Experimento 5 - Movimento Circular: Fundamentos TericosConceito de movimento circular uniforme Vamos afirmar que: "Um carro estando com a velocidade escalar constante pode ter acelerao". O que voc acha? Esta afirmativa parece falsa, mas verdadeira. Esta situao acontece quando o carro est se movimentando em uma trajetria circular (fig. 5.1A).

Figura 5.1A - Carro em movimento circular.

Figura 5.1B - Vetores fora centrpeta e acelerao centrpeta.

Neste caso o vetor velocidade varia de direo e sentido no decorrer do tempo, podendo o seu mdulo permanecer constante ou no. Quem provoca esta variao na direo do vetor velocidade? Sabemos que para mudar qualquer caracterstica do vetor velocidade necessria uma fora . Esta fora, denominada fora centrpeta, atua na direo do raio da circunferncia, buscando o centro, imprimindo ao carro uma acelerao na mesma direo e no mesmo sentido denominada acelerao centrpeta (fig. 5.1B). No caso do carro, a fora centrpeta a fora de atrito entre os pneus e a estrada. Se no existisse esta fora, o carro sairia pela tangente em movimento retilneo uniforme (posio 4 da fig. 5.1A). Veja que esta acelerao devida variao direo do vetor velocidade e no da variao do mdulo do vetor velocidade. Conclumos que a nossa afirmativa inicial verdadeira, isto , o carro pode estar com velocidade escalar constante e possuir uma acelerao (acelerao centrpeta), quando sua trajetria circular. Movimento circular uniforme: Quando a trajetria circular e a velocidade constante em mdulo. Da fig. 5.1A, o carro estando em movimento circular uniforme, temos que: V1 = V2 = V3 = V4 (velocidades escalares iguais) V1 V2 V3 V4 (velocidades vetoriais diferentes) Caractersticas do vetor acelerao centrpeta Notao: ac vetor acelerao centrpeta

Direo do vetor acelerao centrpeta: a direo do raio (perpendicular ao vetor V) Sentido do vetor acelerao centrpeta: de fora para dentro da circunferncia (buscando o centro) Mdulo do vetor acelerao centrpeta: ac = V2/R Demonstrao da expresso ac = V2/R

Figura 5.2 (A) - Movimento circular uniforme de uma partcula indo de uma posio A B. VA = VB. (B) - Determinao do vetor diferena V. (C) - Medida do arco S = V t. Os tringulos POQ e ACB so semelhantes porque so issceles, tendo os ngulos dos vrtices iguais. Considerando a medida do arco V t aproximadamente igual medida do arco corda AB, obtemos: (V t) / V = R / V Aproximadamente, temos: V / t = V2 / R Esta relao ser mais exata quanto menor for t, porque o arco tende para a corda e vice-versa. Considerando t 0, no limite obtemos: ac = V2/R (5.1) mdulo do vetor acelerao centrpeta Observao: Quando a velocidade escalar varia no decorrer do tempo, o movimento circular no mais uniforme e o movimento tem, alm da acelerao centrpeta, uma acelerao tangencial.

Aplicao numrica 5.1 Vamos determinar o valor da acelerao centrpeta, sabendo que o carro faz a trajetria circular com uma velocidade escalar constante igual 20,0 m/s e o raio da trajetria igual a 100 m. Dados: V = 20,0 m/s e R = 100 m

De (5.1) temos que: ac = V2/R Substituindo os valores de V e R, obtemos: ac = 20,02/100 = 400/100 ac = 4,0 m/s2 Conceito de velocidade angular A posio de um ponto em uma trajetria circular pode ser determinada por um espao linear (arco) ou por um espao angular (ngulo). Quando o carro vai da posio A para a posio B, ele percorre um arco S e, simultaneamente, "varre" um ngulo (fig. 5.3).

Figura 5.3 - ngulo descrito e arco percorrido em um intervalo de tempo ( t), quando o carro vai da posio A para B. Velocidade angular o ngulo ( Notao: Expresso: =( ) / ( t) (5.2) velocidade angular onde (ngulo descrito) medido em radianos. 1 rad/s velocidade angular. ) percorrido em um intervalo de tempo ( t).

