308 Revista Brasileira de Ensino de Fsica, vol. 19, n

o

.

3, setembro, 1997

A Origem Fsica do

^

Angulo de Brewster

(The Physical Origin of the Brewster Angle)

M.L. Bedran

, B. Lesche

Instituto de Fsica, Universidade Federal do Rio de Janeiro

C.P. 68528, 21945-970, Rio de Janeiro, RJ, Brazil

Trabalho recebido em 6 de setembro de 1996

O feno^meno de Brewster pode ser explicado pelas caractersticas de emiss~ao de um dipolo

oscilante. Mostra-se que esta interpretac~ao tambeme valida no caso de materiais magneticos,

se tanto os dipolos eletricos como os magneticos forem considerados. Este calculo pode ser

dado como exerccio num curso de Eletrodina^mica.

The Brewster phenomenon can be explained by the emission characteristics of an oscillating

dipole. It is shown that this interpretation is also valid in the case of magnetic materials if

both electric and magnetic dipoles are considered. The corresponding calculation may be

given as an exercise in an electrodynamics course.

Quando a luz incide na superfcie de um dieletrico

com seu vetor eletrico oscilando no plano formado pelo

raio incidente e a normal a superfcie, existe um a^ngulo

de incide^ncia tal que a luz e completamente transmi-

tida para o material dieletrico. Este unico a^ngulo de

incide^ncia, que anula o feixe reetido, e conhecido como

a^ngulo de Brewster. Em alguns livros de Graduac~ao

[1;2]

encontra-se uma explicac~ao para a falta do feixe ree-

tido em termos da caracterstica de emiss~ao de um di-

polo eletrico oscilante. O argumento usado e o seguinte:

Qualquer onda reetida deve-se a alguma emiss~ao dos

dipolos induzidos no material dieletrico.

E um fato bem

conhecido que um dipolo eletrico oscilante n~ao emite na

direc~ao do eixo do dipolo. Portanto, se a direc~ao de re-

ex~ao coincidir com a direc~ao deste eixo, n~ao havera luz

reetida. Correspondendemente, o a^ngulo de Brewster

e aquele para o qual a direc~ao de reex~ao e perpendicu-

lar ao feixe transmitido. A Fig. 1 ilustra esta situac~ao.

De fato, para o caso de materiais n~ao magneticos e

isotropicos, o a^ngulo de Brewster e caracterizado cor-

retamente por esta condic~ao. Entretanto, poder-se-ia

argumentar que, no caso de materiais magneticos, o

a^ngulo de Brewster n~ao mais seria dado pela condic~ao

de ortogonalidade entre o feixe transmitido e a direc~ao

de reex~ao. De fato, resolvendo as equac~oes de Max-

well com as condic~oes de contorno apropriadas na in-

terface vacuo-dieletrico, encontra-se para o a^ngulo de

Brewster

[3]

(sin

B

)

2

=

n

2

(1

2

)

1 n

2

2

)

(1)

onde

n =

r

0

0

e = n

0

: (2)

Para o a^ngulo '

B

entre o feixe transmitido e a direc~ao

de reex~ao na condic~ao de Brewster, obtem-se (veja a

g. 2):

cos'

B

= cos( (

B

+

T

)) =

cos

B

cos

T

+ sin

B

sin

T

(3)

Combinando a equac~ao (3) com a lei de Snell (sin

B

=

nsin

T

), obtem-se apos algumas passagens algebricas:

cos'

B

=

n

1 n

: (4)

Isto e zero ('

B

= =2) somente se n = , ou seja, para

materiais n~ao-magneticos. Neste trabalho mostraremos

que, mesmo para materiais magneticos, a explicac~ao do

feno^meno de Brewster em termos das caractersticas de

emiss~ao dos dipolos e correta. Entretanto, no caso de

E-mail: bedran@if.ufrj.br

M.L. Bedran e B. Lesche 309

materiais magneticos, deve-se tambem levar em conta

a contribuic~ao da emiss~ao dos dipolos magneticos.

Figure 1. Luz incidindo numa superfcie dieletrica na

condic~ao de Brewster. As setas no feixe transmitido in-

dicam os dipolos eletricos oscilantes. A gura em forma de

8 representa a caracterstica de emiss~ao de um dos dipolos.

Figure 2. Denic~ao dos a^ngulos

B

, '

B

,

T

e dos eixos y, z.

