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© Noel de Jesus Mendonça Lopes 1

Resolução de Problemas

o Como é que um agente pode definir os seus objectivos e traçar sequências de acções que o podem levar a atingir esses mesmos objectivos ?

o O objectivo e o conjunto de meios necessários para o atingir é designado por problema e o processo levado a cabo para explorar esses meios é designado por pesquisa.


Agentes que resolvem problemaso Um agente pode deliberar o que fazer

considerando para tal os resultados das sequências de acções que pode tomar.

o Estes agentes (problem-solving agents) são um tipo especifico dos agentes baseados em objectivos.

o Decidem o que fazer através da procura de sequências de acções que levem a estados desejáveis.

o A formulação do objectivo, baseando-nos na situação actual, é o primeiro passo para a resolução de um problema.


Objectivo

o Nesta fase consideramos o objectivo como sendo um conjunto de estados do mundo, em que determinado critério é satisfeito.

o As acções podem ser vistas como sendo responsáveis pelas transições entre estados, pelo que o agente deverá encontrar a sequência de acções que permitem chegar a um dos estados do mundo onde o objectivo é satisfeito.


Objectivo

o Antes de procurar a sequência de acções que permitem atingir o objectivo, o agente deverá decidir quais os estados e as acções que deve considerar.

o Formulação do problema –Processo de decisão das acções e dos estados a considerar (passo seguinte à formulação do objectivo).

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© Noel de Jesus Mendonça Lopes 5 © Noel de Jesus Mendonça Lopes 6

Pesquisao Um agente que disponha de várias opções

imediatas, cujo resultado é desconhecido, pode decidir o que fazer através da análise de diferentes sequências de acções que levam a estados cujo resultado é conhecido.

o O agente pode posteriormente escolher a sequência de acções que o beneficia mais.

o Um algoritmo de pesquisa tem como entrada um problema e como saída uma solução, na forma de uma sequência de acções.


Formular, procurar e executar

o Uma vez encontrada uma solução, o agente pode levar a cabo a sequência de acções associada. Esta fase é designada por execução.


Agentes que resolvem problemasfunction AgenteSimpleResolucaoProblemas(p) returns accao

inputs : p, percepçõesstatic : a, uma sequência de acções inicialmente vazia

estado, descrição do estado do mundo actualo, um objectivo, inicialmente nuloproblema, a formulação de um problema

estado ← ActualizaEstado(estado, p)if a is empty then

o ← FormulaObjectivo(estado)problema ← FormulaProblema(estado, o)a ← Pesquisa(problema)

endaccao ← Recomendada(a, estado)a ← Resto(a, estado)return accao

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Aspirar o lixo1 2 3 4

5 6 7 8


Tipos de problemas

o Estado único (single-state)n Ambiente acessível;n Agente sabe as consequências das suas

acções.

o Estados múltiplos (multiple-state)n Ambiente inacessível;n Agente sabe as consequências das suas

acções.


Ignorância dos efeitos das acções

Lei de Murphy

Problema de estados múltiplosProblema de estados múltiplos

Ambiente Ambiente eestocásticostocástico(não (não deteministicodeteministico))



2

AspirarDireitaAspirar

6

8

4



1

2

Impede o agente de encontrar uma sequência de acções Impede o agente de encontrar uma sequência de acções que garanta uma solução para o problema.que garanta uma solução para o problema.

? 8

4


Problemas de contingência

o Se o agente dispuser de um sensor que lhe indique se a sala onde se encontra está limpa, poderá aspirar apenas se esta tiver lixo.

o É necessário obter informações a partir dos sensores durante a fase de execução.

o Problemas reais a previsão exacta é impossível.


Problemas de exploraçãoo Tipo de problema mais difícil para um

agente, já que este não dispõe de nenhum conhecimento sobre os efeitos das suas acções.

o O agente deve experimentar e descobrir de forma gradual as consequências das suas acções bem como os tipos de estado existentes (Ex: Recém nascidos).

o A pesquisa é feita no mundo real em vez de num modelo, pelo que pode representar um risco significativo para um agente ignorante.


