a experiÊncia matmÉtica no ensino bÁsico

8/9/2019 A EXPERINCIA MATMTICA NO ENSINO BSICO

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A Experincia Matemticano Ensino Bsico

Programa de Formao Contnuaem Matemtica para Professores

dos 1. e 2. Ciclos do Ensino Bsico

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RESOLUODEPROBLEMASEM

MATEMTICA

A ExperiExperincia Matemticancia MatemticanooEnsino Bnsino Bsicosico

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Programa de Formao Contnuaem Matemtica para Professores

dos 1. e 2. Ciclos do Ensino Bsico

Direco-Geral de Inovao e de Desenvolvimento CurricularLisboa/2008


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icha Tcnica

A Experincia Matemtica no Ensino BsicoPrograma de Formao Contnua em Matemticapara Professores dos 1. e 2. Ciclos do Ensino Bsico

EditorMinistrio da EducaoDireco-Geral de Inovao e de Desenvolvimento Curricular

AutoresAna Maria Roque Boavida (coordenao), Ana Lusa Paiva,Graa Cebola, Isabel Vale, Teresa Pimentel

ConsultoraIsabel Serra

Design

Manuela Loureno

Execuo GrficaEditorial do Ministrio da Educao

Tiragem7500 Exemplares

Depsito Legal272 931/08

ISBN978-972-742-290-6

F

A experincia matemtica no ensino bsico/AnaMaria Roque Boavida [et al.]

ISBN 978-972-742-290-6

l BOAVIDA, Ana, 1955-

CDU 371

51373

Biblioteca Nacional Catalogao na Publicao


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ndiceNota de apresentao .......................................................................................................... 5

Introduo ................................................................................................................................ 7

Captulo Resoluo de Problemas em Matemtica ......................................... 111.1 Introduo ................................................................................................................... 13

1.2 Problemas e estratgias de resoluo ......................................................................... 14

1.2.1 O que um problema? .................................................................................... 15

1.2.2 Diferentes tipos de problemas ....................................................................... 16

1.2.3 Estratgias ....................................................................................................... 22

1.3 Formulao de problemas ............................................................................................ 27

1.3.1 Estratgias de formulao de problemas ....................................................... 28

1.4 Seleco e enriquecimento de tarefas ........................................................................ 31

A concluir .......................................................................................................................... 33

Captulo Conexes Matemticas ......................................................................... 35

2.1 Introduo ................................................................................................................... 372.2 Conexes com a vida real ............................................................................................ 38

2.3 Conexes com outras reas ......................................................................................... 42

2.3.1 Conexes com a Literatura Infantil .............................................................. 42

2.3.2 Conexes com o Estudo do Meio Cincias da Natureza .......................... 45

2.3.3 Conexes com a Expresso Musical .............................................................. 46

2.4 Conexes dentro da prpria Matemtica ................................................................... 49

2.4.1 Conexes entre Geometria e Nmero ........................................................... 49

2.4.2 Conexes entre Geometria e Medida ............................................................ 53

2.4.3 Conexes entre operaes aritmticas ......................................................... 55 A concluir ....................................................................................................................... 58

Captulo Comunicao Matemtica ................................................................... 593.1 Introduo ................................................................................................................... 61

3.2 Comunicar para aprender ............................................................................................ 62

3.3 A pergunta como catalisador da comunicao .......................................................... 64

3.4 Escrever em Matemtica ............................................................................................. 68

3.5 Representao e linguagens ......................................................................................... 71

A concluir .......................................................................................................................... 78

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Captulo Argumentao em Matemtica ........................................................... 794.1 Introduo .................................................................................................................... 81

4.2 Argumentao em Matemtica: caractersticas e significado .................................. 82

4.2.1 A natureza discursiva da argumentao ....................................................... 82

4.2.2 A natureza dialctica da argumentao ....................................................... 84

4.2.3 O carcter social da argumentao ............................................................... 89

4.3 Contextos e percursos argumentativos ...................................................................... 93

A concluir .......................................................................................................................... 102

Captulo Integrando Contedos e Processos Matemticos ....................... 1035.1 Introduo ................................................................................................................... 105

5.2 Integrao via tarefas matemticas ............................................................................ 106

5.2.1 Par ou mpar ................................................................................................... 106

5.2.2 Tringulos e outras figuras ............................................................................ 112

5.2.3 Nmeros e capicuas ........................................................................................ 116

5.2.4 Percursos no relvado ...................................................................................... 120

5.3 Aspectos de uma cultura de integrao ..................................................................... 123

Concluso ................................................................................................................................ 127

Bibliografia ............................................................................................................................... 129


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Nota de ApresentaoNo mbito do Programa de Formao Contnua em Matemtica, foi identificada aimportncia de ter documentos cientficos que incidissem sobre temticas relevantese que pudessem apoiar os professores na preparao da sua prtica lectiva.

A Direco-Geral de Inovao e de Desenvolvimento Curricular, no seguimento daproposta da Comisso de Acompanhamento do Programa de Formao Contnua emMatemtica para Professores dos 1. e 2. Ciclos do Ensino Bsico, apresenta maisum volume da coleco de materiais de apoio destinados aos professores.

Da autoria de Ana Maria Boavida, Ana Lusa Paiva, Graa Cebola, Isabel Vale e TeresaPimentel, a brochura A Experincia Matemtica no Ensino Bsico constitui-se como

um recurso central para aprofundar a resoluo de problemas, as conexes, a comu-nicao e a argumentao, apoiando ainda o professor na gesto da integrao decontedos e processos matemticos na aula.

A Subdirectora-Geral de Inovao e de Desenvolvimento Curricular

(Joana Brocardo)

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As actuais orientaes curriculares consideram como principais finalidades para oensino da Matemtica que os alunos valorizem esta disciplina atravs do contacto comideias e mtodos fundamentais desta rea do saber e que desenvolvam capacidadesde resoluo de problemas, de raciocnio e de comunicao (Abrantes, Serrazina &Oliveira, 1999; Ponte, Serrazina, Guimares, Breda, Guimares, Sousa, Menezes,Martins & Oliveira, 2007). Nesta brochura, apresentam-se aspectos consideradosimportantes para o ensino e aprendizagem da Matemtica, esperando que seja tilaos professores no seu trabalho com os alunos. Pretende-se contribuir, por um lado,para a criao de condies favorveis ao aprofundamento do conhecimento matem-tico, didctico e curricular do professor e, por outro, para melhorar as aprendizagensdos alunos, o que passa pela necessidade de desenvolverem uma atitude positiva em

relao Matemtica.Este documento foi, priori tariamente, pensado para professores do 1. ciclo doensino bsico. Optou-se por centr-lo em processos matemticos transversais avrios temas e que so intrnsecos ao trabalho em Matemtica: resoluo de proble-mas, conexes matemticas, comunicao matemtica e argumentao emMatemtica. Globalmente, a aprendizagem destes processos vai ao encontro das trsgrandes capacidades transversais destacadas no Programa de Matemtica do ensi-no bsico (Ponte et al., 2007). Esta opo justifica-se, antes de mais, por estaremprevistas outras brochuras de apoio ao Programa de Formao centradas em temasmatemticos. Alm disso, defende-se que dar um lugar de destaque a processosmatemticos, pode facilitar o envolvimento dos alunos em experincias de aprendiza-

gem diversificadas e significativas que proporcionem uma viso global da Matemticae uma aprendizagem baseada na compreenso de conceitos e no desenvolvimento doraciocnio.

O que se prope no pretende ser uma alternativa memorizao ou treino de pro-cedimentos, factos e conceitos, que tambm tm o seu papel no ensino e aprendiza-gem da Matemtica, mas, antes, apresentar um complemento a este trabalho quepermita desenvolver nos alunos capacidades de nvel cognitivo mais elevado.

No que se refere estrutura do documento, comea-se por analisar separadamentecada um dos processos matemticos referidos. Esta separao artificial e ocorre porrazes de ordem prtica, nomeadamente pela necessidade de analisar teoricamente

cada um. No contexto da sala de aula estes processos no devem ser trabalhados iso-ladamente. Esta ideia justifica a existncia de um ltimo captulo onde os processosmatemticos aparecem interligados e integrados com contedos matemticos enten-didos como temas e tpicos matemticos.

Em cada captulo, no houve a preocupao de abordar todos os temas do currculode Matemtica do 1. ciclo do ensino bsico. No entanto, ao longo da publicao, pro-curou-se encontrar um equilbrio na presena de vrios temas que so abordados apartir de tarefas e episdios de sala de aula adequados a este ciclo, recorrendo a umalinguagem que se pretende rigorosa, mas acessvel.

Introduo


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Embora os exemplos e episdios apresentados tenham sido seleccionados pensandono professor do 1. ciclo que, sendo generalista, tambm ensina Matemtica, muitasdas tarefas propostas so adequadas a anos de escolaridades posteriores onde podemser exploradas com um maior grau de profundidade. Do mesmo modo, as perspecti-vas tericas que orientaram a concepo da brochura so transversais globalidadedo ensino bsico, pelo que podem servir de referncia para delinear e levar prticaestratgias de concretizao do currculo de Matemtica de outros ciclos.

O captulo 1 foca-se na resoluo de problemas enquanto processo matemtico deimportncia crucial para a aprendizagem da Matemtica desde o 1. ciclo do ensinobsico. Comea-se por discutir o significado da terminologia habitualmente utilizada,passando, depois, para questes associadas resoluo e formulao de problemas

recorrendo a exemplos ilustrativos passveis de utilizao na sala de aula. s conexes matemticas que se dedica o captulo 2, onde, atravs de exemplos,se evidenciam relaes entre a Matemtica e a realidade, entre a Matemtica e outrasreas curriculares e, tambm, entre tpicos da prpria Matemtica. Em particular,procura-se destacar que o estabelecimento de conexes proporciona uma compreen-so mais profunda e duradoura das ideias matemticas e uma valorizao daMatemtica como instrumento de compreenso do mundo.

A comunicao matemtica, enquanto meio facilitador de aprendizagens significati-vas, o cerne do captulo 3. Para ilustrar diferentes dimenses deste processo, recor-re-se anlise de pequenos dilogos e produes dos alunos. Pelas suas interligaes

com a comunicao, abordam-se aspectos relacionados com modos de representarideias matemticas.

