A concepção geométrica de Mannheim nos escritos de Poncelet

Jansley Alves Chaves

chavesrizo@gmail.com

UFRJ - Brasil

Gérard Emile Grimberg

gerard.emile@terra.com.br

UFRJ-PEMAT – Brasil

Introdução

No início da década de 60 do séc. XIX, Jean-Victor Poncelet, um matemático já

octogenário, debruça-se sobre um grande trabalho, escrever à posteridade toda sua obra.

Nesta laboriosa tarefa contou com a colaboração de dois ex-alunos da École

Polytechnique (EP): MM Moutard e Mannheim. Neste capítulo nos interessa abordar a

contribuição de Mannheim.

O primeiro trabalho de Mannheim é sobre a teoria da reciprocidade polar, escrito em

1851, nele dava uma primeira ideia das transformações das relações métricas. Em 1857,

Mannheim apresenta um trabalho sobre transformações das propriedades métricas das

figuras utilizando a teoria da reciprocidade polar. Assim define a métrica utilizando a

reciprocidade polar: sejam 𝑎 e 𝑏 as polares de dois pontos 𝐴 e 𝐵 e se pelo centro 𝑂 do

círculo diretor, traçarmos a reta 𝑂𝑀 que passa pelo ponto de intersecção 𝑀 das polares

𝑎 e 𝑏, e em seguida traçarmos uma reta qualquer por 𝐴 e outra paralela a esta por 𝐵. Ao

traçarmos uma perpendicular a estas duas retas passando por 𝑂 ela irá intersectar as

polares de 𝐴 e 𝐵 nos pontos 𝐶 e 𝐷 ,respectivamente, que são os polos das duas retas que

construímos passando por 𝐴 e 𝐵. A reta 𝑂𝐶 (𝑂𝐷) determinará os inversos de 𝐶 e 𝐷,

respectivamente, 𝐶1 e 𝐷1. Assim teremos que,

𝐴𝐵 = (1

𝑂𝐶−

1

𝑂𝐷).

1

𝑠𝑒𝑛 �̂�

Mannheim foi aluno na École Polytechnique no período em que Poncelet foi diretor e a

Reciprocidade polar é uma teoria apresentada inicialmente por Poncelet em sua obra de

1822, Traité des propriétés projectives des figures, desta forma não nos parece

coincidência que Mannheim tenha sido o principal colaborador, junto de M. Moutard, na

elaboração da coletânea das obras de Poncelet, 1862, 1864, 1865 e 1866, publicadas ao

final de sua vida. Na obra de 1862, Applications d’Analyse et Géométrie, Mannheim

escreve uma nota sobre os polígonos inscritos e circunscritos às curvas e observações

concernentes ao traçado das tangentes. Nesta nota consta que um polígono é susceptível

de variar de forma contínua, podendo ocupar condições muito diversas. Mannheim

definirá geometricamente a lei de deformação de um polígono supondo conhecido as

diferentes curvas que tocam seus vértices. Supõe todas as curvas contínuas e ligadas entre

elas de modo que determinando uma conhece-se todas as outras. Admite um movimento

infinitesimal dos lados do polígono e se um ponto for desconhecido exigirá apenas uma

construção linear para determiná-lo.

É interessante ver o jovem Mannheim acrescentar à obra de Poncelet algumas notas e

observações, sobretudo por apresentar uma métrica o que contraria completamente as

ideias de Poncelet, um geômetra sintético. Aliás, o próprio Poncelet diz que as adições de

M. Mannheim são feitas sem nenhuma participação do autor e sem nenhuma intervenção

em suas correções (Poncelet, 1862, 551, nota).

