2a edição | Nead - UPE 2013

Dados Internacionais de Catalogação-na-Publicação (CIP)Núcleo de Educação à Distância - Universidade de Pernambuco - Recife

xxxx, xxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx. – Recife: UPE/NEAD, 2011 60 p.

ISBN -

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxx

xxxxxx

Uni

vers

idad

e de

Per

nam

buco

- U

PEN

EAD

- N

ÚCL

EO D

E ED

UCA

ÇÃO

A D

ISTÂ

NCI

A

REITORProf. Carlos Fernando de Araújo Calado

VICE-REITOR

Prof. Rivaldo Mendes de Albuquerque

PRó-REITOR ADMINISTRATIVOProf. José Thomaz Medeiros Correia

PRó-REITOR DE PLANEJAMENTOProf. Béda Barkokébas Jr.

PRó-REITOR DE GRADUAÇÃOProfa. Izabel Christina de Avelar Silva

PRó-REITORA DE PóS-GRADUAÇÃO E PESqUISA Profa. Viviane Colares Soares de Andrade Amorim

PRó-REITOR DE DESENVOLVIMENTO INSTITUCIONAL E ExTENSÃOProf. Rivaldo Mendes de Albuquerque

COORDENADOR GERALProf. Renato Medeiros de MoraesCOORDENADOR ADJUNTO

Prof. Walmir Soares da Silva JúniorASSESSORA DA COORDENAÇÃO GERAL

Profa. Waldete ArantesCOORDENAÇÃO DE CURSO

Profa. Giovanna Josefa de Miranda Coelho

COORDENAÇÃO PEDAGóGICAProfa. Maria Vitória Ribas de Oliveira Lima

COORDENAÇÃO DE REVISÃO GRAMATICALProfa. Angela Maria Borges Cavalcanti

Profa. Eveline Mendes Costa LopesProfa. Geruza Viana da Silva

GERENTE DE PROJETOSProfa. Patrícia Lídia do Couto Soares Lopes

ADMINISTRAÇÃO DO AMBIENTEIgor Souza Lopes de Almeida

COORDENAÇÃO DE DESIGN E PRODUÇÃOProf. Marcos Leite

EqUIPE DE DESIGNAnita Sousa

Gabriela CastroRafael Efrem

Renata MoraesRodrigo Sotero

COORDENAÇÃO DE SUPORTEAfonso Bione

Prof. Jáuvaro Carneiro Leão

EDIÇÃO 2009Impresso no Brasil - Tiragem 180 exemplares

Av. Agamenon Magalhães, s/n - Santo AmaroRecife / PE - CEP. 50103-010

Fone: (81) 3183.3691 - Fax: (81) 3183.3664

Conteúdo e Metodologia eM MateMátiCa Profa. Ms. Edna Cavalcanti Novaes Gonçalves Carga Horária | 60 horasProfa. Anna Karla Lopes Gonçalves Leite

Objetivo geral

EmentaIntrodução ao estudo dos princípios elementares da Matemática e sua aplicação na educação infantil e anos iniciais do ensino fundamental.

Estabelecer um ambiente de estudo, pesquisa e desenvolvimento de ações que contribuam para a melhoria do ensino-aprendizagem da Matemática na Educação Infantil e no Ensino Fundamental.

Introdução

A crescente importância atribuída à Matemática nos sistemas de ensino de todo o mundo e as notáveis dificuldades observadas em sua aprendizagem tem contribuído significativamente para que o processo ensino-aprendizagem continue sendo objeto de discussão, tanto dos matemáticos contemporâneos, como dos educadores. Como consequência temos um cenário de mudanças profundas, decorrentes de reflexões sobre as possibilidades de mudanças pedagógicas que mos-tram a necessidade de se repensar o enfoque dado a Matemática para que esta se torne objeto de conhecimento e desenvolvimento, dando ao professor condições de formar um aluno reflexi-vo, crítico, colaborador e investigador. Nessa perspectiva, este estudo traz uma reflexão sobre as tendências atuais no ensino da matemática e a seguir aponta alguns caminhos para que juntos possamos realizar um trabalho mais significativo para a melhoria da qualidade do ensino e da aprendizagem da Matemática na Educação Infantil e nos anos iniciais do Ensino Fundamental.

capítulo 1 7

Profa. Ms. Edna Cavalcanti Novaes GonçalvesProfa. Anna Karla Lopes Gonçalves Leite

Carga Horária | 15 horas

INTRODUÇÃO

Este texto proporciona uma reflexão sobre o contexto atual do ensino e da aprendizagem da Matemá-tica, trazendo as novas tendências no ensino dessa disciplina como alternativa para uma nova prática pedagógica e consequentemente a melhoria da qualidade no ensino da Matemática.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS• RefletirsobreoensinodaMatemáticano

contexto atual; • Identificaras tendênciasatuaisdoensino

da Matemática e suas aplicabilidades na prática pedagógica e no cotidiano.

tendênCias atuais do ensino da

MateMátiCa

capítulo 18

1. A EDUCAÇÃO MATEMáTICA NO CONTExTO ATUAlA Matemática torna possível o estudo e a or-ganização das observações e se transforma em elemento fundamental na tomada das deci-sões. Assim sendo, a Matemática emerge do meio ambiente do homem e de suas experi-ências, podendo ser aperfeiçoada nos estudos posteriores a este.

Sadovsky (2007) concebe a matemática como um produto Cultural e Social. Cultural, porque, a cada momento, suas produções são impreg-nadas de concepções da sociedade da qual emergem e porque condicionam aquilo que a comunidade de matemática concebe como possível e relevante. Social, por ser resultado da interação entre as pessoas que se reconhecem como membros de uma mesma comunidade. As respostas dadas por alguns novos proble-mas que outros concebem e as demonstrações produzidas são validadas, segundo as regras aceitas na comunidade matemática, em de-terminado momento. Essas regras se transfor-mam em função dos conhecimentos e das fer-ramentas disponíveis, o que leva a pensar que a própria ideia de rigor matemático muda com o tempo.

A habilidade para pensar é fundamental em toda obra humana. E em Matemática, pode-mos invocar a atividade do pensamento que se faz presente em múltiplas situações: quando desenvolvemos as percepções de espaço, quan-do medimos, quando organizamos dados, quando generalizamos, quando formulamos hipóteses e quando as submetemos a provas ou quando analisamos hipóteses imaginadas.

Todas essas atividades poderiam designar-se como os processos da Matemática já que eles são utilizados quando se trabalha em Matemá-tica. No entanto, tais atividades não são exclu-sivas dos processos matemáticos: elas se utili-zam, também, em outras áreas, de temas e de outras interações humanas.

O conhecimento matemático se desenvolveu ao longo dos séculos, inventado e usado por pesso-as para resolver problemas específicos. Podemos pensar sobre o conhecimento matemático como um conjunto de recursos ou de ferramentas e so-bre o propósito da educação matemática oferecer aos estudantes acesso a uma gama de ferramen-tas matemáticas. Ligado a esse acesso estaria a consciência de que algumas ferramentas mate-máticas são mais eficazes do que outras, dentro de um certo contexto de resolução de problemas (SUTHERLAND, 2009, p. 53).

À medida que suas capacidades intelectuais se desenvolvem, o homem torna-se mais ca-paz de utilizar essa Matemática, além de sua experiência física em níveis mais elevados de pensamento, que implicam conceitualização e simbolização, as quais vão construindo um mundo matemático específico, em que as re-lações e os princípios já não se originam, uni-camente, na experiência concreta, mas que se descobrem através da manipulação dos sím-bolos. Para Fonacier (1983, p.5),

Muito do conhecimento adquirido permanece no mundo da Matemática, mesmo temporaria-mente arquivada na prateleira das abstrações, esperando uma oportunidade para participar na obtenção de novos conhecimentos matemáticos ou para que alguém encontre sua aplicação no mundo real.

Abordar o que, durante muito tempo, tinha sido uma questão de pouca preocupação para a sociedade tem sido esforço consciente e or-ganizado tanto dos matemáticos contempo-râneos como dos educadores preocupados com Educação Matemática. Segundo Shuard (1983, p.17),

entre as metas da educação, existem sempre al-gumas que enfatizam as necessidades da socie-dade de dispor de cidadãos e trabalhadores al-fabetizados literal e numericamente, capazes de fazer frente a demandas de tecnologia que plane-jam a agricultura e a indústria. Outras metas en-fatizam o desenvolvimento pessoal do indivíduo como uma pessoa independente, cuja educação está planejada para uma total compreensão e

capítulo 1 9

valorização na vida. Na educação matemática, o progresso para obtenção, em ambas as metas, começa na escola primária e, para muitas crian-ças, em muitos países, toda matemática formal que aprenderão para sempre é a aprendida na escola primária.

Os educadores têm a missão de preparar as novas gerações para o mundo atual, que é ra-pidamente mutável. Os progressos científicos e tecnológicos das últimas décadas foram supe-riores aos avanços ocorridos em décadas atrás, exigindo uma nova postura por parte dos edu-cadores. Eles necessitarão conhecer melhor o mundo exterior, sua possível evolução e os conhecimentos exigidos por essa sociedade. De acordo com Santaló (2009, p. 25), “hoje em dia, a quantidade de Matemática que se conhece é imensa e cresce constantemen-te, tornando-se difícil decidir qual deve ser a Matemática que se aconselhe ensinar e como deve ser apresentada para sua melhor compre-ensão e sua melhor utilidade para o futuro dos alunos”.

A Matemática, nos anos iniciais do Ensino Fundamental, deve, pelo menos e em primeiro lugar, proporcionar ao indivíduo o conteúdo matemático básico e as habilidades que lhe serão necessárias para abordar os problemas da vida real. Em segundo lugar, deve cultivar as habilidades para pensar e raciocinar, forta-lecendo com ele a base intelectual das intera-ções sociais. O propósito do ensino fundamen-tal é, pois, estabelecer as bases de pensamento matemático relativo aos aspectos numéricos e espaciais dos objetos que encontram e das ati-vidades de que participam as crianças.

Desde as primeiras séries, é preciso ir educando não só na Matemática, propriamente dita, mas também no raciocínio lógico e dedutivo, que é a base da Matemática, porém que também é im-prescindível para ordenar e assimilar toda classe de conhecimento. Significa que precisamos edu-car o aluno na linguagem adequada para com-preender a nomenclatura e funcionamento da tecnologia atual, assim como na base científica que o sustenta (SANTALó, 2009, p.30).

Para D’Ambrósio (2002), o ensino da Mate-mática nos sistemas escolares se justifica pelos seguintes grandes objetivos: preparar o indiví-duo para a cidadania, servir de base para uma carreira em ciência e tecnologia e estimular

a criatividade. Esses objetivos devem ser exa-minados em suas dimensões: cultural, social, política e econômica. Segundo ele, a Matemá-tica, que vem dominando os programas, é, em grande parte, desinteressante, obsoleta e inútil às gerações atuais, sendo o maior desafio se fazer uma Matemática integrada ao mundo moderno.

Acesse:

http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/diaadia/diadia/arquivos/File/conteudo/artigos_teses/MA-TEMATICA/Artigo_Beatriz.pdf

Saiba Mais:

2. TENDÊNCIAS ATUAIS DO ENSINO DA MATEMáTICAAtualmente, a escola tem um papel social cada vez mais importante, uma vez que, difundida entre todas as classes, tem como um de seus objetivos a preparação de seus alunos para a vida em um mundo cada vez mais competi-tivo. Assim, o uso antiquado ou defasado de metodologias de ensino compromete o enten-dimento do aluno, prejudicando sua vida esco-lar e, consequentemente, seu desenvolvimento social e seu futuro.

Muito se tem refletido e discutido sobre os rumos da Educação Matemática atualmente, sempre tendo em vista soluções para o histó-rico de problemas e dificuldades encontradas por professores e alunos, além do impacto so-cial causado por um fracasso no processo ensi-no-aprendizagem da matemática. Conhecer a

capítulo 110

matemática e as diversas formas de trabalhar a disciplina em sala de aula é de fundamental importância para a prática do professor.

Diante disso, novos métodos são necessários, e adequá-los à realidade torna-se urgente e imprescindível. É importante que o aluno veja a aplicação prática do que se aprende em sala de aula, pois assim estará mais explícita a im-portância da escola. D’Ambrósio (2003, p.87) acredita que “o grande desafio da educação é pôr em prática hoje o que vai servir para o ama-nhã. Pôr em prática significa levar pressupos-tos teóricos, isto é, um saber/fazer acumulado ao longo de tempos passados. Os efeitos da prática de hoje vão se manifestar no futuro”.

No processo de ensino-aprendizagem da ma-temática, muitas dificuldades têm sido encon-tradas por parte dos alunos e professores. O aluno não consegue entender a matemática que a escola ensina, sendo os índices de re-provação dessa disciplina assustadores. Muitas vezes, mesmo sendo aprovado, o aluno sente dificuldades em aplicar, no seu cotidiano, aqui-lo que foi ensinado na escola, ou seja, o aluno não tem conseguido efetivamente ter acesso a esse saber de fundamental importância.

O que se sabe é que não existe um caminho que possa ser identificado como o melhor para o ensino da matemática, ou seja, uma receita pronta ou uma solução eficiente para resolver o problema do fracasso escolar no ensino da matemática. Assim, questionar e buscar co-nhecer diferentes formas de ensino para se tra-balhar em sala de aula tornou-se fundamental. Muzzi (2004, p. 39) nos leva a refletir ao apre-sentar os seguintes questionamentos:

NÃO É HORA DE BUSCARMOS

• Ressignificar a Matemática com a qualtrabalhamos?

• UmaMatemáticaqueinstrumentalizeoci-

dadão para atuar e transformar a realidade em que vive?

• UmaMatemáticacrítica,queoajudearefle-

tir sobre as organizações e relações sociais? • Uma Matemática próxima da vida, útil,

compreensível, reflexiva? • UmaMatemáticaquenãosemostreperfei-

ta, infalível, mas que seja capaz de ajudar a encontrar soluções viáveis?

A aprendizagem e a prática de novas tendên-cias para ensinar a matemática podem energi-zar, de maneira positiva, as futuras ações em sala de aula tanto para o aluno como para o professor. Assim, é fundamental que o profes-sor conheça diversas maneiras de se trabalhar matemática em sala de aula, construindo, as-sim, uma metodologia de ensino.

Diversas são as atuais linhas de pesquisa e propostas de trabalho que apontam vários caminhos para a melhoria do Ensino de Ma-temática, partindo do princípio de que o alu-no está constantemente interpretando o seu mundo e as suas experiências. As atuais pro-postas pedagógicas, ao invés de transferência de conteúdos prontos, acentuam a interação do aluno com o objeto de estudo, a pesquisa e a construção dos conhecimentos para o acesso ao saber.

Nessa perspectiva, as aulas são consideradas como situações de aprendizagem, de media-ção; nas quais são valorizados tanto o trabalho dos alunos na apropriação do conhecimento como a orientação do professor para o acesso ao saber. Entre as novas tendências para en-sinar a matemática, destacam-se: Filosofia da Educação Matemática, História da Matemáti-ca, Etnomatemática, Modelagem Matemática, Resolução de Problemas, Matemática Crítica, Jogos Matemáticos e as Novas Tecnologias. Vejamos, em linhas gerais, cada uma delas.

capítulo 1 11

2.1 FIlOSOFIA DA EDUCAÇÃO MATEMáTICA

A Filosofia da Educação Matemática é uma região de investigação e de significação, que vem se estabelecendo ao longo da História da Educação Ocidental, constituída de aspectos filosóficos da Filosofia da Educação e da Filoso-fia da Matemática (BICUDO; GARNICA, 2002).

A Filosofia mantém as características do pen-sar analítico, reflexivo, sistemático e universal, na medida em que esta contribui para o en-tendimento do conhecimento sobre o mundo - do cultural, das ciências, da tecnologia, da religião, da arte, do humano. Nesse sentido, a filosofia leva à sabedoria, ao indagar: O que existe? O que é conhecimento? O que vale?

A Filosofia da Educação toma as análises e reflexões sobre educação, ensino, aprendiza-gem, escolarização, avaliação e políticas públi-cas. Por sua vez, persegue interrogações bá-sicas sobre o humano, enquanto a educação, sobre as metas, os objetivos, os valores e as atitudes. E questiona: Para que educar? que valores devem nortear o ato de educar? que metas devem conduzir a política educacional de uma nação?

A Filosofia da Matemática define-se por pro-ceder conforme o pensar filosófico, mediante a análise crítica, reflexiva e universal, ao tratar de temas concernentes à região de inquérito da matemática, buscando responder: qual a realidade dos objetos matemáticos? Como são conhecidos os objetos matemáticos e quais os critérios que sustentam a veracidade das afir-mações matemáticas?

Finalmente, cabe à Filosofia da Educação Ma-temática a análise crítica e reflexiva das pro-postas e ações educacionais no tocante ao ensino e à aprendizagem da matemática nos diferentes contextos em que ocorrem: nas ins-tituições públicas, nas famílias, na rua, na mí-dia. E pergunta: Para que? Por que? Segundo Bicudo; Garnica (2002, p. 32),

O trabalho nuclear da Filosofia da Educação Ma-temática é analisar criticamente os pressupostos ou as idéias centrais que articulam o currículo ou a proposta pedagógica, buscando esclarecer suas afirmações e a consonância entre as ações

visualizadas. Por exemplo: “Há consistência entre a concepção de educação, de ensino, de apren-dizagem, de conteúdo matemático veiculado e concepções de matemática e conhecimento ma-temático, atividades propostas e desenvolvidas, avaliação proposta e efetuada na realidade esco-lar ou educacional?” “Da análise efetuada, que ações podem ser indicadas e com que intenção ou em nome de qual política?”

2.2 HISTÓRIA DA MATEMáTICA

Conhecer a História, em sentido mais amplo, permite-nos enxergar o presente como fruto de constantes modificações e acontecimentos ao longo do tempo. D’Ambrósio (1996, p.29-30) enfatiza que “A história da matemática é um elemento fundamental para se perceber como teorias e práticas matemáticas foram criadas, desenvolvidas e utilizadas num con-texto específico de sua época”. Ou seja, a his-tória da matemática nos permite compreender melhor como chegamos aos conhecimentos atuais e o porquê de se ensinar determinado conteúdo.

A história da matemática tem servido como motivação para o trabalho com o desenvol-vimento de vários conceitos matemáticos, na medida em que permite observar que a mate-mática foi desenvolvida de acordo com as ne-cessidades de cada um, facilitando assim a vida das pessoas. Também possibilita ao educando perceber a Matemática como um conhecimen-to em construção, com erros e acertos e não, com verdades absolutas prontas e acabadas.

