Agentes Baseados em Utilidade

Parte I: Decisões Simples

“Como um agente deve tomar decisões de modo que, em média, ele consiga o que quer”

Decision Theoretic Agent Agente capaz de ...

Tomar decisões racionais baseado no que acredita e deseja

Diferentemente de um agente lógico Pode tomar decisões em ambientes com incertezas e objetivos

conflitantes Possui uma escala contínua de medida de qualidade sobre os estados

Valores associados a cada estado (utilidade) indicando a “felicidade” do agente !

Funções de Utilidade associam um valor a um estado Indica o “desejo” por estar nesse estado U(S) = utilidade estado S de acordo com o agente Ex. BBB: s1 = {rico, famoso}, s2 = {pobre, famoso}

U(s1) = 10

U(s2) = 5

Funções de Utilidade Resulti(A): Todos os possíveis estados de saída de uma ação não-

determinista A

Para cada saída possível é associada uma probabilidade:

P (Resulti(A) | Do(A), E)

Onde, E resume a evidência que o agente possuí do mundo

Do(A) indica que a ação A foi executada no estado atual

Utilidade esperada de uma ação A dado a evidência do mundo E:

EU(A|E) = i P(Resulti(A)|Do(A),E) U(Resulti(A))

Principio da Maximização da Utilidade: agente racional deve escolher ação que maximiza sua utilidade esperada !!!

Exemplo: Cálculo da Utilidade Esperada

Robô deve transportar uma caixa

E = caixa é de metal

a1 = Chutar: s1, caixa no destino 20% U(s1) = 10

s2, caixa no meio do caminho 30% U(s2) = 5

s3, caixa longe destino 50% U(s3) = 0

a2 = Carregar: s1, caixa no destino 80% U(s1) = 10

s2, caixa na origem 20% U(s2) = 0

EU(a1) = 0,20 x 10 + 0,30 x 5 + 0,50 x 0 = 3,5

EU(a2 ) = 0,80 x 10 + 0,20 x 0 = 8

Preferências Racionais Funções de Utilidade representam preferências!

Utilidade(Fusca75) > Utilidade(BMW2014) O agente que maximiza tal utilidade continua sendo racional

O modelo de racionalidade mais utilizado é aquele que maximiza EU

Notação (Relações de Preferência): A B: A é preferível a B A ~ B: agente indiferente entre A e B A B: agente prefere A à B ou é indiferente

Para ações não-deterministas:

A e B são loterias, i.e., distribuições probabilísticas sobre um conjunto de estados de saída

L = {p1.S1; p2. S2; ...; pn.Sn}

Restrições Sobre Preferências Racionais

Axiomas da Teoria da Utilidade: Ordenabilidade:

(A > B) ( B > A) (A ~ B)

Transitividade:(A > B) (B > C) (A > C)

Continuidade:A > B > C p [p.A; 1 - p.C] ~ B

Substitutabilidade:A ~ B [p.A; 1 – p.C] ~ [p.B; 1 – p.C]

Monoticidade:A > B ( p q [p.A; 1 – p.B] [q.A; 1 – q.B] )

Decomposabilidade:[p.A; 1 – p. [q.B; 1 – q.C] ] ~ [p.A; (1 – p)q.B; (1 – p)(1 – q). C]

Principio da Utilidade:Preferências que satisfaçam os axiomas garantem a existência de uma função real U, tal que:

U(A) > U(B) A > B U(A) = U(B) A ~ B U (p1.S1; ... ; pn.Sn) = i pi U(Si)

Exemplo: Restrições Sobre Preferências Racionais

Violação das restrições podem levar a comportamentos irracionais

Exemplo: agente com preferências estritas não transitivas pode ser induzido a dar todo o seu dinheiro:

