a aprendizagem da matemática em um ambiente informatizado

8/6/2019 A aprendizagem da matemtica em um ambiente informatizado

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IV Congresso RIBIE, Brasilia 1998

A APRENDIZAGEM DA MATEMTICA EM AMBIENTES INFORMATIZADOS

Maria Alice Gravina Lucila Maria [email protected] [email protected]

Resumo: Este trabalho analisa ambientes informatizados que apresentam recursos em consonnciacom processo de aprendizagem construtivista, o qual tem como princpio bsico que oconhecimento se constroe a partir das aes do sujeito. A luz da teoria de desenvolvimentocognitivo de J.Piaget so destacados alguns dos recursos que do suporte as aes do sujeito e queconsequentemente favorecem a construo do conhecimento matemtico. Na aprendizagem daMatemtica este suporte a possibilidade do fazer matemtica: experimentar, visualizarmltiplas facetas, generalizar, conjeturar e enfim demonstrar. Exemplos de alguns ambientes

ilustram tal processo.

INTRODUO

Esta artigo pretende identificar o que de diferente oferecem os ambientesinformatizados que tem-se a disposio atualmente e o que estas diferenas trazem designificativo para o processo de ensino e aprendizagem da Matemtica (segundo grau esries finais do primeiro grau) e para o desenvolvimento cognitivo do indivduo.

No so de interesse as ferramentas que guardam caractersticas de mtodos deensino que privilegiam simplesmente a transmisso de conhecimento e em que a medidade aquisio deste conhecimento dada pela habilidade do aluno em memoriz-lo e

reproduzi-lo, sem que se evidencie um verdadeiro entendimento. Mas sim aquelas quetrazem em seus projetos recursos em consonncia com concepo de aprendizagem dentrode uma abordagem construtivista, a qual tem como princpio que o conhecimento construdo a partir de percepes e aes do sujeito, constantemente mediadas porestruturas mentais j construdas ou que vo se construindo ao longo do processo,tomando-se aqui a teoria do desenvolvimento cognitivo de J.Piaget como base terica. Estateoria mostra que toda a aprendizagem depende fundamentalmente de aes coordenadasdo sujeito, quer sejam de carter concreto ou carter abstrato.

No contexto da Matemtica, a aprendizagem nesta perspectiva depende de aesque caracterizam o fazer matemtica: experimentar, interpretar, visualizar, induzir,conjeturar, abstrair, generalizar e enfim demonstrar. o aluno agindo, diferentemente deseu papel passivo frente a uma apresentao formal do conhecimento, baseadaessencialmente na transmisso ordenada de fatos, geralmente na forma de definies e

propriedades. Numa tal apresentao formal e discursiva, os alunos no se engajam emaes que desafiem suas capacidades cognitivas, sendo-lhes exigido no mximomemorizao e repetio, e consequentemente no so autores das construes que dosentido ao conhecimento matemtico. O processo de pesquisa vivenciado pelo matemtico


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profissional evidencia a inadequabilidade de tal abordagem. Na pesquisa matemtica , o

conhecimento construdo a partir de muita investigao e explorao, e a formalizao simplesmente o coroamento deste trabalho, que culmina na escrita formal e organizada dosresultados obtidos! O processo de aprendizagem deveria ser similar a este, diferindoessencialmente quanto ao grau de conhecimento j adquirido.

Durante alguns anos, a linguagem Logo se apresentou como uma das poucasferramentas computacionais, se no a nica, que tinha como concepo pedaggica que sse aprende fazendo, experimentando, investigando. No geral os programas disponveiseram do tipo instruo assistida por computador. Nos dias de hoje ainda grande a ofertade programas deste ltimo tipo, que mesmo tendo interface com interessantes recursos dehipermdia (som, imagem, animao, texto no linear), nada mais oferecem aos alunos doque ler definies e propriedades e aplic-las em exerccios prticos (tipo tutorial) ou testare fixar conhecimentos atravs da realizao de exerccios prottipos e repetitivos, que nomximo avanam em grau de dificuldade (tipo prtica de exerccios).

Se almeja-se uma mudana de paradigma para a educao, necessrio ser crticoe cuidadoso neste processo de uso da informtica. A informtica por si s no garante estamudana, e muitas vezes se pode ser enganado pelo visual atrativo dos recursostecnolgicos que so oferecidos, mas os quais simplesmente reforam as mesmascaractersticas do modelo de escola que privilegia a transmisso do conhecimento.

J dispe-se de programas com caractersticas que os tornam potentes ferramentaspara o ensino e aprendizagem da Matemtica dentro de uma perspectiva construtivista e isto que quer-se analisar neste artigo. So programas onde os alunos podem modelar,analisar simulaes, fazer experimentos, conjeturar. Nestes ambientes os alunos expressam,confrontam e refinam suas idias, e programam o computador sem precisar usar recursosde linguagem de programao, diferentemente do que acontece com micro-mundos noambiente Logo. Utilizam, pelo contrrio, processos de representao muito prximos dos

processos de representao com "lpis e papel", no sendo-lhes exigido o conhecimento edomnio de uma nova sintaxe e morfologia, aspectos inerentes a uma linguagem deprogramao.

A APRENDIZAGEM DA MATEMTICA NUMA PERSPECTIVACONSTRUTIVISTA

A orientao que se d para a Educao Matemtica certamente depende deconcepes sobre a natureza do conhecimento matemtico (tomado aqui num sentido bemamplo) e de como acontece o desenvolvimento cognitivo do ser humano.

A Matemtica, como rea de conhecimento, apresenta duas caractersticas distintas:- ferramenta para o entendimento de problemas nas mais variadas reas do

conhecimento. Frmulas, teoremas e, mais geralmente, teorias matemticas so usados naresoluo de problemas prticos e na explicao de fenmenos nas mais variadas reas doconhecimento. Neste sentido, o aspecto importante a aplicabilidade da Matemtica.


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- desenvolvimento de conceitos e teoremas que vo constituir uma estrutura

matemticas. O objetivo a descoberta de regularidades e de invariantes, cuja evidncia seestabelece pela demonstrao baseada no de raciocnio lgico e mediado to somente pelosaxiomas de fudamentao da estrutura e teoremas j destes deduzidos. investigao noplano puramente matemtico.

Em artigo no Mathematical Intelligencer, Chandler&Edwards fazem clarareferncia a estes dois aspectos:

Para os matemticos, um perene problema explicar ao grande pblico que aimportncia da Matemtica vai alm de sua aplicabilidade. como explicar a algum que nuncaouviu msica a beleza de uma melodia...Que se aprenda a Matemtica que resolve problemasprticos da vida, mas que no se pense que esta a sua qualidade essencial. Existe uma grandetradio cultural a ser preservada e enriquecida, em cada gerao. Que tenha-se cuidado, aoeducar, para que nenhuma gerao torne-se surda as melodias que so a substncia de nossa

grande cultura matemtica...