O conhecimento histórico da disciplina faz com que se compreenda como se originou o conhecimento matemático, quais as princi-pais motivações para o seu desenvolvimento e

capítulo 112

quais as razões de sua presença nos currículos escolares, proporcionando aos alunos maior interesse pela disciplina ao conhecerem sua origem e consequentemente sua utilidade no cotidiano. Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 2000, p. 45),

Ao revelar a Matemática como uma criação hu-mana, ao mostrar necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, ao estabelecer comparações entre os conceitos e processos matemáticos do passado e do presente, o professor tem a possibilidade de desenvolver atitudes e valores mais favoráveis ao aluno diante do conhecimento matemático.

Ensinar matemática com o subsídio da História da Matemática abre os horizontes do aluno e põe por terra a ideia de que os conhecimen-tos matemáticos foram criados e formulados por pessoas sobrenaturais e que tudo que se aprende de matemática é a mais absoluta das verdades. Essa tendência permite compreen-der a origem das ideias que deram forma à cultura, destacando os aspectos humanos do seu desenvolvimento, os homens que criaram essas ideias e as circunstâncias em que estas se desenvolveram.

Com base na proposta de Kieran Egan (2002), Silva (2003) apresenta como sugestão para um trabalho com a história da matemática:

1. Estimular o aluno a pesquisar sobre os ma-temáticos e as matemáticas, procurando aspectos curiosos, dramáticos ou românti-cos de suas vidas antes de entrar no conhe-cimento por eles produzido. Sugere usar dicionários, enciclopédias, livros e internet para realizar as pesquisas.

2. Apresentar um texto com palavras sublinha-das, visando trabalhar com a etimologia das palavras de modo a estimular a busca de maiores informações seguindo pistas, como numa trilha de suspense ou num romance.

3. Apresentar aos alunos fábulas curtas, ver-sos matemáticos, provérbios, piadas e até um pouco do folclore matemático para es-timular a imaginação dos alunos.

2.3 ETNOMATEMáTICA

Desenvolvida no Brasil, em meados da década de 70, pelo professor Ubiratan D’Ambrósio, a etnomatemática é uma tendência, que vem crescendo na educação matemática, com ba-ses divergentes da Matemática tradicional. Enquanto a Matemática no ensino tradicional busca universalizar os conceitos e conteúdos dessa área, a Etnomatemática procura os ca-minhos para regionalizá-los, valorizando as diferenças e reconhecendo todas as formas de produção do conhecimento matemático, efetuadas por grupos culturais distintos (co-munidades urbanas e rurais, grupos de traba-lhadores, categorias profissionais, crianças de uma determinada faixa etária, comunidades indígenas, entre outros).

Etnomatemática, termo criado por D’Ambrósio, vem de Etno (ambiente natural, explicar, aprender) + Matema (social cultural e conhecer, lidar com modos, estilos) + Tica (imaginário, artes, técnicas).

ETNOMATEMÁTICA

ETNO MATEMA TICA

Ambiente Natural, Social,

Cultural e Imaginário

De explicar, aprender, conhecer, lidar com

Modos, estilos, artes,

técnicas

capítulo 1 13

Conhecer outras formas de matematizar pode nos oferecer a oportunidade de refletir, de ma-neira mais profunda, sobre a nossa forma de conceber a matemática, ampliar nossas pos-sibilidades de explicação, da capacidade de resolver problemas e da aplicação desses co-nhecimentos em situações novas. A etnomate-mática enfatiza a questão cultural presente na educação, ao mesmo tempo em que busca a inclusão e o respeito à diversidade. Conforme D’Ambrósio (2000 p.27),

A Etnomatemática lança mão dos diversos meios culturais para encontrar explicações para a sua realidade e vencer as dificuldades que surjam no seu dia-a-dia. Em todas as culturas, porém, nessa busca de entendimento, acaba-se tendo necessi-dade de quantificar, comparar, classificar, medir, o que faz surgir a Matemática, espontaneamente.

Assim, Muzzi (2004), destacando o trabalho realizado por Ferreira (1994) no Parque xingu e na Amazônia, mostra as diferentes concepções entre o modelo da sociedade capitalista (mais associado a comprar, ganhar, achar e até rou-bar; e menos a dar, perder, emprestar, doar) e a sociedade indígena (baseada na reciprocidade, o dar não significa ficar com menos, mas pode equivaler a ganhar). Muzzi (2004, p.35) apre-senta uma interessante situação descrita por Ferreira (1994) de como um índio Tapiri Juruna resolve um problema proposto pelo professor:

Ganhei 10 flechas de pescar peixe dos Kayabi. Perdi 1 na pescaria e dei 3 para meu cunhado. Com quantas flechas fiquei?

Resolução: 10+3= 13 13-1=12 12-10=2 2+7=9

Resposta: 9 flechas.

Comentários: O cunhado vai. Tirou a pagou os. Juntou o pagar as flechas. Flecha Kayabi. que so-brou que deu a ele. que as que com o que per-deu. Ganhou. Já tinha em casa (7). (sic)

A etnomatemática do indígena serve, é eficiente e adequada para as coisas daquele contexto cultu-ral, daquela sociedade. Não temos porque subs-tituí-la. A etnomatemática do branco serve para outras coisas, igualmente muito importantes, pro-postas pela sociedade moderna e não devemos ignorá-la. Pretender que uma seja mais eficiente, mais rigorosa, ou inclusive seja melhor que a ou-tra que está fora do seu contexto é uma questão falsa e falsificadora (D’AMBRóSIO, 2007, p. 101).

Knijnik (2007) relata a matemática oral de Seu Antônio, um camponês sexagenário que só tinha frequentado a escola na idade adul-ta por um curto período de tempo, em um curso de alfabetização. Para encontrar o valor correspondente à venda de 130 sacos de car-vão, produto que comercializava ao preço de R$ 1,20 a unidade, inicialmente explicou que “se um saco é 1 e 20 (1 real e vinte centavos), então 100 sacos são 120 (reais). Para calcular o valor dos outros 30 sacos, procedeu da se-guinte forma:

Se fosse 1 (real) cada saco, seriam 30 (reais), mas como cada saco custa 1 e 20 (1 real e 20 centa-vos), dá (36 reais). Os centavos que sobram de cada 10 sacos são 2 (reais). Então, 20 sacos dá 4 (reais), e 30 sacos são 6 (reais). Como 30 (reais) mais 6 (reais) dá 36 reais, 130 (sacos) vão ser 156 reais (valor correspondente a R$ 120,00 + R$ 36,00) (KNIJNIK, 2007, p.74).

Segundo ele, essa estratégia foi aprendida “por conta própria” em suas atividades com venda de carvão, feijão e arroz.

Diante do exposto, Muzzi (2004) deixa alguns questionamentos que nos levam a refletir:

• Seráquenossosalunospensamcomonós?

• Seráquelevamosemconsideraçãooestá-gio de desenvolvimento e a realidade em que os nossos alunos vivem, quando plane-jamos e executamos nossas aulas?

• Será que a linguagemque usamos e quenos parece tão natural também é para nos-sos alunos?

• Seráqueprocuramossabercomopensam?

capítulo 114

D’Ambrósio (2007) recomenda a adoção de uma nova postura educativa em busca de um novo paradigma de educação que estimule o desenvolvimento da criatividade, conduzin-do a novas formas de relações interculturais. Relações essas que proporcionem um espaço adequado para a preservação da diversidade e a eliminação da desigualdade discriminató-ria, dando origem a uma nova organização da sociedade. “Fazer da matemática uma discipli-na que preserve a diversidade e elimine a de-sigualdade discriminatória é a proposta mais importante para uma matemática humanísti-ca. A etnomatemática tem essa característica”. (D’AMBRóSIO, 2007, p. 102).

Etnomatemática:

http://etnomatematica.org/articulos/boletin.pdf

Saiba Mais:

2.4 MODElAGEM MATEMáTICA

Um dos grandes desafios de hoje para o profes-sor é, sem dúvida, trazer a matemática escolar para a solução de problemas do cotidiano com uma interpretação da matemática aplicada à realidade, quebrando, assim, a forte dicotomia existente entre a matemática da escola e a ma-temática da vida. Diante dessa problemática, a Modelagem surge como uma perspectiva para se trabalhar em educação matemática.

A Modelagem Matemática é o processo envol-vido na obtenção de um modelo que exige, além de conhecimento apurado de Matemáti-

ca, uma dose significativa de intuição e criativi-dade para interpretar o contexto, discernir que conteúdo matemático melhor se adapta e sen-so lúdico para jogar com as variáveis envolvidas. Biembengut e Hein (2003, p.13) destacam que “matemática e realidade são dois conjuntos disjuntos e a modelagem é um meio de fazê--los interagir” e apresentam o seguinte esque-ma do processo da modelagem matemática.

A Modelagem Matemática é uma ferramenta muito eficiente para o caminho da aprendiza-gem, na medida em que ela possibilita ao pro-fessor transmitir conhecimentos de uma forma que os alunos venham a ter uma participação efetiva no desenvolvimento cognitivo. Como um processo de traduzir a linguagem do mun-do real para o mundo matemático, Biemben-gut e Hein (2003, p.13) agrupam e identificam esses procedimentos em três etapas:

1ª etapa: Interação com o assunto

• reconhecimentodasituaçãoproblema• familiarizaçãocomoassunto--> referen-

cial teórico

2ª etapa: Matematização

• formulaçãodoproblema--> hipótese• resolução do problema em termos do

modelo

3ª etapa: Modelo Matemático

• interpretaçãodasolução• validaçãodomodelo--> avaliação

Biembengut e Hein (2003) apresentam uma proposta de trabalho com embalagens, que permitem envolver conceitos de geometria plana e espacial (linear, superfície, volume, ca-

MODELAGEM MATEMÁTICA

Situação Real

Modelo

Matemática

capítulo 1 15

pacidade e massa, ressaltando que esse traba-lho pode ser adaptado para qualquer ano ou série da educação básica). Recomendam que cada atividade seja iniciada com uma conversa informal sobre o tema em questão, para ava-liar o que e quanto os alunos conhecem sobre o conteúdo e o grau de interesse pelo trabalho que está sendo desenvolvido.

2.4.1 Embalagens

Objetivo: Desenvolver conceitos de geometria plana e espacial; sistemas de medidas: linear, superfície, volume, capacidade e massa.

• Analisando formas e tipos Que formas geométricas estão presentes

nas caixas e latas? (Resgatar os conceitos geométricos e intro-

duzir outros considerados elementares).

• Fazendo uma caixinha Como se faz uma caixinha? (Fazer o desenho de uma caixa na forma

retangular e, a partir das medidas estabele-cidas, confeccionar uma caixa de papel).

• Verificando a quantidade de material utilizado

Qual a quantidade de material utilizada em uma embalagem?

(Abrir a embalagem, planificar, fazendo um esboço com as devidas dimensões. Calcular a área das figuras planas compos-tas. Em seguida, verificar se a embalagem tem um formato adequado para utilizar a quantidade mínima de material e o máxi-mo de aproveitamento ou volume).

• A forma ótima: mínima área x máximo volume

- Qual a forma ideal para uma embalagem? - Seria esta a forma ideal? - De menor custo? - De melhor manuseio?

Por fim, Sadovsky (2007, p. 26) conclui que

Um processo de modelagem implica, em primei-ro lugar, recortar determinada problemática em uma realidade, em geral complexa, na qual inter-vêm muito mais elementos do que os que se vão considerar, para, em seguida, identificar um con-junto de variáveis relativas a essa problemática, produzir relações pertinentes entre as variáveis consideradas e transformar essas relações, utili-zando algum sistema teórico-matemático, com o objetivo de produzir conhecimentos novos sobre a problemática em estudo. Reconhecer uma pro-blemática, escolher uma teoria para “tratá-la” e produzir conhecimento novo, a respeito são três aspectos essenciais do processo de modelagem.

2.5 RESOlUÇÃO DE PROBlEMAS

A Matemática foi construída por meio de per-guntas e respostas, e, ao longo dos últimos anos, o recurso à resolução de problemas vem sendo um caminho para o ensino da Matemá-tica. É necessário que a resolução de problemas seja uma forma de orientar ou concluir o alcance dos conhecimentos, bem como seus métodos e suas atitudes matemáticas. Sadovsky (2007) concorda com a conhecida frase “a Matemá-tica avança à custa de resolver problemas”.

Para isso, o professor precisa fazer com que o aluno seja estimulado a questionar suas próprias respostas. Sutherland (2009, p. 52) ressalta: “Se queremos que os jovens desen-volvam um repertório de ferramentas mate-

capítulo 116

máticas de forma que possam escolher a mais eficaz para uma situação de resolução de pro-blemas, então será necessário ensiná-los, de alguma forma, essas novas ferramentas”.

No entanto, do que se tem conhecimento é que ainda existem aqueles alunos que tentam apresentar suas próprias ideias, sua forma de solucionar determinados problemas, e o pro-fessor ao invés de apoiar esse aluno acaba por ignorá-lo, e quando isso não acontece, o do-cente considera o raciocínio do aluno com não sendo adequado. E isso acaba desmotivando e transformando o aluno em mero receptor de informações. Estudos comprovam que é im-possível preparar alunos capazes de resolver situações-problema ensinando conceitos ma-temáticos desvinculados da realidade e que se mostrem sem significado, esperando que eles saibam como utilizá-los no futuro. Segundo as recomendações presentes nos Parâmetros Cur-riculares Nacionais (BRASIL, 1998, p.43):

• A resolução de problemas não é ativida-de para ser desenvolvida em paralelo ou com aplicação da aprendizagem, mas uma orientação para aprendizagem, pois pro-porciona o contexto em que se podem compreender conceitos, procedimentos e atitudes matemáticas;

• Oproblemacertamentenãoéumexercício

em que o aluno aplica, de forma quase me-cânica, uma fórmula ou um processo ope-ratório. Só há problema, se o aluno for le-vado a interpretar o enunciado da questão que lhe é proposta e a estrutura da situação que lhe é apresentada.

Nessa perspectiva, Dante (2007) classifica os problemas em quatro tipos: problemas-padrão (simples e composto); problemas-processo ou heurísticos; problemas de aplicação e proble-mas de quebra-cabeça.

Problemas-padrão: sua resolução envolve a apli-cação direta de um ou mais algoritmos anterior-mente aprendidos e não exige qualquer estraté-gia. São problemas que, de um modo em geral, não aguçam a curiosidade do aluno nem o de-safiam. Visam, apenas, recordar e fixar os fatos básicos por meio dos algoritmos das quatro ope-rações fundamentais. Podem ser classificados em: problema padrão-simples (envolve apenas uma operação) e problema padrão-composto (envolve mais de uma operação).

Problemas-processo ou heurísticos: são proble-mas cuja solução envolve operações que não estão contidas no enunciado. Têm como obje-tivo aguçar a curiosidade do aluno e permitir que ele desenvolva sua criatividade, sua inicia-tiva e seu espírito explorador. O aluno precisa pensar, elaborar um plano, tentar uma estraté-gia de acordo com sua intuição, testar essa es-tratégia e verificar se chegou à solução correta.

Problemas de aplicação: são aqueles que retra-tam situações reais do dia a dia e exigem o uso matemático para serem resolvidos. Também são chamados situações-problema.

Problemas de quebra-cabeça: são aqueles que envolvem e desafiam grande parte dos alunos. Geralmente constituem a parte recreativa, e sua solução depende, quase sempre, de golpe de sorte ou facilidade de perceber algum truque.

Dante (2007) sugere aos professores:

Trabalhando com toda a classe

a. Apresente um problema desafiador, real e interessante;

b. Dê um tempo para que os alunos leiam e compreendam o problema;

c. Facilite a discussão entre eles;

d. Verifique se o problema foi entendido por todos;

capítulo 1 17

e. Dê um tempo para que as crianças resol-vam; deixe claro que o importante é obter a resposta correta, sem se preocupar com o tempo;

f. quando os alunos perguntarem de que é a conta, não responda diretamente, leve o aluno a pensar e discutir com seus colegas;

g. Enquanto as crianças trabalham, percorra as carteiras, encorajando, dando pequenas dicas, sem contar como chega à conclusão;

h. Depois que os alunos (a maioria) solucio-narem os problemas, o professor pede que alguns venham ao quadro (um de cada vez) explicar como fizeram e por que seu méto-do funcionou;

i. Todas as soluções deverão ser discutidas, inclusive as erradas;

j. É conveniente que todos os alunos copiem, no caderno, as diversas maneiras de resol-ver aquele problema, pois, nos problemas seguintes, eles poderão tentar usar algu-mas dessas estratégias.

Trabalhando com pequenos grupos

a. Dividir a classe em grupos (de 4 ou 5 crianças);

b. Apresentar o problema e a atitude que será a mesma do trabalho com o grande grupo;

c. Nada que as crianças puderem descobrir por elas mesmas deve ser dito ou ensinado;

d. quando todos os grupos tiverem termina-do, serão expostas, na lousa, as soluções, explicadas e discutidas pelos alunos;

e. Variar sempre os grupos para maior interação.

Dante (2007), ainda, recomenda aos professo-res que evitem longas listas de problemas, pois estas só aborrecem; que a resolução de pro-blemas não deve se constituir em experiências repetitivas, por meio da aplicação dos mesmos problemas. Ressalta ainda que a resolução de problemas deve ser parte integrante do currí-culo e cuidadosamente preparada para ser re-alizada de modo contínuo e ativo ao longo do

período letivo. Para ele, o sucesso em algumas atividades pode nos levar a desenvolver atitu-des positivas em relação a ela.

VAMOS RESOLVER ALGUNS PROBLEMAS?

1. Meu avô tem cinco filhos, e cada um teve ou-tros quatro filhos. quantos primos eu tenho?

2. quantas vezes você usa o algarismo 9 para nu-

merar as páginas de um livro de 99 páginas? 3. Tomei o elevador, desci 5 andares, subi 6, des-

ci 7 e cheguei ao 2º andar. Em que andar eu estava?

4. Tirei uma foto de algumas crianças brincando

com cachorros. Na foto, há 7 cabeças e 22 pernas. quantas crianças estão na foto?

5. Um homem que pesa 80 quilos e seus dois

filhos, cada um deles pesando 40 quilos, que-rem atravessar um rio. Se eles tiverem apenas um bote com capacidade de carregar com se-gurança somente 80 quilos, de que modo eles poderão atravessar o rio?

