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A Experiência Matemática

-Philip J. Davis e

-Reuben Hersh1ª edição- 1995

Autores: Autores: PhilipPhilip J. DavisJ. Davis ––Professor de matemática Professor de matemática

aplicada na Brown aplicada na Brown UniversityUniversity

Reuben HerschReuben Hersch –– Professor de Professor de matemática na Universidade de matemática na Universidade de New New

México em Albuquerque.México em Albuquerque.

PREFÁCIOPREFÁCIO

• Em 4 ou 5 milênios surgiu um vasto corpo de práticas e conceitos que designamos por matemática e que tem sido ligado à nossa vida cotidiana.

• Os mais antigos registros matemáticos de que temos conhecimento datam de 2 400 ªC.

v Todos somos matemáticos e fazemos matemática conscientemente.

• Tomar uma decisão de compra, decorar um vaso ou administrar o nosso salário.

- O objetivo deste livro é registrar a inesgotável diversidade que a experiência matemática apresenta. Este não é um livro de matemática, é um livro sobre a matemática e discutirá a história e a filosofia da matemática.

• Apesar do livro ter dois autores foi escrito com o uso do pronome eu, uma vez que cada um dos autores concorda de uma forma geral, com as opiniões do outro.

• Os ensaios neste livro podem, de um modo geral, ser lidos independentemente uns dos outros.

INTRODUÇÃO• Até cerca de 5 anos era um matemático normal. O autor

tinha o seu “campo” – equações diferenciais parciais – e ficava dentro dele, empregava categorias e modos de avaliação que absorvera durante o treino enquanto estudante universitário. Fazia parte da forma como contemplava o mundo, e não parte do mundo que contemplava.

Um dia o autor, finalmente teve oportunidade de lecionar em uma cadeira que se chamava Fundamentos da matemática. O seu objetivo era ensinar esta cadeira , tal como acontecera com todas as outras que havia ensinado ao longo dos anos, ou seja, era a de aprender ele próprio a matéria.

O autor tinha um passado de controvérsias acerca dos fundamentosda matemática. Sabia que tinha existido três grandes escolas: os lógicos, associados a Beltrand Russel, os formalistas, liderados por David Hilbert, e a escola construtivista de L. E. J. Brouwer. Possuía uma noção sobre as teorias de cada uma destas três escolas.

O ensino desta cadeira ofereceu lhe a oportunidade de estudar sobre os Fundamentos da Matemática, e enfim este livro é parte do fruto de todos os anos de ponderação, escuta e controvérsias.

• CAPÍTULO 1A PAISAGEM MATEMÁTICA.

• Que é matemática?• Segundo o dicionário, matemática é a ciência da quantidade e do

espaço.• As ciências da quantidade e do espaço são, na sua forma mais

simples, conhecidas por aritmética e geometria.• Aritmética é ensinada na escola primária, trata-se de

números de várias espécies e de regras de operação sobre números.

• Geometria é ensinada nos níveis seguintes e trata parcialmente das questões sobre medidas do espaço.

• A geometria ensinada segundo o esquema apresentada por Euclides em 300 a.C. é apresentada como ciência dedutiva. Este processo dedutivo é conhecido como demonstração.

• A geometria tem sido o grande campo de treino para o raciocínio lógico.

• A matemática poderia ser “acerca” de qualquer coisa que seja da forma hipótese – dedução – conclusão.

A comunidade matemática

• A corrente principal da matemática ocidental como profissão sistemática tem a sua origem no Egito e na Mesopotâmia. Disseminou-se até a Grécia e até ao mundo greco-romano. Durante os quinhentos anos que se seguiram à queda de Roma, o fogo da criatividade matemática foi praticamente extinto na Europa: pensa-se ter sido conservado na Pérsia. Após alguns séculos de inatividade, a chama surgiu de novo no mundo islâmico, donde se propagou o conhecimento e o entusiasmo matemático, através da Sicília e da Itália para toda a Europa.