A projec~ao ortogonal do vetor ~r no eixo y ilustra a equac~ao

(14): cos'

B

=

y

r

= :

Para calcular os campos criados pelos dipolos osci-

lantes induzidos, vamos orientar os eixos coordenados

x; y; z de tal modo que o eixo y aponte na direc~ao de

propagac~ao do feixe transmitido e o eixo z que no

plano de incide^ncia. Suporemos que o campo eletrico

da onda transmitida oscile na direc~ao z e o campo

magnetico na direc~ao x. O campo eletrico de um di-

polo eletrico oscilante ~p(t) = p

0

z^cos(!t) e dado por

~

E

p

=

^

0

p

0

!

2

4

sin

r

cos

!

t

r

c

(5)

onde z^ e

^

s~ao vetores unitarios nas direc~oes z e respec-

tivamente e r, s~ao duas das coordenadas esfericas usu-

ais. Em coordenadas Cartesianas esta express~ao tem a

forma:

~

E

p

=

0

p

0

!

2

4

f(t; r)

r

3

[z(xx^+yy^)(x

2

+y

2

)z^] (6)

onde

f(t; r) = cos

!

t

r

c

(7)

O campo eletrico de um dipolo magnetico oscilante

~m

0

= m

0

z^cos(!t) e dado por

~

E

0

m

= '^

0

m

0

!

2

4c

sin

r

cos

!

t

r

c

(8)

que, em coordenadas Cartesianas, tem a forma:

~

E

0

m

=

0

m

0

!

2

4c

f(t; r)

r

2

[yx^+ xy^] (9)

No material transparente, o dipolo magnetico induzido

estara de fato perpendicular ao dipolo eletrico. Por isso

calcularemos agora o campo de radiac~ao de um dipolo

magnetico na direc~ao x, ~m(t) = m

0

x^cos(!t). O resul-

tado pode ser lido facilmente da equac~ao 9 permutando-

se x; y; e z ciclicamente:

~

E

m

=

0

m

0

!

2

4c

f(t; r)

r

2

[zy^ + yz^] (10)

Em seguida, precisamos relacionar o momento de di-

polo magnetico induzido com o correspondente eletrico.

Sabemos que as amplitudes dos dipolos est~ao relaciona-

das com as amplitudes dos campos eletrico e magnetico

atraves das susceptibilidades:

p

0

=

0

e

E

T

e

m

0

=

1

m

H

T

=

1

m

B

T

(11)

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onde e a densidade de dipolos,

e

e

m

s~ao as suscepti-

bilidades eletrica e magnetica e E

T

, B

T

s~ao as amplitu-

des dos campos da onda transmitida. Por outro lado,

tem-se da equac~ao de Maxwell r

~

E = (@

~

B=@t),

relac~ao bem conhecida entre as amplitudes: B

T

=

n

c

E

T

: Combinando esta ultima relac~ao com as equac~oes

11 obtem- se que

m

0

c

=

m

n

e

c

2

0

p

0

=

n

n 1

p

0

p

0

(12)

A equac~ao 12 nos permite combinar as equac~oes 6 e 10

para encontrar o campo eletrico total de radiac~ao de

um unico dipolo induzido:

c

~

E =

~

E

e

+

~

E

m

=

0

p

0

!

2

4

f(t; r)

r

3

[z(y + r)y^ + y(y + r)z^] (13)

d

Este campo e zero se y+r = 0. Ent~ao o a^ngulo que a

direc~ao de emiss~ao zero faz com o eixo y (a direc~ao do

feixe transmitido) satisfaz a relac~ao

cos'

B

=

y

r

= =

n

1 n

(14)

Ela e ide^ntica a condic~ao de Brewster (equac~ao 4) para

materiais magneticos. O calculo acima pode ser dado

como exerccio num curso de Eletrodina^mica e fornece

uma abordagem interessante ao feno^meno de Brewster.

Agradecimentos

B.L. agradece ao CNPq pela ajuda nanceira.

Refere^ncias

1. P.A. Tipler, Physics, Vol. 2b Worth Publishers

Inc. 1982.

2. Chr. Gerthsen, H.O. Kneser, Physik, Springer-

Verlag Berlin, Heidelberg, New York, 1971.

3. D.J. Griths, Introduction to Electrodynamics,

2nd ed. Prentice-Hall, Englewood Clis, 1981.