A nfase no raciocnio matemtico, sublinhada pelas actuais tendncias curriculares,remete para salas de aulas em que a explicao e a justificao so aspectos chaveda actividade dos alunos, o que traz para primeiro plano a importncia e necessidadede dedicarmos ateno argumentao em Matemtica (Yackel & Hanna, 2003).Assim, o captulo 4 centra-se neste processo, intimamente associado a experinciasde aprendizagem em que assumem um papel preponderante a formulao e teste deconjecturas, bem como a fundamentao de raciocnios. Referem-se caractersticasessenciais e apresentam-se possveis contextos e percursos argumentativos adequa-dos maturidade matemtica dos alunos dos primeiros anos de escolaridade.

O captulo 5, Integrando contedos e processos matemticos, aborda essa integraoatravs de dois pontos de vista complementares: tarefas e cultura de sala de aula.A primeira parte, tem um carcter mais prtico, fazendo-se um percurso algo inver-so ao dos captulos anteriores. Isto , parte-se de tarefas e respectivas propostas deexplorao em sala de aula, para enfatizar processos matemticos que a tm umamaior relevncia e os temas que, a partir delas, podero ser trabalhados. Importa, noentanto, no esquecer que, como se referiu, os processos apresentados nos quatrocaptulos anteriores esto interligados, pelo que atravessam a explorao de todas astarefas. Estas foram escolhidas tendo em ateno nveis de complexidade diferencia-dos para poderem abranger vrios anos de escolaridade e serem adequadas a alunos

com caractersticas diferentes, o que permite desenvolver as referidas capacidades

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transversais. A segunda parte do captulo, foca-se em caractersticas de uma culturade sala de aula favorvel integrao de temas e processos matemticos, o queremete para a constituio e manuteno de uma comunidade interveniente, infor-mada e crtica relativamente a ideias matemticas fundamentais.

Espera-se que esta brochura seja til para iluminar aspectos essenciais da experin-cia matemtica que todos os alunos do 1. ciclo do ensino bsico devem vivenciar e,simultaneamente, para ajudar a delinear situaes de ensino e aprendizagem quetenham em conta estes aspectos.

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RESOLUO de PROBLEMASem MATEMTICA

Aprendemos a resolver problemas resolvendo-os.

(Polya, 1945)


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No se pode conceber a Matemtica sem conceitos, definies, axiomas, teoremas,demonstraes, algoritmos ou frmulas. So partes integrantes desta cincia.Contudo, os problemas a sua formulao e resoluo so a essncia da Matemtica.

A resoluo de problemas tem vindo a ser reconhecida como uma actividade relevan-te no currculo da Matemtica escolar desde a publicao de An agenda for action(NCTM, 1980) at aos dias de hoje. De um modo geral, os professores esto atentos importncia deste processo matemtico na aprendizagem, no s porque os docu-mentos curriculares nacionais e internacionais apontam nesse sentido (ME, 2001;NCTM, 2000; Ponte et al., 2007), mas tambm porque os resultados dos estudosinternacionais (TIMSS, 1996; PISA, 2003) no so nada animadores no que diz res-peito ao desempenho dos alunos na resoluo de problemas. A literacia matemtica

dos alunos , num destes estudos, determinada pelo modo como usam os conheci-mentos, as capacidades e as atitudes na resoluo de problemas. Assim, necessriopropor-lhes experincias diversificadas que permitam desenvolver as suas capacida-des de resoluo de problemas, de modo a poderem tirar partido da Matemtica aolongo da vida.

Neste captulo reala-se a importncia da resoluo de problemas enquanto processomatemtico crucial para a aprendizagem da Matemtica. Note-se que no se preten-de apresentar a resoluo de problemas como a nica alternativa para a actividadematemtica na sala de aula. A aprendizagem da Matemtica envolve outras experin-cias fundamentais entre as quais se incluem actividades mais rotineiras que apelam,nomeadamente memria e ao treino. O que se defende que este tipo de activida-des deve ser complementado com outras mais desafiantes, como seja a resoluo deproblemas. Neste mbito, comea-se por clarificar o significado de alguns termos fre-quentemente usados e, em seguida, apresentam-se diferentes tipos de problemasrecorrendo a exemplos ilustrativos. Alm disso, abordam-se estratgias de resoluoe de formulao de problemas e foca-se a questo da seleco e enriquecimento detarefas.

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Introduo1.1


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Problemas e estratgias de resoluo

Numa perspectiva educacional, formular e resolver problemas uma componenteessencial de fazer Matemtica e permite o contacto com ideias matemticas significa-tivas. , tambm, uma oportunidade de envolver os alunos, desde muito cedo, emquestes de modelao matemtica que, tradicionalmente, so consideradas comotpicos de Matemtica mais avanada.

Alguns autores referem que a resoluo de problemas o processo de aplicar oconhecimento previamente adquirido a situaes novas e que pode envolver explora-o de questes, aplicao de estratgias e formulao, teste e prova de conjecturas.Trata-se de uma actividade muito absorvente, pois quem resolve um problema desafiado a pensar para alm do ponto de partida, a pensar de modo diferente, aampliar o seu pensamento e, por estas vias, a racionar matematicamente. A resolu-

o de problemas pode, tambm, ser perspectivada num sentido mais abrangente,designando uma abordagem de ensino da Matemtica: ensino da Matemtica atravsda resoluo de problemas. Aqui os problemas esto em primeiro plano, enquanto viafacilitadora da aprendizagem. esta perspectiva da resoluo de problemas que seadopta neste captulo.

Podem considerar-se duas componentes principais na resoluo de problemas. A pri-meira, a explorao, consiste na descoberta de possveis relaes e usa o raciocnioe os processos indutivos e as estratgias que levam procura da soluo. A segun-da, a confirmao, envolve testar essas relaes e usa raciocnio e processos deduti-vos, incluindo apresentar contra-exemplos e justificar as generalizaes. O rigor detais justificaes depende do nvel do aluno e da natureza do problema; algumaspodem ser mais formais e outras usar palavras prprias para explicar porque que ageneralizao funciona. Acrescenta-se, ainda, nalgumas situaes, a componentecriativa na qual cada um faz as suas prprias exploraes, o que alguns autores cha-mam extenses. Esta componente criativa da resoluo de problemas ajuda o profes-sor e os alunos a formular novos problemas e a criar experincias mais ricas a partirdos problemas iniciais. Neste processo, para alm dos aspectos cognitivos h que terem conta tambm factores afectivos. Deve-se reconhecer a existncia dos problemase estar motivado para os compreender. importante encorajar a explorao de ideiaspelos alunos e o uso de modelos concretos para definir possveis estratgias de resoluo.

Um problema ou a sua resoluo originam, na maior parte das vezes, problemas adi-

cionais ou conceitos tericos que por sua vez suscitam novos problemas matemti-cos. Alm disso, a resoluo de problemas:

proporciona o recurso a diferentes representaes e incentiva a comunicao;

fomenta o raciocnio e a justificao;

permite estabelecer conexes entre vrios temas matemticos e entre aMatemtica e outras reas curriculares;

apresenta a Matemtica como uma disciplina til na vida quotidiana.

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Em suma, o entendimento que aqui se apresenta de resoluo de problemas o deum processo que deve orientar a actividade matemtica na sala de aula do 1. ciclo,proporcionando um contexto de aprendizagem em que se apresentam novos concei-tos ou se aprofundam e aplicam conceitos j adquiridos. Ensinar Matemtica atravsda resoluo de problemas proporciona uma viso desta disciplina favorvel ao esta-belecimento de ligaes dentro da prpria Matemtica, com outras reas do currcu-lo e com o dia a dia dos alunos, permitindo-lhes aprender como utilizar e aplicar aMatemtica fora da escola.

1.2.1 O que um problema?

Entre os vrios tipos de tarefas a que o professor pode recorrer na sala de aula, umasdirigem-se mais memria e ao treino enquanto outras esto mais direccionadaspara processos mais complexos de pensamento. De acordo com Ponte (2005), as

tarefas podem ser analisadas segundo duas dimenses principais: uma relacionadacom o nvel de estruturao e outra com o desafio matemtico que suscitam. A estru-turao da tarefa est associada ao grau de explicitao das questes colocadas, oque conduz a tarefas fechadas e a tarefas abertas. O desafio prende-se com o graude dificuldade que se relaciona com conhecer-se, ou no, o processo de resoluo.Assim, o desafio pode variar entre reduzido e elevado. Cruzando essas duas dimen-ses, Ponte prope quatro tipos essenciais de tarefas: exerccio (fechada, desafioreduzido); problema (fechada, desafio elevado); explorao (aberta, desafio reduzi-do); e investigao (aberta, desafio elevado).

Naturalmente, a distino entre tarefas considerando a sua natureza nem sempre

fcil e, alm disso, nenhuma categorizao esgota todos os tipos de tarefas que seusam na sala de aula. Na verdade, poder-se-iam acrescentar outras dimenses como,por exemplo, a durao do tempo de resoluo e o contexto que as enquadra.

Uma vez que o tema deste captulo a resoluo de problemas, importante distin-guir a noo deproblema de outras que com ela, por vezes, se identificam.

H vrias definies de problema. Adoptando a proposta pelo ME (2001), os proble-mas so situaes no rotineiras que constituem desafios para os alunos e em que,frequentemente, podem ser utilizadas vrias estratgias e mtodos de resoluo(p.68). Assim, tem-se um problema quando se est perante uma situao que nopode resolver-se utilizando processos conhecidos e estandardizados; quando neces-

srio encontrar um caminho para chegar soluo e esta procura envolve a utiliza-o do que se designa por estratgias. Caso contrrio, isto , se a situao pode serresolvida utilizando processospara ns conhecidos, repetitivos ou mecanizados, queconduzem directamente soluo, estamos perante um exerccio. Deste modo, serou no ser problema no depende apenas da tarefa que proposta, mas tambm doindivduo a quem se prope. Por exemplo, a questo Calcula o produto 8x6 pode tervrias interpretaes conforme o nvel de conhecimentos de quem a enfrenta: umfacto especfico se a resposta automtica e faz recurso memria; um exerccio semobiliza treino ou mecanizao; ou um problema se envolve a descoberta de umcaminho.