• Outras correntes de atividade matemática são a chinesa, e a japonesa e a inca asteca.

• A interação entre as matemáticas ocidental e oriental éobjeto de investigação e especulação acadêmica.

• Hoje em dia não há praticamente um único país no mundo que não crie matemática nova.

As ferramentas do ofício

• “A matemática é feita com um mínimo de ferramentas – um pouco de areia, talvez, e muita massa cinzenta”. Este pensamento foi criado graças a uma imagem famosa que mostra Arquimedes absorto num problema desenhado na areia enquanto soldados romanos espreitam ameaçadoramente ao fundo da cena.

• A matemática primitiva, tal como os grandes épicos e as religiões antigas, terão sido transmitidos pela via oral. Mas cedo se tornou evidente que para fazer matemática era necessário possuir, no mínimo dos mínimos, meios de escrita ou de registro e de duplicação. Antes da invenção da imprensa existiam fábricas de escribas para a duplicação de documentos em grande quantidade.

• A geometria euclidiana pode ser definida como a ciência daquilo que pode ser construído com régua e compasso.

• A aritmética tem sido auxiliada pelo ábaco, a régua de calcular e o moderno computador eletrônico.

• Em geometria o computador é um instrumento de desenho mais poderoso que qualquer das pranchetas e de desenho tradicional.

• O computador serviu também para intensificar o estudo de análise numérica e para a Teoria das matrizes de uma madorra de cinqüenta anos. Chamou a atenção para a importância da lógica e da teoria das estruturas discretas e abstratas.

• Mesmo com a grande disponibilidade de computadores, a maioria dos matemáticos tem-se mostrado indiferentes e ignorantes à sua utilização nas investigações matemáticas.

Quanta matemática se conhece hoje?

• Existe na Universidade de Brown no 4ºandar da Biblioteca de Ciência uma coleção admirável de matemática de aproximadamente 60 000 livros de tamanho médio. Chegamos a um total de 100 000 volumes se somarmos material matemático de áreas adjacente, como o de engenharia, física, astronomia, cartografia ou em novas áreas de aplicação, como economia.

• Esta quantidade está muita além do entendimento de qualquer pessoa, porém épequena se comparada com outras coleções como a de medicina, direito ou letras.

• Um candidato a doutorado de matemática deverá conhecer no mínimo 60 a 80 volumes.

O dilema de Ulam.

• A expressão dilema de Ulam pode ser aplicada à situação que Stanislaw Ulam descreveu em sua autobiografia “adventure of amathematician”.

• O autor Philip. J. Davis informou em uma palestra que anualmente são publicados em periódicos de matemática aproximadamente 100 000 teoremas por ano. Dois jovens matemáticos da audiência, impressionados com este grande número realizaram uma pesquisa mais sistemática na Biblioteca do Instituto e concluíram que esse número chegava a quase 200 000 teoremas por ano. Se o número de teoremas é superior ao que qualquer ser humano poderá examinar a quem poderemos confiar o cargo de Juiz do que realmente é importante e o que é efêmero na matemática.

• em toda a matemática, nos depararíamos com uma segunda dificuldade: não dispomos de critérios estabelecidos que nos permitam avaliar trabalho matemático em Campos muito distantes, assim o autor alerta para o crescente campo de vários ramos “supérfluos” da matemática

Quanta matemática poderá existir?

• Com milhares de bits de informação a serem processados, a cada segundo e 200 000 teoremas do tipo tradicional produzidos anualmente, é evidente que o mundo está numa idade de ouro da produção matemática, resta se é uma idade de ouro para novas idéias em matemática.

• Olhando para o passado, pareceria que a humanidade pode continuar idefinitivamente a criar matemática, mas muitas áreas jámostram sinais de esgotamento pela irrelevância ou obsolescência –à medida que novas especialidades matemáticas surgem, outras mais antigas são abandonadas.

