adição de pólos e zeros ao lgr o contorno das raízes o lgr de um sistema de segunda ordem...
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• Adição de pólos e zeros ao LGR • O Contorno das raízes• O LGR de um sistema de segunda ordem variando razão de amortização• Projecto de Controladores pelo metodo do LGR
Aula Teorica 8
LUGAR GEOMETRICO DAS RAIZES
Efeitos de adicionar pólos e zeros ao GH
Em aulas posteriores aprenderemos a desenhar controladores usando o LGR e esse é um problema de modificar o lugar com adição de pólos e zeros por isso na aula de hoje veremos estes efeitos
A adição de pólos
(Explicaremos através de um exemplo)
Considere a função
0 )(
)(
aaSS
KsGH
LGR
Se agora introduzir um polo aondebs ab
))(()(
bSaSSKsGH
Mudanças que se produzem:
O ângulo das assíntotas troca de até o90 o60
A intercessão das assíntotas se move desde até sobre o eixo real2a
2
)( ba
Observe que
O sistema antes era estável para qualquer valor de K
Agora há um valor crítico de K que pode fazê-lo instável
Se agora introduzir um polo aondecs bc
))()((
)(cSbSaSS
KsGH
O ângulo das assíntotas troca até o45
Concluindo
A adição de pólos ao GH(s) tem o efeito de mover a porção dominante do LGR para a direita
A adição de zeros
(Explicaremos através de um exemplo)
Se sobre o mesmo sistema anterior colocamos agora um zero em bs ab
)()()(aSSbSKsGH
As partes conjugadas do LGR se movem para as esquerda e formam um círculo
Se se colocarem um par de ceros complexos
Muito útil para desenhar PID
Concluindo
A adição de zeros ao GH(s) tem o efeito de mover a porção dominante do LGR para a esquerda
variante 1 2 3 4 5 6
b 10 8 6 4 2 1
)()1()( 2 bSS
SKsGH
12 3 4 5 6
efeito de mover um pólo
variante 1 2 3 4 * *
a 5 2 0.5 0.2 * *
)1()()( 2
SSaSKsGH
1234
efeito de mover um zero
Contorno das raízes
Até agora so vimos o LGR variando um parâmetro somente
No desenho de controladores muitas vezes terá que se analisar a variaçãode mais de um parâmetro
Isso se chama Contorno das Raízes
Suponha uma equação característica P e Q são polinômios
K1 e K2 são parâmetros variáveis entre zero e infinito
Primeiro faz um dos dois parâmetros zero K2=0
O procedimento é
Dividindo tudo por P
Logo traça o LGR variando K1(0→α) e estabelece dentro do lugar o valor que deseja que tenha K1
Depois restaura o valor de K2 enquanto considera que K1 está fixo traça o LGR variando K2 (0→α)
(Explicaremos através de um exemplo)
Considere que a equação característica de um sistema é:
Considere primeiro que K2 é zero e ficará
onde K1 e K2 são os parâmetros variáveis
Suponha que escolhe um valor de K1
A equação é agora
K1 é o valor que escolhemos (é um número)
A seguir mostraremos o LGR e o CR com várias seleções de K1
1 2 311
3
22)(
KSKSSKsGH
25.01 K 11 K 31 K
1
2
3
12
3
Assim o pode ver mais claro se o obtiver no MATLAB
Um sistema de segunda ordem típica como este tem dois parâmetros que podem variar
Wn
Analisemos a variação das raízes quando varia
0)2(
12
WnSS
Wn
Arrumando para ter a forma 0)()(1 SPsQ
O LGR de um sistema de segunda ordem variando razão de amortização
021
02
0)2(
0)2(
)2(
0)2(
1
22
22
2
2
2
WnSWnS
WnWnSS
WnWnSS
WnSSWnWnSS
WnSSWn
Esta é a equação com que faremos o LGR com
variando entre zero e infinito
021 22
WnS
WnS
zero 0S
polosjWnS jWnS
LGR sobre o eixo real
Número de ramos
Numero de assíntotas
2
P-Z=1 em 180o
Ponto de chegada ao eixo real
04
22
4224
42)()2(2
2
12
021
22
32
22
322
22
22
22
22
22
SWnWnWnSSWn
WnWnSWnSSWn
WnWnSSWnSdSd
WnSWnS
WnSWnS
WnSWnS
WnSWnSWnSWn
WnWnS
23
32
22
022
LGR com variando entre zero e infinito
Quanto vale aqui?
