1 Introduccion

2 Interpolacion polinomial de NewtonInterpolacion linealEjemploInterpolacion cuadraticaEjemploForma general de los polinomios de interpolacion deNewtonPrograma MATLAB: intnewton.mEjemplo

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InterpolacionSi se sabe que los datos son muy precisos, entonces laestrategia sera colocar una curva o una serie de curvas quepasen por cada uno de los puntos.

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Interpolacion polinomialDetermina el polinomio unico de grado n que se ajuste a n+ 1puntos asociados con datos.

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Topicos

1 Introduccion

2 Interpolacion polinomial de NewtonInterpolacion linealEjemploInterpolacion cuadraticaEjemploForma general de los polinomios de interpolacion deNewtonPrograma MATLAB: intnewton.mEjemplo

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Interpolacion lineal

Interpolacion lineal de Newton en diferencias divididas

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Interpolacion lineal

Formula de interpolacion lineal

f1 (x) = f (x0) +f (x1)− f (x0)

x1 − x0(x− x0)

Formula de interpolacion lineal

f1 (x) = b0 + b1 (x− x0)

donde

b0 = f(x0)

b1 =f (x1)− f (x0)

x1 − x0

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Ejemplo

Ejemplo 1Estime el logaritmo natural de 2 mediante interpolacion lineal.a) Realice el calculo por interpolacion entre los puntosln(1) = 0 y ln(6) = 1.791759,b) Realice el calculo por interpolacion entre los puntosln(1) = 0 y ln(4) = 1.386294.Calcule el error verdadero considerando que el valor exacto es:ln(2) = 0.6931472.

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Ejemplo

Solucion ejemplo 1a) x = 2, x0 = 1, f(x0) = 0 y x1 = 6, f(x1) = 1.791759

f1 (x) = f (x0) +f (x1)− f (x0)

x1 − x0(x− x0)

f1 (2) = 0 +1.791759− 0

6− 1(2− 1) = 0.3583519

εv =|0.6931472− 0.3583519|

0.6931472∗ 100% = 48.3%

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Ejemplo

Solucion ejemplo 1b) x = 2, x0 = 1, f(x0) = 0 y x1 = 4, f(x1) = 1.386294

f1 (x) = f (x0) +f (x1)− f (x0)

x1 − x0(x− x0)

f1 (2) = 0 +1.386294− 0

4− 1(2− 1) = 0.4620981

εv =|0.6931472− 0.4620981|

0.6931472∗ 100% = 33.3%

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Ejemplo

Solucion ejemplo 1

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Interpolacion cuadratica

Formula de interpolacion cuadratica

f2 (x) = b0 + b1 (x− x0) + b2 (x− x0) (x− x1)

donde

b0 = f(x0)

b1 =f (x1)− f (x0)

x1 − x0

b2 =

f(x2)−f(x1)x2−x1

− f(x1)−f(x0)x1−x0

x2 − x0

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Ejemplo

Ejemplo 2Estime el logaritmo natural de 2 mediante interpolacioncuadratica. Realice el calculo por interpolacion entre lospuntos:

x0 = 1 f(x0) = 0x1 = 4 f(x1) = 1.386294x2 = 6 f(x2) = 1.791759

Calcule el error verdadero considerando que el valor exacto es:f(2) = ln(2) = 0.6931472.

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Ejemplo

Solucion ejemplo 2

b0 = f(x0) = 0,

b1 =f (x1)− f (x0)

x1 − x0=

1.386294− 0

4− 1= 0.4620981,

b2 =

f(x2)−f(x1)x2−x1

− f(x1)−f(x0)x1−x0

x2 − x0=

1.791759−1.3862946−4 − 0.4620981

6− 1,

b2 = −0.0518731,f2(x) = 0 + 0.4620981(x− 1)− 0.0518731(x− 1)(x− 4),

f2(2) = 0.5658444,

εv =|0.6931472− 0.5658444|

0.6931472∗ 100% = 18.4%

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Ejemplo

Solucion ejemplo 2

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Forma general de los polinomios de interpolacion de Newton

Formula de interpolacion general

fn (x) = b0+b1 (x− x0)+ · · ·+bn (x− x0) (x− x1) · · · (x− xn−1)

donde

b0 = f(x0)

b1 = f [x1, x0]

b2 = f [x2, x1, x0]

...bn = f [xn, xn−1, · · · , x2, x1, x0]

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Forma general de los polinomios de interpolacion de Newton

Formula de interpolacion general

f [xi, xj ] =f(xi)− f(xj)

xi − xj

f [xi, xj , xk] =f [xi, xj ]− f [xj , xk]

xi − xk

f [xn, xn−1, · · · , x1, x0] =f [xn, xn−1, · · · , x1]− f [xn−1, · · · , x0]

xn − x0

fn(x) = f(x0) + (x− x0)f [x1, x0] + · · ·+(x− x0)(x− x1) · · · (x− xn−1)f [xn, xn−1, · · · , x0].

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Programa MATLAB: intnewton.m

function y i n t = in tnewton ( x , y , xx )% intnewton : I n t e r p o l a c i o n po l i nom ia l de Newton% Entrada : vectores x , y% xx = Punto donde se desea c a l c u l a r l a i n t e r p o l a c i o n% Sal ida : y i n t = Valor de l a i n t e r p o l a c i o nn = length ( x ) ;i f length ( y ) ˜=n , error ( ’ x−y d i f e r e n t e s long i tudes ’ ) ; endb = zeros ( n , n ) ;b ( : , 1 ) = y ( : ) ;for j = 2 : n

for i = 1 :n− j +1b ( i , j ) = ( b ( i +1 , j −1)−b ( i , j −1) ) / ( x ( i + j −1)−x ( i ) ) ;

endendb ( 1 , : ) ;x t = 1 ;y i n t = b (1 ,1 ) ;for j = 1 :n−1

x t = x t ∗ ( xx−x ( j ) ) ;y i n t = y i n t +b (1 , j +1)∗ x t ;

end

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Ejemplo

Ejemplo 3Estime el logaritmo natural de 2 mediante interpolacioncuadratica utilizando el programa intnewton.m. Realice elcalculo por interpolacion entre los puntos:

x0 = 1 f(x0) = 0x1 = 4 f(x1) = 1.386294x2 = 6 f(x2) = 1.791759

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Ejemplo

Ejemplo 4Estime el logaritmo natural de 2 mediante interpolacion cubicautilizando el programa intnewton.m. Realice el calculo porinterpolacion entre los puntos:

x0 = 1 f(x0) = 0x1 = 4 f(x1) = 1.386294x2 = 5 f(x2) = 1.609438x3 = 6 f(x3) = 1.791759

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