a modelagem matemática aplicada ao ensino médio

Revista LOGOS, n. 14, 2006.

A MODELAGEM MATEMTICA APLICADA AO ENSINO DE FSICA NO ENSINO MDIO

LOZADA1, Cludia de Oliveira; ARAJO 2, Mauro Srgio Teixeira de; MORRONE 3, Wagner; AMARAL 4, Luiz Henrique

1,2,3,4 Universidade Cruzeiro do Sul ( UNICSUL), SP

[email protected] [email protected]

RESUMO As dificuldades matemticas que os alunos enfrentam certamente podem interferir na aprendizagem em Fsica, em virtude de no conseguirem desenvolver os modelos matemticos necessrios para resolver os problemas de Fsica. Os professores de Fsica devem ficar atentos para identificar tais dificuldades e buscar estratgias de ensino que proporcionem as habilidades bsicas necessrias para o desenvolvimento dos modelos matemticos aplicados Fsica, bem como preocupar-se com a forma com que os alunos desenvolvem a modelagem. Ademais, alguns problemas possuem uma aspecto matemtico relativamente simples e envolvem uma matemtica elementar (Biembengut & Hein, sd:1) Nesse sentido, este trabalho busca discutir e evidenciar a importncia dos modelos matemticos para o Ensino de Fsica, particularmente no Ensino Mdio, em virtude dos fracassos apresentados pelos alunos na resoluo de problemas em Fsica, os quais frequentemente exigem a elaborao de modelos matemticos. Dessa forma, so tecidas algumas consideraes e reflexes em relao ao desenvolvimento dos modelos matemticos no Ensino de Fsica para o Ensino Mdio, destacando-se a relevncia de um trabalho interdisciplinar entre Matemtica e Fsica, com base em uma pesquisa qualitativa preliminar realizada com professores de Fsica. Palavras- chave: Matemtica, Educao Matemtica, Modelos Matemticos, Ensino de Fsica

INTRODUO A Matemtica considerada uma

importante ferramenta para o Ensino de Fsica uma vez que proporciona a elaborao de modelos matemticos que resultam da interpretao dos problemas que expressam situaes envolvendo fenmenos fsicos.

Campos (2000: 10-11) mostra essa interface entre Matemtica e Fsica ao afirmar que (...) a Matemtica mais do que simples coadjuvante no desenvolvimento dos conceitos fsicos. Ela est sempre presente nas atividades cientficas: seja no seu processo ou no seu produto, seja na definio de uma teoria cientfica. Sobre a ligao intrnseca entre a Fsica e a Matemtica, Hulin (1983) escreveu que na sua gnese, sua estrutura, seu funcionamento, a Fsica indissoluvelmente ligada mo de obra de seu formalismo. E prosseguindo em sua argumentao, Campos afirma que A Fsica e a Matemtica assumem, ento, papis complementares passando esta a ser um instrumento de conceituao dos contedos cientficos, emprestando-lhes mais consistncia, atuando mais do que um simples modelo.

Os modelos matemticos exercem um papel relevante em todo o desenvolvimento da Fsica, uma vez que compem uma trade fundamental para esta rea da Cincia: a Fsica, acima de tudo, apia-se em formulao de teoria, elaborao de um modelo matemtico compatvel e experimentao. As teorias em Fsica, desde a Mecnica Newtoniana at a Mecnica Quntica expressam-se por meio de modelos matemticos, muitos vezes complexos, cuja transposio

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didtica para o Ensino Mdio nem sempre possvel de realizar-se, resumindo-se ao seu aspecto conceitual, sem contudo, perder-se de vista o seu contedo.Elaborar um modelo matemtico de situaes que envolvem conceitos fsicos no Ensino Mdio exige o domnio de ferramentas matemticas bsicas como, por exemplo, as funes de primeiro e segundo graus, utilizadas em Mecnica para o Movimento Uniforme e para o Movimento Uniformemente Variado. Agregado a esse fator, outra questo relevante consiste na interpretao dos enunciados dos problemas, o que em Fsica est intimamente relacionada com o entendimento dos conceitos fsicos, outro aspecto a se ressaltar, uma vez que os erros conceituais em Fsica so constantes no contexto escolar. Entretanto, o enfoque exageradamente centrado nos aspectos formais tende a tornar a aprendizagem um processo puramente mecnico, reduzido basicamente aplicao de frmulas sem a devida significao dos conceitos adjacentes.