Problemas

o Problema - Colecção de informação que o agente pode usar para decidir o que fazer.

o Os elementos básicos de um problema são os estados e as acções.

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Problemas de estado único

o Dado um estado inicial no qual o agente sabe que se encontra.

o Dado um conjunto de acções disponíveis para o agente.n Operador : Uma descrição de uma acção em

termos do estado que será alcançado quando a acção em causa é levada a cabo num dado estado.

n Função Sucessor S : Dado um estado x, S(x) retorna o conjunto de estados que se podem alcançar aplicando uma única acção no estado x.


Espaço dos estados

o O estado inicial e o conjunto de acções disponíveis definem o espaço dos estados do problema : O conjunto de todos os estados que se podem atingir a partir do estado inicial e de uma qualquer sequência de acções.

o Um caminho no espaço dos estados é simplesmente uma sequência de acções que vão de um estado para outro.



o Dado um teste de objectivo que o agente pode aplicar a uma descrição de um estado para determinar se esse estado é um estado que satisfaz objectivo.n Nalguns casos existe um conjunto explicito de

todos os estados que satisfazem o objectivo;n Noutros, o objectivo é especificado através de

uma propriedade abstracta (Ex: Xadrez).



o Dada uma função de custo do caminho :n A soma dos custos das acções individuais

ao longo do caminho.n Normalmente designa-se por g.

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Problema de estado único

Estado inicial+

Conjunto de operadores+

Teste de objectivo+

Custo do caminho


Saída de um algoritmo de pesquisa

SoluçãoCaminho desde o estado inicial até um Caminho desde o estado inicial até um estado que satisfaça o teste de objectivo.estado que satisfaça o teste de objectivo.


Problemas de estados múltiplos

Conjunto de estados iniciais+

Conjunto de operadores+

Teste de objectivo+

Custo do caminho


Problemas de estados múltiploso Quando se aplica um operador a um conjunto de

estados obtemos a reunião de todos os estados que se atingem aplicando o operador individualmente a cada um dos estados.

o Um caminho liga vários conjuntos de estados.o Uma solução é o caminho que leva a um conjunto

de estados, em que todos eles satisfazem o objectivo.

o O espaço dos estados é substituído pelo espaço do conjunto de estados.

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Eficácia da pesquisa

o Encontrou-se uma solução ?o É uma boa solução (com um custo do

caminho baixo) ?o Qual é o custo da pesquisa (tempo

e memória necessários para encontrar a solução) ?


Custo total

Custo do caminho+

Custo da pesquisa


Custo da pesquisa

o Depende de o ambiente ser:n Estático (0)n Semi-dinâmicon Dinâmico


Abstracção

o Retirar tantos detalhes quanto possível, garantindo no entanto que cada uma das acções abstractas podem ser levadas a cabo.n Descrição do estadon Acçõesn Efeitos das acções

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Exemplos de problemaso Puzzle com 8 peçasn Estado : A localização de cada uma das peças

(incluindo o branco).n Operadores : Branco move-se para esquerda,

direita, cima ou baixo.n Custo do caminho : Número de movimentos.

5 4

6 1

7 3

8

2 5

4

6

1

7

3

8

2


Exemplos de problemas

Problemadasoito

rainhas


Problema das oito rainhas

o Teste de objectivo : 8 rainhas no tabuleiro, não estar nenhuma a ser atacada.

o Custo do caminho : zero.o Estados : Qualquer combinação de 0

a 8 rainhas no tabuleiro.o Operadores : Adicionar rainhas a

uma dada posição do tabuleiro.


Problema das oito rainhas -Dimensão do espaço de procura

o Estados : Arranjos de 8 rainhas, uma em cada coluna.

o Operadores : Mover uma rainha atacada, para outra posição do tabuleiro, na mesma coluna.