Na histria do desenvolvimento da Matemtica estas caractersticas esto em permanente relao. A partir de busca de soluo de problemas em outras reas deconhecimento, surge o desenvolvimento de Matemtica de carter puramente abstrato. Edesenvolvimentos puramente tericos, acabam apresentando-se como ferramentas paratratabilidade de problemas em outras reas de conhecimento. A histria da evoluo daGeometria nos mostra bem este duplo aspecto da Matemtica. Na antigidade surge comocincia prtica na soluo de problemas de medidas; com os gregos torna-se conhecimentode carter abstrato, tomando como ponto de partida axiomas indiscutveis sob o ponto devista intuitivo, inspirados que so pelo mundo fsico; com as geometrias no-euclidianas,no sculo XIX, tem-se o carter abstrato ao extremo, j que os axiomas aceitos no sebaseiam mais na intuio imediata; e finalmente tem-se a aplicao destas geometrias noentendimento de problemas da fsica.

No processo educativo estes dois aspectos da Matemtica devem ser enfatizadosigualmente. Um dos grandes desafios para os educadores matemticos encontrar oscaminhos que levem seus alunos a apropriarem-se deste conhecimento. E para isto,questes de ordem cognitiva merecem uma anlise.

A teoria de desenvolvimento cognitivo proposta por J. Piaget, ajuda a compreenderque o pensamento matemtico no , em essncia, diferente do pensamento humano maisgeral, no sentido de que ambos requerem habilidades como intuio, senso comum,apreciao de regularidades, senso esttico, representao, abstrao e generalizao, etc...A diferena que pode ser considerada no universo de trabalho: na Matemtica os objetosso de carter abstrato e so rigorosos os critrios para o estabelecimento de verdades.

Os estudos de Piaget evidenciam j nos primeiros anos de vida os primrdios

destas habilidades. Sua teoria, procura explicar o complexo processo atravs do qual se do desenvolvimento das funes cognitivas da inteligncia. Atravs de suas cuidadosasobservaes e entrevistas clnicas, disseca os diversos estgios deste processo, mostrando


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a contnua evoluo das estruturas mentais, e cujo estado mais avanado se caracteriza

pelo pensamento formal abstrato.Para melhor entendimento do processo evolutivo das estruturas cognitivas, Piagetdestacada trs estgios bsicos. Na construo dos primeiros esquemas de natureza lgico-matemtica as crianas se apoiam em aes sensrio-motoras sobre objetos materiais eatravs de exerccios de repetio espontnea chegam ao domnio e generalizao da ao(estgio pr-operatrio). O segundo estgio caracteriza-se pelo aparecimento das operaes,as aes em pensamento; mas nesta fase as crianas ainda dependem dos objetos concretospara que as aes se constituam em conceitos (estgio operatrio concreto). E finalmenteatingem o estgio das operaes sobre objetos abstratos, j no dependendo mais de aesconcretas ou de objetos concreto; a constituio do pensamento puramente abstrato.

O que quer-se destacar o quanto o processo de aprendizagem se baseia na ao dosujeito; inicialmente, as aes concretas sobre objetos concretos respondem pelaconstituio dos esquemas, e no ltimo estgio, as aes abstratas (operaes) sobre objetosabstratos respondem pela constituio dos conceitos. Diz Piaget (1974): s falaramos deaprendizagem na medida em que um resultado (conhecimento ou atuao) adquirido emfuno da experincia , essa experincia podendo ser do tipo fsico ou do tipo lgico-matemtico ou os dois.

J no primeiro estgio de desenvolvimento, na construo e coordenao deesquemas evidencia-se o uso de regras muito prximas a da lgica - associao (unio),generalizao (incluso), restrio (interseo) . Percebe-se uma construo espontnea deestruturas lgico -matemticas, que se aproximam das utilizadas no desenvolvimento doconhecimento matemtico. a gnese do pensamento lgico-matemtico, que se apresentana forma de generalizao de aes e coordenao de esquemas.

esclarecedor o que diz Piaget (1973), particularmente no contexto da EducaoMatemtica:

O papel inicial das aes e das experincias lgico matemticas concretas precisamente de preparao necessria para chegar-se ao desenvolvimento do esprito dedutivo, eisto por duas razes. A primeira que as operaes mentais ou intelectuais que intervm nestasdedues posteriores derivam justamente das aes: aes interiorizadas, e quando estainteriorizao, junto com as coordenaes que supem, so suficientes, as experincias lgicomatemticas enquanto aes materiais resultam j inteis e a deduo interior se bastar a simesmo. A segunda razo que a coordenao de aes e as experincias lgico matemticas dolugar, ao interiorizar-se , a um tipo particular de abstrao que corresponde precisamente aabstrao lgica e matemtica.

Todo o processo permeado pelo desenvolvimento, concomitante, da funorepresentativa; a representao mental que permite a transio da ao sensrio-motora

ao abstrata. Os esquemas evoluem para conceitos e as aes para operaes atravs datomada de conscincia, definida por Piaget como a reconstituio conceitual do que temfeito a ao. Becker (1997), a luz da teoria de Piaget, diz:


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fcil vislumbrar o que isto significa para a aprendizagem. O esquema, generalizao

no plano da ao concreta, poder mediante progressivas tomadas de conscincia, tornar-seconceito, generalizao no plano mental ou intelectual. Dos limites do real passa-se aopossvel...

Os desequilbrios entre experincia e estruturas mentais que fazem o sujeitoavanar no seu desenvolvimento cognitivo e conhecimento, e Piaget procura mostrar oquanto este processo natural. O novo objeto de conhecimento assimilado pelo sujeitoatravs das estruturas j constitudas, sendo o objeto percebido de uma certa maneira; onovo produz conflitos internos, que so superados pela acomodao das estruturascognitivas, e o objeto passa a ser percebido de outra forma. Neste processo dialtico construdo o conhecimento. O meio social tem papel fundamental na acelerao ouretardao deste desenvolvimento; isto se evidencia na decalagem de estruturas cognitivasque apresentam indivduos que vivem em meios culturalmente pobres.

Na formao matemtica dos alunos, alm de pretender-se a construo de umaslida base de conhecimento na rea, deve-se estar atento para a riqueza intelectual quedecorre do constante desenvolvimento cognitivo do sujeito quando a ele propicia-seimerso no processo do fazer matemtica, que nada mais que o processo dinmicoassimilao versus acomodao de construo simultnea de conhecimento matemtico ede estruturas mentais. Fischbein (1994) diz:

Axiomas, definies, teoremas e demonstraes devem ser incorporados comocomponentes ativos do processo de pensar. Eles devem ser inventados ou aprendidos, organizados,testados e usados ativamente pelos alunos. Entendimento do sentido de rigor no raciocniodedutivo, o sentimento de coerncia e consistncia, a capacidade de pensar proposicionalmente,no so aquisies espontneas. Na teoria piagetiana todas estas capacidades esto relacionadascom a idade - o estgio das operaes formais. Esta capacidades no so mais do que

potencialidades que somente um processo educativo capaz de moldar e transformar emrealidades mentais ativas.