Substituindo o valor de S na equação de
12
22
WnSWnS
WnS
Uma raiz complexa qualquer se pode representar assim sobre o lugar
21 jWnWnP
1cos
Este conteúdo é útil no desenho de controladores que posteriormente veremos
Concluindo
Nunca faremos estes traços à mãos, aprenderemos a fazê-lo noMATLAB
Intervalo
Recordar que
Suponha
graficamente
Quando desejamos modificar o desempenho transitivo do sistema, as raízes da equação
característica devem trocar portanto terá que modificar o LGR para que passe pelo ponto
indicado conforme sejam as especificações
Quando desejamos modificar o desempenho em estado estável, so utilizaremos o ganho do
controlador sem variar muito o LGR
Observações importantes
Só coloca um zero no LGR
Projetar um PD é colocar adequadamente um zero
Estabelecimento
≥2.17
2.40z
1)29.54tan(
1.95z
)29.54tan(1
95.1
29.541
95.1tan
180)71.125(1
95.1 tan
1808025.2
9.3tan1
95.1 tan
180)95.11(95.11
180)()(2
180)(
1-
1-
1-1-
2
95.11
295.11
95.112
95.11
z
z
z
z
jzj
szss
zsK
sGH
jjj
oj
Aplicando a condição de fase
)41.2( sKcGcQue valor tomará Kc?
Aplicando a condição de magnitude
1
19.38025.2
95.140.12
1)95.11(
40.295.112
12
1)(2
22
22
2
2
2
95.11
95.11
95.11
Kc
Kc
jjKc
s
zsKc
szsKc
j
j
j
)41.2( sGc
Agora
Como fazer isto com o Matlab?
G=tf(2,[1 0 0])
pd=-1+1.95*j
angcero=pi+angle(pd^2)
zero=imag(pd)/tan(angcero)-real(pd)
G1=tf(2*[1 zero],[1 0 0])
rlocus(G1)
para achar o zero
para achar Kd
)41.2( sGc
)(KdKpsKdGc
41.21*41.2
2.41
KpKpKdKp
Verificando se se satisfazem os requisitos
Não satisfaz
Kd=1
Lc=feedback(Kd*G1,1)
step(Lc)
Aumentando Kc a um valor ligeiramente maior que 2.5 se obtêm os requisitos
3Kc
Coloca um pólo na origem
e um zero em
KpKiS
Sobre a origem não temos alternativas portanto o projeto se apóia em se localizar o zero
Para que o estado transitório não se afete muito os pólos de laço fechado dominantes devem
manter-se
Tenha em conta que:
Quais são?
222
)2(21
)2(2
)()(
2
SS
SS
SSsRsCDevido a que
jP 12,1DEVEM
MANTER-SE
Este é o LGR do sistema antes de pôr o PI
)2()(2)( 2
SSzSKcsGHAgora
O pólo do sistema está em - 2 portanto uma primeira aproximação pode ser colocar o zero do
controlador em -0.2
)2()2.0(2)( 2
SSSKcsGH
LGR antes
LGR agora
Não passa por -1+j portanto se o
deixarmos assim o
comportamento transitório pode
variar com respeito ao anterior
Uma segunda aproximação pode ser colocar o zero do controlador em -0.1
)2()1.0(2)( 2
SSSKcsGHAgora
LGR antes LGR agora
Não se consegue acontecer exatamente por -1+j mas pode aceitar-se essa aproximação -
0.95+0.95jou continuar afastando
o zero
SSsGc )1.0()(
Ess=0
Resposta a entrada rampa
Resposta a entrada rampa
agora
antes
resposta ao degrau unitário
antes
agora
Se o mas importante era
o zero erro em regime
esta variação não é importante
Coloca um pólo na origem e dois zeros
Não é a única
)1()()( 2
2
SS
asKcsGH
8.0
180)1()(
180)(
312
2
31
z
sszsK
sGH
j
oj
37.2
1)1()(
1)(
312
2
31
Kc
sszsK
sGH
js
js
ssssGc )8.0)(8.0(37.2)(
Em próxima atividade continuaremos com este tema mas em aula prática.
Tragam os vossos computadores com MATLAB instalado