Unidade da velocidade angular (Sistema Internacional)

Relao entre a velocidade escalar e a velocidade angular

Voc sabe que a medida de um ngulo pode ser em graus ou radianos.

Figura 5.4 - Medida de um ngulo em radianos. Para medir um ngulo em radianos (rad) basta dividir o arco compreendido entre os lados do ngulo pela medida do raio (fig. 5.4), obtendo: ( ) = ( S) / R Dividindo os dois membros de (5.3) por t, obtemos: ( )/ t = ( S) / (R t) Como = ( ) / ( t) e V = ( S) / ( t), substituindo em (5.4), obtemos: = V/R ou V= .R

(5.3)

(5.4)

(5.5)

relao entre a velocidade escalar e a velocidade angular Observao: para determinar a medida de 1 rad basta considerar a medida do arco compreendido entre os lados do ngulo igual medida do raio (fig. 5.4), obtendo: 1 rad 57,3o

(5.6)

Aplicao numrica 5.2 Um carro com a velocidade escalar constante de 30,0 m/s faz uma trajetria circular de raio 100 m. Determinar a velocidade angular. Dados: V = 30,0 m/s e R = 100 m

De (5.5) temos que: = V/R = 30,0/100 = 0,3 rad / s Relao entre acelerao centrpeta e velocidade angular De (5.1) temos que: ac = V2/R Como V = R (5.6), obtemos: ac =2

R (5.7)

relao entre a acelerao centrpeta e a velocidade angular

Freqncia e Perodo De um modo geral todos ns temos noo do que seja freqncia e perodo. Freqncia seria o nmero de vezes que um fenmeno se repete em um determinado tempo, e perodo o tempo que leva para o fenmeno se repetir. Em linguagem mais especfica para o movimento circular, definiremos: Freqncia: o nmero de voltas que a partcula d por unidade de tempo Notao: f freqncia

Perodo: o tempo que a partcula leva para dar uma volta completa Notao: T perodo

Pelas prprias definies temos que a freqncia o inverso do perodo e viceversa, ou seja:f = 1/T ou T = 1/f

(5.8)

Unidades de medida de freqncia e perodo (SI) Unidade de perodo = unidade de tempo = 1 s Outras unidades: 1 min, 1 h, 1 ms, 1 ano, 1 sculo... Unidade de freqncia = 1/unidade de tempo = 1/s = 1 s-1 = 1 hertz (1 Hz)

Quando no movimento circular se tem uma freqncia de 10 Hz, significa que o mvel faz 10 voltas em cada segundo. Observao: a unidade de freqncia 1rps (1 rotao por segundo), usada na prtica, equivalente a 1 Hz. Relao entre a velocidade angular e a freqncia Vimos que a velocidade angular definida como sendo: =( Quando a partcula d uma volta completa: =2 rad ) / ( t) (5.2)

t = T (perodo) Substituindo em (5.2), obtemos: = (2 Como f = 1/T, substituindo em (5.9): =2 f (5.10) )/T (5.9)

relao entre a velocidade angular e a freqncia

Aplicao numrica 5.3 Determinar o perodo de revoluo, a freqncia e a velocidade angular de um satlite que se desloca numa rbita circular com uma velocidade escalar constante igual 8,0 km/s, ao redor da Terra. Considere o raio da Terra igual a 6370 km. Dados: V = 8,0 km/s e R = 6370 km. = V/R = 8,0 / 6370 = 0,0012 1,2 * 10-3 rad/s De (9) temos que: = (2 T=2 )/T / 2* 3,14 / (1,2 * 10-3)

T 5233 s f = 1/T = 1 / 5233 f 0,19 Hz

Introduo Dizemos que uma partcula est em movimento circular quando suatrajetria uma circunferncia como, por exemplo, a trajetria descrita por uma vlvula do pneu de uma bicicleta em movimento igual a da imagem. Se, alm disso, o valor da velocidade permanecer constante, o movimento denominado circular uniforme. Ento, neste movimento, o vetor velocidade tem mdulo constante, mas a direo deste vetor varia continuamente. A figura abaixo mostra a variao de direo do vetor velocidade em alguns pontos.

