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Sara Gabriela Lomba de Aguiar Campos
A calculadora gráfica na promoção da escrita matemática na aprendizagem de modelos contínuos não lineares: um estudo com alunos do 11.º ano de Matemática B
Outubro de 2014UM
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Instituto de Educação
Relatório de Estágio
Mestrado em Ensino de Matemática no 3.º Ciclo doEnsino Básico e no Ensino Secundário
Trabalho efetuado sob a orientação deDoutor Floriano Augusto Veiga Viseu
Sara Gabriela Lomba de Aguiar Campos
A calculadora gráfica na promoção da escrita matemática na aprendizagem de modelos contínuos não lineares: um estudo com alunos do 11.º ano de Matemática B
Outubro de 2014
Instituto de Educação
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DECLARAÇÃO
Nome: Sara Gabriela Lomba de Aguiar Campos
Endereço eletrónico: [email protected]
Telefone: 917972000
Número do Bilhete de Identidade: 13428899
Título do Relatório:
A calculadora gráfica na promoção da escrita matemática na aprendizagem de modelos contínuos não lineares: um estudo com alunos do 11.º ano de Matemática B
Supervisor:
Doutor Floriano Augusto Veiga Viseu
Ano de conclusão: 2014
Mestrado em Ensino de Matemática no 3.º ciclo do Ensino Básico e no Ensino Secundário
É AUTORIZADA A REPRODUÇÃO INTEGRAL DESTE RELATÓRIO APENAS PARA EFEITOS DE INVESTIGAÇÃO, MEDIANTE DECLARAÇÃO ESCRITA DO INTERESSADO, QUE A TAL SE COMPROMETE.
Universidade do Minho, ____ / ____ / ____
Assinatura: ______________________________________________________________
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AGRADECIMENTOS
Dedico este espaço a todos que de forma direta ou indireta contribuíram positivamente
para a realização deste estudo, dando especial atenção:
Ao Doutor Floriano Augusto Veiga Viseu, meu supervisor, por toda a sua disponibilidade,
sugestões e críticas no desenvolvimento deste projeto.
À Professora Maria do Carmo Cunha, minha orientadora, por todos os conselhos que
deu ao longo deste ano e toda a partilha de experiências e conhecimento.
À escola por permitir a concretização deste projeto e aos alunos pela colaboração ao
longo deste ano de estágio.
A todos os meus amigos, em particular, à Cátia Rodrigues pelo apoio e conselhos
incondicionais, à Filipa Araújo que mesmo longe esteve presente com uma palavra amiga, ao
Aníbal Coutinho pelo apoio e ajuda na realização deste estudo e à Débora Cunha por toda a
paciência e amizade que não se perdeu nestes anos.
À minha colega de estágio, Patrícia Moura, por partilhar comigo ideias e por estar
presente e me dar força em todos os momentos no desenvolvimento deste projeto.
À minha família, em particular aos meus pais e à minha irmã, pelo apoio, força e
paciência incondicionais prestados ao longo desta fase da minha formação.
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A CALCULADORA GRÁFICA NA PROMOÇÃO DA ESCRITA MATEMÁTICA NA APRENDIZAGEM DE
MODELOS CONTÍNUOS NÃO LINEARES: UM ESTUDO COM ALUNOS DO 11.º ANO DE
MATEMÁTICA B
Sara Gabriela Lomba de Aguiar Campos
Mestrado em Ensino de Matemática no 3.º ciclo do Ensino Básico e no Ensino Secundário
Universidade do Minho, 2014
RESUMO
O presente estudo teve como principal objetivo averiguar o contributo da escrita matemática com recurso à calculadora gráfica na aprendizagem de modelos contínuos não lineares de alunos do 11.º de Matemática B. Para concretizar este objetivo estabeleceram-se as seguintes questões de investigação: (1) O que escrevem os alunos quando utilizam a calculadora gráfica na aprendizagem de modelos contínuos não lineares? (2) Que dificuldades manifestam os alunos na escrita matemática com recurso à calculadora gráfica na aprendizagem de modelos contínuos não lineares? (3) Que perceções têm os alunos sobre a escrita matemática com recurso à calculadora gráfica na aprendizagem de modelos contínuos não lineares? Para dar resposta a estas questões recorreu-se a diversos métodos de recolha de dados: dois questionários, um no início e outro após a intervenção pedagógica; observação das atividades dos alunos, através de uma grelha de observação e de gravações de aulas em vídeo; análise documental (planificações de aulas, produções dos alunos e questões colocadas no final de algumas aulas). Da análise dos dados recolhidos, o que os alunos escrevem quando utilizam a calculadora gráfica, na aprendizagem de modelos contínuos não lineares, remete para a obtenção de: (i) informação, ao registarem somente o esboço gráfico sem qualquer justificação; (ii) estratégias de utilização da calculadora, ao transcreverem para o papel o modo como editam as expressões que representam funções, definem a janela de visualização e relacionam diferentes menus da calculadora gráfica; e (iii) formas de raciocínio, através da justificação da interpretação que fazem da informação que retiram da calculadora (ou através da verbalização ou através da verbalização com a representação gráfica), e da formulação de generalizações e de validação de conjeturas. Quanto às dificuldades manifestadas pelos alunos na escrita matemática com recurso à calculadora gráfica, emergem a escolha da janela de visualização adequada ao contexto do problema, a associação das variáveis dos eixos cartesianos com a sua contextualização do problema, a distinção entre o conceito imagem e o conceito definição e a representação da assíntota horizontal de gráficos das funções estudadas. Relativamente às perceções dos alunos sobre a escrita matemática com recurso à calculadora gráfica, a maioria dos alunos revela que não teve dificuldades em transcrever para o papel a informação proveniente deste recurso, cujo registo e análise os ajudou a organizar os seus raciocínios e contribuiu para a sua aprendizagem dos modelos estudados.
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vii
THE USE OF THE GRAPHICS CALCULATOR IN PROMOTING WRITING MATHEMATICS WHEN
LEARNING NONLINEAR CONTINUOUS MODELS: A STUDY WITH 11TH GRADE MATHEMATICS B
Sara Gabriela Lomba de Aguiar Campos
Master’s in Mathematics teaching in the third cycle of Basic Education and on the Secondary
Education
Universidade do Minho, 2014
ABSTRACT
The present study had the main objective of assessing the contribution of writing mathematics with the use of the graphics calculator on learning non linear continuous models by 11.th grade Mathematics B students. On pursuing this objective the following research questions were established: (1) What do students write when using the graphics calculator while learning non linear continuous models? (2) What difficulties do students show when writing mathematics with the use of the graphics calculator while learning non linear continuous models? (3) What is the students’ perception on writing mathematics with the use of the graphics calculator on learning non linear continuous models? To answer these questions several methods of data collection were used: two questionnaires, one at the beginning and one after pedagogical intervention; observation of student actions through an observation grid and by videotaping classes; and documental analysis (class planning, student work and questions raised by students after some classes). Data analysis showed that what the students write when using the graphics calculator on learning non linear continuous models pursues obtaining (i) information, when registering the graphic sketch without any justification; (ii) strategies for using the graphics calculator by replicating on paper the way they edit the expressions that represent functions, the way they set the visualization window and the way different menus of the graphics calculator relate; and (iii) methods of reasoning, by justifying the interpretations made of the information taken from the graphics calculator (either by verbalizing or by using graphics), formulating generalizations and validating conjectures. Students show difficulties when writing mathematics with the use of the graphics calculator when choosing the appropriate visualization window for the context of the problem, when associating variables of the specific problem to the Cartesian axes, when differentiating between the concepts of image and definition, and when drawing the horizontal asymptote of the studied functions. Students’ perception on writing mathematics with the use of the graphics calculator, is, for the greater part, that there was no difficulty on transcribing the information provided by the graphics calculator, and that registering and analyzing that information helped them organize their reasoning and ultimately contributed in a positive way to learning the studied models.
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ÍNDICE
AGRADECIMENTOS ......................................................................................................................... iii
RESUMO ......................................................................................................................................... v
ABSTRACT ...................................................................................................................................... vii
ÍNDICE ............................................................................................................................................ ix
ÍNDICE DE FIGURAS ......................................................................................................................... xi
ÍNDICE DE TABELAS ....................................................................................................................... xiii
CAPÍTULO 1 ..................................................................................................................................... 1
INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 1
1.1. Tema, objetivos e questões do estudo ................................................................................ 1
1.2. Pertinência do estudo ....................................................................................................... 2
1.3. Estrutura do relatório ........................................................................................................ 3
CAPÍTULO 2 ..................................................................................................................................... 5
ENQUADRAMENTO CONTEXTUAL E TEÓRICO .................................................................................... 5
2.1. Enquadramento Contextual ............................................................................................... 5
2.1.1. Caracterização da Escola .............................................................................................. 5
2.1.2. Caracterização da Turma .............................................................................................. 7
2.2. Enquadramento Teórico .................................................................................................. 10
2.2.1. Modelos contínuos não lineares no currículo escolar ................................................. 10
2.2.2. Comunicação Escrita .............................................................................................. 13
2.2.3. Calculadora gráfica e a Comunicação Escrita ............................................................ 17
2.3. Estratégias de Intervenção............................................................................................... 21
2.3.1. Metodologias de ensino e de aprendizagem .............................................................. 21
2.3.2. Estratégias de avaliação da ação .............................................................................. 24
CAPÍTULO 3 ................................................................................................................................... 27
INTERVENÇÃO PEDAGÓGICA .......................................................................................................... 27
3.1. Perceções dos alunos sobre a escrita matemática e a calculadora gráfica ........................... 27
3.2. Tópicos lecionados na intervenção pedagógica .................................................................. 31
3.3. A calculadora gráfica na promoção da escrita matemática na aprendizagem de modelos contínuos não lineares ................................................................................................................ 32
3.4. Avaliação da intervenção pedagógica................................................................................ 52
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3.4.1. Análise das questões propostas no final de algumas aulas ......................................... 52
3.4.2. Perceções dos alunos depois da prática pedagógica .................................................. 55
CAPÍTULO 4 ................................................................................................................................... 61
CONCLUSÕES, LIMITAÇÕES E RECOMENDAÇÕES ........................................................................... 61
4.1. Conclusões .................................................................................................................... 61
4.1.1. O que escrevem os alunos quando utilizam a calculadora gráfica na aprendizagem de modelos contínuos não lineares? ............................................................................................. 61
4.1.2. Que dificuldades manifestam os alunos na escrita matemática com recurso à calculadora gráfica na aprendizagem de modelos contínuos não lineares? .................................................... 64
4.1.3. Que perceções têm os alunos sobre a escrita matemática com recurso à calculadora gráfica na aprendizagem de modelos contínuos não lineares? .................................................... 64
4.2. Limitações e recomendações .......................................................................................... 65
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ...................................................................................................... 67
ANEXOS ........................................................................................................................................ 71
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ÍNDICE DE FIGURAS Figura 1. Finalidades da utilização da calculadora gráfica segundo os alunos A12 e A1...........................................................................................................................................28
Figura 2. Consideração de que a calculadora gráfica dispensa a escrita matemática (A2).........29
Figura 3. Consideração de que a calculadora gráfica incentiva a escrita matemática (A15).......................................................................................................................................29
Figura 4. Consideração de que a calculadora gráfica incentiva e dispensa a escrita matemática (A5).........................................................................................................................................29
Figura 5. Consideração de que a calculadora gráfica não incentiva nem dispensa a escrita matemática (A3)......................................................................................................................30
Figura 6. Raciocínio como vantagem da escrita matemática (A3,A1,A14 e A12)........................................................................................................................................30
Figura 7. Organização, memorização e interiorização como desvantagens da escrita matemática (A14,A5eA1)............................................................................................................................31
Figura 8. Confusão e mais tempo a realizar a tarefa como desvantagens da escrita matemática (A15eA3).................................................................................................................................31
Figura 9. Representação gráfica, sem resposta escrita (P7)......................................................33
Figura 10. Representação gráfica, sem resposta escrita (P2)....................................................35
Figura 11. Edição de expressões por um aluno........................................................................36
Figura 12. Esboço gráfico que traduz a concentração do fármaco “Saratex” (P1)...................37
Figura 13. Esboço gráfico que traduz o número de exemplares de uma espécie vegetal ao longo dos anos (P3)..........................................................................................................................37
Figura 14. Esboço gráfico que traduz o momento em que a cafeína deixa de exercer efeitos estimulantes (P5)....................................................................................................................38
Figura 15. Janela de visualização indicada pelo par P6............................................................40
Figura 16. Relação entre diferentes menus da calculadora gráfica (P4)....................................41
Figura 17. Introdução do número de Neper (P4)......................................................................42
Figura 18. Relação entre diferentes menus da calculadora gráfica (P5)...................................44
Figura 19. Respostas dos alunos sem gráfico (P3 e P5)...........................................................45
Figura 20. Representação gráfica com justificação dada pelo par de alunos P7.......................46
xii
Figura 21. Representação gráfica com justificação dada pelo par de alunos P2........................47
Figura 22. Resposta em que formulam generalizações (P7)......................................................48
Figura 23. Conjetura quanto à subida e descida do balão (P3).................................................49
Figura 24. Conjetura do problema dos coelhos (P7).................................................................50
Figura 25. Modelo exponencial como sendo o que melhor se ajusta aos dados (P1)...............51
Figura 26. Modelo logístico como sendo o que melhor se ajusta aos dados (P1).....................52
xiii
ÍNDICE DE TABELAS
Tabela 1. Desempenho dos alunos no final do 10.º ano e durante o 11.º ano. ........................... 8
Tabela 2. Finalidades da disciplina de Matemática (f) (n=15). .................................................... 9
Tabela 3. Vantagens do trabalho de grupo (f) (n=15). ................................................................ 9
Tabela 4. Desvantagens do trabalho de grupo (f) (n=15). ........................................................ 10
Tabela 5. Objetivos e competências gerais da disciplina de Matemática B. .............................. 11
Tabela 6. Finalidades da calculadora gráfica (f) (n=15). ........................................................... 27
Tabela 7. Preferências dos alunos sobre o tipo de tarefa (f) (n=15). ......................................... 28
Tabela 8. A calculadora gráfica dispensa e/ou incentiva a escrita matemática (f) (n=15). ........ 29
Tabela 9. Vantagens da escrita matemática na sua aprendizagem (f) (n=15). .......................... 30
Tabela 10. Desvantagens da escrita matemática na sua aprendizagem (f) (n=15). ................... 31
Tabela 11. Organização da intervenção de ensino centrada no relatório. .................................. 32
Tabela 12. Vantagens da calculadora gráfica na aprendizagem do tópico (f) (n=15). ................ 53
Tabela 13. Desvantagens da calculadora gráfica na aprendizagem do tópico (f) (n=15). ........... 53
Tabela 14. Dificuldades da escrita com recurso à calculadora gráfica na aprendizagem do tópico
(f) (n=15). .............................................................................................................................. 54
Tabela 15. Percentagem de alunos segundo as opções de resposta relativamente à organização
das atividades dos alunos (n=14). ........................................................................................... 55
Tabela 16. Percentagem de alunos segundo as opções de resposta relativamente à calculadora
gráfica na aprendizagem de modelos contínuos não lineares (n=14). ...................................... 56
Tabela 17. Percentagem de alunos segundo as opções de resposta relativamente à escrita
matemática com recurso à calculadora gráfica na aprendizagem de modelos contínuos não
lineares (n=14). ...................................................................................................................... 57
Tabela 18. Percentagem de alunos segundo as opções de resposta relativamente às
capacidades/atitudes desenvolvidos (n=14). ........................................................................... 57
Tabela 19. Aspetos positivos da utilização da calculadora na promoção da escrita matemática (f)
(n=14). ................................................................................................................................... 58
Tabela 20. Aspetos negativos da utilização da calculadora na promoção da escrita matemática (f)
(n=14). ................................................................................................................................... 59
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CAPÍTULO 1
INTRODUÇÃO
Neste capítulo, dividido em três secções, apresento o tema, o objetivo e as questões de
investigação do projeto, bem como a pertinência do estudo e uma breve descrição da estrutura
do relatório.
1.1. Tema, objetivos e questões do estudo
O tema deste estudo incide sobre a calculadora gráfica na promoção da escrita
matemática na aprendizagem de modelos contínuos não lineares com alunos do 11.º ano de
Matemática B. A escolha deste tema deve-se, por um lado, à minha experiência enquanto aluna,
que não me apercebi da importância que a escrita matemática tinha para a minha
aprendizagem, muito menos com recurso à calculadora gráfica. Tal como, provavelmente,
muitos alunos, eu pensava que era “só” transcrever o esboço gráfico, por exemplo, e escrever a
resposta à tarefa que me era proposta, sem grandes preocupações de interpretação da
informação proveniente da calculadora na transcrição para o papel da conversão dessa
informação para linguagem matemática. A atividade de escrever permite estabelecer relações
entre conceitos ‘antigos’ e conceitos ‘novos’, desenvolvendo desta forma o raciocínio e ajudando
também na organização do discurso escrito (Morgan, 1998). Por outro lado, a escolha deste
tema deveu-se, sobretudo, ao constatar no período da observação de contextos, que antecedeu a
minha prática pedagógica, que, por vezes, grande parte dos alunos utilizava a calculadora mais
como um auxiliar de cálculos, dando pouca atenção a este recurso na formalização dos
conceitos matemáticos em estudo. Sendo a calculadora gráfica um material de uso obrigatório
na aula de matemática do ensino secundário, atendendo às potencialidades que este recurso
disponibiliza na realização de atividades matemáticas e considerando as dificuldades que os
alunos revelavam ter na escrita matemática comecei a pensar em formas de tirar partido da
calculadora na promoção desta atividade. À medida que se intensificavam as aulas que
observava, mais convicta ficava de que os alunos tendiam a não valorizar a informação
proveniente deste recurso, o que indiciava que a sua utilização prevalecia nas situações de
cálculo. A temática que despertou a minha atenção ganhou sentido ao analisar as
recomendações metodológicas do programa do ensino secundário, onde se defende que as
2
estratégias de ensino devem assegurar atividades em que os alunos “descrevam os raciocínios
utilizados e interpretem aquilo que se lhes apresenta de modo que não se limitem a ‘copiar’ o
que veem” (Ministério da Educação, 2001, p. 16). Desta forma, a capacidade de comunicar por
escrito e aplicar os conteúdos matemáticos por parte dos alunos constituiu o ponto fulcral no
desenvolvimento da minha intervenção pedagógica, pretendo averiguar o contributo da
calculadora gráfica na promoção da escrita matemática na aprendizagem de modelos contínuos
não lineares de alunos do 11.º ano de Matemática B. Na concretização deste objetivo procuro
responder às seguintes questões:
– O que escrevem os alunos quando utilizam a calculadora gráfica na aprendizagem de
modelos contínuos não lineares?
– Que dificuldades manifestam os alunos na escrita matemática com recurso à
calculadora gráfica na aprendizagem de modelos contínuos não lineares?
– Que perceções têm os alunos sobre a escrita matemática com recurso à calculadora
gráfica na aprendizagem de modelos contínuos não lineares?
Relativamente ao que os alunos podem escrever a partir da utilização da calculadora
gráfica na aprendizagem de modelos contínuos não lineares, as orientações metodológicas do
programa de Matemática B apontam os seguintes indicadores: (i) interpretar uma função e
predizer quer a forma do seu gráfico quer o seu comportamento; (ii) discutir a razoabilidade de
modelos gerados pela calculadora gráfica; (iii) estabelecer e descrever regularidades; (iv) resolver
e formular problemas; e (v) descrever adequadamente o conteúdo matemático.