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Importa que os problemas tenham as seguintes caractersticas: a) sejam, realmente,compreensveis pelo aluno apesar de a soluo no ser imediatamente atingvel;b) sejam intrinsecamente motivantes e intelectualmente estimulantes; c) possam termais do que um processo de resoluo; d) possam integrar vrios temas.

Para um bom ensino da Matemtica essencial que o professor seja capaz de distin-guir os vrios tipos de tarefas, de modo a seleccionar as mais adequadas aos objec-tivos que tem em vista. Apresentam-se, em seguida, exemplos de um exerccio(tarefa 1) e de umproblema (tarefa 2), para alunos do 4. ano de escolaridade:

Repare-se que na tarefa 1, basta aplicar o algoritmo da multiplicao que, em princ-pio, os alunos do 4. ano j conhecem. Em contrapartida, na tarefa 2, precisam derecorrer a processos de raciocnio que vo para alm do mero conhecimento databuada.

Tradicionalmente, quando se fala em resoluo de problemas no ensino daMatemtica, pensa-se em problemas que tm um enunciado definido e estruturado,uma e apenas uma soluo e um processo de resoluo pr-determinado que conduz resposta certa ou errada. Contudo, como se referiu, um problema pode ser coloca-

do num sentido mais aberto, suscitando nos alunos a procura de diferentes mtodose caminhos, e no apenas de uma resposta. Trata-se do que alguns autores designampor investigaes (por exemplo, Ponte, 2005) ou problemas abertos (Stevenson,2001), termos que, nesta brochura, se consideram sinnimos. Um exemplo de um problema aberto, adequado aos alunos dos dois primeiros de escolaridade, :Descobre o que conseguires sobre o nmero 25. Algumas das descobertas podem ser:(a) 25 = 10 + 10 + 5; (b) um nmero mpar; (c) igual a 5x5; (d) um produtode factores iguais; (e) 100 : 4; (f) so duas dzias mais um.

At aqui pretendeu-se clarificar o significado de vrios termos associados resoluode problemas e no valorizar um tipo de tarefas em detrimento de outras, pois todas

tm o seu lugar na experincia matemtica dos alunos. Focam-se, em seguida, carac-tersticas de diferentes tipos de problemas.

1.2.2 Diferentes tipos de problemas

Na sala de aula apresentam-se tarefas variadas com objectivos diversos. Tambm nombito da resoluo de problemas, se podem explorar diferentes tipos de problemasque o professor deve seleccionar de acordo com os fins em vista. Deste modo, anali-sam-se de seguida alguns problemas focando a ateno no enunciado e no processode resoluo.

Calcular produtos

1. Calcula o produto 83x6.

2. Preenche o espao em branco de modo a obter uma afirmao verdadeira:

....x6 um nmero compreendido entre 45 e 52.

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Quando se est perante um problema, importante saber se o enunciado fornece ainformao necessria para a sua resoluo. Na vida quotidiana, geralmente isto noacontece: tem de se seleccionar entre vrios dados aqueles que interessam para asituao de modo a obter uma soluo satisfatria. De facto, a identificao e selec-o da informao que torna muitos problemas difceis. Aos alunos devem ser pro-porcionadas oportunidades de seleccionar dados relevantes e identificar informaoem falta, que necessria para resolver a situao.As compras da Ins ilustram um problema com informao insuficiente (tarefa 1) e um problema com informaoextra (tarefa 2).

H vrias tipologias de classificao de problemas matemticos que diferem segundoos autores (Vale & Pimentel, 2004). Neste captulo, opta-se por uma classificaosimples, adequada ao 1. ciclo, em que se consideram apenas problemas de clculo,problemas de processo e problemas abertos.

Problemas de clculo

Os problemas de clculo requerem decises quanto operao ou operaes a apli-

car aos dados apresentados. Os alunos lem o problema, avaliam o que conhecidoe o que pedido e, finalmente, efectuam uma ou mais operaes que consideramapropriadas usando os dados do enunciado. Neste mbito, podem diferenciar-sepro-blemas de um passo eproblemas de mais passos ilustrados, respectivamente, atra-vs das tarefas Vedar o quintale Pintar mesas.

Vedar o quintal um problema de um passo, pois, para o resolverem, os alunosnecessitam apenas de utilizar uma operao. Em contrapartida, em Pintar mesas, umproblema de mais passos, h que recorrer a mais do que uma operao para chegar soluo.

Vedar o quintal

O quintal da Sandra quadrado com 5 metros de lado. Quantos metros derede so necessrios para vedar o quintal?

Pintar mesasO Lus pintou trs mesas na segunda-feira e quatro na tera. Na quarta noiteprecisa de entregar uma dzia. Quantas mesas precisa de pintar na quarta--feira?

As compras da Ins

1. A Ins comprou dois CDs ao Lus. Decidiu vender o 1. CD por 3 euros e o2. CD por 5 euros. Qual foi o lucro que a Ins obteve com a venda?

2. A Ins comprou trs CDs ao Lus por 1, 3 e 5 euros. Vendeu os dois pri-meiros por 4 euros cada. Qual foi o lucro que a Ins obteve com a venda?


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Os problemas de clculo so os que, nos manuais escolares, normalmente aparecemno fim de um tema. Tm algumas potencialidades. Nomeadamente, proporcionam aosalunos a oportunidade de aplicarem conceitos e destrezas previamente aprendidos epraticarem esta aplicao. No entanto, o risco de lhes propor exclusivamente estesproblemas reside em poderem lev-los a leituras demasiado rpidas, a anlisessuperficiais ou a respostas sem qualquer nexo. Ilustra-se, em seguida, esta situaoa partir de resolues apresentadas por alunos para trs questes que lhes foramcolocadas.

Estas resolues permitem evidenciar dois aspectos. Por um lado, os alunos podempensar que todos os problemas tm de ter forosamente soluo que se obtm custa de uma das quatro operaes elementares que conhecem, o que absurdo noexemplo 1. Por outro lado, podem associar determinadas palavras a uma operao,como se v nos exemplos 2 e 3.

No seu conjunto, os exemplos mostram os perigos de o aluno se lanar s cegas namanipulao simblica sem compreender o que est em causa com o problema nemo significado das operaes e dos smbolos. A primeira questo no tem dados sufi-cientes, mas h uma tentativa de lhe dar uma resposta plausvel com os dados dis-ponveis. Aparentemente a aluna, que apresentou a resposta, partiu do princpio deque todos os problemas tm soluo e, assim, utiliza as operaes que conhece e vaiavaliando o resultado obtido, at encontrar um que lhe parece adequado. No segun-do exemplo, tem-se a tentao de realizar a subtrao 125 e dar como resposta 7porque o enunciado refere menos 5. A resposta correcta 5, mas para l chegar tem

de se pensar e interpretar o enunciado. O mesmo acontece no terceiro exemplo. Osnmeros 5 e 3 ligados pela palavra mais induzem a realizao da adio 5+3 origi-nando a resposta errada 8.

Salienta-se, no entanto, que o tipo de respostas apresentadas pelos alunos s questesest muito relacionado com o ensino realizado e com a cultura de sala de aula, j quese as questes forem colocadas noutros ambientes, nomeadamente em contextos noescolares, a percentagem de respostas despropositadas diminui muito (Baruk, 1985).

Outra situao que necessrio referir a das condicionantes reais do contexto doproblema que podem fazer com que a soluo encontrada, embora matematicamen-te correcta, no faa sentido na realidade. Observe-se o exemplo:

Temos quatro espelhos de 2,5 metros de largura. Quantos espelhos de 1 metro delargura se podem obter?

Questes

1. Um pastor tem 120 ovelhas e 3 ces. Quantosanos tem o pastor?

2. Um agricultor tem 12 vacas. Todas morrerammenos 5. Quantas vacas restam?

3. A Ana tem 5 bolas, que so mais 3 do que asda Rita. Quantas bolas tem a Rita?

5+3=8

Resposta: A Rita tem 8 bolas.

125=7

Resposta: Restam 7 vacas.

Resolues e respostas de alunos

+120

+123

+123

Resposta: O pastor tem 40 anos.

120

123

117

x120

x133

x360

120 3

00 40

0

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Se o aluno se limitar a multiplicar 4 por 2,5 para obter a largura total e, de seguida,a dividir por 1 chega concluso que se podem obter 10 espelhos, o que, na realida-de, no tem interesse j que conduziria a que dois dos espelhos tivessem de ter umaemenda. Na verdade, na vida real esta situao, normalmente, no desejvel.

Problemas de processo

Osproblemas de processo diferem dos de clculo porque no podem ser resolvidosapenas por seleco da(s) operao(es) apropriada(s). Esto, geralmente, embuti-dos em contextos mais complexos e requerem um maior esforo para compreender aMatemtica necessria para chegar soluo, uma vez que tem de se recorrer aestratgias de resoluo mais criativas para descobrir o caminho a seguir. Requerempersistncia, pensamento flexvel e uma boa dose de organizao.

Estes problemas podem ser usados para desenvolver diferentes capacidades, paraintroduzir diferentes conceitos ou para aplicar conhecimentos e procedimentos mate-mticos anteriormente aprendidos. Colocam questes que apelam ao envolvimentodos alunos e proporcionam experincias matemticas ricas e significativas (NCTM,2000) requerendo da sua parte o uso de vrias estratgias. O sucesso reside, muitasvezes, na capacidade que cada um tem de compreender e identificar a estrutura mate-mtica do problema. Observe-se, por exemplo, o problemaA compra e venda de CDs.

Este problema no tem uma soluo bvia e para o resolver o aluno tem de ir paraalm dos aspectos enganadores nele implicados, o que pode aguar o seu interesse.Na verdade, para o resolver pode pensar-se de dois modos diferentes:

1. Na primeira transaco, a Ins comprou por 3 euros e vendeu por 5 euros logoganhou 2 euros (+2). Ao fazer a segunda transaco, como comprou por 7euros o que tinha vendido por 5 perdeu 2 euros (-2), o que neutraliza o primei-ro ganho (+22=0). De seguida, vendeu o mesmo por 9 euros tendo ganhoassim no total 2 euros (+2).

2. Ao fazer a primeira transaco, a Ins comprou por 3 euros e vendeu por 5euros logo ganhou 2 euros (+2). Na segunda transaco a Ins comprou por 7euros e vendeu por 9 euros, logo ganhou 2 euros (+2). Assim, no total, o lucrofoi de +2+2=4 euros.