1. Transformações Geométricas: Polo ↔ Polar

Inicialmente vamos considerar uma circunferência de círculo 𝛼 com centro 𝑂 e um ponto

𝑃 exterior e coplanar à 𝛼. Por 𝑃 tracemos uma reta 𝑡 secante à 𝛼 nos pontos 𝐶 e 𝐷. Nestes

pontos tracemos as tangentes à 𝛼, que se intersectarão no ponto 𝑇. O lugar geométrico

dos pontos 𝑇′𝑠, quando a secante 𝑡 gira sobre o ponto 𝑃, é uma reta 𝑝 perpendicular à reta

𝑂𝑃. Desta forma, o ponto 𝑃 é denominado de polo e a reta 𝑝 é sua polar.

Figura 1- relação entre Polo e Polar

Quando o ponto 𝑃 é exterior à circunferência de círculo, sua polar se confunde com a

corda de contato das tangentes traçadas por 𝑃. Assim:

Figura 2 – corda de contato é a reta polar

Os polos de todas as retas que passam por um ponto incidem na polar deste ponto.

(mannheim,1857, introdução). A recíproca deste teorema é verdadeira, e anuncia-se: As

polares de todos os pontos de uma reta passam pelo polo desta reta. (mannheim,1857,

introdução).

Estes dois teoremas acima enunciados são a base da Teoria dos polos e polares.

Figura 3 – Transformação geométrica

Quando temos um quadrângulo completo 𝐴𝐵𝐶𝐷, circunscrito por uma circunferência de

círculo 𝛼, as intersecções dos prolongamentos dos seus lados determinam os polos cujas

retas polares são definidas pelos outros dois polos. Assim, os três polos determinam o

triângulo polar. As duas figuras, o quadrângulo completo e o triângulo polar, são ditas

polares recíprocas. Esta expressão foi introduzida por Poncelet, autor da Teoria das

polares recíprocas.

Figura 4 – figuras polares recíprocas

Pode-se dizer que as duas figuras são transformadas uma da outra em relação à

circunferência de círculos 𝛼. Esta circunferência de círculo é denominada de círculo

diretor ou curva diretriz, que pode ser uma cônica qualquer (mannheim, 1857, introdução,

vi, Nota).

2. Transformações das propriedades métricas das figuras

Podemos compartimentar as propriedades das figuras em duas classes: As propriedades

descritivas e as propriedades métricas. Nas propriedades descritivas ou de situação

considera-se apenas as posições das retas, independente das grandezas. Um exemplo

suficiente para compreender a natureza desta propriedade é:

Dois triângulos quaisquer são dispostos no plano tal que seus vértices

se apoiam dois a dois sobre três retas que convergem em um mesmo

ponto, os lados homólogos irão concorrer sobre uma mesma reta, ou

seja, os três pontos de concorrência dos lados homólogos são colineares

(Poncelet, 1862, p.168).

Figura 5 - Homologia

Nas propriedades métricas consideramos as grandezas. As propriedades relativas aos

ângulos são denominadas propriedades angulares. Podemos determinar, facilmente, a

relação métrica de área de duas figuras, mas podemos determinar as propriedades

angulares pela simples transformação da teoria das polares recíprocas em virtude do

seguinte teorema:

O ângulo de duas retas 𝑟 e 𝑡 é igual ao ângulo das retas que passam pelo centro do círculo

diretor e os polos 𝑅 e 𝑇 das retas 𝑟 e 𝑡.

Figura 6 -ângulos entre as polares e o polo e o centro

Assim, consideremos a afirmação de que em um triângulo a soma dos ângulos internos é

equivalente a dois retos. Logo, no triângulo 𝑒𝑑𝑓, esta propriedade se exprime pela relação

métrica dos ângulos

�̂� + �̂� + 𝑓 = 1800

Desta relação retiramos a relação

𝑠𝑒𝑛 �̂� = 𝑠𝑒𝑛 (�̂� + 𝑓)