Se por um lado a teoria de Piaget mostra uma continuidade, em princpio natural,na formao das estruturas cognitivas, desde os primeiros esquemas at as estruturas querespondem pelo pensamento formal abstrato, por outro lado o processo de ensino eaprendizagem que se tem institucionalizado no leva em considerao esta naturalidade.A partir do momento que as crianas ingressam na escola, no geral, so privadas de suasaes e experincias de carter concreto, e mais adiante de carter abstrato, reforando-seao longo dos anos de vida escolar o papel de receptores passivos de informao. Estaruptura pode explicar os baixos nveis de pensamento abstrato com que os alunos chegamao ensino superior. Gravina (1996) registra:

... os alunos chegam universidade sem terem atingido os nveis mentais da deduo edo rigor. Raciocnio dedutivo, mtodos e generalizaes - processos caractersticos e fundamentais da Geometria- os alunos pouco dominam. At mesmo apresentam pouca


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compreenso dos objetos geomtricos, confundindo propriedades do desenho com propriedades do

objeto.Moore (1994), em sua pesquisa sobre obstculos frente a demonstrao de

teoremas, identifica algumas causas: imagens mentais inadequadas, pouco entendimentodos conceitos, pouco domnio da linguagem e notao matemtica.

Fala-se em processo de ensino e aprendizagem construtivista, entendendo-se umametodologia de trabalho, ainda um tanto vaga e imprecisa, que procura colocar-se emsintonia, principalmente, com princpios da teoria de Piaget. Mas de fato, no tem-se aindaestabelecida, dentro das teorias da Educao, uma slida base terica do que seria umapedagogia construtivista. Pesquisas na rea de Educao Matemtica tem se preocupadocom estas questes, mas ainda poucos so os reflexos na prtica educativa. Estas pesquisasapontam para princpios norteadores do que seria uma pedagogia construtivista:

necessrio que o professor de matemtica organize um trabalho estruturado atravs deatividades que propiciem o desenvolvimento de explorao informal e investigao reflexiva e queno privem os alunos nas suas iniciativas e controle da situao. O professor deve projetardesafios que estimulem o questionamento, a colocao de problemas e a busca de soluo. Osalunos no se tornam ativos aprendizes por acaso, mas por desafios projetados e estruturados, quevisem a explorao e investigao (Richards, 1991)

Um dos maiores problemas na educao decorre do fato que muitos professoresconsideram os conceitos matemticos como objetos prontos, no percebendo que estes conceitosdevem ser construdos pelos alunos...De alguma maneira os alunos devem vivenciar as mesmasdificuldades conceituais e superar os mesmos obstculos epistemolgicos encontrados pelosmatemticos...Solucionando problemas, discutindo conjeturas e mtodos, tornando-se conscientesde suas concepes e dificuldades, os alunos sofrem importantes mudanas em suas idias...(Vergnaud, 1990)

Na educao a preocupao principal deveria ser a construo de esquemas para oentendimento de conceitos. O ensino deveria se dedicar a induzir os alunos a fazerem estasconstrues e ajud-los ao longo do processo...Aprender envolve abstrao reflexiva sobre osesquemas j existentes, para que novos esquemas se construam e favoream a construo de novosconceitos...Um esquema no se constroe quando h ausncia de esquemas pre-requisitos...(Dubinsky, 1991)

Para o estabelecimento de uma pedagogia construtivista duas das principaisquestes, intimamente relacionadas, a serem enfocadas so:

- quanto ao aspecto matemtico: como projetar atividades que faam com que osalunos se apropriem de idias matemticas profundas e significativas (e que exigiram dematemticos altamente qualificados alguns anos para serem concebidas e estruturadas) ?

- quanto ao aspecto cognitivo: como fazer para que estas atividades coloquem osalunos em atitudes sintonizadas com os processos que so naturais ao desenvolvimentocognitivo do sujeito ?


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Na prxima seo deste artigo procura-se mostrar de que forma os ambientes

informatizados podem ajudar na busca de respostas a estas questes. So ambientes quedo suporte aos objetos matemticos e as aes mentais dos alunos, e que portantofavorecem os processos imbricados de construo de conhecimento matemtico e dedesenvolvimento de estruturas cognitivas.

AMBIENTES INFORMATIZADOS E A APRENDIZAGEM DA MATEMTICA

Conforme delineado na seo anterior, est se tomando como princpio que aaprendizagem um processo construtivo, que depende de modo fundamental das aes dosujeito e de suas reflexes sobre estas aes: Todo conhecimento ligado ao econhecer um objeto ou evento assimil-lo um esquema de ao...Isto verdade do maiselementar nvel sensrio motor ao mais elevado nvel de operaes lgico -matemticas(Piaget,1967).

No contexto da Matemtica, so as aes, inicialmente sobre objetos concretos, quese generalizam em esquemas, e num estgio mais avanado so as aes sobre objetosabstratos que se generalizam em conceitos e teoremas. Quando a criana brinca com pedras,dispondo-as de diversas formas (segmentos de retas com diversas inclinaes e tamanhos,crculos) e ao contar o nmero de pedras constata, com surpresa, que o nmero de pedrasindepende da forma em que esto dispostas, atravs das ao concreta de ordenar e contarque constroe o conceito de nmero natural. Um matemtico, em seu estgio avanado depensamento formal, tambm age sobre seus objetos de investigao: identifica, em casos particulares regularidades que se generalizam; testa suas conjeturas em novos casosparticulares; e finalmente aventura-se na tentativa de demonstrao. o que diz Hadamard(1945):

De fato, bvio que qualquer inveno ou descoberta, em Matemtica ou em qualqueroutra rea, acontece pela combinao de idias...algumas das quais podem ser frteis...necessrio construir numerosas possibilidades de combinaes, e encontrar dentre elas as que soproveitosas...

Da criana ao matemtico profissional, os objetos mudam de natureza: de fsicospassam a abstratos, mas continuam guardando uma concretude, dada pela representaomental, figural ou simblica, a eles associada, e sobre estes objetos que so aplicadas asaes mentais. Neste sentido interessante o que diz Ogborn (1997), a luz da teoria dePiaget, quando fala em raciocnio formal como um caso especial e bastanteextraordinrio de raciocnio concreto. Matemticos e lgicos esto to acostumados comseus sistemas de smbolos, que os tratam como objetos concretos.