Afinal qual foi o lucro, dois ou quatro euros? Podemos justificar o modo de pensarcorrecto por duas vias diferentes:

A segunda transaco s por coincidncia efectuada sobre o mesmo objecto.Experimente pensar que na segunda vez a Ins foi comprar no um CD masum livro, e no ao Lus mas ao Joo. Como estes acontecimentos so indepen-dentes, j claro verificar que a Ins ganhou dois euros em cada transaco,donde ganhou no total 4 euros.

A compra e venda de CDs

A Ins comprou um CD por 3 euros e vendeu-o ao Lus por 5 euros. Mais tardecomprou-o de volta ao Lus por 7 euros e tornou a vend-lo por 9 euros. Ser

que a Ins ganhou ou perdeu com esta compra e venda?

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Podemos supor que temos no bolso uma determinada quantia, por exemplo 10euros, e, fazendo os clculos correspondentes s transaces, comparar aquantia final com a inicial: 103=7; 7+5=12; 127=5; 5+9=14; 1410=4.Ou seja, houve um lucro de 4 euros.

Problemas abertos

Os problemas abertos, tambm aqui designados por investigaes, podem ter maisdo que um caminho para chegar soluo e mais do que uma resposta correcta. Paraos resolverem, os alunos tm de fazer exploraes para descobrir regularidades e for-mular conjecturas, apelando, por isso, ao desenvolvimento do raciocnio, do espritocrtico e da capacidade de reflexo.

Uma possibilidade de clarificar o significado deproblema aberto confrontar este tipode problemas com problemas de clculo e de processo. Para o efeito, analise-se umasucesso de tarefas Caixa de molas (problema de clculo), Os trabalhos de Catarina(problema de processo) e Mais guardanapos (problema aberto) que tm por con-texto a actividade de pendurar guardanapos usando molas.

Trata-se de umproblema de clculo que utiliza dois passos. Adicionando as molas daCatarina com as da Ana obtemos 3+2=5. Como a caixa tem 6 molas e 5 menor que6, as molas chegam. Esta tarefa pode ser transformada noutra, com um grau dedesafio mais elevado para os alunos, que poder ser formulada a exemplo de Os tra-balhos da Catarina.

H diferentes modos de resolver este problema, mas h apenas uma soluo. umproblema de processo, j que o aluno no se limita a aplicar uma ou mais operaesconhecidas. Tem de fazer algumas experincias para chegar a uma regra que lhe per-mita descobrir e dar a resposta para 20 guardanapos sem ter que fazer a contagemdas molas uma a uma. Por exemplo, usar um desenho e/ou uma tabela, descobrir opadro e generalizar. Inicialmente, comea por particularizar para alguns casos. Paracalcular o nmero de molas necessrias para 20 guardanapos sem ser necessrio

Os trabalhos da Catarina

A Catarina vai pr a secar muitos guardanapos penduran-

do-os, ordenadamente, como se mostra.Ajuda a Catarina a descobrir quantas molas so necess-rias para pendurar 5, 6, 7, 10 ou 20 guardanapos.

Caixa de molas

A Catarina usou trs molas para pendurar trs guardanapos e a Ana usou duasmolas para pendurar um guardanapo. As duas amigas usaram uma caixa commeia dzia de molas. Descobre se as molas chegaram para pendurar os guar-danapos.

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fazer todas as operaes at l chegar, tem de identificar a lei de formao presente

na relao entre as sequncias numricas em causa, para poder concluir que o nme-

ro de molas igual ao nmero de guardanapos mais um:

Aparentemente esta situao parece idntica anterior mas no . Enquanto em Ostrabalhos da Catarina dado o modo como os guardanapos esto a secar, aqui necessrio descobrir as vrias maneiras de os colocar a secar. Alm disso, nada ditonem apresentado sobre o formato do estendal (pode ser, por exemplo, circular) nemsobre o nmero de cordas que tem. Mais guardanapos , assim, um problema aber-

to que permite vrias abordagens. Por exemplo, se a Catarina tiver 5 guardanapos, oestendal tiver uma s corda e no for circular, pode p-los a secar de diferentesmodos:

Para cada um destes modos de secar os guardanapos h um nmero de molas cor-respondente e, claro, que para 30 guardanapos, as possibilidades aumentam. Bastareparar, por exemplo, que se podem agrupar os guardanapos em conjuntos de 1, 2,3, 5,... elementos, ou seja os divisores de 30 (claro que, se o nmero de guardana-pos por mola for demasiado grande, o problema torna-se fisicamente impossvel).O professor deve discutir com os alunos se h modos equivalentes quanto ao nme-ro de molas antes de analisar cada caso individualmente, seguindo um processo an-logo ao apresentado na tarefa Os trabalhos da Catarina.

Uma possvel extenso desta tarefa colocar a questo ao contrrio, ou seja:Se tivermos um determinado nmero de molas, quantos guardanapos podemos

pendurar?

N. de N. de

guardanapos molas

5 6

6 7

7 8

8 9

9 10

... ...

20 21

Mais guardanapos

A Catarina vai pr a secar guardanapos. Porque uma rapariga organizada,pendura, todos os guardanapos, usando o mesmo processo. Ajuda a Catarinaa descobrir quantas molas so necessrias para pendurar 30 guardanapos.

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Note-se que, numa investigao, poder haver alunos que fazem uma exploraototal da questo e outros que s descobrem algumas possibilidades, mas todos tmoportunidade de fazer alguma descoberta, de acordo com os seus conhecimentos ecapacidades. Cabe ao professor acompanhar o trabalho dos alunos e ir fornecendopistas de modo a que possam ir desenvolvendo, cada vez mais, o seu raciocnio indu-tivo e dedutivo.

Reala-se, aqui, a importncia das snteses finais em grande grupo, em que os alu-nos podem apresentar turma o seu trabalho. Neste processo devem ser incentiva-dos a verbalizar as descobertas que vo fazendo (por exemplo, o nmero de molasnecessrias igual ao nmero de guardanapos mais um).

Tanto a tarefa Os trabalhos de Catarina como Mais guardanapos, para alm de per-mitirem a explorao de conceitos numricos, so favorveis ao desenvolvimento dopensamento algbrico, preparando os alunos para a aprendizagem da lgebra.

1.2.3 Estratgias

Para resolver qualquer problema, os alunos necessitam de ler (ou de quem lhes leia)o problema; compreender as quantidades e relaes envolvidas; traduzir a informa-o em linguagem matemtica, efectuar os procedimentos necessrios e verificar sea resposta obtida plausvel.

Polya, (2003), descreveu um plano em quatro fases que pode ajudar a resolver umproblema:

compreender o problema;

delinear um plano, ou seja, seleccionar uma (ou mais) estratgia(s);

desenvolver esse plano;

avaliar os resultados.

Embora este modelo tenha sido sugerido para problemas bastante mais complexos doque aqueles com que se trabalha no 1. ciclo do ensino bsico, as referidas fases sotambm teis na abordagem de problemas simples. Nem sempre fcil distinguir asegunda da terceira fase, j que medida que se estabelece o plano este comeaimediatamente a ser desenvolvido. Assim, pode-se considerar um modelo simplifica-

do de resoluo de problemas:

ler e compreender o problema;

fazer e executar um plano;

verificar a resposta.

Vrios investigadores, entre os quais Polya, identificaram um conjunto de estratgiasque podem ajudar os alunos a atacar o problema ou a caminhar no sentido de obtera soluo, adquirindo, simultaneamente, destrezas teis na resoluo de outros pro-blemas. Acredita-se que se aprende a resolver problemas, sobretudo se se for persis-

tente e disciplinado na forma de pensar e de estruturar o pensamento e se se for

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capaz de comunicar o que se pensou. Neste sentido, a familiaridade com o uso deestratgias ir permitir ao aluno passar gradualmente de uma situao fechada paraoutra mais aberta sem se sentir perdido. Estas estratgias podem ser aplicadas amuitos problemas, ss ou combinadas com outras. Algumas das estratgias, quepodem ser utilizadas no ensino bsico, so:

Fazer uma simulao/dramatizao;

Fazer tentativas;

Reduzir a um problema mais simples;

Descobrir um padro;

Fazer uma lista organizada;

Trabalhar do fim para o princpio.

Em combinao com estas estratgias recorre-se, muitas vezes, a diferentes repre-sentaes como sejam Fazer um desenho ou esquema ou Usar uma tabela.

importante distinguir o modelo de Polya das estratgias. O modelo proporciona umaviso geral de como nos devemos movimentar na resoluo de um problema, enquan-to as estratgias so ferramentas que, a maior parte das vezes, se identificam comprocessos de raciocnio e que podem ser bastante teis em vrios momentos do pro-cesso de resoluo de problemas. O conhecimento matemtico e as estratgias deraciocnio devem ser aprendidas e usadas em simultneo e no isoladamente.

Apresentam-se, em seguida, exemplos de problemas cuja resoluo facilitada pelo

recurso a uma ou vrias das referidas estratgias.

A estratgia a utilizar ser Fazer tentativas. No entanto, estas tentativas no so fei-tas s cegas mas atendendo s condies do enunciado. Na primeira tentativa, pode-mos comear com o mesmo nmero para os dois tipos de embalagens e, face aoresultado, vamos ajustando os valores.

Total de embalagens Embalagens de 4 Embalagens de 6 Total de iogurtes

12 6 6 6x4+6x6=24+36=70

12 8 4 8x4+4x6=32+24=56

12 7 5 7x4+5x6=28+30=58

Iogurtes

O Andr e o Bernardo foram comprar iogurtes para o grupo de amigos comquem esto acampados. Uns iogurtes so vendidos em embalagens de quatro eoutros de seis. Em conjunto, compraram 12 embalagens, num total de 58 iogur-tes. Descobre quantas embalagens de cada tipo compraram os dois rapazes?

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Em concluso, foram compradas sete embalagens de quatro iogurtes e cinco de seisiogurtes.

Neste problema conhece-se a situao final e quer-se conhecer a inicial, logo usa-sea estratgia trabalhar do fim para o princpio. tambm til fazer um esquema ondese comea por identificar e relacionar os dados.

