A APRENDIZAGEM DA GEOMETRIA APOIADA NA HISTÓRIA DA

MATEMÁTICA

Autor: Luiza Del Castanhel1

Orientador: Antonio Amílcar Levandoski2

Resumo

Este estudo propõe a aprendizagem da geometria apoiada na História

da Matemática para os alunos do 9º ano do ensino fundamental. Como

princípio norteador, os encaminhamentos serão fundamentados na composição

e/ou decomposição de figuras planas para que os alunos compreendam o

conceito de área, perímetro e noções de volume de algumas figuras espaciais.

Através da História da Matemática e a decomposição de figuras, espera-se que

os alunos entendam que os conhecimentos matemáticos, muitas vezes

derivaram de resultados empíricos, relacionados com medições de terras,

construções arquitetônicas, determinações de áreas ou volumes, etc.

Palavras-chave: Aprendizagem de Geometria; História da matemática;

Área, perímetro e volume.

Professor Especialista em Ensino de Ciências Exatas – Matemática, Física e Química.

Graduada em Ciências, com habilitação em matemática pela Unioeste - Cascavel. 2 Mestre em Engenharia de Produção- UFSC-SC. Professor do Departamento Acadêmico de

Matemática da UTFPR (Unidade Curitiba).

1. Introdução

Uma das principais dúvidas dos alunos é quanto à origem de

determinado conhecimento matemático. Muitas vezes, o professor depara-se

com perguntas do tipo: “Quem foi o que inventou isso?”, “Como ele

descobriu?”. A matemática nas escolas básicas, com raras exceções, resume-

se à resolução de exercícios desvinculados da realidade e sem abordagem dos

aspectos históricos. Essa prática de ensino da matemática como ciência

acabada e inquestionável, dificulta a compreensão e assimilação pelo aluno e,

se desvincula de seu uso no mundo real.

A história da matemática e a geometria são instrumentos valiosos para

o ensino-aprendizagem da matemática. Conhecer os homens e suas ideias, em

que condições e o esforço que fizeram para solucionar os problemas e as

necessidades da humanidade são de grande utilidade. Expor e discutir com

nossos alunos a importância da geometria, mostrando que ela deu os primeiros

passos no antigo Egito, servindo para melhorar o sistema de arrecadação de

impostos, prática, aliás, muito bem usada por nossos governantes até os dias

atuais. Mostrar que a geometria está no nosso cotidiano, seja medindo

distâncias, construindo casas e em outras atividades humanas que dependem

de operações geométricas e dos números.

2. Fundamentação Teórica

Desde os tempos primitivos, a geometria foi sendo construída pelo

homem. Derivaram de resultados empíricos, relacionados com as medições de

terras, construções arquitetônicas, determinações de áreas ou volumes etc. Foi

extremamente lenta sua transformação, de uma ciência empírica para ciência

matemática.

Comparando, classificando, verificando semelhanças e diferenças, os

homens aprofundaram o conhecimento relacionado às formas dos objetos que

construíam com as formas da natureza, deixando de ter uma atitude passiva

para poder satisfazer as suas necessidades diárias.

Euclides foi quem organizou a geometria numa obra chamada

“Elementos”, em torno de 300 a. C. Os Elementos consistiam de treze livros ou

capítulos que continha todo o conhecimento matemático acumulado em sua

época. É o texto mais influente de todos os tempos. Euclides, a quem se

supõe ter observado que “não existe uma estrada real para a geometria”, é

considerado o seu maior organizador e sistematizador.

Somente no final do século XVIII e início do século XIX surgem as

geometrias não Euclidianas. O primeiro a desafiar abertamente o pensamento

de dois milênios e construir a geometria não Euclidiana foi o russo Nicolai

Lobachevsky. Com a publicação de suas idéias demonstrou que a Geometria

Euclidiana não representava a verdade absoluta que muitos acreditavam.

