A IMPORTÂNCIA

DAS UNIDADES CENTRAIS

EM ANÉIS DE GRUPO

ANTÔNIO CALIXTO DE SOUZA FILHO

DISSERTAÇÃO APRESENTADAAO

INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICADA

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULOPARA

OBTENÇÃO DO GRAUDE

MESTRE EM MATEMÁTICA

Área de Concentração: Álgebra

Orientador: Prof. Dr. Orlando Stanley Juriaans

-São Paulo, 14 de dezembro de 2000-

2

A IMPORTÂNCIA DAS UNIDADES CENTRAIS

EM ANÉIS DE GRUPO

Este exemplar corresponde à redação finalda dissertação devidamente corrigida e

defendida porANTÔNIO CALIXTO DE SOUZA FILHO

e aprovada pela comissão julgadora

–São Paulo, 16 de janeiro de 2001–

BANCA EXAMINADORA

-Prof. Dr. Orlando Stanley Juriaans (IME-USP)-

-Prof. Dr. Noráı Romeu Rocco(UnB)-

-Prof. Dr. Michael Dokuchaev(IME-USP)-

iii

agradecimentos

Acima de tudo, agradeço a Deus.

Agradeço a meus pais, Terezinha Costa de Souza e Antônio Calixto de Souza pela educaçãoe conduta que me ajudam a construir, as minhas irmãs, Liliane Cristina de Souza e Sônia ReginaVieira pela compreensão por minha ausência e a minha sobrinha, Patŕıcia Regina Vieira por suaconfiança e estima.

Agradeço a minhas tias, tios, primas e primos que participaram comigo dessa etapa.

Agradeço a meu amigo Antônio Sérgio Munhoz, por sugerir o verão IME-97, que me ligou aoinstituto de matemática. Aos meus amigos e colegas do instituto: Édson Iwaki, Wálter Martins,Ronaldo Garcia, Clézio, Emivan, Noel, Raul, Célia, Sônia, Nestor, Jorge, Jose Domingo, Sandra,Luciano, entre outros, cuja diversidade de relação é grande, são pessoas de valorosa participaçãonestes anos. Agradeço à Ângela por seu fenômeno recente e à Regina e sua irmã Cida, pelapaciência, zelo e energia nas correções do texto.

Agradeço à professora Iracema Bund por sua orientação inicial, a minha orientadora daespecialização, professora Elza Gomide, ao professor Héctor Mérklen, presidente da CPG, eaos professores —dedicados professores!— desse instituto. Agradeço aos meus professores dasgraduações em Engenharia e Filosofia. Particularmente agradeço à professora Maria HelenaNunes, por sua presença e força em meus primeiros anos escolares.

Agradeço aos funcionários, alunos, e professores, do Instituto de Matemática e Estat́ıstica eda Universidade de São Paulo, pelo apoio e à estrutura, posśıveis pelo trabalho destes.

Agradeço aos professores integrantes das bancas de qualificação e defesa pela valiosa contri-buição para este trabalho.

Agradeço a meu orientador, professor Stanley. Śıntese de todo um processo, de anos de buscae tentativas.

Antônio Calixto de Souza Filho

v

Dedicatória

“A inocência é uma coisa admirável; mas é, por outro lado, muito triste que ela se possa pre-servar tão mal e deixe-se tão facilmente seduzir. E é por isso que a própria sageza —que deresto consiste mais em fazer ou não fazer, do que em saber— precisa também da ciência, nãopara aprender dela, mas assegurar às suas prescrições entrada nas almas e para lhes dar estabi-lidade.” (I. Kant)

“Pois eu sou e sempre tenho sido uma daquelas naturezas que deve ser guiada pela razão; nãoimporta o que a razão possa ser, sobre a reflexão ela surge como a melhor.” (Platão)

Dedico este trabalho a minha famı́lia, exemplo constante e referência de vida.

0.1 Resumo vii

0.1 Resumo

Na presente dissertação, discutimos o Problema do Isomorfismo em anéis de grupo para gru-pos infinitos da forma G × C∞, apresentado no artigo de Mazur [14], que enuncia um teoremamostrando a equivalência para o Problema do Isomorfismo entre essa classe de grupos infini-tos e grupos finitos que satisfaçam a Conjectura do Normalizador. Nossa ênfase concentra-sena relação entre a Conjectura do Isomorfismo e a Conjectura do Normalizador, primeiramente,observada nesse artigo. Em seguida, consideramos um teorema de estrutura para as unidadescentrais em anéis de grupo comunicado, pela primeira vez, no artigo de Jespers-Parmenter-Sehgal[9], e generalizado por Polcino Milies-Sehgal em [17], e Jespers-Juriaans em [7]. Evidenciamosa importância desse teorema para a Teoria de Anéis de Grupo e apresentamos uma nova de-monstração para o teorema de equivalência de Mazur, considerando, para tanto, uma apropriadaunidade central e sua estrutura, caracterizada pelo teorema comunicado para as unidades cen-trais. Conclúımos a dissertação, descrevendo a construção do grupo das unidades centrais parao anel de grupo ZA5, um grupo livre finitamente gerado de posto 1, utilizando a construçãodada no artigo de Aleev [1].

(Abstract)

In this dissertation, we discuss the Problem of the Isomorphism in group rings for infinite groupsas G×C∞. This is presented in [14]. Such article states a theorem which shows an equivalenceto the isomorphism problem between that infinite class group and finite groups verifing theNormalizer Conjecture. Our main purpose is the Normalizer Conjecture and the IsomorphismConjecture relationship remarked in the cited article to the groups above. Following, we considera group ring theorem to the central units subgroup firstly communicated in [9] and generalized in[17] and [7]. We point up the importance of such theorem to the Group Ring Theory and we givea short and a new demonstration to Mazur’s equivalence theorem from using a suitable centralunit altogether with its structure lightly by the Central Unit Theorem on focus. We concludethis work sketching the ZA5 central units subgroup on showing it is a free finitely generatedgroup of rank 1 from the presenting construction in Aleev’s article [1].

viii

Sumário

0.1 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii

0.2 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi

1 PRELIMINARES 1

1.1 Grupos e Anéis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Noções Básicas da Teoria dos Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.2 Anéis Semi-Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2 anéis de grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.1 Unidades Centrais em anéis de grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.2.2 Produto Cruzado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2 ANÉIS DE GRUPO ISOMORFOS DE GRUPOS INFINITOS 25

2.1 O Problema do Isomorfismo e a Conjectura do Normalizador . . . . . . . . . . . 25

2.2 O Problema do Isomorfimo para Grupos Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3 AS UNIDADES CENTRAIS NO PROBLEMA DO ISOMORFISMO 35

3.1 Um Teorema de Estrutura das Unidades Centrais em anéis de grupo . . . . . . . 36

3.2 As Unidades Centrais em anéis de grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.3 Reflexão sobre Alguns Resultados Obtidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4 O GRUPO DAS UNIDADES CENTRAIS DE ZA5 47

4.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.1.1 Teoria de Caracteres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

x SUMÁRIO

4.1.2 Teoria dos Números . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.1.2.1 O Teorema dos Invert́ıveis de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . 55

4.1.2.2 Invert́ıveis em Corpos Quadráticos . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.2 O Grupo das Unidades Centrais em RG com G Finito . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.2.1 O Grupo das Unidades Centrais U(ZA5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

0.2 Introdução xi

0.2 Introdução

Seja G um grupo, e R um anel associativo com unidade. O anel de grupo RG é um R-módulolivre com base G, cuja multiplicação é induzida pela multiplicação de G.

Os anéis de grupo relacionam-se com a Teoria dos Anéis, Teoria dos Grupos, Teoria dosNúmeros, Teoria dos Anéis de Matrizes sobre Anéis de Divisão, entre outras, o que torna a teoriainteressante em si mesma. Além de que, a teoria alcança várias áreas da matemática como,por exemplo, Cohomologia de Grupos Finitos ou Topologia Algébrica, implicando, portanto,preparo e conhecimento matemático em importantes áreas de pesquisa. Grandes matemáticos,como Hans J. Zassenhaus, A. Amitsur têm contribúıdo nessa área. D. S. Passman também temcolaborado, significativamente, com problemas como a Semi-Simplicidade de uma Álgebra deGrupo e Os Divisores de Zero ([16]), isto é, para grupos livres de torção é perguntado se o anelKG, para K um corpo, tem divisores de zero.

A seguir citaremos algumas das conjecturas e problemas relevantes da área ([22]):

• (NC) Seja α uma unidade de U1(ZG) que normaliza o grupo G. Então existe g ∈ G, euma unidade central w, tal que α = gw. Ou seja, a conjugação de α sobre G é induzidapor um elemento de G.

• (ISO) Seja ZG um anel de grupo. Pode-se afirmar que a classe de isomorfismo de G édeterminada por ZG?

• (ZC1) Seja α uma unidade de torção. Então, existe uma unidade u ∈ QG, tal queu−1αu ∈ ±G.

• (ZC3) Seja H um subgrupo finito de ZG, tal que �(H) = 1, onde � é o homomorfismo deaumento. Então, H é conjugado em QG a um subgrupo de G.

Os problemas e conjecturas acima são de fácil enunciado, mas como a maioria dos problemas,nessa área, são de dif́ıcil verificação. Muitos deles estão em aberto há mais de meio século. Valeobservar que as conjecturas (ZC) foram formuladas pelo famoso matemático alemão Hans J.Zassenhaus. Berman e Higman, de certa forma, foram os primeiros a verificarem as conjecturasde Zassenhaus para determinada classe de grupos finitos. De fato, como conseqüência de seustrabalhos, temos o seguinte resultado:

Teorema 0.2.1. Seja G um grupo abeliano finito. Então, as unidades de torção de ZG sãotriviais.

Esse resultado, recentemente, foi estendido por Bovdi-Marciniak-Sehgal ([2]) para gruposabelianos em geral (veja também [17]).

xii SUMÁRIO

Teorema 0.2.2. Seja G um grupo, e u ∈ ZG uma unidade central normalizada. Se u é elementode torção, então u ∈ G.

Neste trabalho oferecemos uma nova demonstração para esse resultado.

Em 1995, M. Mazur mostrou [14] uma ı́ntima ligação entre a conjectura do isomorfismo e aconjectura do normalizador. Roggenkamp e Marcianiak [12] valeram-se dessa descoberta paraproduzir um contra-exemplo à conjectura do isomorfismo para certa extensão de Z, demons-trando que a conjectura do normalizador é falsa, se o anel de coeficientes não for Z.

No artigo Sobre o Problema do Isomorfismo para anéis de grupo de grupos Infinitos, MarcinMazur apresenta um teorema para anéis de grupo sobre a famı́lia dos grupos infinitos do tipoK = G× < t >, sendo G um grupo finito, e t um elemento de ordem infinita. Esse teoremamostra que o problema do isomorfismo para os grupos infinitos, do tipo acima, equivale aoproblema do isomorfismo para grupos finitos, que verifiquem a conjectura do normalizador.

Uma conseqüência desse teorema é a relação, para essa famı́lia de grupos, entre o Problemado Isomorfismo e a Conjectura do Normalizador. Portanto, como corolário desse teorema, paraos grupos da forma K, demonstramos neste trabalho que K satisfaz o Problema do Isomorfismo,se e somente se, G satisfaz o Problema do Isomorfismo e a Conjectura do Normalizador.

Tal propriedade, que relaciona essas duas conjecturas, até então, não era conhecida. Demodo que, a partir desse teorema de Mazur a tentativa de produzir um contra-exemplo para oProblema do Isomorfismo passou a considerar, para isso, também, a Conjectura do Normalizador.

Em 1996, Hertweck, usando essas idéias, anunciou um contra-exemplo para a conjectura doisomorfismo sobre os inteiros. Isto colocaria fim a uma conjectura que está em aberto há maisde meio século! Porém, a prova final, até o momento, ainda não foi publicada em artigo.

Jespers, Parmenter e Sehgal, em [9], provaram o seguinte resultado:

Teorema 0.2.3. Seja G um grupo nilpotente finitamente gerado, T (G) o subgrupo de torção deG, e u ∈ ZG uma unidade central. Então, existe g ∈ G, e w ∈ ZT (G), tal que u = gw.

Esse é um dos resultados mais importantes de estrutura de unidades centrais, em anéis degrupo, que se conhece. E. Jespers e O. S. Juriaans, usando esse teorema, generalizaram osresultados de Mazur em [14], e provaram que para grupos nilpotentes finitamente gerados existeuma forte ligação com várias outras conjecturas.

Um contra-exemplo para uma determinada conjectura para grupos nilpotentes finitamentegerados implicaria uma outra para os grupos finitos. Por exemplo, em [7] é provado que se aclasse de nilpotência de G não for um invariante do anel de grupo, então existe uma imagemhomomórfica finita de G, que é um contra-exemplo à famosa conjectura sobre os grupos dedimensão. Isso mostrou que as unidades centrais desempenham papel fundamental em anéis

0.2 Introdução xiii

de grupo, porém só recentemente esse papel está tornando-se claro. Em [8] é demonstrado umteorema de caracterização para NU1G, o subgrupo normalizador de um grupo G no grupo dasunidades normalizadas de ZG (teorema 1), permitindo novos resultados em anéis de grupo.

