ad1

Universidade do Sul de Santa Catarina

Avaliação a distância 1 (AD1)

Esta avaliação contempla conteúdos das Unidades 1 e 2.

Disciplina: Tópicos de Matemática Elementar II

Curso: Matemática

Professor: JOSE HUMBERTO DIAS DE TOLEDO

Nome do aluno: Wellington Junio de Paula

Código acadêmico:436928 Data: 22\02\2013

Questão 1: Determine o número de anagramas da palavra UNISUL. (Valor da questão: 1,5)

Possui 360 anagramas.

Questão 2: Em uma sala de aula temos um total de 28 alunos sendo: 18 homens e 10 mulheres. Precisamos escolher 6 nomes para formar uma comissão que vai representar a turma no conselho de classe. Sugerimos escolher o nome de 3 homens e 3 mulheres. Pergunta-se: de quantas maneiras podem ser montados esta comissão? (Valor da questão: 1,5)

C18,3: Para o número de maneiras de escolher os homens que formarão a comissão.C10,3: Para o número de maneiras de escolher as mulheres que formarão a comissão.C18,3.C10,3: Para o número de maneiras que esta comissão pode ser montada.

Esta comissão pode ser montada de 97920 manieras.

Questão 3: Desenvolva a expressão ( )52 4xyx − . Obs: Você pode usar um recurso computacional. (Valor da questão: 1,5)

26

6! 3602!

P = =

18!18, 3 8163!(18 3)!

10!10, 3 1203!(10 3)!

18, 3. 10, 3 816.120 97920

C

C

C C

= =−

= =−

= =


Questão 4: Determine o 3º termo no desenvolvimento de 62 )( yx + , considerando as potências de decrescentes de x. (Valor da questão: 1,5)

Questão 5: Resolver a equação: CC xx 2,13,2.3.2

++= (Valor da questão: 1,5).

( ) ( ) ( )( ) ( )

5

6 5 4 4

10 9 9 8 7 7

6 5 7 6 4 7 6 5 5

10 9 8 7

² 4 ² 4 ³. ² 4 ²

4 8 ³ 48 ² 64 ³ ³ . 8 ³ 16 ² ²

8 16 ² ² 49 32 ² 64 ³ 864 ² 128 ³ 48 8 ² 384 ³ 768 64 ³ 512 ³ 1024

12 16 ² ² 80 ² 166

x xy x xy x xy

x x y x y x y x y x x y x y

x x y x y x y x y x y x yx y x y x y x y x y x y x y x y

x x y x y x y x

− = − −

− − + − − + =

= − + − + − − ++ − + − + − + − == − + + − 7 6 5 6 4

6 5 5

³ 8 64 ² 128 ³ 768512 ³ 1024

y x y x y x y x yx y x y

− + − + +

+ −

4 4 4 46. 15

2

6 6! 6! 6.5.4.3.2.1 152 2!(6 2)! 2!(4)! 2.4.3.2.1

y x y x

=

= = = = −

( 2)! ( 1)!2. 3.3!( 2 3)! 2!( 1 2)!( 2)! ( 1)!2. 3.

3!( 1)! 2!( 1)!( 2).( 1). .( 1)! ( 1). .( 1)!2. 3.

3!( 1)! 2!( 1)!( 2).( ² ) ( ² )2. 3.

3! 2!³ ² 2 ² 2 3 ² 3

3 22 ³ 6 ² 4 9 ² 92 ³ 3 ² 5

x xx x

x xx x

x x x x x x xx x

x x x x x

x x x x x x

x x x x xx x x

+ +=+ − + −

+ +=− −

+ + − + −=− −

+ + +=

+ + + +=

+ + = +− − 0

(2 ² 3 5) 02 ² 3 5 0

493 7 5' ; '' 1

4 250, 1,2

x x xx x

x x x

S

=− − =

− − =∆ =

±= ↔ = = −

= −


Questão 6: Na unidade 1 e 2 do EVA você tem os ícones: destaque e colecione. Em cada um deles você vai encontrar alguns textos interessantes sobre análise combinatória, totalizando 4 textos. Leia cada um deles e a partir disto escolha um para desenvolver uma aula que possa ser utilizada no ensino médio. Seja bem criativo e mostre o passo a passo da sua aula, que deve ser viabilizada para 50 minutos.