C B1 c

C B1 c A1 c

C B1 c A1 c

Se B > C, então um agente que possuí C pagaria 1 centavo para obter B

Se C > A, então um agente que possuí A pagaria 1 centavo para obter C

Se A > B, então um agente que possui B pagaria 1 centavo para obter A

Exemplo: A Utilidade do Dinheiro

Um jogador ganhou um prêmio de R$ 1.000.000 em um programa de TV

Apresentador oferece uma aposta: Se ele jogar a moeda e aparecer cara jogador perde tudo Se aparecer coroa jogador ganha R$ 3.000.000

O Valor Monetário Esperado da aposta é: 0.5 (R$ 0) + 0.5 (R$ 3.000.000) = $ 1.500.000

O Valor Monetário Esperado de recusar a aposta é de R$ 1.000.000 (menor)

Isso indica que seria melhor aceitar a aposta ?

Exemplo: A Utilidade do Dinheiro

Utilidade Esperada para cada uma das duas ações:

EU (Aceitar) = 0.5 U(Sk) + 0.5 U(Sk+3.000.000) EU (Rejeitar) = U(Sk+1.000.000)

Onde, Sk = riqueza atual do jogador

Deve-se atribuir valores de utilidade para cada estado de saída: Sk = 5; Sk+3.000.000 = 10; Sk+1.000.000 = 8

Ação racional: rejeitar !

Conclusão: Utilidade não é diretamente proporcional ao valor monetário Utilidade (mudança no estilo de vida) para o primeiro R$ 1.000.000 é muito alta

Utilidade do Dinheiro

Fonte: AIMA, 3rd ed, p 617

Funções de Utilidade Multi-Atributo

Como tratar funções de utilidades com várias variáveis X1, ..., Xn ?

Ex.: Construir aeroporto, Variáveis: Segurança, Custo, Poluição sonora U (Segurança, Custo, Poluição sonora) = ?

Existem basicamente dois casos:

Dominância: decisões podem ser tomadas sem combinar os valores dos atributos em um único valor da utilidade

Estrutura de Preferência e Utilidade Multi-atributo: utilidade resultante da combinação dos valores dos atributos pode ser especificada concisamente

Dominância Total (de Pareto)

Se um estado S1 possui valores melhores em todos seus atributos do que S2, então existe uma dominância total de S1 sobre S2

i Xi(S1) Xi(S2) (e portanto U(S1) U(S2))

Ex.: Local S1 para Aeroporto custa menos e é mais seguro que S2

Dominância total raramente acontece na prática !!!

Estrutura de Preferência e Utilidade Multi-Atributo

Supondo que existem n atributos com d possíveis valores: No pior caso, serão necessários dn valores (preferência sem regularidade!)

A Teoria da Utilidade Multi-atributo assume que preferências de agentes possuem certa regularidade (estrutura) Abordagem básica é tentar identificar essas regularidades!

Agentes com uma certa estrutura em suas preferências terá uma função:

U(x1 ... Xn) = f[ f1(x1) ..... f2(x2) ]

Onde espera-se que f seja uma função simples!

Estrutura de Preferência

X1 e X2 são preferencialmente independente de X3 se, e somente se: Preferência entre {x1, x2, x3} e {x1’, x2’, x3} não depende em x3

Independência total: todos os atributos são preferencialmente independente com relação aos demais

Ex.: Segurança, Custo, Poluição sonora

Sob a premissa de independência total, o comportamento preferencial do agente pode ser descrito como uma maximização da função aditiva: V (x1 ... xn) = i Vi(xi)

Modelos Gráficos para Decisão sob Risco

Modelos gráficos básicos para decisão sob risco Árvores de decisão Redes de Decisões ou Diagramas de Influência

Árvores de decisão Arborescência que representa um problema de decisão sob risco Representa as diferentes sequências possíveis de decisões e acontecimentos

(ou estados) Redes de decisão

Representação mais compacta e intuitiva para problemas de decisão No entanto os aspectos temporais de uma decisão são menos explícitos

