integración numérica. la regla del...
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Integracion Numerica.La regla del trapecio.
Curso: Metodos Numericos en IngenierıaProfesor: Dr. Jose A. Otero HernandezCorreo: [email protected]: http://metodosnumericoscem.weebly.comUniversidad: ITESM CEM
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Objetivo Introduccion La regla del trapecio La regla del trapecio de aplicacion multiple Programas MATLAB
Topicos
1 Objetivo
2 IntroduccionIntegralActividadFormulas de Newton-Cotes
3 La regla del trapecioProblema
4 La regla del trapecio de aplicacion multipleProblema
5 Programas MATLABPrograma: int trapecio v1Problema
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Objetivo Introduccion La regla del trapecio La regla del trapecio de aplicacion multiple Programas MATLAB
Topicos
1 Objetivo
2 IntroduccionIntegralActividadFormulas de Newton-Cotes
3 La regla del trapecioProblema
4 La regla del trapecio de aplicacion multipleProblema
5 Programas MATLABPrograma: int trapecio v1Problema
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Objetivo Introduccion La regla del trapecio La regla del trapecio de aplicacion multiple Programas MATLAB
Objetivo de la claseConocer e implementar los metodos numericos basicos para elcalculo aproximado de integrales mediante el empleo decomputadoras programables
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Objetivo Introduccion La regla del trapecio La regla del trapecio de aplicacion multiple Programas MATLAB
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1 Objetivo
2 IntroduccionIntegralActividadFormulas de Newton-Cotes
3 La regla del trapecioProblema
4 La regla del trapecio de aplicacion multipleProblema
5 Programas MATLABPrograma: int trapecio v1Problema
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Objetivo Introduccion La regla del trapecio La regla del trapecio de aplicacion multiple Programas MATLAB
Integral
Integral
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Objetivo Introduccion La regla del trapecio La regla del trapecio de aplicacion multiple Programas MATLAB
Integral
IntegralLa integracion es el proceso inverso de la diferenciacion,La integracion se escribe como:
I =
b∫a
f (x) dx,
y representa la integral de la funcion f (x) (integrando) conrespecto a la variable independiente x, evaluada entre loslımites x = a y x = b,La integral representa el area bajo la curva,
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Objetivo Introduccion La regla del trapecio La regla del trapecio de aplicacion multiple Programas MATLAB
Integral
IntegralLa integracion es el proceso inverso de la diferenciacion,La integracion se escribe como:
I =
b∫a
f (x) dx,
y representa la integral de la funcion f (x) (integrando) conrespecto a la variable independiente x, evaluada entre loslımites x = a y x = b,La integral representa el area bajo la curva,
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Objetivo Introduccion La regla del trapecio La regla del trapecio de aplicacion multiple Programas MATLAB
Integral
IntegralLa integracion es el proceso inverso de la diferenciacion,La integracion se escribe como:
I =
b∫a
f (x) dx,
y representa la integral de la funcion f (x) (integrando) conrespecto a la variable independiente x, evaluada entre loslımites x = a y x = b,La integral representa el area bajo la curva,
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Objetivo Introduccion La regla del trapecio La regla del trapecio de aplicacion multiple Programas MATLAB
Integral
IntegralLa integracion es el proceso inverso de la diferenciacion,La integracion se escribe como:
I =
b∫a
f (x) dx,
y representa la integral de la funcion f (x) (integrando) conrespecto a la variable independiente x, evaluada entre loslımites x = a y x = b,La integral representa el area bajo la curva,
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Objetivo Introduccion La regla del trapecio La regla del trapecio de aplicacion multiple Programas MATLAB
Actividad
Actividad: trapz()
Dada la funcion f(x) = cos2(x)ex, calcular la integralaproximada en el intervalo [0 3] para un paso de 0.1. Utilizar lafuncion trapz() de Matlab.