Esta “nova geometria” permaneceu por várias décadas à margem da

comunidade científica, até ser incorporada ao pensamento acadêmico por obra

das ideias de Riemann.

Com grande domínio da geometria, Riemann, possibilitou a

classificação de todas as formas existentes da geometria e também permitiu a

criação de um grande número de novos tipos de espaços que vieram a ser

muito úteis.

Félix Klein (1849 -1925) mostrou como podia ser aplicado o conceito de

grupo como um meio conveniente para caracterizar as várias geometrias que

haviam surgido durante aquele século. No início do século XX, Klein comandou

um movimento direcionado para a modernização do ensino da matemática nas

escolas secundárias.

David Hilbert (1862 -1943) em Fundamentos da Geometria procurou

dar um caráter puramente formal à geometria, a qual a álgebra e a análise já

desfrutavam.

Em seguida à obra de Hilbert, outros também propuseram suas

próprias coleções de axiomas, estabelecendo de maneira definitiva o caráter

puramente formal e dedutivo da geometria desde o começo do século XX.

Segundo Fiorentini e Lorenzato (2006, p.17), no começo do século XX,

não era usual “olhar para o ensino da Matemática com perspectivas diferentes

daquelas voltadas diretamente às tarefas e ao procedimento da prática de sala

de aula e à produção de manuais e subsídios didáticos”.

No Brasil, a criação da disciplina de matemática é proposta pelo diretor

do Colégio Dom Pedro II, em 1929, baseando-se nas idéias de Félix Klein.

Antes disso, aritmética, álgebra e geometria eram ministradas separadamente.

Em 1960 o Movimento da Matemática Moderna é liderado por Osvaldo

Sangiorgi que se distanciava das questões práticas comprometendo o

aprendizado, pois tinha preocupações excessivas com abstrações

matemáticas.

Com o Movimento da Matemática Moderna houve uma valorização da

álgebra e o abandono da geometria. Havia uma deficiência no ensino de

geometria nos cursos de formação dos professores. E nas escolas ela era

apresentada fragmentada e separada da álgebra e da aritmética.

Para Miguel (1996) a geometria consiste no estudo das propriedades

dos objetos e das transformações as quais são submetidos. Dentre tais

transformações, incluem-se as mais simples, que alteram a posição de objeto,

ou as mais complexas, que o descaracterizam por completo. Ainda para Miguel

(1996), nosso mundo é espontâneo e geométrico, já que agimos sobre ele

modificando os objetos e sendo por eles modificados, o que explica o fato da

geometria ser historicamente o primeiro sistema ordenado de ideias a respeito

do mundo.

De acordo com Pavanello (1985), Piaget indica que os sujeitos

apresentam limitações e que precisam libertar-se delas para perceber novas

possibilidades. São denominadas por ambos os estudiosos de pseudo

necessidades ou pseudo impossibilidades. Para o sujeito, inicialmente, uma

coisa precisa ser tal como ela é, do jeito que lhe foi apresentada, sem

possibilidade de mudanças ou variações. Essas possibilidades são geradas a

partir do momento em que o obstáculo é superado numa situação e a

possibilidade de uma variação começa a ser admitida.

Segundo Ausubel (1980, p.32), a aprendizagem escolar preocupa-se

primeiramente com a aquisição, retenção e utilização de um amplo campo de

informações potencialmente significativas. A aprendizagem significativa

processa-se quando o material novo, ideias e informações que apresentam

uma estrutura lógica, interage com conceitos relevantes e inclusivos, claros e

disponíveis na estrutura cognitiva, sendo por eles assimilados, contribuindo

para sua diferenciação, elaboração e estabilidade.

Jerome Bruner (1968) prioriza o papel da estrutura da disciplina na

aprendizagem e defende o método da descoberta de um conceito pelo próprio

aluno. A aprendizagem de um tópico deve permitir que o aluno aplique

facilmente ou generalize o que aprendeu, e que a aprendizagem poderá ser útil

para o futuro quando o indivíduo deparar com tarefas semelhantes às que já

aprendeu ou quando o aluno aprendeu uma ideia geral que posteriormente

será utilizada em casos mais específicos.