No processo de ensino e aprendizagem, a transio na natureza dos objetos sobre os

quais os alunos aplicam as aes uma questo central. O mundo fsico rico em objetosconcretos para o incio da aprendizagem em Matemtica, no geral de carter espontneo.Mas se o objetivo a construo de conceitos mais complexos e abstratos, estes no temsuporte materializado, entrando em jogo a concretizao mental, que nem sempre


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simples, mesmo para o matemtico profissional. Este tipo de aprendizagem nem sempre

tem carter espontneo e exige muitas vezes a construo de conceitos que so at mesmo,num primeiro momento, pouco intuitivos, portanto dependendo de muita ao mental porparte do aluno. Um exemplo ilustrativo, ao extremo, encontra-se na prpria histria dodesenvolvimento da geometria: dois mil anos foram necessrios para as mudanas deconcepes que tornaram naturais as geometrias no-euclidianas. O grande obstculoexplica-se pelo carter pouco intuitivo dos axiomas que definiriam estas geometrias, emoposio aos carter espontneo daqueles da geometria euclidiana, entendida at entocomo a geometria para o entendimento do mundo que nos rodeia (e hoje v-se que, de fato,at onde nossos sentidos imediatos conseguem perceb-lo).

Obstculos e a sua superao permeiam a histria do desenvolvimento daMatemtica. Na aprendizagem o processo similar: por um lado temos o conhecimentomatemtico, no sentido de conhecimento socialmente aceito, e por outro lado a construodeste conhecimento atravs dos processos cognitivos individuais. Em relao aos conceitos,Vinner (1991) se refere aos primeiros como conceito definio e aos ltimos comoconceitos imagens. A aprendizagem se efetiva a partir do equilbrio dos dois conceitos, eisto fundamental para o avano na construo do conhecimento. Enquanto os alunosencontram obstculos em traar reta tangente curva y = x 3 no ponto (0,0) porque oconceito imagem est incompleto, e portanto o objeto matemtico reta tangente curvaainda no foi adequadamente construdo.

Os ambientes informatizados apresentam-se como ferramentas de grande potencialfrente aos obstculos inerentes ao processo de aprendizagem. a possibilidade de "mudaros limites entre o concreto e o formal" (Papert, 1988). Ou ainda segundo Hebenstreint(1987):o computador permite criar um novo tipo de objeto - os objetos concreto-abstratos. Concretos porque existem na tela do computador e podem ser manipulados;abstratos por se tratarem de realizaes feitas a partir de construes mentais . Por

exemplo, uma rotao no mais somente um objeto matemtico abstrato (dado por umadefinio formal) acompanhado eventualmente de uma representao esttica (desenho),mas um objeto que pode ser manipulado e entendido a partir de suas invarianas (aomudar-se o centro de rotao, o ngulo de rotao, ao transformar figuras).

No campo da pesquisa em Matemtica alguns exemplos so ilustrativos. A teoriado caos nasceu do estudo de equaes diferenciais feito por Lorentz; ao implementarsistemas que diferenciavam minimamente nas condies iniciais, Lorentz constatou que aevoluo do sistema, no tempo, se tornava imprevisvel e a partir disto surgem osresultados tericos sobre a instabilidade dos sistemas dinmicos. Um segundo exemplo: arepresentao grfica de computaes massivas tornou possvel o avano da teoria defractais. Figuras surpreendentes foram fontes de conjeturas que desencadearam a pesquisana direo de demonstraes formais. Estes exemplos so paradigmticos quanto aosuporte oferecido pelos ambientes informatizados na concretizao mental de idiasmatemticas. Este suporte favorece a explorao, a elaborao de conjeturas e orefinamento destas, e a gradativa construo de uma teoria matemtica formalizada.


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E mesmo quando existe a possibilidade de aes sobre objetos fsicos, a

transposio destes objetos para ambientes informatizados tambm apresenta vantagens: a possibilidade de realizar grande variedade de experimentos em pouco tempo,diferentemente da manipulao concreta. a primazia da ao favorecendo o processo deinvestigao e abstrao, com a conseqente construo de conceitos e relaes. Nesteesprito tem-se como exemplo o programa Blocks Microworld de Thompson (1992), quepermite a construo virtual do material multibase de Dienes.

claro que o suporte para concretizaes e aes mentais depende decaractersticas dos ambientes informatizados, algumas das quais sero propsito de anliseno que segue. E a ttulo de ilustrao so apresentados exemplos de alguns programas.

1.Caractersticas de ambientes informatizados construtivistasEsta anlise toma como referncia os trabalhos de Kaput (1992) e Mellar & at all

(1994). Procura-se identificar de que forma as caractersticas aqui apontadas do suporte asaes e reflexes sobre os objetos matemticos, condio que est sendo tomada comoindispensvel na aprendizagem da Matemtica.

1.1 Meio DinmicoHistoricamente os sistemas de representao do conhecimento matemtico tem

carter esttico. V-se isto observando os livros ou assistindo uma aula clssica. Estecarter esttico muitas vezes dificulta a construo do significado, e o significante passa aser um conjunto de smbolos e palavras ou desenho a ser memorizado. Assim sendo, nodeve ser surpreendente quando os alunos no conseguem transferir um conceito ou teoremapara situao que no coincide com a prototpica registrada a partir da apresentao do livroou do professor.

A instncia fsica de um sistema de representao afeta substancialmente a

construo de conceitos e teoremas. As novas tecnologias oferecem instncias fsicas emque a representao passa a ter carter dinmico, e isto tem reflexos nos processoscognitivos, particularmente no que diz respeito as concretizaes mentais. Um mesmoobjeto matemtico passa a ter representao mutvel, diferentemente da representaoesttica das instncias fsicas tipo "lpis e papel" ou "giz e quadro-negro". O dinamismo obtido atravs de manipulao direta sobre as representaes que se apresentam na tela docomputador. Por exemplo: em geometria so os elementos de um desenho que que somanipulveis; no estudo de funes so objetos manipulveis que descrevem relao decrescimento/decrescimento entre as variveis

Um aspecto importante do pensamento matemtico a abstrao da invarincia, e para o seu reconhecimento e entendimento nada mais prprio que a variao. Odinamismo da representao destaca os invariantes e diz Kaput(1992): "a transiocontinua entre estados intermedirios um recurso importante dos programas derepresentao dinmicos, sob o ponto de vista cognitivo". Por exemplo, aps umaapresentao esttica do conceito de altura de um tringulo os alunos registram que aaltura de um tringulo sempre da base at a parte mais alta do mesmo ou altura a


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linha vertical que une a base lado do tringulo ao vrtice oposto (Gravina,1996),

mostrando concretizao mental inadequada. J num meio dinmico um tringulo comcorrespondente segmento altura pode ser manipulado, mantendo-se um lado do tringulofixo e fazendo-se o vrtice oposto deslocar-se numa paralela a este lado. Desta formaobtm-se uma famlia de desenhos com tringulos e segmentos alturas em diversassituaes, o que favorece a concretizao mental em harmonia com o conceito matemticode altura de um tringulo.