(Valor da questão: 1,5)

1. Dados da Aula

O que o aluno poderá aprender com esta aula

• Desenvolver vocabulários relacionados à probabilidade; • Contextualizar probabilidade e análise combinatória; • Desenvolver o raciocínio combinatório, analisando quais e quantas são as possibilidades de algo

ocorrer e resolver situações-problema que envolvam a ideia de possibilidade; • Desenvolver o raciocínio de chance e de sua medida (probabilidade) e resolver situações-

problema que envolvam o conceito de probabilidade; • Interpretar razões, inclusive porcentagens, como medidas de probabilidade.

1. Duração das atividades

50 minutos

2. Conhecimentos prévios trabalhados pelo professor com o aluno

Razão e porcentagem.

3. Estratégias e recursos da aula

Iniciar a aula com uma corrida de cavalos

Dividir os alunos em grupos de 4 a 5 componentes. Cada grupo receberá uma folha (modelo abaixo) onde ocorrerá a corrida e dois dados (com faces de 1 a 6). Estabelecer um responsável para registrar o desempenho dos cavalos e outro para jogar os dados. Os participantes deverão ser avisados que os dados serão lançados e a soma destes indicará qual cavalo avançará na pista. Cada apostador/aluno terá o direito de escolher dois cavalos (para apostar cada participante recebe um papel/cédula para escrever o número dos cavalos e o porquê da escolha destes). Recolher as apostas. Ganhará o jogo quem escolher o cavalo cujo número for sorteado mais vezes.


Após o jogo, comparar os resultados dos diferentes grupos, registrando no quadro/lousa os três cavalos melhores colocados em cada grupo. Perguntar o que observaram.

Muitos alunos escolhem os cavalos 1 e 13 ignorando completamente as possibilidades dos dados, deixando apenas critérios subjetivos interferirem na escolha sobre o melhor cavalo.


Demonstrar a probabilidade (buscar em um dicionário o significado da palavra) que cada cavalo tinha de ser sorteado em cada lançamento de dois dados.

Cavalo 1 - nunca;

Cavalo 2 - uma chance (1+1);

Cavalo 3 - duas chances (1+2) e (2+1);

Cavalo 4 - três chances (1+3), (3+1) e (2+2);

Cavalo 5- quatro chances (1+4), (4+1), (2+3) e (3+2);

Cavalo 6- cinco chances (1+5), (5+1), (2+4), (4+2) e (3+3);

Cavalo 7- seis chances (1+6), (6+1), (2+5), (5+2), (3+4) e (4+3);

Cavalo 8- cinco chaces (2+6), (6+2), (3+5), (5+3) e (4+4);

Cavalo 9- quatro chances (3+6), (6+3), (4+5) e (5+4);

Cavalo 10 - três chances (4+6), (6+4) e (5+5);

Cavalo 11- duas chances (5+6) e (6+5);

Cavalo 12- uma chance (6+6);

Cavalo 13 - nunca.

Professor, peça aos alunos que escrevam a razão entre o número de chances de cada cavalo e o número total de possibilidades (36).

Note que o cavalo sete é o que possui a maior chance: 6/36 que equivale a 0,1666... ou 16,66%.

É importante observar que ao dividir as razões os valores obtidos estão situados entre 0 e 1. Por quê? (Em recursos complementares há um vídeo que aborda a questão).

Pode-se definir probabilidade como:

Medida da chance de ocorrência expressa como um número entre 0 e 1, onde 0 é a impossibilidade e 1 é a certeza absoluta.

Proponha aos alunos que calculem a chance, em porcentagem, de cada cavalo ser sorteado em cada lançamento de dois dados.

Comparar os resultados obtidos na corrida de cavalos com os obtidos no cálculo do percentual de chance de cada um. Se a brincadeira fosse novamente proposta, em quais cavalos apostariam agora?

Professor proponha um exercício para que seus alunos possam praticar um pouco. Em duplas, peça para que eles lancem uma moeda para o alto e anotem em uma tabela o números de jogadas, de caras e de coroas depois de jogadas 10, 20, 30 e 50 vezes. Em seguida, peça para que eles encontrem a razão entre o número de caras/coroas obtido e o número de lançamentos feitos e também o percentual de cada um.

Qual é o número de caras esperado, caso a moeda seja jogada 100 vezes?