1.2. Pertinência do estudo
Com base em princípios e métodos de trabalho aplicados, a disciplina de Matemática é,
por assim dizer, a base para a educação do aluno, contribuindo para a formação da sua
autonomia e solidariedade, capacidade de empreendedorismo, responsável e consciente das
relações e a sua involvência no meio ambiente em que vive. A disciplina de Matemática é uma
parte imprescindível da cultura científca e humanística, preparando o aluno para fazer as suas
escolhas profissionais, a adquirir flexibilidade em adaptar-se a novas situações, para que se sinta
motivado a continuar a sua formação ao longo da vida. Além disso, a disciplina de Matemática é
também de enorme ajuda na construção do diálogo na comunicação com os outros, fornecendo
instrumentos de compreensão, seleção, avaliação e integração das mensagens e o acesso a
3
fontes de conhecimento científico. A comunicação matemática surge no programa de
Matemática do ensino secundário como um tema transversal, com o intuito do aluno
desenvolver a capacidade de comunicar conceitos, raciocínios e ideias, oralmente ou por escrito,
com clareza e progressivo rigor lógico; interpretar textos de Matemática; exprimir o mesmo
conceito em diversas formas ou linguagens; usar corretamente o vocabulário específico da
Matemática; e apresentar textos de forma clara e organizada (Ministério da Educação, 2001).
Através da comunicação matemática “as ideias tornam-se objetos de reflexão,
aperfeiçoamento, discussão e correção” (NCTM, 2007, p. 66), sendo parte indispensável na
educação matemática. Perante os desafios de raciocinar e pensar matematicamente e,
consequentemente, transmitir as suas ideias quer oralmente ou por escrito, os alunos
desenvolvem a sua capacidade de argumentação matemática. Em particular, a comunicação
escrita ajuda os alunos a consolidar o seu raciocínio, uma vez que os leva a refletir sobre o seu
trabalho e a clarificar as suas próprias ideias acerca dos conceitos desenvolvidos na aula, o que
enriquece o seu pensamento quando apresentam os seus métodos de resolução ou quando
justificam o seu raciocínio (NCTM, 2007). Assim, compete ao professor incentivar com alguma
regularidade a resolução de problemas, onde por vezes surgem atividades designadas
genericamente por composições matemáticas. Este tipo de atividade está contemplada nos
exames nacionais do 12.º ano de matemática com recurso à calculadora gráfica.
A tecnologia, em particular a calculadora gráfica, veio mudar a dinâmica da aula de
Matemática e a forma de resolver as tarefas matemáticas. Segundo Burril (2008), os alunos com
a calculadora gráfica podem explorar conceitos matemáticos de novas formas e com maior
profundidade, permitindo estabelecer ligações entre as várias representações (gráfica, numérica
e algébrica). Importa que os alunos transcrevam estas representações de forma adequada,
estando aliada à tecnologia a comunicação, em particular a comunicação escrita. Os alunos ao
transcreverem para o caderno o que retiram da calculadora juntamente com a devida
justificação só têm a ganhar, desenvolve o raciocínio, uma vez que ser capaz de comunicar
claramente o seu raciocínio matemático é uma competência essencial (Ball, 2003).
1.3. Estrutura do relatório
Este relatório está dividido em quatro capítulos. No primeiro capítulo – Introdução –
apresenta-se o tema, o objetivo e as questões de investigação que orientaram a prática
pedagógica, a pertinência deste estudo e a estrutura do relatório.
4
No segundo capítulo – Enquadramento Contextual e Teórico – caracteriza-se a escola e
a turma onde se realizou a intervenção pedagógica e apresenta-se a fundamentação teórica
deste relatório e as metodologias de ensino delineadas e as estratégias de avaliação da
intervenção pedagógica.
No terceiro capítulo – Intervenção Pedagógica – apresenta-se e analisa-se o processo da
intervenção pedagógica, dividido em quatro secções. Na primeira secção analisam-se as
perceções dos alunos, antes da prática pedagógica, sobre a escrita matemática e a calculadora
gráfica. A secção a seguir corresponde a uma breve descrição dos tópicos lecionados na
intervenção pedagógica. De seguida, apresenta-se uma secção que trata da calculadora gráfica
na promoção da escrita matemática na aprendizagem de modelos não lineares, com o propósito
de evidenciar o que os alunos escrevem, apresentando diferentes momentos de trabalho dos
alunos, segundo as categorias definidas para a concretização deste trabalho. Na última secção,
apresenta-se a avaliação da intervenção pedagógica, onde se analisam as respostas dos alunos
a questões colocadas no final de algumas aulas e as perceções dos alunos depois da
intervenção pedagógica sobre as estratégias desenvolvidas.
No quarto capítulo – Conclusões, Limitações e Recomendações – apresentam-se e
problematizam-se os resultados obtidos através das questões de investigação delineadas. Por
fim, apontam-se algumas limitações e recomendações para projetos futuros.
5
CAPÍTULO 2
ENQUADRAMENTO CONTEXTUAL E TEÓRICO
Este capítulo tem como finalidade descrever o contexto onde se realizou a intervenção
pedagógica, em particular, a escola e a turma, e ainda fundamentar os pressupostos teóricos
que a sustentam (Modelos contínuos não lineares, Comunicação escrita e a Calculadora gráfica
e a escrita matemática) e as metodologias de ensino/aprendizagem e de avaliação de
intervenção que foram utilizadas.
2.1. Enquadramento Contextual
Este subcapítulo destina-se à caraterização da Escola e da Turma onde se realizou a
minha Intervenção Pedagógica.
2.1.1. Caracterização da Escola
A escola onde desenvolvi a minha prática pedagógica faz parte de um mega
agrupamento da cidade de Braga. As suas instalações foram objeto de requalificação (2009 a
2010) no âmbito da intervenção do Parque Escolar, reunindo as condições essenciais ao
desenvolvimento da ação educativa tendo como missão construção de uma educação para a
cidadania, promotora do desenvolvimento da autonomia pessoal de cada um, favorecendo a
clarificação de um sistema de valores, numa perspetiva humanista, que permita aos indivíduos a
interpretação crítica e fundamentada do mundo atual (Projeto Educativo). A escola desenvolve
um projeto educativo com grande envolvimento dos alunos em atividades extra curriculares,
destacando os clubes e oficinas na escola: atelier de artes, clube de arqueologia, clube do
ambiente, desporto escolar, oficina de Latim e língua Portuguesa, oficina de robótica, oficina de
teatro, rádio, televisão e revista.
Para a dinamização das oficinas, há uma valorização das TIC por parte da escola, é de
referir que têm aplicações como a plataforma Moodle e página web da escola, todas as salas de
aula têm um computador, com ligação ao videoprojector, estando algumas salas equipadas com
quadro interativo. O registo das faltas dos alunos e dos sumários é feito numa plataforma online
própria, Inovar Mais. A biblioteca também está equipada com computadores, existem dois
laboratórios multimédia, quatro laboratórios software e quatro de hardware, sala de música com
6
estúdio para rádio e televisão e pode-se ainda destacar uma iniciativa da escola Aprender e
inovar com TIC, que é um projeto recente, 2010-2013, de integração das TIC na escola.
A escola apresenta um leque diversificado de atividades extra curriculares que
funcionam praticamente durante todo o ano letivo, dando oportunidade aos alunos dos diversos
departamentos de participarem ativamente. Foi o que se verificou ao longo do ano, com a
realização do “Canguru Matemático” e “Torneio de Xadrez”, cuja organização ficou a cargo do
núcleo de matemática. O Canguru Matemático é um concurso internacional de Matemática, com
realização anual. Nele participam alunos dos 2.º, 3.º e 4.º anos de escolaridade, bem como os
alunos do 2.º e 3.º ciclos dos ensinos básico e secundário. Cabe a sua promoção à associação
Canguru sem Fronteiras, que congrega personalidades de diversos países ligadas à Matemática.
Embora esteja aberto a todos os estudantes sem qualquer prova de seleção prévia, este
concurso é realizado no mesmo dia em todos os países participantes, cuja prova consiste
simplesmente num enunciado de cerca de 30 questões de escolha múltipla, com um grau de
dificuldade crescente. Esta atividade, embora bastante publicitada, através de cartazes afixados
pelo recinto da escola, por aviso passado em todas as salas de aula e ainda um comunicado
colocado no site da escola, não teve a adesão esperada, pois, dos 40 alunos inscritos, apenas
18 compareceram no dia da prova. O Torneio de Xadrez cumpriu o segundo ano consecutivo
nesta escola e contou com o apoio do Clube de Xadrez de Braga, fornecendo todo o material
necessário para o torneio, cabendo à escola ceder o espaço e promover adequadamente esta
atividade, através de cartazes e avisos nas salas de aula, bem como conseguir os prémios para
entregar aos vencedores da prova. Embora apenas dois alunos desta escola tenham participado,
a adesão a esta atividade foi muito grande, pois havia sido expandida às escolas que fazem parte
deste agrupamento.
Como membro integrante do grupo de Matemática, mesmo sendo estagiária, tive parte
ativa na concretização das referidas atividades, desde a sua promoção até ao dia das respetivas
provas, enquanto responsável por vigiar uma das salas de aula durante a realização do Canguru
Matemático e verificar se tudo corria dentro da normalidade no Torneio de Xadrez. Foi uma
experiência muito gratificante participar nestes eventos, pois, além de ter contactado com alunos
de outras escolas que não a minha, verifiquei com satisfação que a escola efetivamente pode
exercer uma atividade social e lúdica tão importante como formar intelectualmente as pessoas.
Relativamente à avaliação da escola, esta foi avaliada em três domínios: (i) Resultados,
que abrange resultados académicos, resultados sociais e reconhecimento da comunidade; (ii)
7
Prestação do serviço educativo, que abrange planeamento e articulação, práticas de ensino e
monitorização e avaliação do ensino e das aprendizagens; e (iii) Liderança e gestão, que abrange
as categorias de liderança, gestão e autoavaliação e melhoria. Segundo a última avaliação
externa realizada no ano de 2011 pela Inspeção Geral da Educação e Ciência, foi atribuída a
classificação de Muito Bom nos três domínios, uma vez que a Escola produziu “um impacto
consistente, quer em alinhamento, quer acima dos valores esperados na melhoria das
aprendizagens e dos resultados dos alunos e nos respetivos percursos escolares” (Projeto
Educativo, p. 3). Este documento permite também aceder pormenorizadamente à informação
referente aos recursos humanos e à caracterização socioeconómica da comunidade escolar,
tratando-se de uma escola em que o corpo docente é constituído por 197 professores, dos quais
87% são do quadro da escola, sendo 19 de Matemática. O pessoal não docente é constituído por
27 assistentes operacionais e 15 assistentes técnicos. Relativamente aos alunos, 79% não têm
qualquer auxílio económico e cerca de 72% têm computador e Internet em casa. Ao nível da
formação académica dos pais, 9% têm formação superior e 16% têm formação média. Em
termos de ocupação profissional dos pais, 13% exerce atividades de nível superior e intermédio.
2.1.2. Caracterização da Turma
A turma na qual realizei a minha intervenção pedagógica era do 11.º ano de Matemática
B, do curso de Artes, composta por 19 alunos, 7 rapazes e 12 raparigas, e uma aluna
assistente, com média de idades de aproximadamente 16 anos. Dos alunos da turma, cinco são
repetentes e sete possuem escalão do tipo B do SASE. Em relação às preferências referidas
pelos alunos, vinte mencionam que Desenho é uma das suas disciplinas favoritas; apenas três
dizem que Matemática é uma das disciplinas favoritas e nove referem que é a Matemática a
disciplina que menos gostam, pois é onde apresentam maiores dificuldades.
Relativamente aos pais dos alunos da turma, a sua média de idades é de
aproximadamente 46 anos e as suas habilitações académicas são variadas: dois pais possuem o
1.º ciclo (5,3%); dez concluíram o 2.º ciclo (26,3%); sete obtiveram o 3.º ciclo (18,4%); outros
sete concretizaram o ensino secundário (18,4%) e doze pais possuem um curso universitário
(31,6%). Alguns pais dos alunos (8%) encontram-se desempregados.
Considerando o desempenho dos alunos neste ano letivo e no anterior, não há uma
variação significativa na média das classificações (Tabela 1).
8
Tabela 1. Desempenho dos alunos no final do 10.º ano e durante o 11.º ano. 10.º ano
(final) 11.º ano
1.º Período 2.º Período 3.º Período
Média 12,9 11,1 11,6 12,9
Desvio Padrão 3,39 4,16 3,86 4,29
Avaliação Positiva 14 13 11 12
Avaliação Negativa 3 4 5 4
No 1.º período do 11.º ano houve uma redução do valor do desvio padrão, apesar de um
aluno ter desistido do 1.º para o 2.º período. Constata-se também que o número de negativas foi
aumentando, apesar de ter em conta que três alunos desistiram ao longo deste ano letivo. No
3.º período a média subiu, no entanto, também se verificou um aumento no valor do desvio
padrão, pois trata-se de uma turma onde há alunos com muito bons resultados e alunos com
maus resultados, havendo assim uma discrepância acentuada entre as notas.
Tendo em conta que este ano letivo foi o último em que tiveram a disciplina de
Matemática, os alunos foram submetidos ao exame nacional que tinha um peso de 30% na sua
classificação final. No exame nacional, 10 alunos obtiveram classificação positiva e quatro
classificação negativa. A média das classificações do exame nacional foi de 11 valores e a média
das classificações finais na disciplina foi de 12,5 valores, o que não varia muito do valor que a
turma foi apresentando quer este ano letivo quer no anterior. Sendo de salientar que um aluno
faltou ao exame e que apenas um dos alunos com classificação negativa no exame não obteve
nota para transitar de ano. Depois de analisar as notas, constatei que a nota máxima foi dezoito
e a mínima quatro.
Em termos de comportamento e participação, por norma, estamos perante uma turma
composta por alunos ativos e participativos, que não têm qualquer problema em expor as suas
dificuldades e receios, embora em algumas aulas fosse difícil “puxar” por eles já que pareciam
inanimados, distraindo-se muito facilmente. No entanto, no final da minha prática pedagógica
constatei que se, por um lado houve alunos que baixaram o seu rendimento por falta de
motivação ou outros motivos alheios à aula, em outros alunos, pelo contrário, vi o seu
rendimento ser superado, talvez pelo empenho demonstrado na sala de aula.
No que diz respeito ao que os alunos pensam acerca da disciplina de Matemática, no
questionário inicial foram colocadas algumas questões pertinentes para melhor caracterizar a
turma. É interessante saber quais as finalidades apontadas pelos alunos sobre a disciplina de
9
Matemática para a sua formação. Para a maioria dos alunos esta disciplina ajuda a desenvolver
o raciocínio (Tabela 2).
Tabela 2. Finalidades da disciplina de Matemática (f) (n=15). Tipo de respostas Frequência
Desenvolve o raciocínio 11
Cria bases para o futuro 4
Útil noutras áreas de formação 4
Útil em situações de vida real 6
Não tem grande finalidade 2
Não sei 1
Alguns alunos consideram que a disciplina de Matemática é útil em situações de vida
real, uma vez que usam a Matemática no quotidiano. Consideram também que é aplicada
noutras disciplinas, noutras áreas de formação, criando bases para o seu futuro. Dos dois alunos
que responderam que a disciplina de Matemática não tem grande finalidade, um afirmou que só
escolheu Matemática porque era a condição imposta pelos pais para poder frequentar o curso
de Artes. O outro aluno afirmou que não tem grande finalidade a não ser para a média.
Importa também saber qual a opinião dos alunos sobre a forma como se distribuem
durante a aula. Relativamente à organização das atividades dos alunos, todos afirmaram que já
trabalharam em grupo. Foram, então, questionados quanto às vantagens desta organização. A
maior parte dos alunos considera como vantagem o facto de poderem discutir diferentes
opiniões, podendo deste modo comparar formas de resolução (Tabela 3).
Tabela 3. Vantagens do trabalho de grupo (f) (n=15). Tipo de respostas Frequência
Discutir diferentes métodos 11
Partilha de conhecimentos 6
Resolução mais rápida 5
Detetar mais facilmente os erros 1
Ajudar os outros 4
Desenvolve o sentido de responsabilidade 1
Outras vantagens apontadas pelos alunos são referentes ao espírito de interajuda, pois
desta forma há uma maior partilha de conhecimento, além de tornar a resolução das tarefas
10
mais rápida já que são vários a pensar nas mesmas, tornando ainda mais fácil de detetar
possíveis erros. Alguns alunos consideram também que é importante ajudar os outros, em
particular os alunos de nível mais baixo, desenvolvendo assim sentido de responsabilidade.
Tais organizações das atividades acarretam também algumas desvantagens. Para a
maioria dos alunos a maior desvantagem no trabalho de grupo é a falta de concentração (Tabela
4).
Tabela 4. Desvantagens do trabalho de grupo (f) (n=15). Tipo de respostas Frequência
Falta de concentração 6
Nem todo o grupo participa 4
Mais conversa 4
Perturbação e barulho na sala de aula 3
Mais tempo na resolução da tarefa 3
Por vezes confunde a matéria 1
Não há desvantagens 2
Alguns dos alunos consideram que trabalhar em grupo faz com que nem todos os
membros participem de igual modo, geram-se conversas dispersas alheias ao tema, criando
mais barulho e perturbação na sala de aula, com a consequente demora na resolução da tarefa.
Um aluno considera que, por vezes, se podem confundir conceitos, pois são várias pessoas a
opinar. Já dois afirmam que trabalhar em grupo não traz quaisquer desvantagens.
Em suma e no cômputo geral, os alunos consideram que trabalhar em grupo se torna
vantajoso nunca pondo de parte possíveis distrações que poderão ocorrer na realização de
tarefas neste método.
2.2. Enquadramento Teórico
Este subcapítulo refere-se à fundamentação teórica do projeto desenvolvido com base na
literatura, descrevendo as metodologias e as estratégias de avaliação da ação desenvolvidas.
2.2.1. Modelos contínuos não lineares no currículo escolar
A disciplina de Matemática B apresenta uma natureza mais prática do que a Matemática
A e foi pensada para ser trienal nos cursos tecnológicos de desporto e bienal nos cursos de
procedimentos de estudo, como é o caso da turma em questão, do curso de Artes. Segundo o
11
programa de Matemática B, de um modo geral, sabemos que a Matemática é indissociável da
cultura científica e humanística, impulsionando os alunos a fazerem escolhas profissionais, a
conseguirem adaptar-se a mudanças tecnológicas. Trata-se de estratégias que motivem o aluno
a continuar a sua formação ao longo da vida. É também um contributo essencial na construção
do discurso através do qual os alunos se comunicam entre si, bem como fornecendo
“instrumentos de compreensão mais profunda, facilitando a seleção, avaliação e integração de
mensagens necessárias e úteis, ao mesmo tempo que fornece acesso a fontes de conhecimento
científico a ser mobilizado sempre que necessário” (Ministério da Educação, 2001, p. 3). No
percurso do ensino secundário, o programa da disciplina Matemática B advoga o
desenvolvimento das seguintes competências e objetivos gerais:
Tabela 5. Objetivos e competências gerais da disciplina de Matemática B.
Valores/ Atitudes Capacidades/ Aptidões
Desenvolver a confiança em si próprio,
exprimindo e fundamentando as suas opiniões,
com espírito crítico e confiança nos raciocínios
elaborados.
Desenvolver hábitos de trabalho e persistência,
através da elaboração e apresentação de
trabalhos de forma cuidada e bem organizada.