6. quando D. Pedro I voltou para Portugal, seu

filho, Pedro, tinha 6 anos de idade. Nove anos mais tarde, este foi coroado imperador com título de D. Pedro II, permanecendo nesse car-go durante 49 anos. Passou os últimos 3 anos de sua vida destronado e faleceu em Paris, em 1892.

a) Em que ano D. Pedro II nasceu? b) Em que ano seu pai voltou para Portugal? c) Em que ano ele foi coroado? d) Em que ano ele foi destronado?

DANTE, Luiz Roberto. Didática da resolução de problemas. São Paulo: Ática, 2007.

Após resolver os problemas propostos, acesse o site abaixo e veja as recomendações de George Polya: “Dez mandamentos para professores”.

http://www.scribd.com/doc/504734/george--polya-10-mandamentos-para-professores-de--matematica

capítulo 118

2.6 JOGOS

A utilização de jogos no ensino da matemá-tica tem sido defendida por vários educado-res como uma estratégia eficaz no desenvol-vimento intelectual do aluno, na medida em que estes vêm corroborar o valor formativo da Matemática, na estruturação do pensamento, do raciocínio dedutivo e na aquisição de atitu-des. Como as novas competências demandam novos conhecimentos: o mundo do trabalho requer pessoas preparadas para utilizar dife-rentes tecnologias e linguagens, que vão além da comunicação oral e escrita.

Para tanto, o recurso aos jogos no ensino de Matemática prestará sua contribuição à me-dida que forem exploradas metodologias que priorizem a criação de estratégias, a compro-vação, a justificativa, a argumentação e o es-pírito crítico e favoreça a criatividade, o traba-lho coletivo, a iniciativa pessoal, a autonomia advinda do desenvolvimento da confiança na própria capacidade de conhecer e enfrentar desafios.

O trabalho com o jogo matemático requer cautela, principalmente no que concerne à questão da formação de um aluno visto como um todo e tratado como um cidadão. O jogo também permite desenvolver, no aluno, além de habilidades matemáticas, a sua concentra-ção, a sua curiosidade, a consciência de grupo, o coleguismo, o companheirismo, a sua auto-confiança e a sua autoestima. Nesse sentido, o jogo deve ser visto como um agente cognitivo, que auxilia o aluno a agir livremente sobre suas ações e decisões, fazendo com que este desen-volva, além do conhecimento matemático, a

linguagem, já que, em muitos momentos, será levado a posicionar-se criticamente frente a al-gumas situações.

A utilização dos jogos na sala de aula também pode proporcionar um ambiente mais agradá-vel e fazer com que a aprendizagem torne-se algo fascinante. Por isso, é importante uma re-flexão sobre o que se pretende alcançar com a utilização dos jogos, para que estes possam servir de aliado no ensino da Matemática. Lara (2005, p.21) enfatiza que “quando bem ela-borados, os jogos podem ser vistos como uma estratégia de ensino, que poderá atingir dife-rentes objetivos que variam desde o simples treinamento até a construção de um determi-nado conhecimento.”

De acordo com Lara (2005), os jogos podem ser classificados em:

Jogos de construção – são aqueles que trazem ao aluno um assunto desconhecido, fazendo com que, através da manipulação de materiais ou de perguntas e respostas, ele sinta a neces-sidade de uma nova ferramenta, de um novo conhecimento, para resolver determinada situ-ação-problema proposta pelo jogo. Na procu-ra desse novo conhecimento, o aluno tem a oportunidade de buscar, por si mesmo, uma nova alternativa para sua resolução. Os jogos desse tipo permitem a construção de algumas abstrações matemáticas que, muitas vezes, são apenas transmitidas pelo professor e memori-zadas sem uma real compreensão pelo aluno, prejudicando, assim, o aprendizado.

Jogos de treinamento – um jogo de treina-mento pode ser uma estratégia que permite auxiliar o desenvolvimento de um pensamento dedutivo ou lógico mais rápido. Muitas vezes, é através de exercícios repetitivos que o alu-no percebe a existência de outro caminho de resolução que poderia ser seguido, ampliando suas possibilidades de ação e intervenção. É in-teressante que o aluno utilize, várias vezes, o mesmo tipo de pensamento e conhecimento matemático, não para memorizá-lo, mas para aumentar sua autoconfiança e sua familiari-zação com este. Com a participação do aluno nos jogos e sua necessária participação ativa, o professor poderá perceber as suas reais difi-culdades, auxiliando-o a saná-las.

capítulo 1 19

Jogos de aprofundamento – depois de o alu-no ter construído ou trabalhado determinado assunto, é importante que o professor propor-cione situações em que o aluno aplique-o. A resolução de problemas é uma atividade muito conveniente para esse aprofundamento, e tais problemas podem ser apresentados na forma de jogos. quando elaboramos um jogo com diferentes níveis, é interessante colocarmos si-tuações-problema simples que vão tornando--se cada vez mais complexas com o decorrer do jogo, exigindo um raciocínio a mais daque-le que foi aprendido pelo aluno ou que repre-sente um desafio novo para ele.

Jogos estratégicos – são aqueles que levam o aluno a criar estratégias de ação para melhor atuação como jogador, dando oportunidade de levantar hipóteses e desenvolver um pen-samento sistêmico, e ainda possibilita pensar múltiplas alternativas para resolver um deter-minado problema. Grande parte dos jogos que o aluno está acostumado a jogar com seus amigos, entre eles, dama, xadrez, bata-lha naval, cartas, ou com o computador, como paciência, freecell, campo minado e, muitos outros, são jogos estratégicos.

Lara (2005) recomenda ao professor que: analise o jogo antes de ser aplicado aos alu-nos; busque jogos em que o fator sorte não interfira nas jogadas, permitindo que vença aquele que descobrir as melhores estratégias; estabeleça regras, que podem ser modificadas no decorrer do jogo; trabalhe a frustração pela derrota na criança, no sentido de minimizá-la; estude o jogo antes de aplicá-lo e analise as jogadas durante e depois da prática.

2.7 MATEMáTICA CRÍTICA

A Educação Matemática Crítica enfatiza as questões políticas em busca de uma educa-ção democrática e cidadã. Se analisarmos a organização da sociedade, podemos constatar que a Matemática, além de definir tomadas de decisão assim como medidas governamentais importantes, também pode ser ferramenta de manipulação e ilusão das massas. Um dos re-cursos muito utilizados por pessoas de influên-cia social e política e formadores de opinião em debates são os dados estatísticos que, muitas vezes, têm papel definidor em uma discussão.

Para Muzzi (2004, p. 36), “O que é apresen-tado socialmente com base em modelos ma-temáticos tem grande aceitação e é pouco ou quase nada questionado.”

O ensino da Matemática deve buscar a forma-ção de cidadãos críticos e livres da alienação política, capaz de analisar, discutir e comentar, com propriedade, o quadro sócio-político-eco-nômico no qual está inserido. Segundo Muzzi (2004), também contribuímos para a falta de postura crítica dos alunos quando propomos problemas de solução única, certo ou errado, quando estabelecemos formas de avaliar rigo-rosas quanto ao resultado final e quando não temos uma comunicação aberta com o aluno.

Cabe então ao professor mudar a prática em sala de aula, introduzir a discussão, apresen-tar ao aluno as formas por meio das quais são construídos tais modelos e permitir que ele jul-gue as informações apresentadas, identifican-do os motivos para adoção desses modelos e, assim, formar a sua opinião. Para Skovsmose (2001), ensinar uma Matemática mais signi-ficativa e voltada para os interesses sociais é educar democraticamente, visando alcançar todos para que a sociedade possa participar, discutir e refletir as influências dessa ciência no dia a dia, formando um cidadão crítico.

2.8 NOVAS TECNOlOGIAS

A presença da informática em nossas vidas hoje é um fato, portanto não pode ser igno-rado pelos órgãos educacionais e instituições de ensino. O uso de computadores pessoais aumentou significativamente nos últimos dez anos, e saber usar um computador e dominar aplicativos básicos é um dos requisitos míni-mos para o mercado de trabalho.

capítulo 120

O uso dos computadores é uma das principais ferramentas nas pesquisas atuais de qualquer segmento; está cada vez mais presente nos la-res e é acessado e usado por todas as gera-ções. Dessa forma, a escola não pode estar à parte desse processo e deve incorporar o uso de T.I. (Tecnologia da Informação) ao seu fazer pedagógico. O que se percebe é o crescimento do número de professores adeptos ao uso de computadores e outros recursos informativos em sala de aula, com a utilização de progra-mas que estimulam a exploração de conteúdos e a visualização dos cálculos realizados.

Como sabemos, a Informática na Educação pode proporcionar uma nova dinâmica ao processo de construção do conhecimento. Se, até há pouco tempo, livros, apostilas, jornais e revistas eram a principal fonte de pesquisa, hoje também se integram a esses recursos os CD-ROMs e as páginas de Internet bem como o áudio e as videoconferências. Se a bibliote-ca era a referência para pesquisas nas diversas áreas do conhecimento, o próprio conceito de biblioteca hoje muda com os sistemas de pesquisas on-line nas bibliotecas digitais e vir-tuais. Santaló (2009, p. 23) registra que: “O problema reside em decidir ‘como’ educar esse homem informático, que tem poderosas ba-ses e tão grandes possibilidades e que vai se adaptando a uma tecnologia que lhe permite potentes e variadas maneiras de agir”.

Para praticamente todos os conteúdos mate-máticos abordados na escola, existe algum re-curso tecnológico como softwares disponíveis para uma melhor compreensão dos temas. Por exemplo, o estudo da Geometria Espacial pode ser auxiliado por programas de construção e visualização dos sólidos geométricos, melho-rando assim a assimilação do que se quer de fato calcular/aprender. É muito difícil assimilar conceitos como volume, profundidade, áreas laterais com o uso de quadro e giz, apenas. No entanto, mais do que apresentar exclusiva-mente os conteúdos matemáticos no compu-tador, defende-se que o professor desenvolva uma metodologia em que o estudante atue diretamente na construção de projetos que envolvam, entre outros, conhecimentos mate-máticos propostos.

A informática deve ser encarada não como um mero recurso para melhorar o sistema de ensi-no, mas usá-la para uma educação enquanto processo investigativo do aluno na construção do conhecimento. Essa é a base do Constru-cionismo, uma teoria de aprendizado inicia-da por Seymour Papert na década de 60, que defende o aprendizado como um processo ativo em que os alunos engajam-se em pro-

TECNOLOGIAS

Programas educativos

Planilhas eletrônicas

Calculadora

CONTEÚDOS

Espaço e forma

Tratamento das

Informações

Números e operações

OPORTUNIDADES DE ENSINO

Explorar propriedades de figuras sólidas e

planas

Construir gráficos no computador

Exploração e validação de

cálculos

capítulo 1 21

1. Leia o texto:

Currículo e Matemática: algumas considera-ções na perspectiva etnomatemática e mo-delagem. (Daniel Clark Orey e Milton Rosa)

Disponível em:

http://csus.academia.edu/DanielOrey/Pa-pers/299462/Curriculo_E_Matematica_Al-gumas_Consideracoes_Na_Perspectiva_Etnomatematica_E_Modelagem. Acesso em: 17 jan. 2011.

2. Elabore um resumo do texto (no máximo 3 páginas).

Atividades:

jetos utilizando o computador como principal ferramenta, criando situações mais propícias, ricas e específicas para a construção do conhe-cimento (MALTEMPI, 2005).

Ao decidir utilizar os recursos tecnológicos em suas aulas de Matemática, o professor deve buscar conhecer os estudos e as experi-ências existentes sobre o tema. Assim, poderá usar a informática de forma consciente e efi-caz para o aprendizado matemático dos seus alunos e mais do que isso formar cidadãos capacitados e capazes de pensar e construir seus conhecimentos.

CONSIDERAÇÕES FINAISDe acordo com os estudos realizados, pode-mos assegurar que a escola não pode mais permanecer, apenas, apreciando as transfor-mações que estão ocorrendo na sociedade como um todo. O professor precisa, portan-to, interrogar, discutir, repensar e integrar-se nesse conjunto de transformações, buscando rever e reconsiderar os postulados e as práticas educativas existentes. Essas mudanças exigem, dentre outras questões, o preparo de alunos capazes de resolver situações-problema com base em conceitos matemáticos vinculados à realidade, plenos de significado, a fim de cons-truir um novo sentido para a aprendizagem.

REFERÊNCIASBICUDO, Maria Aparecida V.; GARNICA, Antô-nio Vicente M. Filosofia da Educação Matemá-tica. 2. ed. Belo Horizonte: Autêntica, 2002.

BIEMBENGUT, Maria Salett; HEIN Nelson. Mo-delagem Matemática no Ensino. 3. ed. São Paulo: Editora Contexto, 2003.

BORBA, Marcelo de C; PENTEADO, Mirian Go-doy. Informática e Educação Matemática. 3. ed. Belo Horizonte: Autêntica, 2005.

BRASIL, Secretaria de Educação Fundamental, Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemáti-ca. Brasília: MEC/SEF, 1997.

D’AMBRóSIO. Educação Matemática: da te-oria à prática. 6. ed. Campinas, SP: Papirus, 2000.

______. La matemática como ciencia de la so-ciedad. In: GIMÉNEZ, Joaquin; DÍEZ-PALOMAR Javier; CIVIL, Marta. (coords.) Educación mate-mática y exclusión. Barcelona, España: Edito-rial GRAó, 2007.

DANTE, Luiz Roberto. Didática da resolução de problemas. São Paulo: Ática, 2007.

capítulo 122

FONACIER, Josefina C. La responsabilidad de los maestros de la escuela primaria frente a la componente matemática del currículo: impli-caciones para la formación de maestros. In: UNESCO, 1983. Estudios en educación mate-mática. Vol.3. Editado por R. Morris. Montevi-deo, Uruguay, 1983.

KNIJNIK, Gelsa. Diversidad cultural, matemáti-cas y exclusión: oralidad y escritura em La edu-cación matemática campesina Del sur Del Bra-sil. In: In: GIMÉNEZ, Joaquin; DÍEZ-PALOMAR Javier; CIVIL, Marta. (coords.) Educación mate-mática y exclusión. Barcelona, España: Edito-rial GRAó, 2007

LARA. Isabel Cristina Machado. Jogando com a Matemática na educação infantil e séries ini-ciais. São Paulo: Rêspel, 2005.

MALTEMPI, Marcus Vinicius. Construcionismo: pano de fundo para pesquisas em informática aplicada à Educação Matemática. In: BICUDO, Maria Aparecida Viggiani; BORBA, Marcelo de Carvalho Borba (orgs.) Educação matemática: pesquisa em movimento. 2. ed. São Paulo: Cortez, 2005.

MUZZI, Meiri. Etnomatemática, Modelagem e Matemática Crítica: Novos Caminhos. Presença Pedagógica. Belo Horizonte, V. 10. Nº 56, p. 31-39, mar./abr. 2004.

OLIVEIRA, Vera Barros de. Jogos de regras e a resolução de problemas. 3. ed. Petrópolis, RJ, Vozes, 2007.

SADOVSKY, Patrícia. O ensino de matemática hoje: enfoques, sentidos e desafios. Trad. An-tonio de Padua Danesi. São Paulo: Ática, 2007.

SANTALó, Luis A. Matemática para no mate-máticos. In. PARRA, Cecilia; SAIZ, Irma. (compi-ladoras). Didáctica de las matemática: aportes y reflexiones. 1. ed. 12ª reimp. Buenos Aires; Paidós, 2009.

SHUARD, Hilary. Tendencias contemporaneas en la matematica de la escuela primária: im-plicaciones para la formación de maestros. In: UNESCO, 1983. Estudios en educación mate-mática. Vol.3. Editado por R. Morris. Montevi-deo, Uruguay, 1983.

SILVA, Circe Mary Silva da. Explorando as ope-rações aritméticas com os recursos da história da matemática. Brasília: Plano Editora, 2003.

SKOVSMOVE, Ole. Educação matemática críti-ca: a questão da democracia. Campinas, SP: Papirus, 2001.

SUTHERLAND, Rosamund. Ensino eficaz de matemática. Trad. Adriano Moraes Migliava. Porto Alegre: Artmed, 2009.

capítulo 2 23

INTRODUÇÃO

Este texto proporciona uma reflexão sobre o ensino da Matemática na Educação Infantil. De forma breve, traz as contribuições de Piaget, Vygotsky e Vergnaud para o ensino da matemática, ao mesmo tempo em que trata do processo de construção do conceito de número a partir das relações que a criança elabora entre os objetos.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS• Reconhecer as contribuições de Piaget,

Vygotsky e Vergnaud para o ensino da Matemática;

• Refletir sobreoensinodamatemáticanaEducação Infantil;

• Compreender como a criança constrói oconceito de número.

a MateMátiCa na eduCação

infantil

Profa. Ms. Edna Cavalcanti Novaes GonçalvesProfa. Anna Karla Lopes Gonçalves Leite

Carga Horária | 15 horas

capítulo 224

1. CONTRIBUIÇÕES DE PIAGET, VYGOTSKY E VERGNAUD PARA O ENSINO DA MATEMáTICAAs pesquisas realizadas sobre o desenvolvi-mento infantil têm contribuído significati-vamente para uma melhor compreensão do Ensino da Matemática. São informações que oferecem aos educadores princípios para orientar a sua prática pedagógica, na medida em que estas enfatizam o conhecimento como uma construção contínua a partir das múlti-plas situações vivenciadas de forma significati-va, em contextos adequados. Aqui destacamos as contribuições de Piaget, Vygotsky e Verg-naud para o processo ensino e aprendizagem da Matemática.

Piaget privilegia a maturação biológica, na me-dida em que o desenvolvimento da criança se dá por etapas fixas e universais. Os conheci-mentos são construídos espontaneamente, de acordo com cada período do seu desenvolvi-mento, logo a construção do saber acontece de dentro do sujeito para fora. Segundo ele, as pessoas têm a capacidade de aprender a todo o momento, desde os primeiros anos de vida, passando de um conhecimento mais simples para um conhecimento mais complexo. Isso o levou a encontrar estruturas novas chamadas de estágios.

Para Piaget, o desenvolvimento intelectual exi-ge que o sujeito passe por quatro grandes pe-ríodos (estágios): o sensório-motor (0 a 2 anos

aproximadamente); o pré-operatório (2 a 7 anos aproximadamente); o das operações con-cretas (7 a 12 anos aproximadamente) e o das operações formais (11 ou 12 anos em diante).