O teorema de estrutura para as unidades centrais foi também empregado em [9] e [7],[17], [8]para calcular subgrupos de ı́ndice finito no subgrupo de unidades centrais do grupo de unidadespara grupos nilpotentes finitamente gerados, e para grupos em geral, respectivamente. Noentanto, somente em alguns casos, tem-se uma descrição completa de subgrupos de unidadescentrais do anel. [1] foi o primeiro a exibir o subgrupo do centro do anel de grupo sobre osinteiros para os grupos alternados A5, A6 e A7. Para esses grupos o subgrupo de unidadescentrais é ćıclico. É importante lembrar que Ritter e Sehgal provaram em [18] que a trivialidadedo grupo de unidades centrais depende apenas do grupo G em questão.

Os fatos acima evidenciam que as unidades centrais têm papel fundamental na verificaçãode importantes conjecturas da área e na descrição do grupo de unidades centrais de um anel degrupo. Por isso elas serão objeto de estudo sistemático desta dissertação.

Em linhas gerais temos o seguinte cenário: Mazur anuncia um teorema para o problemado isomorfismo para anéis de grupo, cujo grupo base é um grupo infinito. Concomitantemente,Jespers, Parmenter e Sehgal publicam um teorema de estruturas para as unidades centrais de umgrupo nilpotente finitamente gerado, o qual caracteriza a unidade central de um anel de grupoRG, para um anel R que é G-adaptado. A famı́lia de grupos, apresentada por Mazur, satisfaz ascondições do teorema para as unidades centrais, de modo que, utilizando-se adequadamente essarepresentação para a unidade central, é posśıvel simplificar a demonstração dada por Mazur,bem como exibir a unidade a qual seu teorema refere-se.

Este trabalho constitui-se de três partes: inicialmente discutimos o teorema de Mazur para oproblema do isomorfismo em anéis de grupo, cujo grupo base seja da forma H×C∞, apresentandoa relação existente entre o Problema do Isomorfismo, daqui em diante tratado por (ISO) ea Conjectura do Normalizador, referida por (NC). Apontamos para um corolário que indicaexatamente uma famı́lia de grupos que refute a (ISO), para o caso infinito, e observamos apossibilidade de uma nova demonstração a partir da consideração de uma unidade central noanel de grupo. Em seguida, passamos à consideração do centro das unidades de um anel degrupos e demonstramos um teorema de estrutura para esse subgrupo. Apresentamos uma outrademonstração para o teorema discutido anteriormente sobre (ISO) para anéis de grupo cujogrupo base é infinito. Obtemos como resultado do teorema, anteriormente mencionado, deestrutura para as unidades centrais de um anel de grupo, que o subgrupo das unidades centraisé finitamente gerado. Ademais, é ainda posśıvel construir subgrupos do grupo das unidadescentrais, de ı́ndice finito sobre esse grupo, a partir de um número finito de geradores. Conclúımosa dissertação construindo o grupo das unidades centrais para um grupo tipo Mazur, cujo centrodas unidades é obtido pelo centro das unidades do anel ZA5. Nossa escolha para tal exemplo

xiv SUMÁRIO

justifica-se porque Aleev, [1], determinou completamente esse subgrupo e não um subgrupo destede ı́ndice finito.

Caṕıtulo 1

PRELIMINARES

Admitimos conhecidas as definições de grupos, módulos e anéis. Utilizamos, ao longo do texto,as letras G,H,K,L para os grupos, M para os módulos, e R,S, ou Z para os anéis, esse últimoo anel dos inteiros. Para o subgrupo das unidades de um anel usamos a letra U ; o conjunto doselementos de torção de um anel de grupo está denotado por T ; Ker(ϕ) é o núcleo de um dadomorfismo ϕ, e Aut(G), ou Aut(K) são os grupos dos automorfismos, respectivamente, de umgrupo G ou um corpo K. Salvo referência indicada, os anéis considerados são associativos comunidade. Para a ordem de um elemento g de um grupo, utilizamos o(g), enquanto que para aordem de um grupo, ou para a cardinalidade de um conjunto, por exemplo C, denotamos por|C|. As principais fontes utilizadas, para a teoria de Grupos e Anéis, são as referências [19] e[6], respectivamente.

1.1 Grupos e Anéis

A seguir apresentamos alguns resultados conhecidos na teoria de grupos, que serão utilizadosnas discussões procedentes.

1.1.1 Noções Básicas da Teoria dos Grupos

Seja G um grupo. Podemos, para um subgrupo H de G, considerar os conjuntos formadospela operação de cada elemento g ∈ G com o subgrupo H, por exemplo, à esquerda, isto é,G ·H = {g ·H, com g ∈ G}. Os elementos desse conjunto são as classes laterais do subgrupo Hem G. A cardinalidade deste é definida como o ı́ndice de H em G e denotada por [G : H], ouseja, o número de classes laterais de H em G. Podemos obter o grupo G a partir do conjuntodas classes laterais, isto é, definindo-se um transversal de H em G, denotado por T , como um

2 PRELIMINARES

conjunto formado a partir das classes laterais de H em G, ou seja, T = {t: t ∈ gH, para cada g∈ G, e t um único elemento de gH}. Nesse caso

G =⋃̇t∈T

tH.

Teorema 1.1.1. ([19], 1.3.11) Seja G um grupo, e H,K dois subgrupos de G. Então [G :H ∩K] ≤ [G : H][G : K] com a igualdade válida para [G : K] e [G : H] inteiros co-primos.

Corolário 1.1.2. (Teorema de Poincaré)([19], 1.3.12) A intersecção de um conjunto finitode subgrupos, cada qual de ı́ndice finito, é também de ı́ndice finito.

Definição 1.1.3. Seja G um grupo. Dizemos que g ∈ G é um elemento de torção se existe uminteiro n tal que gn = 1. Denotamos por T (G) o conjunto de todos os elementos de torção dogrupo G. Dizemos que G é de torção se G = T (G) e que G é livre de torção se T (G) = {1}.Se existir um inteiro m, tal que gm = 1, para todo g ∈ G, o menor número inteiro com essapropriedade é denominado expoente de G e denotado por exp(G).

Para um grupo G, não é sempre verdadeiro que o conjunto T (G) seja um subgrupo de G,embora isso ocorra para os grupos abelianos, [19].

Proposição 1.1.4. ([19], 4.2.9) Um grupo abeliano finitamente gerado que é de torção é umgrupo finito.

Teorema 1.1.5. Seja G um grupo, e N um subgrupo normal finito de G. Se G/N é livre detorção, então N = T (G), com T (G) a torção de G. Ademais, se g 6= 1 ∈ G/T (G), entãoo(g) =∞.

Teorema 1.1.6. (Teorema da Correspondência para Grupos) Seja σ : G � H um epi-morfismo. Então há uma correspondência biuńıvoca entre os subgrupos normais de H e ossubgrupos normais de G que contêm o subgrupo Ker(σ).

Definição 1.1.7. Seja G um grupo. O comutador, ou grupo derivado de G é definido comoG′ =< [a, b] = aba−1b−1, a, b ∈ G >. Dizemos, também, que G′ é o subgrupo comutador de G.Seja X1 e X2 subgrupos de G. Podemos definir o subgrupo comutador de X1 e X2 como

[X1, X2] =< [a, b] = aba−1b−1, tal que a ∈ X1, b ∈ X2 > .

A partir daqui, se a, b são elementos de um grupo G, denotamos

aba−1 := ba.

Proposição 1.1.8. Sejam x, y, z elementos de um grupo. Então

[xy, z] = [y, z]x[x, z].

1.1 Grupos e Anéis 3

Pela proposição anterior, tem-se que [x2, y] = [xx, y] = [x, y]x[x, y].

Proposição 1.1.9. Seja G um grupo, e N um subgrupo de G, tal que N contém G′. Então Né um subgrupo normal em G.

Proposição 1.1.10. Seja G um grupo, e N um subgrupo normal de G. Então

G/N é abeliano ⇐⇒ N ⊃ G′.

Teorema 1.1.11. (Teorema de Schur) Seja G um grupo, tal que [G : Z(G)] = n , subgrupo normal de G, de modo que G/N é um grupo finito e N temuma série subnormal

< t >= N0 �N1 =< 1 >

cujos fatores são ćıclicos.

Definição 1.1.14. Um grupo G é noetheriano se G satisfaz a condição de cadeia ascendentesobre seus subgrupos, isto é, se qualquer seqüência

G0 ⊆ G1 ⊆ · · · ⊆ Gn ⊆ · · · ,

de subgrupos de G estaciona, ou seja, existe k, natural, tal que Gk+i = Gk, para todo i inteironão negativo.

4 PRELIMINARES

Os únicos exemplos conhecidos de grupos noetherianos são os grupos polićıclicos-por-finito,veja [21].

Definição 1.1.15. Definimos um grupo G ordenado se os elementos de G podem ser linearmenteordenados de um modo compat́ıvel com a operação do grupo. Ou seja, os elementos de G estãolinearmente ordenados pela relação de ordem �, e para todo a, b, c ∈ G, a � b implica ac � bc eca � cb.

Inferimos dessa definição que todo grupo ordenado é livre de torção.

Teorema 1.1.16. ([22], corolário 6.45.4) Seja G um grupo nilpotente livre de torção. Então Gé um grupo ordenado.

Teorema 1.1.17. ([19], 5.2.6) Seja P uma propriedade grupo-teórica herdada por imagens deprodutos tensoriais e por extensões. Se G é um grupo nilpotente, tal que G/G′ possui essapropriedade P, então também, o grupo G satisfaz P.

Teorema 1.1.18. Seja G um grupo nilpotente. Então o conjunto dos elementos de torção deG forma um subgrupo normal de G. Ademais, se G é um grupo finitamente gerado, então T (G)tem ordem finita, e o grupo G/T (G), que é livre de torção e finitamente gerado, é ordenado.

Demonstração. Pelo teorema 1.1.17, T (G) é um subgrupo normal de G. Considerando o grupoG finitamente gerado, seja T ′ o comutador de T (G), T (G)/T ′ é um grupo abeliano finitamentegerado, logo pela proposição 1.1.4, esse grupo quociente é finito. Considere para a propriedadegrupo-teórica do teorema 1.1.17 P =finita. Assim, por esse teorema, se |T (G)/T ′| é finita, então|T (G)| é finita. Finalmente, G/T (G) é um grupo nilpotente livre de torção. Portanto, peloteorema 1.1.16, este é ordenado.

Definição 1.1.19. Seja G um grupo, dizemos que dois subconjuntos de G, S e S′, são conjugadosse existe um elemento g de G, tal que S′ = gSg−1. A classe de conjugação de S é o conjuntodos subconjuntos de G que são conjugados a S. Denotamos cl(S) = {S′ ⊂ G: ∃ g ∈ G comgS′g−1 = S}. No caso de S = {g}, cl({g}) .= cl(g) = {h ∈ G: ∃ x ∈ G com xhx−1 = g}, essa éa classe de conjugação de g em G. Desse modo, dizemos que h ∼ g se h ∈ cl(g).

Definição 1.1.20. Seja G um grupo, e S um subconjunto deste. Definimos o centralizador deS em G, notado por CG(S), por

CG(S) = {g ∈ G : ∀s ∈ S, gs = sg};

CG(g) = {h ∈ G: gh = hg} é o centralizador de g em G.

Definição 1.1.21. Seja G um grupo, e S um subconjunto de G. Definimos o normalizador deS em G por

NG(S) = {g ∈ G : gSg−1 ⊂ S}.

1.1 Grupos e Anéis 5

Proposição 1.1.22. Seja G um grupo. Se S é um subconjunto de G, então [G : NG(S)] =|cl(S)|.

Corolário 1.1.23. Seja G um grupo e x ∈ G. Então [G : CG(x)] = |cl(x)|.

Definição 1.1.24. Seja G um grupo. Definimos o FC-centro de G, que denotamos por ∆(G),por

∆(G) = {g ∈ G : |cl(g)|

6 PRELIMINARES

Seja N :=⋂

16=x∈YNx, pelo teorema 1.1.2, [G : N ] < ∞. Sendo |G| = ∞. Então N 6=< 1 >.

Seja π : G −→ G/N . Suponha x 6= y ∈ Y , tais que π(x) = π(y); π(xy−1) = 1 =⇒ xy−1 ∈Ker(π) = N . Então z = xy−1 ∈ N ⊂ Nz =⇒ z ∈ Nz. Contradição. Portanto, x = y.

Considere F e Λ uma famı́lia de grupos e de ı́ndices, respectivamente. Seja F = {Gλ, λ ∈ Λ}.Definimos

C =∏λ∈Λ

Gλ

o produto cartesiano dos membros da famı́lia de grupos, ou seja, C é o conjunto de vetores(gλ)λ∈Λ, no qual gλ ∈ Gλ, para cada λ ∈ Λ.