Desenvolver o sentido de responsabilidade, ou
seja, tornar-se responsável pelas suas iniciativas
e tarefas e avaliar constantemente as situações
e decisões a tomar.
Desenvolver o espírito de tolerância e
cooperação, fomentando e colaborando em
trabalhos de grupo, partilhando saberes e
responsabilidades e sobretudo respeitar a
opinião dos outros e aceitar as diferenças.
Desenvolver a capacidade de utilizar a
Matemática na interpretação e intervenção no
real, através da análise da situação do
quotidiano, selecionando estratégias de
resolução.
Desenvolver o raciocínio e pensamento
científico, através da descoberta de relações
entre conceitos da Matemática, fazer raciocínios
demonstrativos usando métodos adequados.
Desenvolver a capacidade de comunicar,
comunicar conceitos, raciocínios e ideias, via
oral ou por escrito, com clareza mas sobretudo
com um rigor lógico; interpretar textos de
Matemática, exprimindo o mesmo conceito em
diversas formas ou linguagens, usando
corretamente o vocabulário específico da
Matemática, a sua simbologia, apresentando os
textos de forma clara e organizada.
Para a concretização destes objetivos e competências muito contribuem as tarefas de
modelação (Ponte, 2005) que são também uma preocupação do Programa de Matemática B, tal
como podemos constatar no quadro dos objetivos e das competências gerais, uma vez que
12
constituem tanto a metodologia de trabalho privilegiada na construção dos conceitos matemáticos como uma competência a desenvolver que é imprescindível para estudantes que vão enfrentar no seu trabalho profissional problemas concretos muito variados e terão de saber selecionar as ferramentas matemáticas relevantes para cada situação. (Ministério da Educação, 2001, p. 16)
O aluno deverá, então, ser capaz de utilizar a Matemática na interpretação do real,
através da análise de uma determinada situação do seu dia-a-dia, escolhendo estratégias de
resolução, criando ou selecionando um modelo que se ajuste à situação em questão. Esse
modelo irá constituir “uma representação duma dada situação, através de objectos, relações e
estruturas com que se procura descrever os elementos considerados fundamentais dessa
situação, ao mesmo tempo que se ignoram deliberadamente os elementos tidos como
secundários” (Ponte, 1990, p.5). É de salientar que, ainda segundo o mesmo autor, o processo
de construção de um modelo matemático poderá ser constituído por diversas etapas e que o
mesmo pode ter vários ciclos de aperfeiçoamento sucessivo, até se chegar a uma descrição que
melhor se adequa a situação em causa.
Em particular, o Programa de Matemática B defende o estudo de três modelos, que
fazem parte da temática Modelos Contínuos Não Lineares: (i) Exponencial, que pode ser
introduzido para resolver problemas de evolução das populações, poluição, temperaturas, drogas
no sangue, materiais radioativos, entre outros; (ii) Logarítmico, usado em tarefas de, por
exemplo, medição da intensidade de um sismo, intensidade de um dado som, medição de PH; e
(iii) Logístico, que se trata de um modelo mais realista da evolução do crescimento populacional.
Deste modo, pretende-se que os alunos sejam capazes de reconhecer e dar exemplos de
situações em que os modelos exponenciais sejam aplicados com eficácia; usar regras das
exponenciais; usar as calculadoras gráficas para encontrar valores ou gráficos que respondam a
possíveis mudanças nos parâmetros; predizer e interpretar o gráfico de uma função; descrever
regularidades; obter formas equivalentes de expressões exponenciais; definir o número de Neper
e o logaritmo natural; resolver equações simples usando exponenciais e logaritmos, no contexto
da resolução de problemas, fazendo também apelo ao recurso às tecnologias, à capacidade de
resolução de problemas, às atividades investigativas ou de modelação matemática com vista à
concretização de aprendizagens significativas (Ministério da Educação, 2001).
Na resolução de problemas ou tarefas de modelação com recurso à calculadora gráfica
importa que o aluno tenha bem presente o conceito imagem e conceito definição (Tall & Vinner,
13
1981). A distinção dos conceitos imagem e definição em matemática são apresentados por Tall
e Vinner através de algumas ideias pelas quais podemos distinguir a definição formal de
determinado conceito e os processos de conhecimento pelos quais o conceito é formado.
Inconscientemente e no dia a dia usamos variados conceitos sem haver uma definição formal
dos mesmos e apenas os reconhecemos como tal pelo seu uso apropriado nos contextos e com
base na experiência. A estrutura cognitiva, para estes autores, de um conceito vai muito para
além de uma simples imagem mental, tenha ela a representação pictórica, simbólica ou outra, é
sobretudo um conjunto de processos associados entre si que afetam o seu uso e significado de
uma forma consciente ou não.
O conceito imagem é o todo de um conceito, formado por imagens mentais,
propriedades e processos associados. A formação deste conceito resulta das experiências que
uma pessoa realiza. Através de novos estímulos e à medida que amadurece o conceito imagem
vai-se alterando, ativando diferentes partes de tal forma que não se necessita de “formar um
todo coerente” (p. 152). Neste processo, surge, no entender de Tall e Vinner, o conceito evocado
através do conceito imagem num determinado momento. O conceito definição, como o nome
refere, é uma forma de expressão que especifica o conceito. Pode ser memorizado pelo aluno ou
então ser uma reconstrução da definição feita pelo aluno, expressando o modo como ele vê o
seu conceito imagem.
2.2.2. Comunicação Escrita
A comunicação é uma parte fundamental da matemática, bem como da educação
matemática. Por ela partilham-se as ideias de forma a clarificar a compreensão matemática, de
tal modo que, por essa comunicação, as ideias são objetos de reflexão, aperfeiçoamento,
correção e discussão (NCTM, 2007). Como os alunos, por natureza, não comunicam entre eles
sobre matemática, é fundamental que esse incentivo venha da parte do professor, não
esquecendo que tanto o professor como o aluno podem desempenhar dois papéis na sala de
aula, emissor e recetor, dependendo se a comunicação é feita entre aluno e professor ou entre
aluno e aluno (Ball, 2003). Com o decorrer do ensino da matemática, esta comunicação tornar-
se-á mais complexa e abstrata, sendo necessário que os alunos ‘exercitem’ tarefas matemáticas
com interesse e que as mesmas gerem discussão produtiva.
No programa de Matemática B, a comunicação matemática surge como um tema
transversal no ensino e aprendizagem de matemática.
14
Tendo em conta a estreita dependência entre os processos de estruturação do pensamento e da linguagem, é absolutamente necessário que as actividades tenham em conta a correcção da comunicação oral e escrita. O estudante deve verbalizar os raciocínios e discutir processos, confrontando-os com outros. Deve ser capaz de argumentar com lógica (Ministério da Educação, 2001, p.17). Os alunos são desafiados a raciocinar e a pensar sobre a matemática e a aprender a
serem claros e convincentes na comunicação das suas ideias por via escrita ou oral (NCTM,
2007). A matemática é traduzida por símbolos, daí a enorme importância de uma eficaz
comunicação oral e escrita. Destes dois tipos de comunicação, apesar da comunicação oral
tender a ser mais valorizada na dinamização de uma aula, a comunicação escrita ganha
expressão nos momentos em que os alunos apresentam à turma as suas produções e nos
momentos de avaliação de conhecimentos. Apesar de a comunicação oral ser mais comum em
sala de aula, é de realçar que a comunicação escrita é tão importante como a oral, pois é uma
forma de “ajudar os alunos a consolidar o seu pensamento, uma vez que os obriga a reflectir
sobre o seu trabalho e a clarificar as suas ideias acerca das noções desenvolvidas na aula”
(NCTM, 2007, p. 67).
Comunicação oral. Como o próprio nome indica, trata-se da oralidade presente em sala
de aula, sendo esta a forma de comunicação que o professor utiliza com mais frequência para
interagir com os alunos. Trata-se de “um meio importante para que os alunos possam reflectir
sobre a sua compreensão da Matemática, ajudando-os a fazer conexões e a clarificar os
conceitos matemáticos” (Ponte et al., 2007, p. 45). No entanto, a qualidade da comunicação
oral depende do tipo de questões que o professor coloca em momentos de discussão nas aulas
de Matemática, tendo um papel fulcral no processo comunicativo no sentido de promover o
raciocínio matemático em sala de aula. Love e Mason (1995) indicam três tipos de perguntas
que surgem nas aulas: (i) de focalização, cujo objetivo é centrar a atenção do aluno num assunto
específico; (ii) de confirmação, que põem à prova os conhecimentos do aluno que do mesmo
obtenha a resposta que o professor pretende ouvir, levando a respostas imediatas; (iii) de
inquirição, são também classificadas de verdadeiras perguntas, às quais o professor pretende
obter alguma informação por parte do aluno.
Esta forma de comunicar com os alunos tem que ser complementada com a escrita,
devendo ser tarefa dos professores incentivá-los a que clarifiquem os seus conceitos
matemáticos, fomentando entre os alunos e estes com o professor um tipo de negociação oral
15
de significados e registar em forma escrita as estratégias de resolução dos problemas
(Buschman, 1995; Menezes, 2004).
Comunicação escrita. Podemos olhar para a escrita como sendo a outra face da leitura.
A leitura envolve o reconhecimento de cada palavra, lembrando o seu significado e ligando as
palavras ao pensamento. Escrever requer começar com um pensamento, recordar as palavras
para expressá-lo, organizando-as de uma forma lógica e escrevê-las no papel. Assim, enquanto
os alunos escrevem, constroem significados à volta de conceitos e fazem conexões com o seu
conhecimento. O valor da escrita em Matemática não reside no produto acabado, mas no
próprio processo, sendo a escrita a forma de fazer Matemática (Edwards, 2002).
Na aula de Matemática, a escrita ocupa um lugar preponderante como meio de
comunicação e registo, podendo, no entanto, constituir um papel fundamental na construção do
conhecimento matemático (Coura & Gomes, sd). A escrita é uma boa ferramenta para exercitar
a memória, uma vez que muitas discussões orais poderiam ficar perdidas sem o registo em
forma de texto. De acordo com o NCTM (2007), “a comunicação pode servir de suporte à
aprendizagem de novos conceitos matemáticos, à medida que os alunos actuam sobre uma
situação, desenham, utilizam objectos, relatam e apresentam explicações verbais, usam
diagramas, escrevem e usam símbolos matemáticos” (p. 67). Assim, o que está incorreto pode
ser identificado e trabalhado. Segundo Santos (2005), “um estudante que compreende e domina
um determinado conceito deve ser capaz de escrever sobre ele, ressaltando suas certezas e
possíveis dúvidas” (p. 128). Ainda segundo este autor, a maior motivação para o uso da escrita
nas aulas de Matemática está na procura da organização do raciocínio: elaborar definições com
as próprias palavras, construir exemplos, questionar sobre possíveis dúvidas, interpretar uma
determinada ideia, estabelecer conexões e atribuir novos significados a conceitos já
estabelecidos, tornando-os potencialmente mais reflexivos.
A comunicação escrita nas aulas de Matemática desempenha a função de mediadora
entre o que se ensina e o que se aprende, na medida em que integra experiências individuais e
coletivas na procura da construção de conceitos estudados. É uma fonte de oportunidades para
elevar a autoestima dos alunos e dos professores, assim como para promover as interações na
sala de aula. Através deste processo, podemos perceber melhor as emoções e afetividade e não
aspetos negativos como a frustração e o medo (Santos, 2005). O processo de comunicação
matemática na sala de aula não é um processo isolado, mas sim fruto de vários intervenientes
16
para que o mesmo tenha um resultado de êxito. Esses intervenientes podem ser os alunos entre
si ou aluno e professor.
Ball (2003) menciona que a comunicação escrita tem dois objetivos para os alunos,
registar o método de resolução usado e comunicar a uma outra pessoa como um problema foi
resolvido, seja outro aluno ou professor, considerando a capacidade de comunicar com clareza o
pensamento matemático uma competência essencial. Ainda reforçando esta opinião, Lee (2010)
afirma que escrever matemática melhora o conhecimento e a compreensão de ideias
matemáticas dos alunos e que colocar uma ideia no papel requer uma reflexão cuidadosa e
atenta, ajudando o aluno a aprender e a reter os conceitos explorados na sala de aula.
Erickson (2010) mostra uma visão geral dos princípios da escrita matemática,
mencionando algumas regras essenciais a ter em conta em contexto de sala de aula, tais como:
(i) escrever frases completas, pois ajuda a organização do pensamento e raciocínio e transmitir
essa informação de forma clara; (ii) escrever com precisão e exatidão; (iii) usar um equilíbrio de
palavras e símbolos; (iv) explicitar, em soluções longas ou provas, com antecedência ao leitor o
que se pretende provar; e (v) escrever e reescrever. Segundo este autor, o objetivo da escrita é
comunicar de forma clara, concisa e precisa as ideias matemáticas. Considera, ainda, que a
escrita matemática é uma competência que pode e deve ser trabalhada e que pode ser
melhorada com a prática.
É importante que o aluno consiga usar palavras e símbolos matemáticos
apropriadamente no seu raciocínio, já que parte de ser capaz de escrever matemática é saber
quando usar símbolos e quando usar palavras (Lee, 2010). O mesmo autor menciona alguns
conselhos de modo a ajudar o aluno a escrever matematicamente: (i) não começar a frase com
uma fórmula; (ii) usar corretamente a notação matemática; (iii) usar linguagem precisa e correta;
(iv) escrever o mais simples e direto possível, nunca esquecendo de que o aluno tem de se
certificar de que os argumentos que apresenta estão cuidadosamente organizados.
É importante mencionar que um aluno, para compreender um determinado enunciado,
tem de o ler com atenção, podendo dizer que a escrita está relacionada com a leitura, já que
esta pode condicionar a realização de uma tarefa, caso seja mal interpretada pelo aluno. Já
Menezes (1996) refere que “a escrita, intimamente ligada à leitura — outra dimensão da
comunicação — é extremamente importante na comunicação que tem lugar na sala de aula,
principalmente com alunos que têm dificuldade em falar em público” (p. 5).
17
Na disciplina de Matemática, o aluno tem de saber ler, interpretar e raciocinar, sendo
estes os princípios a seguir, de modo a compreender melhor os conteúdos da disciplina.
Escrever matemática é por si só um processo rigoroso, já que o aluno tem de transmitir para o
papel detalhadamente o seu pensamento, o seu raciocínio usando a simbologia matemática
(Menezes, 1996). Podemos ainda acrescentar que o aluno deverá exprimir o mesmo conceito
em diferentes formas ou linguagens, fazendo uso correto da linguagem matemática bem como
da simbologia da mesma, de forma a desenvolver a sua comunicação matemática.
Para que tudo isto seja concretizável, é necessário fornecer aos alunos tarefas
matemáticas que abordem assuntos que os motivem, como por exemplo através de problemas
aplicados ao quotidiano, pois desta forma os alunos veem que a Matemática tem mais
aplicações do que eles possam pensar (NCTM, 2007). Fuehrer (2009) refere que a escrita
oferece um lugar para os alunos explorarem o seu próprio pensamento e a refletirem sobre ele,
ajuda os alunos a serem capazes de transmitir ideias, sentimentos e experiências que podem
levar ao desenvolvimento de funções cognitivas, incluindo o pensamento crítico, raciocínio lógico
e resolução de problemas. Podemos fazer, também, uso da tecnologia como apoio à
comunicação, já que à “medida que os alunos criam e analisam números ou objetos na sua
calculadora ou no ecrã do computador, ficam com uma referência comum (que muitas vezes,
pode ser facilmente alterada) para as discussões de ideias matemáticas” (NCTM, 2007, p. 66),
podendo assim associar a comunicação e a tecnologia como fortes aliados no processo de
ensino e aprendizagem.
2.2.3. Calculadora gráfica e a Comunicação Escrita
A utilização da tecnologia na aula de matemática tem como objetivo favorecer uma
aprendizagem mais profunda, pois permite uma abordagem mais indutiva da Matemática e o
desenvolvimento das suas aplicações (Fernandes & Vaz, 1998). A tecnologia deverá ser utilizada
não com o intuito de substituir a compreensão e intuição mas sim com o papel de estimulá-las,
com responsabilidade e apenas com a simples finalidade de enriquecer a aprendizagem
matemática dos alunos (NCTM, 2007). De acordo com o programa de Matemática B,
Não é possível atingir os objectivos gerais e competências deste programa sem recorrer à dimensão gráfica, e essa dimensão só é plenamente atingida quando os estudantes traçam uma grande quantidade e variedade de gráficos com apoio de tecnologia adequada (calculadoras gráficas e computadores) (Ministério da Educação, 2001, p. 14).
18
Segundo ainda este documento, as calculadoras gráficas são ferramentas que se
utilizam com mais frequência e devem ser entendidas como potenciadores do espírito de
pesquisa do aluno e não só usada para efetuar meros cálculos. O programa de Matemática B
menciona, também, como vantagens: a abordagem numérica de problemas; modelação,
simulação e resolução de situações problemáticas; investigação e exploração de várias ligações
entre as diferentes representações para uma situação problemática; entre outras (Ministério da
Educação, 2001).
Este subcapítulo foi organizado da seguinte forma: (i) Calculadora gráfica na sala de
aula; (ii) Calculadora gráfica e a comunicação escrita; (iii) Limitações da calculadora gráfica.
Calculadora gráfica na sala de aula. Desde que a calculadora foi introduzida nos
programas de Matemática, em 1997, é um dos recursos tecnológicos mais utilizado nas aulas
de Matemática (APM, 1998). Com o tempo, as calculadoras têm-se modernizado, os alunos
possuem máquinas cada vez mais poderosas e com mais funcionalidades. Segundo Anderson et
al. (1999), a calculadora veio mudar a dinâmica da aula de matemática e a forma de resolver os
problemas matemáticos, visto que “tradicionalmente, tanto a formulação do problema
matemático como a interpretação da solução eram vistos pelos professores com menor
importância em comparação com o processo de resolução do problema” (p. 498). Na perspetiva
destes autores, com a ajuda da calculadora na resolução de problemas, os alunos têm mais
hipóteses de desenvolver capacidades cognitivas elevadas. Na sala de aula a calculadora gráfica
liberta o aluno de cálculos que se vão tornando obsoletos e repetitivos. Segundo Fernandes e
Vaz (1998), “a simplificação do cálculo permite mais tempo para explorar atividades
matemáticas mais profundas e significativas” (p. 44). Antigamente, os alunos passavam muito
do seu tempo a fazer os mesmos cálculos, por vezes morosos, e dos quais se retiravam poucas
conclusões. Hoje em dia, com a calculadora, os alunos podem focar-se mais nas conclusões e
nas respetivas aprendizagens. Almeida e Oliveira (2009), num estudo sobre o uso da calculadora
gráfica no ensino de funções, concluem que
a possibilidade que a calculadora oferece de visualizar rapidamente o efeito da mudança de parâmetros, no gráfico de uma função, contribui para o desenvolvimento da capacidade dos alunos olharem para a matemática de uma forma dinâmica, para seu entendimento conceptual da álgebra como meio de representação e para o desenvolvimento da capacidade de estabelecerem conexões entre a expressão analítica e a representação gráfica de uma função (p. 112).
19
Fernandes e Vaz (1998) defendem ainda que a utilização da calculadora “pode ter
efeitos positivos ao nível da motivação e autoconfiança” (p. 46).
