Fundacao Centro de Ciencias e Educacao Superior a Distancia do Estado do Rio de JaneiroCentro de Educacao Superior a Distancia do Estado do Rio de Janeiro

Geometria Plana – AD1 – Gabarito – 2012.1

Questao 1: [1,5 pts] Em um angulo AOB e dada sua bissetriz OM e uma semirreta OS, partindo

do vertice O e exterior ao mesmo. Mostre que o angulo SOM formado pela semirreta com a bissetrize igual a semissoma dos angulos SOA e SOB.

Solucao: Seja o angulo AOB e sua bissetriz OM e uma semirreta−→OS, partindo do vertice O e

exterior ao mesmo.

O A

B

M

SAOM = BOM , definicao de bissetriz.

Temos:

SOM = SOA− AOM (1)

e SOM = SOB +BOM (2)

Somando (1) e (2) vem:

2 · SOM = SOA+ SOB − AOM +BOM ,

mas BOM = AOM .

Logo

2 · SOM = SOA+ SOB ⇒ SOM =SOA+ SOB

2

Questao 2: [1,4 pts] Determine o angulo que excede a quinta parte do seu complemento de 54◦.Solucao: Seja x a medida do angulo.

O complemento de x e 90◦ − x e a quinta parte do seu complemento e90◦ − x

5.

Entao x =90◦ − x

5+ 54◦ ⇒ 5x = 90◦ − x+ 270◦ ⇒ 6x = 360◦ ⇒ x = 60◦.

Questao 3: [1,4 pts] Na figura abaixo, a medida de AD e igual a medida de BD. Determine asmedidas dos angulos x, y e z.

70

100o

oz x

y

A

B

D C

Geometria Plana – Gabarito AD1 2

Solucao: Considere a figura dada, tal que AD = BD:

70

100o

oz x

yz

A

B

D C

Temos 100◦ + x = 180◦ (angulo raso), entao x = 80◦.

Observe que 100◦ e angulo externo do triangulo BCD, entao

100◦ = y + 70◦, logo y = 30◦.

Como ∆ADB e isosceles de base AB, entao DAB = DBA = z,

temos 100◦ + 2z = 180◦ ⇒ 2z = 80◦. Portanto z = 40◦.

Questao 4: [1,5 pts] Tres semirretas−→OA,

−−→OB e

−→OC partem de uma mesma origem formando tres

angulos iguais que recobrem todo o plano. Marca-se sobre cada uma delas tres segmentos iguais,OA,OB e OC.

a) Mostre que o triangulo ABC e equilatero.

b) Verifique que as semirretas−→AO,

−−→BO e

−→CO contem as bissetrizes, alturas e medianas deste

triangulo.

Solucao: Considere a figura conforme enunciado.

A

B

O

C

Os triangulos AOB, AOC e BOC sao iguais (congruentes) pelo caso LAL, pois

AOB = AOC = BOC e AO = OB = OC

PortantoAB = BC = CA (1)

Alem disso,os triangulos AOB, AOC e BOC, sao isosceles, logo

OBA = OBC, OAB = OAC e OCA = OCB (2)

a) De (1) temos que o triangulo ABC e equilatero.

Fundacao CECIERJ Consorcio CEDERJ

Geometria Plana – Gabarito AD1 3

b) Sejam M,N e P , respectivamente, os pontos de intersecao das semirretas−→AO,

−−→BO e

−→CO com

os lados BC,AC e AB do triangulo ABC.

A

B

O

C

M

N

P

De (2), concluimos que os segmentos AM, BN e CP sao bissetrizes do triangulo ABC.Como o triangulo ABC e equilatero e AM, BN e CP sao suas bissetrizes, temos que AM, BN eCP sao medianas e alturas desse triangulo.

Questao 5: [1,5 pts] Dada a figura abaixo, determine o valor de x, em funcao de a, b, e c.

xc

b

a

Solucao: Seja a figura dada:

xc

b

a

A

BD C

E

Observe que DBA e angulo externo do triangulo ABC,

entao DBA = a+ b.

De maneira analoga, c e angulo externo do ∆DBE.

Entao c = DBE + x = DBA+ x = a+ b+ x.

Portanto x = c− a− b.

Questao 6: [1,4 pts] As bissetrizes externas de um triangulo ABC formam um triangulo DEF .

a) Calcule os angulos D, E e F em funcao de A, B e C.

b) Tracam-se as bissetrizes internas do triangulo ABC. Mostre que as mesmas passam pelosvertices D, E e F .

Fundacao CECIERJ Consorcio CEDERJ

Geometria Plana – Gabarito AD1 4

Solucao:a) Conforme o enunciado, seja a figura ao lado.

A

B

C

D

E

F

xx

y

y

Utilizando a seguinte notacao:

BAC = A, ABC = B e BCA = C.

Considere EBA = x e EAB = y, temos que:

2x+ B = 180◦, entao x =180◦ − B

2= 90◦ − B

2

e

2y + A = 180◦, entao y =180◦ − A

2= 90◦ − A

2.

Como no ∆EBA, temos que E + x+ y = 180◦, entao:

E = 180◦ −

(90◦ − B

2+ 90◦ − A

2

)=

B + A

2= 90◦ − C

2⇒ E = 90◦ − C

2

De maneira analoga temos: D = 90◦ − B

2e F = 90◦ − A

2.

b) Considere a figura, onde I e o ponto de intersecao das bissetrizes internas

A

B

C

D

E

F

R

S

P

I

do ∆ABC. Trace as perpendiculares DS,DR e DP as retas

←→AB,←→AC e

←→BC, respectivamente.

Temos que:

DS = DR e DR = DP ⇒ DS = DP

pois−−→AD e bissetriz externa, bem como

−−→FD.

Como DS = DP ,

portanto o ponto D pertence a bissetriz do angulo B,

ja que ∆SDB ≡ ∆SDP .

De maneira analoga prova-se para os vertices E e F .

Fundacao CECIERJ Consorcio CEDERJ

Geometria Plana – Gabarito AD1 5

Questao 7: [1,2 pts] Classifique como verdadeiro (V) ou falso (F) cada uma das afirmacoes abaixo.

a) Os angulos agudos de um triangulo retangulo sao suplementares.

b) Se a medida, em graus, de um angulo e x, entao o seu suplemento mede, em graus, 180◦− x.

c) Qualquer triangulo isosceles tem todos os seus angulos agudos.

d) Se a medida, em graus, de um angulo e x, entao o seu complemento mede, em graus, 90◦+x.

Solucao:a) Falso, um triangulo retangulo ABC, possui um angulo reto, por exemplo A = 90◦, e dois angulos

agudos, B e C, temos que os angulos agudos sao complementares, pois A + B + C = 180◦ ⇒90◦ + B + C = 180◦ ⇒ B + C = 90◦.

b) Verdadeiro, o suplemento de x e 180◦ − x.

c) Falso, tome o triangulo ABC isosceles de base BC, tal que A = 140◦, angulo obtuso. Entao

B = C = 20◦, pois A+ B + C = 140◦ + 20◦ + 20◦ = 180◦.

d) Falso, o complemento de x e 90◦ − x.

A B

C

x

180 - ox

140 o

A

B Cx

90 - ox

a) b)

c) d)

Fundacao CECIERJ Consorcio CEDERJ