Definição 1.1.31. O produto direto externo dos grupos da famı́lia F é o conjunto dos elementosde C, isto é, (gλ)λ∈Λ ∈ C, cujos termos gλ são os elementos neutros de Gλ, a menos de umnúmero finito desses elementos. Denotamos o produto direto externo por

D = Drλ∈ΛGλ.

O produto direto externo D é um subgrupo normal de C. Considerando-se para cada ı́ndiceλ0 ∈ Λ o homomorfismo de inclusão iλ0 : Gλ0 ↪→ C, que associa a cada elemento de Gλ0 aidentidade de Gλ na posição λ 6= λ0, e os elementos de Gλ0 na posição λ0, temos assim, asseguintes relações:

i. D =< iλ(Gλ) : λ ∈ Λ >;

ii. < iλ(Gλ) : λ ∈ Λ >⋂µ6=λ

< iµ(Gµ) : µ ∈ Λ >= 1C , ∀ λ, µ ∈ Λ.

Definição 1.1.32. Seja H um grupo, e F = {Hλ : λ ∈ Λ} uma famı́lia de subgrupos normaisem H, tais que:

i. H =< Hλ : λ ∈ Λ >;

ii. Hλ ∩ < Hµ : µ ∈ Λ, µ 6= λ >= 1H , ∀ λ ∈ Λ.

Então, dizemos que H é o produto direto interno de Hλ, denotado por:

H = Driλ∈ΛHλ.

Consideremos πλ : D −→ Gλ a projeção canônica. Se definirmos ϕ : Drλ∈ΛGλ −→ Driλ∈ΛHλ,tal que ϕ((gλ)) =

∏πλ(gλ). Então ϕ é um isomorfismo; ϕ é um homomorfismo: ϕ((g1λ)(g

2λ)) =∏

πλ(g1λg2λ), pela propriedade 2 do produto direto interno,

∏πλ(g1λ)πλ(g

2λ) =

∏πλ(g1λ)

∏πλ(g2λ) =

1.1 Grupos e Anéis 7

ϕ(g1λ)ϕ(g2λ); ϕ é sobrejetora, pois para todo g = g1. · · · .gn ∈H, este é o produto de um número fi-

nito de elementos gλ ∈Hλ, não idênticos à unidade, e, portanto, existeD 3 x = iλ1(g). · · · .iλn(g),tal que ϕ(x) = g; pela propriedade 2, Ker(ϕ) = 1, logo ϕ é um isomorfismo.

Definição 1.1.33. Seja G um grupo, e H e N subgrupos de G, tal que N seja normal em G,G = HN , e H ∩ N = {1}. Então dizemos que G é o produto semidireto interno de H e N , edenotamos isso por G = N oH, ou H nN . Nesse caso, podemos definir um homomorfismo degrupos

α : H −→ Aut(N), porh 7→ αh : N −→ N

n 7→ hnh−1.

Definição 1.1.34. Sejam H e N dois grupos, e α : H −→ Aut(N) um homomorfismo degrupos. Introduzimos a seguinte notação: α(h) : N −→ N , com α(h) .= hα e hα(n) .= nhα. Oproduto semidireto externo entre H e N , dado o homomorfismo α, denotando-o por H nαN ouNαoH, é o conjunto de todos os pares (n, h), n ∈ N e h ∈ H, com a seguinte operação:

(n, h)(n1, h1) = (nnhα

1 , hh1).

Observação 1.1.35. Assim como fizemos para o produto direto externo, consideramos as in-clusões:

iH : H ↪→ G iN : N ↪→ Gh 7→ (1N , h) n 7→ (n, 1H),

definindo H∗ = iH(H) e N∗ = iN (N). Então H∗ ∼= H e N∗ ∼= N , H∗ e N∗ são subgrupos deG, tais que são verificadas as seguintes condições:

i. G = N∗H∗;

ii. N∗ ∩ H∗ = {1}, sendo N∗ subgrupo normal de G, isto é, para o par (x, y), com x ∈ N , e y∈ H,

(x, y)(n, 1H)(x, y)−1 = (xnyα, y)(x−1, y−1) = (xnh

α(x−1)y

α, 1H) ∈ N∗.

Então G = N∗oH∗ = NoαH. Sendo N isomorfo a N∗, podemos identificá-los indistintamenteno produto semidireto interno, ou no produto semidireto externo.

Proposição 1.1.36. Seja G um grupo, H e N subgrupos de G, sendo o subgrupo N normal emG, e α : H −→ Aut(N), um homomorfismo. Então podemos identificar o produto semidiretointerno com o produto semidireto externo

H nα N = H nN.

8 PRELIMINARES

1.1.2 Anéis Semi-Simples

Definição 1.1.37. Seja M um R-módulo; M é denominado simples se os seus únicos R-submódulos são os triviais, ou seja, 0 e M são os únicos R-submódulos de M .

Definição 1.1.38. Seja M um R-módulo. Seja {Ni}i∈I uma famı́lia de R-submódulos do móduloM , para o qual I é uma famı́lia de ı́ndices. Dizemos que M é soma direta dos R-submódulos Nise todo elemento m ∈ M pode-se escrever, de modo único, na forma

m =∑i∈I

ni, ni ∈ Ni,

ou equivalentemente, satisfazendo as seguintes condições:

i. M =∑i∈I

Ni;

ii. Nj ∩ (∑I3i 6=j

Ni) = 0, ∀ j ∈ I.

Nesse caso, denotamosM ∼=

⊕i∈I

Ni,

e cada Ni é um somando direto de M .

Definição 1.1.39. Seja M um R-módulo; M é um módulo semi-simples se todo R-submódulode M é um somando direto de M .

Proposição 1.1.40. Seja M um R-módulo semi-simples. Se N é um R-submódulo de M , entãoN é um módulo semi-simples e contém um módulo simples.

Podemos considerar um anel R como um R-módulo, sobre si mesmo, à esquerda. Denotamosisso por RR; note que os R-submódulos do RR são os ideais à esquerda do anel R.

Definição 1.1.41. Seja R um anel. Dizemos que R é semi-simples se o R-módulo RR forsemi-simples.

Com o seguinte teorema, estaremos em condições de caracterizar um anel semi-simples apartir de seus ideais minimais laterais.

Teorema 1.1.42. Seja M um R-módulo; M é semi-simples, se e somente se, M é soma diretade R-submódulos simples.

Dizemos que o comprimento de um R-módulo semi-simples é o número de componentessimples na decomposição do módulo em soma direta de R-módulos simples.

1.1 Grupos e Anéis 9

Definição 1.1.43. Um anel R é artiniano(noetheriano) se toda cadeia descendente(ascendente)de ideais estabiliza-se, ou equivalentemente, se toda famı́lia de ideais de R admite um elementominimal(maximal).

Proposição 1.1.44. Se o anel R é semi-simples, então o R-módulo à esquerda RR é um módulode comprimento finito, isto é, RR é um R-módulo artiniano e noetheriano.

Teorema 1.1.45. Seja R um anel. São equivalentes:

i. Todo R-módulo é semi-simples;

ii. R é semi-simples;

iii. R é soma direta finita de ideais à esquerda minimais.

Teorema 1.1.46. Seja R um anel semi-simples com unidade. Então existe uma famı́lia F ={e1, ..., en} de elementos de R, tal que:

i. e2i = ei, 1 ≤ i ≤ n (idempotentes);

ii. eiej = δij (ortogonais);

iii. 1 =n∑i=1

ei (F é uma famı́lia completa de idempotentes ortogonais);

iv. Se ei = e′i + e′′i , com e

′i e e

′ii idempotentes ortogonais distintos, então e

′i, e′′i ∈ {0, ei} (primi-

tivos).

Reciprocamente, se F = {e1, ..., en} satisfaz as condições acima, então Li = Rei é um ideal àesquerda minimal, e

R ∼=n⊕i=1

Li.

Lema 1.1.47. Seja R um anel semi-simples, M um R-módulo simples, e L um ideal à esquerdaminimal de R. Então LM 6= 0⇐⇒ L ∼= M . E, nesse caso, LM = M .

Proposição 1.1.48. Seja R ∼=n⊕i=1

Li, um anel que é isomorfo à soma direta de ideais à esquerda

minimais, e seja M um R-módulo simples. Então M ∼= Li para algum ı́ndice i.

Lema 1.1.49. Seja L um ideal à esquerda minimal de um anel R semi-simples, e seja B a somade todos os ideais à esquerda de R isomorfos ao ideal L. Então B é um ideal bilateral de R.

Lema 1.1.50. Seja I um ideal bilateral de um anel R semi-simples. Se I contém um ideal àesquerda minimal de L, então I contém todo ideal à esquerda minimal de R que é isomorfo aoideal L.

10 PRELIMINARES

Teorema 1.1.51. Nas condições do lema 1.1.49, o ideal bilateral B é um ideal bilateral minimal.Logo, considerado como anel, ele é simples.

Se consideramos R um anel semi-simples, cujos ideais à esquerda minimais são Li, sabemos

que R ∼=n⊕i=1

Li. Tomando-se S = {Li1 , · · · , Lij}, 1 ≤ ij ≤ n, um conjunto com todos, a

menos de isomorfismos, os tais ideais não isomorfos entre si. Então Ai =∑

S3Lji∼=Lk

Lk é um ideal

bilateral de R, com 1 ≤ k ≤ n e 1 ≤ i ≤ |S| = m.

Teorema 1.1.52. Com a notação acima, se A é um anel semi-simples, então o anel A é

isomorfo à soma direta de um número finito de anéis simples, isto é, R ∼=m⊕i

Ai, com AiAj = 0,

se i 6= j.

Teorema 1.1.53. (Teorema de Artin-Wedderburn) Um anel R é semi-simples, se e so-mente se,

R ∼= Mn1(D1)⊕ · · · ⊕Mns(Ds),

no qual Di é um anel de divisão, e Mni(Di) é uma matriz ni × ni sobre Di com 1 ≤ i ≤ s.

1.2 anéis de grupo

Definição 1.2.1. Seja G um grupo, e R um anel. O anel de grupo RG é o conjunto formadopelas somas formais

∑g∈G

αgg, sendo αg = 0, a exceção de um número finito de termos em cada

soma, e αg ∈ R, g ∈ G, com as seguintes operações:∑g∈G

αgg +∑g∈G

βgg =∑g∈G

(αg + βg)g,

(∑g∈G

αgg)(∑h∈G

βhh) =∑g,h∈G

(αgβh)gh,

rg = gr, ∀g ∈ G, e r ∈ R.

Definimos o suporte de α ∈ RG como o conjunto dos elementos g ∈ G, cujo escalar αg ∈ R sejanão nulo, isto é, se α =

∑g∈G

αgg. Então

Supp(α) = {g ∈ G tal que αg 6= 0}.

Pela definição de RG, temos que a cardinalidade de Supp(α) é finita.

1.2 anéis de grupo 11

Definição 1.2.2. Seja R um anel comutativo. Uma R-álgebra é um anel A, com estrutura deR-módulo, tal que a multiplicação de A, como anel, e a multiplicação, com relação à estruturade R-módulo, são compat́ıveis no seguinte sentido

x(ab) = (xa)b = a(xb)∀x ∈ R; a, b ∈ A.

Quando R é um corpo, uma base para a R-álgebra A é uma base para A vista como R-espaçovetorial. Nesse caso, a R-álgebra A é dita de dimensão finita sobre R se admite uma R-basefinita.

Proposição 1.2.3. Seja R um anel comutativo, e G um grupo. O anel de grupo RG é umaR-álgebra.

Definição 1.2.4. Seja dada uma seqüência de R-módulos e R-homomorfismos

· · · // Mi−1ϕi // Mi

ϕi+1 // Mi+1 // · · · .

Essa seqüência é dita exata em Mi, quando Im(ϕi) = Ker(ϕi+1). Uma seqüência é exata quandoé exata em cada componente Mi.

Definição 1.2.5. Dizemos que um R-módulo N é plano se dada uma seqüência exata à esquerda

0ϕ1 // · · · // Mi−1

ϕi // Miϕi+1 // Mi+1 // · · · .

Então, a seqüência

0ϕ1⊗1// · · · // Mi−1

⊗R

N ϕi⊗1 // Mi⊗R

N ϕi+1⊗1// Mi+1⊕R

N // · · ·

é exata à esquerda.

Teorema 1.2.6. Seja R um anel, e sejam os grupos A,G,H. Se RG ∼= RH, então R[G×A] ∼=R[H ×A].

Demonstração. Seja θ : RG −→ RH um isomorfismo. Então a seqüência

0 // RGθ // RH // 0

é exata. O anel de grupo RA é uma álgebra livre, portanto, um módulo plano. Dessa forma, aseqüência

0 // RG⊗R

RA θ⊗1 // RH⊗R

RA // 0

12 PRELIMINARES

é exata. Logo RG⊗R

RA ∼= RH⊗R

RA (∗). Portanto, é suficiente mostrar que R[G × A] ∼=

RG⊗R

RA. Para isso, definimos

ν : RG×RA −→ R[G×A](∑g∈G

rgg,∑a∈G

saa) 7→∑g,a∈G

rgsa(g, a), que é uma função balanceada.

