A MATEMÁTICA DA

COMPLEXIDADE

A matemática da complexidade se refere à modelos detalhados de sistemas que se auto-organizam, e explica matematicamente com conceitos e técnicas muitos fenômenos, dentre eles os físicos. Entre as teorias explicadas pela matemática da complexidade

(também chamada de “teoria dos sistemas dinâmicos”, sendo esta denominação a mais utilizada, ou ainda “dinâmica dos sistemas”, “dinâmica complexa” e “dinâmica não-linear”), há a teoria do caos e a teoria das fractais.

Isso se deve às inovações da matemática e suas ferramentas, caracterizando esses avanços muito mais como qualitativos do que quantitativos.

Essas novas teorias surgiram em contraposição a ciência clássica, que teve seus estudos iniciados com os antigos gregos (como Platão e Pitágoras).

Galileu Galilei, no final do século XVI, foi o primeiro a utilizar a ciência (no sentido moderno da palavra) realizando experimentos sistemáticos e linguagem matemática para formular suas leis.

Herdou dos gregos a tendência de geometrizar os problemas matemáticos. Séculos depois surge a álgebra (desenvolvida na Pérsia) e se refere ao processo de reduzir os números de quantidades desconhecidas, ligando as equações envolvendo letras (no caso de números constantes). Assim na época de Galileu haviam duas formas de resolver os problemas matemáticos: pela álgebra ou pela geometria.

Foi René Descartes que uniu essas duas e criou a chamada geometria analítica (que envolve coordenadas cartesianas). Por exemplo a relação entre duas variáveis: x e y.

Com a geometria analítica entretanto, alguns problemas ainda ficaram sem solução- como movimentos com acelerações variáveis. Isso foi resolvido com o cálculo de derivadas e integral, de Isaac Newton e Leibniz.

Esses cálculos não iriam mudar, mas apenas seriam aperfeiçoados por diversos pensadores.

Equações Lineares e não Lineares

Até o final do século XIX haviam duas diferentes formas de modelar os fenômenos naturais- as equações do movimento (exatas para os sistemas simples) e as equações da termodinâmica (estatística e para os sistemas termodinâmicos). Apesar de serem diferentes eram equações lineares e aquelas que não apresentavam uma linearidade eram “linearizados” pelos teóricos. Mas a teoria dos sistemas dinâmicos foi a primeira que permitiu aos cientistas a lidar com os fenômenos não lineares.

As equações não lineares incluem a maior parte do mundo real, como por exemplo as mudanças de temperatura.

Nessas equações (não-linares) pequenas mudanças podem causar efeitos dramáticos no seu resultado.

JULES HENRI POINCARÉ

Poincaré, matemático nascido no século XIX, quebrou a linearidade da geometria euclidiana, desvencilhando-se das fórmulas (por exemplo), e voltando-se para os padrões visuais.

A matemática de Poincaré é de posições e relações, conhecida como topologia, ou também geometria de folha de borracha, pois os ângulos, áreas e comprimentos podem ser mudados constantemente, formando novas figuras.

Poincaré percebeu, porém, que a complexidade era extrema. De acordo com seus estudos, uma bóia poderia virar um copo, mas nunca uma panqueca.

Tratou ainda da mecânica celeste, que analisa o movimento de três corpos sob uma mesma atração gravitacional, ao que se deu o nome de “atrator estranho”. Suas descobertas, no entanto, foram ofuscadas pelas de Max Planck (dos quanta de energia) e de Albert Einstein (da teoria da relatividade).

As idéias que devem ser levadas em conta num sistema caótico (complexo) básico são duas:

Atratores – refere-se às descobertas de Poincaré.

Espaço de fase – espaço abstrato onde se representa o comportamento de um sistema, no qual as dimensões são as variáveis deste.

Antes de entrar em fractais, devemos nos lembrar que Gauss, ao estudar os números imaginários, percebeu que era possível representar tais números em uma forma parecida com o que Descartes fez -criou um plano dos números complexos- onde o eixo x representa o eixo real e o eixo y o eixo dos números imaginários.

Fractais – figuras da geometria não-euclidiana. Exemplos:

                          

O conjunto de Mandelbrot é um exemplo famoso de fractal.

                          

Um brócolis como exemplo de um fractal natural.

O termo “fractais” foi criado em 1975 por Benoît Mandelbrot, matemático que descobriu a geometria fractal. O nome vem do latim fractus do verbo frangere, que significa quebrar.

Fractais são , portanto, figuras geométricas que se repetem de uma mesma forma ou padrão, até ao infinito. E eles existem também na natureza.

Um fractal apresenta uma distorção da geometria clássica, pois na geometria analítica (eixos x,y e z) toda figura tem suas dimensões mensuráveis – ou seja, podemos precisar a área e o volume de todos os objetos.

Já na geometria dos fractais, não é possível mensurar as dimensões da figura, uma vez que o sistema não apresenta uma regularidade aparente.

Mandelbrot explicou o fato da seguinte maneira: “Nuvens não são esferas, montanhas não são cones”

Isso significa que, por mais próximas que sejam, as figuras “naturais” nunca serão idênticas às figuras “geométricas”.

Efeito Borboleta

Foi descoberto na década de 60 por Edward Lorenz, meteorologista, que exemplifica que com o bater de asas de uma borboleta em Pequim pode-se causar uma tempestade em Nova York.

Ou seja: uma pequena mudança pode levar a uma conseqüência em grande escala.

No caso da matemática temos esse exemplo em funções exponenciais, como exemplo, compare:

- f(x)=10x

- f(x)= 10,1x

Vamos usar x=5, para percebermos que a diferença de um acréscimo de 0,1 pode causar, ao resultado final, uma variação de mais de 5000 unidades.

- 105= 100.000

- 10,15= 105.101,005 (aprox.)

Portanto: equações de movimento (por exemplo) podem levar a conclusões imprevisíveis – pois as trajetórias podem tornar-se totalmente diferentes.

“O indivíduo médio, ao ver que podemos predizer muito bem as marés com alguns meses de antecedência diria: ´Por que não podemos fazer o mesmo com a atmosfera? É apenas um sistema diferente de fluidos, as leis são igualmente complicadas.` Mas compreendi que qualquer sistema físico que se comporte de maneira não periódica seria imprevisível.”

Leis dos Fractais de Mandelbrot

Para exemplificar como alguns fractais podem sim ter leis matemáticas, usemos o conjunto de Julia como exemplo:

- Todo conjunto de Julia apresenta a seguinte Lei:

- z→ z2 + c (onde z é uma variável complexa e c uma constante complexa).

A seqüência zn+1= zn²+c para 5 valores diferentes de c, sobreposta ao conjunto de Mandelbrot. Em cada seqüência, os pontos zn (amarelo) estão ligados aos pontos zn-1

zn+1 por uma linha (vermelho).

Conjuntos de Julia

Podemos perceber como o fractal se repete dentro dos seus próprios fractais.

Mais exemplos de fractais