Computacionalmente, árvores de decisão e redes de decisão são equivalentes

Árvores de decisão

Três tipos de vértice: Decisão: representados por quadrados, correspondem a etapas de decisão. Chance: representados por círculos, correspondem às realizações dos estados. Terminais: indicam se os resultados possíveis do processo de decisão;

associamos a cada vértice terminal o valor do critério de avaliação para a situação obtido a partir das decisões e dos eventos associados ao caminho que vai dar raiz a este vértices

Decisão

Chance

Terminal

Árvores de decisão

Dois tipos de arestas: As arestas que saem de vértices “decisão” representam as diferentes ações

possíveis As arestas que saem dos vértices de “chance” representam a possibilidade de

realização dos estados da natureza ou do ambiente. Esses arcos podem ser eventualmente valorados pela probabilidade de ocorrência do estado associado

Ação 1

Ação 2

p11

p12

p13

p21p22

p23

pxx são probabilidadesp11 + p12 + p13 = 1p21 + p22 + p23 = 1

Árvores de decisão

Cenário Caminho da árvore partindo da raiz até um vértice terminal. Ele é definido por

uma decisão tomada a cada “nó decisão” e a realização de um estado observado a cada “nó de chance”.

Ação 1

Ação 2

p11

p12

p13

p21p22

p23

Cenário: foi tomada a Ação 1 e ocorreu o evento com probabilidade p13

Exemplo Ao aproximar-se o fim do ano, um atacadista de lembrancinhas de

empresas prepara sua estratégia de comercialização. Ele considera duas reações possíveis de sua clientela: r1: reação favorável r2: reação mista

Chamaremos de p a probabilidade de observar a reação r1. O atacadista estima que em caso de reação mista, o lucro líquido realizado

será de um montante x. Ele deverá ser 3 vezes mais alto no caso de reação favorável.

O atacadista se pergunta então sobre a oportunidade de efetuar uma campanha publicitária. O custo desta campanha é estimado também em x.

Considera-se que uma campanha publicitária permitirá dobrar o lucro previsto em caso de reação favorável (r1). Ela não terá nenhum efeito em caso de reação mista (r2). Desenhe uma árvore de decisão que represente o problema de escolha de uma

estratégia de comunicação Considerando um critério de MEU do lucro, obtenha o valor mínimo de p que

torna preferível lançar a campanha de publicidade.

Redes de Decisões Formalismo para expressar e resolver problemas de decisão: estende

Redes Bayesianas adicionando ações e utilidades

Composto de: Nós de Chance (ovais): representam variáveis como nas redes Bayesianas Nós de Decisão (retângulo): pontos onde agente deve escolher uma ação Nós de Utilidade (diamantes): representam as funções de utilidade do agente

Algoritmo de avaliação: 1. Atribuir os valores das variáveis para o estado corrente;

2. Calcular o valor esperado do nó de utilidade dado a ação e os valores das variáveis;

3. Retornar a ação com maior Utilidade Máxima Esperada

Exemplo: Redes de Decisões

Barulho

Segurança

Custo

Trafego aéreo

Construção

Litigação

Local do Aeroporto

U

Info. sobre estado atual Info. sobre

estado futuro

Teoria do Valor da Informação

Problemas anteriores assumiam que todas as informações estavam disponíveis

O que acontece quando elas não estão? Cabe ao agente buscar as informações necessárias ...

No entanto ... Obtenção de informações tem um custo associado Ex.: solicitação de um exame por parte de um medico

A Teoria do Valor da Informação permite que o agente escolha quais informações adquirir

Cálculo do Valor da Informação: Exemplo

Exemplo: Suponha que uma empresa de petróleo pretenda comprar o direito de

perfuração de poços de um de n blocos a serem postos à venda. Suponha, ainda, que exatamente um dos blocos contenha óleo avaliado em $ C, enquanto os outros não contém nada. O preço de cada bloco é C/n dólares.