Vygotsky sustenta que a atividade criativa é fruto da atividade do

sujeito e que todos a têm. Manifesta-se onde quer que a imaginação humana

combine, mude e crie algo novo. Pressupõe que ela surge de experiências

prévias já existentes no cérebro. Ressalta que a atividade criativa da

imaginação depende primeiramente de experiências prévias que a pessoa

armazenou no seu cérebro, sendo uma função vitalmente necessária.

Esta atividade criativa nunca deve ser limitada, mas sim enriquecida,

pois é passível de desenvolvimento, através de experiências e conhecimentos

previamente adquiridos pelos sujeitos. Além disso, é importante trabalhar o

sentido e o significado dos conceitos.

Bicudo e Borba (2004, p.29) em Educação Matemática, concluem que

a Educação Matemática e a História da Matemática vêm sendo praticadas

como mera transmissão de técnicas e de nomes, fatos e datas

respectivamente. Mas que tendências mais recentes da educação, dão ênfase

à criatividade, que é responsável pela emergência de ideias novas, e à análise

crítica da evolução do conhecimento matemático ao longo da história. Sem

essa análise crítica do processo histórico, a criação de novas teorias e práticas,

respondendo à complexidade do mundo moderno, pode ser pouco eficiente e,

sobretudo, conduzir a equívocos.

3. Modelo proposto

As atividades foram desenvolvidas com os alunos do 9º ano do ensino

fundamental do Colégio Estadual Dezenove de Dezembro, no município de

Curitiba, Paraná.

Estas atividades foram desenvolvidas em sala de aula, pois os alunos

eram moradores de bairros afastados e não tinham condições de participar das

atividades extraclasse.

O modelo proposto desta produção foi promover a aprendizagem da

geometria apoiada na História da Matemática, utilizando-a como recurso

didático, o que contribuirá para o aprimoramento e a valorização do

aprendizado desta disciplina. Resgatando fatos e processos históricos tomando

a história como fonte motivadora para o processo ensino- aprendizagem.

As atividades estão elaboradas de forma que o aluno entenda que a

Matemática não é um conhecimento pronto e acabado, mas construído, muitas

vezes, a parir de situações concretas e necessidades reais.

A primeira atividade teve como objetivo apresentar aspectos históricos

ligados à evolução dos padrões de medidas e noções de áreas de polígonos

associadas à área do retângulo utilizando a História da Matemática como apoio

à aprendizagem.

Foi distribuída aos alunos uma folha quadriculada com desenhos de

figuras planas para que pintassem para introduzir o conceito de área. A

finalidade desta pintura é permitir que os alunos fossem capazes de diferenciar

o conceito de área e de perímetro que seria abordado posteriormente. O

quadradinho era a medida padrão utilizada para a resolução desta atividade.

Após a sua conclusão foi feita a leitura de um texto mostrando que as primeiras

medidas que surgiram tinham como referência o corpo humano. Mostra que o

primeiro sinal do uso de medidas deu-se no Egito, por volta de 4000 A.C.

A segunda atividade, sobre medidas de comprimento, teve como

objetivo, compreender a necessidade de padronização das unidades de

comprimento, registrar medidas de comprimento usando unidades de medidas

padronizadas, compreender as vantagens do uso destas unidades de medidas

padronizadas e fazer conversões entre as principais unidades de medida do

sistema métrico decimal. Para demonstrar que a padronização das medidas

facilita e até torna mais precisa a comparação entre dois objetos, foi

desenvolvida uma atividade bastante simples, como medir o tamanho das

mãos dos alunos utilizando uma folha de papel sulfite e marcando um ponto

entre o dedo mindinho e o polegar. Depois foi traçado um segmento de reta

entre estes dois pontos, medindo este segmento com um barbante para depois

compará-lo com o segmento formado pelo colega, para verificar se são do

mesmo tamanho ou não. Através desta pequena experiência foi possível

mostrar que medidas utilizando o próprio corpo geram tamanhos diferentes e

mostrando o porquê da necessidade de se usar medida padrão. Também,

como na atividade anterior, foi debatido um texto sobre a criação do metro,

explicando como foi desenvolvido o metro padrão para que fosse válido em

qualquer parte do mundo.