Seja

f : RG×RA −→ B uma aplicação balanceada.

Definimosf∗ : R[G×A] −→ B∑

g,a∈Grga(g, a) 7→

∑g,a∈G

rgaf(g, a).

Então, temos que f∗ ◦ ν = f , isto é, o diagrama

R[G×A]

f∗

��999

9999

9999

9999

>|||||||||||||||| f // B

comuta. Pela propriedade universal do produto tensorial, temos que R[G × A] ∼= RG⊗R

RA.

Logo, obtemos que

R[G×A] ∼= RG⊗R

RA ∼= RH⊗R

RA ∼= R[H ×A].

Corolário 1.2.7. Seja C∞ um grupo ćıclico infinito. Se ZG ∼= ZH, então Z[G× C∞] ∼=Z[H × C∞].

Teorema 1.2.8. (Teorema de Mashke) Suponha |G|

1.2 anéis de grupo 13

Definaπ̂ : KG −→ KG

α 7→ 1|G|

∑g∈G

g−1π(αg).

Ocorre que g−1π(αg) ∈M , pois M é KG-submódulo; de fato, π(KG) ⊂M , π̂(α) ∈M , portanto,Im(π̂) ⊂ M . Tome m ∈ KG, π̂(m) = 1

|G|∑g∈G

g−1π(mg), mas π(mg) ∈ M =⇒ π(mg) =

π(m)g = gπ(m), então, π̂(m) = π(m), para todo m ∈ KG. Portanto, π̂ = π̂2. Logo π̂ é umaprojeção; π̂ é KG-linear, pois sabemos que π̂ é K-linear. De fato, π é K-linear, seja h ∈ G, x ∈KG, então π̂(hx) =

1|G|

∑g∈G

g−1π(ghx) =1|G|

∑g∈G

h(h−1g−1)π(ghx) =h

|G|∑g∈G

(gh)−1π(ghx) =

h

|G|∑y∈G

y−1π(yx) = hπ̂(x). Portanto, π̂ é KG-linear. Então para a seqüência exata

1 // Ker(π̂) // KGπ̂ //

M,i

oo

π̂ ◦ i = i. Portanto, a seqüência cinde, e KG ∼= M ⊕Ker(π̂).

Corolário 1.2.9. Para todo K ⊃ Q e |G| < ∞, KG é semi-simples. Ou seja, KG ∼=n∑i=1

Mni(Di).

Lema 1.2.10. Nas condições do corolário 1.2.9, se K é um corpo algebricamente fechado, entãoas seguintes afirmações são verdadeiras:

i. Di = K, para todo i;

ii. |G| =n∑i=1

n2i ;

iii. dimK(Z(KG)) = n, o número de componentes simples de KG;

iv. Z(KG) ∼=n⊕i=1

K.

Demonstração. Sendo G um grupo finito. Então [KG : K] < ∞. O anel KG é semi-simples

e, portanto, pelo Teorema de Artin-Wedderburn KG ∼=s⊕i

Mni(Di). Então dimK(KG) = k =

s∑i=1

dimK(Mni(Di)) =∑

n2i [Di : K] < ∞ (∗). Logo dimK(Mni(Di)) < ∞ =⇒ [Di : K] < ∞.

Dáı, Di é algébrico sobre K para todo 1 ≤ i ≤ s. Seja α ∈ Di, e Irr(α,K)(X) = Fα(X)∈ K[X] o polinômio irredut́ıvel de α. Esse polinômio é não nulo, pois sendo Di algébrico,

14 PRELIMINARES

podemos supor que [K(α) : K] = mi, logo o conjunto B = {α, · · · , αmi} é linearmente de-pendente sobre K. Ora, sendo K um corpo algebricamente fechado, α ∈ K. Logo Di = K.

De (∗) e [Di : K] = 1, conclúımos que |G| =s∑i=1

n2i . Para o item iii., basta observar que

Z(Mni(Di)) ∼= Z(Di)Iid = {diag(λ · · ·λ) : λ ∈ Z(Di)}, logo dimK(Z(Mni(Di))) = [Z(Di) : K].

Portanto, dimK(Z(KG)) =s∑i=1

[K : K] = s, o número de componentes simples de KG, pois K

é algebricamente fechado.

Corolário 1.2.11. Se K é algebricamente fechado, e |G| é finito, então dimK(Z(KG)) é onúmero de classes de conjugação de G.

Definição 1.2.12. Seja G um grupo, e R um anel. A aplicação

� : RG −→ R∑g∈G

αgg 7→∑g∈G

αg,

denomina-se homomorfismo de aumento.

O homomorfismo de aumento é um homomorfismo do anel RG. Portanto, Ker(�), o núcleodo homomorfismo, é um ideal de RG.

Teorema 1.2.13. Seja G um grupo, e N um subgrupo normal em G. Então ∆(G,N) .=< 1−h,h ∈ N > é ideal de RG.

Corolário 1.2.14. Nas condições do teorema 1.2.13, RG/∆(G,N) ∼= R(G/N).

Definição 1.2.15. Dizemos que um homomorfismo de anéis

ϕ : RG −→ RH

preserva aumento se dados �G e �H , os homomorfismos de aumento dos anéis RG e RH, res-pectivamente, e α ∈ RG. Então

�G(α) = �H(ϕ(α)).

Isto é, o diagrama

RGϕ //

�G

""FFF

FFFF

FFRH

�H��R

comuta. Nesse caso, se ϕ é um isomorfismo que preserva aumento, dizemos que este é umisomorfismo normalizado.

Definição 1.2.16. Seja G um grupo, e R um anel. Dado α ∈ RG, α =∑g∈G

αgg, definimos o

traço de α por tr(α) = α1. Sendo 1 ∈ G o elemento neutro do grupo G.

1.2 anéis de grupo 15

Teorema 1.2.17. Seja φ um isomorfismo de anéis de grupo sobre o anel dos inteiros. Entãoexiste um isomorfismo, definido a partir de φ, que preserva aumento e traço.

Demonstração. Seja φ : ZG −→ ZH um isomorfismo. Definimos

φ̂ : ZG −→ φ(ZG) = ZH∑g∈G

αgg 7→∑g∈G

αg�H(φ(g))

φ(g).

Mostremos que φ̂ é um isomorfismo de anéis que preserva aumento e traço. A aplicação estábem definida, pois, �H(φ(g)) = ±1. Verificamos que φ̂(1) = 1; φ̂ é um homorfismo de anéis.Tomemos a, b ∈ ZG, com a =

∑agg, b =

∑bgg. Então φ̂(ab) = φ̂(

∑g∈G

agg∑h∈G

bhh) =

φ̂∑g,h∈G

(agbhgh) =∑g,h∈G

agbh�H(φ(gh))

φ(gh) =∑g∈G

ag�H(φ(g))

φ(g)∑h∈G

bh�H(φ(h))

φ(h) = φ̂(a)φ̂(b),

também, para φ̂(a + b) = φ̂(∑g∈G

(ag + bg)g) =∑g∈G

ag + bg�H(φ(g))

g = φ̂(a) + φ̂(b); a aplicação é

injetiva, pois se tomamos a ∈ Ker(φ̂) =⇒∑g∈G

ag�H(φ(g))

φ(g) = 0 e φ(g) 6= 0 =⇒ αg = 0,

porque G é uma Z-base. Logo a = 0; φ̂ é sobrejetiva. Com efeito, dado a ∈ ZH, a =∑g′∈H

ag′g′ =

∑g=φ−1(g′)∈G

agφ(g) =∑g∈G

ag�H(φ(g))�H(φ(g))

φ(g) =∑g∈G

a′g�H(φ(g))

φ(g) = φ̂(a′), para a′ =∑g∈G

ag�H(φ(g))g ∈ ZG. Com isso, podemos mostrar que φ̂ preserva aumento e traço. Seja

α =∑g∈G

αgg um elemento de ZG. Temos que �H(φ̂(α)) = �H(∑g∈G

φ̂(αgg)) = �H(∑g∈G

αgφ̂(g)) =

�H(∑g∈G

αgφ(g)

�H(φ(g))) =

∑g∈G

αg�H(φ(g))

�H(φ(g)) =∑g∈G

αg = �G(α). Portanto, φ̂ preserva aumento.

Pela definição de traço, tr(α) = α(1); tr(φ̂(α)) =α1

�H(φ(1))φ(1), sendo φ(1) = 1h, e �H(φ(1)) = 1.

Então φ̂ preserva traço.

Definição 1.2.18. Seja RG um anel de grupo. Denotamos por U(RG) o conjunto das unidadesde RG, isto é, U(RG) = {α ∈ RG: ∃ β ∈ RG, tal que αβ = βα = 1}. As unidades u = vg,tais que v ∈ U(R) e g ∈ G são chamadas Unidades Triviais. Se u ∈ U(RG) é um elemento detorção, então u é chamada unidade de torção de RG. As unidades, u ∈ U(RG), de aumentoum, �(u) = 1, são chamadas unidades normalizadas. Denotamos por U1(RG) o conjunto dasunidades normalizadas de RG, isto é, U1(RG) = {u ∈ U(RG): �(u) = 1}, que é um subgrupodo grupo das unidades do anel de grupo.

Se |G|

16 PRELIMINARES

Teorema 1.2.19. (Berman-Higman-Passman)([21], 6.45.8) Sejam G um grupo qualquer,γ =

∑g∈G

γgg, uma unidade de torção de ZG e γ1 6= 0. Então γ = ±1.

Corolário 1.2.20. (Bovdi-Marciniak-Sehgal) Se u é uma unidade central de torção de umanel de grupo ZG, então u é trivial.

Observação 1.2.21. Neste trabalho, não apresentamos a demonstração do teorema 1.2.19, poisesta é uma demonstração clássica, encontrada na bibliografia. Para o corolário 1.2.20, quetrata de unidades centrais, julgamos conveniente dar duas demonstrações para esse corolário:a primeira, no final deste caṕıtulo e a segunda, no terceiro caṕıtulo. Ao longo de algumasdemonstrações neste trabalho, referimo-nos ao corolário 1.2.20, “para o caso finito”, ou seja,em condições onde é suficiente supor que o referido grupo G, desse corolário, seja um grupofinito. Isso ocorre, mais exatamente, na demonstração do teorema 3.2.2, que é o mesmo corolário1.2.20, e do corolário 3.1.10. Vale mencionar que essa primeira demonstração é inédita.

Teorema 1.2.22. Sejam G e H dois grupos. Se ZG ∼= ZH, então U1(ZG) ∼= U1(ZH).

Demonstração. Pelo teorema 1.2.17, existe φ̂ : ZG −→ ZH um isomorfismo que preservaaumento. Então φ̂(U1(ZG)) ⊆ U1(ZH), analogamente para φ̂−1, obtemos que U1(ZG) ∼= U1(ZH).

Uma conseqüência imediata, que simplifica muito a condição de isomorfismo entre anéis degrupo de um isomorfismo normalizado, é que podemos, quando RG ∼= RH, considerar RG =RH. Essa identificação é elucidada a partir do seguinte teorema:

Teorema 1.2.23. Seja RG ∼= RH, tal que θ : RG −→ RH seja um isomorfismo normalizado.Então RGθ = RH, isto é, RG = RH, onde θ(G) = Gθ.

Demonstração. Mostremos que Gθ é uma R-base de RH. De fato, seja h ∈ θ(G), existe umúnico g ∈ G, θ(g) = h;

∑h∈Gθ

rhh = 0 =⇒∑h∈Gθ

rhθ−1(h) =

∑h∈Gθ

rhg = 0. Portanto, rh = 0.

Seja x ∈ RH, então θ−1(x) ∈ RG. Portanto, θ−1(x) =∑g∈G

xgg =⇒ x = θ(θ−1(x)) =∑g∈G

xgθ(g)

∈ Rθ(G). Dáı, RGθ = RH. Sendo G ∼= Gθ, podemos identificar G com Gθ e, portanto,RG = RH.

Definição 1.2.24. Seja G um grupo, e R um domı́nio de integridade de caracteŕıstica zero,que satisfaz U(R) ∩ {o(g), tal que g ∈ G, o(g) um número primo } = {1}, isto é, os elementosde ordem prima do grupo G não são invert́ıveis em R. Nesse caso, R é chamado um anelG-adaptado.

1.2 anéis de grupo 17

Lema 1.2.25. ([22], 5.37.1) Qualquer grupo finito de unidades normalizadas de ZG é um con-junto de elementos linearmente independentes em ZG.

Lema 1.2.26. ([22], 5.37.3) A ordem de qualquer H ⊂ U1(ZG) divide a ordem de G.

Corolário 1.2.27. ([22], 5.37.2) Qualquer subgrupo finito de U1(ZG) tem ordem no máximoigual a |G|.