1.2 Meio InterativoComo interatividade entende-se aqui a dinmica entre aes do aluno e reaes do

ambiente, e no sentido muito alm daquele em que a reao do sistema simplesmenteinformar sobre acerto ou erro frente a ao do aluno, no fornecendo nenhumacontribuio ao processo de aprendizagem. Na interatividade que est-se pensando, osistema oferece suporte as concretizaes e aes mentais do aluno; isto se materializa narepresentao dos objetos matemticos na tela do computador e na possibilidade demanipular estes objetos via sua representao.

A reao do ambiente, correspondente a ao do aluno, funciona como sensorno ajuste entre o conceito matemtico e sua concretizao mental. Um meio que pretendaser interativo, na medida do possvel, no deve frustrar o aluno nos procedimentosexploratrios associados as suas aes mentais. Isto vai depender dos recurso que coloca adisposio e do nvel de automao nos procedimentos. Alguns dos recurso j disponveisem certos ambientes: ferramentas para construo de objetos matemticos, mltiplasrepresentaes, procedimentos dos alunos podem ser registrados ou automatizados(capturao de procedimentos), auto-escala automtica, zoom-in e zoom-out, dados que seatualizam com a dinmica da situao, traado de lugares geomtricos, clculosautomticos.

Quanto ao potencial das mltiplas representaes, considerando que um mesmoobjeto matemtico pode receber diferentes representaes e que estas registram diferentesfacetas do mesmo, uma explorao que transita em diferentes sistemas torna-sesignificativa no processo de construo do conceito. Por exemplo, a uma funo pode-seassociar uma representao grfica que evidencia variaes qualitativas, ou umarepresentao matricial numrica que evidencia variaes quantitativas, ou ainda umfenmeno cujo comportamento dado pela funo. Ou ainda, pode-se estudar famlia defunes sob o ponto de vista de operaes algbricas e correspondentes movimentosgeomtricos nos grficos associados.

Os programas que fazem tradues entre diferentes sistemas de representaoapresentam-se como potentes recursos pedaggicos, principalmente porque o aluno podeconcentrar-se em interpretar o efeito de suas aes frente as diferentes representaes, atde forma simultnea, e no em aspectos relativos a transio de um sistema outro,atividade que geralmente demanda tempo.

Capturao de procedimentos recurso encontrado, particularmente, emprogramas para Geometria. Automaticamente so gravados os procedimentos do aluno em


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seu trabalho de construo, e mediante solicitao o aluno pode repassar a histria do

desenvolvimento de sua construo. Isto permite o aluno refletir sobre suas aes eidentificar possveis razes para seus conflitos cognitivos. Este recurso tambm permiteque o aluno explore construes feitas por outrem, o que sempre se apresenta como fontede riqueza em idias matemticas.

Ainda atravs da capturao de procedimentos, construes particulares podem serautomaticamente generalizadas, gravadas e testadas em outras situaes (so as macroconstrues). A capturao feita na semntica da Geometria, no dependendo de sintaxeparticular de programao. Por exemplo, um procedimento de construo das mediatrizes generalizado e pode ser aplicado a qualquer outro tringulo, evidenciando-se no suporteconcreto que a interseo das mediatrizes em nico ponto no depende de particularidadesdo tringulo. V-se assim o ambiente favorecendo a construo de conjeturas, o que exigeraciocnios mediados pelo constante processo de assimilao versus acomodao. claro que a construo do conhecimento vai alm e no se realiza enquanto a argumentaomatemtica explcita no torna evidente o por que desta propriedade. Nesta fase final deconstruo, a demonstrao da propriedade, o ambiente continua desempenhando seu papelatravs da possibilidade de acrescentar novos elementos a representao que est sendomanipulada, no caso os segmentos que determinam os tringulos cujas congruncias so abase para a argumentao.

1.3 Meio para modelagem ou simulaoCriar e explorar o modelo de um fenmeno uma experincia importante no

processo de aprendizagem. Segundo Ogborn (1997):

Quando se constrem modelos comea-se a pensar matematicamente. A anlisede um o modelo matemtico, pode levar a compreenso de conceitos profundos, como por

exemplo a noo fundamental de taxa de variao...A criao de modelos o incio dopensamento puramente terico sobre o funcionamento das coisas.

Em programas com recursos de modelagem os alunos constrem modelos a partirrepresentao dada por expresses quantitativas (funes, taxas de variao, equaesdiferenciais) e de relaes entre as variveis que descrevem o processo ou fenmeno. Acaracterstica dominante da modelagem a explicitao, manipulao e compreenso dasrelaes entre as variveis que controlam o fenmeno, sendo o feedback visual oferecidopela mquina um recurso fundamental para o ajuste de idias.

O recurso de simulao permite a realizao de experimentos envolvendo conceitomais avanados. Neste caso, a complexidade analtica do modelo fica por conta do programa e os alunos exploram qualitativamente as relaes matemticas que seevidenciam no dinamismo da representao de carter visual. Na explorao qualitativano h preocupao com a deduo das relaes matemticas analticas. Esta abordagem permite que alunos, ainda sem grande formao matemtica, explorem fenmenos de


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natureza matemtica complexa, mas que do ponto de vista puramente qualitativo so

fecundos germes de idias matemticas, como por exemplo as simulaes de crescimentopopulacional e mais geralmente de sistemas dinmicos.Alm destes dois aspectos, so ambientes que possibilitam tratar a Matemtica

tambm como ferramenta para resoluo de problemas em outras reas do conhecimento.Um exemplo ilustrativo o estudo da parbola: em Matemtica um objeto abstrato, que pode ser representado por uma equao ou grfico; em Fsica serve para descrever omovimento de um objeto em queda livre ou que jogado verticalmente para cima.Propriedades matemticas da equao passam a ter leitura fsica e vice-versa: ponto demximo da funo corresponde a altura mxima atingida pelo objeto; zero da funocorresponde ao tempo de movimento; inclinao da reta tangente curva a velocidade. Asrelaes entre conceitos matemticos e fenmeno fsico favorecem a construo doconhecimento em ambas as reas.

2. Algumas questes pedaggicasNaanlise das caractersticas feita acima, toma-se como referncia programas que

tem em seus projetos de construo procupaes de carter pedaggico. So ferramentasdirecionadas para a aprendizagem da Matemtica, e que por conseguinte procuram oferecerrecursos que viabilizem as aes mentais; so recursos que podem ajud-los na superaode obstculos inerentes ao processo de aprendizagem da Matemtica.

Nestes ambientes pode-se identificar dois modos de utilizao, na direo de umapedagogia construtivista:

2.1 Atividades de ExpressoO aluno cria seus prprios modelos (tomado aqui em sentido amplo) para expressar idias e pensamentos. Suas concretizaes mentais so exteriorizadas. Uma vez construdo o

modelo, atravs dos recursos do ambiente, o aluno pode refletir e experimentar, ajustandoe/ou modificando suas concepes. Neste sentido, os ambientes so veculos dematerializao de idias, pensamentos e mais geralmente de aes do sujeito.