648 2057

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Aspirador (Problema de estado único)

o Teste de objectivo : Todas as salas limpas.

o Custo do caminho : Cada acção custa 1.

o Estados : Todos os estados da figura seguinte.

o Operadores : Esquerda, direita, aspirar.

D

D D

D

D

DD

D

EE

EE

E

E

EE

AA

A AAA

A A


Aspirador (Problema de estados múltiplos)

o Teste de objectivo : Todas as salas limpas.

o Custo do caminho : Cada acção custa 1.

o Conjunto de estados : Todos os conjuntos da figura seguinte.

o Operadores : Esquerda, direita, aspirar.

D E

E D

A

DE

A

A

E

D E D

DE A

D E

A

A

E D

AA, E A, D

A

DE

DE

A A

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Missionários e canibais


Outros problemas

o Pesquisa de rotasn Redes de computadoresn Assistentes de viagem (computador

carro)

o Caixeiro viajanteo Navegação de robôso Determinar a melhor sequência de

montagem de um objecto.


Geração de sequências de acções

o Ao aplicarmos os operadores ao estado actual estamos a gerar um novo conjunto de estados. Este processo designa-se por expansãodo estado. DE

A


Pesquisa da solução

o Quando temos várias possibilidades temos de escolher qual considerar primeiro (determinado pela estratégia da pesquisa).

o Escolher, testar, expandir.E

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Oradea

Zerind

Arad

Timisoara

Lugoj

Mehadia

Dobreta

Sibiu

Rimnicu Vilcea

Fagaras

Criova

PitestiBucharest


Árvore de pesquisa

Estado inicial

Depois de expandir Arad

Arad

Zerind Timisoara Sibiu

Arad


Árvore de pesquisa

Depois de expandir Zerind

ZerindTimisoara Sibiu

Arad

Oradea AradNós de pesquisa


Algoritmo Geral de Pesquisa

function PesquisaGeral(problema, estratégia) returns solução ou falhaInicializar a árvore de pesquisa, utilizando o estado inicial do problema.do

if não existem candidatos para expandir then return falhaEscolher um nó (folha) para expandir, de acordo com a estratégiaif nó contém um estado que satisfaz o objectivo then

return solução correspondenteendExpandir o nó e adicionar os nós resultantes à arvore de pesquisa

loop

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Estrutura dos nós

o O estado do espaço dos estados ao qual o nó corresponde;

o Pai;o Operador que foi aplicado para o

gerar;o Profundidade;o Custo do caminho g(n).


Fronteira

o O conjunto dos nós que ainda não foram expandidos formam a fronteira.

o O objectivo da estratégia de pesquisa é escolher um nó da fronteira.

o Se considerarmos os nós que fazem parte da fronteira como estando numa lista, em que os nós que aparecem primeiro são os que o algoritmo de pesquisa escolhe primeiro para expandir podemos rescrever o algoritmo geral de pesquisa.


Algoritmo geral de pesquisa

function PesquisaGeral(problema, FuncaoAdicaoFila) returns solução ou falha

nos ← CriaFila(CriaNo(EstadoInicial(problema)))do

if nos is empty then return falhano ← RetiraPrimeiro(nos)if ObjectivoSatisfeito(problema, Estado(no)) then return nonos ← FuncaoAdicaoFila(nos, Expande(no, Operadores(problema)))

loop


Avaliação das estratégias de pesquisao Completa

o Garante que se houver uma solução ela é encontrada ?

o Complexidaden Tempo o Quanto tempo é necessário para encontrar uma

solução ?n Espaçoo Qual a memória necessária para efectuar a

pesquisa ?o Solução óptima

o Quando existem várias soluções é encontrada a solução de qualidade mais elevada ?