As diferentes etapas cognitivas apresentam, por-tanto, características próprias, e cada uma de-las constitui um determinado tipo de equilíbrio. Ao longo do desenvolvimento mental, passa-se de uma para outra etapa, buscando um novo e mais completo equilíbrio que depende, entre-tanto, das construções passadas (DAVIS; OLIVEI-RA, 1994, p.30).

Na concepção de Piaget, o sujeito constrói progressivamente suas estruturas lógico-ma-temáticas (conhecimento) por meio de sua atividade e do processo de interação com o meio, considerando que os fatores necessários ao desenvolvimento do conhecimento são de natureza psicogenética, explicitados pelo fun-cionamento cognitivo.

O conhecimento lógico matemático é uma construção decorrente da ação mental da criança sobre o mundo, construído a partir de relações que a criança elabora na sua ativida-de de pensar o mundo, e também das ações sobre os objetos. Desse modo, não pode ser ensinada por repetição ou verbalização como acontecia no ensino tradicional. Na perspecti-va piagetiana, o aluno já chega à escola com concepções sobre o mundo, as quantidades, as operações, as formas sólidas e planas, já chega com representações mentais do seu grupo social. A postura do professor seria a de recuperar as representações existentes no sentido de propiciar situações de conflito que viabilizem o processo de estruturação/deses-truturação/reestruturação.

Tal concepção oferece ao professor uma ati-tude de respeito às condições intelectuais do aluno e um modo de interpretar suas condutas verbais e não verbais para poder trabalhar me-lhor com elas. No entanto, vale salientar que a teoria piagetiana não aponta receitas prontas sobre “o que” e “como” ensinar, mas permite “compreender como a criança e o adolescente aprendem”, fornecendo um referencial para a identificação das possibilidades e limitações das crianças e adolescentes. “Dentre as mais importantes contribuições de Piaget para a educação matemática, está sua teoria de que

capítulo 2 25

a compreensão das operações aritméticas tem origem nos esquemas de ação das crianças”. (NUNES, Terezinha; CAMPOS, Tânia. M. M.; MAGINA, Sandra; BRYANT, Peter, 2005, p. 46).

UM POUCO MAIS SOBRE PIAGET:

http://revistaescola.abril.com.br/historia/pratica--pedagogica/jean-piaget-428139.shtml?page=2

Saiba Mais:

Vygotsky, inspirado nos princípios do materia-lismo dialético, considera o desenvolvimento da complexidade da estrutura humana como um processo de apropriação pelo homem da experiência histórica e cultural. Segundo ele, organismo e meio exercem influência recípro-ca, porque o biológico e o social não estão dissociados. A premissa é de que o homem constitui-se como tal por meio de suas intera-ções sociais, na medida em que transforma e é transformado nas relações produzidas em uma determinada cultura, pois existe a contínua in-teração entre as mutáveis condições sociais e a base biológica do comportamento humano.

A obra de Vygotsky pode significar uma gran-de contribuição para a área da educação, na medida em que traz importantes reflexões so-bre o processo de formação das característi-cas psicológicas tipicamente humanas e, como consequência, provoca questionamentos, aponta diretrizes e estimula a formulação de alternativas no plano pedagógico. Ele acredi-ta que, embora o aprendizado da criança se inicie muito antes de ela frequentar a escola, o aprendizado escolar introduz novos elemen-tos no seu desenvolvimento. Por meio do de-senvolvimento do conceito de Zona de Desen-volvimento Proximal e outras teses, Vygotsky apresenta elementos importantes para a com-preensão de como se dá a integração entre en-sino, aprendizagem e desenvolvimento.

Segundo Vygotsky (1995, p.209), “Não cabe supor que o desenvolvimento siga uma linha completamente reta. Há nele numerosos sal-tos, mudanças, rupturas”. Para ele, esse mo-mento produz uma colisão entre a linha an-

terior de desenvolvimento e a que se inicia com a aprendizagem dos signos escolares, de modo que o desenvolvimento cultural da criança deve ser visto como um processo vivo de desenvolvimento, de formação, de luta e de contradição ou choque entre o natural e o histórico, o primitivo e o cultural, o orgânico e o cultural.

Vygotsky ressalta, ainda, que psicólogos e ma-temáticos têm defendido duas posturas dife-rentes, quando se trata do processo de assi-milação da aritmética. Uns asseguram que tal processo segue uma trajetória mais ou menos reta, que a matemática da pré-escola prepa-ra para a escolar de uma maneira plenamente natural, como o balbucio de uma criança pre-para para a linguagem, e o professor orienta o aluno na devida direção. Para outros, o proces-so é bastante diferente. Há certa mudança de uma via para outra, e essa mudança assinala o ponto de transição do desenvolvimento arit-mético da criança.

Portanto, a ordenação da forma e sua percep-ção, como primeira etapa do desenvolvimento da criança, são importantes por serem um estí-mulo para o desenvolvimento da percepção de quantidade. Para Vygotsky, “antes que a crian-ça domine o cálculo, a percepção numérica depende da percepção das formas [...] a crian-ça que domina a forma conta com exatidão, mas a que se confunde na forma, confunde-se também no cálculo” (1995, p. 210).

Assim, a tese fundamental consiste no seguinte: em uma determinada etapa do seu desenvolvi-mento, a criança chega a compreender o caráter limitado de sua aritmética e começa a passar para a aritmética mediada [...] A aritmética escolar cons-

capítulo 226

titui um momento de mudança. Embora a aritmé-tica pré-escolar entre em conflito com a escolar, isso não significa que a escola aborde seu ensino de maneira puramente mecânica. Nesse choque tem lugar uma etapa nova, ulterior, de desenvol-vimento de cálculo (VYGOTSKY, 1995, p.211).

Para ele, tanto o pedagogo quanto o psicólo-go devem saber que a assimilação, pela crian-ça, da aritmética cultural é sempre conflituo-sa, porque há um choque entre as formas de operar as quantidades elaboradas por elas e as propostas pelos adultos. São momentos extremamente críticos no desenvolvimento da criança, em que sempre entram em conflito sua aritmética com outra forma de aritmética que lhe ensina o adulto.

Esse princípio desestabiliza os trabalhos de “prontidão”, que eram vivenciados no âmbito pedagógico, em que a qualidade do trabalho pedagógico estava associada à capacidade de promoção de avanços no desenvolvimento do aluno. Assim, a escola desempenhará bem seu papel, à medida que, partindo daquilo que a criança sabe, for capaz de ampliar e desafiar a construção de novos conhecimentos, esti-mulando processos internos que passarão a constituir a base que possibilitará novas apren-dizagens.

Na perspectiva de Vygotsky, o bom ensino é aquele que se antecipa ao desenvolvimento, ou seja, que se dirige às funções psicológicas que estão em via de se completarem. Assim, o professor deixa de ser visto como agente ex-clusivo de informação e formação dos alunos, uma vez que as interações estabelecidas entre as crianças também têm um papel fundamen-tal na promoção de avanços no desenvolvi-mento individual. Sua função é de extrema im-portância na medida em que ele é o elemento mediador das interações entre os alunos e os objetos de conhecimento.

UM POUCO MAIS SOBRE VYGOTSKY:

http://revistaescola.abril.com.br/historia/pratica--pedagogica/lev-vygotsky-teorico-423354.shtml

Saiba Mais:

Gérard Vergnaud, diretor de pesquisa do Cen-tro Nacional de Pesquisa Científica (CNRS) da França; foi discípulo de Piaget. Em sua teoria dos “Campos Conceituais”, amplia e redire-ciona a teoria Piagetiana, cujo alvo é o das operações lógicas gerais e das estruturas do pensamento, para o estudo do funcionamento cognitivo do sujeito no contexto de uma situa-ção. Ao propor a Teoria dos Campos Conceitu-ais, entende que o desenvolvimento cognitivo depende de situações e conceitualizações es-pecíficas para lidar com tais situações.

A teoria dos campos conceituais também pos-sibilita analisar a relação entre os conceitos, en-quanto conhecimentos explícitos, e as invariantes operatórias implícitas nos comportamentos dos sujeitos em determinadas situações, e aprofun-da a análise das relações entre significados e significantes. É uma teoria cognitivista. Fornece uma estrutura à aprendizagem, envolve a didá-tica, embora não seja, em si, uma teoria didática (FAINGUELERNT, 1999, p. 44).

Um campo conceitual pode ser definido como um conjunto de problemas ou situações, cuja análise e tratamento requerem vários tipos de conceitos, procedimentos e representa-ções simbólicas, os quais se encontram em estreita conexão uns com os outros. Para ele, a aquisição do conhecimento se dá por meio de situações e problemas já conhecidos, e o conhecimento, portanto, tem características locais, e os conceitos estão associados a um domínio de validade restrito, o qual varia de acordo com a experiência e o desenvolvimento cognitivo do sujeito.

O conhecimento é organizado em campos conceituais, porque uma determinada situa-ção não envolve todas as propriedades de um conceito bem como não envolve um só concei-to. Por exemplo, as estruturas aditivas exigem o conceito de medidas, de número natural, inteiro, comparação, diferença, inversão e ou-tros. Assim, a formação de um conceito requer

capítulo 2 27

muitas interações com diferentes conceitos em diferentes situações. A compreensão de um conceito, por mais simples que seja, não surge apenas de um tipo de situação, assim como uma situação sempre envolve mais de um conceito. Vejamos o exemplo apresentado por Magina (2005):

“Ana tinha 5 blusas, e, no seu aniversário, sua avó lhe deu 2 blusas.

quantas blusas Ana tem agora?”

Podemos identificar vários conceitos aqui en-volvidos, os quais a criança precisa ter adqui-rido para resolver, com sucesso, o problema. São eles: adição, temporalidade (tinha = pas-sado, tem agora = presente), contagem (de-pois do 5 vem o 6, depois o 7). Se tivéssemos trabalhado com números maiores – acima de 15 ou 20 – seria preciso que a criança tivesse o entendimento do sistema decimal (os nume-rais são 10 – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 – e a partir de suas combinações, obteremos infini-tos números). Conforme Magina (2005, p. 4), “quando Vergnaud propõe estudar um campo conceitual ao invés de um conceito, ele está afirmando que numa situação-problema qual-quer, nunca um conceito aparece isolado, se pensarmos em uma situação aditiva extrema-mente simples.”

ACESSE:

http://www.ime.unicamp.br/erpm2005/anais/conf/conf_01.pdf.

Saiba Mais:

Diante do exposto, podemos observar que os conceitos sobre estruturas aditivas e multipli-cativas precisam ser apresentados em sua am-plitude, considerando-se as variadas situações--problema, bem como as variadas formas de representação, de maneira que, dessa forma, sejam percebidos os invariantes. Busca-se, as-sim, habilitar os professores a trabalharem em sala de aula, com variadas situações-problema, com variadas formas de representação. Desse modo, os conceitos sobre estruturas aditivas e multiplicativas se tornem cada vez mais signifi-cativos para o aluno.

Além da teoria piagetiana, Vergnaud também foi influenciado pelo legado de Vygotsky, enfa-tizando que o conhecimento de um dado cam-po conceitual ocorre ao longo de um amplo período de tempo, sob a influência das intera-ções sociais. Nesse ponto, fica claro o papel do professor como mediador, catalisador da mo-dificação dos esquemas mentais dos alunos na Zona de Desenvolvimento Proximal. Para ele, a aquisição de tais conhecimentos é influenciada pelas interações do professor, mediados pela linguagem e pelas formas de representação simbólicas que concebem metaforicamente um conceito. As concepções dos alunos são moldadas por situações que se encontram em contextos significativos. Daí a importância de os conteúdos matemáticos (sistema de nume-ração, grandezas e medidas e espaço e forma) serem vivenciados simultaneamente e estarem integrados a sua função social.

UM POUCO MAIS SOBRE VERGNAUD:

http://revistaescola.abril.com.br/matematica/fun-damentos/todos-perdem-quando-nao-usamos--pesquisa-pratica-427238.shtml

Saiba Mais:

2. O ENSINO DA MATEMáTICA NA EDUCAÇÃO INFANTIlAs pesquisas educacionais realizadas a respeito do desenvolvimento infantil nos últimos sécu-los destacam a importância de os educadores conhecerem as características, o meio cultural, o nível socioeconômico, os fatores genéticos e a educação familiar dos seus alunos.

capítulo 228

Embora as crianças tenham a mesma idade, isso não garante que tenham a mesma ma-turidade cognitiva. Lorenzato (2008, p. 4-5) aponta algumas características encontradas na maioria das crianças de 2 a 7 anos (período pré-operacional):

• Éextremamenteativa;

• Gostadecorrer;

• Mostragrandecontrolesobreseucorpo;

• Sente dificuldade em focalizar pequenosdetalhes; demonstra claramente preferên-cia por um ou dois colegas, geralmente do mesmo sexo que o seu;

• Exteriorizafacilmentesuasemoções;

• Possuiregrasprópriasdelinguagemegostade falar diante de seu grupo, embora cen-trada em seu próprio ponto de vista, sem considerar o interlocutor;

• É egocêntrica,poispensaque tudoacon-tece por ela ou para ela, e mais, as coisas acontecem com os outros tal e qual acon-tecem com ela;

• Atribui seus sentimentos a tudo que estáem seu ambiente; por exemplo: “se tem trovão, é porque o céu está bravo”;

• Liga fatosquepodemnão ter ligaçãoen-tre si; por exemplo: “machuquei meu dedo porque não fiz minha lição”;

• Nãoconseguereverterseupensamento, istoé, raciocinar sobre os mesmos fatos ou opera-ções na ordem inversa da que já utilizou;

• Apresentaforteimaginação,podendoumacoisa representar outra; por exemplo, um cabo de vassoura pode representar um cavalo;

• Apresentagrandeevoluçãonasuasociali-zação, apesar de gostar de brincar sozinha e de sentir dificuldade de compartilhar;

• Aoanalisaroquevê,centra-seemumúni-co aspecto, e, por isso, engana-se frequen-temente em suas observações;

• Atribui às coisas significados específicos,por exemplo: a ideia que ela faz de um ca-chorro não é generalizada, mas se refere a um determinado cão que ela conhece;

• Suacapacidadedeconcentraçãoédepe-quena duração;

• Perguntaonomedetudo;

• Sualinguagemverbalsedesenvolvebastante;

• Seudesenvolvimentomotorégrande,per-mitindo o uso de gangorra, balanço, esca-da; surgem também os movimentos mais refinados de encaixar, empilhar, transpas-sar, pinçar;

• Possuipensamentoilógico,segundoapers-pectiva dos adultos;

• Fazgeneralizaçõesabusivas.

Como vimos anteriormente, os estudos reali-zados sugerem que a matemática seja viven-ciada a partir de três campos matemáticos: o espacial, o numérico e as medidas. O espacial explora as formas e dará apoio ao estudo da geometria; o numérico, voltado para as quan-tidades, dará apoio ao estudo da aritmética; e o das medidas que terá a função de integrar a geometria à aritmética. Ressalta Lorenzato (2008, p. 28):

Ao se explorar o espaço, propomos a comparação das formas; estamos assim usando a geometria e o processo mental de comparação; para expres-sar medidas, utilizamos números (medição x con-ceito de número); podemos auxiliar a contagem através do uso de figuras geométricas (conceito de número e geometria) e assim por diante.

capítulo 2 29

Diante do exposto, Lorenzato (2008) propõe que os conhecimentos e as habilidades que as crianças trazem do seu cotidiano sejam explo-rados por meio dos três campos matemáticos, começando pelas noções de:

3. Classificação – é o ato de separar por cate-gorias, de acordo com semelhanças e diferen-ças. Classificar é juntar elementos por alguma semelhança escolhida, é construir categorias. Ao classificar, criamos um conjunto, constituí-do de elementos com algum atributo comum a todos eles. Estamos sempre classificando, seja de forma concreta, ao manipularmos objetos, como livros, roupas, sapatos, lápis, etc. ou mentalmente, quando nos referimos ao estilo de música, personagens das novelas, animais de estimação, etc. Toda classificação exige uma prévia comparação. Para classificar, é pre-ciso escolher ou determinar um critério, e este se baseia num atributo comum aos elementos que serão classificados por meio da percep-ção de semelhanças e de diferenças entre os objetos. A estrutura lógica de classificação se desenvolve de forma gradual, em etapas su-cessivas da infância até a adolescência.

4. Sequenciação – é o ato de fazer suceder a cada elemento um outro, sem considerar a or-dem entre eles. Sequenciar é fazer suceder a cada elemento um outro qualquer, isto é, a es-colha do seguinte é feita ao sabor do momen-to e não por critérios pré-estabelecidos.

5. Seriação – é o ato de ordenar uma sequ-ência segundo um critério ou regra. Enquan-to na sequenciação, cada elemento vem após o outro, sem qualquer critério, na seriação, a sucessão se dá obedecendo a uma ordem pré--estabelecida. Por isso, a seriação é também chamada de ordenação. Seriar é ordenar, orga-nizar pelas diferenças, de forma ascendente ou

grande/pequenomaior/menorgrosso/fino

curto/compridoalto/baixo

largo/estreitoperto/longeleve/pesadovazio/cheiomais/menos

muito/poucoigual/diferente

dentro/foracomeço/meio/fim

antes/agora/depoiscedo/tardedia/noite

ontem/hoje/amanhãdevagar/depressaaberto/fechado

em cima/embaixodireita/esquerda

primeiro/último/entrena frente/atrás/ao lado

para frente/para trás/para o ladopara a direita/para a esquerda

para cima/para baixoganhar/perder

aumentar/diminuir

Independente da noção e do campo matemá-tico (espaço, número, medida) que estejam sendo trabalhados, sempre haverá uma rela-ção com um dos conceitos físico-matemáticos seguintes:

tamanholugar

distânciaforma

quantidadenúmero

capacidadetempo

posiçãomediçãooperaçãodireção

volumecomprimento

massa

Lorenzato (2008) acredita que para se ter se-gurança e sucesso na direção das atividades com as crianças, faz-se necessário que o pro-fessor, além de compreender claramente os conceitos acima citados, conheça os sete pro-cessos mentais básicos para a aprendizagem da matemática, que são:

1. Correspondência – é o ato de se estabele-cer um a um. A correspondência “um a um” é uma percepção fundamental para que a crian-ça seja capaz de atingir o conceito de número, para entender o “vai um” e para compreender que cada dez unidades corresponde a uma de-zena. É um processo mental fundamental para o conceito de número e das quatro operações.