Desenvolvendo tal expressão teremos,

𝑠𝑒𝑛 �̂� = 𝑠𝑒𝑛 �̂� 𝑐𝑜𝑠 𝑓 + 𝑠𝑒𝑛 𝑓 𝑐𝑜𝑠 �̂�

Elevando ao quadrado,

[𝑠𝑒𝑛 �̂� = 𝑠𝑒𝑛 𝑑 cos 𝑓 + 𝑠𝑒𝑛 𝑓 cos 𝑑]2

𝑠𝑒𝑛2�̂� = 𝑠𝑒𝑛2�̂� 𝑐𝑜𝑠2𝑓 + 2 𝑠𝑒𝑛�̂� 𝑐𝑜𝑠𝑓 𝑠𝑒𝑛𝑓 𝑐𝑜𝑠�̂� + 𝑠𝑒𝑛2𝑓 𝑐𝑜𝑠2�̂�

Substituindo 𝑐𝑜𝑠2𝑑 ̂𝑝𝑜𝑟 1 − 𝑠𝑒𝑛2𝑑 ̂𝑒 𝑐𝑜𝑠2𝑓 ̂𝑝𝑜𝑟 1 − 𝑠𝑒𝑛2𝑓 ̂, teremos

𝑠𝑒𝑛2�̂� = 𝑠𝑒𝑛2�̂� (1 − 𝑠𝑒𝑛2𝑓) + 2 𝑠𝑒𝑛�̂� 𝑐𝑜𝑠𝑓 𝑠𝑒𝑛𝑓 𝑐𝑜𝑠�̂� + 𝑠𝑒𝑛2𝑓 (1 − 𝑠𝑒𝑛2�̂�)

𝑠𝑒𝑛2�̂� = 𝑠𝑒𝑛2�̂� − 𝑠𝑒𝑛2�̂�𝑠𝑒𝑛2𝑓 + 2 𝑠𝑒𝑛�̂� 𝑐𝑜𝑠𝑓 𝑠𝑒𝑛𝑓 𝑐𝑜𝑠�̂� + 𝑠𝑒𝑛2𝑓 − 𝑠𝑒𝑛2𝑓𝑠𝑒𝑛2�̂�

𝑠𝑒𝑛2�̂� = 𝑠𝑒𝑛2�̂� + 𝑠𝑒𝑛2𝑓 + 2 𝑠𝑒𝑛�̂� 𝑠𝑒𝑛𝑓 (𝑐𝑜𝑠𝑓𝑐𝑜𝑠�̂� − 𝑠𝑒𝑛�̂� 𝑠𝑒𝑛𝑓)

𝑠𝑒𝑛2�̂� = 𝑠𝑒𝑛2�̂� + 𝑠𝑒𝑛2𝑓 − 2 𝑠𝑒𝑛 �̂� 𝑠𝑒𝑛𝑓 𝑐𝑜𝑠𝑓

Assim, transformamos a relação métrica de ângulos em relação trigonométrica. Podendo

escrever,

1 =𝑠𝑒𝑛2�̂�

𝑠𝑒𝑛2�̂�+

𝑠𝑒𝑛2𝑓

𝑠𝑒𝑛2�̂�− 2

𝑠𝑒𝑛 �̂�

𝑠𝑒𝑛�̂� 𝑐𝑜𝑠𝑓

𝑠𝑒𝑛�̂� 𝑐𝑜𝑠𝑓

E podemos escrever,

𝑑𝑓2 = 𝑒𝑑2 + 𝑒𝑓2 − 2 𝑒𝑑 𝑒𝑓 𝑐𝑜𝑠𝑓

Desta forma, transformamos as relações métricas de ângulos em relações de distância.

Retomemos a relação trigonométrica

𝑠𝑒𝑛 �̂� = 𝑠𝑒𝑛 𝑑 cos 𝑓 + 𝑠𝑒𝑛 𝑓 cos 𝑑

Baixemos do vértice 𝑒 a perpendicular 𝑒ℎ sobre𝑓𝑑; esta relação pode ser escrita

𝑠𝑒𝑛 �̂� =𝑒ℎ

𝑒𝑑𝑠𝑒𝑛 (90 − �̂�) +

𝑒ℎ

𝑒𝑓𝑠𝑒𝑛 (90 − 𝑓)

De onde temos a identidade

área 𝑑𝑒𝑓 = área 𝑑𝑒ℎ + área ℎ𝑒𝑓

Obtemos uma relação métrica de área.