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Algoritmos de pesquisa

o Pesquisa uniforme (pesquisa cega)n Não existe informação do nº de passos

ou do custo do caminho desde o estado actual ao objectivo

o Pesquisa informadan heurística


Algoritmos de pesquisa cega

o Breadth-first searcho Uniform cost searcho Depth-first searcho Depth-limited searcho Iterative deepening searcho Bidirectional search


Breadth-first search

o Todos os nós com profundidade d são expandidos antes dos nós com profundidade d + 1.

o Se existir uma solução é garantido que o algoritmo a encontra.

o A solução encontrada é sempre a solução que tem o menor número de acções.



Function BreadthFirstSearch(problema) returns solução ou falha

return PesquisaGeral(problema, FuncaoAdicionaFimFila)

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o Completoo Óptimo se o custo do caminho for

uma função não decrescente da profundidade do nó, isto é quando todos os operadores têm o mesmo custo.

o Complexidade (tempo e espaço)n Problema


Breadth-first search(Complexidade)

o Consideremos um espaço de estados hipotético onde cada estado pode ser expandido dando origem a b estados.

o Diz-se que o factor de ramificação (branching factor) desses estados (e da árvore) é b.

o Suponhamos que para atingirmos a solução necessitamos de percorrer um caminho de comprimento d (com d passos).



o O número máximo de nós que temos de percorrer antes de encontrar a solução é :

1 + b + b2 + b3 + ... + bd

o ComplexidadeO(bd)



100 Bytes11 Kb1 Mb

111 Mb11 Gb

1 Terabyte111 Terabytes

11111 Terabytes

1 milisegundo0,1 segundos11 segundos18 minutos31 horas128 dias35 anos

3500 anos

1111

111111106

108

1010

1012

1014

02468

101214

MemóriaTempoNós (b=10)Profundidade (d)

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Uniform cost search

o Escolhe o nó com menor custo de caminho para expandir.

o Idêntica à Breadth-first search nos casos em que g(n) = Profundidade(n)

o Assume-se que :∀n, g(sucessor(n)) ≥ g(n)


Uniform cost search

I F

A

B

1 10

C

5 5

15 5

0I


Uniform cost search

I F

A

B

1 10

C

5 5

15 5

I

A B C1 5 15


Uniform cost search

I F

A

B

1 10

C

5 5

15 5

I

A B C5 15

11F

16


Uniform cost search

I F

A

B

1 10

C

5 5

15 5

I

A B C15

11F

10F


Depth-first search

o Algoritmo :Function DepthFirstSearch(problema) returns solução ou falha

return PesquisaGeral(problema, FuncaoAdicionaInicioFila)

o Necessita de pouca memória.o Para um espaço com um factor de

ramificação de b e para uma profundidade máxima de m o algoritmo necessita apenas de bm nós.

o Complexidade : O(bm)


Depth-first search

o Para problemas que têm muitas soluções este algoritmo pode encontrar uma solução primeiro que o Breath-first search.

o Muitos problemas têm árvores de pesquisa muito profundas ou mesmo infinitas, pelo que este algoritmo pode não conseguir recuperar de uma má escolha de um dos ramos no inicio da árvore.


Depth-first search

o Pode encontrar uma solução com um custo de caminho muito maior que a solução óptima.

o Não é óptimo nem completo.o Fácil de implementar com uma função

recursiva.

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Depth-limited search

o Igual ao Depth-first search só que é imposto um limite de profundidade.

o Não é óptimoo Pode ou não ser completo, dependendo dos

limites impostos.o Para um espaço com um factor de

ramificação de b e para um limite de profundidade l o algoritmo necessita apenas de bl nós.

o Complexidade : O(bl)


Iterative deepening search

o Objectivo é determinar o diâmetrodo espaço de estados por tentativas.

o Combina os benefícios do Breadth-first search com os do Depth-first search.

o É óptimo e completo como o Breadth-first search.

o Necessita de pouca memória como o Depth-first search.



o Muitos estados são expandidos múltiplas vezes. No entanto o tempo adicional de pesquisa não é tão significativo como pode parecer à primeira vista.