2. Comparação – é o ato de estabelecer dife-renças ou semelhanças. O processo de com-paração envolve noções elementares, como a de tamanho, de distância e de quantidade, com as quais as crianças convivem desde cedo. Também é fundamental para classificar, seriar, incluir e para a conservação (não variação).

capítulo 230

descendente. Por exemplo: os dias da semana, as estações do ano, as palavras no dicionário, as fases da lua, todos são apresentadas obe-decendo a uma determinada sequência. “Além de o processo de seriação ser de fundamental à formação do conceito de número, ele presta--se também para a introdução de vocábulos específicos, tais como: primeiro, segundo, ter-ceiro..., último, meio, antes, depois, frente, atrás, direito, esquerdo, alto, baixo” (LOREN-ZATO, 2008, 117).

6. Inclusão – é o ato de fazer abranger um conjunto por outro. Trata-se de um raciocínio básico, porque durante a construção do con-ceito de número, as crianças também precisa-rão da inclusão. Num primeiro momento, as crianças percebem o 5 completamente distinto e independente do quatro, mas, para ampliar sua compreensão, elas precisarão perceber que não existe a quantidade 5 sem a 4, assim, o 4 está incluído no 5. Podemos perceber que esse é um processo que requer bastante aten-ção dos professores, não só pela importância que a inclusão tem para os estudos nos anos posteriores e frequência com que ela aparece em nosso cotidiano como também pelas pró-prias dificuldades desse conceito.

7. Conservação – é o ato de perceber que a quantidade não depende da arrumação, for-ma ou posição. É um processo que ocorre de maneira gradual. A grande importância da conservação deve-se ao fato de ela ser funda-mental para o desenvolvimento do conceito de reversibilidade (básico para a compreensão

dos conhecimentos de aritmética e de geome-tria nos anos seguintes). “O princípio de con-servação de quantidade numérica é percebido pela criança quando ela é capaz de compre-ender que a quantidade não depende da ar-rumação, forma ou posição, ou seja, que uma quantidade permanece idêntica seja qual for o arranjo das unidades que a formam” (RAMOS, 2009, p.27).

Os processos acima expostos se limitam ao campo da Matemática e podem interagir com as mais diversas áreas do conhecimento e situ-ações do cotidiano. Esses sete processos cons-tituem-se num importante alicerce do raciocí-nio humano e podem ser utilizados nas mais distintas situações e áreas de conhecimento, como em Língua Portuguesa: procurar pala-vras no dicionário (ordem alfabética); em Ciên-cias: classificar os animais (mamíferos, répteis, anfíbios, etc.); em História: a seriação de fatos históricos (ordem cronológica); em Geografia: a noção de que o país é constituído de esta-dos, e estes por municípios (inclusão).

Dessa maneira, as classificações por quantidade ou por forma, a ordenação por número ou por tamanho e as transformações numéricas ou geo-métricas serão consideradas como casos particu-lares de relações mais universais, favorecendo a incorporação das classificações, seriações e trans-formações que o aluno vivencia fora da escola às ações cada vez mais sistematizadas que está for-mando nelas (CARVALHO, 2006, p. 30).

Com os Blocos Lógicos, podem ser criadas di-versas situações que contribuem para desen-volver os processos mentais das crianças na Educação Infantil.

Os Blocos Lógicos foram criados na década de 50 pelo matemático húngaro Zoltan Paul Dienes. Um jogo de blocos lógicos é constituí-do de 48 peças geométricas, divididas em três cores (amarelo, azul e vermelho), quatro for-mas (círculo, quadrado, triângulo e retângu-lo), dois tamanhos (grande e pequeno) e duas espessuras (fino e grosso). Os blocos lógicos não ensinam a fazer contas, mas ajudam os alunos nos futuros encontros com os números, as operações e outros conceitos matemáticos. Eles contribuem para que os alunos exercitem a lógica ao oportunizarem a realização das pri-meiras operações lógicas.

capítulo 2 31

Com o objetivo de estimular a percepção de semelhanças e diferenças (comparação), o professor pode trabalhar o processo de com-paração, sugerindo que cada criança escolha duas peças. quando todas tiverem feito sua escolha, o professor pergunta a cada uma em que essas duas peças são diferentes ou pareci-das. É importante que todas ouçam o colega, pois as particularidades das peças precisam ser conhecidas por todos. Os atributos serão reto-mados em atividades posteriores.

Com o objetivo de trabalhar a classificação, considerando mais de um atributo (tamanho, cor, forma), o professor pede para o aluno se-parar as peças triangulares das quadradas, de-pois as vermelhas das azuis, depois as grandes das pequenas. Para crianças de 6 ou 7 anos, a atividade pode ser ampliada: separar as peças azuis grandes e quadradas das azuis grandes e triangulares; fazer vários conjuntos combinan-do critérios variados.

Se pretender trabalhar a seriação, consideran-do um só atributo, o professor pode apresen-tar o começo de uma série com duas, três ou quatro peças diferentes (por exemplo, triângu-lo, círculo e quadrado) e pedir às crianças que continuem a série, de modo que a ordem das peças se repita. A seriação pode ser feita só de peças com a mesma cor ou com o mesmo tamanho.

Caso pretenda trabalhar a seriação com o grau de dificuldade maior (considerando vários atri-butos), o professor pode apresentar para a criança o começo de uma série, conforme uma lei de formação; ela deve descobrir qual é a lei e, então, continuar a série. Exemplos:

• círculo,quadrado,círculo;

• círculo,triângulo,doiscírculos; • quadrado,trêsquadrados,cincoquadrados; • círculoazul,círculovermelho;

• um quadrado pequeno, dois quadradosgrandes, um quadrado azul.

ACESSE:

http://www.ensino.net/novaescola/111_abr98/html/matematica.htm

Saiba Mais:

As possibilidades são muitas, principalmente se o material for usado em forma de jogo, em grupos ou com a classe toda. Pode-se sugerir a formação de um “trem”, com uma ordem pré-determinada.

Para efeito de ensino, seria muito mais fácil para os professores, se as crianças aprendessem pri-meiramente a fazer correspondências, compa-rações, classificações etc.; depois, a dominar o processo de conservação de quantidades; em se-guida, a contagem. E, finalmente, as operações, de preferência, nesta ordem: adição, subtração, multiplicação e divisão. No entanto, tanto a ex-periência de magistério como as pesquisas indi-cam que seguramente não é assim que se dá a construção e a utilização desses conhecimentos. Eles interpõem-se e integram-se num vai e vem contínuo e pleno de inter-relacionamentos e, as-sim, um vai esclarecendo e apoiando o outro na elaboração dos conceitos.

Saiba Mais:

capítulo 232

A formação do conceito de número, mais popular e erroneamente conhecida por “contagem”, é um exemplo dessa integração de noções. O início da contagem (até 10) confunde-se com a adição de uma unidade a cada numeral (por exemplo: 6+1 = 7), enquanto a decomposição de cada número em duas partes sugere a adição (7 = 3+4); esta, por sua vez, mostra quanto falta a uma parce-la para atingir o total (subtração), enquanto a igualdade (=) contém a ideia de comparação e de equilíbrio.

É nesse entremeado de diferentes noções que se dá a construção do conceito de número, constru-ção essa que não é linear; se o fosse, seu ensino seria facilitado (LORENZATO, 2008, p.32-33).

3. O CONCEITO DE NÚMEROAo chegarem à escola, as crianças falam, con-versam, discutem e argumentam, contam his-tórias, estabelecem relações,... Enfim, trazem inúmeras experiências que constituem sua ma-temática da vida. No entanto, muitas vezes, a escola passa a desconsiderar toda a “bagagem matemática” que a criança traz e passa a co-brar a “matemática da escola”. Daí surgem as cobranças que enfatizam os “resultados” e não o “processo de construção”.

A formação do conceito de número é um pro-cesso longo e complexo; não é um conceito es-tático, pois está em constante expansão. É um conceito que se amplia e toma nova forma, à medida que surgem novas situações e novos problemas. Não é algo que possa ser ensinado

nem aprendido. Ele é construído por cada um a partir de suas próprias experiências e suas vi-vências, por meio da coordenação de diversas relações mentais que ajudam a compreender as quantidades.

Se o número é construído num processo indi-vidual e único, existe um conceito de número diferente para cada pessoa. Mesmo fazendo parte de um mesmo ambiente, contexto social e influências comuns, cada indivíduo percebe e opera com as quantidades de maneira dife-rente, com base nas suas próprias experiên-cias. O número também é um fato social, já que é produzido por quem o usa. Ele adquire funções sociais diversas ao ser utilizado pelas pessoas.

Leia o texto a seguir e destaque as situações em que os números aparecem:Ao lermos o texto, podemos notar que o nú-

HOJE TEM ESPETÁCULO?

O Circo Alegria está há 2 dias, na nossa cidade. É o 1º circo que se apresenta este ano. Fica próxi-mo à casa de Joãozinho, Pedro e Ana que moram na Rua Príncipe Encantado, 176/502, no Bairro Sertãozinho. As crianças estão entusiasmadas para assistir ao espetáculo que terá sua estreia amanhã, às 19 horas, e o ingresso custa R$10,00 para adultos e R$ 5,00 para crianças e estudan-tes. Na cidade, não se fala em outra coisa, dizem que além dos 4 palhaços, o circo traz malabaris-tas, trapezistas, bailarinas, mágicos, entre outras atrações. Já anunciaram que, no próximo sábado, haverá um espetáculo beneficente para ajudar as crianças do Orfanato Jesus Pequenino, e o ingres-so será 1Kg de alimento não perecível. Joãozinho, Pedro e Ana decidiram que só irão no próximo sábado, porque pretendem assistir ao espetáculo com seus 3 primos que também estão de férias e moram na cidade de Sucupira, que fica a 50Km. Além da alegria do circo, todos ficarão felizes porque poderão ajudar ao próximo.

mero está constantemente presente. É usado exercendo várias funções, fazendo parte do co-tidiano de todas as pessoas. Lorenzato (2008) aponta o número como: localizador (endere-ço, distância); identificador (datas, telefones, páginas, placa de automóveis); ordenador (andar do apartamento, posição numa com-

capítulo 2 33

petição); quantificador (velocidade, consumo, altura); com significado de quantidade total, em que é forte a cardinalidade (Ex.: na sala, es-tudam 43 crianças), como final de contagem, em que é forte a ordinalidade. (Ex.: ele é o 4º filho); cálculo (como resultado de operações); medida (como resultado de mensuração).

Como podemos verificar os números se apre-sentam como quantificadores, identificadores, localizadores ou ordenadores e, em outras cir-cunstâncias, surgem como resultados de me-dições ou de cálculos aritméticos. No entanto, a formação do conceito de número como rela-ção de equivalência entre dois conjuntos é um processo longo, que se utiliza de várias ideias, entre elas, as de correspondência, cardinalida-de, comparação, ordenação, inclusão, conta-gem, conservação de quantidade (LORENZA-TO, 2008).

A percepção de quantidade, naturalmente presente em crianças de pouca idade - que revelam reconhecer que um conjunto de três objetos é maior do que um de dois objetos -, é o início do senso numérico. Já numa etapa mais avançada, outro exemplo de senso numé-rico é o controle de quantidades sem o uso de números, como na história do pastor que fazia a cada ovelha corresponder uma pedrinha. É importante notar que em ambos os exemplos estão presentes as ideias de correspondência, de sequenciação, de classificação, de compa-ração. Segundo Kamii (1990, p 13), na pers-pectiva de Piaget, “o número é construído por cada criança a partir de todos os tipos de rela-ções que ela cria entre os objetos”.

Diante do exposto, podemos assegurar que uma criança entenderá melhor os números e as operações, se puder torná-los concretos e pal-páveis. Eis algumas situações que contribuem para a construção do conceito de número:

• Jogodamemória

• Batalha

• Bolasdegude

• Distribuiçãodemateriais

• Divisãodeobjetos

• Arrumaçãodasala

• Coletadematerial

• Trilha

• Boliche

• Resta um (duas bandejas de isopor con-tendo a mesma quantidade de tampas de garrafa PET e um dado; à medida que os dados são jogados, as tampas vão sendo retiradas. Ganha quem esvaziar primeiro a sua bandeja).

• Dominó

• Quadroderegistro(Quantossomoshoje?)

• Jogodascadeiras

• Brincadeiradecorda

CONSIDERAÇÕES FINAISPodemos concluir que se faz necessária e ur-gente uma profunda mudança de postura no trabalho com a Matemática na escola. Para isso, será necessário garantir aos alunos um ambiente escolar desafiador, com experiên-cias matemáticas impregnadas de sentido, de modo a estimular as descobertas. Isso se dará a partir de comparações estabelecidas, das dis-cussões, dos questionamentos, das criações, da troca de ideias e das experiências vivencia-

capítulo 234

das por cada criança. Assim, é preciso que elas vivenciem múltiplas situações significativas em contextos adequados, considerando as suas diferenças e suas particularidades, em busca de um objetivo comum - a aprendizagem.

REFERÊNCIAS

1. Apresente 5 sugestões de atividades que te-nham como objetivo contribuir para a cons-trução do conceito de número.

Atividades:

CARVALHO, Dione Lucchesi de. Metodologia do Ensino da Matemática. 2. ed. São Paulo: Cortez, 1994.

DAVIS, Cláudia; OLIVEIRA, Zilma de M. R. Psi-cologia na educação. São Paulo: Cortez, 1994.

FAINGUELERNT, Estela Kaufman. Educação Matemática: representação e construção em geometria. Porto Alegre: Artes Médicas, 1999.

FALZETTA, Ricardo. Construa a lógica, bloco a blo-co. Revista Nova Escola. Abril. 1998, p. (20-23).

KAMII, Constance. A criança e o número. 11. ed. Campinas, SP: Papirus,1990.

LORENZATO, Sérgio. Educação infantil e per-cepção matemática. 2. ed. ver. e ampliada. Campinas, SP: Autores Associados, 2008. (co-

leção Formação de Professores).

MAGINA, Sandra. A Teoria dos Campos Con-ceituais: contribuições da Psicologia para a prá-tica docente. Disponível em: http://www.ime.unicamp.br/erpm2005/anais/conf/conf_01.pdf. Acesso em 01 abr. 2011.

NUNES, Terezinha; CAMPOS, Tânia. M. M., MAGINA, Sandra; BRYANT, Peter. Educação e Matemática: números e operações numéricas. São Paulo, Cortez Editora, 2005.

RAMOS, Luíza Faraco. Conversas sobre núme-ros, ações e operações: uma proposta criativa para o ensino da matemática nos primeiros anos. São Paulo: Ática, 2009.

VYGOTSKI, L. S. Obras escogidas. Tomo III. Ma-drid, España: Aprendizaje, 1995.

capítulo 3 35

INTRODUÇÃO

Este texto aborda o sistema de numeração decimal, sua construção no decorrer do tempo e sua im-portância no processo ensino e aprendizagem dos conteúdos básicos da Matemática no ensino fun-damental. Ainda sugere recursos que podem ser utilizados pelo professor nesse processo. De forma breve, traz a teoria dos campos conceituais (aditivo e multiplicativo) na perspectiva de Vergnaud.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS• Reconhecer a importância do sistema de

numeração decimal para a compreensão dos demais conteúdos da matemática no ensino fundamental;

• Compreenderoensinodasoperaçõescombase na teoria dos campos conceituais.

sisteMa de nuMeração

deCiMal. CaMpos

ConCeituais: aditivo e

MultipliCativoProfa. Ms. Edna Cavalcanti Novaes Gonçalves

Profa. Anna Karla Lopes Gonçalves Leite

Carga Horária | 15 horas

capítulo 336

1. SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAlComo estamos acostumados a contar e usar o Sistema de Numeração Decimal no nosso coti-diano, não damos conta de que essa foi uma construção realizada no decorrer de um longo período. Do habitante das cavernas até nossos dias, passaram-se milhares de anos, e o modo de vida foi mudando lentamente. Todas essas modificações trouxeram como consequência uma mudança na forma de vida dos nossos antepassados: eles passaram a cultivar a terra e criar os animais. A criação de animais, a agri-cultura, a construção de casas e o comércio rudimentar trouxeram consigo a necessidade da contagem e, consequentemente, provoca-ram profundas modificações na vida humana. Diante da necessidade de reservar alimentos para prover a população que crescia, os ho-mens passaram a contar e a comercializar por meio de trocas. Daí desenvolveu-se o sentimen-to de propriedade sobre os animais, a terra e os produtos dela extraídos, consequentemente surgiu a necessidade de registrar quantidades, o que deu origem à numeração escrita.

À medida que as civilizações foram atingindo um elevado grau de organização, foram cons-truindo a sua própria linguagem escrita e de-senvolvendo também diferentes maneiras de representar as quantidades. Assim, foram cria-dos sistemas numéricos pelos povos egípcios, mesopotâmios ou babilônios, chineses, india-nos, árabes e romanos.Assim, os árabes adotaram a numeração in-

UM POUCO DE HISTóRIA...

o sistema de numeração indo-arábico

O sistema de numeração indo-arábico tem esse nome devido aos hindus, que o inventaram, e aos árabes, que o transmitiram para a Europa Ociden-tal. Os mais antigos exemplos de nossos atuais símbolos numéricos encontram-se em algumas colunas de pedra erigidas na Índia, por volta do ano 250 a.C. pelo rei Açoka. Outros exemplos pri-mitivos na Índia, se corretamente interpretados, encontram-se em registros talhados por volta do ano 100 a.C., nas paredes de uma caverna numa colina perto de Poona e algumas inscrições por volta do ano 200 d.C., gravadas nas cavernas de Nasik. Essas primeiras amostras não contêm ne-nhum zero e não utilizam a notação posicional. Contudo, a ideia de valor posicional e um zero devem ter sido introduzidos na Índia algum tem-po antes do ano 800 d.C., pois o matemático per-sa al-Khowârizmî descreveu, de maneira comple-ta, o sistema hindu em um livro do ano 825 d.C. Como e quando os novos símbolos numerais entraram na Europa são questões ainda não decididas. Muito provavelmente eles foram leva-dos por comerciantes e viajantes pelas costas do Mediterrâneo. Esses símbolos se encontram num manuscrito espanhol do século x, sendo possível que tenham sido introduzidos na Espanha pelos árabes que invadiram a península ibérica no ano de 711 d.C., onde permaneceram até 1492 d.C. Foi, porém, uma tradução latina do tratado de al-Khowârizmî, feita no século xII, seguida de alguns trabalhos europeus sobre o assunto, o que fez com que o sistema se disseminasse mais amplamente. Os quatro séculos seguintes assistiram a uma verdadeira batalha entre abacistas e algoristas, como eram chamados os defensores do novo sistema, mas, em torno do ano 1500, as atuais regras de computação acabaram se impondo. Mais um século, e os abacistas haviam sido quase esquecidos, sendo que perto do século xVIII não restava mais nenhum traço do ábaco na Europa Ocidental. Seu reaparecimento, com curiosidade, deveu-se ao geôatra francês Poncelet, que levou um espécime para a França depois de ser liberta-do como prisioneiro de Guerra na Rússia, onde participara da campanha napoleônica. Até que os símbolos dos numerais indo-arábicos se estabilizassem, com a invenção da imprensa de tipos móveis, muitas modificações em sua grafia se verificaram. Nossa palavra zero provavelmente provém da forma latinizada zephirum derivada de sifr, que é uma tradução para o árabe de sunya, que em hindu significa “vazio” ou “vácuo”. A pa-lavra árabe sifr foi introduzida, na Alemanha, no século xIII, por Nemorarius, como cifra*.

capítulo 3 37

meração decimal foi o adotado? Sabe-se que houve muitas tentativas até se chegar a um sistema que permitisse representar os números com poucos algarismos e de modo tão prático. No entanto, o sistema de numeração decimal, apesar de “ser decimal, posicional e possuir o zero”, nem sempre é tão simples nem tão fácil de ser compreendido quanto parece. Toledo; Toledo (2010) recomendam que para transmi-tir o conteúdo do sistema de numeração aos alunos, é aconselhável que o professor realize um trabalho mais prolongado, desde os anos iniciais do Ensino Fundamental, com ativida-des diversificadas sobre agrupamentos e tro-cas, além da familiarização com o valor posi-cional dos algarismos.

