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Decrementa y vencerás II

Dr. Eduardo A. RODRÍGUEZ TELLO

CINVESTAV-Tamaulipas

21 de febrero de 2018

Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Decrementa y vencerás II 21 de febrero de 2018 1 / 22

1 Decrementa y vencerás II


Decrementa y vencerás II Algoritmo de decremento con factor constante

1 Decrementa y vencerás IIAlgoritmo de decremento con factor constanteAlgoritmos de decremento variable



Algoritmo de decremento con factor constante

En esta versión de algoritmos decrementa y vencerás el tamaño de lainstancia se reduce con el mismo factor (típicamente 2)Ejemplos:

Búsqueda binariaExponenciación por cuadradosMultiplicación por el método ruso



Búsqueda binaria

Es un algoritmo muy eficiente para búsqueda en arreglosordenadosFunciona comparando el término buscado (llave) K con elelemento en la mitad del arreglo A[m]. Si son iguales, el algoritmose detiene, sino, se repite la misma operación recursivamente conla primera mitad del arreglo si K < A[m], o con la segunda mitaddel arreglo si K > A[m]



Búsqueda binaria



Búsqueda binaria, Eficiencia temporal

Peor caso

Arreglo no contiene la llave K. Operación básica: comparación entre K y A[m] (3 vías)

Cworst(n) = Cworst(bn/2c) + 1 para n > 1, Cworst(1) = 1

Esta relación de recurrencia ya la habíamos resuelto antesCworst(n) = blog2 nc + 1 = dlog2(n + 1)e ∈ Θ(log n)




Peor casoArreglo no contiene la llave K. Operación básica: comparación entre K y A[m] (3 vías)

Cworst(n) = Cworst(bn/2c) + 1 para n > 1, Cworst(1) = 1

Esta relación de recurrencia ya la habíamos resuelto antesCworst(n) = blog2 nc + 1 = dlog2(n + 1)e ∈ Θ(log n)




Ejemplos:

Para encontrar un elemento K en un arreglo ordenado de 1,000 elementos (oconfirmar que no está) toma sólo

dlog2(103 + 1)e = 10 comparaciones de 3 vías

Para encontrar un elemento K en un arreglo ordenado de 1’000,000 elementos(o confirmar que no está) toma sólo

dlog2(106 + 1)e = 20 comparaciones de 3 vías

Es un algoritmo óptimo para búsqueda en arreglos ordenados

El número de comparaciones en el caso promedio es sólo ligeramente máspequeño que en el peor caso:

Cavg(n) ≈ log2 n



Multiplicación por el método ruso

Sean n y m dos enteros positivos cuyo producto deseamos encontrar(n representa el tamaño de la instancia). Se hace una tabla con 2columnas encabezadas por n y m

1 Dividir n entre 2, sucesivamente, ignorando el residuo, hastallegar a la unidad. Escribir los resultados en la columna n.

2 Multiplicar m por 2 tantas veces como veces se ha dividido n entre2. Escribir los resultados sucesivos en la columna m.

3 Sumar todos los números de la columna m que estén al lado deun número impar de la columna n. Éste es el resultado.




Se multiplica 50× 65. El resultado se encuentra sumando todoslos elementos de la columna m que tienen un valor impar en lacolumna n




Este método funciona porque la multiplicación es distributiva, i.e.,a× (b + c) = a× b + a× c, así que:

65× 50 = 65× (0× 20 + 1× 21 + 0× 22 + 0× 23 + 1× 24 + 1× 25)= 65× (2 + 16 + 32)= (130 + 1040 + 2080)= 3250



Ejercicio 1

1 Suponga que se le presenta un arreglo con 42 fotografías depersonas (ordenadas en 6 filas con 7 columnas) y se le solicitaidentificar una foto objetivo únicamente haciendo preguntas quepueden ser respondidas con sí y no. Además existe la restricciónde hacer el menor número de preguntas posible. Diseñe elalgoritmo más eficiente para este problema e indique el númeromás grande de preguntas que pueden requerirse.


Decrementa y vencerás II Algoritmos de decremento variable

1 Decrementa y vencerás IIAlgoritmo de decremento con factor constanteAlgoritmos de decremento variable



Algoritmos de decremento variable

En los algoritmos de tipo decrementa y vencerás con decrementovariable la reducción del tamaño de la instancia es diferente en cadauna de las iteraciones.

Ejemplos:Algoritmo de EuclidesAlgoritmo basado en partición para el problema de selecciónBúsqueda por interpolaciónAlgunos algoritmos para búsqueda en árboles binarios



Algoritmo de Euclides

El algoritmo de Euclides se basa en la aplicación iterativa de lasiguiente ecuación:

gdc(m,n) = gdc(n,m m«od n)

Ejemplo:

gdc(80, 44) = gdc(44, 36) = gdc(36, 12) = gdc(12, 0) = 12

Es posible probar que el tamaño del problema (medido con el valor den) decrece al menos en la mitad después de dos iteraciones. Por lotanto, T(n) ∈ O(log n)



Problema de selección

Encontrar el k-ésimo elemento más pequeño en una lista de números.

Puede realizarse tomando ventaja de la idea de hacer una partición dela lista en torno a un elemento pivote p.

Existen dos técnicas algorítmicas para hacer esta partición: elalgoritmo de Hoare y el algoritmo de particionamiento de Lomuto.



Problema de selección, algoritmo de Lomuto

Utiliza un subarreglo A[l . . . r] donde 0 ≤ l ≤ r ≤ n− 1, con tres partes(posiblemente vacías):

Un segmento con elementos conocidos < pUn segmento con elementos conocidos ≥ pUn segmento con elementos por comparar

Iniciando en i = l + 1, el algoritmo recorre A[l . . . r] hacia la derechamanteniendo esta estructura hasta obtener una particiónEn cada iteración, compara el elemento A[i] en el segmento conelementos por comparar con p. Si A[i] ≥ p, se incrementa i. Si A[i] < p,se incrementa s, se intercambian A[i] y A[s] y se incrementa i




Cuando no hay elementos sin procesar, se intercambian el pivote p yA[s]

Esto permite encontrar la partición buscada




¿Cómo puede resolverse el problema de selección (encontrar el k-ésimoelemento más pequeño) aprovechando la partición de una lista?

Asumamos que la lista es un arreglo (cero basado) y que s es el índicedel pivote p después de aplicar el algoritmo de Lomuto para encontrar lapartición.Si s = k− 1, entonces el problema fue resuelto porque el pivote p es elk-ésimo elemento más pequeñoSi s > k− 1, el k-ésimo elemento más pequeño del arreglo puedeencontrarse como el k-ésimo elemento más pequeño en la parteizquierda de la particiónSi s < k− 1, el k-ésimo elemento más pequeño del arreglo puedeencontrarse como el (k− s)-ésimo elemento más pequeño en la partederecha de la partición

Si no se resuelve el problema, este se reduce y puede resolverse usando elmismo enfoque de manera recursiva.



Problema de selección, algoritmo quickselect



Algoritmo quickselect, complejidad

Mejor caso

Cuando al hacer la primera partición (usando n− 1 comparaciones) seresuelve el problema

Cbest(n) = n− 1 ∈ Θ(n)

Peor casoCuando se producen particiones no balanceadas (una parte vacía y otra conn− 1 elementos) en las n− 1 iteraciones

Cworst(n) = (n− 1) + (n− 2) + · · ·+ 1 =n(n− 1)

2∈ Θ(n2)

Caso promedio

Cavg(n) = C(n/2) + (n− 1) ∈ Θ(n)


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