Para Ponte el al. (1997), utilizar a calculadora gráfica durante a resolução de tarefas é
uma forma de estimular os alunos a formar conjeturas e a desenvolver a capacidade de
investigar e desenvolver raciocínios e argumentos. No entanto, a tecnologia só por si não
substitui o professor de matemática. Ela pode ser utilizada de forma eficaz ou não, tudo depende
do professor e da forma como este a utiliza. Fernandes e Vaz (1998) defendem que a utilização
da calculadora “pode ter efeitos positivos ao nível da motivação e autoconfiança” (p. 46). Nas
atividades de aprendizagem, Waits e Demana (1994) referem três formas de integrar a
calculadora no ensino da matemática: (1) começar por resolver um exercício ou problema com
papel e lápis e, seguidamente, utilizar a calculadora para verificar a resolução; (2) começar por
resolver um exercício ou problema com a calculadora e, depois, confirmar ou completá-lo com
papel e lápis; e (3) resolver um exercício ou problema apenas com a calculadora, pois a sua
resolução através de outros meios é impraticável ou mesmo impossível. Assim, quando os
alunos usam a calculadora emerge algo que é comunicado oralmente ou por escrito.
Deste modo, o uso da calculadora deve ser integrado nas aulas tanto para confirmar
resultados, como para fazer cálculos e representações que de outra forma seriam impossíveis ou
morosos. No entanto, o professor terá sempre muita importância neste processo, e deve evitar
que os alunos se tornem dependentes da sua utilização. É da sua responsabilidade que seja feita
uma utilização inteligente da calculadora gráfica, tendo para isso que planificar as tarefas de
forma adequada ao seu uso e para que seja o aluno a decidir se deve ou não utilizar a
calculadora nessas mesmas tarefas (Burril et al., 2002). As calculadoras vieram proporcionar
um novo tipo de tarefas, questões e estratégias de ensino e aprendizagem a desenvolver dentro
da sala de aula (Dunham & Dick, 1994).
Calculadora gráfica e a comunicação escrita. Ball e Stacey (2003) afirmam que usar a
calculadora gráfica na sala de aula exige um pensamento cuidado no que constitui um bom
registo escrito, fornecendo novas oportunidades na resolução de problemas. Para auxiliar os
alunos e os professores a mudar a natureza dos registos escritos, desenvolveram um conjunto
de diretrizes para usar na sala de aula de Matemática, propondo que uma boa comunicação
matemática pode ser alcançada se o aluno: (i) anotar todo o seu raciocínio;(ii) anotar toda a
informação envolvida, incluindo a sintaxe da calculadora; (iii) certificar-se de que o plano a seguir
é claro; (iv) selecionar a informação, pois nem todos os passos intermédios são necessários.
20
Assim, o raciocínio (R), a informação (I), o plano (P) e algumas respostas (A) – RIPA - são a
chave para o êxito da comunicação escrita com o uso da calculadora gráfica na sala de aula.
Foram desenvolvidos alguns estudos por Ball (2005) usando a calculadora gráfica com a
comunicação, em particular a escrita, em que um deles envolveu três professores, no ensino
secundário, com o objetivo de analisar o que os alunos escolhem para demonstrar a solução
escrita e não como usar a calculadora para a resolução de problemas, sendo apontados vários
pontos de discussão acerca das soluções escritas, tais como: (i) os alunos têm de considerar o
que é importante na escrita matemática; (ii) os alunos devem ter em atenção os destinatários
quando escrevem; (iii) RIPA; (iv) o processo de resolução deve conter palavras e não só
simbologia matemática; e (v) o uso da sintaxe específica da calculadora. Em particular, os
professores envolvidos no estudo, tornaram-se mais conscientes de que os alunos precisam de
orientação explícita sobre o que é aceitável escrever com o uso da calculadora.
Além dos estudos realizados por Ball, também Lee (2010) encoraja o uso de
argumentos visuais na escrita matemática. No entanto, se incluir uma figura, diagrama, gráfico
ou qualquer outra representação matemática visual, é preciso ter a certeza de que explica como
essa representação se encaixa no seu raciocínio matemático, complementando a figura com a
escrita matemática, salientando que um bom gráfico deve transmitir informações relevantes e
específicas para o leitor, que os gráficos e diagramas devem ser cuidadosamente desenhados e
claramente marcados os eixos e pontos importantes na resolução do problema.
Limitações da calculadora gráfica. Existem defensores incontestáveis ao uso das
calculadoras gráficas, considerando que a sua utilização permite uma aprendizagem mais
significativa e mais profunda dos conceitos, bem como o facto de favorecer uma abordagem
indutiva e experimental da matemática (Fernandes & Vaz, 1998). Há quem considere que o uso
da tecnologia, em particular da calculadora gráfica, prejudique a capacidade de abstração dos
alunos. Por exemplo, Albuquerque (1998) refere que
seria interessante medir quanto a exagerada utilização e as concessões que se fazem às máquinas pelas suas limitações e resultados aproximados, no decorrer de uma aula, estão formando espíritos menos rigorosos, menos exigentes e mais preguiçosos, tanto da parte dos alunos como dos professores. (1998, p. 140)
O uso da calculadora deve ser feito criteriosamente e com devidos cuidados. Sendo uma
máquina, tem limitações que se devem ter em conta. Os problemas que podem advir com o seu
uso estão ligados, por exemplo, com: (1) Precisão numérica; (2) Resolução de problemas; (3)
21
Construção do gráfico de uma função; (4) Métodos utilizados no cálculo de derivadas, integrais,
zeros, extremos. Devido a estas limitações, Buitrago (2004) refere que a utilização da
calculadora deve ser efetuada de forma eficaz por parte do professor, bem como utilizá-la de
forma didática. Kieran (2007) chama a atenção para o facto de que a utilização da calculadora
não garante, só por si, a melhoria da aprendizagem na temática das funções, continuando a
verificar-se dificuldades por parte dos alunos no estabelecimento de conexões entre as
representações algébrica e gráfica de uma função. É através de um complexo processo que os
alunos se tornam capazes de combinar os diferentes recursos de informação disponíveis
(resultados teóricos, calculadora e cálculo mental) e, desta forma, construir o seu próprio
entendimento dos conceitos matemáticos.
A compreensão completa das limitações das calculadoras gráficas não está ao alcance
da maioria dos alunos do Ensino Secundário. Porém, e de acordo com o que é referido no
programa oficial, é importante que os alunos tenham conhecimento e entendam que a máquina
gráfica tem limitações, devendo o manual da mesma ilustrar através de exemplos estes aspetos,
apresentando breves explicações. O professor, por sua vez, deverá aproveitar estas limitações de
forma pedagógica, confrontando os alunos com essas limitações e explorando as situações que
daí possam advir.
2.3. Estratégias de Intervenção
Este capítulo está dividido em dois subcapítulos, no primeiro, as metodologias de ensino
e de aprendizagem e no segundo as estratégias de avaliação da ação que implementei na minha
prática pedagógica.
2.3.1. Metodologias de ensino e de aprendizagem
Neste subcapítulo apresento as metodologias de ensino e de aprendizagem que
estabeleci na implementação do meu projeto, atendendo à dinâmica que pretendia que existisse
na sala de aula. O papel do professor e do aluno, o tipo de tarefas e o formato de ensino foram
as minhas principais preocupações.
Papel do professor e do aluno. Na realização deste projeto desempenhei, como
professora, diferentes papéis: orientando, questionando e apoiando o aluno no desenvolvimento
do seu conhecimento dependendo do momento da aula, de modo a contemplar e a valorizar a
atividade do aluno e assumi um papel “simultaneamente dinamizador e regulador do processo
de ensino e aprendizagem, criando situações motivadoras e adotando uma estratégia que
22
implique o aluno na sua aprendizagem e desenvolva a sua iniciativa” (Ministério da Educação,
2001, p. 12). O desenvolvimento que senti de aula para aula, para além da prática, muito
contribuiu as reflexões que realizei, antes e após, as aulas que lecionei. A pré-reflexão era
realizada antes da aula, onde além de descrever a forma como desejava que a aula decorresse,
tendo sempre em conta o plano de aula delineado, tentava também antecipar medos e
preocupações da minha parte e dificuldades e dúvidas por parte dos alunos, apresentando
possíveis estratégias para evitar o imprevisto. A pós-reflexão era realizada depois da aula
lecionada, em que eu descrevia e interpretava a forma como a aula decorreu, respondendo aos
medos, preocupações e dificuldades que previa, com a finalidade de melhorar a minha
prestação nas aulas seguintes. De um modo geral, estas reflexões tinham como objetivo pensar
e questionar acerca da planificação e realização das aulas.
Relativamente ao papel do aluno, procurei promover uma pedagogia que valorizasse a
sua atividade, com a preocupação de que participasse na construção do conhecimento relativo
aos conceitos matemáticos estudados. Para a concretização destes pressupostos muito contribui
a forma como o aluno se envolve nas atividades da sala de aula (NCTM, 2007).
Utilizei recursos tecnológicos nas minhas aulas, em particular a calculadora gráfica, para
dinamizar a aula de Matemática e a forma de resolver as tarefas matemáticas. Desta forma os
alunos poderiam construir e visualizar os gráficos de forma mais eficaz uma vez que “o recurso
a novas tecnologias permite libertar os alunos de tarefas rotineiras, deixando-lhes mais tempo
para explorar, visualizar e interagir” (Fernandes, Carvalho & Ribeiro, 2007, p.35). Em conclusão,
procurei potenciar o desenvolvimento da capacidade exploratória dos alunos desafiando-os a
pensar e a explicar todo o seu raciocínio.
Tarefas. De acordo com a tipologia de tarefas, estas podem ser “de muitos tipos, umas
mais desafiantes outras mais acessíveis, umas mais abertas outras mais fechadas, umas
referentes a contextos da realidade outras formuladas em termos puramente matemáticos”
(Ponte, 2005, p. 1), sendo importante ter um especial cuidado na escolha das tarefas de cada
plano de aula. Segundo o programa do ensino secundário de Matemática B, o professor deve
propor aos alunos tarefas variando a sua extensão e estilo, podendo algumas delas ser
realizadas em grupo ou individualmente “de modo que no conjunto, reflitam equilibradamente as
finalidades do currículo” (Ministério da Educação, 2001, p. 12). Ponte (2005) classifica os
diferentes tipos de tarefas de acordo com o seu grau de desafio matemático e o grau de
dificuldade da questão, variando entre “aberta” ou “fechada” e “reduzida” ou “elevada”.
23
Considera os exercícios como sendo tarefas fechadas de desafio reduzido, os problemas como
tarefas também fechadas mas no entanto com elevado desafio, as tarefas de exploração são de
caráter aberto mas com desafio reduzido, e as tarefas de investigação são consideradas abertas
com desafio elevado. Na minha intervenção, recorri maioritariamente a tarefas de grau de
abertura reduzido mas de desafio elevado, os problemas, uma vez que a resolução de
problemas é considerada no programa como “motivação, como sistema de recuperação e como
forma privilegiada para suscitar a comunicação oral e escrita” (Ministério da Educação, 2001, p.
9). Como o método para resolver um problema é inicialmente desconhecido, isso implica que o
aluno deverá fazer uso dos seus conhecimentos para a resolução do mesmo. Os alunos ao
resolverem problemas “irão adquirir modos de pensar, hábitos de persistência e curiosidade, e
confiança perante situações desconhecidas, que lhes serão muito úteis fora da aula de
matemática” (NCTM, 2007, p. 57). Em determinadas aulas, recorri também a algumas tarefas
com grau de desafio e de abertura reduzidos, os chamados exercícios, em momentos de prática
de conceitos aprendidos.
Organização das atividades dos alunos. No início da minha prática pedagógica comecei
por organizar as atividades dos alunos em grupo, tendo o cuidado de colocar um ‘bom’ aluno
em cada grupo de modo a ajudar os que tinham mais dificuldades. Depressa me apercebi que
não era um método de trabalho tão eficaz quanto desejaria, uma vez que os alunos não sabiam
como se comportar em grupo, acabando por resolver as tarefas em pares ou individualmente.
Neste sentido, decidi dispô-los em pares já que desta forma os alunos trabalhavam melhor e
tiravam mais partido das aulas, não se perdendo o ritmo da aula. Optei por esta organização
pois considero que, ao trabalharem desta forma, os alunos partilham e trocam ideias,
incentivando o trabalho autónomo e responsável dos alunos, permitindo ainda uma ajuda mútua,
tal como refere o NCTM (2007): “o trabalho em pares ou em pequenos grupos torna os alunos
capazes de tomar contacto com diferentes formas de pensar e aperfeiçoar as formas pelas quais
explicam as suas ideias” (p. 149). Com a realização de diferentes tarefas em grupos ou em
pares, os alunos conseguem “adquirir uma certa prática para enfrentar novos problemas ou
ideias matemáticas escrevendo e explicando claramente os seus resultados e comunicando as
suas observações e soluções de forma clara” (Ministério da Educação, 2001, p. 12). Segundo
Matos e Serrazina (1996), o trabalho de grupo ajuda ao desenvolvimento de novas capacidades
e os melhores alunos podem, ao ajudar outros com menos aptidões, elevar e ampliar o seu grau
24
de conhecimento. Por seu lado, os alunos com mais dificuldades, ao serem auxiliados,
reconhecendo a sua necessidade e limitações, saem beneficiados.
2.3.2. Estratégias de avaliação da ação
De modo a poder avaliar a minha intervenção pedagógica recorri a diferentes métodos
de recolha de dados: (i) questionários; (ii) observação; e (iii) análise documental (planificações de
aulas, produções dos alunos, questões colocadas no final da aula).
Questionários. É uma técnica de recolha de dados que, além de evitar a influência no
momento da recolha, permite também obter informação de modo mais rápido e eficaz
(Tuckman, 2000). Neste estudo utilizei dois questionários como instrumentos de recolha de
informação em que o público-alvo foram os alunos da turma, um no início e outro no final da
minha prática pedagógica. Com o questionário inicial (Anexo 3), realizado no início da prática
pedagógica, procurei recolher informação que me permitisse perceber a ênfase que tem sido
dada à escrita matemática, de modo a caracterizar as práticas dos alunos. Foram colocadas
questões abertas de modo a ter opinião dos alunos relativamente à disciplina de Matemática, à
utilização da calculadora gráfica e à escrita matemática. Com o questionário realizado no final da
minha prática pedagógica (Anexo 4), pretendi recolher informação que me ajudasse perceber
quais as perceções dos alunos sobre a contribuição da escrita matemática com recurso à
calculadora gráfica na sua aprendizagem de modelos contínuos não lineares. Este questionário
era constituído por dois grupos: o primeiro grupo com 19 questões de resposta fechada e o
segundo grupo com quatro questões de resposta aberta. Relativamente ao primeiro grupo, os
alunos em cada questão teriam de escolher uma das cinco opções, com base na tipologia da
escala de Likert: DT – Discordo totalmente, D – Discordo, I – Indiferente, C – Concordo e CT –
Concordo Totalmente. No segundo grupo, pedia-se aos alunos que justificassem as suas
opiniões.
Observação: Durante as aulas que lecionei utilizei dois métodos de observação: grelha
de observação (Anexo 6) e gravações de aulas em vídeo. Usei a grelha de observação em todas
as aulas para registar algumas anotações acerca das atividades dos alunos, nomeadamente no
que respeita às estratégias de utilização da calculadora gráfica, a informação e o raciocínio; e
ainda um campo onde indicava algumas vantagens e desvantagens da calculadora gráfica na
promoção da escrita matemática, que ia observando enquanto circulava pela sala. Esta grelha foi
baseada numa tabela de orientações que Ball e Stacey elaboraram para alunos e professores
25
(Ball & Stacey, 2003). Na utilização desta grelha e de modo a facilitar a minha movimentação e
trabalho na sala de aula, escolhi os símbolos “+” e “–“ que representavam o resultados de
terem atingido ou não as diferentes fases de resolução da tarefa estipuladas na grelha.
Quanto às gravações, as aulas referentes à realização do meu projeto foram gravadas
em vídeo, tendo efetuado, no início do ano letivo, um pedido de autorização ao Diretor da Escola
(Anexo 1) e aos Encarregados de Educação dos alunos (Anexo 2). Estas gravações permitiram-
me, em momentos pós-aula, visualizar as atividades realizadas nas mesmas, pude ver-me no
lado oposto e avaliando-me a mim própria, em termos de postura e comunicação com os
alunos, sendo possível rever as interações aluno-aluno e aluno-professor. Serviu também para
recolher mais dados e para transcrever diálogos relevantes.
Análise documental: Os documentos analisados foram: os planos de aula; as produções
dos alunos e questões colocadas no final da aula. Os planos de aula eram constituídos por
tópico a lecionar; objetivo da aula, formato de ensino a usar, tarefas e as respetivas explorações,
a forma como eu queria explorar as tarefas consoante o momento da aula e os recursos a usar.
As planificações serviram-me para inserir as tarefas que as estruturam na análise das produções
dos alunos à sua resolução.
Relativamente às produções dos alunos, no final de cada aula lecionada, os pares de
alunos (designado na sua análise por P#, em que # significa o número atribuído a cada par)
entregavam-me a resolução das tarefas. Isto permitiu-me, tal como nas gravações, ter um
segundo momento de avaliação, em que pude de uma forma mais distanciada analisar as suas
resoluções. É de salientar que foram estipuladas as regras de que os alunos tinham de escrever
a caneta e sem rasurar.
As questões colocadas no final da aula (Anexo 5), com ênfase neste trabalho, foram
colocadas aos alunos para responderem a um conjunto de questões, indicando vantagens e
desvantagens da utilização da calculadora gráfica na realização das tarefas da aula em questão e
indicando dificuldades que tivessem sentido a transcrever a informação da calculadora para o
caderno. Isto ajudou-me a fazer um levantamento da opinião dos alunos relativamente ao tema
deste trabalho e ainda pude ver a evolução das suas respostas, se tinham sempre as mesmas
opiniões e as mesmas dificuldades ou se isso era ultrapassado de aula para aula.
26
27
CAPÍTULO 3
INTERVENÇÃO PEDAGÓGICA
Este capítulo está dividido em quatro secções: a primeira trata da análise das perceções
dos alunos, antes da intervenção pedagógica, sobre a escrita matemática com base na
calculadora gráfica; a segunda secção apresenta sucintamente os conteúdos, as tarefas e as
atividades desenvolvidos durante a intervenção pedagógica; a terceira secção trata do
envolvimento dos alunos nos diferentes momentos das aulas; e a secção final corresponde à
avaliação dos alunos das estratégias delineadas na intervenção pedagógica.
3.1. Perceções dos alunos sobre a escrita matemática e a calculadora gráfica
No início da minha prática pedagógica inquiri os alunos, através de um questionário,
sobre as suas perceções acerca das finalidades da utilização da calculadora gráfica e do seu
contributo na promoção da escrita matemática nas suas atividades de aprendizagem. Entre as
finalidades da utilização da calculadora, os alunos são unânimes em destacar a realização de
cálculos numéricos (Tabela 6).
Tabela 6. Finalidades da calculadora gráfica (f) (n=15). Tipo de Respostas Frequência
Efetuar cálculos 15
Visualizar gráficos/tabelas 8
Resolver problemas 3
Resolver exercícios que sejam impossíveis de resolver analiticamente 2
Apesar de os alunos se encontrarem no 11.º ano, nem todos destacam a utilização da
calculadora gráfica para representar gráficos de funções ou extrair dados de uma função
apresentados em tabelas. Só aproximadamente metade dos alunos considera que recorre à
calculadora gráfica para usufruir destas representações, tal como ilustram as afirmações dos
alunos A12 e A1:
28
Figura 1. Finalidades da utilização da calculadora gráfica segundo os alunos A12 e A1.