Seguidamente o esquema poder ser preenchido do fim para o princpio, com recur-so s operaes inversas, o que permite chegar situao de partida: iniciaram a via-gem 14 passageiros.

Pode comear-se por reduzir a um problema mais simples, supondo que s h duas,trs ou quatro participantes e determinar o nmero de fitas em cada caso. Com alu-nos mais novos ser aconselhvel fazer uma dramatizao para determinar essenmero ou, em alternativa, fazer um esquema.

2 participantes1 fita

3 participantes3 fitas



Ginstica rtmica

Num nmero de ginstica as oito participantes devem ficar unidas duas a duascom fitas coloridas. Quantas fitas so necessrias para realizar o nmero?

Os passageiros do autocarro

Um autocarro partiu da estao com alguns passageiros. Na primeira paragementraram dois passageiros; na segunda saram cinco e na terceira entrou um,tendo chegado ao destino doze passageiros. Quantos passageiros iniciaram aviagem?

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Pode, ainda, fazer-se uma tabela que relacione o aumento do nmero de fitas com odo nmero de participantes. Ser importante que os alunos no necessitem de fazertodas as experincias at ao nmero pedido, mas que descubram um padro querelacione o nmero de fitas com o nmero de participantes.

Este padro pode incidir na relao entre o nmero de fitas em cada caso e o ante-rior nmero de fitas. No entanto, se o nmero de participantes fosse muito maior,esta descoberta no seria de grande ajuda, j que, para cada caso, temos que conhe-cer o que o precede. Mais eficaz seria o aluno procurar uma relao directa entre onmero de fitas e o nmero de participantes.

A descoberta de uma relao deste tipo (observar tabela anterior) permite estabele-cer a seguinte conjectura: o nmero de fitas necessrias para um nmero qualquerde participantes obtm-se adicionando os sucessivos nmeros naturais desde 1 atao nmero anterior de participantes.

Este problema pode, ainda, ser resolvido utilizando outra estratgia: fazer uma listaorganizada.

Designando os oito participantes por A, B, C, D, E, F, G, H ter-se-:

AB BC CD DE EF FG GH

AC BD CE DF EG FH

AD BE CF DG EH

AE BF CG DH

AF BG CH

AG BH

AH

A cada par de participantes corresponde uma fita, donde se conclui que so necess-rias 28 fitas.

Grande parte dos alunos consegue descobrir os seus prprios processos de resoluo.Assim, o professor, em vez de ensinar prescritivamente um conjunto de estratgiasde resoluo de problemas, pode propor-lhes vrias tarefas que favoream o apare-

cimento dessas estratgias. A sua posterior identificao e sistematizao iro dot-los

Nmero de Nmero de fitas

participantes

2 13 3=1+24 6=3+3=1+2+35 10=6+4=1+2+3+4

Nmero de Nmero

participantes de fitas

2 13 3=1+24 6=3+35 10=6+4

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de um reportrio de estratgias que lhes permitir resolver vrios problemas diferen-tes ou o mesmo problema de modos diferentes. Por conseguinte, quando uma estra-tgia falha h sempre outra a que podero recorrer, o que os ajuda a ganhar confian-a na sua capacidade para resolver problemas. Neste contexto, os bons problemasso aqueles que desafiam os alunos a desenvolver e aplicar estratgias, que so ummeio para introduzir novos conceitos e que oferecem um contexto para usar e desen-volver diferentes capacidades. Deste modo, a resoluo de problemas no um tpi-co especfico a ser ensinado mas um processo que deve permear toda a aprendiza-gem da Matemtica.

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A par da resoluo de problemas, a formulao de problemas uma actividade deimportncia inquestionvel, pois contribui no s para o aprofundamento dos concei-tos matemticos envolvidos, mas tambm para a compreenso dos processos susci-tados pela sua resoluo. Encorajar os alunos a escrever, a partilhar e a resolver osseus prprios problemas, um contexto de aprendizagem muito rico para o desen-volvimento da sua capacidade de resoluo de problemas. Ao colocarem problemas,os alunos apercebem-se da sua estrutura, desenvolvendo, assim, pensamento crticoe capacidades de raciocnio ao mesmo tempo que aprendem a exprimir as suas ideiasde modo mais preciso.

O papel do professor significativamente diferente quando se trata de incentivar osalunos a resolverem ou a formularem problemas. Na resoluo de problemas, o

professor quem, partida, formula as questes, cabendo ao aluno responder s soli-citaes que lhe so feitas. Na formulao de problemas, o aluno desafiado aproblematizar situaes do dia a dia usando a sua prpria linguagem, vivncias econhecimentos. Neste mbito, o professor deve dar especial ateno a vrios aspectos.Um usar as formulaes apresentadas pelos alunos no sentido de as orientar parauma explorao matematicamente rica. Outro saber aproveitar as situaes queocorrem na sala de aula, quer sejam provocadas ou ocasionais, para proporcionaractividades de formulao de problemas: um aniversrio, uma visita de estudo ou acelebrao de um Dia Mundial.

Suponha-se, por exemplo, que um aluno levou para a escola um prospecto de umnovo armazm de artigos desportivos que tinha aberto na zona e que entusiasmou oscolegas. Face a esta situao, o professor pode pedir aos alunos para formularem, empares, um problema que utilize os dados do prospecto. Um outro ponto de partida,com fortes potencialidades educativas, pode ser solicitar aos alunos que formulemquestes com base na tabela dos 100, apresentada em seguida.

Perante este desafio, saber colocar questes vital. , precisamente, esta caracters-tica que alguns autores usam para distinguir problema de investigao (Ernest,1996). Se um aluno coloca a questo Qual o primeiro nmero da tabela? e outro

coloca a questo Que diferena existe entre os sucessivos nmeros de cada coluna?,

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

3 6 9 12 15 18 21 24 27 30

4 8 12 16 20 24 28 32 36 40

5 10 15 20 25 30 35 40 45 506 12 18 24 30 36 42 48 54 60

7 14 21 28 35 42 49 56 63 70

8 16 24 32 40 48 56 64 72 80

9 18 27 36 45 54 63 72 81 90

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

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Formulao de problemas1.3


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o professor deve, com diplomacia, orientar a turma para a explorao desta ltimapois proporciona uma actividade matematicamente mais rica.

1.3.1 Estratgias de formulao de problemas

H algumas estratgias que podero ser teis para facilitar o processo de formulaode problemas. Apresentam-se, em seguida, duas dessas estratgias: E se em vez de?eAceitando os dados. A primeira, mais directamente relacionada com a modificaode problemas pelos alunos e a segunda com a criao de problemas.

E se em vez de?

A partir da informao que um determinado problema possui, identifica-se o que conhecido (os dados, as propriedades ou atributos envolvidos), o que pedido (o des-

conhecido, a resposta ou a soluo) e as restries que a resposta ao problema podeenvolver. Modifica-se um ou mais destes aspectos e formulam-se perguntas que, porsua vez, podero gerar mais modificaes e mais perguntas.

Quando se trabalha no mbito de conjuntos numricos, mudar o domnio pode ser ummodo interessante de ter novos problemas. A este propsito observe-se o seguinteexemplo que poder ser utilizado com alunos a partir do 3. ano: Quais as dimensesque um terreno rectangular pode ter de modo a que a sua rea seja 20 unidades?

Se se trabalhar num papel quadriculado est implcito que as solues sero apenasnmeros inteiros. Com alunos com conhecimentos matemticos mais profundos podesugerir-se que abandonem as quadriculas e analisem onde isso os leva. Uma forma

natural de o conseguir ser partir de uma soluo inteira, por exemplo 5x4, e passara dimenso 4 para o dobro verificando que, para que se mantenha a rea, a outradimenso, 5, ter de passar para a metade. Aparece, assim, uma extenso do pro-blema ao conjunto dos decimais e a busca de outras solues nesse conjunto.

Outra possibilidade o professor comear por sugerir a modificao de problemas quesejam familiares aos alunos. Considere-se o exemplo Os queques da av Bia.

Este problema pode ser reformulado de diversos modos. A maneira mais simples sermodificar o nmero de queques ou o nmero de crianas. Algumas das mudanas nosnmeros no afectam a dificuldade do problema mas outras modificam-na (e.g. 18queques para 6 crianas, ou 12 queques para 8 crianas ou ainda 10 queques para 3crianas). Outras hipteses de reformular o problema Os queques da av Bia sotorn-lo num problema mais aberto (exemplos 1 e 3), trocar o conhecido do proble-ma pelo desconhecido (exemplo 2) em que deixmos de saber quantos so os que-ques mas sabemos quantos so os meninos, ou ainda mudar o contexto, mantendo

a sua estrutura (exemplo 4). Na verdade a mudana de contexto de um problema uma das estratgias mais utilizadas na sala de aula.

Os queques da av Bia

A av Bia fez 12 queques para o lanche dos netos e amigos. Nesse dia esto

apenas dois meninos e cada um come o mesmo nmero de queques. Quantosbolos come cada menino?

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Quando se encorajam os alunos a responder a questes do tipo e se em vez de ...?ou o que que acontece se ...? est-se tambm a incentivar a formulao de proble-mas e corresponde a uma fase que alguns autores chamam de extenso do problema.

Aceitando os dados

Solicitar aos alunos que criem os seus prprios problemas, uma actividade tambmrica e interessante, mas que deve ser realizada apenas depois de terem alguma fami-liaridade, em etapas anteriores, como a modificao de problemas. De facto, a acti-vidade de inveno sem um suporte prvio, pode levar os alunos a fantasiar, simples-mente, criando problemas sem nenhuma ligao Matemtica ou ento propondoproblemas to complicados que nem os conseguem resolver. Deste modo, o profes-sor dever impor algumas regras e objectivos, recorrendo utilizao da estratgiaque se designa por aceitar dados. Esta estratgia parte de uma situao esttica, ouseja, de uma expresso, figura, tabela, definio, condio, ou simplesmente de umconjunto de dados ou informaes, sobre os quais se formulam questes. Para aexplorar, o professor pode recorrer e apresentar aos alunos situaes ou informaesem prospectos, jornais, livros, etc. Observem-se alguns exemplos.

Uma possibilidade de problema: temos 250 g de rebuados e queremos fazer 5 saqui-nhos para prendas com a mesma quantidade. Que peso dever levar cada saquinho?