Suponha agora que um geólogo oferece à empresa os resultados de uma pesquisa referente ao bloco 3, que indica com certeza se o bloco contém óleo.

Quanto a empresa deve estar disposta a pagar pela informação? Solução:

Sem a informação, a esperança do lucro ao comprar é 0: 1/n*C – C/n A maneira de responder a essa pergunta é examinar o que a empresa faria se

tivesse a informação: Com probabilidade 1/n, a pesquisa irá indicar que há óleo no bloco 3. Neste caso, a

empresa vai comprar o bloco 3 por C/n e vai faturar C – C / n = (n – 1)C / n Com probabilidade (n – 1)/n, a pesquisa vai mostrar que o bloco 3 não contém

petróleo, o que fará a empresa comprar outro bloco. Agora a probabilidade de encontrar óleo em um dos outros blocos é 1/(n-1), então a esperança do lucro é C / (n-1) – C/n = C / n(n-1)

Então o lucro esperado com a informação é

Cálculo do Valor da Informação: Exemplo

Exemplo: Suponha que uma empresa de petróleo pretenda comprar o direito de

perfuração de poços de um de n blocos a serem postos à venda. Suponha, ainda, que exatamente um dos blocos contenha óleo avaliado em $ C, enquanto os outros não contém nada. O preço de cada bloco é C/n dólares.

Suponha agora que um geólogo oferece à empresa os resultados de uma pesquisa referente ao bloco 3, que indica com certeza se o bloco contém óleo.

Quanto a empresa deve estar disposta a pagar pela informação? Solução:

Sem a informação, a esperança do lucro ao comprar é 0: 1/n*C – C/n A maneira de responder a essa pergunta é examinar o que a empresa faria se

tivesse a informação: Com probabilidade 1/n, a pesquisa irá indicar que há óleo no bloco 3. Neste caso, a

empresa vai comprar o bloco 3 por C/n e vai faturar C – C / n = (n – 1)C / n Com probabilidade (n – 1)/n, a pesquisa vai mostrar que o bloco 3 não contém

petróleo, o que fará a empresa comprar outro bloco. Agora a probabilidade de encontrar óleo em um dos outros blocos é 1/(n-1), então a esperança do lucro é C / (n-1) – C/n = C / n(n-1)

Então o lucro esperado com a informação é

Logo, se essa informação custar menos que C/n, vale a pena pagar!Veja que a informação vale tanto quanto o preço cobrado por um bloco!

Parte 2: Decisões Sequenciais

“Métodos para decidir o que fazer hoje, dado que nós poderemos ter que decidir de novo amanhã”

Problemas de Decisões Seqüenciais

Anteriormente estávamos lidando com problemas de decisão episódicos: Utilidade de cada resultado de uma ação conhecido!

Problemas de decisões seqüenciais: Utilidade do agente depende de uma seqüência de decisões Envolvem utilidades, incertezas e percepção

Exemplo: Ambiente 4x3 Interação termina quando agente alcança um dos estados

finais (+1 ou -1) Ações disponíveis:

Up, Down, Left e Right Ambiente totalmente observável

Agente sabe onde está! Ações não confiáveis

Locomoção estocástica Se agente bater em uma parede permanecerá no mesmo

quadrado Em cada estado s agente recebe uma Recompensa R(s):

R(s) = -0.04 para todos estados não terminais Dois estados finais R(s) = +1 ou R(s) = -1

Por enquanto, utilidade pode ser dada pela soma das recompensas recebidas!