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Objetivo Introduccion La regla del trapecio La regla del trapecio de aplicacion multiple Programas MATLAB
Formulas de Newton-Cotes
Las formulas de Newton-CotesSon los tipos de integracion numericas mas comunes,Se basan en la estrategia de reemplazar la funcionintegrando por un polinomio de aproximacion,
I =
b∫a
f (x) dx ≈b∫
a
fn (x) dx
donde fn (x) es un polinomio de la forma:
fn (x) = a0 + a1x+ a2x2 + · · ·+ an−1x
n−1 + anxn
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Formulas de Newton-Cotes
Las formulas de Newton-CotesSon los tipos de integracion numericas mas comunes,Se basan en la estrategia de reemplazar la funcionintegrando por un polinomio de aproximacion,
I =
b∫a
f (x) dx ≈b∫
a
fn (x) dx
donde fn (x) es un polinomio de la forma:
fn (x) = a0 + a1x+ a2x2 + · · ·+ an−1x
n−1 + anxn
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Formulas de Newton-Cotes
Las formulas de Newton-CotesSon los tipos de integracion numericas mas comunes,Se basan en la estrategia de reemplazar la funcionintegrando por un polinomio de aproximacion,
I =
b∫a
f (x) dx ≈b∫
a
fn (x) dx
donde fn (x) es un polinomio de la forma:
fn (x) = a0 + a1x+ a2x2 + · · ·+ an−1x
n−1 + anxn
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Formulas de Newton-Cotes
Las formulas de Newton-CotesSon los tipos de integracion numericas mas comunes,Se basan en la estrategia de reemplazar la funcionintegrando por un polinomio de aproximacion,
I =
b∫a
f (x) dx ≈b∫
a
fn (x) dx
donde fn (x) es un polinomio de la forma:
fn (x) = a0 + a1x+ a2x2 + · · ·+ an−1x
n−1 + anxn
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Formulas de Newton-Cotes
Integral
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1 Objetivo
2 IntroduccionIntegralActividadFormulas de Newton-Cotes
3 La regla del trapecioProblema
4 La regla del trapecio de aplicacion multipleProblema
5 Programas MATLABPrograma: int trapecio v1Problema
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Objetivo Introduccion La regla del trapecio La regla del trapecio de aplicacion multiple Programas MATLAB
Regla del trapecioLa regla del trapecio es la primera de las formulas deNewton-Cotes,Corresponde al caso de aproximar la funcion integrandopor un polinomio de primer grado, es decir una lınea recta.
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Regla del trapecioLa regla del trapecio es la primera de las formulas deNewton-Cotes,Corresponde al caso de aproximar la funcion integrandopor un polinomio de primer grado, es decir una lınea recta.
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Regla del trapecio
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Regla del trapecio
I =
b∫a
f (x) dx ≈b∫
a
f1 (x) dx
donde f1 (x) es la lınea recta dada por:
f1 (x) = f(a) +f(b)− f(a)
b− a(x− a).
El resultado de la integracion es:
I = (b− a)f(a) + f(b)
2.
Representa el area del trapecio que forma la lınea recta queune f(a) y f(b).
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Regla del trapecio
I =
b∫a
f (x) dx ≈b∫
a
f1 (x) dx
donde f1 (x) es la lınea recta dada por:
f1 (x) = f(a) +f(b)− f(a)
b− a(x− a).
El resultado de la integracion es:
I = (b− a)f(a) + f(b)
2.
Representa el area del trapecio que forma la lınea recta queune f(a) y f(b).
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Regla del trapecio
I =
b∫a
f (x) dx ≈b∫
a
f1 (x) dx
donde f1 (x) es la lınea recta dada por:
f1 (x) = f(a) +f(b)− f(a)
b− a(x− a).
El resultado de la integracion es:
I = (b− a)f(a) + f(b)
2.
Representa el area del trapecio que forma la lınea recta queune f(a) y f(b).
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Regla del trapecio
I =
b∫a
f (x) dx ≈b∫
a
f1 (x) dx
donde f1 (x) es la lınea recta dada por:
f1 (x) = f(a) +f(b)− f(a)
b− a(x− a).
El resultado de la integracion es:
I = (b− a)f(a) + f(b)
2.
Representa el area del trapecio que forma la lınea recta queune f(a) y f(b).
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Objetivo Introduccion La regla del trapecio La regla del trapecio de aplicacion multiple Programas MATLAB
Regla del trapecio
I = Area del Trapecio = Ancho×AlturaPromedio
I = (b− a)×AlturaPromedio
I = (b− a)f(a) + f(b)
2
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Regla del trapecio
I = Area del Trapecio = Ancho×AlturaPromedio
I = (b− a)×AlturaPromedio
I = (b− a)f(a) + f(b)
2
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Regla del trapecio
I = Area del Trapecio = Ancho×AlturaPromedio
I = (b− a)×AlturaPromedio
I = (b− a)f(a) + f(b)
2
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Regla del trapecio
I = Area del Trapecio = Ancho×AlturaPromedio
I = (b− a)×AlturaPromedio
I = (b− a)f(a) + f(b)
2
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Problema
ProblemaCalcular la integral de la funcion:
f (x) = 400x5 − 900x4 + 675x3 − 200x2 + 25x+ 0.2
desde a = 0 hasta b = 0.8. Considere el valor exacto de laintegral igual a: 1.640533. Evalue el error verdadero.