Partindo de um diagrama

Constri um texto que traduza uma situao demultiplicao que recorra ao diagrama em rvore.

Partindo de uma expresso

Inventa um problema que possa ser traduzido pela expresso250: 5 = 50

Ainda os queques da av Bia

1. A av Bia fez 12 queques para o lanche dos netos e amigos. Distribui-os,igualmente, por todos os meninos, mantendo-os inteiros. Quantos meninos que, nestas condies, a av Bia pode ter a lanchar?

2. Se hoje lancham 3 meninos e cada um come 2 queques, quantos queques que a av distribuiu?

3. A av Bia fez muitos queques para o lanche dos netos e amigos. Ela distri-bui-os igualmente por todas as crianas, mantendo-os inteiros. Quantascrianas que ela pode ter a lanchar nestas condies?

4. Doze amigos vo acampar e tm apenas 2 tendas disponveis. Decidiramque ficaria o mesmo nmero de amigos em cada tenda. Quantos ficam emcada uma das tendas?

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Uma possibilidade de problema: se tivermos dois tipos de papel, liso e estruturado, parafazer cartes e canetas de trs cores, quantos cartes diferentes podemos construir?

Uma possibilidade de problema: o Joo poder pagar 1,90 sem receber troco?

E 2,05? Se sim, de que maneiras?

Quais das seguintes quantias poder o Joo pagar sem receber troco? 1,90 ? 2,05?

Uma possibilidade de problema: o Joo mora no Porto e vai a Braga, de comboio, visi-

tar os primos. Pensa almoar l e voltar no prprio dia. Escolhe os horrios de com-boios que deve utilizar de modo a ficar o maior tempo possvel em Braga.

Durante a sua prtica lectiva, o prprio professor pode recorrer s estratgias E seem vez de? eAceitando os dados com vrios propsitos. Por exemplo, para promo-ver extenses a um determinado problema, para adaptar problemas a determinadosobjectivos e contextos ou para simplificar ou enriquecer uma situao. Para avaliar aqualidade dos problemas formulados pelos alunos, pode usar como critrios, porexemplo, os atributos do problema, a estrutura do problema e qual a linguagem con-vencional usada pelo aluno.

Partindo de um horrio de comboios

Com base no horrio de comboios seguinte, inventa uma situao em que sejanecessria a consulta do horrio para a sua resoluo.

Porto(Campanh) P 9.46 16.46 18.45 21.45

Famalico 10.18 17.18 19.18 22.18

Braga C 10.31 17.31 19.31 22.31

Braga 6.04 13.04 18.04 20.04

Famalico 6.19 13.19 18.19 20.19

Porto(Campanh) 6.45 13.45 18.45 20.45

Partindo do dinheiro do Joo

Utiliza a informao seguinte para formulares um problema: O Joo tem algumasmoedas no bolso:

3 moedas de 2 cntimos



1 moeda de 1 euro

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J que o professor recorre com frequncia ao manual escolar durante as aulas, importante que o use de modo eficaz. A primeira condio um bom conhecimentodo programa e da articulao dos seus vrios temas. Com essa base, deve analisar--se de que maneira os temas so abordados no manual e observar atentamente astarefas propostas, questionando se com elas os alunos iro envolver-se activamentede modo a trabalhar as principais ideias matemticas. Se no for caso disso, impor-ta proceder a alteraes.

No ensino da Matemtica atravs da resoluo de problemas, os problemas a apre-sentar no devero ser usados apenas como contexto para aplicao de conhecimen-tos, mas tambm para introduzir ideias fundamentais. Os problemas seleccionadosno necessitam de ser originais; muitos dos bons problemas so bastante simples.

Por exemplo, se os alunos vo estudar a multiplicao, pode propor-se o seguinte:Quantas folhas de cartolina vamos precisar de comprar se cada grupo precisa de trse na turma h cinco grupos? Note-se que, se ainda no aprenderam a multiplicao,esta questo realmente um problema para eles.

Contudo, o professor no pode limitar-se a este tipo de problemas fechados e muitocircunscritos. necessrio dar oportunidade aos alunos de resolverem problemasmais abertos. Tradicionalmente, os manuais propunham essencialmente o que sedesignou porproblemas de clculo e esta tendncia ainda se verifica com frequncia.O professor poder, ento, adaptar muitos desses problemas de modo a elaborartarefas com um maior grau de desafio. Est, assim, nas suas mos a transformaodo que pode designar-se por problemas tradicionais noutros mais abertos. De modoa ilustrar esta ideia, apresentam-se, em seguida, possveis adaptaes de problemas.

O aqurio da escola

Comprou-se, para a escola, um aqurio com a forma de prisma rectangularque tem de dimenses 50 cm de comprimento, 30 cm de largura e 20 cm dealtura. Qual o volume de gua necessrio para encher o aqurio?

Adaptao de O aqurio da escola

Os alunos da turma do Joo vo projectar um aqurio com a forma de um pris-

ma rectangular para o trio da escola. Os peixes que esto a pensar l colo-car necessitam de 300 l de gua. Descobre as diferentes dimenses que oaqurio pode ter. Escolhe depois a que consideras mais apropriada para oaqurio da escola.

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Seleco e enriquecimento de tarefas1.4


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Os problemas abertos, de que as adaptaes apresentadas so exemplos, so espe-cialmente indicados para trabalho de grupo, sendo importante prever, no final, umasntese feita com toda a turma, onde as ideias, os conceitos e as estratgias utiliza-das so exploradas e os alunos tm oportunidade de clarificar os seus raciocnios e decompreender os dos outros.

Nomeando polgonos

Indica o nome de um polgono com seis lados.

Indica o nome do seguinte polgono:

Adaptao de Nomeando polgonos

1. Recorta dois quadrados geometricamente iguais.A figura mostra como podemos sobrep-los demodo a formarem um polgono de sete lados.Descobre como se podem sobrepor os quadrados

de modo a formarem polgonos de 4, 6 e 10 lados.

2. Se os quadrados forem transparentes podemos sobrep-loscomo mostra a figura de modo a obter um rectngulo (partesombreada). Descobre modos de sobrepor os dois quadra-dos de modo a obter um quadrado, um tringulo ou outrasformas.

Clculos

Calcula20x3 87+6 4325 56:18

Adaptao de Clculos

Usando quatro algarismos 4 e uma, ou vrias, das quatro operaes aritmticas,descobre um modo de obter 8.

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Embora a aprendizagem da Matemtica e, consequentemente, o trabalho na sala deaula, envolva necessariamente exerccios e actividades de memria e treino, ficaria,no entanto, incompleto, em todos os nveis, sem a resoluo de problemas.

A resoluo de problemas permite aprender de uma forma activa, ajudar os alunos aconstrurem conhecimento matemtico novo e tambm testar os seus conhecimentossobre os diversos temas de ensino. O professor deve seleccionar problemas relacio-nados com tpicos de Matemtica do programa, com o nvel dos alunos e com osobjectivos pretendidos e estabelecer o tipo de trabalho adequado individual ou cola-borativo de modo a proporcionar-lhes confiana nas suas possibilidades.

A seleco de problemas, pelo professor, deve subordinar-se s suas potencialidades

para promoverem, nos alunos, o raciocnio e o pensamento sobre ideias e conceitosmatemticos. Os alunos devem ser encorajados a apresentar turma as suas reso-lues e a explicar porque acham que fazem sentido. Isto pressupe que o professoros incentive a dar ateno ltima fase do modelo de resoluo de problemas pro-posto por Polya avaliar os resultados de modo a analisarem a sua razoabilidadeno contexto do problema. Estes aspectos tornam os alunos mais sistemticos nassuas exploraes e facilitam o desenvolvimento de uma maior sensibilidade ao fun-cionamento e aplicabilidade dos conceitos matemticos. Ao professor, do uma visomais consistente do pensamento dos alunos, permitindo-lhe avaliar o seu nvel deconhecimento e de compreenso.

Em 1945, Polya escrevia que se aprende a resolver problemas resolvendo problemas.

Os alunos perdem muito do entusiasmo e satisfao que provm da discusso e jus-tificao de ideias quando a Matemtica fica limitada aplicao do que lhes apre-sentado. A actividade de resoluo de problemas no deve ser espordica. O impor-tante manter um ambiente de questionamento permanente entre o professor e osalunos.

No entanto, uma boa tarefa no basta. A sua explorao fundamental e, neste pro-cesso, o professor a pea chave. Tem que ter slidos conhecimentos matemticospara avaliar as respostas dos alunos e tambm os conhecimentos didcticos necess-rios quer para os orientar, quer para os questionar colocando em primeiro plano areflexo e no o fornecimento de respostas.

O professor que proporciona aos alunos tarefas desafiantes e apropriadas ao seuconhecimento, est a proporcionar o estabelecimento de conexes entre vrios tpi-cos dentro e fora da Matemtica e a estimular a argumentao e a comunicaorecorrendo a diferentes representaes. Em suma, est a contribuir para o desenvol-vimento do pensamento independente e crtico, to essencial a vrias facetas da vida.

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A concluir


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CONEXES MATEMTICAS

A Matemtica geralmente considerada como uma cincia parte,

desligada da realidade, vivendo na penumbra do gabinete, um gabi-

nete fechado, onde no entram os rudos do mundo exterior, nem

o sol nem os clamores dos homens. Isto, s em parte verdadeiro.

Sem dvida, a Matemtica possui problemas prprios, que no tm

ligao imediata com os outros problemas da vida social. Mas no h

dvida tambm de que os seus fundamentos mergulham tanto como

os de outro qualquer ramo da Cincia, na vida real; uns e outros

entroncam na mesma madre.(Caraa, 1984)


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A tentativa de definir conexo leva, pelo senso comum, ideia de uma ligao, deuma dependncia, de algo que tem nexo e analogia com alguma outra coisa, um con-ceito, uma ideia, uma situao, um processo Do ponto de vista da Didctica daMatemtica, as conexes matemticas visam, por um lado, a criao e explorao desituaes em que os alunos trabalhem a Matemtica ligada a problemas da vida real conexes com a realidade e a outras reas curriculares conexes com Estudodo Meio, Histria, Lngua Portuguesa (Literatura), Visam, por outro lado, o destaqueda relao entre tpicos ou temas matemticos diferentes conexes dentro da pr-pria Matemtica.