1 2 43

3

2

1 INÍCIO

-1

+1

0.8

0.1 0.1

Processo de Decisão de Markov (PDM)Especificação de um problema de decisão seqüencial em um ambiente

totalmente observável com um modelo de transição de Markov e recompensas aditivas

Definido pelos seguintes componentes: Estado Inicial: S0

Modelo de Transição: T(s,a,s’) Probabilidade de chegar a s’ como resultado da execução da ação a no estado s

Função de Recompensa: R(s) Utilidade a curto prazo do estado s para o agente

Hipótese de transições Markovianas: Próximo estado depende apenas da ação atual e do estado atual, não

dependendo de estados passados

Como são as soluções desse problema? Uma solução deve especificar o que o agente deve fazer em qualquer

estados em que possa chegar Seqüência fixa de ações não o resolvem:

Ações não confiáveis não geram estados deterministicamente Solução: construir uma Política (Policy):

(s) = ação recomendada para estado s Assim, o agente sabe como atuar em qualquer estado

Utilidade esperada de uma política é dada pelas seqüências de ações que ela pode gerar

Política Ótima *: Política que produz a mais alta utilidade

esperada

1 2 43

3

2

1

-1

+1

Solução 1: Algoritmo Value Iteration

Idéia: calcular a utilidade dos estados e utilizá-las para escolher uma ação ótima

Utilidade de cada estado definida em termos da utilidade das seqüências de ações que podem se seguir a partir dele R(s): recompensa a “curto prazo” por se estar em s U(s): recompensa total a “longo prazo” a partir de s

Utilidade de um estado é dada pela recompensa imediata para aquele estado mais a utilidade esperada descontada do próximo estado, assumindo que o agente escolhe a ação ótima

Utilidade de um estado é dado pela equação de Bellman: U(s) = R(s) + maxa s

’ T(s,a,s’) U(s’)

Algoritmo Value Iteration

Exemplo: U(1,1) = -0.04 + max {

0.8 U(1,2) + 0.1 U(2,1) + 0.1 U(1,1), (Up)0.9 U(1,1) + 0,1 U(2,1), (Left)0.9 U(1,1) + 0.1 U(2,1), (Down)0.8 U(2,1) + 0.1 U(1,2) + 0.1 U(1,1) } (Right)

Equações de Bellman são a base do algoritmo Value Iteration para resolver PDMs

U(s) = R(s) + maxa ∑s’ T(s,a,s’).U(s’)

Algoritmo Value Iteration

Algoritmo:1. Inicializar utilidades com valores arbitrários (ex.: 0)

2. Calcular o lado direito da equação para cada estado

3. Atualizar valor da utilidade de cada estado

4. Continuar até atingir um equilíbrio

1 2 43

3

2

1

0.812

0.762

0.705

0.812 0.918

0.660 -1

+1

0.655 0.611 0.388

Value Iteration Applet: http://www.cs.ubc.ca/~poole/demos/mdp/vi.html

Algoritmo Policy Iteration

Idéia: se uma ação é claramente melhor que outras, então a magnitude exata da utilidade de cada estado não necessita ser precisa

Alterna entre dois passos, iniciando a partir de uma política inicial 0

qualquer: Avaliação da Política: dada política i , calcular Ui = U i

Melhora da Política: calcular nova política i+1 , baseado em Ui

Algoritmo Policy Iteration

Algoritmo:

Enquanto não (mudouPolítica)

Para cada estado s

se ( maxa s’ T(s,a,s’) U[s’] ) > ( s’ T(s, i(s),s’) U[s’])

então

[s] = argmaxa s’ T(s,a,s’) U[s’]

mudouPolítica = true;

Algoritmo encerra quando passo Melhora da Política não produz nenhuma mudança nas utilidades

Algoritmo Policy Iteration

Mais simples para Avaliar a Utilidade de um estado: Policy Iteration:

Ui(s) = R(s) + s’ T(s, i(s), s’) Ui(s’)

Value Iteration:

U(s) = R(s) + maxa s’ T(s,a,s’) U(s’)

Exemplo: Ui (1,1) = 0.8 Ui(1,2) + 0.1 Ui(1,1) + 0.1 Ui(2,1)

1 2 43

3

2

1

-1

+1

Referência Bibliográfica

AIMA, Stuart Russel Cap. 16 e Cap. 17