• Existem duas fontes inesgotáveis de novas questões matemáticas: o desenvolvimento das ciências e tecnologia que fazem sempre novospedidos de ajuda à matemática, e a outra fonte é a própria matemática. À medida que se torna mais elaborada e complexa, cada novo resultado que se conclui torna-se um potencial ponto de partida para várias novas investigações.

A VARIEDADE DA EXPERIÊNCIA MATEMÁTICAA VARIEDADE DA EXPERIÊNCIA MATEMÁTICA

- A consciência individual e a consciência coletiva;

- O matemático ideal;- O olhar de um físico sobre a matemática;- I.R. Shafarevich e o novo neoplatonismo;- Heterodoxias;- O indivíduo e a cultura.

A consciência individual e a A consciência individual e a consciência coletivaconsciência coletiva

Segundo o autor ele nos mostra a diferença da consciência dos matemáticos atuais e os matemáticos contemporâneos.

Arquimedes, Newton e Gauss pensavam diferentes, não que um sabia mais que o outro, eles sabiam que a soma dos ângulos de um triângulo perfaz 180º.

A consciência individual e a consciência coletivaA consciência individual e a consciência coletiva

A contagem e a aritmética foram conduzidas de diversas formas:- como eixos;- ábacos;- contas num fio;- com os dedos;com lápis e papel;- máquinas de cálculos mecânicos, e- computadores digitais portáteis.

A consciência individual e a A consciência individual e a consciência coletivaconsciência coletiva

Podemos expressar que a matemática Podemos expressar que a matemática formal e informal que chega até nós não formal e informal que chega até nós não

descrevem em qualquer por menor a rede descrevem em qualquer por menor a rede de consciência, pois, não significa que a de consciência, pois, não significa que a

matemática possa ser reconstruída apenas matemática possa ser reconstruída apenas com base no registro.com base no registro.

O matemático idealO matemático ideal

Ele nos mostra um retrato do Ele nos mostra um retrato do “matemático ideal”, não relatando um “matemático ideal”, não relatando um matemático perfeito, sem defeitos ou matemático perfeito, sem defeitos ou

limitados e sim a descrição de um limitados e sim a descrição de um matemático mais típico.matemático mais típico.

Ele vê o seu trabalho como parte da própria estrutura do mundo, mostrando verdades válidas

desde o início dos tempos em qualquer canto remoto do mundo.

O matemático idealO matemático ideal

O matemático é rotulado pela sua especialidade, O matemático é rotulado pela sua especialidade, por tudo quanto publica, especialmente pelos por tudo quanto publica, especialmente pelos

trabalhos que utiliza e de cujos autores segue o trabalhos que utiliza e de cujos autores segue o gosto na escolha de problemas.gosto na escolha de problemas.

É preciso passar por uma dura aprendizagem/aprendizado de vários anos até

compreender a teoria a que se dedica.

O matemático idealO matemático ideal

Os matemáticos presume normalmente que a Os matemáticos presume normalmente que a imagem que forma de si mesmo é a única que deve imagem que forma de si mesmo é a única que deve

ser tomada em consideração. Eles sabem que ser tomada em consideração. Eles sabem que estudam uma realidade objetiva e para um leigo estudam uma realidade objetiva e para um leigo

parecem estar envolvidos numa comunhão esotérica parecem estar envolvidos numa comunhão esotérica consigo próprio e com alguns amigos.consigo próprio e com alguns amigos.

Se este indivíduo aceitar a nossa disciplina e caminhar 2 ou 3 anos de estudos pós-graduando

em matemática, observará o nosso pensar e deixará de ser leigo crítico.

O olhar de um físico sobre a O olhar de um físico sobre a matemáticamatemática

O olhar de um físico segundo Prof. Taylor sobre a O olhar de um físico segundo Prof. Taylor sobre a matemática, entre ser consumidor e produtor, o físico matemática, entre ser consumidor e produtor, o físico consideraconsidera--se um consumidor da matemática. Pensa se um consumidor da matemática. Pensa que muito da matemática que se tem desenvolvido que muito da matemática que se tem desenvolvido recentemente ultrapassou os limites do que é útil.recentemente ultrapassou os limites do que é útil.