Lema 1.2.28. ([22], 5.37.4) Se H é subgrupo de U1(ZG), com |H| = |G|, então ZH = ZG.

O lema seguinte é uma generalização desses resultados ([21], 5.37.1 a 5.37.4) para um anelR-adaptado e G um grupo finito.

Lema 1.2.29. Seja G um grupo finito. Se R é G-adaptado, e G1 é um subgrupo finito dasunidades normalizadas de RG, então

i. |G1| divide |G|;

ii. se |G1| = |G|, então RG = RG1.

Demonstração. A primeira parte é conseqüência imediata do lema 1.2.26 para anéisR-adaptados.Para a segunda afirmação, é suficiente verificar que se |G| = |G1|, então G1 é uma R-base de RG.Seja

∑g∈G1

agg = 0, calculamos tr(∑g∈G1

aggh−1) = a1 para cada h ∈ G1. Logo ah = 0. Afirmamos

que G1 gera RG: ∀ h ∈ G ∃ xg ∈ R, tal que h =∑g∈G1

xgg ∈ RG1. Para isso, inicialmente,

mostremos que existe a ∈ R, ah =∑g∈G1

agg. De fato, seja K o corpo de frações de R. Então

dimKKG = dimKKG1, pois |G| = |G1|. Logo como h ∈ G, h =∑g∈G1

kgg, sendo kg =agbg

, ag e

0 6= bg ∈ R. Seja a =∏g∈G1

bg nesse caso, ah ∈ RG1. Então para todo b ∈ G1, considere o traço

de ahb−1 =∑g∈G1

aggb−1, tr(ahb−1) = ahb−11 = ab. Dáı a|ab. Logo h =

∑g∈G1

agag =

∑xgg ∈

RG1, com xg =aga

.

Para RG ∼= RH, existem casos onde é importante determinar em que condições os subgruposnormais em G estão em correspondência com os subgrupos normais do grupo H. Para os sub-grupos normais finitos de G, o seguinte teorema mostra que há uma correspondência biuńıvocaentre esses subgrupos e os subgrupos normais finitos do grupo H.

Teorema 1.2.30. (Teorema da Correspondência para Subgrupos Normais Finitos)Seja G um grupo, e R um anel G-adaptado. Suponha que RG ∼= RH. Sendo LFNG o reticulado

18 PRELIMINARES

de subgrupos normais finitos em G, e LFNH o reticulado de subgrupos normais finitos em H,as seguintes afirmações são verdadeiras:

i. Existe uma bijeção φ entre LFNG e LFNH, isto é

φ : LFNG −→ LFNHG�M ←→ N �H;

ii. Se φ(M) = N , então ∆(G,M) = ∆(H,N).

A demonstração desse teorema encontra-se em ([21], III.4.17, III.4.18 e III.4.19).

Definição 1.2.31. Seja RG um anel de grupo. Denotando-se ∼ a relação de conjugação emum grupo G, definida em 1.1.19, para α ∈ RG, α =

∑g∈G

αgg, definimos

α̃g :=∑h∼g

αg =: tcl(g)(α).

Teorema 1.2.32. ([10], Teorema 2.1) Seja G um grupo que contém um subgrupo normal Hlocalmente noetheriano, tal que G/H é um grupo de torção. Se α ∈ U1ZG é uma unidade detorção, e g ∈ G é um elemento de ordem infinita, então α̃(g) = 0.

Esse resultado, originalmente, foi apresentado em [22], proposição 47.5, por Bovdi-Marciniak-Sehgal para grupos noetherianos.

Teorema 1.2.33. ([10], Corolário 2.3) Seja K um grupo, e H um subgrupo localmente no-etheriano, livre de torção e normal em K, tal que K/H seja um grupo de torção. Então ohomomorfismo canônico ψ : ZK −→ Z(K/H) é injetivo sobre os subgrupos de torção de ZK.Em particular, todo subgrupo de torção de U1(ZK) é finito, se o ı́ndice de H em K for finito.

Demonstração. Seja N < U1(ZK), subgrupo finito, e α ∈ N , tal que ψ(α) = 1. Queremosprovar que α = 1. De fato, seja T um transversal de H em G, T = {tλ}, λ ∈ Λ, sendo Λum conjunto de ı́ndices. Então podemos escrever α =

∑λ∈Λ

αλtλ, tλ ∈ T , e αλ ∈ ZH. Logo

1 = ψ(α) = ψ(α1) = �(α1). Portanto,∑h∈H

αh = 1, e existe h0 ∈ H, tal que α̃(h0) 6= 0, por

1.2.31, h0 = 1. Assim, por 1.2.19, α = 1. Portanto, ψ|N é injetiva.

Proposição 1.2.34. Nas condições do teorema anterior, seja K um grupo com G e H subgruposde K, tais que G seja um subgrupo finito, H um subgrupo normal em K, e W um grupo, tal queZK ∼= ZW . Se T é um subgrupo de W , tal que |G| = |T |, e Z(K/H) ∼= ZG, então ZT ∼= ZG.

1.2 anéis de grupo 19

Demonstração. Seja o isomorfismo Ψ : ZW −→ ZK. Pelo teorema anterior o homomorfismocanônico ψ : ZK −→ Z(K/H) é injetivo, quando restrito a F , um subgrupo de torção de ZK.Sendo Ψ um isomorfismo, T ∼= Ψ(T ) ⊂ ZK. Portanto, |T | = |Ψ(T )|. Considere F = Ψ(T ),então ψ|F é injetiva. Sendo ψ(Ψ(T )) ∼= Ψ(T ) ∼= T , esses subgrupos têm a mesma ordem. Pelolema 1.2.29, com Z um anel G-adaptado, sendo ψ(Ψ(T )) ⊂ ZK/H = ZG, e G ⊂ U1Z(K/H),então Zψ(Ψ(T )) = ZG. Logo ZT ∼= ZG.

1.2.1 Unidades Centrais em anéis de grupo

Lema 1.2.35. Seja G um grupo finito, e k1, · · · , ks as classes de conjugação de G. Seja Ki =∑x∈ki

x ∈ ZG, 1 ≤ i ≤ s. Então {K1, · · · ,Ks} forma uma base do Z(ZG).

Demonstração. Inicialmente, mostramos que Ki ∈ Z(ZG). De fato, gKig−1 = g∑x∈ki

xg−1 =

∑x∈ki

gxg−1 =∑x∈ki

x = Ki. Ses∑j=1

αjKj = 0 =s∑j=1

αi(∑x∈kj

x) =s∑j=1

∑x∈kj

αjx =⇒ αj = 0, pois

Supp(Ki) são disjuntos. Finalmente, se∑g∈G

αgg = α ∈ Z(ZG), e h ∈ G, então hαh−1 = α =∑g∈G

αggh =

∑g∈G

αgg. Portanto, αgh = αg, para todo h ∈ G. Logo α é combinação linear dos

Ki.

Teorema 1.2.36. Seja G um grupo, e ∆(G) o FC-subgrupo de G. Então Z(U1(ZG)) ⊂ Z∆(G).

Demonstração. Seja u ∈ Z(U1(ZG)). Vamos provar que Supp(u) ⊂ ∆(G). Supomos ocontrário, isto é, que Supp(u) 6⊂ ∆(G). Seja g0 ∈ Supp(u) e g0 6∈ ∆(G); gi ∈ cl(g0) =⇒ ∃x ∈ G,tal que gi = gx0 . Sendo u um elemento central, u = u

x = (∑g∈G

αgg)x = αg0gx0 +

∑g0 6=g∈G

αggx =

αg0gi+∑

g0 6=g∈Gαgg

x, com gi 6∈ {gx, g0 6= g ∈ G}, portanto, gi ∈ Supp(u), então cl(g0) ⊂ Supp(u).

Contradição. Pois g0 foi tomado de modo que |cl(g0| = ∞ e |Supp(u)| < ∞. Logo Supp(u) ⊂∆(G). Portanto, u ∈ Z∆(G).

Corolário 1.2.37. Seja u uma unidade central normalizada de um anel de grupo sobre osinteiros. Então o grupo gerado pelo suporte da unidade é um FC-grupo finitamente gerado.

Demonstração. Pelo teorema, u ∈ Z∆(G), logo G0 =< g : g ∈ Supp(u) > ⊂ ∆(G) é umFC-grupo finitamente gerado.

20 PRELIMINARES

1.2.2 Produto Cruzado

Definição 1.2.38. Produto Cruzado ([21], VI.1) Seja G um grupo, e R um anel. Suponhamosconhecida uma função ρ : G × G −→ U(R), chamada fator de sistema, e automorfismos σg ∈Aut(R) de conjugação para cada g ∈ G. Supondo que ρ e σ satisfaçam, para cada g, h, l ∈ G, ea ∈ R, as seguintes propriedades:

ρ(g, h)ρ(gh, l) = σg(ρ(h, l))ρ(g, hl); (1.1)

ρ(h, g)σhg(a) = σh(σg(a))ρ(h, g). (1.2)

Então, pelo produto cruzado R(G, ρ, σ) de G sobre R com fator de sistema ρ e automorfismosσ, que denotaremos por R ∗G, entendemos o conjunto das somas finitas

{∑

aigi : ai ∈ R, gi ∈ G},

o qual gi é um śımbolo correspondente a gi. Igualdade e adição estão definidas componente acomponente, e para g, h ∈ G, e a ∈ R, temos

gh = ρ(g, h)gh; (1.3)

ga = σg(a)g. (1.4)

Proposição 1.2.39. Seja G um grupo, e R um anel. O produto cruzado R ∗ G é um anelassociativo.

Demonstração. Estendendo-se as aplicações 1.3 e 1.4, distributivamente, não há problemas emverificar que R∗G é um grupo abeliano com a propriedade de soma. Para o produto, verificamosque se a, b ∈ R ∗G

ab =∑g∈G

agg∑h∈G

bhh =∑g,h∈G

aggbhh =∑g,h∈G

agσg(bh)gh =∑g,h∈G

agσg(bh)ρ(g, h)gh =∑l=gh

cll.

com cl = agσg(bh)ρ(g, h) ∈ R, portanto, ab ∈ R ∗ G. A propriedade associativa decorre dadefinição da ação 1.3 e da torção 1.4. Com efeito, inicialmente verificamos que a associatividadeé garantida para os escalares com os elementos da base

(gh)a = (ρ(g, h)gh)a = ρ(g, h)σgh(a)gh;g(ha) = gσh(a)h = σg(σh(a))gh = σg(σh(a))ρ(g, h)gh.

Pela propriedade 1.1, bem como para os elementos da base, temos que se g, h, l ∈ G, então

g(hx) = g(ρ(h, x))hx = σg(ρ(h, x))ghx = σg(ρ(h, x))ρ(g, hx)ghx;(gh)x = ρ(g, h)ghx = ρ(g, h)ρ(gh, x)ghx.

1.2 anéis de grupo 21

Com isso verificamos a associatividade de R∗G. De fato a, b, c ∈ R∗G, ocorre que abc = a(bc) =(ab)c. Com efeito,

a(bc) =∑g∈G

agg(∑h∈G

bhh∑l∈G

clx) =∑

agg(∑∑

bhhcxx) =∑

agg(∑∑

bhσh(cx)hx) =

=∑

agg(bhσh(cx))(hx) =∑

agσg(bhσh(cx))g(hx);

(ab)c = (∑g,h∈G

aggbhh)∑x∈G

cxx =∑

g,h,x∈G(agσg(bh)gh)(cx)x =

∑agσg(bh)σgh(cx)(gh)x.

Ora, sendo a condição g(hx) = (gh)x satisfeita, então segue a associatividade do produto cruzado(R ∗G).

Proposição 1.2.40. Seja G um grupo, e N subgrupo normal em G. Então ZG ∼= (ZN) ∗G/N .

Demonstração. Devemos mostrar que G = G/N é uma ZN -base, e as funções ρ e σ estãodefinidas. Seja {g} o conjunto de representantes de G e T o transversal de N em G, obtido apartir deste conjunto. Temos que G =

⋃̇t∈T

Nt e, portanto,

ZG =⊕

((ZN)t), sendo t = Nt ∈ G,

Logo G é uma ZN -base. Sendo N �G, temos que gZNg−1 = ZN . Portanto ,σg : ZN −→ ZN

α 7→ gαg−1,está bem definida e é um automorfismo do anel ZN . Além disso, definimos a aplicação

ρ : G×G −→ U(ZN)(g, h) 7→ n, tal que, gh = nt, n ∈ N ⊂ U(ZN).

Dados g, h ∈ G, existem únicos t ∈ T, n ∈ N , tal que gh = nt, portanto gh = ngh e definimosρ(g, h) := n, portanto, ρ está bem definida.

Assim, por essa, proposição,

Z[G× C∞] ∼= ZG ∗ C∞, com C∞ = [G× C∞]/G ∼= C∞.

Teorema 1.2.41. Seja G um grupo ordenado, e R um domı́nio. Então

U1(R∗G) = {u ∗ w : u ∈ U(R), w ∈ G}.