No Ensino Mdio os modelos matemticos aplicados em Fsica so modelos adequados faixa etria dos alunos, sendo que no Ensino Superior, como veremos mais adiante, o mesmo modelo torna-se mais elaborado considerando outras variantes e exigindo ferramentas matemticas mais complexas. Dessa maneira, este trabalho procura apontar as relaes dos modelos matemticos com o ensino de Fsica e as dificuldades para que os alunos desenvolvam a capacidade de elabor-los e utiliz-los, destacando o papel de um trabalho interdisciplinar entre Matemtica e Fsica. Tambm so fornecidas algumas reflexes sobre a Teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud e a Teoria dos Modelos Mentais para os modelos matemticos aplicados Fsica, sugerindo-se a adoo de metodologias de ensino diferenciadas, como a utilizao do software Modellus, visando melhorar a utilizao da modelagem matemtica no ensino de Fsica, visando propiciar uma aprendizagem significativa, tendo em vista

as dificuldades apontadas por professores de Fsica em uma Oficina de Fsica em relao ao contedo matemtico utilizado pela disciplina.

REFLEXES ACERCA DA MODELAGEM MATEMTICA, DOS CAMPOS CONCEITUAIS DE VERGNAUD E DA TEORIA DOS MODELOS MENTAIS

Bassanezi (2002) apud Ferruzzi et al (2004: 1354-1355) afirma que a modelagem matemtica consiste na arte de transformar problemas da realidade em problemas matemticos e resolv-los interpretando suas solues na linguagem do mundo real. Em modelagem matemtica destacam-se os trabalhos de Leinbach , Burghes, Berry, Blum, McClone e Braun.

No Brasil, as pesquisas em Modelagem Matemtica, no mbito da Educao Matemtica, intensificaram-se nos anos 80 e 90 e, em geral, esto ligadas a trabalho de projeto, o qual consiste em dividir os alunos em grupos e selecionar temas de interesse que sero investigados por meio da Matemtica, sendo que esses grupos so orientados pelo professor, que acompanha o desenvolvimento dos trabalhos. (Bassanezi, 1990, 1994; Biembengut, 1990, 1999). O acompanhamento dos trabalhos pelo professor deve pressupor uma avaliao formativa (Luckesi, 2005), estando o professor atento para o registro das ambigidades encontradas nas questes interpretativas dos problemas, que pode ser considerado um indicativo da dificuldade de os alunos expressarem suas concepes explicitamente (Costa & Moreira, 2002: 68).

Sabe-se que a modelagem matemtica est diretamente ligada resoluo de problemas e em geral, envolve as seguintes etapas: (1) definio do problema, (2) simplificao e formulao de hipteses, (3) deduo do modelo matemtico, (4) resoluo do problema matemtico, (5) validao e (6) aplicao do modelo. Neste processo de resoluo de problemas pode-se destacar a

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teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud. Segundo Vergnaud (1990: 23) apud Greca & Moreira (2003:3) o conhecimento encontra-se organizado em campos conceituais de que o sujeito se apropria ao longo do tempo e que podem ser definidos como grandes conjuntos formais, informais e heterogneos, de situaes e problemas cuja anlise e tratamento requerem diversas classes de conceitos, procedimentos e representaes simblicas, inter-relacionados.

Em sntese, Vergnaud utiliza os seguintes elementos bsicos: conjunto de situaes (S), o invariante (I esquema de articulao dos conceitos) e a formalizao ou representao simblica (R). Para a modelagem matemtica a dupla I e R est inserida nas primeiras etapas apresentadas anteriormente. Por sua vez, esta tripla (S,I,R) mobiliza o processo cognitivo interno do aluno, que enfrentar situaes dialticas na deduo do modelo, ressaltando a importncia do conflito cognitivo, aspecto asseverado por Skovsmose (1996) ao se referir ao contexto da Educao Matemtica de cunho crtico colocando um aspecto importante a ser trabalhado: a matemtica como instrumento problemtico.