Se em muitos lançamentos de uma moeda a frequência de caras observadas se aproxima de ½ então dizemos que a probabilidade da saída de cara num próximo lançamento será de ½ ou 50%.

Professor proponha as atividades abaixo para que seus alunos possam aplicar os conhecimentos abordados:

Atividade 1:

Numa feira costuma-se realizar um jogo no qual sempre se ganha um prêmio. Roda-se 3 vezes uma roleta numerada de 1 a 4 e somam-se os pontos obtidos. O prêmio é dado segundo o total obtido.

a) Os melhores prêmios são dados a quem obtém o total 1, 2, 3 ou 12. Você saberia dizer por quê?

b) A chance de se obter 10 pontos é maior do que a de se obter 8 pontos? Justifique.

Questão 7: Pesquise na internet ou em livros de história da matemática, um pouco sobre a história da contagem e da análise combinatória. O texto do STOMACHION do ícone colecione da unidade 1, já é um bom começo de pesquisa, use-o como parte integrante do seu texto que deve ter no mínimo 300 palavras. Não se esqueça de indicar as referências de sua pesquisa. Use fonte Time News Roman, tamanho 12, com espaçamento 1,5.

(Valor da questão: 1,0)

Resposta:

Entre os primeiros problemas estudados e ligados à Análise Combinatória está o

desenvolvimento do binômio (1+x)n, o caso n=2 já pode ser encontrado nos Elementos

de Euclides, em torno de 300 a.C, sequentemente o triângulo de Pascal era conhecido

por Chu Shih-Chieh, na China, (em torno de 1300) e antes disso pelos hindus e árabes.

O matemático hindu Báskara (1114-1185?), conhecido geralmente pela "fórmula de

Báskara" para a solução de equações do 2º grau, sabia calcular o número de

permutações, de combinações e de arranjos de n objetos. O mesmo aconteceu com o

matemático e filósofo religioso francês Levi ben Gerson (1288-1344), que nasceu e

trabalhou no sul da França, e que entre outras coisas, tentou demonstrar o 5º Postulado

de Euclides.

A Análise combinatória tem tido um crescimento explosivo nas últimas décadas. A

importância de problemas de enumeração tem crescido enormemente, devido a

necessidades em teoria dos grafos, em análise de algorítmos, etc. Muitos problemas

importantes podem ser modelados matematicamente como problemas de teoria dos

grafos (problemas de pesquisa operacional, de armazenamento de informações em

bancos de dados nos computadores, e também problemas de matemática "pura", como o


famoso problema das 4 cores).

Outra teoria importante de combinatória foi criada pelo lógico inglês F. P. Ramsey

(1903-1930); ela garante a existência de certas configurações. Um dos exemplos mais

simples do chamado teorema de Ramsey afirma que se tivermos no plano um conjunto

de n pontos, com n>= 6, tais que nenhum subconjunto com três pontos é colinear, então,

se unirmos todos os pontos dois a dois, usando duas cores distintas, por exemplo preto e

branco, para traçar os segmentos de reta que unirão os pontos, então forçosamente

teremos formado um triângulo cujos lados são todos da mesma cor (preto ou branco).

Diz-se geralmente que a Teoria das Probabilidades originou-se com Blaise Pascal

(1623-1662) e Pierre de Fermat (1601-1665), devido à curiosidade de um cavalheiro, o

Chevalier de Méré, jogador apaixonado, que em cartas discutiu com Pascal problemas

relativos à probabilidade de ganhar em certos jogos de cartas. Despertando seu interesse

pelo assunto, Pascal correspondeu-se com Fermat sobre o que hoje chamaríamos de

probabilidades finitas.

Exemplo: Galileu (1564 - 1642) estudou os jogos de dados, para responder à pergunta

de um amigo: Com três dados, o número 9 e o número 10 podem ser obtidos de seis

maneiras distintas, cada um deles. No entanto, a experiência mostra que 10 é obtido

mais freqüentemente do que 9. Como explicar isso? Galileu estudou cuidadosamente as

probabilidades envolvidas e mostrou, corretamente que, de 216 casos possíveis, 27 são

favoráveis ao aparecimento do número 10 e 25 são favoráveis ao aparecimento do

número 9. A Análise Combinatória visa desenvolver métodos que permitam contar - de

uma forma indireta - o número de elementos de um conjunto, estando esses elementos

agrupados sob certas condições.