Demonstração. Seja u ∈ U1(R∗G). Admita que u seja não trivial

u =∑g∈G

rgg e u−1 =∑g∈G

sgg;

uu−1 =∑g∈G

rgg∑h∈G

shh =∑g,h∈G

rggshh =∑g,h∈G

rgσg(sh)gh =∑g,h∈G

rgσg(sh)ρ(g, h)gh︸ ︷︷ ︸equações 1.3,1.4

= 1.

22 PRELIMINARES

Sendo R um domı́nio, então rgσg(sh)ρ(g, h) são não nulos para g, h ∈ G. Tomando-se os termosg1, h1 e g2, h2, respectivamente, os elementos mı́nimos e máximos de seus respectivos suportesem G, então

g1 < g2 =⇒ g1h1 < g2h1;h1 < h2 =⇒ g2h1 < g2h2.

Se g1 6= g2 ou h1 6= h2, então g1h1 < g2h2. Portanto, |Supp(uu−1)| ≥ 2. Absurdo.

Proposição 1.2.42. Se G é um grupo abeliano finitamente gerado livre de torção, e R é umdomı́nio de integridade de caracteŕıstica 0, então o grupo das unidades do anel RG é trivial.

Demonstração. Sendo G um grupo nilpotente e livre de torção, então pelo teorema 1.1.16, Gé um grupo ordenado. Pelo teorema anterior as unidades de RG são triviais.

Corolário 1.2.43. Seja C um grupo ćıclico infinito. Então U1(ZC) = C.

Proposição 1.2.44. (Krempa) Seja u ∈ NU(ZG)G. Então o automorfismo de G induzido pelaunidade u2, isto é, ϕ2, é um automorfismo interno, ou seja, u2 ∈ (G)Z(U(ZG)).

Na demonstração que apresentamos a seguir para o próximo teorema, temos uma aplicaçãodo teorema 1.1.30. Obviamente, esse é um caso particular do teorema 1.2.19, porém de demons-tração mais simplificada. Como veremos na demonstração do teorema, recáımos no caso de umgrupo residualmente finito.

Teorema 1.2.45. Seja G um grupo. Se u ∈ Z(U(ZG)) é de torção, então u é trivial.

Demonstração. Seja u ∈ Z(U(ZG)) de torção, seja X = Supp(u). Consideramos G1 =< x : x∈ X >. Pelo corolário 1.2.37, G1 é um FC-grupo finitamente gerado, portanto, é polićıclico-por-finito. Dáı inferimos 1.1.29, que este é residualmente finito. Pelo lema 1.1.30, ∃ N� G,cujo [G : N ] < ∞, e π : G −→ G/N , sobre X = Supp(u), é injetora. Estendemos π : ZG −→Z(G/N), então π(u) = u é central, de torção e |G/N | < ∞. Pelo teorema 1.2.19, temos que|Supp(π(X))| = 1, logo |Supp(u)| = 1. Portanto, u ∈ G.

A seguir, ressaltamos a propriedade, para grupos infinitos da forma G × C∞, sendo G umgrupo finito, e C∞ um grupo ćıclico infinito, de que há uma relação entre (ISO) e (NC), definidasabaixo.

• (ISO) Seja ZG um anel de grupo. Podemos afirmar que a classe de isomorfismo de G édeterminada por ZG?

• (NC) Seja α uma unidade de U1(ZG) que normaliza o grupo G. Então existe g ∈ G, euma unidade central w, tal que α = gw. Ou seja, a conjugação de α sobre G é induzidapor um elemento de G.

1.2 anéis de grupo 23

No caṕıtulos II, destacamos a relação entre essas duas conjecturas para grupos do tipo G×C∞,sendo G um grupo finito e C∞ um grupo ćıclico infinito, ressaltando que no isomorfismo entreos anéis de grupos sobre anel dos inteiros para esses grupos é suficiente estudar a parte finitadesses grupos, ou seja, o grupo G. No caṕıtulo III demonstramos que existe uma estrutura paraas unidades centrais. Uma Caracteŕıstica que permite maior abrangência em problemas queenvolvam essas unidades, assim como, simplifica certas demonstrações. No presente trabalho,desejamos explorar esse último fato, apresentando alternativas para demonstrações de algunsteoremas, quando se considera para a unidade central uma estrutura.

24 PRELIMINARES

Caṕıtulo 2

ANÉIS DE GRUPO ISOMORFOS

DE GRUPOS INFINITOS

Se ZG ∼= ZH, quais propriedades do grupo G são preservadas em H? Por exemplo, se G é umgrupo finito, ou abeliano ([21], III.2.10), ou nilpotente infinito ([22], Röhl), ou meta-abelianofinito [Withcomb], ou residualmente finito, ou FC e finitamente gerado ([14], lema 2), então Htem a respectiva propriedade. Não sabemos, porém, caso G seja nilpotente infinito, se H temo mesmo comprimento de nilpotência de G. Porém, quando a classe de nilpotência de G é 2,sabemos que H ∼= G, veja [7].

Vamos concentrar nosso estudo no anel dos inteiros. Para outras classes de anéis existemcontra-exemplos para o Problema do Isomorfismo [20].

Ainda em [14], é feita uma relação entre (NC) e (ISO), até então não observada (teorema2.2.1). Esse teorema permitirá um novo caminho para o Problema do Isomorfismo para gruposinfinitos. Com efeito, a partir do trabalho de Mazur, [14], Hertweck anunciou a construção de umcontra-exemplo para o Problema do Isomorfismo para anéis de grupo sobre o anel dos inteirospara grupos finitos, o qual não iremos tratar neste trabalho. Em [12], Roggenkamp e Marciniakdiscutem as principais idéias envolvidas nessa construção.

Iniciamos nossa apresentação do Problema do Isomorfismo com a classe de grupos abelianos,para a qual esse problema tem resposta positiva.

2.1 O Problema do Isomorfismo e a Conjectura do Normalizador

Teorema 2.1.1. Seja G um grupo abeliano finito, e H um grupo, tal que ZG ∼= ZH. EntãoG ∼= H.

26 ANÉIS DE GRUPO ISOMORFOS DE GRUPOS INFINITOS

Demonstração. Podemos considerar ZG = ZH. Pelo corolário 1.2.20, as unidades de torçãode ZG e ZH são triviais. Como para qualquer h ∈ H, o(h) < ∞, então h ∈ G. PortantoG = H.

Observação 2.1.2. Esse teorema é verdadeiro para |G| =∞, ver [13] e ([21],III.2.10).

Proposição 2.1.3. Sejam C e S dois grupos, sendo C ćıclico infinito, tal que ZC ∼= ZS. EntãoC e S são isomorfos.

Demonstração. Seja φ : ZC −→ ZS um isomorfismo normalizado. Sendo C um grupo ćıclicoinfinito, C é ordenado. Logo pela proposição 1.2.43, U1(ZC) = C. Sendo φ um isomorfismo,ZS tem somente unidades triviais, então U1(ZS) = S, como φ é normalizado, temos que C =U1(ZC) ∼= U1(ZS) = S.

Se os anéis de grupo ZG e ZH são isomorfos, observamos no ińıcio deste caṕıtulo, quea menos que (ISO) verifique-se para o grupo G, não são todas as propriedades do grupo Gque se estendem ao grupo H. A seguinte proposição evidencia, também, que a conjectura donormalizador estende-se para o anel ZH, quando (ISO) ocorre.

Proposição 2.1.4. Se ZG ∼= ZH, e G satisfaz (ISO) e (NC), então H satisfaz NC.

Demonstração. Como G satisfaz (ISO), então G ∼= H. Consideremos o isomorfismo ϕ : H −→G estendendo-o para o anel de grupos, isto é, ϕ : ZH −→ ZG. Seja w ∈ NU(ZH)H, entãowHw−1 = H. Dáı ϕ(w)Gϕ(w−1) = ϕ(w)ϕ(H)ϕ(w−1) = ϕ(wHw−1) = ϕ(H) = G. Portanto,ϕ(w) ∈ NU(ZG)G, logo da hipótese que G satisfaz (NC) temos que ϕ(w) = gv, g ∈ G, v ∈ Z(ZG).Portanto, w = ϕ−1(gv) = ϕ−1(g)ϕ−1(v), para ϕ−1(g) ∈ H e ϕ−1(v) ∈ Z(ZH).

A seguir, apresentamos um dos resultados centrais deste trabalho. Nosso objetivo é apontaralgumas questões que o seguinte teorema permite formular, procurando ressaltar a relação desseteorema com as conjecturas (ISO) e (NC).

A partir da próxima seção, denotaremos:

• AutR(G) o conjunto dos automorfismos de G que são a conjugação de alguma unidade u ∈U1(RG) que normaliza G, isto é, u ∈ NU1(RG)G, e ηu ∈ AutRG seja tal que ηu(g) = ugu−1.

2.2 O Problema do Isomorfimo para Grupos Infinitos

Seja H um grupo finito, e C∞ um grupo ćıclico infinito. Consideramos grupos da forma

K = H oϕ C∞.

2.2 O Problema do Isomorfimo para Grupos Infinitos 27

Lembrando que se h ∈ H e C∞ =< t >, então

tht−1 := ϕ(h), e (g, tm)(h, tn) = (gϕm(h), tm+n).

Teorema 2.2.1. Seja G um grupo finito, R um anel G-adaptado, e W um grupo qualquer.Então as R-álgebras R[G×C∞] e RW são isomorfas, se e somente se, W = HoϕC∞, de modoque

i. O grupo H ⊆W é um subgrupo finito, tal que as R-álgebras RG e RH são isomorfas;

ii. O automorfismo ϕ, do grupo H, é induzido pela conjugação com uma unidade x ∈ RH, quenormaliza H.

Observação 2.2.2. (1) Embora o teorema esteja enunciado para um anel R que é G-adaptado,demonstramos o teorema para o anel Z.

(2) Partindo-se do fato G × C∞ ∼= G oϕ C∞ ⇔ ϕ ∈ Inn (G), corolário 2.2.7, então seZ[G× C∞] ∼= Z[Goϕ C∞] satisfaz (ISO), obtemos a importante relação entre (ISO) e(NC). Veja proposição 2.2.8 , a partir desse teorema.

(3) No caṕıtulo 3 demonstramos essa mesma relação anterior sem o uso dos lemas 4,5 de [14].

(4) A afirmação (ii) do teorema é outra forma de dizer que ϕ ∈ AutR(H).

Antes de prosseguirmos com a demonstração do teorema 2.2.1, vamos inicialmente provaralguns resultados que permitam uma melhor compreensão das idéias envolvidas nesse teorema. Aseguir, demonstramos algumas afirmações, conclúımos a demonstração do teorema e enunciamosuma proposição que relaciona (ISO) e (NC) a partir desse teorema.

Teorema 2.2.3. Seja G um grupo finito. Se as Z álgebras Z[G oχ C∞] e ZW são isomorfas,então existe um grupo finito H de mesma ordem de G, tal que W = H oη C∞, η ∈ Aut(H).

Demonstração. Seja φ : Z[G oχ C∞] −→ ZW um isomorfismo, e denotemos G oχ C∞ = K.Sendo G um grupo finito, e Z um domı́nio de integridade, tal que U(Z) ∩ {o(g), g ∈ G} = {1},podemos afirmar, pelo teorema 1.2.30, que há uma correspondência biuńıvoca entre os subgruposfinitos normais em K e W . Logo ∃ H ≤W , tal que K �G↔ H �W e |G| = |H|. Além disso,pelo teorema 1.2.30, item [ii.] ∆(K,G) = ∆(W,H). Segue, então que

ZK∆(K,G)

∼=ZW

∆(W,H)=⇒ Z(K/G) ∼= Z(W/H).

Como Z(K/G) ∼= ZC∞, decorre da proposição 2.1.3 que W/H ∼= C∞. Sendo |H| < |∞|, seguepor 1.1.5 que H = T (W ), o subgrupo de torção de W . Pela proposição 1.1.10, W/T (W ) éabeliano, então T (W ) ⊇ W ′, sendo este o subgrupo comutador de W . Seja θ : W � W/T (W )

28 ANÉIS DE GRUPO ISOMORFOS DE GRUPOS INFINITOS

a projeção de W em W/T (W ); W/T (W ) =< w >, o(w) = ∞ ⇒ ∃w ∈ W , tal que θ(w) = w,então por 1.1.5, o(w) = ∞. Logo < w >⊆ W . Além disso, < w > ∩T (W ) = 1, pois < w > élivre de torção. Considerando-se a proposição 1.1.9 na cadeia de inclusões abaixo, então

W ′ ⊆ T (W ) ⊆ T (W ) < w >⇒ T (W ) < w > �W.

Por 1.1.6, existe N, subgrupo normal de W/T (W ), tal que N = θ(T (W ) < w >) =< w >.Portanto, T (W ) < w >= W , pois θ é um epimorfismo, e

W = T (W )o < w > .

Estando definido um homomorfismo η da seguinte forma:

η :< w >−→ Aut(T (W )).