Por fim, cabe destacar a Teoria dos Modelos Mentais de Johnson Laird, que consiste numa modelagem mental aplicada resoluo de problemas e que considera a maneira como os modelos mentais so construdos quando os indivduos entendem o que lem ou o que dito a eles (Costa & Moreira, 2002:62), aspecto este importante e que est relacionado com uma das preocupaes que em geral apontada pelos professores, que est relacionada questo da interpretao dos enunciados/textos. O modelo mental considera o raciocnio indutivo e dedutivo, bem como os conhecimentos prvios e as transformaes que ocorrem no modelo mental ao longo de sua construo, decorrentes da incorporao de informaes e experincias, o que confere ao modelo mental um carter provisrio. Assim, pode-se dizer que os modelos mentais inserem-se de modo preponderante

nas etapas da modelagem matemtica referentes definio do problema, a simplificao e a formulao de hipteses e a deduo do modelo matemtico. Alm do mais, entende-se que o estmulo ao desenvolvimento de modelos mentais mobiliza o processo o criativo, crtico e reflexivo dos alunos.

A TRANSPOSIO DIDTICA E OS MODELOS MATEMTICOS As modelagens so um produto dessa sofisticao terica da cincia e o seu objetivo constituir objetos mais simples com as ferramentas da matemtica, em particular as equaes diferenciais, visando sofisticao de instrumentos que permitam no apenas uma compreenso adequada de um determinado fenmeno e de suas tendncias no tempo, mas tambm a formulao de programas de interveno(...) (Carlos Vogt)

Considerando a afirmao acima, considera-se relevante questionar: o que vem a ser, ento, um modelo matemtico? Segundo Bassanezi (2002: 20), Modelo Matemtico um conjunto de smbolos e relaes matemticas que representa de alguma forma o objeto estudado e sua importncia consiste em ser uma linguagem concisa que expressa nossas idias de maneira clara e sem ambigidades.

Os livros didticos de Ensino Mdio procuram apresentar modelos matemticos que implicam em situaes reais, procurando aproximar o ensino do cotidiano do aluno. Tais modelos relacionados a determinados contedos implicam em transposio didtica desses contedos para o grau de ensino apropriado faixa etria do Ensino Mdio, sendo a transposio didtica entendida como sendo um conceito que tem origem na didtica francesa, com destaque para Yves Chevallard e Marie-Alberte Joshua ( Pietrocola,2005), e que estabelece os seguintes trs nveis de saber: o saber sbio, o saber a ensinar e o saber ensinado, que so importantes nos processos de ensino e de aprendizagem das disciplinas no Ensino Mdio. Assim, tanto em

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Matemtica como em Fsica a transposio didtica um fator relevante, pois os contedos tornam-se mais complexos no decorrer dos graus de ensino, conforme se pode verificar no caso da funo horria dos espaos relacionada ao Movimento Uniformemente Variado (MUV). No Ensino Mdio, o modelo matemtico desenvolvido para o estudo desse tipo de movimento resulta na frmula S = S0 + v0 t + (a t2)/2 (Ferraro & Soares, 1991: 71). Por outro lado, no ensino superior pode-se integrar a velocidade (v = ds/dt = vo + act) (Hibbeler, 2005: 5) considerando outras variveis a serem analisadas em que o significado adquirido de Movimento Uniformemente Variado torna-se mais elaborado e, portanto, tornando o modelo mais complexo.