Taylor nos mostra à ciência, à matemática e uma multiplicidade de temas filosóficos, que é um

representante forte e eloqüente teoria ou abordagem do modelo.

O olhar de um físico sobre a O olhar de um físico sobre a matemáticamatemática

Taylor comenta ainda, sobre a posição contemporânea Taylor comenta ainda, sobre a posição contemporânea segundo a qual o método científico pode ser resumido segundo a qual o método científico pode ser resumido pela seqüência indução, dedução, verificação, repetida pela seqüência indução, dedução, verificação, repetida

tantas vezes quantas seja necessário.tantas vezes quantas seja necessário.

Taylor afirma ainda que uma física teórica seria impossível sem a matemática. O papel da matemática

em física ou em tecnologia é de uma poderosa ferramenta para o raciocínio em situação complexas.

O olhar de um físico sobre a O olhar de um físico sobre a matemáticamatemática

Perguntando a Taylor se “poderá existir Perguntando a Taylor se “poderá existir conhecimento sem palavras e sem símbolos?conhecimento sem palavras e sem símbolos?

Afirma ele que não, pois a palavra e o símbolo estão interligados, através da palavra possa ser

expresso o símbolo, ou vice-versa.

I.R. Shafarevich e o novo I.R. Shafarevich e o novo neoplatonismoneoplatonismo

Shafarevich discutiu as suas posições sobre a relação Shafarevich discutiu as suas posições sobre a relação entre a matemática e a religião numa conferência.entre a matemática e a religião numa conferência.

É Difícil acreditar que uma atividade superior (espiritual) possa encontrar as suas justificações na atividade inferior (material). No evangelho segundo

S.Tomé, Jesus diz ironicamente:

“Se a carne veio pelo espírito, é um milagre. Mas se o espírito veio pela carne – então é um milagre dos

milagres”.

I.R. Shafarevich e o novo I.R. Shafarevich e o novo neoplatonismoneoplatonismo

A história da matemática mostra A história da matemática mostra convincentemente que tal “milagre dos milagres” é convincentemente que tal “milagre dos milagres” é

impossível.impossível.

O gênio foi preciso, não para se convencer da correção desse enunciado, mas para compreender que

carecia de demonstração, onde o valor das descobertas é, obviamente nulo.

HeterodoxiasHeterodoxias

O autor fala da histO autor fala da históória de Jozef Maria Wronski ria de Jozef Maria Wronski (1776(1776--1853),1853), Hoje Hoje éé principalmente lembrado por principalmente lembrado por

um certo determinanteum certo determinante

HeterodoxiasHeterodoxias

Wronksi distinguia três forWronksi distinguia três forçças que as que controlariam a histcontrolariam a históória: a providência, o destino e ria: a providência, o destino e a razão. Baseou quase todo o seu sistema na a razão. Baseou quase todo o seu sistema na neganegaçção do princão do princíípio de inpio de inéércia. Não existindo rcia. Não existindo ininéércia no mundo material, este não poderia rcia no mundo material, este não poderia competir com o mundo espiritual.competir com o mundo espiritual.

O indivíduo e a culturaO indivíduo e a cultura

Nunca a relaNunca a relaçção entre o indivão entre o indivííduo e a duo e a cultura foi tão discutida. As tendências cultura foi tão discutida. As tendências

antagônicas da amalgamaantagônicas da amalgamaçção e da fragmentaão e da fragmentaçção, ão, do nacionalismo, da liberdade do indivdo nacionalismo, da liberdade do indivííduo e da duo e da

seguransegurançça dentro de um grupo maior estão a a dentro de um grupo maior estão a representar no palco da histrepresentar no palco da históória a peria a peçça que a que

poderpoderáá decidir o rumo da civilizadecidir o rumo da civilizaçção para os ão para os prpróóximos sximos sééculos.culos.