Subjacente à visualização de gráficos surge, para alguns alunos, a ideia de que a
calculadora gráfica ajuda a resolver tarefas que não sejam possíveis de o fazer analiticamente.
Relativamente à resolução de problemas, apenas três alunos fazem referência à utilização da
calculadora nesta atividade, o que leva a questionar o tipo de tarefas que os alunos recorrem à
calculadora.
Tabela 7. Preferências dos alunos sobre o tipo de tarefa (f) (n=15). Tipo de Respostas Frequência
Resolver exercícios 12
Resolver problemas 12
Colaborar na elaboração de definições/propriedades/regras 2
Elaborar problemas 1
Passar para o caderno o que a professora diz e faz 3
Discutir as resoluções de exercícios/problemas 9
A maior parte dos alunos destaca que a atividade que mais gosta de realizar nas aulas
de Matemática é resolver exercícios e problemas, o que provavelmente se deve à maior
frequência com que estas tarefas são trabalhadas neste contexto em detrimento de outras de
grau de desafio mais elevado (Ponte, 2005). Poucos são os alunos que expressam o seu
envolvimento na construção do conhecimento que se desenvolve na aula de matemática, o que
para alguns deles faz parte do papel do professor, transmitir esse conhecimento, enquanto o
papel do aluno é de ouvir e registar no caderno o que o professor escreve no quadro. A
passividade de uns é contrabalançada pela valorização que grande parte dos alunos dá à
discussão das resoluções das tarefas propostas.
A forma como a calculadora gráfica é usada pelos alunos reflete-se na pouca
consideração que dão a este recurso na promoção da escrita matemática. Para a maior parte
29
dos alunos, a utilização da calculadora gráfica dispensa o registo de informação que retiram
deste recurso (Tabela 8).
Tabela 8. A calculadora gráfica dispensa e/ou incentiva a escrita matemática (f) (n=15). Tipo de Respostas Frequência
Dispensa 8
Incentiva 3
Incentiva e dispensa 5
Nenhuma 2
Para alguns alunos, a calculadora gráfica dispensa a escrita matemática, o que indicia
que nem sempre passam para o papel o que fazem na calculadora. Para outros alunos, usar a
calculadora poupa-os de escrever no caderno porque fazem tudo na calculadora e chegam mais
rápido ao resultado final, como exemplifica a resposta do aluno A2.
Figura 2. Consideração de que a calculadora dispensa a escrita matemática (A2).
Os alunos que indicam que a calculadora gráfica incentiva a escrita matemática (3)
salientam que ao terem que transcrever para o caderno todos os dados obtidos os leva a
ponderar o que fizeram, o que significa que para esses alunos a calculadora não os dispensa de
ter que pensar, como refere o aluno A15:
Figura 3. Consideração de que a calculadora incentiva a escrita matemática (A15).
Enquanto para alguns alunos a calculadora gráfica ou dispensa ou incentiva a escrita
matemática, para cinco alunos este recurso incentiva e ao mesmo tempo dispensa este registo.
A calculadora incentiva a escrita matemática porque os ‘obriga’ a terem que explicar todos os
procedimentos e a tirar conclusões dos resultados obtidos. Ao mesmo tempo a calculadora
dispensa a escrita porque ao fazerem tudo na calculadora lhes poupa trabalho de terem que
escrever, como exemplifica a afirmação do aluno A5:
30
Figura 4. Consideração de que a calculadora incentiva e dispensa a escrita matemática (A5).
Já para os dois alunos que consideram que a calculadora gráfica não incentiva nem
dispensa a escrita matemática, apenas um deles deu uma justificação, afirmando que a
calculadora gráfica é e deve ser apenas um recurso de auxílio.
Figura 5. Consideração de que a calculadora não incentiva nem dispensa a escrita matemática (A3).
A ligação da utilização da calculadora gráfica com a escrita matemática levou a
questionar os alunos sobre as vantagens e as desvantagens desta atividade na sua
aprendizagem. Relativamente às vantagens da escrita matemática na aprendizagem de
conteúdos matemáticos, a maior parte dos alunos destaca a promoção do raciocínio (Tabela 9):
Tabela 9. Vantagens da escrita matemática na sua aprendizagem (f) (n=15). Tipo de Respostas Frequência
Raciocínio 12
Organização da informação 3
Ajuda a interiorizar e a memorizar 9 Para esses alunos a escrita matemática está conciliada a formas de pensar, o que faz
com que o incentivo desta atividade lhes proporcione uma aprendizagem mais significativa, mais
correta e exata dos conceitos, tal como ilustram as seguintes afirmações:
Figura 6. Raciocínio como vantagem da escrita matemática (A3, A1, A14 e A12).
31
Para além da promoção do raciocínio, alguns alunos consideram que a escrita
matemática os ajuda na organização da informação e na interiorização e na memorização de
conceitos matemáticos, tal como revelam as respostas dos seguintes alunos:
Figura 7. A escrita matemática na organização, memorização e interiorização (A14, A5 e A1).
Relativamente às desvantagens da escrita matemática, alguns alunos consideram que
esta atividade se torna um pouco confusa porque exige a capacidade de organizar o raciocínio e
ter um bom domínio dos conceitos matemáticos (Tabela 10).
Tabela 10. Desvantagens da escrita matemática na sua aprendizagem (f) (n=15). Tipo de Respostas Frequência
Confuso 5
Saber mais símbolos 4
Requer mais tempo 4
Nenhuma 5
Os alunos apontam que escrever matematicamente além de requerer muito tempo,
exige também um maior conhecimento da simbologia matemática, tal como expressam as
respostas dos seguintes alunos:
Figura 8. Confusão e mais tempo a realizar a tarefa como desvantagens da escrita matemática (A15 e A3).
3.2. Tópicos lecionados na intervenção pedagógica
Atendendo à calendarização das atividades escolares, a minha intervenção pedagógica
decorreu na lecionação de 15 aulas de tópicos de Modelos contínuos não lineares (Tabela 11).
32
Tabela 11. Organização da intervenção de ensino centrada no relatório.
Aula Tópico(s)
Aula 1 Modelos contínuos não lineares
Aula2 Função Exponencial; Regras operatórias com exponenciais
Aula 3 O número e
Aula 4 Aula prática
Aula 5 Aula prática
Aula 6 Aula prática
Aula 7 Função logarítmica. Função logarítmica como inversa da função exponencial
Aula 8 Regras operatórias dos logaritmos
Aula 9 Formas equivalentes de expressões exponenciais
Aula 10 Aula prática
Aula 11 Equações exponenciais e logarítmicas
Aula 12 Aula prática
Aula 13 Modelo logístico
Aula 14 Aula prática
Aula 15 Aula prática
Das 15 aulas que lecionei, apresento e analiso a informação que ilustra os momentos
mais relevantes na intervenção pedagógica em função do objetivo e das questões de
investigação.
3.3. A calculadora gráfica na promoção da escrita matemática na aprendizagem de modelos
contínuos não lineares
Com o propósito de evidenciar o que os alunos escrevem a partir da utilização da
calculadora gráfica, a informação recolhida é apresentada e analisada segundo as seguintes
categorias: (i) Informação; (ii) Estratégias de utilização da calculadora gráfica; e (iii) Raciocínio.
Informação. Na perspetiva de Stacey e Ball (2003), informação consiste em verificar se o
aluno usa notação matemática em vez de sintaxe da calculadora gráfica nas suas respostas e se
ilustra a informação com gráficos e tabelas sem apresentar justificação. Relativamente à escrita
matemática a partir da utilização da calculadora gráfica, os alunos recorrem à notação
matemática sem fazer referência à linguagem da calculadora. Por exemplo, os alunos registam o
esboço gráfico de uma dada função sem referir os comandos que lhe permitem editar a
expressão no menu de funções.
33
Na introdução dos modelos contínuos não lineares, os alunos não tinham conhecimento
de qualquer um dos modelos estudados, mas foram esclarecidos que iriam aprender novas
funções que serviam para modelar diversas situações de vida real. Para evidenciar esta
atividade, os alunos resolveram a seguinte tarefa:
No texto da tarefa, está implícito que os alunos tinham de ter atenção ao modo como
representam o gráfico da função através da consideração do seu domínio, como comprova o
registo efetuado por um par de alunos.
Figura 9. Representação gráfica, sem informação escrita na resposta (P7). Os alunos transcreveram o gráfico para o papel tendo em conta o domínio apresentado,
delimitando o esboço gráfico, o que se traduziu no cuidado de não incluir valores negativos e de
não prolongar esse esboço para além do limite superior dos valores considerados, valores que a
variável t poderia assumir. No entanto, apenas apresentam o gráfico indicando qual o valor
Um jovem agricultor tem uma estufa onde produz alfaces todo o ano. No interior da estufa há um sistema computorizado que permite controlar a temperatura e a humidade relativa do ar. Sejam f e g as funções que, num determinado dia, relacionam a temperatura em graus Celsius com a hora do dia, respetivamente no interior e no exterior da estufa:
a) 2
100( ) 10 ;0 24
( 10) 20f t t
t
e
2
35 250( ) 6 ;0 24
20 110
tg t t
t t
A amplitude térmica, num dado intervalo de tempo, é dada pela diferença entre as temperaturas máxima e mínima nesse intervalo de tempo. Mostra que a amplitude térmica no exterior da estufa, no dia a que se refere a informação dada, foi inferior a 15°C. Na tua resposta deves apresentar: A temperatura mínima, arredondada às milésimas A temperatura máxima, arredondada às milésimas A amplitude térmica, arredondada às centésimas.
34
mínimo e máximo e não retiram mais informação da calculadora que lhes permita responder à
questão formulada.
Outro exemplo em que alguns alunos transcrevem para o papel a representação gráfica
de uma função determinada na calculadora gráfica, que contextualiza o problema, sem
responder à tarefa proposta, verificou-se no estudo da concentração de um fármaco no sangue.
Nesta tarefa, os alunos teriam de determinar graficamente os valores de a e de b, sendo
estes os extremos do intervalo do conjunto solução da inequação ( )C t maior ou igual a 2,5. O
problema com esta questão começou com a inequação, surgindo dúvidas de como deveriam
colocar na calculadora de modo a obter corretamente o gráfico que os ajudaria a resolver a
inequação.
Aluno: Como fazemos isto do maior ou igual na calculadora?
Aluno: Passamos tudo para um lado e fica maior ou igual a zero, não é?
Professora: Alguém sabe outra forma de resolver?
Aluno: Podemos fazer duas funções e intersetá-las.
Professora: Se passares tudo para um membro, o que vais procurar?
Aluno: Onde essa função é maior ou igual a zero.
Aluno: Então duma maneira ou de outra está certo.
Figura 10. Representação gráfica, sem resposta escrita (P2).
Admite que a concentração do fármaco “Saratex”, em miligramas por litro de sangue, t horas após a administração a um doente, é dada pela expressão 2( ) 1,05 tC t t . O conjunto solução da inequação ( )C t maior ou igual 2,5 é um intervalo fechado [a,b].
Determina, graficamente, valores para a e b, arredondados às décimas.
35
Nesta resolução, o par P1 reproduziu o gráfico na folha, indicando os pontos da
interseção entre os gráficos das funções 1 2,5y e 2
2 1,05 xy x , mas não apresentaram
qualquer resposta.
Este tipo de situações, em que os alunos apresentavam na sua resposta somente a
representação gráfica sem dar a devida resposta à tarefa que lhes era atribuída, aconteceu mais
nas primeiras aulas lecionadas sobre os modelos contínuos não lineares. Com o hábito que
desenvolveram em utilizar a calculadora gráfica e, sobretudo, de registar e interpretar o máximo
de informação que retiram da mesma, os alunos aperceberam-se da importância da estratégia
que delineavam no ato de recorrer à calculadora.
Estratégias de utilização da calculadora gráfica. Como o próprio nome indica, consiste
em verificar de que modo o aluno utiliza a calculadora gráfica, se edita corretamente as
expressões, se define corretamente a janela de visualização e se relaciona diferentes menus da
calculadora gráfica.
Edição de expressões. Relativamente à edição de expressões na calculadora gráfica, a
análise dos registos recolhidos dos alunos não permite identificar situações de conflito para além
da edição que um aluno fez da expressão que contextualiza a seguinte situação:
Nesta tarefa, os alunos teriam de substituir o t por 1,5 e determinar, desta forma, a
concentração do analgésico presente no sangue, após 1,5h da sua ingestão. Como os expoentes
da expressão são negativos, os alunos deveriam ter cuidado com a forma como a introduzem na
calculadora, principalmente no menu dos cálculos numéricos.
Figura 11. Edição de expressões por um aluno.
Sabe-se que a concentração, C, em miligramas por litro, de um analgésico, na
circulação sanguínea, t horas após a sua ingestão é dada por 2( ) 10 t tC t e e .
Qual é a concentração, aproximada, do analgésico uma hora e trinta minutos após a
sua ingestão? Apresenta o resultado arredondado às centésimas.
36
Admite que a concentração do fármaco “Saratex”, em miligramas por litro de sangue, t
horas após a administração a um doente, é dada pela expressão 2( ) 1,05 tC t t . Indica para que valor tende ( )C t quando t tende para mais infinito. Explica o significado no contexto apresentado.
Este aluno, ao recorrer ao menu dos cálculos numéricos, substituiu simplesmente o t
por 1.5 de modo a determinar a concentração do analgésico, uma hora e meia após a sua
ingestão. A resposta correta a esta questão seria 1.73 ml/L (aproximado às centésimas). Ao
aluno deu 0.20, porque editou a expressão na forma de 10(e^-1.5-e^-2*1.5) em vez de 10(e^(-
1,5)-e^(-2*1.5)). Este lapso poderá dever-se ao facto do modelo da calculadora gráfica não ser
das mais recentes. As calculadoras mais recentes assumem automaticamente os parêntesis
através do esquema que oferecem ao aluno.
Definição da janela de visualização. Quanto à definição da janela de visualização, na
resolução de tarefas, principalmente tarefas de contexto real, há que atender ao
‘comportamento’ da função representada pela expressão que modela a situação dada para ser
devidamente apresentada na calculadora gráfica, o que interessa no contexto do problema e
como se transcreve essa informação. No estudo da função exponencial e do número de Neper,
para que os alunos percebessem a aplicação da função exponencial em contexto real foram
propostas várias tarefas, como por exemplo a que trata da concentração de um dado fármaco:
Nesta tarefa, pedia-se aos alunos que indicassem o valor para o qual a concentração no
fármaco tendia à medida que passava o tempo, estando subentendido o conceito de limite de
uma função. No registo do esboço do gráfico que representa a situação nem todos alunos
explicitam as características que a ilustram, como exemplifica o seguinte registo:
Figura 12. Esboço gráfico que traduz a concentração do fármaco “Saratex” (P1).
Os alunos ao transcreverem o esboço gráfico da função para o papel não indicam os
semieixos negativos, o que indicia que perceberam que não faz sentido no contexto do problema
37
Um estudo experimental sobre uma determinada espécie vegetal iniciou-se com 500 exemplares,
sendo feito o acompanhamento da evolução ao longo dos anos. O número de exemplares
existentes, passados t anos do início da experiência, é dado pelo modelo: 0,45( ) 500 tE t e
Na resolução das questões seguintes, utiliza dois processos: representações gráficas e
logaritmos. Os resultados devem ser dados em anos e meses e os meses arredondados às
unidades.
O estudo é dado como concluído quando o número de exemplares atingir 10000. Qual é o tempo
previsto para a realização deste estudo?
ter valores negativos. Por outro lado, não indicam as variáveis nos eixos, o que poderá dever-se à
tendência de se registar o que a calculadora oferece sem se analisar o que se faz. Aliada à
representação gráfica, os alunos têm a perceção de que à medida que o tempo passa a função
tende para zero. No contexto do problema, a concentração do medicamento tende a
desaparecer. No entanto, o aluno não apresenta rigor na representação gráfica, uma vez que o
esboço gráfico que efetuou chega a “cortar” o eixo das abcissas para valores muito grandes de
x, quando 0y é uma assíntota horizontal do gráfico da função, o que mostra que não há uma
boa distinção entre o conceito e a imagem. O registo efetuado parece dever-se à janela de
visualização definida pelos alunos, que neste caso não a apresentam.
Noutras situações, os alunos têm o cuidado de designar as variáveis dos eixos
cartesianos, mas tendem a considerar as letras que são consideradas na calculadora gráfica, x e
y, e não as variáveis que contextualizam o problema, como ilustra o registo que os alunos
efetuaram na resolução de um problema aquando o estudo da função logarítmica e a função
logarítmica como inversa da função exponencial (Figura 13):
Figura 13: Esboço gráfico que traduz o número de exemplares de uma espécie vegetal ao longo
dos anos (P3).
38
A quantidade Q de cafeína num indivíduo, t horas após a ingestão da mesma, é dada pela
expressão0
tQ Q a .
Um indivíduo tomou uma chávena de café que contém 80mg de cafeína. Sabe-se que o tempo de
semivida da cafeína no organismo é de, aproximadamente, 4 horas.
Informação suplementar:
A semivida de uma substância cuja quantidade decresce é o tempo necessário para que essa
quantidade passe a metade
Admite que para valores inferiores a 15mg de cafeína no organismo a mesma deixa de exercer
efeitos estimulantes. Determina graficamente, recorrendo à calculadora, o período de tempo em que
a cafeína funcionou como estimulante. Apresenta o resultado em horas e minutos (os minutos
arredondados às unidades).
Na modelação do número de exemplares de uma determinada espécie vegetal ao longo
de uma experiência, esperava-se que os alunos indicassem o tempo (t) previsto para se atingir
os 10 000 exemplares (E(t)). Nesta resolução, constata-se que os alunos recorreram aos dois
processos, tal como eram pedidos. Na resolução gráfica, representaram os esboços gráficos das
duas funções 1 10000y e 0,45
2 500 ty e e, de seguida, determinaram o ponto de interseção
desses gráficos para responderem à questão formulada. Porém, na transcrição da informação da
calculadora para o papel os alunos não atendem ao contexto do problema, visto que não
restringem o domínio da função na janela de visualização, não apresentada, que não considere
tempos negativos. Este problema já não acontece na resolução analítica porque a solução
encontrada insere-se no domínio de validade da condição formulada.
À medida que os alunos adquirem habilidade em trabalhar com a calculadora,
apercebem-se da importância de considerar nas suas resoluções das tarefas propostas a janela
de visualização que se adequa ao contexto do problema que lhes é apresentado, como
exemplifica a resolução dos alunos à seguinte tarefa:
Figura 14: Esboço gráfico que traduz o momento em que a cafeína deixa de exercer efeitos
estimulantes (P5).
39
Nesta resolução, os alunos tiveram em conta o domínio da função no contexto do
problema: a variável dependente é o tempo (t), logo não consideraram o semieixo negativo Ox e
a variável independente representa a quantidade de cafeína presente no organismo de um
indivíduo (Q(t)) não fazendo sentido considerar o semieixo negativo Oy. Atendendo a estas
características, os alunos indicaram, na sua resolução, a janela de visualização que utilizaram,
embora num formato que não é usual (trocaram os parênteses retos pelos curvos), o que
permite ao professor ou aos seus colegas obter o mesmo esboço gráfico que obtiveram. Na
discussão turma a definição da janela de visualização em função do contexto do problema foi um
aspeto considerado:
Aluno: Professora, nós não conseguimos ver nada. Professora: Que janela estão a usar? Aluno: Aquela que vai de 10 a 10. Professora: Então o que pode estar mal? Aluno: Temos de ver que janela usamos para este exercício. Professora: E qual acham que é a janela adequada? Aluno: Temos de tirar os valores negativos!