Nota-se a gradual abstrao dos conceitos e dos modelos matemticos, como colocam Henning & Keune (sd:1): O processo de modelagem uma constante oscilao entre vrios nveis de abstrao. Campos (op. cit) trabalhando sob uma viso integracionista entre Fsica e Matemtica desenvolve uma abordagem interdisciplinar com o contedo funes, destacando as relaes entre as disciplinas em relao ao contedo citado, desenvolvendo a partir da os modelos matemticos, que constituiriam exemplos de modelos de sistemas dinmicos. A esse respeito, Veit & Teodoro (2002: 88) afirmam que de particular interesse em Fsica so os modelos de sistemas dinmicos, isto , modelos que estabelecem alguma relao matemtica entre quantidades fsicas e o tempo, considerado como uma varivel independente. No processo de graduao da complexidade dos modelos matemticos em Fsica, o significado no deve se perder, mas constituir-se em agregao de outros aspectos que o enriqueam, demonstrando que o contedo apreendido em um grau de ensino possui continuidade.

Visando destacar esse aspecto de continuidade dos contedos, considera-se relevante citar que o Institute of Physics do Reino Unido, por meio de um projeto que visa revitalizar o Ensino de Fsica para

estudantes entre 16 e 19 anos, enfatiza o uso de equaes a diferenas finitas na introduo aos conceitos de Clculo, como taxas de variao, derivadas e integrais, em um nvel de escolaridade anterior ao universitrio (Veit & Teodoro,2002: 92). Por sua vez, no Japo, na Junior High School h um projeto de aprendizagem integrada atravs da modelagem em Matemtica, Cincia e Tecnologia, onde os estudantes desenvolvem, aplicam e avaliam modelos matemticos para problemas tecnolgicos usando o conhecimento cientfico e tais modelos devem ter aplicao no mundo real.(Moriyama et al, sd:1).

Entretanto, h casos em que a transposio didtica dos modelos matemticos de determinados contedos fsicos para o Ensino Mdio no possvel em virtude do nvel de abstrao e complexidade dos elementos envolvidos, efetuando-se apenas a construo histrica dos conceitos, como no caso de Fsica de Partculas e de outros tpicos de Fsica Moderna e Contempornea. Particularmente no caso de Fsica de Partculas, a maioria dos livros didticos de Ensino Mdio de Fsica aborda este contedo no campo conceitual, sendo que em algumas vezes so fornecidos exemplos de decaimento beta, colocados de forma intelegvel e no de modo simplificado ou reducionista, que prejudiquem o corpo deste contedo. Substitui-se, nestas abordagens pra os alunos do Ensino Mdio, a linguagem de funo de onda na definio de partcula elementar por um conceito de carter intuitivo, sendo relatadas as descobertas tericas e experimentais de maneira cronologicamente organizada: "O critrio que define elementar at que no difcil - at bastante intuitivo: toda partcula que pode ser quebrada no elementar, e toda aquela que tem um nico constituinte considerada elementar. No entanto, do ponto de vista experimental e terico, o conceito no to simples assim (...) do ponto de vista terico, o conceito que define uma partcula elementar , antes de tudo, de natureza abstrata e matemtica.

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Todas as partculas elementares so descritas por objetos matemticos denominados funes de onda, a partir das quais so extradas informaes sobre a dinmica de tais partculas. A funo de onda que descreve uma partcula elementar no pode ser redutvel funo de onda de outras partculas. Essa linguagem ditada pela mecnica quntica e, para nossos propsitos, parece um bocado complicada." (Abdalla, 2005: 38).

A PROBLEMTICA DO ENSINO DE FSICA E OS MODELOS MATEMTICOS

Dentre as competncias e habilidades a serem desenvolvidas em Fsica, segundo os Parmetros Curriculares Nacionais (1999: 237), podem ser destacadas algumas que demonstram estar intimamente relacionadas com a Matemtica, tais como compreender enunciados que envolvam cdigos e smbolos fsicos; ser capaz de discriminar e traduzir as linguagens matemtica e discursiva entre si; expressar-se corretamente utilizando a linguagem fsica adequada e elementos de sua representao simblica e apresentar de forma clara e objetiva o conhecimento apreendido, atravs de tal linguagem.