Podemos, por analogia, realizar as transformações de áreas e volumes. No momento,

pensamos que o exemplo acima é suficiente para fazer compreender os diferentes tipos

de relações métricas e suas transformações umas nas outras.

3. Transformações das propriedades métricas das figuras com reciprocidade

polar

Ocupemos agora da transformação das propriedades das figuras com a ajuda da teoria da

reciprocidade polar.

As propriedades descritivas das figuras planas são muito simplesmente transformadas em

relação a uma circunferência de círculo, ou um círculo diretor: não é sequer necessário

representá-las por uma figura; obtemos o resultado da transformação alterando na

declaração as palavras pontos e retas por retas e pontos. Se operarmos assim na

propriedade descritiva que estabelecemos por exemplo, encontramos o recíproco dessa

propriedade.

Abaixo um exemplo de uma declaração colocada uma ao lado da outra1 para facilitar a

comparação:

Quando dois triângulos possuem seus

vértices dois a dois sobre três retas

concorrentes em um ponto, seus lados

homólogos concorrerão em três pontos

colineares.

Quando dois triângulos são tais que seus

lados se intersectam dois a dois em três

pontos colineares, seus vértices incidem

sobre três retas concorrentes em um

mesmo ponto.

As propriedades angulares são transformadas simplesmente pela teoria das polares

recíprocas em virtude do seguinte teorema:

Os ângulos de duas retas 𝑎, 𝑏 é igual ao ângulo das retas que incidem no centro do círculo

diretor aos polos 𝐴 e 𝐵 destas retas, conforme a Fig. 6.

Vamos tomar o teorema seguinte para melhor exemplificar:

Em um triângulo as três alturas intersectam-se em um mesmo ponto.

1 Esta forma dá uma ideia de dualidade. Foi realizada por Georgonne no Annales des

Mathématiques Pures et Appliqées

Sejam 𝐴, 𝐵, 𝐶 os vértices de um triângulo dado ℎ, ℎ’, ℎ′′, as perpendiculares aos lados e

incidentes ao vértices. O triângulo dado tem por polar recíproco o triângulo 𝐷𝐸𝐹.

Procuramos determinar o ponto 𝐻, polo de ℎ. Este ponto deve se encontrar sobre a reta

𝑎, polar de 𝐴, pois ℎ passa por 𝐴. Por outro lado, a reta 𝑂𝐻 deve ser perpendicular (será

mais fácil vê-la como paralela à ℎ) em virtude do teorema anunciado acima, pois ℎ é

perpendicular ao lado oposto ao vértice 𝐴, o polo 𝐻 é então a intersecção das retas 𝑂𝐻 e

𝑎. Da mesma forma determinamos 𝐻′, 𝐻′′, polos de ℎ′, ℎ′′. Como os pontos 𝐻, 𝐻′, 𝐻′′

são colineares as suas polares ℎ, ℎ′, ℎ′′ concorrem em um mesmo ponto, o ortocentro.

Figura 7 – três retas concorrentes, três pontos colineares

Poncelet fez uso do círculo diretor na sua memória sobre a Teoria geral das polares

recíprocas. Chasles e Bobillier também fazem uso desta curva. Embora, Chasles utiliza

muita da curva parabólica e Bobillier dê umas soluções utilizando como curva diretriz a

hipérbole.

Em sua memória sobre Teoria geral das polares recíprocas, Poncelet mostrou como se

poderia transformar as propriedades métricas que qualifica como projetivas. As

propriedades angulares se transformam, como vimos acima, adotando a circunferência de

círculo como curva diretriz. As relações métricas se transformam também conservando

esta curva em virtude do seguinte teorema:

O raio da circunferência de círculo diretriz é média proporcional entre as distâncias ao

polo e a polar.