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3 La regla del trapecioProblema
4 La regla del trapecio de aplicacion multipleProblema
5 Programas MATLABPrograma: int trapecio v1Problema
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Regla del trapecio multipleConsideremos n+ 1 puntos igualmente espaciados(x0, x1, x2, · · · , xn−1, xn), por lo cual tenemos n segmentos delmismo ancho h:
h =b− a
n
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Objetivo Introduccion La regla del trapecio La regla del trapecio de aplicacion multiple Programas MATLAB
Regla del trapecio multiple
I =
b∫a
f (x) dx =
x1∫x0
f (x) dx+
x2∫x1
f (x) dx+ · · ·+xn∫
xn−1
f (x) dx
I = hf(x0) + f(x1)
2+ h
f(x1) + f(x2)
2+ · · ·+ h
f(xn−1) + f(xn)
2
I =h
2
(f (xo) + 2
n−1∑i=1
f (xi) + f (xn)
)
I = (b− a)
f (xo) + 2n−1∑i=1
f (xi) + f (xn)
2n
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Objetivo Introduccion La regla del trapecio La regla del trapecio de aplicacion multiple Programas MATLAB
Regla del trapecio multiple
I =
b∫a
f (x) dx =
x1∫x0
f (x) dx+
x2∫x1
f (x) dx+ · · ·+xn∫
xn−1
f (x) dx
I = hf(x0) + f(x1)
2+ h
f(x1) + f(x2)
2+ · · ·+ h
f(xn−1) + f(xn)
2
I =h
2
(f (xo) + 2
n−1∑i=1
f (xi) + f (xn)
)
I = (b− a)
f (xo) + 2n−1∑i=1
f (xi) + f (xn)
2n
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Regla del trapecio multiple
I =
b∫a
f (x) dx =
x1∫x0
f (x) dx+
x2∫x1
f (x) dx+ · · ·+xn∫
xn−1
f (x) dx
I = hf(x0) + f(x1)
2+ h
f(x1) + f(x2)
2+ · · ·+ h
f(xn−1) + f(xn)
2
I =h
2
(f (xo) + 2
n−1∑i=1
f (xi) + f (xn)
)
I = (b− a)
f (xo) + 2n−1∑i=1
f (xi) + f (xn)
2n
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Regla del trapecio multiple
I =
b∫a
f (x) dx =
x1∫x0
f (x) dx+
x2∫x1
f (x) dx+ · · ·+xn∫
xn−1
f (x) dx
I = hf(x0) + f(x1)
2+ h
f(x1) + f(x2)
2+ · · ·+ h
f(xn−1) + f(xn)
2
I =h
2
(f (xo) + 2
n−1∑i=1
f (xi) + f (xn)
)
I = (b− a)
f (xo) + 2n−1∑i=1
f (xi) + f (xn)
2n
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Problema
ProblemaCalcular la integral de la funcion usando dos segmentos:
f (x) = 400x5 − 900x4 + 675x3 − 200x2 + 25x+ 0.2
desde a = 0 hasta b = 0.8. Considere el valor exacto de laintegral igual a: 1.640533. Evalue el error verdadero.
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5 Programas MATLABPrograma: int trapecio v1Problema
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Programa: int trapecio v1
Programa MATLAB: Regla del trapecio
function i n t t r a p e c i o v 1 (F , x i , x f , np )% i n t t r a p e c i o v 1 −−−−Nombre de l a func ion% F−−−−func ion matematica de entrada% [ x i x f]−−−− I n t e r v a l o de i n t e g r a c i o n% np−−−−Numero de p a r t i c i o n e sh=( xf−x i ) / np ;x =[ x i : h : x f ] ;n=size ( x , 2 ) ;I n t =0;for i =1:n−1
I ( i ) =h∗ (F ( x ( i ) ) +F( x ( i +1) ) ) / 2 ;I n t = I n t + I ( i ) ;sa l i da1 =[ ’ Trapecio ’ , num2str ( i ) , ’ ’ , num2str ( I ( i ) ) ] ;disp ( sa l i da1 )
endSal ida2 =[ ’ I n t e g r a l To ta l ’ , ’ ’ ,num2str ( I n t ) ] ;disp ( Sal ida2 )end
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Problema
ProblemaCalcular la integral de la funcion usando 1, 2 y 3 segmentos:
f (x) = 400x5 − 900x4 + 675x3 − 200x2 + 25x+ 0.2
desde a = 0 hasta b = 0.8. Considere el valor exacto de laintegral igual a: 1.640533. Evalue el error verdadero.