Alm do mais, os PCNs (1999: 229) destacam a preocupao com a desarticulao existente entre a Matemtica e a Fsica, o que evidencia um descompasso que demonstra a ausncia de um trabalho interdisciplinar e de metodologias eficientes de ensino, gerando como conseqncia um aumento nas estatsticas do pssimo rendimento dos alunos, como adiante se constata:

O ensino de Fsica tem-se realizado freqentemente mediante a apresentao de conceitos, leis e frmulas, de forma desarticulada, distanciados do mundo vivido pelos alunos e professores e no s, mas tambm por isso, vazios de significado. Privilegia a teoria e a abstrao, desde o primeiro momento, em detrimento de um desenvolvimento gradual da abstrao que, pelo menos, parta da

prtica e de exemplos concretos. Enfatiza a utilizao de frmulas, em situaes artificiais, desvinculando a linguagem matemtica que essas frmulas representam de seu significado fsico efetivo. Insiste na soluo de exerccios repetitivos, pretendendo que o aprendizado ocorra pela automatizao ou memorizao e no pela construo do conhecimento atravs das competncias adquiridas.Esta postura tem elevado as crticas matematizao do ensino de Fsica, caracterizada pela aplicao dos dados em frmulas matemticas, desconsiderando que as mesmas consistem em modelos matemticos com sentido agregado ao conceito fsico. A matematizao tende a ocorrer quando h essa desvinculao entre as duas disciplinas, produzindo um vazio de significados que tem caracterizado as aulas de Fsica na maioria dos contextos escolares. Esta postura tambm exposta nos PCN Mais/ Ensino Mdio (sd: 38):Muitas vezes o ensino de Fsica inclui a resoluo de inmeros problemas, onde o desafio central para o aluno consiste em identificar qual frmula deve ser utilizada. Esse tipo de questo, que exige, sobretudo, memorizao, perde sentido se desejamos desenvolver outras competncias. No se quer dizer com isso que seja preciso abrir mo das frmulas. Ao contrrio, a formalizao matemtica continua sendo essencial, desde que desenvolvida como sntese dos conceitos e relaes, compreendidas anteriormente de forma fenomenolgica e qualitativa.

Em geral, os professores de Fsica do Ensino Mdio costumam apontar entre as dificuldades apresentadas pelos alunos aquelas relacionadas interpretao de enunciados/textos e dificuldades em operaes matemticas, asseverando que h tambm dificuldades em relao representao simblica. Acredita-se serem estes problemas pontos cruciais referentes resoluo de problemas em Fsica que demandam o desenvolvimento de um modelo matemtico para expressar uma situao inserida em um conceito fsico. Este panorama corrobora as colocaes de

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Cruz (op. cit), inclusive no sentido de que as atividades escolares de educao cientfica no ensinam a modelizar fenmenos.

Por conseguinte, uma pesquisa qualitativa cuja metodologia baseou-se em um levantamento (survey) (Fiorentini & Lorenzato, 2006:106-107) foi realizada em uma Oficina de Fsica, com o objetivo de apurar alguns aspectos relativos formao dos professores de Fsica e a sua prtica docente (as metodologias, os contedos e trabalhos que desenvolvem com os alunos, bem como as dificuldades que os alunos apresentam no processo - aprendizagem em Fsica). A pesquisa foi efetuada atravs de um questionrio dividido em quatro categorias de anlise, a saber: Perfil Docente, Docncia, Ensino de Fsica e Fsica de Partculas. Dos 70 inscritos, 40 eram professores dos quais 23 compareceram Oficina e 21 responderam ao questionrio. Dentro das 4 categorias de anlise, destaca-se a categoria Docncia, na qual dentre as perguntas efetuadas, duas perguntas merecem ateno, uma em relao assimilao dos contedos e outra em relao s dificuldades apresentadas pelos alunos.