Estas ideias encontram eco quer no Programa de Matemtica do ensino bsico (Ponteet al., 2007), quer no Currculo Nacional do Ensino Bsico (ME, 2001). Em particular,

neste ltimo documento, pode ler-se:Uma componente essencial da formao matemtica a compreenso de relaes entre ideiasmatemticas, tanto entre diferentes temas de Matemtica como no interior de cada tema, e aindade relaes entre ideias matemticas e outras reas de aprendizagem (a msica, as artes visuais,a natureza, a tecnologia, etc.). As actividades que permitam evidenciar e explorar estas conexesdevem ser proporcionadas a todos os alunos. Um aspecto importante ser o tratamento e explora-o matemticos de dados empricos recolhidos no mbito de outras disciplinas, nomeadamente asreas das Cincias Fsicas e Naturais, a Geografia e a Educao Fsica. (M. E., 2001, p. 70)

A criana, quando chega escola, possui, desde logo, um riqussimo conhecimentoinformal, baseado numa grande diversidade de capacidades e numa enorme varieda-de de interesses. A sua curiosidade e entusiasmo para explorar o mundo que a rodeia

leva-a, sem esforo, a penetrar nos conceitos elementares e a desenvolver capacida-des matemticas. Por isso, muitas teorias sobre o ensino e aprendizagem daMatemtica, tendem a valorizar a natural motivao das crianas e a sublinhar aimportncia de, desde o jardim de infncia, serem agentes activos da sua prpriaaprendizagem.

Como tal, tornar a Matemtica viva para os alunos, nos primeiros anos do ensino bsi-co, pressupe tarefas que simultaneamente reflictam contextos significativos e a inte-gridade dos contedos matemticos (Schwartz, 1995). O desafio para os professores, portanto, propor tarefas que se adaptem aos interesses dos alunos e estimulem asua aprendizagem Matemtica.

Ao longo deste captulo, procurar-se- ilustrar o significado de estabelecer conexesmatemticas, encaradas sob diferentes perspectivas. Considerar-se- conexes coma vida real em situaes ligadas quer Geometria, quer aos Nmeros. Ter-se-, tam-bm, em conta conexes com outras reas curriculares, atravs de tarefas ligadas sdo 1. ciclo do ensino bsico. Por ltimo, focar-se- conexes dentro da prpriaMatemtica, com exemplos que ligam a Geometria tanto ao Nmero como Medida,e que ligam tambm, entre si, as diferentes operaes aritmticas elementares, atra-vs da explorao de algoritmos pouco usuais nas escolas.

Introduo2.1


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Ligar a Matemtica vida real permite realar a sua importncia no desenvolvimentoda sociedade actual, quer do ponto de vista cientfico, quer social.

Para desenvolver, na sala de aula, conexes com a realidade, as experincias ante-riores dos alunos e os seus focos de interesse so uma ptima fonte de trabalho.Na verdade, so imensos os exemplos de actividades que os alunos fazem ao longode todo o dia e que podem ser explorados do ponto de vista das conexes com aMatemtica.

No incio do 1. ciclo, as crianas conhecem, normalmente, o caminho de casa esco-la e vice-versa. Sabem por onde ir se forem a p, de bicicleta ou at de automvel,e reconhecem pontos de referncia ao longo do percurso. No entanto, isto no signi-

fica que consigam explicar como ir de um lugar ao outro e, frequentemente, tm difi-culdades em indicar, do local em que se encontram, em que direco fica a sua casa.Mesmo conhecendo a sua vizinhana, nesta faixa etria, no tm ainda uma boavisualizao da sua estrutura global.

A orientao uma componente importante que leva compreenso do espao e umdos seus aspectos fundamentais a localizao (Heuvel-Panhuizen e Buys, 2005).Apresentam-se, de seguida, situaes ilustrativas que permitem desenvolv-la.As tarefas escolhidas, sendo de complexidade crescente, pretendem fomentar a liga-o do aluno, nos primeiros anos de escolaridade, ao exterior da escola, isto , aoespao em que diariamente se movimenta, realidade envolvente.

Figura 1 Mapa da vila

A vila dupla

So necessrias duas cpias do mapa de uma vila imaginria, como, porexemplo, o apresentado na figura 1.

Dois alunos sentam-se a uma mesa, frente a frente e separados por umadivisria, para que no seja possvel verem o mapa um do outro.

Um coloca no seu mapa, vrios objectos, tais como, casas, lojas, paragens deautocarro, sinais de trnsito, rvores, etc. De seguida, d indicaes sobre alocalizao de cada um dos objectos, ao colega. Baseado na informao rece-bida, este tem de reproduzir, no seu mapa, a vila criada pelo seu par.

Por fim, ambos confrontam e analisam as suas vilas.


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Conexes com a vida real2.2


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Note-se que, dependendo dos alunos a que a tarefa se destina, assim o mapa da vilapode ser mais simples ou mais complexo.

Num momento posterior, os alunos podem desenvolver itinerrios fictcios, circulan-

do, nomeadamente numa grelha (exemplo, O taxista) ou itinerrios reais trabalhan-do, por exemplo, no mapa da localidade onde residem (exemplo,s voltas na cidade).

Antes de o jogo comear, o professor pode discutir com toda a turma uma forma sim-ples e eficiente de indicar o caminho. Por exemplo, podem ser usadas letras paradesignar as direces: D (direita), E (esquerda), C (para cima), B (para baixo). Destaforma, DCCDCD representa o percurso assinalado na figura 2, ou seja, deslocar-seuma unidade para a direita, seguir duas unidades para cima, uma unidade para adireita, outra para cima e outra para a direita.

Figura 2 Grelha

A tarefas voltas na cidade poder proporcionar um contexto favorvel ao envolvimen-to dos alunos em actividades ligadas ao real e, concretamente, localidade onde vivem.

s voltas na cidade

Considere-se o mapa da cidade de Portalegre (figura 3).

O professor, numa parceria com cada aluno, pode identificar:

Pontos estratgicos: a escola, situada na Praceta Joo Paulo II; a S; aCasa Museu Jos Rgio; a casa do aluno,...;

Percursos de um stio a outro: ir da Praceta Joo Paulo II at CentralRodoviria, considerando diferentes caminhos possveis e, de entre eles,escolher o mais curto;

Percursos de um stio a outro, com paragem obrigatria: ir do Rossio atao Estdio Municipal e, pelo caminho, colocar uma carta no correio.

O taxista

Neste jogo, os alunos trabalham em pares e os txis circulam em grelhascomo a da figura 2.

Um aluno pensa num percurso para o txi e, oralmente, informa o colega poronde que o taxista deve seguir. Posteriormente, os alunos, em conjunto,verificam se o txi percorreu o caminho certo. Depois de cada viagem trocamde papis. Aps terem realizado cinco voltas, o jogo termina e vencedoraquele que obtiver um maior nmero de percursos correctos.Como bvio, os alunos devem dar indicaes claras ao colega.


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Figura 3 Mapa da cidade

Tarefas deste tipo podem, pois, ter um papel importante para desenvolver nascrianas referenciais de orientao e lev-las, cada vez mais, a uma certa autonomia

nas suas deslocaes.Desta forma, ilustrou-se a ligao da realidade com a Matemtica e, mais especifica-mente, com a Geometria. De seguida, e ainda na ligao com o real, pode levar-seos alunos a desenvolver o sentido do nmero explorando situaes do dia a dia, como o caso das compras. Escolhe-se uma situao que esteja ligada a algo do seu inte-resse. O clube onde praticam desporto e a gesto das respectivas despesas e recei-tas, pode originar exemplos como o que a seguir se apresenta.

Os alunos gostam que os adultos os considerem responsveis e, como tal, peranteesta tarefa, podem, se bem encaminhados, apresentar e explorar vrias soluespara o problema proposto e ter uma palavra perante o caso real que esto a estudar. importante que organizem o seu trabalho de forma a encontrarem todas as com-pras possveis que cumpram a condio exigida inicialmente. A tabela de dupla entra-da (tabela 1) onde, por exemplo, as linhas correspondem ao nmero de luvas e ascolunas ao de caneleiras, permite encontrar todas as combinaes. Isto , permite

que os alunos encontrem todas as solues e, perante a realidade vivida no clube(nmero de participantes, estado do equipamento j existente,), optem pela melhor.

Equipamento. Precisa-se!!...

As equipas de futebol do clube precisam de caneleiras novas e de luvas paraos guarda-redes. Se as caneleiras custarem 9 e as luvas 15 , que equipa-mento se pode comprar de forma a gastar menos de 100 ?


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Tabela 1

O primeiro passo preencher a tabela com os valores totais (em Euros) do custo das

vrias luvas e caneleiras. As quatro clulas preenchidas so apenas um mote paraalgumas questes no sentido de os alunos explicarem, no s o que est apresenta-do, mas tambm a maneira como pensam encontrar os valores de cada clula.Discutir as regularidades da tabela ajuda e simplifica o seu preenchimento. Tanto aonvel das linhas, como das colunas, existe uma sequncia aritmtica que pode serexplorada. O professor deve, ento, colocar questes, quer para saber a soluo dasituao real, quer para proporcionar uma anlise cuidada do processo de preenchi-mento efectuado pelo aluno: Repara na primeira linha. O que notas? E, acerca da

primeira coluna, o que podes dizer? Como encontraste os diferentes valores, ao longode uma linha? E de uma coluna? Porque ser que a tabela tem 7 linhas e 12 colunas?

Os valores indicados neste exemplo so verdicos. No entanto, este tipo de tarefa

adapta-se a outros nmeros (decimais ou inteiros) e, se o professor assim o enten-der, permite a utilizao da calculadora como instrumento facilitador dos clculos.

0

Nmero de caneleiras

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

0 0

1

2

3

4

5

6

9

15

57

Nmerodeluvas


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Nas conexes com outras reas curriculares, os conceitos ou os procedimentos devemser encarados no s do ponto de vista matemtico, mas tambm das reas em ques-to. O respeito pela especificidade de cada uma, nomeadamente a nvel da lingua-gem, essencial para a compreenso dos alunos.