O tempo que a partcula gasta para efetuar uma volta completa denominada perodo do movimento e representado por T. O espao percorrido pela partcula, durante um perodo, o comprimento da circunferncia que, vale 2TR ( R o raio da trajetria). Como o movimento uniforme, o valor da velocidade ser dado por: logo, v = 2TR/T

Freqncia do movimento circular suponha que observando a vlvula mostrada na imagem, verificssemos que ela efetua 30 voltas completas em um tempo igual a 10 segundos. A freqncia, F desse movimento , por definio, o quociente entre o nmero de voltas e o tempo gasto para efetua-las. Logo, a freqncia da vlvula ser:

Observe que esse resultado significa que a vlvula efetuou 3.0 voltas em cada 1 seg. A unidade de freqncia,1 volta/seg, denominada 1 hertz, em homenagem ao cientista alemo H.Hertz ( 1857 1894). Portanto, podemos destacar:

O conceito de freqncia pode ser aplicada em outros tipos de movimentos, que no sero discutidos aqui. A freqncia e o perodo de um movimento esto relacionados. Para relacionar F e T, basta perceber que essas grandezas so inversamente proporcionais e, assim podemos estabelecer a seguinte proporo: No tempo T (um perodo) efetuada uma volta Na unidade de tempo sero efetuadas F voltas ( freqncia) Ou, esquematicamente

Portanto, a freqncia igual ao inverso do perodo e reciprocamente. Por exemplo: se o perodo de um movimento circular T = 0,5 s, sua freqncia ser:

Velocidade Angular Consideremos a vlvula do pneu de bicicleta em movimento circular, passando pela posio P1 representada na figura abaixo. Aps um intervalo de tempo (t, a vlvula estar passando pela posio P2. Neste intervalo de tempo (t, o raio que acompanha a vlvula em seu movimento descreve um ngulo (U

A relao entre o ngulo descrito pela vlvula e o intervalo de tempo gasto para descreve-lo denominado velocidade angular da partcula.Representando a velocidade angular por [ temos [ = (U/(t A velocidade definida pela relao V = (d/(t, que j conhecemos, costuma ser denominada velocidade linear, para distingui-la da velocidade angular que acabamos de definir. Observe que as definies de V e [ so semelhantes: a velocidade linear se refere distncia percorrida na unidade de tempo, enquanto a velocidade angular se refere ao ngulo descrito na unidade de tempo. A velocidade angular nos fornece uma informao sobre a rapidez com que a vlvula est girando. De fato, quanto maior for a velocidade angular de um corpo, maior ser o ngulo que ele descreve por unidade de tempo,isto , ele estar girando mais rapidamente. Lembrando que os ngulos podem ser medidos em graus ou em radianos, conclumos que [ poder ser medida em grau/s ou em rad/s. Uma maneira de calcular a velocidade angular considerar a vlvula ( ou uma partcula qualquer) efetuando uma volta completa. Neste caso, o ngulo descrito ser (U =2Trad e o intervalo de tempo ser um perodo, Isto, (t = T. Logo, [ = 2T/T

Relao entre V e [ - Sabemos que, no movimento circular uniforme, avelocidade linear pode ser obtida pela relao

Como 2T/T a velocidade angular, conclumos que

Esta equao nos permite calcular a velocidade linear V, quando conhecemos a velocidade angular [ e o raio R da trajetria. Observe que ela s vlida se os ngulos estiverem medidos em radianos.

Acelerao centrpeta No movimento circular uniforme, o mdulo da velocidadeda vlvula permanece constante e, ento, a vlvula no possui uma acelerao tangencial. Entretanto, como a direo do vetor velocidade varia continuamente, a vlvula (ou uma partcula qualquer nas mesmas condies) possui uma acelerao centrpeta Na figura abaixo esto representados os vetores e em quatro tem a posies diferentes da vlvula do pneu de bicicleta. Observe que o vetor direo do raio e aponta sempre para o centro da circunferncia.