Da anlise dos dados extrai-se que entre as dificuldades apontadas, merecem destaque as trs primeiras que esto diretamente relacionadas com o desenvolvimento dos modelos matemticos em Fsica, pois requerem a mobilizao cognitiva (assimilao do contedo e interpretao de enunciados/textos) e a ferramenta matemtica (operaes matemticas que envolvem a constituio dos modelos matemticos).Pela anlise dos resultados, apurou-se que 80,95% dos professores afirmaram que seus alunos

apresentam dificuldades de assimilao dos contedos; 95,24% dos professores afirmaram que seus alunos apresentam dificuldades na interpretao de enunciados/textos; 80,95% dos professores afirmaram que seus alunos apresentam dificuldades em operaes matemticas. Em relao escrita, 38,10% dos professores apontaram que esta tambm constitui um fator que dificulta a aprendizagem e 9,52% afirmaram que seus alunos apresentam outras dificuldades, tais como lgica/raciocnio e apontaram o desinteresse como um fator que tambm dificulta a aprendizagem. Em textos conceituais de Fsica em que as respostas s perguntas no requerem operaes, a escrita um fator fundamental, pois atravs dela os alunos expressam suas idias, expem o entendimento dos conceitos fsicos e levantam outros questionamentos.

Cabe ressaltar que os dois primeiros autores deste artigo em sua experincia como docentes de Matemtica e de Fsica no Ensino Mdio j haviam constatado tais dificuldades, cujos dados ora levantados vieram a corroborar a preocupao que ambos possuem em relao modelagem matemtica em Fsica.Embora considerando que a amostra pesquisada no pode ser entendida como plenamente representativa do universo de professores, por meio de uma anlise preliminar das informaes coletadas pode-se constatar as dificuldades dos alunos apontadas pelos professores em relao ao contedo matemtico utilizado em Fsica e que, conseqentemente, interferem na resoluo dos problemas e no desenvolvimento dos modelos matemticos como aponta o grfico (Fig.1).

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Figura 1

Assim, em que pese a amostra de professores ter sido bastante restrita, os dados revelam claramente a preocupao dos mesmos em relao aos processos de ensino e aprendizagem em Fsica, cabendo ressaltar que evidentemente h a necessidade de um estudo mais profundo para se verificar outras causas do baixo desempenho dos alunos na modelagem matemtica em Fsica.Nesta perspectiva, sugere-se um trabalho interdisciplinar entre as disciplinas Matemtica e Fsica, como nos coloca Campos (op. cit):

(...) a interdisciplinaridade se mostra um caminho importante na construo de um conhecimento que enfatiza a cooperao entre reas diversas das cincias e que auxilia na compreenso das mltiplas intersees entre saberes, muitas vezes, aparentemente distintos, contribuindo para a formao de um sujeito mais autnomo e crtico, na medida em que uma viso global do conhecimento o situa melhor dentro do universo escolar.

Dessa forma, os professores de Matemtica podero trabalhar em uma ao colaborativa com os professores de Fsica visando minimizar as dificuldades que os alunos apresentam em relao s ferramentas bsicas necessrias resoluo dos problemas propostos, de modo que em ambas as disciplinas seja possvel estabelecer um trabalho com modelagem, com vistas a desenvolver as requeridas competncias e habilidades dos alunos. Nesse cenrio, considera-se de suma importncia que os professores fiquem

atentos aos erros cometidos pelos alunos e estabeleam formas de trabalhar esses erros, como pontua Luckesi (2005: 57):

os erros de aprendizagem, que emergem a partir de um padro de conduta cognitivo ou prtico j estabelecido pela cincia ou pela tecnologia, servem positivamente de ponto de partida para o avano, na medida em que so identificados e compreendidos, e sua compreenso o passo fundamental para a sua superao.

Finalmente, cabe destacar que Novak & Gowin (1988) relatam que as ferramentas de modelagem vo desde papel e lpis at a utilizao de tecnologias interativas, como o computador (Ogborn, 1990).

Dessa maneira, como estratgia complementar modelagem expressa no papel, pode-se sugerir a utilizao da modelagem computacional, ressaltando-se que a modelagem expressa no papel consiste em uma etapa essencial e natural no processo ensino aprendizagem, porque mobiliza os recursos cognitivos do aluno, que lhes so intrnsecos, que lhes so prprios, exigindo-lhe um esforo pessoal que poder dot-lo de suficiente autonomia no processo de modelagem, evitando-se desse modo que se tornem dependentes de ferramentas computacionais para a modelagem e a resoluo de problemas.