A compreensão do sistema de numeração de-cimal é de suma importância para a aprendi-zagem da matemática por ser a base de todas as operações. É de fundamental importância ensinar as características básicas do sistema de numeração decimal para compreender suas regras de funcionamento, abaixo listadas:

• Ser de base 10 - os agrupamentos são feitos de 10 em 10. Dez unidades formam uma dezena, dez dezenas formam uma centena, dez centenas formam um milhar;

• Possuir 10 algarismos - usando os algaris-

mos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, escrevemos qualquer número;

• Possuir o zero - símbolo utilizado para in-

dicar a ausência de quantidade e manter o lugar do numeral.

• Ser posicional - 35 é diferente de 53.

*Em português, cifra significa, entre outras coi-sas, zero.

EVES, Howard. Introdução à história da matemá-tica. Campinas, SP: Editora da UNICAMP, 2004, p. 40-41.

diana e divulgaram pela Europa o até hoje co-nhecido sistema decimal posicional, conhecido ontem e hoje como sistema de numeração indo-arábico. Rosa Neto (1996, p. 14) ressalta que “o sistema decimal posicional, utilizado até os dias atuais com algumas alterações nos nu-merais, representou para a Aritmética o que o alfabeto foi para a escrita: a democratização”.Afinal, por que entre tantos sistemas o de nu-

O abacista versus o algorista.(De Margarida Philosophica, de

Gregor Reisch, Strasburgo, 1504)

As regras do sistema de numeração indo-arábico permaneceram as mesmas nos últimos vinte sé-culos, mas, a forma de se escreverem os algaris-mos sofreu modificações ao longo desse tempo. Isso porque, até meados do século xV, os docu-mentos eram manuscritos, portanto a forma dos algarismos dependia de cada escriba. A partir da criação da imprensa pelo alemão Gutemberg, os algarismos e as letras se estabilizaram. Atualmen-te estamos assistindo a uma nova modificação na forma desses algarismos, introduzida pelos relógios, calculadoras e outros aparelhos digitais. (TOLEDO; TOLEDO, 2010, p. 61),

capítulo 338

• Ser aditivo - o número representado é a soma dos valores que cada um deles repre-senta. 245 = 200 + 40 + 5.

• Ser multiplicativo - cada algarismo repre-

senta o produto dele mesmo pelo valor de sua posição.

Existem diversos recursos que podem ser utiliza-

2. CAMPOS CONCEITUAISDe acordo com a teoria piagetiana, a compre-ensão das operações aritméticas tem origem nos esquemas de ação das crianças. Nunes et al. (2005) ressaltam que nessa perspectiva um esquema de ação é constituído por uma repre-sentação da ação, em que apenas os aspectos essenciais dessa ação aparecem. Tais esquemas permitem à criança resolver questões de adi-ção e subtração de maneira prática, à medida que a criança começa a compreender a adição e a subtração como representações das ações de juntar e retirar simultaneamente.

Na concepção do psicólogo e pesquisador francês Gérard Vergnaud, o conhecimento se organiza em Campos Conceituais que pode ser utilizado em qualquer área das ciências. Em Matemática, essa teoria engloba, entre outras, as noções de campo aditivo e campo multi-plicativo. Um campo conceitual é um conjun-to de problemas ou situações, cuja análise e cujo tratamento demandam vários tipos de conceitos, procedimentos e formas de repre-sentações simbólicas, os quais se encontram em estreita conexão uns com os outros. Para ele, cada indivíduo constrói esses campos con-ceituais gradativamente, ao longo do tempo; atribui também à criança e à atividade infantil sobre a realidade papel decisivo no processo educativo. Nesse sentido Vergnaud (2009, p. 15) afirma que

452

2 x 1 5 x 104 x 100

dos para ajudar os alunos a adquirirem a com-preensão do sistema de numeração. Entre eles, podemos citar: o ábaco, o sorobã (adaptado para o aluno com deficiência visual), a calcula-dora, o material dourado, quadro valor de lugar, fitas métricas, tabela numérica, entre outros.

ABACO SOROBA

MATERIAL DOURADO

quadro valor de lugarCENTENA DEZENA UNIDADE

IIII IIIII IIIIIIIII

Tabela numérica0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

30 31 32 33 34 35 36 37 38 39

40 41 42 43 44 45 46 47 48 49

50 51 52 53 54 55 56 57 58 59

60 61 62 63 64 65 66 67 68 69

70 71 72 73 74 75 76 77 78 79

80 81 82 83 84 85 86 87 88 89

90 91 92 93 94 95 96 97 98 99

capítulo 3 39

Os conhecimentos que essa criança adquire de-vem ser construídos por ela em relação direta com as operações que ela, criança, é capaz de fazer sobre a realidade, com as relações que é capaz de discernir, de compor e de transformar, com os conceitos que ela progressivamente constrói.

Esse conhecimento é formado a partir da ex-periência quotidiana na escola, na vida prática e na resolução de problemas cujo tratamento abrange conceitos, procedimentos e represen-tações, como veremos a seguir com a aplicação dos campos conceituais aditivo e multiplicativo no ensino da matemática, nos anos iniciais do ensino fundamental.

2.1 CAMPO ADITIVO

De acordo com a Teoria dos Campos Concei-tuais, as operações adição e subtração são da mesma natureza e podem ser usadas para resolver problemas que envolvem ganhar, perder, acrescentar, tirar e comparar. Essas são entendidas como operações comple-mentares na medida em que aprender adi-ção e subtração não se reduz a fazer contas de mais ou de menos.

Baseada na teoria de Vergnaud, Costa (2007) apresenta um novo jeito de fazer contas, a partir do trabalho de Lúcia Mesquita e Vir-gínia Villaça, professoras do Colégio Santa Cruz, em São Paulo. Para elas, ao lidar com o conceito de campo aditivo, o professor per-

PERSPECTIVA ANTERIOR

PERSPECTIVA DO CAMPO ADITIVO

ENUNCIADO A incógnita está sempre no fim do enunciado (5 + 5 = ?; 16 - 3 = ?)

A incógnita pode estar em qualquer parte do enunciado (? + 5 = 10; 16 -? =13)

PALAVRA-CHAVE Palavras como “ganhar” e “perder” dão certeza ao aluno da operação a ser usada

Não se estimula o uso. As crianças precisam analisar os dados do problema para decidir a melhor estratégia a ser utilizada.

COMO O ALUNO PENSA

Para chegar ao resultado, é preciso saber qual operação utilizar (soma ou subtração)

Com várias possibilidades de chegar ao valor final, o aluno tem mais autonomia, e o pensamento fica menos engessado.

RESOLUÇÃO Está diretamente ligada à operação proposta no enunciado

Está atrelada à análise das informações e à criação de procedimentos próprios.

INTERAÇÃO COM O ALUNO

Cabe ao professor validar ou não a resposta encontrada

O professor propõe discussões em grupo, e o aluno tem recursos para justificar seus procedimentos.

REGISTRO Conta armada O percurso do raciocínio é valorizado, seja ele feito com contas parciais, armadas ou não, desenho de pauzinhos ou outra estratégia.

Fonte: Lúcia Mesquita e Virgínia Villaça, professoras do Colégio Santa Cruz, em São Paulo, SP. In: Revista Nova Escola. Maio 2007.

ceberá que as diferenças de abordagem em relação à maneira tradicional não se restrin-gem ao enunciado, pois os caminhos que o aluno usa para resolver o desafio do enun-ciado são importantes e devem ser valoriza-dos na discussão em grupo.

capítulo 340

O campo conceitual aditivo abrange os con-ceitos de número, antecessor, sucessor, bem como as ações de ordenar, seriar, reunir, juntar, acrescentar, tirar, comparar, transformar. Os problemas característicos desse campo podem ser classificados como: transformação; combi-nação de medidas; comparação e comparação das medidas. Vejamos como Célia Maria Ca-rolino Pires apresenta os diferentes caminhos para a resolução de problemas.

ExEMPLO OBSERVAÇÃO VARIAÇÕES

Transformação positiva de um estado inicial

Marina tinha 20 figurinhas e ganhou 15 num jogo. quantas figurinhas ela tem agora?

ACRESCENTAR

•Marinatinhaalgumasfigurinhas,ganhou15numjogoe ficou com 35. quantas figurinhas ela tinha?

•Marina tinha 20 figurinhas. Ganhou algumas e ficoucom 35. quantas figurinhas ela ganhou?

Transformação negativa de um estado inicial

Pedro tinha 37 bolinhas, mas perdeu 12. quantas bolinhas ele tem agora?

TIRAR

•Pedrotinhaváriasbolinhas,perdeu12eagoratem25.quantas bolinhas ele tinha antes?

•Nasemanapassada,Pedrotinha37bolinhas.Hojetem25. O que aconteceu no decorrer da semana?

Combinação de medidas

Numa classe, há 15 meninos e 13 meninas. quantas crianças há ao todo?

JUNTAR

•Emumaclassede28alunos,háalgunsmeninose13meninas. quantos são os meninos?

•Emumaclassede28alunos,15sãomeninos.Quantassão as meninas?

Comparação

Paulo tem 13 carrinhos, e Car-los, 7 a mais que ele. quantos carrinhos tem Carlos?

COMPARAR

•Paulotem13carrinhos,eCarlos,20.Quantoscarrinhosa mais Paulo precisa para ter o mesmo que Carlos?

•Carlostem20carrinhos.Paulotem7amenosqueele.quantos carrinhos tem Paulo?

Composição de transformações

No início do jogo, Flávia tinha 42 pontos. Ela ganhou 10 pon-tos e, em seguida, mais 25. Ao final, o que aconteceu com seus pontos?

ACRESCENTAR/ACRESCENTAR

TIRAR/TIRAR

ACRESCENTAR/TIRAR

•No início do jogo, Flávia tinha42pontos. Ela perdeu10 pontos e, em seguida, perdeu mais 25. Ao final, o que aconteceu com seus pontos?

•Noiníciodojogo,Fláviatinha42pontos.Elaganhou10pontos e, em seguida, perdeu 25. Ao final, o que aconte-ceu com seus pontos?

Fonte: Célia Maria Carolino Pires, professora titular do Departamento de Matemática, coordenadora do curso de Licenciatura em Matemática e professora do Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação Matemática da PUC-SP. In: In: Revista Nova Escola. Maio, 2007.

Para Pires (2007), você pode usar a teoria do campo conceitual - da qual o campo aditivo faz parte - para melhor organizar as práticas em sala de aula: nos problemas apresentados, ob-serve se os significados envolvidos estão sendo explorados. Dessa forma, as crianças percebem que diferentes situações podem ser resolvidas pelo uso de uma mesma operação. Acompa-nhe, a seguir, alguns exemplos de problemas:

capítulo 3 41

Para promover o desenvolvimento conceitual dos alunos no campo do raciocínio aditivo, Nunes et al. (2005, p.67-68) apontam cinco princípios:

• Primeiro,osalunosaprendemmais,sees-tiverem engajados em resolver problemas e raciocinar do que se sua tarefa consistir em imitar soluções oferecidas pelo professor.

• Segundo,o raciocínioaditivobaseia-sena

coordenação de três esquemas de ação – juntar, separar e colocar em correspondên-cia – entre si.

• Terceiro,oraciocínioaditivoprecisaserco-

ordenado com o uso de pelo menos dois sistemas de sinais: o sistema de numeração e os sinais + e -, indispensáveis à resolução de problemas com calculadoras.

• Quarto,osprofessoresprecisamencontrar

maneiras de fazer com que os alunos regis-trem suas estratégias de resolução de pro-blemas para que elas possam ser discutidas, validadas e comparadas entre si.

• Finalmente,astarefaspropostasaosalunos

devem ser adequadas ao seu nível de domí-nio de outros aspectos da educação.

Você gostaria de mais informações sobre como trabalhar, de maneira prática, com o campo aditi-vo? Veja as atividades propostas na Revista Nova Escola. Acesse:

http://revistaescola.abril.com.br/matematica/pratica-pedagogica/atividades-campo-aditi-vo-428279.shtml

Acesse tambémMatemática é D+

http://www.youtube.com/watch?v=9Wf9nn--WqGw

Saiba Mais:2.2 CAMPO MUlTIPlICATIVO

De acordo com a teoria de Vergnaud, não se pode separar a adição da subtração nem a multiplicação da divisão. Isso porque não exis-te somente um caminho para solucionar os problemas. Nessa perspectiva, as estruturas multiplicativas representam o conjunto de si-tuações que envolvem a multiplicação e a divi-são de dois números como também envolvem a combinação dessas operações em diferentes níveis. As estruturas multiplicativas abrangem, entre outros, os conceitos de proporção, fra-ção, semelhança entre figuras geométricas, razão, números racionais, função linear como também o raciocínio combinatório. Para Verg-naud, a compreensão dos conceitos referentes à multiplicação e à divisão deve começar a ser construída desde os primeiros anos. Vejamos a seguir:

capítulo 342

capítulo 3 43

Para Nunes (2005), os princípios utilizados para promover o desenvolvimento do racio-cínio multiplicativo são usados na criação do programa para o desenvolvimento do raciocí-nio aditivo; (1) os alunos devem estar sempre engajados em resolver problemas e não ape-nas imitar soluções demonstradas pelo pro-fessor; (2) o desenvolvimento do raciocínio multiplicativo depende da coordenação entre os esquemas de ação que dão origem ao pen-samento multiplicativo; (3) o raciocínio mul-tiplicativo precisa ser coordenado com o uso de sinais usados para indicar multiplicação e divisão e outras representações matemáticas convencionais ligadas ao raciocínio multiplica-tivo, que são as tabelas e os gráficos; (4) os professores precisam encontrar maneiras de fazer com que os alunos registrem suas estra-tégias tanto para levá-los a explicitar seu ra-ciocínio como para facilitar a comunicação e o feedback; e (5) as tarefas propostas aos alunos devem ser adequadas a seu nível de domínio de outros aspectos da educação e, ao mesmo tempo, devem tornar a matemática um instru-mento de representação e análise dos outros conteúdos educacionais.

CONSIDERAÇÕES FINAISDe acordo com o exposto, podemos concluir que se faz necessário rever o ensino das opera-ções nos anos iniciais do ensino fundamental. Para tanto, ao trabalhar com os campos con-ceituais, é possível perceber que as diferenças de abordagem em relação à maneira tradicio-nal não se restringem ao enunciado, pois os caminhos que o aluno usa para resolver o de-safio do enunciado são importantes e devem ser valorizados na discussão em grupo. Isso certamente permitirá compreender as dificul-dades encontradas pela criança e as etapas vi-venciadas por ela no decorrer do processo en-sino e aprendizagem da matemática em todo o ensino fundamental.

REFERÊNCIASEVES, Howard. Introdução à história da ma-temática. Campinas, SP: Editora da UNICAMP, 2004.

NUNES, Terezinha, et al. Educação e Mate-mática: números e operações numéricas. São Paulo: Cortez, 2005.

TOLEDO, Mauro; TOLEDO, Marília. Teoria e Prática da Matemática: como dois e dois. São Paulo: FTD, 2010.

VERGNAUD, Gérard. A criança, a matemática e a realidade: problemas do ensino da mate-mática na escola elementar. Tradução Maria Lúcia Faria Moro; revisão técnica Maria Tereza Carneiro Soares. Curitiba: Ed. da UFPR, 2009.

REVISTA NOVA ESCOLA. Maio, jun. jul. 2007.

1. Com base nas “Atividades do campo multi-plicativo”, sugeridas no encarte especial de matemática, encontradas no link

http://revistaescola.abril.com.br/matematica/pratica-pedagogica/atividades-campo-multi-plicativo-428282.shtml

elabore uma atividade e utilize em sua sala de aula. Em seguida, apresente um relatório da sua experiência.

Atividades:

capítulo 4 45

INTRODUÇÃOEste texto proporciona uma reflexão sobre o ensino da geometria no contexto atual, apontando seus caminhos e descaminhos na prática pedagógica do professor, causados pela omissão de tão relevante área da matemática. Aborda o ensino de frações através de jogos recomendando aos professores a importância fundamental de oferecer aos alunos a oportunidade de uma aprendi-zagem através da manipulação de materiais concretos. Traz ainda uma breve abordagem sobre o ensino estatística como uma alternativa para a formação de um cidadão crítico capaz de tomar decisões e fazer previsões que terão influência não apenas na vida pessoal, como na vida de toda a comunidade.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS• Refletir sobre o ensino da geometria no

contexto atual.

• Reconhecer a importância do ensino defrações com a utilização do lúdico.

• Reconhecer a relação entre os conheci-mentos básicos da estatística e sua relação com a formação do cidadão crítico.

geoMetria. frações.

estatístiCa

Profa. Ms. Edna Cavalcanti Novaes GonçalvesProfa. Anna Karla Lopes Gonçalves Leite

Carga Horária | 15 horas

capítulo 446

1. O ENSINO DA GEOMETRIA NO CONTExTO ATUAlA preocupação com o resgate do ensino da Geometria, como uma das áreas fundamen-tais da Matemática, tem levado pesquisadores e professores a buscarem alternativas para a superação das dificuldades encontradas na abordagem desse tema na escola. Certamente, a maior dificuldade no ensino da Geometria é a omissão desse ensino. O despreparo e a in-segurança dos professores, quanto ao ensino da Geometria, são maiores nos anos iniciais do Ensino Fundamental, quando, tradicionalmen-te as atenções se voltam para a aprendizagem dos números e das operações.