o Tomemos como exemplo o caso do depth-limited search em o que número máximo de nós a percorrer é de :1 + b + b2 + ... + bd-2 + bd-1 + bd



o Para uma profundidade d = 5 e para um factor de ramificação b = 10. O número máximo de nós a percorrer é de :1 + 10 + 100 + 1000 +10000 + 100000 = 111111

o No iterative deepening search o número máximo de nós a percorrer será de :

(d+1)1 + db + (d-1)b2 + ... + 3bd-2 + 2bd-1 + 1bd

o Para o caso :6 + 50 + 400 + 3000 + 20000 + 100000 = 123456

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o Temos assim um aumento de cerca de 11% que será ainda menor para factores de ramificação maiores.


Bidirectional search

o Complexidade : O(2bd/2) = O(bd/2)

Inicio Objectivo



o O que significa procurar para trás?o Procurar para trás significa gerar

sucessivamente predecessores a partir do objectivo.

o Os predecessores de um nó n são todos os nós que têm o nó n como sucessor.

o Quando todos os operadores são reversíveis o conjunto dos predecessores e sucessores é idêntico.

o Nalguns problemas calcular os predecessores pode ser bastante difícil.



o E se existir não apenas um estado correspondente ao objectivo, mas vários ?

o Se existir uma lista explicita destes estados, podemos aplicar uma função predecessora ao conjunto de estados, tal como aplicamos os sucessores.

o Se dispusermos apenas uma descrição do conjunto de estados correspondentes ao objectivo (tal como no xadrez – cheque mate) o problema torna-se mais complicado.

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o Deve existir uma forma eficiente de verificar se cada um dos novos nós já existe na árvore de pesquisa da outra metade da pesquisa.

o Devemos decidir que tipo de algoritmo vamos utilizar de cada lado da pesquisa.



oComplexidade : O(bd/2) assumindo que o processo de teste de intercessão das duas fronteiras pode ser levado a cabo num tempo constante (isto é independente do número de estados).



o Normalmente essa verificação é possível através da utilização de uma HASH table.

o Para determinar se as duas fronteiras se têm nós em comum, é necessário que os todos os nós de pelo menos uma delas estejam em memória (tal como no breath-first search).

o Complexidade do espaço : O(bd/2)© Noel de Jesus Mendonça Lopes 76

Comparação das estratégias de pesquisa

bm

bmNãoNão

Depth-first

bl

blNão

Sim, se l ≥ d

Depth-Limited

TempoEspaçoÓptimo?

Completo?

Critério

bd

bd

SimSim

Breadth-First

bd

bd

SimSim

Uniform-Cost

bd/2

bd/2

SimSim

Bidirectional(quando aplicável)

bd

bdSimSim

IterativeDeepening

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Evitar estados repetidos

o Estados repetidos implicam perda de tempo.

o Em muitos problemas é comum aparecerem estados repetidos.

o O exemplo mais flagrante é quando existem operações reversíveis.

o As árvores de pesquisa para estes problemas são infinitas. No entanto se retirarmos os estados repetidos podemos reduzir o tamanho da árvore de pesquisa a um tamanho finito.


Evitar estados repetidos

o Mesmo quando a árvore de pesquisa é finita, evitar os estados repetidos pode levar a uma redução exponencial do custo da pesquisa.


Formas de evitar estados repetidos

o Não retornar ao estado donde viemos. A função de expansão deverá recusar-se a gerar qualquer sucessor com o mesmo estado que o estado correspondente ao nó pai.

o Não criar caminhos com círculos. A função de expansão deverá recusar-se a gerar qualquer sucessor com o mesmo que qualquer estado correspondente a um dos nós antecessores.


Formas de evitar estados repetidos

o Não gerar qualquer estado que já tenha sido gerado antes. Isto requer que todos os estados estejam em memória.n Complexidade do espaço O(bd) ou O(s) em que

s é o número de estados do espaço dos estados.n Normalmente é utilizada uma tabela HASH que

guarda os estados correspondentes a todos os nós gerados. Desta forma verificar a existência de espaços repetidos pode ser feito eficientemente.