Paraηw ∈ Aut(T (W ))

ηw : T (W ) −→ T (W )t 7→ wtw−1 ,

identificando-se ηw com η, temos que, pela proposição 1.1.34,

W = T (W )oη < w > .

Definição 2.2.4. Seja G um grupo, e H um subgrupo de U1(ZG). Dizemos que H é uma basede grupo de ZG se {

ZG = ZHH é linearmente independente sobre o anel Z.

A proposição 1.1.36 mostra que o produto semidireto externo pode ser identificado com umproduto direto interno, de modo que as operações podem ser feitas como se estivéssemos tratandodo produto semidireto interno.

Lema 2.2.5. Seja G um grupo finito φ, θ ∈ Aut(G), tais que η = φθ−1 ∈ AutZG. Então as Zálgebras Z[Goφ C∞] e Z[Goθ C∞] são isomorfas.

Demonstração. Sejam u ∈ NU(ZG)G, tal que ηu ∈ AutZG, e C∞ =< v > em G oθ C∞. Sejaϕ a aplicação definida por

ϕ : Goφ C∞ −→ Z[Goθ C∞], de modo que Goθ C∞ = Goθ < v >gun 7→ g(uv)n,

2.2 O Problema do Isomorfimo para Grupos Infinitos 29

que é estendida a Z[Goφ C∞] por

ϕ : Z[Goφ C∞] −→ Z[Goθ C∞],∑g∈G,n∈Z

an,ggun 7→

∑g∈G,n∈Z

an,gg(uv)n,

Vamos demonstrar que ϕ é um isomorfismo. De fato, temos que:

ϕ((gvm)(hvn)) = ϕ(gφm(h)vm+n) = (gφm(h)(uv)m+n);ϕ(gvm)ϕ(hvn) = (g(uv)m)(h(uv)n). (∗)

Afirmamos que (uv)mh = φm(h)(uv)m. Pois por indução no expoente n temos: (uv)h =uvhv−1u−1uv = uθ(h)u−1uv = η(θ(h))uv = φ(h)uv; supomos por indução que (uv)m−1h =φm−1(h)(uv)m−1. Então da hipótese de indução,(uv)mh = (uv)(uv)m−1h = uvφm−1(h)v−1u−1uv(uv)m−1 = φm(h)(uv)m. Portanto, ϕ é umhomomorfismo. Sejam (g1, vm), (g2, vn), tais que ϕ(g1vm) = ϕ(g2vn) =⇒ g1(uv)m = g2(uv)n,portanto, g1 = g2 e m = n. Logo ϕ é homomorfismo injetor. Para provar a sobrejetividade, de ϕvamos considerar o grupo H = ϕ(Goφ < u >) e provar que H é uma base de grupo para o anelde grupo Z[Goθ < v >]. Sendo ϕ um homomorfismo, nesse caso �(ϕ(gvn)) = �(g(uv)n) = 1,para g ∈ G, e n ∈ Z, portanto, H ⊂ U1(Goθ < v >). Observamos que uv ∈ H, e afirmamosque v ∈ ZH. Com efeito, definimos z := uv, dáı, v = u−1z. Ora u−1 ∈ ZG =⇒ u−1 =

∑g∈G

ugg.

Portanto, v = (∑g∈G

ugg)z =∑g∈G

ug(gz), com gz = h ∈ H. Logo v =∑h∈H

uhz−1h ∈ ZH. De

forma que, se k ∈ K = Goθ < v >, então k = gvn n ∈ Z, g ∈ G, assim, k = g(∑h∈H

uhz−1h)n

∈ ZH. Desse modo, α ∈ ZK =⇒ α =∑k∈K

αkk ∈ ZH. Logo ZK ⊆ ZH ⊆ ZK =⇒ ZH = ZK.

Também, H é Z-linearmente independente. De fato suponha∑h∈H

αhh = 0, com αh inteiro, para

cada h existem gh ∈ G, e nh ∈ Z, tal que h = g(uv)nh . Por indução no expoente de (uv)n,vemos que (uv)n = u1vn, com u1 ∈ U(ZG), de modo que h = g(uv)nh = guhvnh . Portanto,0 =

∑h∈H

αhh =∑h

αhguhvnh , e {vn, n ∈ Z} é (ZG)-LI. Logo αhguh = 0, para todo h ∈ H,

implicando que αh = 0, pois guh ∈ U(ZH). Usando isso, segue que ϕ é injetora.

Com os resultados acima, estamos em condições de provar o teorema 2.2.1

Demonstração. Seja K = G× C∞. Inicialmente observamos que

ZK = Z[GoId C∞] ∼= ZW.

Pelo lema 2.2.3

W = T (W ) oφ C∞, com |T (W )| = |G|, φ ∈ Aut(T (W )).

30 ANÉIS DE GRUPO ISOMORFOS DE GRUPOS INFINITOS

Consideremosψ : ZK −→ Z[T (W ) oφ C∞]

um isomorfismo normalizado, posśıvel pelo teorema 1.2.17, de modo que podemos considerarZK = Z[T (W )oφC∞]. Sejam H = ψ−1(T (W )), e v o gerador da parte livre de torção do grupoK, ou seja, C∞ =< v >. Definindo-se R = Z[v−1, v], o anel de polinômios nas indeterminadasv e v−1, então R é um anel G-adaptado, H ⊂ Z[G× < v >] = RG, e |G| = |H|. Logo pelo lema1.2.29, RG = RH. Definindo-se I=̇∆(K,C∞) segue, pelo corolário 1.2.14, que

RG/I ∼= Z[G× C∞]/I ∼= Z[G× C∞/I] ∼= ZG,como RG = RH temos que ZG ∼= ZH.

Vamos mostrar que existe φ ∈ AutZHH, que é induzida pela conjugação de uma u ∈ NU(ZH)H.Consideramos a projeção de Z[G× < v >] sobre Z[G× < v >]/ < v >. Do isomorfismoZG ∼= ZH obtemos,

Z[G× < v >] ψ //

π

��

Z[T (W )oφ < w >]

ZG.

Seja t := ψ−1(w), então π(t), é uma unidade que normaliza o subgrupo H, logo induz umautomorfismo ϕ ∈ Aut(H). Com efeito,

π(ψ−1(w))H(π(ψ−1(w)))−1 = π(ψ−1(w)ψ−1(T (W ))ψ−1(w−1)) = π(ψ−1(wT (W )w−1)) =π(ψ−1(φ(T (W )))) = π ◦ ψ−1 ◦ φ ◦ ψ(H).

Sendo K um grupo noetheriano, < v > um grupo livre de torção, e o quociente K/ < v >um grupo de torção, pelo teorema 1.2.33, a restrição de π sobre H, é injetiva. Portanto, ϕ =ψ−1 ◦ φ ◦ ψ, é um automorfismo de H. Isto é, ϕ ∈ Aut(H) é induzida pela unidade π(t) ∈U(ZH), que conjuga o grupo H. Da proposição 1.1.36, Hoϕ < v >∼= Ho < v >, e este último éisomorfo a T (W )oφ < w >= W . Portanto, Hoϕ < v >∼= W . Reciprocamente ZG ∼= ZH, entãopelo corolário 1.2.7, Z[G× C∞] ∼= Z[H × C∞]. Sendo x uma unidade que induz ϕ ∈ AutZH,pelo lema 2.2.5, Z[G× C∞] ∼= Z[H × C∞] ∼= Z[H oϕ C∞].

Denotamos por Out(G) o quociente

Out(G) = Aut(G)/Inn(G).

Retomemos o item 3 da observação 2.2.2 do teorema 2.2.1. Com o seguinte lema, temos umacompreensão melhor daquela observação:

Lema 2.2.6. Seja G um grupo que não admite epimorfismos sobre o grupo ćıclico infinito.Então os grupos Goφ C∞ e Goθ C∞ são isomorfos, se e somente se, φ e θ� são conjugados emOut(G), e � = ±1.

2.2 O Problema do Isomorfimo para Grupos Infinitos 31

Demonstração. Seja

Φ : Goφ C∞ −→ Goθ C∞;

um isomorfismo de grupos, e

π : Goθ C∞ −→ C∞,

a projeção de Goθ C∞ sobre C∞. Consideremos o diagrama abaixo

Goφ C∞ Φ //

π◦Φ &&NNNNN

NNNNNN

Goθ C∞π

��C∞.

Afirmação: Φ(G) ⊂ Ker(π) = G. De fato, considere a restrição f = π ◦ Φ|G : G −→ C∞.Mostremos que f(G) = 1. Suponha que ∃ g ∈ G, t = f(g) 6= 1. Então 0 6= n ∈ Z, f(G) =< tn >.Portanto, |f(G)| =∞. Nesse caso a restrição de f : G −→ Im(f) é um epimorfismo de G sobreum grupo ćıclico infinito. Absurdo, pois o lema afirma o contrário para o grupo G. Entãoπ(Φ(g)) = 1, ∀g ∈ G, portanto, Φ(G) ⊂ Ker(π). Analogamente, repetimos o argumento paraΦ−1 e, portanto, Φ(G) = Ker(π) = G, logo Φ|G ∈ Aut(G) para todo isomorfismo Φ. Mostremosa partir dáı que, Goφ C∞ ∼= Goθ C∞ =⇒ φ, θ� são conjugados em Out(G), sendo � = ±1. SejaΦ um isomorfismo, tal que definamos Φ(1, t) = (g, t�), fixado g ∈ G, e identificado no produtosemidireto interno por Φ(t) = gt�. Em particular, para g = 1, Φ(t) = (1, t�) ∼= C∞ =⇒ � = ±1.Pelo argumento acima, Φ(h, 1) = (Φ(h), 1) está bem definida, cuja identificação no produtosemidireto interno é (Φ(h), 1) = Φ(h)1 = Φ(h). Para checar a conjugação de φ, θ� em Out(G),basta utilizar que Φ é homomorfismo

Φ((1, t)(h, 1)) = Φ(1, t)Φ(h, 1) = (g, t�)(Φ(h), 1) = (gθ� ◦ Φ(h), t�); (∗)Φ((1, t)(h, 1)) = Φ(1φ ◦ (h), t) = Φ(φ(h), t),

identificando-se essa operação no produto semidireto interno, temos:

Φ(φ(h)t) = Φ(φ(h))Φ(t) = (Φ ◦ φ(h))(gt�) = (Φ ◦ φ(h)g)t�,

que tem como representação no produto semidireto externo

(Φ ◦ φ(h)g, t�).

Portanto,

Φ((1, t)(h, 1)) = Φ(φ(h), t) = (Φ ◦ φ(h)g, t�), (∗∗)

logo igualando-se as expressões em (∗) e (∗∗), temos:

(gθ� ◦ Φ(h), t�) = (Φ ◦ φ(h)g, t�) ∀h ∈ G =⇒gθ� ◦ Φ = Φ ◦ φg =⇒ θ� = g−1Φ ◦ φg ◦ Φ−1.

32 ANÉIS DE GRUPO ISOMORFOS DE GRUPOS INFINITOS

Logo θ� = g−1Φ ◦ φ ◦ (g−1Φ)−1. Então φ, θ� são conjugados em Out(G). Reciprocamente,suponha que φ e θ� são conjugados em Out(G), e � = ±1. Queremos provar que os grupos sãoisomorfos. De fato, definindo-se a conjugação externa

(F) φ(h) = qΦ−1 ◦ θ� ◦ Φ(h)q−1, para algum q ∈ G,Φ ∈ Aut(G), e ∀ h ∈ G.

A aplicaçãoϕ : Goφ C∞ −→ Goθ C∞

(h, tm) 7→ (Φ(qhq−1), t�m)

é um isomorfismo. Supondo φ e θ� conjugados em Out(G), verificamos que ϕ é homomorfismo

ϕ((g, tm)(h, tn)) = ϕ(gφm(h), tm+n) = (Φ(qgφm(h)q−1), t�(m+n)) =(Φ(qgq−1)Φ(qφm(h)q−1), t�(m+n));

ϕ(g, tm)ϕ(h, tn) = (Φ(qgq−1), t�m)(Φ(qhq−1), t�n) = (Φ(qgq−1)θ�m ◦ Φ(qhq−1), t�(m+n));então das igualdades das condições acima

Φ(qgq−1)Φ(qφm(h)q−1) = Φ(qgq−1)θ�m ◦ Φ(qhq−1) =⇒ Φ ◦ αq ◦ φm = θ�m ◦ Φ ◦ αq;tomando-se o quociente em Inn(g) obtemos

Φ ◦ φm = θ�m ◦ Φ, de acordo com (F)

ϕ é monomorfismo

ϕ(h1, tm) = ϕ(h2, tn) = (Φ(h1)Φ(q), t�m) = (Φ(h2)Φ(q), t�n) portanto h1 = h2, m = n,

ϕ é epimorfismo.

∀(h, ti) ∈ Goθ C∞ ∃(g, tj) ∈ Goφ C∞ tal que ϕ(g, tj) = (Φ(gq), t�j) = (h, ti). Sendo� = ±1 −→ j = ±i e sendo Φ isomorfismo de G, ∃g ∈ G,Φ(g) = hΦ(q−1).