Pesquisas em relação à formação de professo-res, principalmente os dos anos iniciais do En-sino Fundamental, têm mostrado que esses se encontram distantes das considerações quanto à Geometria, devido às experiências vividas no decorrer de sua escolarização. O Movimento da Matemática Moderna (décadas de 60 e 70) deixou marcas profundas no ensino da Geo-metria, conforme mostram as pesquisas sobre o ensino da matemática não só no Brasil como também em outros países.

Segundo Pavanello, (2002) os trabalhos publi-cados em diversos países ressaltam a impor-tância do acesso aos conceitos geométricos,

considerando que esses auxiliam o homem a entender o espaço e a realidade nos quais se encontra inserido. Assim, são citados O’Daffer (1980) e Wheler, que reafirmam a importân-cia do estudo da Geometria para uma melhor compreensão do mundo físico, porque a Geo-metria favorece a consciência do espaço pro-movendo a sua compreensão, possibilita o de-senvolvimento da intuição e o de habilidades necessárias à vida quotidiana, ao exercício de diferentes profissões e ao próprio domínio dos conceitos matemáticos.

Skemp (1993) apud Pavanello (2002, p. 173) considera a Geometria a chave inicial para o entendimento de outros ramos matemáticos, já que tudo o que tem lugar no espaço tem forma e essa forma é conhecida de maneira sensível; o estudo das formas geométricas deve ser ponto de partida do ensino da Geometria. Gálvez (1996) considera o ensino da Geome-tria na escola elementar como uma necessida-de e que pela ausência de um trabalho com noções geométricas nos anos iniciais, provoca uma ruptura na passagem da “geometria da observação”, aprendida pela criança mesmo antes de esta ir para escola, para a “geometria dedutiva”. Para Thom, (1971) apud Pavanello (2002, p.174) a Geometria proporciona a pas-sagem da linguagem natural para a linguagem matemática.

Apesar de toda a importância da Geometria para a construção do conhecimento, Pavanello (1993) tem denunciado o fato de a Geometria ser pouco, ou quase nunca, abordada em sala de aula. Isso vem ocorrendo tanto na educa-ção básica quanto na educação superior, in-clusive nos cursos destinados à formação dos professores que irão atuar nos níveis anteriores da escolarização. Ressalta ainda que, quando se faz um trabalho pedagógico qualquer com a Geometria, esse é baseado apenas na me-morização de nomenclaturas e fórmulas, não levando o aluno à construção de conceitos ou ao relacionamento dos conteúdos matemáti-cos entre si, ao das demais disciplinas, ou com a realidade do aluno. Pavanello (2002a, p. 183) acredita que:

a melhoria da atividade pedagógica com Geo-metria nas séries iniciais do Ensino Fundamental só será possível se o professor procurar melhorar não somente seus conhecimentos em relação a

capítulo 4 47

esse ramo de conhecimento matemático, mas sua própria prática profissional, procurando eles mesmos progredir de nível de compreensão para o seguinte termo de sua atuação docente.

Assim, no processo de resgate da Geometria devem ser criadas oportunidades que levem o professor a refletir, de modo a estabelecer uma relação entre o que ele “realmente ensina” e o que ele “realmente sabe” de Geometria. Dessa forma, será possível uma compreensão mais abrangente da abordagem dos conteúdos ge-ométricos, permitindo questionar além de sua prática, os seus conhecimentos, de modo a re-conhecer seus limites e suas possibilidades.

No que diz respeito à forma como os tópicos geométricos devem ser inseridos no conteúdo programático da Matemática, Miguel e Mio-rim (1986) defendem que os tópicos geomé-tricos devem ser organizados com os tópicos aritméticos porque eles, além de serem prévios para a compreensão de certos tópicos arit-méticos, também reforçam a possibilidade de melhor compreensão, por parte da criança, de um mesmo conceito ou problema que com-porta tanto um aspecto aritmético quanto um aspecto geométrico. Ao abordar o ensino da Geometria na escola fundamental Fonseca et al. (2002, p. 118) afirmam:

Olhar a Geometria para além de sua dimensão como conteúdo escolar é vê-la como experiên-cia dos homens desde a pré-história, processo e produto de suas necessidades materiais e de seu pensamento. Ao lado da Aritmética, freqüente-mente privilegiada na sala de aula da Educação Fundamental brasileira, a Geometria é uma das raízes da Matemática como campo científico, e, ao mesmo tempo, um conhecimento básico do patrimônio cultural de todos os grupos humanos.

Também destacam que, muitas vezes, quando o professor ignora as propostas curriculares oficiais e sua prática pedagógica não se identi-fica com os conteúdos e orientações metodo-lógicas de tais propostas, certamente é porque ele não teve oportunidade de analisá-las ou sequer conhecê-las. Na prática, o que ocorre é o fato de o professor, em geral, tomar como referência para suas aulas um único livro didá-tico, sem ter oportunidade de conhecer e ana-lisar a proposta do autor, suas concepções de Matemática e de ensino.

2. A GEOMETRIA SEGUNDO OS PARÂMETROS CURRICUlARES NACIONAISOs Parâmetros Curriculares Nacionais configu-ram uma proposta flexível a ser implementa-da pelo professor, como um referencial para orientar a sua prática pedagógica, devendo ele utilizá-la como um instrumento para o fazer e o refazer da sua prática. Segundo os PCN (BRASIL, 1997, p.23)

tanto as propostas curriculares como os inúme-ros trabalhos desenvolvidos por grupos de pes-quisa ligados a universidades e outras instituições brasileiras são ainda bastante desconhecidos por parte considerável dos professores que, por sua vez, não têm uma clara visão dos problemas que motivaram as reformas. O que se observa é que idéias ricas e inovadoras não chegam a eles, ou são incorporadas superficialmente ou recebem interpretações inadequadas, sem provocar mu-danças desejáveis.

Nos PCN, o conteúdo de Geometria é apre-sentado em dois blocos: no primeiro Espaço e Forma e no segundo Grandezas e Medidas, o que permite interligações entre os campos da Aritmética, da Álgebra e da Geometria.

No bloco Espaço e Forma, destaca a importân-cia dos conceitos geométricos no Currículo de Matemática do Ensino Fundamental, porque é

capítulo 448

através deles que a criança começa a desen-volver um tipo particular de raciocínio, desen-volve a compreensão do mundo em que vive, aprendendo a descrevê-lo, representá-lo e a se localizar nele. Além de ser um tema que cos-tuma interessar ao aluno, estimula a observa-ção, a percepção de diferenças e semelhanças, a identificação de regularidades e vice-versa, também é um campo fértil para se trabalhar com situações-problema, contribuindo para a aprendizagem de números e medidas. Ao mesmo tempo, permite ao aluno estabelecer conexões entre a Matemática e outras áreas do conhecimento, inserindo a exploração dos objetos do mundo físico, de obras de arte, pinturas, desenhos, esculturas e artesanato no contexto escolar.

O pensamento geométrico desenvolve-se ini-cialmente pela visualização. Sendo o homem um ser visual, o aprendizado da Geometria nos anos iniciais deve concentrar sua atenção na Geometria que se aprende observando, pen-sando e experimentando. Estudos sobre a construção do espaço pela criança destacam que a estruturação espacial se inicia muito cedo, tendo como referência seu próprio cor-po, através do contato com o seu espaço, dos seus movimentos, do seu deslocamento.

No trabalho com a Geometria, a criança apren-de a estabelecer semelhanças e diferenças en-tre as formas, percebe regularidades, aprende a conceituar padrões, a transferir conhecimen-

tos para a realidade. Também permite desen-volver a estimativa visual, a perceber compri-mentos, ângulos e outras propriedades.

Para o primeiro ciclo, os Parâmetros Curricu-lares Nacionais propõem atividades em que o aluno seja estimulado a progredir na capacida-de de estabelecer pontos de referência em seu entorno, para efeito de localização. Reconhe-cer a forma como um dos atributos dos obje-tos, observar a semelhança e diferença entre as formas tridimensionais e bidimensionais, figu-ras planas e não planas, a construção e repre-sentação de diferentes formas proporcionam a ampliação gradativa dos conceitos envolvidos.

O segundo ciclo, embora ainda centrado na realização de atividades exploratórias do espa-ço, traz o trabalho de localização mais apro-fundado, propiciando uma interação com ou-tras áreas do conhecimento como Geografia, Biologia, Astronomia, Educação Física e Artes. Deve ser incentivado o trabalho com represen-tações do espaço, produzindo-as e interpre-tando-as. No trabalho com as formas, deve ser estimulada a observação de características das figuras tridimensionais e bidimensionais, per-mitindo identificar propriedades e estabelecer algumas classificações.

O bloco Grandezas e Medidas tem destaque por sua forte relevância social e seu caráter prá-tico e utilitário. Embora se incluam nesse bloco conteúdos que extrapolam idéias propriamen-te geométricas, a abordagem de algumas no-ções de grandeza e medidas proporciona uma melhor compreensão de conceitos métricos relativos ao espaço e às formas. É importante destacar que, ao se trabalhar com números e operações, espaço e forma, grandezas de di-versas naturezas estarão envolvidas.

PARA SABER MAIS, ACESSE:

http://revistaescola.abril.com.br/matematica/pratica-pedagogica/direcao-dimensao-428166.shtml

Saiba Mais:

capítulo 4 49

É necessário ter como base que as crianças do primeiro ciclo, em suas experiências pessoais, usam procedimentos e constroem conceitos de medidas, identificando quais atributos de um objeto são passíveis de mensuração. Os PCNs (19997) deixam claro que esse ciclo não tem como objetivo a formalização do sistema de medida, e sim, espera-se que a criança pos-sa medir, utilizando procedimentos pessoais, unidades de medida não-convencionais ou convencionais, além de estratégias pessoais e instrumentos do seu cotidiano como balança, fitas métricas e recipientes, que são utilizados no seu contexto social. Outro aspecto a ser ob-servado é a capacidade de o aluno fazer esti-mativas de resultados de medições.

O trabalho desenvolvido no segundo ciclo deve permitir ao aluno compreender como se processa uma determinada medição e que aspectos do processo de medição são sempre válidos. Espera-se que o aluno possa fazer estimativas sobre medidas, escolhendo e uti-lizando unidades e instrumentos de medida mais usuais e que melhor se ajustem à nature-za da medição realizada, sabendo ler, interpre-tar e produzir registros, utilizando a notação convencional das medidas.

Os conteúdos são acompanhados de uma re-flexão sobre o ensino de Matemática e a ma-neira como as crianças constroem o conheci-mento matemático. O trabalho com medidas oportuniza a abordagem de aspectos históri-cos da construção desse conhecimento.

Segundo os PCN, deve-se proporcionar às crian-ças atividades de exploração do espaço físico em que estão inseridas, que possibilitem a represen-tação, interpretação e descrição desse espaço, como sugere a listagem dos conteúdos para o ensino fundamental. Através das habilidades su-geridas, pretende-se desenvolver habilidades que preparem os alunos para um estudo mais for-mal da Geometria futuramente. (FONSECA et al, 2002, p.27).

Portanto, o objetivo principal do ensino da Geometria, nos anos iniciais, é a percepção e organização do espaço em que se vive. Consi-derando que esse espaço sensível é tridimen-sional, a proposta é iniciar-se o estudo da Ge-ometria pela observação desse espaço e pelos modelos que o representam.

De acordo com os PCN, o ensino de Grandezas e Medidas se justifica pelas situações cotidia-nas vivenciadas pelo aluno, nas quais existem grandezas de naturezas diferentes e onde a necessidade de estabelecer comparações entre elas se faz freqüente. O objetivo desse ensino é a compreensão do que é medir, da necessi-dade de uma unidade padrão e do resultado dessas medidas. quanto às estratégias a serem desenvolvidas para se atingir tais objetivos, a recomendação é observar os aspectos históri-cos da construção desse conhecimento.

Inicialmente, o trabalho com a comparação de grandezas deve ter como referência as di-mensões do próprio corpo. Em seguida, intro-duz-se a necessidade de se fazer uso de uma unidade padrão, que será comparada com a grandeza a ser medida. A importância do es-tabelecimento da relação entre a medida de uma dada grandeza e um número é de fun-damental importância, pois é por meio dele que o aluno ampliará o domínio dos números naturais.

PARA SABER MAIS, ACESSE:

http://revistaescola.abril.com.br/matematica/fun-damentos/como-medir-tudo-ha-428115.shtml

Saiba Mais:

capítulo 450

Pretendendo estimular a busca coletiva de so-luções para o ensino na área de Matemática, os PCNs podem contribuir para amenizar as de-sigualdades regionais à medida que apontam caminhos para a construção de um referencial que oriente a prática escolar, podendo nortear a formação inicial e continuada do professor, a produção de livros e de materiais didáticos.

Diante do exposto, que tal algumas sugestões para trabalhar com a Geometria em sala de aula?

Sugestão 1. As formas geométricas no nosso cotidiano.

Ao trabalhar os elementos básicos da Geome-tria, o professor pode realizar uma atividade interdisciplinar envolvendo as formas geomé-tricas no nosso cotidiano, buscando identificar os conceitos básicos de Geometria e a sua re-lação com outras áreas do conhecimento (Ge-ografia, História, Artes, Cidadania, Meio Am-biente, etc.).

Utilizando fotos (postais) da sua cidade, for-me grupos, entregando a cada grupo um 2 fotos numeradas. Em seguida, solicite que os grupos identifiquem os seguintes conceitos de Geometria e das mais diversas áreas do conhe-cimento e faça uma bela exposição:

12

3

4

5 6 7

capítulo 4 51

Certamente os alunos conseguirão identificar os conceitos de: • Reta• Ponto• Plano• Ângulos• Triângulos• Retângulos• Cubo• Círculo• Simetria• Paralelepípedos• Pirâmides• Retasparalelas• Retasperpendiculares• Retasconcorrentes• Curvas E conteúdos de outras áreas de conhecimento como: • HistóriadaCidade• AniversáriodaCidade• PontosHistóricos• PreservaçãodoMeioAmbiente• MeiosdeTransportes• PreservaçãodoMeioAmbiente• Cidadania• Religião• Lazer• Zonaurbanaezonarural• RecursosNaturais• Folclore

A partir daí será mais fácil articular o ensino e a aprendizagem da Geometria a outras áreas de conhecimento, pois, além do professor identi-ficar e criar as diversas possibilidades de ensino e aprendizagem da Geometria em sala de aula, o aluno passará a perceber a Geometria como algo que faz parte do seu cotidiano. Segundo Gonçalves (2006, p. 37),

a Geometria é um campo fértil para se trabalhar com situações-problema porque estimula a ex-ploração do mundo físico por meio da observa-ção, da percepção de semelhanças e diferenças, regularidades e irregularidades, permitido com-preender, descrever e representar, de forma orga-nizada, o mundo em que vive, contribuindo para a aprendizagem de outros ramos da matemática.

Sugestão 2.Trabalhando com o Tangram

O Tangram é jogo milenar, originário da Chi-na, que está cada vez mais presente nos livros didáticos e nas aulas de Matemática. Suas formas geométricas permitem que os profes-sores vejam neste material a possibilidade de um trabalho interdisciplinar, proporcionando o desenvolvimento do raciocínio lógico, a capa-cidade de concentração, percepção visual, es-pacial e coordenação viso-motora. É um jogo que promove o desenvolvimento da lingua-gem matemática, estimula a reflexão, a cria-tividade e traz uma forma mais prazerosa de aprender por oferecer um envolvente desafio. Outro aspecto bastante positivo é a possibili-dade de promover a interação entre os alunos e entre eles e o professor.

O Tangram também contribui para desenvol-ver o raciocínio lógico e geométrico (habili-dades de visualização, percepção espacial e análise das figuras); e praticar as relações es-paciais e as estratégias de resolução de proble-mas. Pode ser utilizado como recurso didático bastante eficaz. A configuração geométrica de suas peças permite centenas de composições, tornando-o um criativo material pedagógico. O aluno que utiliza o Tangram tem a chance de perceber formas geométricas, de represen-tá-las, de construí-las, de nomear objetivos e criar formas a partir delas.

Após trabalhar os conceitos básicos de geo-metria o professor pode utilizar o Tangram no aprofundamento dos estudos realizados sobre a Geometria numa perspectiva interdisciplinar.

capítulo 452

Eis uma sugestão:

• ApresentaroTANGRAM

• ConfeccionardiversosTangrans.

• Usandoaspeçasmontarasfigurasentreassugeridas pela professora (xerox).

• Utilizaraspeçasnaproduçãodetextoilus-trado (poesia, parlenda, música, carta enig-mática, etc.) individual e/ou coletivo.

• Realizarumaexposição.

• ContarahistóriadoTangram.

• ApresentaroTangramcomoumjogochi-nês composto por 7 peças (2 triângulos grandes, 1 triângulo médio, 2 triângulos pequenos, 1 quadrado, 1 paralelogramo) que nascem de um quadrado. Esclarecer que a regra consiste em formar figuras co-locando-as lado a lado sem sobreposição.

• MontarumquadradocomTangram (con-feccionados previamente pela professora em emborrachado EVA).

• ConstruiroTangramnumafolhadepapelofício, recortar e classificar de acordo com cada forma.

• Construir individualmente o Tangram, emcartolina colorida, dando destaque para al-gumas propriedades das figuras como, por exemplo: que todos os lados do quadrado têm a mesma medida; que os quadrados e paralelogramos possuem 4 ângulos e 4 lados; que os triângulos possuem 3 ângulos e 3 lados; que os dois triângulos pequenos formam um quadrado; que embora os tri-ângulos sejam de tamanhos diferentes, to-dos têm a mesma forma, etc.

capítulo 4 53

3. FRAÇÕES

O trabalho com os números racionais tem como objetivo levar os alunos a perceberem que os números naturais, já conhecidos, são insuficientes para resolver determinados pro-blemas. Ao explorar situações em que usan-do apenas números naturais, muitas vezes os alunos não conseguem exprimir a medida de uma grandeza ou o resultado de uma divisão, é nesse momento que eles identificam nos nú-meros racionais a possibilidade de resposta a novos problemas.