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Constraint satisfaction search

o Um problema que para além dos requisitos básicos em geral, satisfaz propriedades estruturais adicionais designa-se por constraint satisfaction problem(CSP).

o Num CSP os estados são definidos por um conjunto de variáveis e o teste de objectivo especifica um conjunto de restrições a que esses valores devem obedecer.



o O problema das 8 rainhas pode ser visto como um CSP em que as variáveis são a posição de cada uma das 8 rainhas; os valores possíveis são os quadrados do tabuleiro; e as restrições especificam que não podem existir duas rainhas na mesma linha, coluna ou diagonal. Uma solução num CSP especifica os valores de todas as variáveis, de tal modo que todas as restrições são satisfeitas.



o Os CSP podem ser resolvidos por algoritmos de pesquisa de propósito geral, mas devido à sua estrutura especial os algoritmos desenhados para os CSP têm um desempenho muito melhor.


Restrições

o Unáriasn Referem-se ao valor de uma única

variável

o Bináriasn Relacionam pares de variáveis

o Ordem maiorn Envolvem três ou mais variáveis

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Restrições

o Absolutasn Quando violadas impedem a obtenção de

uma solução

o Preferêncian Indicam quais as soluções que são

preferíveis.


Variáveis e restrições

o Cada variável Vi num CSP tem um domínio Di, que é o conjunto de valores que a variável pode tomar.

o O domínio pode ser discreto ou continuo.

o Uma restrição unária especifica o subconjunto de valores pertencentes ao domínio Di que a uma dada variável Vi pode ter.


Aplicar um algoritmo de pesquisa geral a um CSP

o Estado inicial – Um estado em que todas as variáveis não têm nenhum valor.

o Operadores – Atribuem um valor a uma variável a partir de um conjunto de valores possíveis.

o Objectivo – Todas as variáveis têm valores atribuídos que satisfazem todas as restrições.


Aplicar um algoritmo de pesquisa geral a um CSP

oA profundidade máxima da árvore de pesquisa, bem como a profundidade onde se encontram todas as soluções é n (número de variáveis).

oNeste caso qual será o algoritmo adequado?

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Backtracking search

o É despendido tempo quando pelo menos uma das restrições já foi violada.

o O que podemos fazer é inserir um teste antes da geração de sucessores que garanta que não são gerados sucessores caso o estado actual viole as restrições.


Forward checking

o Suponhamos que colocamos as primeiras 6 rainhas de tal forma que todas as colunas da 8 linha estão a ser atacadas.

o O backtracking irá tentar todas as posições para a 7ª rainha apesar de o problema já não ser solúvel.

o O forward checking evita isto olhando para a frente de forma a detectar se o problema já é insolúvel.


Forward checking

o Cada vez que uma variável é instanciada, são eliminados todos os valores dos domínios que entrem em conflito com os valores das variáveis instanciadas até à data.

o Se algum dos domínios ficar com o conjunto vazio de valores a pesquisa retorna automaticamente.


Forward checking

oNa maioria dos casos é mais rápido que o backtracking e é bastante fácil de implementar.

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Verificação da consistência dos arcos

o O forward checking é um caso especial da verificação da consistência dos arcos.

o Um estado diz-se ter consistência de arco quando todas as suas variáveis têm valores do seu domínio que são consistentes com todas as restrições que envolvem essa variável.


Verificação da consistência dos arcos

oA consistência de arco pode ser obtida apagando sucessivamente todos os valores que são inconsistentes com uma dada restrição.


Propagação de restrições

o À medida que se vão apagando valores, outros valores podem tornar-se inconsistentes porque dependiam daqueles que foram apagados para serem consistentes.

o Nalguns casos atingir a consistência dos arcos é suficiente para resolver o problema.


Consistência dos arcos

o A verificação da consistência dos arcos é usada normalmente como um passo de pré processamento, mas pode também ser usada na pesquisa.

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