2.2 Atividades de ExploraoAo aluno apresentado um modelo j pronto, o qual deve ser explorado, entendido,

analisado. No so suas idias que ali esto representadas, e portanto existe o desafiointelectual de compreend-las. A prpria compreenso do modelo, o entendimento dos princpios de construo, j so por si s estmulos ao raciocnio, que favorecem aconstruo de relaes e conceitos.

Neste trabalho no foi propsito a anlise de ferramentas mais gerais. So osprogramas de clculo simblico (Mathematica, Mapple,...) ou planilhas eletrnicas (Excel,Lotus,...) ou ainda linguagens de programao. Isto porque, embora sendo potentesferramentas para a realizao de clculos matemticos ou plotagem de grficos ouimplementao de algoritmos, no foram projetados com propsitos educativos, no sentidode oferecem recursos que auxiliem o aluno na construo de conhecimento e superao de


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dificuldades. Por exemplo, com um programa de clculo simblico um aluno pode calcular

eficientemente a derivada ou integral de uma funo, sem necessriamente estar entendendoos significados de tais conceitos. Um trabalho de adaptao, orientado por propsitospedaggicos, at pode ser feito, mas certamente no simples, e est uma questo quevem sendo objeto de pesquisa.

Dentre as linguagens de programao deve-se excetuar a linguagem Logo,projetada a partir de princpios pedaggicos construtivistas, mas na qual no vamos nosdeter neste trabalho. Seu potencial est amplamente documentado em pesquisas (Hoyles, Noss, Sutherland, Edwards e outros) e transparece claramente nas palavras de Papert(1994):

"...programar a tartaruga comea com a reflexo sobre como ns fazemos o quegostaramos que ela fizesse; assim, ensin-la a agir ou pensar pode levar-nos a refletir sobrenossas prprias aes ou pensamentos...E a medida que as crianas progridem, passam a

programar o computador para tomar decises mais complexas e acabam engajando-se nareflexo de aspectos mais complexos do seu prprio pensamento."

3. Alguns programas ilustrativosOs programas aqui apresentados servem para ilustrar as questes discutidas

anteriormente. So apresentadas as principais caractersticas de cada um deles e exemplosilustrativos.

3.1 Cabri Geometry e Sketchpad - ferramentas para GeometriaSo ferramentas, especialmente, para construes em Geometria. Dispem de

rgua e compasso eletrnicos, sendo a interface de menus de construo em linguagemclssica da Geometria. Os desenhos de objetos geomtricos so feitos a partir das

propriedades que os definem. Atravs de deslocamentos aplicados aos elementos quecompe o desenho, este se transforma, mantendo as relaes geomtricas que caracterizama situao. Assim, para um dado conceito ou teorema temos associada uma coleo dedesenhos em movimento, e as caractersticas invariantes que a aparecem correspondemas propriedades em questo. O aluno age sobre os objetos matemticos num contextoabstrato, mas tem como suporte a representao na tela do computador. A multiplicidadede desenhos enriquece a concretizao mental, no existindo mais as situaes prototpicasresponsveis pelo entendimento inadequado.

Apresentam interface dinmica e interativa (desenhos em movimento e que podem ser automatizados atravs do recurso de botes), mltiplas representaes(trabalha com geomtrica sinttica e um pouco de analtica), capturao de procedimentos(tem comando que permite ter acesso a histria da construo e comandos para criao demacros. No Cabri Geometry o prprio desenho que reconstrudo passo a passo; noSketchpad alm disto, tem-se janela adicional onde a construo explicitada tambmatravs de linguagem matemtica).

Exemplo 1: Um problema de otimizao


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No plano so dados dois pontos fixos A e B, e um ponto P que se desloca em uma

reta. Dentre todos os caminhos AP+PB determinar o de menor comprimento.Movimento sobre o ponto P permite a explorao inicial. Se o quadro geomtricono se apresenta suficiente para a resoluo do problema, os alunos podem se valer deoutras representaes: tabela que computa distncias e grfico da funo que representa asituao geomtrica. Ambas as representaes se atualizam de acordo com o movimento doponto P. Nestas representaes os alunos podem localizar aproximadamente o ponto queresolve o problema, e o passo seguinte identificar a particularidade geomtrica dasoluo de carter experimental. Pode-se ir alm,desafiando-se os alunos a responderem a pergunta por que tal ponto resolve o problema?.A informao visual fornece indcios para a argumentao matemtica, que vai seformalizar atravs de conceitos e teoremas como reflexo, congruncia de tringulos edesigualdade triangular.( interessante comparar a explorao em ambiente informatizadoaqui delineada com o trabalho que normalmente se realiza em sala de aula convencional)

Exemplo 2: Transformaes isomtricas no planoSo apresentados aos alunos instrumentos virtuais que exploram as

transformaes isomtricas no plano: translao, rotao e reflexo. Os instrumentos sodinmicos, e manipulando-os os alunos identificam o tipo de transformao e os princpios de construo dos instrumentos. Os princpios de construo de um dadoinstrumento so invariantes no movimento e portanto so percebidos e abstrados. Omesmo acontece com a transformao que o instrumento realiza; os invariantes

Figura 1 - Um problema de otimizao (Sketchpad)


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correspondem as propriedades que vo definir a transformao e atravs da

manipulao que vo se tornando transparentes. O passo seguinte estabelecer a relaoentre as propriedades do instrumento e a transformao que ele realiza, ou seja, aargumentao matemtica. Por exemplo, no instrumento que faz rotao a partir doponto O e ngulo fixos no instrumento, e da congruncia entre segmentos que o

compem que se deduz que os pontos P e seu transformado P so tais que OP congruente OP e que o ngulo PP sempre igual a , propriedades que caracterizama rotao de centro O e ngulo .

Figura 2- Transformaes Isomtricas-rotao (Cabri-Geometry)

Exemplo 3: Modelo para explorao de Geometria Hiperblica

A construo de macros apropriados permite os alunos trabalharem no modelo deGeometria Hiperblica dado pelo disco de Poincar. Traam retas, tringulos, retasparalelas, calculam soma dos ngulos de um tringulo, constrem objetos geomtricosneste mundo diferente do euclidiano. interessante observar que a manipulao dinmicade um tal modelo pode favorecer o desenvolvimento de aspectos cognitivos que sonecessrios aos raciocnios matemticos, na sua forma mais abstrata (se assim pode-sefalar).


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O grande obstculo cognitivo a nova idia de reta que se apresenta, diferentedaquela dada pelo mundo que a geometria euclidiana procura descrever. O ambienteinformatizado, atravs de manipulaes, propicia as aes mentais que vo tornar este novomundo completamente familiar, no sentido de concretizao mental de um novo universomatemtico. Com isto o aluno pode entender que uma geometria simplesmente definidapor seus axiomas e passa a compreender o sentido de demonstrao de carter lgico-dedutivo numa teoria axiomtica.