Os Parâmetros Curriculares Nacionais (1997) ressaltam que ao raciocinar sobre os números racionais como se fossem naturais, os alunos acabam tendo que enfrentar alguns desafios, entre eles: a representação do número racio-nal, que pode ser feita por diferentes (e infini-tas) escritas fracionárias como, por exemplo: 1/3, 2/6 e 3/9 que são diferentes representa-ções de um mesmo número.

O MENINO E SEU CACHORRO

Em uma bonita morava um , com seu

, este menino era muito feliz e gostava muito

de brincar e jogar futebol , mas certo dia seu

cachorro desapareceu e o menino ficou muito

triste . Fez vários desenhos de seu cachorro

e distribuiu a todos os conhecidos , alguém

lhe disse que tinha visto um cachorro perto

do rio. O correu até lá e quando o viu o

seu dono, correu até ele. Então, os dois ficaram

muito felizes e decidiram fazer um belo passeio

de .

(Texto ilustrado)

http://educar.sc.usp.br/licenciatu-ra/2003/hm/page03.htm

Há milhares de anos os egípcios já utilizavam frações para realizar as marcações das terras. Após cada inundação do rio Nilo os proprietários das terras tinham que marcá-las. Sempre que as águas baixavam utilizavam uma marcação com cordas que já tinham uma unidade de medida. Assim, as cordas eram esticadas para verificar quantas vezes aquela unidade de medida estava contida nos lados do terreno. Como dificilmente a medida estava de acordo com terreno, foi sentida a necessidade da criação de um novo tipo de número, o número fracionário.

O número fracionário passou a ser escrito como uma razão de dois números naturais. A palavra razão em ma-temática significa rateio, divisão. Portanto, os números inteiros e os números fracionários podem ser expressos como uma razão de dois números naturais. Por isso, são chamados de números racionais. A descoberta de números racionais foi um grande passo para o desenvolvimento da Matemática.

Saiba Mais:

capítulo 454

Para lermos uma fração, primeiro lemos o nu-merador, depois o denominador, da seguinte forma:

a. Denominadores 2 e 3 são lidos como meio e terços;

b. Denominadores entre 4 e 9 são lidos como números ordinais;

c. Denominadores 10, 100, 1000 são lidos como décimos, centésimos, milésimos;

d. Denominadores acima de 10 (excluído os do item c) são lidos acrescentando-se a pa-lavra “avos” no final.

JOGOS COM FRAÇÕES

Amarelos

Brancos

Pretos

Azul

ATENÇÃO:Confeccione 3 peças amarelas para cada gru-po. Isso irá facilitar a compreensão das frações impróprias e a transformação de frações.

Distribuir para cada grupo um jogo de frações, confeccionado em material emborrachado (EVA), conforme as cores acima indicadas. E, vamos ao jogo!

REPRESENTAÇÃO DE FRAÇÕES

Vamos formar UNIDADES (inteiros) com as peças brancas, com as peças pretas e com as azuis?

a. quantas peças você usou para formar o cír-culo branco?

b. Para formar a unidade com as pretas, são necessárias quantas peças?

c. E para formar a unidade com as azuis?

Observando a unidade formada por MEIOS e a unidade formada por qUARTOS, responda:

a. Em qual das unidades você usou mais peças?

b. qual a peça maior, 1/2 ou 1/4?

c. qual a maior quantidade, 1/2 ou 1/4?

Fração é todo par de números naturais na forma a/b, onde: o denominador “b” indica em quantas partes iguais o inteiro foi divido e o numerador “a” indica a quantidade utilizada dessas partes. Como não existe divisão por zero, não existe fra-ção com denominador igual a zero.

Saiba Mais:

capítulo 4 55

Agora, observando a unidade formada por qUARTOS e a unidade formada por OITAVOS, responda:

a. Em qual das unidades você usou mais peças?

b. qual a maior peça, 1/4 ou 1/8?

c. qual a menor quantidade, 1/4 ou 1/8?

Faça um círculo em torno da fração que repre-senta uma maior quantidade:

a) 1/2 ou 1/8? b) 1/6 ou 1/4? c) 1/4 ou 1/8?d) 3/4 ou 1/4?e) 2/8 ou 6/8?

Da unidade formada com qUARTOS retire a fração 1/4. que fração da unidade ainda ficou?

Da unidade formada por OITAVOS retire duas peças de 1/8, ou seja, 2/8. que fração restou?

FRAÇÕES EQUIVAlENTES

Recobrir a fração 1/2 com qUARTOS. Obser-vando esse recobrimento, o que você pode concluir?

Recobrir a fração 1/2 com OITAVOS. O que você conclui disto?

Recobrir a fração 1 (unidade) com MEIOS. O que você conclui?

Determine FRAÇÕES EqUIVALENTES, nas con-dições abaixo:

a) 3/4 = /8.b) 1/4 = /8c) 2/ = 4/4d) 1/ = 4/8

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES

Efetue, com o auxílio das peças:

a) 1/2 + 1/4 =b) 3/4 + 2/8 =c) 1/2 + 1/2 =

d) 1 – 1/8 =e) 1 – 1/4 =f) 8/8 – 4/8 =

FRAÇÕES IMPRÓPRIAS

Ainda com o auxílio das peças, efetue as operações:

a) 1/2 + 1/2 + 1/2 =b) 1/4 +1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 =c) 6/8 + 1/2 =

TRANSFORMAÇÃO DE FRAÇÕES

Usando o material, escreva na forma a/b:

a) 1 ¾ =b) 1 ½ =c) 2 ½ =

Usando o material, escreva na forma mista:

a) 5/4 =b) 9/2 =c) 11/8 =

(Adaptado do texto: Uma Experiência com Ensino de Frações. Coleção Pro-

fessor Carlos Maciel – SEE. – 1992)

Para evitar o uso excessivo de regras Toledo; Toledo (1997) recomendam aos professores que é fundamental oferecer aos alunos a opor-tunidade de manipular materiais variados, que permitam a construção dos conceitos através da experimentação, da verificação de hipóte-ses levantadas diante de situações-problema convenientemente apresentadas.

capítulo 456

4. ESTATÍSTICA (TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO) As profundas modificações do mundo do tra-balho e do setor produtivo, decorrentes da globalização, têm acarretado impactos e no-vos desafios para a área educacional, reforçan-do as demandas sociais por uma educação de qualidade que atenda a esse novo paradigma tecnológico. Hoje, o conhecimento é produzi-do e transmitido de forma rápida e dinâmica num curto espaço de tempo, fazendo com que esse conhecimento se torne obsoleto. É preci-so, portanto, um ensino da matemática que possibilite ao aluno compreender as informa-ções veiculadas pelos meios de comunicação, para que assim este tomar decisões e fazer pre-visões que terão influência não apenas na vida pessoal, como na vida de toda a comunidade.

Segundo os PCN (BRASIL, 1997, p.84) “estar alfabetizado, neste final de século, supõe saber ler e interpretar dados apresentados de manei-ra organizada e construir representações, para formular e resolver problemas que impliquem o recolhimento de dados e a análise de infor-mações”. Isso implica na necessidade de a es-cola inserir, desde os primeiros anos do ensino fundamental os elementos da estatística, da combinatória e da probabilidade. Pois, além do compromisso de ensinar o domínio dos números, a escola deve trabalhar com os seus alunos, a organização de dados, a leitura de gráficos e análises estatísticas, conteúdos esses indispensáveis ao cidadão nos dias de hoje e em tempos futuros.

A matemática constitui-se num instrumento efe-tivo para interpretar a realidade principalmente por meio de adequadas modificações na progra-mação dos conteúdos. Introduzir novos temas (como estatística), diminuir a ênfase nos proces-sos mecânicos (algoritmos, cálculos em geral), ampliar a presença de problemas da realidade e de jogos, tudo isso traz a matemática para mais perto do universo do aluno e permite que ele per-ceba a importância social da disciplina. (LELLIS, IMENES, 1994, p. 4)

Nos primeiros anos do ensino fundamental as atividades devem estar relacionadas a assuntos de interesse das crianças. Como por exemplo, as datas de aniversário, os bairros que os alu-nos residem, times de futebol de sua prefe-rência, programas de televisão mais assistidos, jogos preferidos, o consumo de energia, etc.

Inicialmente o professor pode propor a organi-zação de uma lista com as informações sobre o assunto. Em seguida estabelece um critério para organizar essa lista: meninos e meninas, ordem alfabética, ordem crescente ou de-crescente, etc. quando a lista estiver pronta, as crianças a analisam e avaliam se as infor-mações podem ser encontradas facilmente. O professor pode então propor a elaboração de outra maneira de comunicar os aniversariantes de cada mês, orientando-as, por exemplo, a construir um gráfico. É importante verificar se os alunos conseguem fazer a leitura das infor-mações contidas nos gráficos por eles constru-ídos. Por fim, o professor deve solicitar que os alunos dêem sua interpretação sobre gráficos e propor que elaborem perguntas que possam ser respondidas a partir deles.

O gráfico é um recurso muito utilizado para representar a realidade. Sua utilização na sala de aula é de grande importância porque dá ao aluno a oportunidade de criar símbolos e legendas, bem como comparar e analisar os dados numéricos apresentados visualmente de forma atrativa. Os primeiros gráficos devem ser elaborados a partir da realidade imedia-ta do aluno e os dados representados devem envolver a família, os amigos, a comunidade, as brincadeiras, etc. Além de desenvolver no aluno a capacidade de organizar e represen-tar uma coleção de dados é necessário que o professor leve-o a interpretar e comparar es-ses dados para em seguida tirar as conclusões. Para isso, é preciso analisar e relacionar critica-

capítulo 4 57

mente os dados apresentados, questionando e avaliando até mesmo se estes são fidedignos.

O professor pode sugerir que os alunos tra-gam diversos tipos de gráficos (revistas, livros didáticos, jornais, etc.). Na sala de aula po-derá solicitar que os alunos classifiquem os gráficos, façam a leitura dos mesmos e teçam seus comentários.

Trabalhando dessa forma, o professor certa-mente estará contribuindo para a formação da cidadania, porque boa parte das informações relativas às questões sociais e econômicas atu-ais, são veiculadas nos meios de comunicação por meio de linguagem matemática (taxas per-centuais, índices, tabelas, gráficos, e verdades estatísticas). Vejamos a seguir o que dizem Imenes e Lellis (1994, p.10) a esse respeito:

CONDIÇÕES PARA A CIDADANIA

Se o exercício da cidadania é raro, torna-se natural perguntar quais as condições para que ele seja efetivado mais vezes.

A resposta também surge naturalmente. Primeiro, necessita-se de informação. A falta de informação impossibilita escolha ou decisão. (Vê-se que não é por acaso que se considera a cidadania plena inseparável da liberdade de imprensa, uma vez que esta é a fonte básica de informação do mundo de hoje). Em segundo lugar, necessita-se de educação. O motivo é que toda informação precisa ser interpretada. Para isso, um certo nível de educação torna--se essencial. (Outra vez, não por acaso, nota-se que o fortalecimento da democracia em cada país sempre acompanhou a instalação e ampliação de um sistema escolar público).

Informação e educação constituem, portanto, condições necessárias para o exercício da cidadania. Mas não são o bastante.

Em relação à informação, basta lembrarmo-nos das várias possibilidades de distorcê-la. quando à educação, devemos considerar sua outra face que, em vez de preparar o exercício da cidadania, procura, ao contrário, anulá-lo. Por exemplo, a já citada intervenção militar nos EUA no Vietnã atendia muito mais aos interesses dos fabricantes de armas do que o dos cidadãos em geral. No entanto, no início, ela não suscitou oposição, em parte, porque a síntese escolar sempre promoveu o patriotismo.

Em conseqüência, para o exercício da cidadania precisamos acrescentar pelo menos mais uma condição: a autonomia, a capacidade das pessoas pensarem com a própria cabeça, de tomar decisões de acordo com seus próprios interesses, de não serem enganados pelas diversas formas de propaganda.

IMENES e LELLIS. O Ensino de Matemática e a Formação do Cidadão. 1994

capítulo 458

4.1 CONCEITOS BáSICOS DA ESTATÍSTICA

Estatística - de origem latina, significou du-rante muito tempo “ciência dos negócios do Estado”. A Estatística trabalha com métodos científicos para coleta, organização, resumo e apresentação de dados e também para tirar conclusões e tomar decisões. Segundo Naza-reth (1987, p. 6) “A Estatística é uma ciência baseada na teoria das probabilidades, cujo principal objetivo é nos auxiliar a tirar conclu-sões, em situações de incerteza, a partir de in-formações numéricas de uma amostra”.

População ou Universo - é um conjunto tomado com referência na observação de um fenômeno.

Amostra - é o subconjunto de uma população ou universo.

Ex.: Estudar a procedência dos candidatos a uma determinada universidade.População: Conjunto de todos os alunos can-didatos à referida universidade. Amostra: Conjunto dos candidatos que serão entrevistados.

Os dados estatísticos são representados por ta-belas ou gráficos.

Tabela - é a disposição escrita que se obtém referindo uma coleção de dados numéricos a uma determinada ordem de classificação.

Ex.: Tabela 1

Veja como utilizamos a amostragem no nosso co-tidiano: Você vai comprar um tecido e gostaria de ter a certeza se ele não encolhe ou desbota. O que você faz? Pede uma amostra para verifi-car. Agora você tem a amostra (pequena parte do todo) e população ou universo (todo) que é a peça de tecido.

Saiba Mais:

DESEMPENHO CURRICULAR DOS ALUNOS NO SAEPE (% DE ACERTOS NAS PROVAS) - 4ª SÉRIE – ENSINO

FUNDAMENTAL - PERNAMBUCO – 2000LOCALIDADE/DISCIPLINAS CIÊNCIAS PORTUGUÊS MATEMÁTICA

Estadual 43,9 % 39,6 % 38,8 %

Regional (Sertão do Médio São Francisco)

41,4 % 37,9 % 36,9 %

Petrolina 40,2% 37,2% 36,7 %

Fonte: Relatório SAEPE – 2000

Gráficos - tem a função de facilitar a compre-ensão e a comparação de fatos que seriam mais difíceis de analisar se examinássemos apenas os números. Em relação às tabelas, os gráficos apresentam a vantagem de ter efeito visual imediato, porque produzem a impres-são mais real, mais viva. Os gráficos podem ser classificados em lineares (de linha ou de curva) e os diagramas de área (colunas, barras, seto-res ou pizza, entre outros).

Ex.: Gráfico 1

Fonte: Questionários aplicados a 22 professores

PARA CONHECER MAIS SOBRE TABELAS E TIPOS DE GRÁFICOS, ACESSE:

h t t p : / / w w w. m a t h e m a . c o m . b r / d e f a u l t .asp?url=http://www.mathema.com.br/e_medio/mateleit/graficos.html

Saiba Mais:

capítulo 4 59

CONSIDERAÇÕES FINAISApesar de a Educação Matemática ter evoluído bastante nestas duas últimas décadas, como campo de ação, estudos e pesquisas, ainda apresenta lacunas que precisam ser preenchi-das. Certamente, uma das lacunas a serem pre-enchidas é com relação ao ensino da Geome-tria nos anos iniciais do Ensino Fundamental. A omissão da Geometria, causada na maioria da vezes, pelo despreparo e a insegurança dos professores, contribui para que as atenções se voltem para o ensino e a aprendizagem dos números e das operações, negando ao aluno a oportunidade de desenvolver um tipo especial de pensamento que lhe permite compreender, descrever e representar, de forma organizada, o mundo em que vive. Por outro lado, o pouco uso das frações no cotidiano e o fato de dia-riamente não serem oferecidas oportunidades para que as crianças se familiarizem com essa idéia, também contribuem para que as frações sejam pouco trabalhadas nos anos iniciais. Um olhar mais atento para nossa sociedade mostra a necessidade de acrescentar a esses conteú-dos a Estatística. Os conhecimentos estatísti-cos permitem ao cidadão “tratar” as informa-ções que recebe cotidianamente, contribuindo para a formação de um mundo mais justo e mais humano.

VEJA TAMBÉM:

http://revistaescola.abril.com.br/matemati-ca/pratica-pedagogica/tratamento-informa-cao-480244.shtml

http://revistaescola.abril.com.br/matematica/pratica-pedagogica/alfabetizacao-estatisti-ca-427480.shtml

Saiba Mais:

REFERÊNCIASBRASIL. Ministério da Educação e do Desporto. Secretaria de Educação Fundamental. Parâme-tros Curriculares Nacionais – Matemática, v.3. Brasília: MEC/SEF, 1997.

FONSECA, Maria da Conceição F. R., et al. O ensino da geometria na escola fundamental – três questões para a formação do professor dos ciclos iniciais. 2. ed. Belo Horizonte: Au-têntica, 2002.

GÁLVEZ, Grecia. A geometria, a psicogênese das noções espaciais e o ensino da geometria na escola primária. In. PARRA, Cecilia.; SAIZ, Irma. Didática da Matemática: reflexões psi-copedagógicas. Porto Alegre: Artes Médicas, 1996.

GONÇALVES, Edna Cavalcanti Novaes. A geo-metria nas séries iniciais do ensino fundamen-tal. Educação Matemática em Revista. SBEM. Sociedade Brasileira de Educação Matemática. Ano 13, nº 20/21, 2006.

IMENES, L. M. P. e LELLIS, M. - O Ensino de Ma-temática e a Formação do Cidadão. Temas e Debates. Sociedade Brasileira de Educação Ma-temática. Blumenau, Ano VII, n. 5. Out. 1994.

MIGUEL, Antonio; MIORIM, Maria Ângela. En-sino da matemática no primeiro grau. São Pau-lo: Atual, 1986.

NAZARETH, Helenalda R.de Souza. Curso Bási-co de Estatística. 2.ed. São Paulo: Ática, 1987.

capítulo 460

PAVANELLO, Regina Maria. O abandono do ensino da geometria no Brasil: causas e conse-qüências”. Zetetiké, Ano I, n.1, 1996, p.7 – 17.

______. Geometria: atuação de professores e aprendizagem nas séries iniciais. In: I Simpósio de Psicologia da Educação Matemática 2001, UFParaná, ANAIS. Curitiba: 2002.

PERNAMBUCO. Secretaria de Educação Cultu-ra e Esportes. Subsídios para organização da prática pedagógica nas escolas. Matemática. Coleção Carlos Maciel. Recife: SECE, 1992.

TOLEDO Marília; TOLEDO, Mauro. Didática da matemática: como dois e dois: a construção da matemática. São Paulo: FTD, 1997. (Conte-údo e Metodologia).