Como se não bastasse ter sido o descobridor de leis da física, inventor de engenhocas

para facilitar a vida humana e um dos maiores matemáticos de todos os tempos,

Arquimedes (287-212 a.C.) agora é apontado também como o possível inventor de um

dos passatempos mais antigos do mundo.

De todos os seus feitos, o que levou mais fama foi a descoberta do empuxo. Conta-se

que, enquanto tomava banho de banheira, o grego se deu conta de que o volume de seu

corpo imerso deslocava para cima um volume de água de igual valor. Além disso, seu

corpo imerso sofria a ação de uma força vertical, para cima - o empuxo -, de valor

exatamente igual ao peso da água que era deslocada pelo seu corpo. Entusiasmado com

a descoberta o gênio teria saído nu às ruas gritando "Eureca!" (descobri, em grego),


palavra que inspirou esta seção de GALILEU.

Arquimedes também deixou para a humanidade os benefícios do parafuso, das

roldanas, das alavancas e invenções de ataque e defesa militares, como a catapulta.

Como matemático, o grego é famoso pelos seus trabalhos e descobertas na geometria,

como o cálculo do número "pi" e a medição de áreas de figuras geométricas.

Só que agora, investigando velhos pergaminhos e manuscritos, o historiador de

matemática Reviel Netz, da Universidade de Stanford, na Califórnia, afirma que

Arquimedes foi também pioneiro em análise combinatória, área que só ganhou mais

incentivo e aplicação com os computadores, no século 20. Os matemáticos desse ramo

procuram determinar de quantas maneiras um problema pode ser resolvido. E esses

estudos podem ser aplicados na busca do melhor jeito de se realizar uma tarefa.

Fazemos algo parecido, por exemplo, quando temos convidados para jantar e queremos

saber de quantas formas eles podem ser distribuídos à mesa, e qual a melhor

distribuição de pessoas nas cadeiras (quem ao lado de quem).

Os pergaminhos, depois de passar pelas mãos de vários povos da Idade Média,

desaparecer várias vezes, ir parar em mosteiros em que monges os utilizaram para

escrever orações, sumir de novo e sofrer a ação de mofos, foram reencontrados e

analisados nos últimos anos por cientistas, matemáticos e especialistas em grego. Com o

auxílio de raios ultravioleta e de programas de computador para separar o que seria

original (transcrição do trabalho de Arquimedes) de ruídos (orações escritas, mofos

etc.), a equipe liderada por Netz chegou à conclusão que o grego deixou um trabalho

inédito sobre um passatempo da Antiguidade: o stomachion.

O trabalho descreve um quebra-cabeça que consiste em um quadrado fracionado em 14

partes. O objetivo do jogo é, depois de embaralhados, juntar esses 14 pedaços para

formar novamente o quadrado ou ainda outras figuras conhecidas. O stomachion é

parecido com o Tangram, mais difundido hoje, o desafio chinês de 7 peças.

Os especialistas não compreendiam como um gênio como Arquimedes poderia ter

perdido seu tempo com um trabalho sobre um brinquedo desses para crianças. Mas

analisando os manuscritos e o passatempo, concluíram que o grego havia escrito um

tratado para tentar solucionar o seguinte problema: de quantas maneiras as peças podem

ser arranjadas para formar o quadrado. Hoje, essa é uma questão para os especialistas


em análise combinatória responderem. E eles podem recorrer à ajuda de computadores.

Netz propôs o problema para matemáticos atuais da área de combinatória e eles, depois

de seis semanas, concluíram que a resposta é 17.152.

Na verdade, não se sabe se Arquimedes inventou o brinquedo nem sequer se chegou à

resposta correta do número de arranjos possíveis para a formação do quadrado. Mas na

opinião de Netz, o grego teria pelo menos proposto uma solução. E isso há 2.200 anos,

enquanto descobria leis da natureza, relações geométricas e inventava máquinas. Ele só

não se preocupou em proteger sua própria vida. Conta-se que, absorto em seus estudos,

foi morto por um soldado romano durante a invasão de sua cidade, enquanto estudava e

escrevia equações matemáticas nas areias da praia de Siracusa, na atual Sicília.

Arquimedes teria se recusado a parar de estudar durante o cerco.

http://cesariof.net63.net/matematicos/hist_combinatoria.htm

ad1

Documents