Aluno: Temos? Aluno: Claro! Estamos a trabalhar em função do tempo, não tens horas negativas. Professora: Muito bem!
Como era pedido o período de tempo em que a cafeína funciona como estimulante,
sabendo que esta deixa de exercer esse efeito para valores inferiores a 15mg de cafeína no
organismo, os alunos representaram graficamente as funções 1 15y e 1
42 80 2
t
y
para
determinar o ponto de interseção entre os respetivos gráficos. Nesta representação, a maior
parte dos alunos definiu a janela de visualização que lhes permitiu interpretar e responder à
questão que lhes foi colocada.
Um outro exemplo que ilustra a atenção que os alunos revelam em considerar a janela
de visualização verifica-se na resolução da seguinte tarefa que foi trabalhada no estudo do
modelo logístico.
40
No parque natural, foram plantadas, num certo momento, duas árvores, uma da espécie P e outra da espécie C. Admite que as alturas, em metros, da árvore da espécie P e da árvore da espécie C, x anos depois de terem sido plantandas, são dadas, aproximadamente, por ( )P x e ( )C x :
Espécie P: 0,23
10( )
1 12,5 xP x
e
; Espécie C:
0,12
6( )
1 2,9 xC x
e
Com base nas funções apresentadas, alguém afirmou que: I) Quando as árvores foram plantadas, a árvore da espécie P tinha menos 1,1m de altura do que a
árvore da espécie C; II) Foram necessários mais do que oito anos para que a árvore da espécie P ficasse mais alta que
a árvore da espécie C; III) Com o decorrer do tempo, a diferença entre as alturas das duas árvores tenderá a igualar os
4m. Elabora uma pequena composição, na qual referes se cada uma das afirmações, I), II) e III), está, ou não, correta, explicitando, para cada caso, uma razão que fundamente a tua resposta.
Nesta tarefa, eram apresentadas duas funções que representavam o crescimento de
duas espécies de árvores distintas. Os alunos tinham de indicar a veracidade das afirmações
apresentadas sobre esse crescimento em função do tempo, fundamentando a sua resposta.
Ambas as funções estão definidas segundo o modelo logístico e, tal como na tarefa anterior, os
alunos deviam atender ao contexto de cada uma das funções, como se ilustra nos seguintes
esboços gráficos que um par de alunos registou no papel.
Figura 15. Janela de visualização indicada pelo par P6.
Os alunos revelam que tiveram o cuidado de indicar a janela de visualização segundo a
nomenclatura que é usual. No entanto, não apresentam as letras que representam as variáveis
nos eixos, P e C, o que se pode dever mais à sua preocupação de registar a informação
veiculada pelas representações gráficas efetuadas na calculadora do que atender a estes
41
A Maria depositou 6000€ num banco à taxa anual de 10% de juros. O banco pratica
capitalizações (número de vezes que os juros são acrescentados ao capital, ao longo do ano)
variáveis: anual, semestral, trimestral, mensal e diária.
Analisa o que acontece se a Maria pudesse optar por uma capitalização a todo o instante.
pormenores. Os alunos mostram ter um conhecimento do comportamento da função logística,
apesar de não serem rigorosos na representação das assíntotas do seu gráfico. Em termos
teóricos, a assintota horizontal é uma reta cujo gráfico da função representada se aproxima
quando se consideram valores muito grandes.
Relacionar os diferentes menus. Com a calculadora gráfica1, os alunos têm acesso a
diferentes menus, tais como o de Estatística, Cálculo, Gráfico, Tabela, Dinâmico. Na resolução
de algumas tarefas propostas, os alunos poderiam recorrer ao menu gráfico e ao menu tabela.
Nem sempre foi preciso recorrer simultaneamente a estes dois menus, o que só aconteceu em
função da natureza da tarefa proposta. Por exemplo, no estudo do número de Neper importava
que os alunos estabelecessem conexões entre a informação expressa quer pelo menu Gráfico
quer pelo menu Tabela para compreenderem como se obtém este número através da resolução
da seguinte tarefa:
Os alunos puderam assim determinar, através do confronto entre os valores obtidos na
Tabela e a visualização da representação gráfica da situação ilustrada na tarefa, o fator de
capitalização do dinheiro depositado num dado banco a todo o instante, sem fazer referência ao
número de Neper, como exemplifica o registo efetuado por um par de alunos:
Figura 16. Relação entre diferentes menus da calculadora gráfica (P4).
Neste registo, os alunos indicam as variáveis nos eixos, novamente x e y, mas não
traçam a assíntota horizontal porque a calculadora não lhes fornece essa informação. Por outro
lado, ao traçar o esboço do gráfico a partir da origem não consideram que o zero não faz parte 1 A calculadora gráfica utilizada pela maior parte dos alunos da turma foi a Casio FxCG20.
42
do domínio da função. Quando se atribui à variável independente valores na vizinhança de zero,
à sua direita, a função tende para valores próximo de 6000 e não de zero. Este lapso registado
pelos alunos deveu-se por na janela de visualização que consideraram não lhes ser possível ver o
eixo das abcissas. Ao transporem a informação da calculadora para o papel não revelam
capacidade crítica para confrontar o esboço realizado com o comportamento dos valores
expressos na tabela.
A discussão da resolução da tarefa proposta serviu para introduzir o número de Neper
através da visualização do comportamento do gráfico da sucessão
, dos valores
expressos na tabela e através do enquadramento dos termos da sucessão, como mostra o
seguinte registo efetuado por um par de alunos:
Figura 17. Introdução do número de Neper (P4).
Nesta resolução, os alunos usaram três tipos de representação (gráfica, tabular e
analítica). Na tabela, os alunos apercebem-se de que à medida que o valor de n aumenta, os
termos da sucessão aproximam-se de (aproximação do número de Neper). No gráfico, não
apresentam as variáveis dos eixos nem a assíntota, não se percebendo se os alunos
reconheceram nesta representação para que valor tendem os termos da sucessão. A associação
da informação presente nestas duas representações levou os alunos a registarem que a
sucessão é estritamente crescente, logo o conjunto dos seus termos é minorado pelo primeiro
termo, determinado erradamente pelos alunos na tabela, e majorado pelo valor para que tendem
os termos da sucessão.
Noutras situações, os alunos recorreram a outros menus, como, por exemplo, aos
menus Gráfico e Estatístico, na resolução de uma tarefa que tratava do crescimento populacional
no mundo no ano de 1900.
43
Depois da introdução dos dados em listas estatísticas, os alunos teriam de recorrer ao
menu Estatístico da calculadora gráfica, tendo em atenção que o ano 1900 correspondia ao ano
zero, o ano 1910 ao ano 1 e assim sucessivamente. Como o comportamento da nuvem de
pontos dava a entender que o gráfico seria de uma função exponencial, alguns alunos
ponderaram que poderia traduzir uma função logística, assunto que foi tratado na aula anterior:
Aluno: Professora, não estou a perceber, porque temos de usar a função exponencial?
Aluno: Pois, a que mais se adequa, segundo a máquina, é a logística, porque passa em mais pontinhos.
Professora: Ontem demos o modelo logístico como sendo o modelo que melhor se ajusta a situações populacionais, mas também vimos que o modelo
exponencial também se adequa mas até certo ponto. Neste caso vamos usar o modelo exponencial para resolver a tarefa.
A população mundial, desde 1900, evolui de acordo com a tabela abaixo:
Ano Número de pessoas (em milhares de milhões)
1900 1,65
1910 1,75
1920 1,86
1930 2,07
1940 2,30
1950 2,56
1960 3,04
1970 3,71
1980 4,45
1990 5,28
2000 6,08
Admite que a variável independente designa o número de anos após 1900. Estima a população
mundial para 2010.
Determina a expressão de uma função que se ajuste aos dados da tabela, percorrendo as seguintes
etapas:
Considera o ano de 1900 como o ano zero (0), o ano 1910 como o ano dez (10), e assim
sucessivamente até ao ano de 2000 como o ano cem (100);
Escreve essa expressão (apresenta os valores numéricos envolvidos na expressão e fornecidos
pela calculadora, com quatro casas decimais);
Usando essa expressão, estima a população mundial para 2010 (apresenta o resultado em
milhares de milhões de habitantes, arredondado às centésimas).
44
Após a clarificação no grupo turma acerca do melhor modelo que se ajustava aos dados
representados, os alunos registaram a informação que retiraram do menu Gráfico e do menu
Estatístico, como mostra a seguinte resolução de um par de alunos:
Figura 18. Relação entre diferentes menus da calculadora gráfica (P5).
Os alunos voltam a representar as variáveis com as letras x e y nos eixos, apesar de
fazerem referência aos anos e ao número de infetados. No geral, os alunos tendem a indicar as
letras x e y para representar as variáveis no sistema de eixos cartesiano, em vez de considerar
as letras que contextualizam o problema em questão, o que pode ser consequência da
calculadora gráfica, uma vez que são essas as variáveis que aparecem, na calculadora, no menu
de edição das expressões que representam funções. Compete ao alunos fazer essa conversão, o
que no geral mostraram ter essa perceção, nas formas como raciocinaram nas atividades que
desenvolvem na sala de aula, sobretudo quando recorrem à calculadora gráfica.
Raciocínio. A utilização da calculadora gráfica impele o aluno a verbalizar, apresentar ou
registar os seus raciocínios; formular generalizações e validar conjeturas.
Verbalizar, apresentar ou registar raciocínios. Relativamente à forma como o aluno dá a
conhecer o seu raciocínio no que regista no papel, destacam-se dois procedimentos: (i) recorrer
somente à verbalização para explicar o pensamento da interpretação da informação que retira do
gráfico representado na calculadora; e (ii) registar simultaneamente a representação gráfica da
função na calculadora e a verbalização de como interpreta a informação. Estes procedimentos
verificaram-se, por exemplo, na resolução que pares de alunos distintos efetuaram à seguinte
tarefa:
45
Na resolução desta tarefa, há alunos que recorreram à representação gráfica de cada
uma das funções que não ‘saiu’ do ecrã da calculadora, aliada à informação que é fornecida no
enunciado, para justificar as razões que os levam a rejeitar cada uma das expressões.
Figura 19. Respostas dos alunos sem gráfico (P3 e P5).
O par de alunos P3 rejeitou a opção A devido ao valor do número inicial de lobos, que no
enunciado é dado como sendo 400 e nesta expressão, substituindo o t por zero, obtém-se 500,
o que contraria a informação do enunciado. Rejeitaram a opção C, pois o gráfico da função tem
uma assíntota horizontal y=1200, o que não pode acontecer pois o número de lobos tende para
um milhar. A opção D também não pode ser considerada uma vez que há um intervalo de
tempo em que a função é decrescente e tal não pode acontecer, uma vez que o número de
46
lobos aumenta continuamente, indicando por fim a opção correta como sendo a B. Apesar de os
alunos não terem representado o esboço do gráfico de cada uma das expressões, está implícito
que recorreram às representações gráficas das quatro expressões, pois doutra forma não
conseguiriam descrever o comportamento das funções desta forma, conseguindo apresentar
uma razão diferente para rejeitar as três opções, tal como era pedido.
No registo escrito do par P5 o mesmo já não acontece. Os alunos analisaram somente o
número de lobos no instante inicial, rejeitando assim as opções A e D. Como na opções C e B, o
número de lobos para t=0 está correto, procuraram outra justificação, partindo então para o
estudo da assíntota horizontal, verificando que o gráfico da expressão C ultrapassa o limite de
um milhar de lobos estipulado no enunciado. Neste caso, os alunos também recorreram à
calculadora gráfica, mas sem transcrever o esboço gráfico para o caderno, não tendo
apresentado justificações diferentes para cada expressão como era pedido.
Outros alunos recorreram simultaneamente à representação gráfica e à verbalização das
suas justificações para dar a conhecer os seus raciocínios, como exemplificam os registos
elaborados pelo par de alunos P7:
Figura 20. Representação gráfica com justificação dada pelo par de alunos P7.
Nesta resolução, o par P7 representou graficamente as quatro expressões e só depois
tirou as devidas conclusões, indicando a opção correta e um motivo para rejeitar as outras três
47
opções. Relativamente aos gráficos, denota-se algum rigor que os alunos têm nesta
representação, tendo em conta o domínio da função, a assíntota dos gráficos de cada uma das
funções e a indicação das variáveis nos eixos segundo a contextualização do problema. Na
justificação que os alunos escreveram, apresentam três motivos para rejeitar as opções
incorretas, considerando na opção A o número inicial de lobos, na opção C o número de lobos
que ultrapassa o limite delineado no enunciado e na opção D o facto de a função ser
decrescente.
Outra resolução que ilustra a forma como alguns alunos justificam as suas respostas a
partir da interpretação que fazem da informação proveniente da representação gráfica é
apresentada pelo par de alunos P2 à seguinte tarefa:
Figura 21. Representação gráfica com justificação dada pelo par de alunos P2.
O par P2 resolveu a tarefa graficamente, registando a ordem como editaram as
expressões no menu Gráfico, através da interseção dos gráficos das duas funções para,
aproximadamente, responderem ao que era pedido. Como se trata do modelo logístico, os
alunos identificaram a forma S, conforme é referido no manual escolar dos alunos, e a assíntota
horizontal do gráfico que delimita o conjunto imagem do modelo.
Formular generalizações. Um aluno, ao apresentar o seu raciocínio, pode também
formular generalizações através da apresentação do modelo que melhor se adequa a uma dada
situação. Tal como aconteceu na resolução da seguinte tarefa, era dada informação pertinente
de forma a levar os alunos a chegar à expressão da função.
Num lago onde não havia peixes, introduziram-se, num determinado momento, alguns peixes. Admite que, t anos depois, o número de perixes existentes no lago é dado aproximadamente por:
0.13
2000( )
1 tf t
ke
onde k designa um número real.
Admite agora que k é igual a 24. Ao fim de quantos anos o número de peixes no lago atinge o meio milhar? Apresenta o resultado arredondado às unidades.
48
Figura 22. Resposta em que formulam generalizações (P7).
Nesta resolução, os alunos generalizam para alguns casos, usando a informação
proveniente do enunciado, conseguindo desta forma chegar à espressão da função.
Representaram graficamente a função, indicando na resposta o comportamento da função e a
assíntota do seu gráfico.
Validar conjeturas. Quando os alunos encontram um modelo para uma dada situação,
têm de ver se é o que melhor se adequa, analisando, por exemplo, o coeficiente de correlação,
ou seja, têm de validar as conjeturas que estabelecem.
No estudo dos tópicos Função Exponencial e Regras operatórias com exponenciais, foi
pedido aos alunos que realizassem uma tarefa retirada do manual escolar:
A população dum distrito cresce 2% ao ano. Tendo 2 milhões de habitantes no final de 2012,
exprime a população desse distrito em função do tempo t decorrido após essa data e esboça
uma representação gráfica da função, descrevendo o seu comportamento.
49
Na tarefa apresentada, estava presente o conceito de função exponencial que eles
tinham aprendido nesta aula. Tratava-se de um balão que é largado, provocando um movimento
de subida ou descida; eram dadas quatro expressões tendo de associar a movimentos quer de
subida quer de descida, só analisando a expressão.
Figura 23. Conjetura quando à subida e descida do balão (P3).
O par 3 analisou o comportamento de cada uma das expressões, indicando que as que
têm base superior a um são funções estritamente crescentes, associando-as à subida do balão,
as que têm a base entre zero e um são estritamente decrescentes, só podendo ser associadas à
descida do balão. Aqui denota-se que além do conceito de função exponencial, também o seu
comportamento ficou bem apreendido.
Um outro exemplo desta situação é a tarefa atribuída no estudo de funções
exponenciais:
Esta tarefa apresentava muito texto, no entanto a informação pertinente é a afirmação
que lhes é pedida para confirmar o resultado indicado. Os alunos tinham de resolver o problema
e confrontar a sua resposta com a que é dada no enunciado, e validar a resposta.
O crescimento de certas populações biológicas segue uma lei exponencial, quando não existem fatores externos que ameacem a sobrevivência da espécie e se as condições ambientais são favoráveis. Um exemplo recente e de consequências catastróficas deu-se na Austrália, no fim do século passado, quando um rancheiro teve a ideia de importar alguns casais de coelhos, espécie que não existia naquele continente, e de os instalar na sua quinta, em liberdade. Como na Austrália não havia predadores para travar o seu aumento, os coelhos reproduziram-se em exponencial, de tal modo que se espalharam descontroladamente por grande parte da ilha, atingido, em vinte anos, centenas de milhões de indíviduos! Os prejuízos na agricultura e nas pastagens foram-se agravando ao longo dos anos até que os australianos... decidiram construir uma espécie de «muralha da China» com 1800 km de comprimento para tentar isolar a região mas afectada pela praga. Por fim, em 1950, o governo acabou por ordenar a propagação do vírus da mixomatose, letal para os coelhos, único meio encontrado para vencer o desastre ecológico. Para avaliar a situação resolva-se este problema: «Quantos coelhos podes obter ao fim de 10 anos, a partir de 6 casais, supondo que o seu número duplica de 4 em 4 meses?» A resposta é 3012 2 , cerca de 12885 milhões de coelhos! Confirma.
50
Figura 24. Conjetura do problema dos coelhos (P7).
O par P7 foi analisando passo a passo o que era dito no problema, de modo a conseguir
chegar à expressão do número de coelhos, validando desta forma a resposta.
Um outro exemplo de validação de conjeturas surge no estudo da função logística, sendo
atribuída a seguinte tarefa aos alunos:
Num estudo realizado em Portugal sobre o número de infetados pelo vírus da SIDA, efetuou-se a primeira recolha de dados no ano de 1988. A tabela seguinte apresenta os dados relativos ao número de infetados pelo vírus da SIDA em Portugal entre 1988 e 1996.
Anos Nº de infetados 1988 522 1989 891 1990 1389 1991 2032 1992 2934 1993 3940 1994 5189 1995 6764 1996 8789
Representa graficamente os dados e analisa a evolução do número de pessoas infetadas ao longo deste período de tempo. Que modelo melhor se ajusta aos dados registados?
51
Os alunos teriam de recorrer ao menu de Estatística, inserir os dados nas listas,
considerando o ano 1988 como sendo o ano 0, o ano 1989 como sendo o ano 1 e assim
sucessivamente. Analisando a nuvem de pontos, já conseguiriam ter uma ideia de qual seria o
melhor modelo.
Professora: Qual vos parece ser o melhor modelo que se adequa a esta situação? Aluno: Quadrática. Aluno: Exponencial. Aluno: Logaritmico.
Aluno: O modelo logaritmico não dá! É decrescente, dá erro. Aluno: Então é a exponencial, passa em todos os pontinhos e o r é muito próximo
de 1.
Figura 25. Modelo exponencial como sendo o que melhor se ajusta aos dados (P1).
Os alunos introduziram os dados nas listas estatísticas da calculadora gráfica,
recorreram ao modelo exponencial, afirmando que o coeficiente de correlação está muito
próximo de um, sendo um bom modelo para os dados apresentados. Experimentaram vários
modelos, recorreram ao valor do coeficiente de correlação, ou mesmo ao facto de passar por
todos os pontos marcados, validando assim o modelo exponencial como sendo o que se melhor
se ajusta aos dados. Com base nestes resultados, os alunos acrescentaram mais dados à lista e
procuraram ver se o mesmo modelo se adequava aos novos dados ou se tinha que ser outro.