A terceira atividade, o objetivo principal foi introduzir o cálculo de área

utilizando a história da geometria como apoio para a aprendizagem. Partindo-

se de um pequeno texto ambientado no Egito antigo, procurou-se desenvolver

a área do retângulo e do quadrado. Mostrando mais uma vez que, a

matemática, muitas vezes derivou de atividades práticas do cotidiano.

Na quarta atividade foi introduzido o cálculo do perímetro, buscando

diferenciar para os alunos o que é área e o que é perímetro, através de um

exercício muito simples como medir o comprimento e a largura da sala de aula

e calcular a sua área. Após esta atividade, foi solicitado que medissem o

rodapé, questionando se foi utilizado o mesmo procedimento para calcular a

sua área. Depois, para fixar o conceito de perímetro, foi solicitado que os

alunos calculassem o perímetro da sala, da sua carteira, da porta, etc.

A quinta atividade foi o cálculo da área do triângulo retângulo. O

objetivo desta atividade foi calcular a área do triângulo utilizando a História da

Matemática e a decomposição de um retângulo e de um quadrado em

triângulos retângulos para demonstrar a sua área. Distribuiu-se pedaços de

malha quadriculada com o desenho de um quadrado de lado, 3 quadradinhos e

um retângulo, 4 quadradinhos de comprimento e 3 quadradinhos de largura.

Foi então solicitado que fizessem o cálculo da área do quadrado e do

retângulo. Em seguida, que pintassem somente o triângulo retângulo, dentro do

retângulo e o quadrado distribuído inicialmente, finalmente foi lido o texto sobre

o cálculo da sua área. Após a leitura, foi possível demonstrar a fórmula do

cálculo da área do triângulo retângulo, mostrando o porquê de ser a metade da

área de um retângulo e de um quadrado.

A sexta atividade foi uma demonstração do teorema de Pitágoras. Para

esta demonstração foi distribuída malhas quadriculadas com o desenho de um

triângulo retângulo de catetos medindo 3 e 4 unidades e hipotenusa 5. Foi

pedido para que desenhassem um quadrado ao lado de cada cateto,

calculando a sua área. Logo após, que calculassem o valor da hipotenusa ao

quadrado e comparassem com a soma dos quadrados do cateto. Depois da

análise de que a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da

hipotenusa, concluíram o desenho representando a hipotenusa ao quadrado.

A sétima atividade foi sobre a área do círculo. Partindo de um texto

sobre como um escriba do Egito antigo deduziu a forma de calcular a área do

círculo, foi explicado que a maneira pela qual calculamos a área do círculo é

semelhante ao que Ahmes deduziu.

A oitava e última atividade refere-se à noções de volume. Foi

construído um cubo de 10 cm de aresta sem a tampa, e depois despejado um

litro de areia, mostrando que a capacidade de um cubo de aresta 1 dm equivale

a 1 litro. Foi demonstrado que, para calcularmos medida de superfície, usamos

a superfície de quadrados como padrão e para medir volumes, usamos o

volume do cubo. E, se quisermos calcular o volume de blocos retangulares,

podemos utilizar o mesmo processo usado para calcular o volume do cubo,

multiplicando o comprimento, a largura e a altura.

Nesta atividade, foi lido um pequeno texto sobre o acesso ao

conhecimento, e mostrando que este conhecimento era para poucos, tornando-

se uma estratégia deliberada de dominação. O texto também mostra que o

Egito Antigo fazia parte do continente africano, atendendo à lei 10 639 de

09/01/2003, a qual salienta a necessidade de desmistificar algumas visões

equivocadas sobre o negro e o continente africano apresentado como um

continente primitivo.