Corolário 2.2.7. Se G é um grupo finito, então G×C∞ ∼= Goθ C∞, se e somente se, θ é umautomorfismo interno de G.

Demonstração. Basta verificar que estamos nas condições do lema anterior. Sendo |G| < ∞,os elementos de G são de torção e, portanto, a imagem Φ(G), do isomorfismo do lema anterior,está contida em Ker(π), logo Φ|G ∈ Aut(G). Dessa forma, G finito satisfaz às condições dolema anterior. Seja G×C∞ ∼= Goθ C∞, pelo lema anterior Id, identidade, e θ� são conjugadosem Out(G). Portanto, Id = Φ ◦ θ� ◦ Φ−1 =⇒ θ� ∈ Inn(G). Analogamente θ ∈ Inn(G) =⇒,em Out(G) = Aut(G)/Inn(G), θ = Id, portanto, θ� = Id e Id são trivialmente conjugados emOut(G), logo Pelo lema anterior, os grupos são isomorfos.

2.2 O Problema do Isomorfimo para Grupos Infinitos 33

Se ocorre o isomorfismo Z[G×C∞] ∼= Z[GoϕC∞], então pelo teorema 2.2.1, ϕ ∈ AutZG. Pelocorolário 2.2.7, sabemos que G × C∞ ∼= G oϕ C∞, se e somente se, ϕ ∈ Inn(G). Isso permite,para grupos onde AutRG 6= Inn(G), exibir contra-exemplos para o problema da (ISO) paragrupos infinitos. Além disso, AutRG = Inn(G) =⇒ G satisfaz (NC), com efeito x ∈ NU1(ZG)G,x−1gx ∈ G ∀ g, ϕx−1(g) := x−1gx =⇒ ϕx−1 ∈ AutZG. Como AutZG = Inn(G) =⇒ ∃ h ∈ G,tal que ϕx−1 = ϕh. Portanto, x−1gx = hgh−1 =⇒ g = xhg(xh)−1 ⇐⇒ xh ∈ Z(U(ZG)). Assim,NU1(ZG)G =< G,Z(U(ZG)) >.

Enunciamos aqui a proposição que explicita a relação entre as conjecturas (ISO) e (NC).

Proposição 2.2.8. Seja G um grupo finito, e K = G×C∞. Então são equivalentes as seguintesafirmações:

i. K satisfaz (ISO);

ii. G satisfaz (ISO) e (NC).

Demonstração. Mostremos que i⇒ ii.

(1) Seja G um grupo que satisfaz (ISO). Tal como procedemos na demonstração do teo-rema. Consideremos K = G × C∞; ZG ∼= ZH =⇒ ZK ∼= ZG

⊗ZC∞ ∼= ZH

⊗ZC∞ ∼=

Z[H × C∞]. Como K satisfaz (ISO), então K ∼= H × C∞. Logo G = T (G × C∞) ∼=T (H × C∞) = H.

(2) G satisfaz (NC). Vamos provar que dado u ∈ NU1(ZG)(G)⇒ θu ∈ Inn(G). Consideremos< t >:= C∞. Nesse caso t é central em ZK, e o(t) = ∞; tomemos v := ut = tu ∈ZK. Assim, Gv = vGv−1 = (ut)G(ut)−1 = utGt−1u−1 = uGu−1 = G, portanto, v ∈NU1(ZG)(G). Definimos W :=< G, v > com < v > ∩G = 1, de modo que pela definição1.1.33, W = Go < v >. Nessas condições, W é uma Z-base de ZK (veja a demonstraçãodo lema 2.2.6, considerando a aplicação ϕ : Z[G× < t >] −→ Z[Go < v >). Logo Wé Z-LI sobre ZK. Portanto, ZK = ZW , e pela hipótese K = G× < t >∼= Go < v >.Podemos definir,

α :< t >−→ Aut(G)t 7→ θv.

portanto Go < v >∼= Goα < t >=⇒ Go < v >∼= G× < t >∼= Goα < t >, sendo α = θve, pelo corolário 2.2.7, θv ∈ Inn(G) portanto θv = θut = θu é um automorfismo interno deG. Logo G satisfaz (NC)

Reciprocamente, seja Z[G× C∞] ∼= ZW . Pelo teorema 2.2.1, W = H oϕ C∞, e ZG ∼= ZH. Porhipótese, G satisfaz (ISO), e ZG satisfaz (NC). Então do isomorfismo ZG ∼= ZH, pela proposição2.1.4, H satisfaz (NC). Logo ϕ ∈ Inn(G)⇒ HoϕC∞ ∼= H×C∞, que é um resultado do corolário

34 ANÉIS DE GRUPO ISOMORFOS DE GRUPOS INFINITOS

2.2.7. Retomando a condição ZG ∼= ZH ⇒︸︷︷︸Gsatisfaz(ISO)

G ∼= H ⇒ K = G × C∞ ∼= H × C∞ ∼=

H oϕ C∞ = W . Portanto, K satisfaz (ISO).

Observamos que na rećıproca dessa demonstração é essencial o teorema 2.2.1, bem como ofato da proposição 2.1.4.

Quando afirmamos que uma demonstração do teorema 2.2.1 pode ser feita de forma maisdireta, estamos chamando a atenção para o fato de que a demonstração dada não explicitadiretamente a unidade u, segundo o teorema 2.2.1, que induz um automorfismo ϕ ∈ AutZH,para H um grupo finito. Ou seja, após mostrar pelo teorema 2.2.3 que W = T (W )oφC∞, aindatemos que construir um outro produto semidireto H oϕ C∞, bem como determinar a unidade uem uma adequada projeção no anel ZH. Afirmamos, no entanto, que essa unidade u pode serconstrúıda no anel Z(T (W ) oφ C∞), sem a necessidade daquela passagem adicional.

No caṕıtulo III apresentamos um importante teorema de estrutura para as unidades centraisdo anel de grupo inteiro para grupos nilpotentes finitamente gerados, que é estendido em [17]para grupos quaisquer, veja também [7]. Com esse teorema, um resultado de [10] e a proposição1.2.34, conduzimo-nos à nova demonstração proposta.

Caṕıtulo 3

AS UNIDADES CENTRAIS NO

PROBLEMA DO ISOMORFISMO

Neste caṕıtulo, apresentamos um teorema de estrutura para as unidades centrais em um anelde grupo RG, sendo R um anel G− adaptado, e G um grupo nilpotente finitamente gerado. Oteorema é demonstrado em [9] para o anel Z, e posteriormente generalizado em [17] e [7], paragrupos quaisquer.

O teorema, que denominaremos por Teorema de Estrutura para as Unidades Centrais (TEUC),mostra que toda unidade central de um anel de grupo é igual ao produto de um elemento dogrupo G por um elemento do anel de grupo RT , sendo T a torção de G. Na demonstração doteorema 2.2.1, podemos considerar uma unidade central do anel de grupo e aplicar o (TEUC),simplificando a demonstração dada no caṕıtulo II.

Em [9] essa caracteŕıstica de estrutura para uma unidade central, e conseqüentemente umaidéia mais precisa desse elemento, é essencial para determinar geradores para subgrupos de ı́ndicefinito no grupo das unidades centrais para os anéis de grupo que verifiquem a condição desseteorema. Neste caṕıtulo, também, desenvolvemos uma demonstração simplificada para corolário1.2.20 do teorema 1.2.19.

A demonstração utiliza amplamente propriedades do produto cruzado visto anteriormente.Essa abordagem, permite-nos utilizar teoremas da Teoria de Grupos e da Teoria de Anéis de ummodo sistemático.

36 AS UNIDADES CENTRAIS NO PROBLEMA DO ISOMORFISMO

3.1 Um Teorema de Estrutura das Unidades Centrais em anéis

de grupo

Nesta seção vamos supor que R é um anel com unidade e um domı́nio de integridade, K o corpode frações do anel R, G um grupo, tal que o subgrupo de torção de G, denominado por T , sejafinito, e F := G/T ; I = {e1, · · · , en} uma é famı́lia completa de idempotentes primitivos centraise ortogonais em KT .

Lema 3.1.1. (Maschke, 1.2.9) Seja T um grupo finito, e K um corpo de caracteŕıstica zero.Então o anel KT é semi-simples, isto é,

KT ∼=n⊕i=1

Ai =n⊕i=1

(KT )ei,

sendo os anéis Ai = (KT )ei anéis simples e ei ∈ I.

Lema 3.1.2. Seja I a famı́lia de idempotentes primitivos, centrais e ortogonais em KT . Aaplicação

ϕ : F × I −→ I(f, e) 7→ fef−1, onde fef−1 := fef−1 e ϕ(f, e) := ϕf (e)

é uma ação do grupo F sobre o conjunto I.

Demonstração. Com efeito, ϕ é uma ação de grupo. Pois seja e ∈ I,ϕgh(e) = gheh

−1g−1 = gϕh(e)g

−1 = ϕgϕh(e) = ϕg ◦ ϕh(e) =⇒ ϕgh = ϕg ◦ ϕh(ϕg(e))2 = (geg−1)2 = ge2g−1 = geg−1 = ϕge, um idempotente. Além disso, para e ∈ I ⊂Z(KT ), escrevemos e =

∑n∈T

enn. Logo ϕg(e) = g(∑n∈T

enn)g−1 =∑n∈T

engng−1 =

∑w∈T

eg−1wgw ∈

KT . Portanto, ϕg(ei) ∈ I, e ϕ está bem definida. Então ϕg(I) ⊂ I, ∀ g ∈ F , logo ϕ é umaação de grupos.

Corolário 3.1.3. Nas condições do lema anterior, se Oi define a órbita de ei, Oi = |Oi|, e Oé o número de órbitas. Então os elementos

Ei =∑ej∈Oi

ej ,

formam uma famı́lia completa de idempotentes ortogonais e centrais em KG. Nessas condições,

KT ∼=O⊕i=1

Ri, sendo Ri = (KT )Ei ∼=⊕ei∼ej

(KT )ej com ei, ej ∈ I.

3.1 Um Teorema de Estrutura das Unidades Centrais em anéis de grupo 37

Demonstração. Seja Oi = {ej : ei ∼ ej} a órbita de ei. Então Ei =∑ej∈Oi

ej 1,≤ i ≤ O,

formam uma famı́lia completa de idempotentes ortogonais e centrais em KG, ou seja, para cadai, Ei é um idempotente. De fato, sendo ej é um idempotente ortogonal, E2i =

∑ej∈Oi

ej∑ej∈Oi

ej =∑ej ,eh∈Oi

ejeh =∑ej∈Oi

e2j = Ei

EiEj =∑eh∈Oi

eh∑el∈Oj

el =∑

eh∈Oi,el∈Oj

ehel =∑

eh∈Oi,el∈Oj

ehδh,l = Eiδi,j , sendo δi,j o delta de

Kronnecker. Seja o = |I|, sendo I =⋃̇i=1,O

Oi. Segundo a definição de Ei,O∑i

Ei =O∑i=1

∑ej∈Oi

ej =

o∑j=1

ej = 1, pois a famı́lia dos ej é completa. Logo os Ei formam uma famı́lia completa.

Lema 3.1.4. Se R é um anel comutativo, e F = G/T é um grupo ordenado, tal que

KG =O⊕i

Ri ∗ F, (?)

sendo, para cada i, Ri = (KT )Ei um anel semi-simples, e os Ei, i = 1, · · · , O, são idempotentesortogonais e centrais em KG. Então se u ∈ Z(U(RG)) ⊂ Z(U(KG)), e S for um transversalde T em G, como definido em ??, temos que

u =O⊕i

αifi;

fi ∈ G, e os escalares αi ∈ Ri, sendo os Ri anéis artinianos, i = 1, · · · , O.

Demonstração. Pela condição (?), u =O⊕i=1

ui, 0 6= ui ∈ Ri ∗ F , portanto, ui =∑f∈S

uff , uf ∈

Ri. Devemos provar que para cada componente ui =∑uff , seu suporte, Supp(ui) = {fi}, é

um conjunto unitário, ou seja, |Supp(ui)| = 1. Afirmamos que cada uf é uma unidade em Ri.Com efeito, considere

πi : KG −→ Ri ∗ Fα 7→ αi;

πi(u) = ui; πi(KT ) = (KT )Ei = Ri. Sendo u um elemento central πi(u(KT )) = πi((KT )u) ,portanto,

uiRi = Riui, (∑f∈S

uff)Ri = Ri(∑f∈S

uff) =∑f∈S

(uff)Ri =∑

uf (fRif−1)f =

∑ufR

fi f ,

então ∑f∈S

(ufRfi )f =

∑f∈S

(Riuf )f.

38 AS UNIDADES CENTRAIS NO PROBLEMA DO ISOMORFISMO

Sendo f ∈ F , uma K-base. Então ufRfi = Riuf . Por construção, temos que Ri =⊕ei∼ej

(KT )ej ,

logo