Podemos deduzir, matematicamente, que o valor da acelerao centrpeta no movimento circular dado por:

Observe que o valor de proporcional ao quadrado da velocidade e inversamente proporcional ao raio da circunferncia. Portanto, se um automvel faz uma curva fechada (R pequeno) com grande velocidade, ele ter uma grande acelerao centrpeta. Estes fatos esto relacionados com a possibilidade de o automvel conseguir ou no fazer a curva. Clique duas vezes aqui para ver a demonstrao do movimento circular

Demonstrao da Velocidade Angular ()Atravs das imagens filmadas Objetivo - Demonstrar os clculos da velocidade angular atravs de imagens em movimentos. Mostrar, atravs de resoluo de exerccio, a aplicao da velocidade angular. Introduo - A velocidade angular mdia ,[, a razo entre a variao angular,(U, e a variao de tempo, (T, que obedece a equao abaixo: [ = (U/(T Se, em um movimento circular, conseguimos medir o ngulo e o tempo, poderemos calcular a velocidade angular do movimento. Atravs deste clculo poderemos resolver inmeros problemas. Com o auxlio do programa de computador foi possvel realizar os clculos com bastante preciso. Desenvolvimento: Atravs de programa de computador foram capturadas as imagens de uma roda de bicicleta que havia sido filmado anteriormente (imagens mostrada abaixo)

Foi tomado como referncia a vlvula e os raios da bicicleta. O sentido que o movimento foi descrito o sentido horrio. Entre as ferramentas que o programa oferece esto o marcador de posio e o transferidor virtual, que foram usados na apresentao. A filmagem foi feita em uma proporo de 15 quadros por segundos. Ento, quando mudamos a imagem a um quadro para a frente obtemos a variao de 1/5 de segundos, ou seja, 0,067 segundos em cada quadro. As marcaes foram feitas com o marcador virtual nos pontos, P, que variam desde p1 at p9, mudando os pontos de acordo com as mudanas quadro a quadro da imagem. Com o auxlio do transferidor virtual, Foram medidos os graus em cada ponto, tendo como referncia a horizontal. A seguir ser mostrado uma tabela contendo os pontos, P, a variao angular, o tempo, e a velocidade mdia em cada quadro.

p1 Pos. Angular ( (U em graus Tempo s vel.ang.media g/so

Tabela de Velocidade Angular p2 p3 p4 p5 p6o

p7o o

p8 22,8o

p9 0o 22,8o

180 157 23o

135 22o

o

113 22o

o

90

o

65,88 45

23o

24,12o 20,88o 22,2o

0,067 0,067 0,067 0,067 0,067 0,067 0,067 0,067 343,28 328,36 328,36 343,28 360,00 311,64 331,34 340,30 1,89

vel.ang.media rad/s 1,907 1,82 1,82 1,907 2,0 1,731 1,84 Quando calculamos a mdia das velocidades angulares mdias obtemos: 2685,56/8=335,82 Quando calculamos a velocidade mdia entre os pontos p1 e p9, obtemos 180o/0,5333=337 Observe abaixo, um exerccio relacionado a Velocidade Angular Mdia:

Uma partcula descreve um movimento circular uniforme, com uma velocidade escalar V= 5m/s. Sendo R = 2m o raio da circunferncia, determine a velocidade angular. Resoluo _- sendo V = 5m / s a velocidade escalar e R = 2 m o raio da circunferncia, a velocidade angular e ser dado por V = .R De onde = V / R= 5 / 2 = 2,5 rad/s = 450 g / s Bibliografia consultada: Ferraro, Nicolau Gilberto, 1940. Aulas de fsica / Nicolau Gilberto Ferraro, Paulo Antnio de Toledo Soares, Jos Ivan Cardoso dos Santos. So Paulo: Atual, 1984. Pginas: 101, 102, 103. Alvarenga lvares, Beatriz. Curso de fsica vol. 1 Beatriz Alvarenga lvares, Antnio Mximo Ribeiro da Luz. So Paulo: Harbra Ltda. Pginas: 137 a 140.