O indivíduo e a culturaO indivíduo e a cultura

A doutrina do indivA doutrina do indivííduo duo éé a mais conhecida a mais conhecida das duas, a mais acessdas duas, a mais acessíível, e sentimovel, e sentimo--nos mais nos mais ààvontade com ela. Como professores, fazemos o vontade com ela. Como professores, fazemos o nosso melhor por nos concentrarmos no aluno nosso melhor por nos concentrarmos no aluno enquanto indivenquanto indivííduo; não tentamos ensinar duo; não tentamos ensinar àà

multidão. Todos os mmultidão. Todos os méétodos de ensino em massa, todos de ensino em massa, qualquer que seja o meio de que faqualquer que seja o meio de que faççam uso, am uso, postulam o indivpostulam o indivííduo como receptor. Pelo duo como receptor. Pelo

contrcontráário, a palavra rio, a palavra doutrinadoutrinaççãoão, sugerindo um , sugerindo um fenômeno de grupo.fenômeno de grupo.

O indivíduo e a culturaO indivíduo e a cultura

Faz se notar que a criaFaz se notar que a criaçção da matemão da matemáática tica ééassunto para jovens:assunto para jovens:

““A vida profissional de um matemA vida profissional de um matemáático tico éé curta. curta. O trabalho raramente melhora depois dos 25 ou dos O trabalho raramente melhora depois dos 25 ou dos

30 anos de idade. Se pouco at30 anos de idade. Se pouco atéé aaíí foi conseguido, foi conseguido, pouco serpouco seráá conseguido depois. Se foi atingida a conseguido depois. Se foi atingida a

grandeza, então continuargrandeza, então continuaráá a surgir trabalho de boa a surgir trabalho de boa qualidade, embora o nqualidade, embora o níível de realizavel de realizaçção decaia em ão decaia em

cada dcada déécada.cada.

O indivíduo e a culturaO indivíduo e a cultura

Para que nenhum leitor se deixe desencorajar de Para que nenhum leitor se deixe desencorajar de prosseguir uma carreira matemprosseguir uma carreira matemáática por esta descritica por esta descriçção ão desoladora, devemos dizer que existem muitos casos de desoladora, devemos dizer que existem muitos casos de

matemmatemááticos que continuam a produzir investigaticos que continuam a produzir investigaçção ão matemmatemáática de primeira depois dos 50 anos; por tica de primeira depois dos 50 anos; por

exemplo, Paul Lexemplo, Paul Léévy, um dos criadores da moderna vy, um dos criadores da moderna teoria das probabilidades, tinha quase 40 anos quando teoria das probabilidades, tinha quase 40 anos quando escreveu o seu primeiro artigo nessa escreveu o seu primeiro artigo nessa áárea e continuou a rea e continuou a

produzir trabalho profundo e original mesmo depois dos produzir trabalho profundo e original mesmo depois dos 60 anos.60 anos.

O indivíduo e a culturaO indivíduo e a cultura

Foi proposto pelo psicFoi proposto pelo psicóólogo e fillogo e filóósofo americano sofo americano William James um ponto de vista intermWilliam James um ponto de vista interméédio dio muito atraente. James escreve:muito atraente. James escreve:““A comunidade estagna sem o impulso do A comunidade estagna sem o impulso do indivindivííduo; o impulso morre sem o apoio da duo; o impulso morre sem o apoio da comunidadecomunidade””..

O indivíduo e a culturaO indivíduo e a cultura

Tendo resumido a posiTendo resumido a posiçção de James sobre ão de James sobre este assunto com esta pequena citaeste assunto com esta pequena citaçção, podemos ão, podemos

agora levantar outra questão:agora levantar outra questão:

Será possível escrever uma história da matemática segundo as linhas sugeridas por esta citação?

O indivíduo e a culturaO indivíduo e a cultura

Seria bom pensar que sim, mas tal ainda Seria bom pensar que sim, mas tal ainda não foi feito e não não foi feito e não éé nada certo que nada certo que

alguma vez o seja.alguma vez o seja.