2.3.1 Conexes com a Literatura Infantil

Os padres frequentemente presentes na Literatura Infantil podem ser o ponto departida para o estabelecimento de conexes com a Matemtica. Com efeito, a explo-rao de padres permite aos alunos aprender, por um lado, a reconhecer relaes ea estabelecer ligaes, generalizaes e previses e, por outro lado, a resolver pro-blemas que lhes permitam relacionar novas situaes com outras que j dominam, ecom isso, enriquecer as suas experincias anteriores (NCTM, 1998).

No livro Histrias pequenas de bichos pequenos (Magalhes, 1988), surgem algunsexemplos que suscitam a ligao da Literatura Infantil Matemtica. Considere-se ocaso da Centopeia, no qual, com alguma imaginao, se pode relacionar o conceitocardinal do nmero com uma histria.

mento do clculo mental, tendo por suporte uma histria, o que, normalmente, doagrado dos mais novos. A ligao com novas palavras pode tambm levar a dilogosinteressantes para justificar alguns dos nomes fictcios.

Na histria Pulga, a ligao da Literatura Infantil Matemtica, feita, desta vez, pelopadro que a prpria escrita proporciona.

A proposta que o professor pea aosalunos para se concentrarem no nmerode sapatos que o bichinho cala, o que

poder levar a desafios de clculo e tam-bm a curiosas terminologias. Poder co-locar questes do tipo:

Como designarias o bichinho se apenascalasse 98 sapatos? Que relao tem onmero de sapatos da centopeia com o dacinquentopeia? Se a centopeia calasseapenas um quarto das suas patas, dequantos sapatos precisaria? Que nomelhe darias? A centopeia j calou 35 patasquantas lhe faltam calar para poder ir

passear?Sugere-se, portanto, a colocao de v-rias questes que proporcionem, no so trabalho com diferentes nmeros esuas relaes, mas tambm o desenvolvi-

Centopeia

Era uma vez uma centopeia muito

simptica que eu conheci nas frias daPscoa. Convidei-a vrias vezes parajantar mas ela nunca aparecia. Quandoacabava de apertar os cordes docentsimo sapato do centsimo p, jeram horas de comear a desapertar osdo primeiro para se ir deitar.Um problema! Quando calava scinquenta sapatos tinha tempo de sairpara tomar um caf ou um sorvete; masnesses casos, como ela mesmo dizia,lamentando-se, no passava de uma

cinquentopeia.Uma vez passei por ela na rua e era umaquarenta-e-setepeia. Ia to envergonhadaque eu fiz de conta que no a vi.


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Conexes com outras reas2.3


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O nmero de vezes que a palavrapulga aparece em cada frase leva sequncia dosnmeros naturais maiores que 1, onde a regra adicionar 1 a cada termo para obtero termo imediatamente a seguir. Da mesma forma, o nmero de vezes que surge apalavra da, corresponde sequncia dos nmeros naturais: 1, 2, 3, 4, 5, e a regra a mesma.

Por ltimo, tenha-se em ateno o Hinodo Arco-ris da autoria de Maria AlbertaMenres e Antnio Torrado (Rocha, 1900).O professor pode solicitar aos alunos asua leitura individual ou em grupo e,posteriormente, incentivar a que conti-nuem o poema, dando largas imagina-o e respeitando a lgica dos poetas. Nofinal, podem ser apresentadas e discuti-das as vrias sugestes e escolhidaaquela que a turma considerar mais inte-ressante.

O professor pode comear por sugerir aosalunos que representem, numa tabela dedupla entrada, os nmeros que so men-cionados em cada uma das quatro qua-dras: cada coluna corresponde a um verso

e cada linha a uma quadra (tabela 2).

Hino do Arco-ris

Sete cores, setenta e setevoltas do nosso girar,mais de sete mil e setevoltas havemos de dar.

Sete cores, setenta mil,no h cores que tenham par,poisamos em cada coisao tom que lhe queremos dar.

Sete cores, setenta e setevoltas do nosso girar,quem nos quiser conhecertem que ver mais do que olhar.

Sete cores, setenta mil,setecentas mil talvezManeiras de ser subtil.Cada cor, era uma vez.

A pulga da pulga 2

A pulga da pulga da pulga 3

A pulga da pulga da pulga da pulga 4

A pulga da pulga da pulga da pulga da pulga 5A pulga da pulga da pulga da pulga da pulga da pulga 6

As reticncias finais convidam conti-nuao da histria, o que o professorpode solicitar aos alunos. Aqui no feitanenhuma referncia explcita aos nmeros.No entanto, a escrita do prprio textopressupe a existncia de um padro decrescimento e de uma sequncia numrica,tambm ela crescente. Repare-se que,na construo das frases de continuaoda histria, se evidenciam trs palavras,que do origem ao padro: o artigo defi-nido a , a contraco da preposio decom o artigo definido a da e o no-me pulga. apenas com estas trs pa-lavras que se pode continuar a histria,

de uma forma simples e directa.

Pulga

Era uma vez uma pulga que eu tinha,

a qual, por acaso, tambm tinha umapulga que, por sua vez, tinha outrapulga. Parece que esta ltima ao princ-pio no tinha, mas depois tambm apa-nhou uma pulga.

A verdade que quando eu coava aminha pulga, a pulga coava tambm apulga dela. E a pulga da pulga tambm.E a pulga da pulga da pulga tambm.E a pulga da pulga da pulga da pulga

tambm. E


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Tabela 2

Perante esta tabela, pode reparar-se que, no primeiro verso de todas as quadras, esto 7. Tambm no primeiro verso, mas surgindo alternadamente, nas quadras A e C enas quadras B e D, esto, respectivamente, o 77 e o 70 000. No segundo verso s naquadra D aparece o 700 000. No terceiro verso surge o 7007 mas somente na qua-dra A e, no quarto verso, no h referncias a quaisquer nmeros. Desta forma, se oobjectivo no s identificar o padro numrico, mas tambm continuar a poesia,deve notar-se, que dependendo do nmero de quadras a incluir, assim se pode seguirum ou outro padro, desde que devidamente justificado.

Um processo de construo pode ser, em primeiro lugar, o de estender a tabela ante-rior, com vista a uma melhor visualizao do padro numrico e, numa fase poste-rior, o de descobrir as rimas adequadas. Assim, ao mostrar apenas o padro numri-co, percebe-se que houve uma repetio da regularidade apresentada. a situaomais directa.

Pode, no entanto, indicar-se um outro padro e evidenciar, por exemplo, quantosnmeros existem em cada quadra. Ao observar a tabela 2, constata-se que h trsnmeros na primeira, dois na segunda, dois na terceira e trs na quarta, ou seja,pode identificar-se um padro de repetio, em que a unidade padro pode ser dotipo 3, 2, 2, 3 ou 3, 2, 2. Assim, pode repetir-se a unidade e os nmeros serem esco-lhidos de forma a jogar-se com a respectiva ordem de grandeza. Tudo depende daimaginao que se tem e da ideia que se defende.

Nesta tarefa, o importante, para alm daanlise e construo de padres, darlargas criatividade e fazer rimar os ver-sos para que a lgica do poema no desa-parea. Veja-se Continuao do Hino do

Arco-ris, uma possibilidade apresentadapor um professor do 1. ciclo.

Explorar o poema um trabalho que podeser desenvolvido ao longo de vrias aulase, dependendo do ano de escolaridade edos alunos a que se destina, ser mais oumenos aprofundado.

Continuao do Hino do Arco-ris

(...)Sete cores, setenta e sete,voltas no nosso girar,o sol s j pensa irnas dobras do teu olhar

Sete cores, setenta milsete milhes de promessas,maneiras de ser gentildum roteiro s avessas.

Sete cores, setenta e sete,Voltas no nosso girar,

(...)Zeca Freire, 2007

Quadra A 7 007

Quadra B

Quadra C

7

7

7

7Quadra D 700 00070 000

70 077

70 000

70 077

1. verso 2. verso 3. verso 4. verso


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2.3.2 Conexes com o Estudo do Meio Cincias da Natureza

Uma das formas de ir ao encontro dos objectivos referidos na Introduo deste cap-

tulo, desenvolver e explorar um modelo de currculo integrado, em que a diversida-de de tarefas permite ao aluno efectuar conexes entre os conceitos e os aconteci-mentos observados, e as ideias abstractas que explicam as relaes entre eles. Estastarefas podem incluir, entre outras:

investigaes com materiais concretos;

leitura de literatura e recolha de informao atravs de narrativas, fotografias,grficos e mapas;

anlise, interpretao e divulgao de resultados;

jogos.

Durante a Primavera, as crianas comeam a notar a renovao da vida das plantas.Uma srie de situaes relacionadas com este facto pode ento ser explorada: efec-tuar pequenos passeios pelo campo ou nos jardins mais prximos; planear a comprade plantas no mercado; ler histrias sobre jardinagem ou agricultura; e falar com jar-dineiros experientes.

Apresentam-se, de seguida, tarefas, com graus de dificuldade diferentes, que permi-tem exploraes em conformidade com o nvel de compreenso e desenvolvimentodas capacidades dos alunos a que se destinam. A primeira tem por objectivo a con-cepo e desenvolvimento, pelos alunos, de um projecto de plantao que envolva a

germinao de sementes e bolbos. Recomenda-se que o trabalho se realize empequenos grupos, onde cada um tem um papel a desempenhar e responsabilidades aassumir.

Ao longo do projecto, o professor pode ir colocando perguntas que levem os alunosa pensar matematicamente sobre o que esto a fazer: Quantas sementes deve tercada um, se todos tiverem o mesmo nmero?

Uma situao mais complexa pode envolver, implicitamente, a multiplicao e a diviso:Ao pretender que cada aluno tenha 5 sementes e sabendo que em cada pacote h 20

sementes, quantos pacotes precisamos de comprar?

Germinao de sementes e bolbos

No incio, os alunos discutem e definem como distribuir os materiais neces-srios para oprojecto de plantao.

Depois, para medir e apontar o crescimento das plantas, os alunos devem selec-cionar possveis instrumentos de medio, com unidades de comprimento nonormalizadas (por exemplo: uma palhinha ou uma tira de papel); ou rguas,

com unidades de comprimento normalizadas (por exemplo: centmetro).Por fim, ao registar as observaes em desenhos, mapas, grficos e ao usarsmbolos, os a

a experiÊncia matmÉtica no ensino bÁsico

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