3.2 Modellus - ferramenta para modelao e simulao

uma ferramenta que permite os alunos realizarem experimentos conceituais,usando para isto modelos matemticos dados por funes, derivadas, taxas de variao eequaes diferenciais. Mltiplas representaes e dinamismo atravs de manipulao diretaso dois dos recursos importantes deste ambiente que do suporte as aes dos alunos.Estes recursos so viabilizados em janelas distintas: janela de modelao, janela deanimao dinmica, janela grfica e janela de tabulao. Pode ser usado tanto ematividades de expresso (o aluno constroe o modelo, tendo como objetivo a construoconceitual das relaes matemticas que o definem) , como em atividades de explorao (oaluno explora um modelo j pronto e isto interessante e possvel num estudo qualitativo

de relaes matemticas, quando o carter analtico apresenta nvel de dificuldade alm doque pode dar conta o aluno)

Exemplo1: Taxa de variao e inclinao de reta tangente

Figura 3 - Disco Hiperblico (Sketchpad)


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Atravs de simulao de movimento linear de uma partcula os alunos estabeleceminicialmente a relao entre tipo de crescimento/decrescimento das variveis e forma dogrfico da funo que registra a posio da partcula no tempo. Na mesma janela deanimao tem-se mltiplas representaes: a partcula que est sendo movimentada com aconstruo simultnea do grfico que correspondente a posio da partcula no tempo.Atravs de manipulao direta sobre a partcula o aluno pode observar que se a velocidadeda partcula aumenta o grfico tem concavidade voltada para cima e se diminui temconcavidade voltada para baixo. O passo seguinte construir o conceito matemtico queregistra a qualidade da variao registrada na forma do grfico. O dinamismo de imagenspermite representar retas secantes curva, com um ponto fixo, cujos coeficientes angularescorrespondem a velocidades mdias, em intervalos cada vez menores. O dinamismo mostraas retas secantes tendendo a posio de reta tangente e surge ento, de forma natural, o

conceito de derivada com dupla representao: taxa de variao e inclinao de retatangente curva. Na janela de grficos pode-se construir o grfico da funo derivada, eestabelecerem-se relaes entre o comportamento da derivada e caractersticas da funoque rege a simulao (sinal da derivada informa sobre crescimento ou decrescimento dafuno, zeros da derivada so pontos de mximo ou mnimo ou inflexo, etc...)

3.3 Graphmatica - ferramenta para funes reais e curvas no plano

Figura 4 - Simulao de Movimento de Partcula (Modellus)


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ambiente para plotagem de equaes, funes e derivada de funes,

desigualdades no plano cartesiano; curvas paramtricas e polares. Trabalha comcoordenadas cartesianas, coordenadas polares e escalas logartmicas. Tem o recurso demltiplas representaes: expresso analtica, grficos, podendo plotar at vinte e cincogrficos simultaneamente, e tabelas. Permite a construo de famlias de funes e orecurso de mltiplas representaes viabiliza exploraes algbricas e geomtricas,simultaneamente. Calcula derivada de funo simbolicamente e numericamente e plota areta tangente a curva num dado ponto; tambm calcula numericamente integral definida,atravs de diferentes mtodos, desenhando no grfico as regies poligonaiscorrespondentes, com possibilidade de escolha da partio.

Exemplo 1: Transformaes em grficosA partir de uma funo bsica e de seu grfico, o aluno passa a explorar famlia de

funes. O recurso de mltiplas representaes, no caso analtica e geomtrica, favorece aconstruo de relaes entre operaes algbricas na expresso da funo e movimentosgeomtricos em grficos. Em uma famlia, a funo bsica a que tem a expressoalgbrica mais simples, e as demais funes so obtidas a partir de operaes algbricassobre a expresso da funo bsica. Os grficos dos elementos da famlia so identificadosa partir de movimentos geomtricos aplicados ao grfico da funo bsica: translaovertical ou horizontal; dilatao ou contrao nas direes horizontais e verticais;reflexes. Com a possibilidade de plotar simultaneamente diversos elementos da famlia, oaluno explora o tipo de movimento aplicado ao grfico da funo bsica.

Por exemplo, na famlia dos polinmios de grau dois a funo bsica y = x 2 e afamlia constituda pelas funes y = a . (x+b)2 + c. O aluno faz variaes nos parmetrosda famlia e investiga o efeito geomtrico sobre o grfico da funo bsica. J na escolha deestratgia de explorao exigido do aluno trabalho de reflexo. Passo a passo, o aluno vai

construindo as relaes que vo permiti-lo concretizar mentalmente e com segurana ogrfico de qualquer elemento da famlia, como por exemplo y = -1/3*(x+1/2)^2+5, paraisto no dependendo de tabela numrica, mas to somente de movimentos geomtricos.Este estudo pode prosseguir na direo de mudanas de sistemas de coordenadas e asdecorrentes simplificaes de expresses analticas.

Figura 5 - Transformaes em grficos (Graphmatica)


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COMENTRIOS FINAIS

Neste trabalho, a partir do estabelecimento de relaes entre aprendizagem eprocessos cognitivos, a luz da teoria de Piaget, procurou-se evidenciar o quanto certosambientes informatizados so ferramentas de grande potencial em projetos educativosdentro de perspectiva construtivista. O que pretendeu-se destacar o quo natural eintensas, se tornam, nestes ambientes, as aes, reflexes e abstraes dos aprendizes. Osuporte oferecidos pelos ambientes no s ajudam a superao dos obstculos inerentes aoprprio processo de construo do conhecimento matemtico, mas tambm podem aceleraro processo de apropriao de conhecimento. Como exemplificou-se, modelos matemticossignificativos e de natureza complexa podem ser trabalhados, sob ponto de vistaqualitativo, mesmo que os alunos ainda no dominem a complexidade das equaesmatemticas que definem o modelo. Ou ainda, um primeiro contato com a geometriahiperblica, atravs de modelo dinmico e manipulativo, pode favorecer, e muito, acompreenso da natureza do conhecimento matemtico. Conforme os ambientes tornam-semais ricos nos seus recursos, mais acessveis vo se tornando aos alunos idiasmatemticas significativas e profundas.

Mas os ambientes informatizados, na forma que se apresentam hoje, por si s, nogarantem a construo do conhecimento. Para que haja avano no conhecimentomatemtico, importante que o professor projete as atividades a serem desenvolvidas. Umatarefa difcil conciliar o que se julga importante a ser aprendido (e matemticasocialmente aceita que fornece os parmetros para tal) com a liberdade de ao do aluno.Assim, por exemplo, se o objetivo o aprendizado da Geometria, atividades devem serprojetadas para tal. No basta colocar a disposio do aluno um programa de construo emGeometria; o aluno certamente vai aprender alguma coisa. Mas a apropriao de idias

matemticas significativas nem sempre acontecem de forma espontnea, mesmo nestesambientes, e assim um trabalho de orientao por parte do professor, se faz necessrio. Soos desafios propostos pelo professor que vo orientar o trabalho, desafios estes que setornam de genuno interesse dos alunos, desde que no sejam eles privados de suas aes eexploraes.