Visando a modelagem computacional sugere-se a utilizao do software Modellus, que permite ao aluno fazer experimentos conceituais utilizando

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modelos matemticos (Arajo, Veit & Moreira, 2003; Reis, 2005; Veit, Mors & Teodoro, 2002), alm de oportunizar a construo de modelos de fenmenos fsicos entre outros tipos de modelos, por meio de animaes, grficos e tabelas, contribuindo para minimizar as dificuldades no tocante modelagem. Ademais, o software Modellus livre, sendo distribudo gratuitamente na internet, o que torna seu acesso aos professores bastante facilitado.No entanto, ao preparar suas aulas com o auxlio do software Modellus, o professor dever adequ-la aos contedos matemticos do Ensino Mdio, ou introduzir outros contedos para que o software possa ser utilizado com maior abrangncia, bem como no permitir que os alunos passem a visualizar o software apenas como aplicao de frmulas. Pode-se citar tambm o software Stella, que constitui uma ferramenta de modelamento que pode vir ser usada em muitas reas do conhecimento em atividades que visem ao ensino de determinados contedos, bem como a explorao das idias dos estudantes em termos de modelos mentais apresentados quando da resoluo de terminadas tarefas (Santos, 1989: 222).

Outra alternativa para aplicar a modelagem matemtica ao ensino de Fsica no Ensino Mdio por meio da experimentao. Neste caso necessrio que o professor Necessrio que o professor elabore um questionrio para levantamento dos conhecimentos prvios dos alunos relacionados ao tema da experimentao. Outro questionrio deve ser respondido aps a realizao do experimento para que se possa verificar a assimilao do contedo, bem como sugere-se que os alunos elaborem um relatrio descrevendo o experimento realizado, momento este oportuno para se trabalhar a escrita. Dessa forma, apresenta-se como exemplo de experimento, o funcionamento de um circuito eltrico (Ferruzi et la, 2004: 1356).

Este experimento proporcionar: - Verificar se existe alguma relao entre a tenso, a corrente eltrica e a resistncia de um material;

- Determinar um modelo matemtico que descreva o comportamento da corrente que flui em um circuito, em relao tenso aplicada e ao resistor do equipamento; - Introduzir o conceito de funo do 1 grau, definindo-se coeficiente angular e linear, o que mostra a viabilidade de um trabalho interdisciplinar com Matemtica e o carter multidisciplinar da modelagem matemtica ( Bassanezi, 2002:16).

No entanto, preciso deixar claro que no se quer com a realizao do experimento propagar a viso empirista da cincia. O objetivo levar o aluno a desenvolver um modelo matemtico j existente e consolidado por uma teoria. Silveira e Peduzzi ( 2006 : 50 52 ) esclarecem:

No h dvida que experimentos, observaes, resultados de medidas so importantes para o conhecimento cientfico. (...) A produo do conhecimento cientfico no pode ser entendida atravs da epistemologia empirista ( apesar dos livros textos e muitos cientistas assim acreditarem) e no pode ser descrita como conseqncia da aplicao de um mtodo cientfico que comea com resultados observacionais/experimentais. E prosseguem: A histria ( ou caricatura) empirista no apenas empobrece a histria da cincia, induz a vises distorcidas da natureza da cincia e do empreendimento cientfico.

A modelagem por meio da experimentao um caminho para se trabalhar com o laboratrio aberto.