Assim, sendo 𝐴 um ponto qualquer, 𝑎 sua polar em relação à circunferência de círculo

de centro 𝑂 e raio 𝑟, se a reta 𝐴𝑂 intersecta 𝑎 no ponto 𝐴1 temos,

𝑂𝐴 . 𝑂𝐴1 = 𝑟2

Se o raio do círculo diretor é unitário, então teremos,

𝑂𝐴 . 𝑂𝐴1 = 1 → 𝑂𝐴 =1

𝑂𝐴1

Esta relação dá imediatamente a transformação de um segmento de uma reta que passa

pelo centro da curva diretriz. De fato, sejam A e B dois pontos da reta AO, a, b polares

destes pontos em relação à circunferência de círculo de centro O, A1 e B1 os pontos onde

estas polares intersectam a reta AO. Teremos,

𝑂𝐴 =1

𝑂𝐴1 , 𝑂𝐵 =

1

𝑂𝐵1

De onde,

𝑂𝐵 − 𝑂𝐴 ou 𝐴𝐵 =1

𝑂𝐵1−

1

𝑂𝐴1

Figura 8 – Métrica de 𝐴1𝐵1

Quando o segmento transformado é qualquer em relação ao círculo diretor, por exemplo

Fig. 8, procedemos com a projeção sobre uma reta passando pelo centro O por meio de

uma relação trigonométrica. E chegamos a uma expressão geral:

𝐶1𝐷1 = 𝐴𝐵 𝑠𝑒𝑛 �̂� → 𝐴𝐵 = 𝐶1𝐷1.1

𝑠𝑒𝑛 �̂�

Como, 𝐶1𝐷1 =1

𝑂𝐶−

1

𝑂𝐷 ,temos

Figura 9 – Métrica de 𝐶1𝐷1

𝐴𝐵 = (1

𝑂𝐶−

1

𝑂𝐷).

1

𝑠𝑒𝑛 �̂�

Esta é uma relação constante o que nos permite determinar diversas soluções utilizando

a reciprocidade polar. Da mesma forma que podemos obter a distância com o auxílio da

reciprocidade polar, podemos obter a área e volume. Tendo o cuidado de observar que a

diretriz será uma esfera, pois possui as propriedades análogas às circunferências de

círculo.

Façamos uma aplicação. Determinar a distância de um ponto 𝐴 a uma reta 𝑚.

Baixemos uma perpendicular 𝑛 à reta 𝑚 e determinemos a intersecção 𝑃. A questão é

encontrar a distância do segmento 𝐴𝑃̅̅ ̅̅ .

Seja 𝑚 a polar de 𝑀. 𝐴 o polo de 𝑎, e 𝑂 o centro do círculo diretor. A reta 𝑂𝐴 é

perpendicular à reta 𝑎 polar de 𝐴, o polo de 𝑛 estará sobre 𝑂𝑁, perpendicular à 𝑂𝐴, mas

deve ser incidente à 𝑚, 𝑁 é então o polo de 𝑛. A polar do ponto 𝑃 é a reta 𝑝 que passa

por 𝐴 e 𝐵.

𝐴𝑃 =1

𝑂𝐶−

1

𝑂𝐴

Figura 10 - distância de reta e ponto

4. Considerações finais

Ao utilizar a teoria das polares recíprocas para apresentar as transformações das

propriedades métricas, Mannheim faz uma série de aplicações que demonstram a

simplicidade das construções e as vantagens de realizar, com uma geometria

sintética, diversos problemas. Aplicando o método e os princípios, ele desenvolve

em seus trabalhos muitas soluções curiosas e interessantes.

Referências

MANNHEIM, A. Transformation des propriétés métriques des figures à l’aide de la

théorie des polaires réciproques. [S.l.]: Mallet-Bachelier, 1857.

PONCELET, J.-V. Application d’analyse et géométrie. Mallet-Bachelier, 1862.