Pode-se dizer que os ambientes informatizados apresentam-se ainda como simplesferramentas de suporte ao processo de ensino e aprendizagem. Est-se procurando mudananos mtodos, a partir da incorporao dos novos recursos. dentro deste esprito que estetrabalho se insere. O primeiro passo, natural em todo momento de transio, a adaptaodo antigo ao novo, ainda que de forma um tanto tmida. Isto percebe-se tanto na formacomo esto sendo concebidos os ambientes como na forma como esto sendo incorporadosao processo educativo. A efetiva utilizao destes ambientes um grande desafio:

" certo que a escola uma instituio que h cinco mil anos se baseia no falar / ditar domestre, na escrita manuscrita do aluno e, h quatro sculos, em um uso moderado da impresso.Uma verdadeira integrao da informtica supe o abandono de um hbito antropolgico maisque milenar, o que no pode ser feito em alguns anos."(Levi,1993)


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A necessidade de novos contedos de Matemtica que visem capacitar os estudantes para o prximo sculo no compatvel com as estruturas curriculares vigentes...Novasalternativas curriculares dependem de substancial aplicao de potentes tecnologias. Esteprocesso deve incluir dramtico crescimento nas interaes entre os participantes do processoeducacional e entre os recursos disponveis. (Kaput,1996)

um desafio que envolve aspectos como a prpria construo dos ambientes, aformao de professores e novas propostas curriculares. Mas por outro lado, no difcilpensar num futuro para a educao em que os ambientes informatizados vo ultrapassar suafuno de simples ferramentas de apoio ao pensar, na forma que a psicologia cognitiva hojeexplica, passando ento a ter papel fundamental no prprio desenvolvimento de novascapacidades cognitivas do indivduo, ainda hoje no imaginadas. E com conseqnciassobre a prpria natureza do conhecimento e do conhecimento matemtico, em particular.

REFERNCIAS

Becker,F. 1997: Da Ao Operao, Editora Palmarinca.Dubinsky,E. 1991: Reflective Abstraction in Advanced Mathematical Thinking , em D.Tall

(ed.), Advanced Mathematical Thinking,Kluwer Academic Press.Gravina, M.A. 1996: Geometria Dinmica: uma nova abordagem para o aprendizado da

Geometria, Anais do VII Congresso Brasileiro de Informtica na Educao, BeloHorizonte, MG.

Hebenstreint,J. 1987: Simulation e Pdagogie, une recontre du troisime type, Gif SurYvette: cole Superieure d'Eletricit.

Kaput,J. 1992: Technology and Mathematics Education, em Grows, D. (ed), Handbook of

Research on Mathematics Teaching and Learning , MacmillanPublishing Company.Mellar,H., Bliss,J., Boohan,R., Ogborn,J.& Tompsett,C. (eds) 1994: Learning withArtificial Worlds - Computer Based Modelling in the Curriculum, The Falmer Press.

Ogborn,J.1997: Modeling Clay for Thinking and Learning, pre-print.Papert, S. 1994: A Mquina das crianas: repensando a escola na era da Informtica. Porto

Alegre, Artes Medicas.Papert, S. 1988: Logo: computadores e educao. Editora Brasiliense.Piaget,J. 1974: Aprendizagem e Conhecimento, em Piaget, P. & Grco, P., Aprendizagem

e Conhecimento, Freitas Bastos, Rio de Janeiro.Piaget,J. 1967: Biologie et Connaissance, Paris: Gallimard.Piaget, J. 1973: Comments in Mathematical Education, em A.G.Howson (ed) Proceedings

of the Second International Congress on Mathematical Education, CambridgeUniversity Press.

Richards,J. 1991: Mathematical Discussion, em E. von Glaserfeld (ed) Radicalconstructivism in Mathematical Education. Dordrecht, The Nederlands: Kluwer


21/21

Santarosa, L.M.C. 1995: Formao de professores em Informtica na Educao, Actas do II

Congresso Ibero-Americano de Informtica na Educao, Lisboa/Portugal,1995,vol.II, .pag. 22-23Teodoro,V.D. 1997: Modellus: Using a Computacional Tool to Change the Teaching and

Learning of Mathematics Science, Actes Colloquium New Technologies an the Roleof Teacher, Open University, Milton Keynes, UK.

Thompson, E. 1992: Blocks Microworld (software), University of Califrnia, San Diego,CA.

Vergnaud,G. 1990: Epistemology and Psychology of Mathematics Education, inMathematics and Cognition - ICMI Study Series.

APNDICE - Informaes adicionais sobre os programas apresentados no artigo.Cabri Geometry criao de J.M. Laborde e F.Bellemain, ambos do Institut d'Informatique et Mathmatiques

Apliques de Grenoble (IMAG)- Universit Joseph Fourier, Grenoble, Frana.1.Acesso verses demonstrativas do software:Em Portugus: [email protected] Ingls: http://www-cabri.imag.fr2.Mostra de atividades de ensino, artigos e grupos de discusso:http://proem.pucsp.br/cabri/ativ.htm - Programa de Estudos e Pesquisa no Ensino da

Matemtica - PUCSP - apresenta atividades para sries finais do primeiro grau.http://athena.mat.ufrgs.br/~portosil/licenciatura.html- Site do Curso de Licenciatura em

Matemtica - UFRGShttp://www.edc.org/LTT/DG/ -Dynamical Geometry Projeto de pesquisa no Education

Development Center, Inc., Newton-EUA.http://www-cabri.imag.fr/ - Cabri History

Sketchpad criao de Nicholas Jackiw e Scott Sketetee. Comercializado pela KeyCurriculum Press.

1.Acesso ao programa:http://www.keypress.com/product_info/sketch-demo2.Mostra de atividades de ensino, artigos e grupos de discusso:http: //forum.swarthmore.edu /sketchpad /gsp.activities /home.html-The Geometer's

Sketchpad Activity Centerhttp: //forum.swarthmore.edu /sketchpad /gsp.gallery /gallery.html - The Geometer's

Sketchpad Galleryhttp: // www.edc.org / LTT / DG/ - Dynamical Geometry - Projeto de pesquisa no

Education Development Center, Inc., Newton-EUA.Modellus criao de Vitor Duarte Teodoro, Joo Paulo Vieira e Filipe Costa Clrigo, Faculdade deCincias e Tecnologia da Universidade de Nova Lisboa.

Acesso ao programa: http://phenix.sce.fct.unl.pt/modellusGraphmatica criao de Keith Hertzer.

Acesso ao programa: http://www8.pair.com/ksoft/

a aprendizagem da matemática em um ambiente informatizado

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