Segundo Capechi ( apud Carmo e Carvalho, 2006: 4), o laboratrio aberto consiste em uma atividade experimental que parte de um problema levantado pelo professor e que envolve os estudantes. Asseveram que este momento propcio para professor e aluno articularem a linguagem matemtica usada pelos fsicos com as outras linguagens para construir os significados cientficos. Essa a perspectiva do ensino por investigao (Capechi, op. cit), que corrobora os princpios da aprendizagem significativa e

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contribuir para ativar as idias de base que os alunos possuem. Nesse passo, ao desenvolver a modelagem matemtica por meio da experimentao, sugere-se que os alunos elaborem mapas conceituais (Novak, 1998) estabelecendo a relao entre os diversos conceitos que envolvem o fenmeno. Alm do mais, o fenmeno precisa transparecer no modelo mate,atio, precisa ser visualizado na representao da linguagem matemtica. Deve haver uma articulao entre os recursos tipolgicos e os recursos topolgicos, como salienta Carmo e Carvalho (op. Cit).

CONCLUSO Acredita-se ser inegvel a relao

existente entre a Matemtica e a Fsica no desenvolvimento de diversos contedos no Ensino Mdio e sua estruturao por meio dos modelos matemticos. Entretanto, chama-se a ateno para o fato de que esta relao deve ser significativa, de maneira que os alunos consigam perceb-la e, sobretudo, compreend-la como um corpo integrativo das Cincias.

A preocupao dos professores no deve se ater aos domnios das ferramentas matemticas para que os alunos possam resolver os problemas em Fsica, devendo-se avanar para alm dessa perspectiva, que restringe a abordagem aos aspectos formais, buscando-se incorporar os diversos valores que um trabalho interdisciplinar pode proporcionar, na medida em que amplia as possibilidades de atribuio de significado aos conceitos fsicos expressos pelos modelos matemticos. Entender os conceitos fsicos e incentivar a leitura e uma atitude reflexiva e crtica diante da mesma, contribui para reduzir as dificuldades em relao interpretao dos enunciados e a resoluo dos problemas em Fsica, que pressupe o desenvolvimento de um modelo matemtico. Alm do mais, coloca-se de suma importncia o hbito de resolver problemas desde as sries iniciais escolares, enfatizando o desenvolvimento do raciocnio lgico e a oportunidade de se apontar diferentes caminhos para solucionar os problemas, criando-se os

modelos matemticos e refletindo-se sobre sua viabilidade.

Outra questo a se colocar diz respeito a anlise do modelo matemtico em si e sua relao com a interpretao dos resultados. A anlise dos resultados provenientes do modelo matemtico aplicado Fsica tende a desenvolver o pensamento crtico e tornar visvel a necessidade de compatibilidade com a realidade e sua possibilidade de existncia, evitando assim resultados absurdos, no viveis fisicamente e que, desse modo, no possam ser correlacionados com o fenmeno em estudo, conforme nos coloca Silva e Almeida (2005: 11):

O envolvimento dinmico do aluno no processo de modelagem contribui muito para isso, pois aprende a tornar-se ativo e a exercer seu poder de escolher e deciso. Nesse sentido, deve-se proporcionar momentos em que os alunos discutam os modelos, sua viabilidade e, inclusive, que proponham outros modelos. Nesse processo, deve-se valorizar as situaes cotidianas dos alunos que envolvem conceitos fsicos e estimul-los a criar os seus prprios modelos, possibilitando o desenvolvimento de habilidades e competncias. Ressalta-se, ainda, a importncia de se trabalhar as simbologias, to essenciais para a modelagem matemtica em Fsica, pois expressam em snteses as frmulas que muitas vezes constituem leis fsicas.

Ademais, a Teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud e a Teoria dos Modelos Mentais constituem um referencial importante para se entender o processo de resoluo de problemas e apontar caminhos para minimizar as dificuldades que os alunos apresentam em relao a modelagem matemtica desses problemas, contando como recurso complementar a utilizao de softwares de modelagem, sem contudo esquecer que estes devem ser entendidos apenas como ferramentas de apoio. Contudo, deve-se ressaltar a importncia de um trabalho interdisciplinar, de carter integrado entre Matemtica e Fsica, no sentido de desenvolver mltiplas metodologias de

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ensino que contribuam para uma melhor assimilao e desenvolvimento dos modelos matemticos, destacando-se a participao ativa do aluno no processo de aprendizagem e a mediao do professor.

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