52
Ao acrescentarem os dados na lista da calculadora gráfica, a nuvem de pontos foi alterada,
como se observa no registo efetuado pelo par de alunos P1:
Figura 26. Modelo logístico como sendo o melhor que se ajusta aos dados (P1).
Os alunos reproduziram a nuvem de pontos e tentaram ver se o modelo exponencial se
ajustava aos dados. Apesar do coeficiente de correlação estar próximo de um, o esboço do
gráfico não passa em todos os pontos. Tentaram, então, o modelo logístico, traçaram o gráfico e
verificaram que passava em todos os pontos, validando o modelo e considerando como sendo o
que melhor se ajusta a estes novos dados.
De um modo geral, os alunos foram revelando algumas dificuldades em selecionar a
informação pertinente a apresentar nas suas respostas, mas penso que essa dificuldade aos
poucos foi sendo colmatada, uma vez que mais para o final da minha prática pedagógica denotei
que os alunos já escreviam os seus raciocínios com mais facilidade, e já conseguiam encontrar
rapidamente um modelo que melhor se ajustava a uma dada situação.
3.4. Avaliação da intervenção pedagógica
3.4.1. Análise das questões propostas no final de algumas aulas
Tal como foi referido anteriormente, atribuí três questões no final de algumas aulas de
forma a perceber o que alunos pensavam acerca da calculadora gráfica na aprendizagem dos
vários tópicos ou se tiveram dificuldades em transcrever a informação para o caderno. Decidi
realizar este pequeno questionário em três aulas distintas, nas aulas 3, 7 e 14.
53
As respostas dos alunos à primeira questão, relativa às vantagens da calculadora gráfica,
foram organizadas por categorias, visto haver respostas em comum, para desta forma poder ver
qual a frequência de cada uma.
Tabela 12. Vantagens da calculadora gráfica na aprendizagem do tópico (f) (n=15).
Tipo de respostas Aula 3 Aula 7 Aula 14 Efetuar cálculos 7 - 2 Construir gráficos 9 8 4 Desenvolver raciocínio 4 5 12 Interpretar a tarefa 2 - - Resolver mais rápido 6 6 7 Facilitar a escrita - - 1
Os alunos consideram que a calculadora gráfica facilita os cálculos, pois é só introduzir
as expressões na calculadora e têm imediatamente o resultado final, o que corrobora as
respostas que deram no questionário inicial, relativamente às vantagens desta ferramenta. Como
seria de esperar, uma das vantagens enumeradas é a visualização de gráficos, pois desta forma
conseguem ver o comportamento da função. A calculadora também desenvolve a capacidade de
raciocínio. Salienta-se que a frequência do desenvolvimento do raciocínio aumentou
consideravelmente ao longo das aulas. Considera-se que há uma rapidez na resolução das
tarefas quando é usada a calculadora gráfica. Dois alunos na aula 3 constatam que conseguiram
interpretar melhor as tarefas com a calculadora, o que não é referido nas outras. Há um aluno
que, na aula 14, afirma que este recurso facilita a escrita, visto que “como a calculadora faz os
cálculos só tenho de passar tudo para o caderno”.
Relativamente às desvantagens da calculadora gráfica, a maior parte dos alunos
considera, na aula 3, que há uma perda de raciocínio, uma vez que se habituam a efetuar até os
cálculos mais elementares na calculadora gráfica, não os tentam fazer analiticamente, levando-
os a sentir uma maior insegurança nos cálculos mentais.
Tabela 13. Desvantagens da calculadora gráfica na aprendizagem do tópico (f) (n=15).
Tipo de respostas Aula 3 Aula 7 Aula 14 Raciocínio 9 2 5 Relacionar menus 2 - 1 Janela de visualização 3 - 1 Cálculos intermédios - 3 - Erros de distração - - 2 Não tem 4 5 4
54
Dois alunos, na aula 3, consideram como desvantagem relacionar diferentes menus,
uma vez que não os sabem relacionar e escolher qual o mais adequado na resolução de uma
determinada tarefa. Alguns alunos apontam a iminente dificuldade de escolher uma janela de
visualização no contexto do problema. Embora só três apontem esta desvantagem na aula 3 e
um aluno na aula 14, esta foi a dificuldade que mais senti por parte dos alunos, nas aulas
lecionadas. Apenas três alunos, na aula 7, referem como desvantagem a perda de cálculos
intermédios, uma vez que são da opinião de que os processos analíticos são postos de parte. Na
aula 14, é apontada uma desvantagem que não está evidenciado nas outras aulas. Os alunos
tendem a usar a calculadora gráfica de um modo ‘automático’ sem prestar atenção ao que
fazem ou mesmo ao que transcrevem para o papel, existindo erros de distração. O número de
alunos que considera que a calculadora gráfica não tem desvantagens, é mais ou menos
equilibrado ao longo das aulas.
A resolução das tarefas com recurso à calculadora gráfica requer também um cuidado
em selecionar a informação pertinente que este recurso nos dá, de forma a transcrevê-la para o
caderno. Assim, a última questão era precisamente perceber se os alunos tinham dificuldades
em transcrever a informação retirada da calculadora gráfica e, se sim, quais.
Tabela 14. Dificuldades da escrita com recurso à calculadora gráfica na aprendizagem do tópico (f) (n=15).
Aulas
Tipo de Respostas Não Sim
Aula 3 5 1 Aula 7 13 – Aula 14 11 2
A maioria dos alunos responde que não teve dificuldades em transcrever a informação
retirada da calculdadora gráfica para o caderno. É de salientar que a frequência na Aula 3 é
significativamente menor, pois os alunos estavam dispostos em grupo nesta aula e responderam
como grupo e não individualmente. Nesta mesma aula, há um grupo que teve dificuldades, pois
não conseguiram muito bem trabalhar com a calculadora gráfica, tiveram dificuldades com a
janela de visualização, entre outras, o que dificultou a escrita do procedimento dos raciocínios. É
de referir que um aluno afirma que inicialmente tinha dificuldades com a janela de visualização,
mas essas dificuldades foram ultrapassadas, conseguindo transcrever a informação para o
caderno sem dificuldades.
55
3.4.2. Perceções dos alunos depois da prática pedagógica
Para dar resposta à última questão de inverstigação delineada, recorri a um questionário
no final da minha prática pedagógica com o objetivo de tentar perceber quais as perceções dos
alunos sobre a escrita matemática com recurso à calculadora gráfica na aprendizagem de
modelos contínuos não lineares. O primeiro grupo era constituído por questões fechadas, sendo
as respostas dos alunos analisadas segundo quatro dimensões: (i) organização das atividades
dos alunos; (ii) a calculadora gráfica na aprendizagem de modelos contínuos não lineares; (iii) a
escrita matemática com recurso à calculadora gráfica; e (iv) as capacidades/ conhecimentos
desenvolvidos na aprendizagem de modelos contínuos não lineares. A Tabela 15 explicita as
respostas dadas pelos alunos sobre a organização das atividades nas aulas lecionadas.
Tabela 15. Percentagem de alunos segundo as opções de resposta relativamente à organização das atividades dos alunos (n=14).
% respostas DT/D I C/CT
O trabalho em pares permitiu-me discutir diferentes estratégias e resultados das tarefas propostas. 14 14 71 3,7
Apreciei mais trabalhar em pares do que em grupo. 14 21 64 3,7
O trabalho em pares ou em grupo favoreceu mais a minha aprendizagem dos modelos contínuos não lineares estudados do que o trabalho individual.
21
29
50
3,3
A maioria dos alunos (71%) concorda que o trabalho a pares lhes permitiu discutir
diferentes estratégias e resultados, embora apenas 50% concorde que o trabalho a pares
favoreceu a sua aprendizagem deste tópico. E 64% considera que gostam mais de trabalhar em
pares do que em grupo, o que não foi surpresa, uma vez que tive de mudar a organização de
atividades de trabalho de grupo para trabalho a pares, pois só assim havia rendimento no
trabalho desenvolvido nas aulas.
Relativamente à utilização da calculadora gráfica na aprendizagem de modelos contínuos
não lineares, 93% dos alunos concorda que foi um recurso fundamental para modelar problemas
de vida real. A maioria dos alunos (57%) afirma que nao utilizaram a calculadora somente para
determinar cálculos, embora no questionário inicial seja a resposta que predomina. A maior
parte dos alunos (79%) concorda que a utilização da calculadora foi essencial para a
aprendizagem de modelos contínuos não lineares, embora ainda haja 21% dos alunos que
considere indiferente. O mesmo acontece com a penúltima afirmação, os alunos (71%)
56
concordam que a calculadora ajudou a predizer a forma do gráfico dos modelos contínuos não
lineares. Há uma percentagem considerável de alunos (29%) que considera indiferente, o que
contraria as respostas dos alunos no questionário inicial, quando apontam como uma das
finalidades da calculadora gráfica a capacidade de visualizar gráficos.
Tabela 16. Percentagem de alunos segundo as opções de resposta relativamente à calculadora gráfica na aprendizagem de modelos contínuos não lineares (n=14).
% respostas DT/D I C/CT
A calculadora gráfica foi um recurso fundamental para modelar problemas da vida real. - 7 93 4,2
Na resolução de tarefas sobre conteúdos de modelos contínuos não lineares utilizei a calculadora gráfica só para determinar cálculos. 57 36 7 2,5
A utilização da calculadora gráfica foi essencial para a aprendizagem dos conteúdos dos modelos contínuos não lineares estudados. - 21 79 3,9
A utilização da calculadora gráfica promoveu o desenvolvimento da minha capacidade de interpretar os gráficos dos modelos contínuos não lineares estudados. - 7 93 4,1
A calculadora gráfica ajudou-me a predizer a forma do gráfico dos modelos contínuos não lineares estudados. - 29 71 3,9
A calculadora gráfica não me ajudou na aprendizagem dos conteúdos dos modelos contínuos não lineares estudados 86 7 7 1,9
No que concerne à escrita matemática com recurso à calculadora gráfica na
aprendizagem de modelos contínuos não lineares, a maioria dos alunos (93%) não sentiu
dificuldades em trasncrever a informação retirada da calculadora gráfica para o caderno, o que
vai ao encontro das respostas dos alunos nos questionários após as aulas. Mais de metade dos
alunos (79%) concorda que a escrita matemática a partir da calculadora gráfica ajudou a
organizar os raciocínios. Apenas 14% dos alunos afirmam que a escrita matemática desafiou a
pensar mais do que na resolução de tarefas sem a calculadora. A maioria dos alunos concorda,
também, que a escrita matemática a partir da informação que retiraram da calculadora gráfica
os ajudou a formalizar as noções e os modelos estudados. A transcrição da informação retirada
da calculadora gráfica para o papel indicia ter contribuído para a aprendizagem dos modelos
contínuos não lineares, como expressa a percentagem de alunos que considera que essa
transcrição os ajudou a compreender os conteúdos dos modelos estudados (57%) e e foi
importante para a sua aprendizagem (79%).
57
Tabela 17. Percentagem de alunos segundo as opções de resposta relativamente à escrita matemática com recurso à calculadora gráfica na aprendizagem de modelos contínuos não lineares (n=14).
% respostas DT/D I C/CT
Não senti dificuldades em transcrever a informação retirada da calculadora gráfica para o caderno. - 7 93 4,4
A escrita matemática a partir da calculadora gráfica ajudou-me a organizar os meus raciocínios. 7 14 79 3,8
A escrita matemática a partir da calculadora gráfica desafiou-me a pensar mais do que na resolução de tarefas sem a calculadora. 50 36 14 2,6
A escrita matemática a partir da calculadora gráfica ajudou-me a formalizar as definições dos modelos estudados (por exemplo, número de Neper, funções exponencial/logarítmica/logística). 7 7 86 3,9
A transcrição da informação da calculadora gráfica para o caderno ajudou-me a compreender os conteúdos dos modelos contínuos não lineares estudados. 7 36 57 3,4
A transcrição da informação retirada da calculadora gráfica foi importante para a minha aprendizagem dos conteúdos dos modelos contínuos não lineares estudados.
7 14 79 3,7
Senti dificuldades a transcrever a informação da calculadora gráfica para o caderno. 86 14 - 1,8
Por fim, relativamente ao desenvolvimento de capacidades/atitudes nas aulas de
Modelos contínuos não lineares, um número significativo de alunos tende a considerar que o que
aprenderam lhes permite resolver problemas do seu quotidiano e que gostaria de aprender
outros tópicos matemáticos com uma estratégia análoga à que foi concretizada na aprendizagem
destes modelos:
Tabela 18. Percentagem de alunos segundo as opções de resposta relativamente às capacidades/atitudes desenvolvidos (n=14).
% respostas DT/D I C/CT
A aprendizagem de modelos contínuos não lineares permite-me resolver problemas de vida real. 7 43 50 3,4 Gostaria de aprender outros tópicos matemáticos através da escrita matemática a partir da calculadora gráfica. 7 50 43 3,4
58
O segundo grupo do questionário consistia em cinco questões de resposta aberta, que
tiveram a finalidade de conhecer as opiniões dos alunos sobre a calculadora gráfica na
promoção da escrita matemática na aprendizagem de modelos contínuos não lineares. Em
particular, procurei identificar aspetos positivos e negativos da utilização da calculadora,
contributos da escrita matemática na aprendizagem dos modelos estudados e as dificuldades
sentidas através da escrita matemática com recurso à calculadora gráfica. Metade dos alunos
aponta a visualização de gráficos como um aspeto positivo da utilização da calculadora gráfica
na promoção da escrita matemática para a sua aprendizagem, pois desta forma conseguem
analisar o comportamento da função no contexto apresentado (Tabela 19).
Tabela 19. Aspetos positivos da utilização da calculadora na promoção da escrita matemática (f) (n=14).
Tipo de Respostas Frequência
Visualizar gráficos 7
Efetuar cálculos 3
Resolver mais rápido os exercícios 3
Desenvolver o raciocínio 3
Facilitar a resolução dos exercícios 2
Compreender funções 1
Assimilar conteúdos 1
Aplicar problemas em contexto real 1
Apresentar resultados mais concretos 1
Perceber melhor problemas/exercícios 1
Apenas três dos alunos consideram que efetuar cálculos é outro aspeto positivo,
resolvendo os exercícios de forma mais rápida, bem como desenvolver o seu raciocínio. O que
contraria a informação retirada do questionário inicial, onde a maior parte dos alunos afirma que
um dos contributos da escrita matemática é precisamente o desenvolvimento do raciocínio.
Relativamente aos aspetos negativos, muitos alunos não responderam a esta questão.
Dos que responderam a maior parte afirma que perder o raciocínio é um aspeto negativo da
calculadora gráfica na promoção da escrita matemática, uma vez que usam a calculadora
gráfica de uma forma quase automática e por vezes não percebem muito bem o que estão a
59
fazer, decorando apenas o processo de como fazer na calculadora em vez de o perceber (Tabela
20).
Tabela 20. Aspetos negativos da utilização da calculadora na promoção da escrita matemática (f) (n=14).
Tipo de respostas Frequência
Falta de raciocínio 4
Efetuar menos cálculos analíticos 3
Nenhuns 3
Os restantes alunos consideram que para além de se efetuarem menos cálculos
analíticos, pois os cálculos intermédios são todos feitos na calculadora gráfica, consideram que
não há qualquer aspeto negativo na utilização da calculadora gráfica na promoção da escrita
matemática, embora não justifiquem.
Os alunos consideram que a escrita matemática com recurso à calculadora gráfica
contribui para a compreensão e definição de funções, ajuda na resolução de equações
logarítmicas na calculadora, promove o raciocínio evitando-se cálculos morosos, levando a uma
organização cuidada do seu raciocínio, ajuda na compreensão dos conteúdos matemáticos
estudados, facilitando desta forma a compreensão de problemas/exercícios, sendo mais intuitiva
a resolução gráfica do que a analítica.
Relativamente às dificuldades na escrita matemática com recurso à calculadora gráfica,
a maioria dos alunos revela que não teve quaisquer dificuldades, pois é só descrever a
informação retirada da calculadora. Porém, alguns alunos sentiram dificuldades nessa escrita,
tais como: saber as regras básicas; descrever o raciocínio; inserir expressões na calculadora e
escolher a janela de visualização adequada ao contexto do problema.
60
61
CAPÍTULO 4
CONCLUSÕES, LIMITAÇÕES E RECOMENDAÇÕES
Neste capítulo, dividido em duas secções, apresentam-se as principais conclusões deste
estudo e referem-se algumas limitações ao seu desenvolvimento bem como recomendações
para trabalhos futuros.
4.1. Conclusões
As conclusões do estudo surgem como resposta às questões de investigação delineadas
para a concretização da intervenção pedagógica.
4.1.1. O que escrevem os alunos quando utilizam a calculadora gráfica na aprendizagem de
modelos contínuos não lineares?
Da análise e da interpretação dos dados recolhidos, constata-se que os alunos recorrem
à calculadora gráfica para transcrever para o papel informação, estratégias de utilização da
calculadora e para expressar o seu raciocínio. Relativamente à informação que retiram da
calculadora, os alunos registam sobretudo os esboços gráficos de modelos contínuos não
lineares estudados sem qualquer verbalização escrita. Mesmo em situações em que era preciso
resolver condições, como por exemplo inequações, os alunos tendem a registar no papel o que
visualizam na calculadora sem indicar a solução da condição trabalhada. Trata-se de um
primeiro nível de utilização deste recurso, meramente instrumental, sobretudo quando as
expressões que definem as funções não são familiares aos alunos. No caso do modelo logístico,
os conhecimentos que os alunos têm não lhes permitiria efetuar o seu esboço gráfico. Como
referem Waits e Demana (1994) e Dallazen e Scheffer (2003), a calculadora tem uma função
utilitária na exploração de novos conceitos e procedimentos, como também na resolução de
tarefas que seria impraticável por outros meios.
Ao adquirirem uma maior habilidade na utilização da calculadora, a maior parte dos
alunos manifesta cada vez mais à vontade em trabalhar com este recurso, o que se traduz no
registo no papel das estratégias de utilização a que recorrem para tirar mais partido das
potencialidades gráficas e numéricas da calculadora. Nessas estratégias destacam-se a edição
de expressões que representam os modelos, a definição da janela de visualização e a articulação
62
entre os diferentes menus da calculadora gráfica. Na edição de expressões, atendendo à
evolução da tecnologia, as calculadoras mais recentes apresentam esquemas que intuitivamente
orientam o aluno a editar essa expressão. A título de exemplo, na definição de um quociente as
calculadoras atuais apresentam uma opção de fração o que não acontecia com as antigas. A
habilidade que os alunos revelam na edição de expressões na calculadora deve-se
essencialmente, segundo Consciência (2013), às atividades que os alunos realizam com este
recurso.
Quanto à definição da janela de visualização da calculadora, trata-se de uma das
estratégias mais importantes a desenvolver nos alunos quando recorrem a este recurso
(Consciência, 2013). No início da prática pedagógica, os alunos tendiam a representar
graficamente uma função sem atender à definição dos intervalos que lhes permitia perceber o
comportamento dessa função. Posteriormente, começam a atender à janela de visualização mas
nem sempre registam no papel os intervalos que consideraram, o que indicia que esses
intervalos resultavam de tentativas. O registo dos intervalos dos eixos cartesianos traduz a
capacidade imagética dos alunos, o que se reflete na forma como concebem o esboço gráfico,
na consideração de valores críticos da função (domínio, contradomínio, máximos, mínimos e
zeros) e na perceção de como varia a função. Estas considerações determinam a compreensão
do comportamento da função e da possível existência de assintotas horizontais do seu gráfico.
Intuitivamente os alunos desenvolvem a noção de limite. A perceção acerca do aspeto gráfico de
determinada expressão, da ordem de grandeza dos valores correspondentes às variáveis que
contextualizam uma dada situação e das características da própria função são, segundo
Consciência (2013), determinantes no registo dos intervalos da janela de visualização.
No que diz respeito à articulação entre diferentes menus da calculadora, os alunos
inicialmente utilizavam sobretudo o menu gráfico, o que muito se devia ao tipo de questões
colocadas nas tarefas propostas. No estudo de algumas noções, como por exemplo a do número
de Neper, os alunos estabeleceram conexões entre o menu gráfico e o menu tabela. O registo da
informação proveniente destas duas representações permitiu-lhes resolver problemas do
quotidiano, como são exemplo os problemas de capitalização de quantias bancárias. Para além
destes menus, os alunos também relacionaram o menu gráfico e o menu estatístico para
representarem graficamente a nuvem de pontos que contextualizava problemas populacionais. A
articulação entre diferentes menus fornece aos alunos a oportunidade de complementarem a
informação que retiram de cada um deles. Para Rocha (2002), esta capacidade desenvolve-se
63
com a forma como os alunos integram a calculadora nas suas atividades de estudo sobre
funções.
No que concerne à forma como organizam as suas respostas e dão a conhecer o seu
raciocínio, os alunos, numa primeira fase, recorrem à calculadora gráfica para transcrever para o
caderno as justificações que dão nas suas respostas às tarefas propostas sem apresentar o
respetivo esboço gráfico. Nesta fase de utilização da calculadora tendem a considerar que o que
verbalizam dispensa a informação presente no ecrã da calculadora. Alguns alunos apresentam o
seu raciocínio somente através de respostas escritas, recorrendo à calculadora para analisar o
esboço gráfico que de outra forma não conseguiriam responder corretamente, mas sem o
transcrever para o caderno. Numa segunda fase, tendem a registar simultaneamente a
representação gráfica fornecida pela calculadora e a verbalizar a forma como interpretaram a
informação. Os alunos apercebem-se da importância que tem o confronto entre o que se pensa,
regista, com o que se vê. Denotou-se uma evolução da maior parte dos alunos em transcrever a
informação que retiravam da calculadora gráfica para complementar essa informação com a
justificação. Para Ball e Stacey (2005), uma boa utilização da calculadora gráfica não dispensa o
aluno de ter que pensar sobre a informação que retira neste recurso. Importa confrontar o que
se obtém com o que se conhece sobre um dado conhecimento matemático.
Outra forma de potenciar a capacidade de raciocínio dos alunos, a partir da utilização da
calculadora gráfica, incide na natureza das tarefas que lhes permite formular generalizações e
validar conjeturas. No estudo dos modelos contínuos não lineares os alunos aperceberam-se que
um dado modelo resulta na tentativa de generalizar situações com que se deparam. Um dado
modelo responde ao problema que se procura resolver e transcende os dados desse problema, o
que faz com que os alunos tenham que delimitar o domínio do modelo que contextualiza esse
problema. Na generalização de um dado modelo os alunos tiveram a oportunidade de discutir o
melhor modelo que se ajusta aos dados apresentados. Por vezes, o modelo que conjeturavam
como sendo o ideal para o problema em estudo era refutado através da comparação do
coeficiente de correlação de outros modelos. Para além desta comparação validaram as suas
conjeturas através da análise dos esboços gráficos dos modelos encontrados. Este tipo de
atividades que os alunos realizam potencia, tal como defendem Ponte el al. (1997), diferentes
formas de estimular a formalização e validação de conjeturas, bem como desenvolver raciocínios
e argumentos. O recurso a argumentos visuais na escrita matemática faz com que os alunos,
como recomenda Lee (2010), sintam a necessidade de ter a certeza do que interpretam e do
64
que validam. A escrita matemática com base num gráfico desenvolve a capacidade do aluno de
dar sentido ao que aprende.
4.1.2. Que dificuldades manifestam os alunos na escrita matemática com recurso à
calculadora gráfica na aprendizagem de modelos contínuos não lineares?
Na utilização da calculadora gráfica e na escrita matemática com recurso à calculadora
gráfica surgiram algumas dificuldades. Os alunos manifestaram mais dificuldades na escolha da
janela de visualização adequada ao contexto do problema, como também se verificou no estudo
realizado por Rocha (2002). Nem sempre atendiam ao domínio da função, considerando valores
que não estão definidos, o que faz com que transcrevam para o papel incorretamente o esboço
do gráfico de uma determinada função.
Outra dificuldade sentida resulta da escolha das letras a colocar nos eixos cartesianos.
Os alunos, por vezes, não colocam qualquer letra nos registos que fazem e, por outras vezes,
tendem a colocar as letras x e y, provavelmente devido a serem estas as letras que são
contempladas na calculadora, em vez de recorrerem a letras que contextualizam o problema
(Consciência, 2013).
Alguns alunos registam no papel a representação gráfica de uma dada função e a
verbalização escrita onde, inicialmente, mostram grandes dificuldades, pois não retiram qualquer
informação da calculadora para além do esboço gráfico. Notou-se, nalgumas aulas, que os
alunos não têm organizado o conceito imagem e o conceito definição, criando assim um fator de
conflito entre os dois conceitos, o que para Tall e Vinner (1981) pode impedir a aprendizagem
dos aspetos formais.
Na representação que fazem de esboços gráficos de modelos contínuos não lineares, os
alunos nem sempre registam no papel a assintota horizontal do gráfico dos modelos em estudo.
Este estudo indicia que a informação que os alunos retiram da calculadora prevalece perante as
suas formas de pensar, revelando assim ausência de capacidade crítica em detrimento de dar
sentido aos conhecimentos analíticos que aprendem.
4.1.3. Que perceções têm os alunos sobre a escrita matemática com recurso à calculadora
gráfica na aprendizagem de modelos contínuos não lineares?
As perceções dos alunos relativamente à escrita matemática com recurso à calculadora
gráfica foram analisadas em dois momentos, um no início e outro no final da intervenção
pedagógica. Antes da intervenção pedagógica, os alunos consideram que a escrita matemática a
65
partir da calculadora gráfica os ajuda a desenvolver o raciocínio e a compreender os conteúdos
estudados. Durante a intervenção pedagógica, os alunos dão a conhecer algumas vantagens e
desvantagens da utilização deste recurso. Entre as vantagens evidenciam a realização de
cálculos, a construção de gráficos e o desenvolvimento do raciocínio. Como desvantagens,
apontam a perda de raciocínio, devido à dependência da calculadora, a escolha adequada da
janela de visualização e relacionar menus. No que diz respeito ao que escrevem a partir da
calculadora, os alunos tendem a considerar que não sentiram dificuldades nesta atividade. Após
a intervenção pedagógica a maior parte dos alunos manifesta uma perceção positiva
relativamente ao contributo da escrita matemática no que concerne à organização da informação
retirada da calculadora gráfica e, ainda, na interiorização de conceitos matemáticos, aspetos
estes que vão ao encontro do estudo realizado por Ball e Stacey (2005).
O estudo efetuado permitiu, ainda, tirar ilações acerca da contribuição da escrita
matemática a partir da calculadora gráfica na aprendizagem dos conteúdos dos modelos
contínuos não lineares estudados, em particular na formalização das definições destes modelos,
concluindo-se que os alunos atribuem um peso significativo a tal contributo, apesar de, no início
do ano letivo, considerarem que a escrita matemática gerava confusão na aprendizagem dos
conceitos, notando-se assim uma linha evolutiva no pensamento dos alunos.
4.2. Limitações e recomendações
Este estudo pretendia averiguar o contributo da calculadora gráfica na promoção da
escrita matemática na aprendizagem de modelos contínuos não lineares. Um estudo desta
natureza apresenta algumas limitações que se prendem com o contexto em que o mesmo foi
desenvolvido. Por um lado, como foi o meu primeiro contacto com uma turma, a falta de
experiência da minha parte foi uma grande limitação deste estudo, onde destaco: (i) a gestão do
tempo de cada aula, por vezes atribuía mais tempo que o necessário na realização de uma
tarefa; (ii) gestão do programa, este ano os alunos tinham exame nacional à disciplina de
Matemática e, como tal, o programa teria de ser cumprido; (iii) a minha inexperiência na
utilização da calculadora gráfica. Por outro lado, os alunos inicialmente estavam dispostos em
grupo de três a quatro elementos, o que nem sempre correspondia a um bom desempenho dos
alunos nas atividades propostas. De modo a envolver mais os alunosnas atividades da aula,
alterei o trabalho de grupo para trabalho a pares. Era uma turma bastante individualista na
66
realização das tarefas, portanto tiveram de aprender a trabalhar a pares, o que promoveu
discussão na turma e um espírito colaborativo.
Como recomendações para estudos futuros aconselho a proposta de tarefas que
envolvam a calculadora gráfica, tarefas que deem para resolver graficamente e analiticamente,
solicitar aos alunos que usem as duas formas e que comentem, sempre de forma a promover a
escrita matemática. Outra recomendação que sugiro é os professores confrontarem a
informação retirada da calculadora gráfica com os alunos, este recurso tem limitações mas isso
pode ser aproveitado para gerar discussão no grupo turma. O mesmo é referido por Consciência
(2003), pois esta autora alude que as limitações da calculadora gráfica são úteis no processo de
ensino e aprendizagem, uma vez que poderão surgir novas situações a serem exploradas.
67
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70
71
ANEXOS
72
73
ANEXO 1 – PEDIDO DE AUTORIZAÇÃO AO DIRETOR DA ESCOLA
Exmo. Senhor
Presidente da Comissão Administrativa Provisória
No âmbito do Mestrado em Ensino de Matemática, da Universidade do Minho, enquanto
professora estagiária, pretendo desenvolver experiências de ensino que potenciem a
aprendizagem dos alunos do tema “Modelos contínuos não lineares”. O desenvolvimento dessas
experiências implica a recolha de dados, que serão obtidos através da resolução de tarefas e da
observação das aulas. Para uma melhor compreensão das atividades que se desenvolvem na
aula de Matemática necessito de proceder à recolha de dados através de gravações (áudio e
vídeo). Para esse fim, venho desta forma solicitar a sua autorização para proceder ao registo em
suporte áudio e vídeo dos dados necessários à concretização das experiências de ensino e de
aprendizagem na sala de aula do seu educando.
Comprometo-me a usar os dados apenas para fins académicos e a não divulgar o nome da
escola e dos alunos, nem expor qualquer indicador que envolva o seu educando. Só me
interessa a informação que me ajude a melhorar as minhas estratégias de ensino. Os dados das
gravações serão apenas usados para efeitos do estudo a realizar e não terão qualquer influência
nas classificações escolares dos alunos. Comprometo-me ainda a proceder à destruição de todas
as gravações após a realização dos trabalhos.
Agradecemos a sua colaboração.
Escola ........., 12 de Novembro 2013
A estagiária de Matemática,
__________________________________________________________________
(Sara Gabriela Campos)
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ANEXO 2 – PEDIDO DE AUTORIZAÇÃO AOS ENCARREGADOS DE EDUCAÇÃO
Exmo(a). Senhor(a)
Encarregado(a) de Educação
No âmbito do Mestrado em Ensino de Matemática, da Universidade do Minho, enquanto
professora estagiária, pretendo desenvolver experiências de ensino que potenciem a
aprendizagem dos alunos do tema “Modelos contínuos não lineares”. O desenvolvimento dessas
experiências implica a recolha de dados, que serão obtidos através da resolução de tarefas e da
observação das aulas. Para uma melhor compreensão das atividades que se desenvolvem na
aula de Matemática necessito de proceder à recolha de dados através de gravações (áudio e
vídeo). Para esse fim, venho desta forma solicitar a sua autorização para proceder ao registo em
suporte áudio e vídeo dos dados necessários à concretização das experiências de ensino e de
aprendizagem na sala de aula do seu educando.
Comprometo-me a usar os dados apenas para fins académicos e a não divulgar o nome da
escola e dos alunos, nem expôr qualquer indicador que envolva o seu educando. Só me
interessa a informação que me ajude a melhorar as minhas estratégias de ensino. Os dados das
gravações serão apenas usados para efeitos do estudo a realizar e não terão qualquer influência
nas classificações escolares dos alunos. Comprometo-me ainda a proceder à destruição de todas
as gravações após a realização dos trabalhos.
Agradeço a sua colaboração.
Escola ........, 12 de Novembro 2013
A estagiária de Matemática,
__________________________________________________________________
(Sara Gabriela Campos)
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Autorizo que se faça o registo em áudio e vídeo das atividades de ensino e de aprendizagem nas
aulas de Matemática que envolvem o meu educando desde que seja salvaguardado o anonimato
do seu nome e de qualquer indicador que o indicie.
O Encarregado de Educação
___________________________________________________
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ANEXO 3 – QUESTIONÁRIO INICIAL
Questionário Inicial
O presente questionário é realizado no âmbito do estágio Profissional do Mestrado em Ensino de Matemática no 3.º ciclo do Ensino Básico e Secundário, da Universidade do Minho, e tem por objetivo conhecer as perceções de alunos do 11.º ano que frequentem a disciplina de Matemática sobre o contributo da escrita matemática com recurso à calculadora gráfica na sua aprendizagem.
1. Idade: _______ anos.
2. Sexo: F M
3. É a primeira vez que frequentas o 11.º ano? Sim Não
4. Gostas da disciplina de Matemática? (escolhe uma das seguintes opções) Muito Razoavelmente Pouco Nada
5. Que finalidade consideras que a disciplina de Matemática tem para a tua formação? ___________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________________________________________________
6. Das seguintes atividades, indica três de que mais gostas realizar nas aulas de Matemática?
Resolver exercícios Resolver problemas colaborar na elaboração de definições/propriedades/regras Elaborar problemas Passar para o caderno o que a professora diz e faz Discutir as resoluções de exercícios/problemas Justifica as tuas opções.
___________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________________________________________________
7. Nas aulas de matemática já alguma vez trabalhaste em grupo? Sim Não
Indica três vantagens do trabalho de grupo para a tua aprendizagem de conceitos matemáticos: ___________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________________________________________________
8. Indica três desvantagens do trabalho de grupo para a tua aprendizagem de conceitos matemáticos: ___________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________________________________________________
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9. Com que finalidade(s) utilizas a calculadora gráfica no teu estudo na disciplina de Matemática? ___________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________________________________________________
10. Em que tipo de tarefas (exercícios, problemas, exploração, investigação) é que costumas recorrer à calculadora gráfica? Porquê? ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________
___________________________________________________________________ 11. A utilização da calculadora gráfica incentiva ou dispensa a escrita matemática? Porquê?
___________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________________________________________________
12. Indica três vantagens da escrita matemática para a tua aprendizagem de conceitos matemáticos: ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________
___________________________________________________________________ 13. Indica três desvantagens da escrita matemática para a tua aprendizagem de conceitos
matemáticos: ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________________________________________________
Obrigada pela tua colaboração
ANEXO 4 – QUESTIONÁRIO FINAL
Questionário final
Caro(a) aluno(a):
No âmbito da unidade curricular Estágio Profissional do Mestrado em Ensino de Matemática no 3.º ciclo do Ensino Básico e Secundário, da Universidade do Minho, pretendo com este questinário recolher informação sobre as perceções de alunos do 11.º ano de escolaridade sobre a escrita matemática com recurso à calculadora gráfica na aprendizagem de modelos contínuos não lineares. A informação recolhida será usada somente para fins académicos, comprometendo-me a assegurar o anonimato da mesma. Peço que sejas sincero(a) pois as tuas respostas serão importantes para o estudo que estou a realizar.
Das afirmações que se seguem, assinal a que se adequa mais ao teu grau de concordância, atendendo à seguinte escala:
DT: Discordo Totalmente; D: Discordo; I: Indiferente; C: Concordo; CT: Concordo Totalmente.
Afirmações: DT D I C CT A aprendizagem de modelos contínuos não lineares permite-me resolver problemas da vida real.
A calculadora gráfica foi um recurso fundamental para modelar problemas da vida real.
O trabalho em pares permitiu-me discutir diferentes estratégias e resultados das tarefas propostas.
O trabalho em pares ou em grupo favoreceu mais a minha aprendizagem dos modelos contínuos não lineares estudados do que o trabalho individual.
A utilização da calculadora gráfica foi essencial para a aprendizagem dos conteúdos dos modelos contínuos não lineares estudados.
A calculadora gráfica não me ajudou na aprendizagem dos conteúdos dos modelos contínuos não lineares estudados.
A utilização da calculadora gráfica promoveu o desenvolvimento da minha capacidade de interpretar os gráficos dos modelos contínuos não lineares estudados.
A calculadora gráfica ajudou-me a predizer a forma do gráfico dos modelos contínuos não lineares estudados.
Apreciei mais trabalhar em pares do que em grupo. Na resolução de tarefas sobre conteúdos de modelos contínuos não lineares utilizei a calculadora gráfica só para determinar cálculos.
A escrita matemática a partir da calculadora gráfica ajudou-me a organizar os meus raciocínios.
A escrita matemática a partir da calculadora gráfica ajudou-me a formalizar as definições dos modelos estudados (por exemplo, número de Neper, funções exponencial/logarítmica/logística).
Senti dificuldades a transcrever a informação da calculadora gráfica para o caderno.
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A escrita matemática a partir da calculadora gráfica desafiou-me a pensar mais do que na resolução de tarefas sem a calculadora.
Não senti dificuldades em transcrever a informação retirada da calculadora gráfica para o caderno.
A transcrição da informação retirada da calculadora gráfica foi importante para a minha aprendizagem dos conteúdos dos modelos contínuos não lineares estudados.
A transcrição da informação da calculadora gráfica para o caderno ajudou-me a compreender os conteúdos dos modelos contínuos não lineares estudados.
Gostaria de aprender outros tópicos matemáticos através da escrita matemática a partir da calculadora gráfica.
Indica três aspetos positivos da utilização da calculadora gráfica na promoção da escrita
matemática para a tua aprendizagem de modelos contínuos não lineares.
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______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
Indica três aspetos negativos da utilização da calculadora gráfica na promoção da escrita
matemática para a tua aprendizagem de modelos contínuos não lineares.
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
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Que contributos achas que a escrita matemática a partir da calculadora gráfica trouxe à tua
aprendizagem de modelos contínuos não lineares?
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______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
Que dificuldades sentiste na aprendizagem de modelos contínuos não lineares através da escrita matemática a partir da calculadora gráfica?
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
Obrigada pela tua colaboração
ANEXO 5 – QUESTÕES COLOCADAS NO FINAL DE ALGUMAS AULAS
1. Indica duas ou três vantagens na utilização da calculadora gráfica na aprendizagem do tópico estudado na aula de hoje.
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 2. Indica duas ou três desvantagens na utilização da calculadora gráfica na aprendizagem do
tópico estudado na aula de hoje. ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 3. Sentiste alguma dificuldade em transcrever a informação retirada da calculdadora gráfica na
aprendizagem do tópico estudado na aula de hoje? Justifica. ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
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ANEXO 6 – GRELHA DE OBSERVAÇÃO
Atividades dos alunos Símbolo
Raciocínio
Verbaliza/apresenta/regista os raciocínios
Estabelece relações entre conceitos
Formula generalizações
Valida conjeturas
Informação
Ilustra a informação com gráficos/diagramas/tabelas
Estratégias
Edita corretamente expressões
Define a janela de visualização
Relaciona diferentes menus
Vantagens da calculadora gráfica na promoção da escrita matemática
Desvantagens da calculadora gráfica na promoção da escrita matemática