4. Estratégias de ação.

Para o desenvolvimento das atividades trabalhadas pelos alunos, a

parte histórica foi introduzida de modo que o aluno percebesse que o

conhecimento matemático foi construído a partir de situações concretas e

necessidades reais. Foram organizadas de forma a permitir o desenvolvimento

de conceitos e o domínio de conteúdos significativos e relevantes, acumulados

historicamente pela humanidade, estabelecendo ligações cognitivas entre a

linguagem, os conceitos da vida real e a linguagem matemática formal.

4.1 Análises dos resultados das atividades com embasamento teórico

A primeira atividade sobre áreas utilizando uma malha quadriculada foi

realizada no 9º ano A. Os alunos conversaram muito e não se preocuparam em

fazer as atividades de maneira correta. Demoraram muito para fazer e não

conseguiram concluí-la corretamente. O 9º ano B, considerada a mais agitada,

surpreendeu. Participaram das atividades e conseguiram perceber como é

extremamente trabalhoso o cálculo de áreas utilizando um quadradinho como

medida, fazendo a decomposição das figuras em retângulos para calcular a

sua área.

O cálculo de área de uma superfície faz parte do cotidiano de muitos

profissionais, como agrônomos, carpinteiros, engenheiros civis, marceneiros e

pedreiros. Mas, na verdade, a necessidade de se calcular áreas é bastante

antiga. Na matemática grega, organizada como ciência dedutiva, não havia

medidas de áreas. Euclides nem mesmo se deu ao trabalho de definir área, e

por ater-se às questões especulativas e filosóficas, não foi desenvolvida, em

seus trabalhos, uma aplicação prática para os conceitos e as propriedades

geométricas descobertas. Nos elementos, duas figuras são chamadas “iguais”

quando têm o mesmo comprimento se são segmentos e a mesma área, se são

figuras planas. Para Euclides, a coincidência de duas figuras planas por

superposição era um passo intermediário para concluir a igualdade de suas

áreas (Lima, 1991).

A segunda atividade sobre medida padrão foi mostrar que medidas

utilizando o próprio corpo geram tamanhos diferentes. Houve um interesse

muito grande por parte dos alunos quando lhes foi apresentado um texto que

menciona o fato de ter a França, em 1799, tomado a iniciativa de estabelecer

um sistema de medidas com padrões invariáveis. Foi sugerido também que os

alunos fizessem uma pesquisa sobre outras unidades padronizadas criadas ao

longo do tempo e ainda usadas atualmente. Foi uma atividade muito

enriquecedora. Eles debateram sobre as nossas unidades de medida e a

necessidade de mudança de unidades utilizando múltiplos e submúltiplos do

metro. Com isso, puderam concluir que é muito importante haver unidades de

medidas que sejam conhecidas por todos.

Esta atividade procurou seguir o que propõe Os Parâmetros

Curriculares Nacionais (Brasil, 1997) para o ensino da geometria. Que o aluno

desenvolva a compreensão do mundo em que vive, aprendendo a descrevê-lo,

representá-lo e a se localizar nele, estimulando ainda a criança a observar,

perceber semelhanças e diferenças, a identificar regularidades, compreender

conceitos métricos e permitir o estabelecimento de conexões entre a

matemática e outras áreas de conhecimento.

A quarta atividade sobre perímetro, os alunos já tinham o conceito

básico do que é o perímetro. Mas quando foi questionado se para calcular o

rodapé da sala de aula, usaríamos o mesmo procedimento que foi utilizado

para calcular a sua área, alguns alunos ficaram com dúvidas. Não conseguiram

por na prática o que sabiam na teoria. Só depois de realizada a tarefa que

conseguiram entender qual a diferença entre a área e o perímetro. Com isso

podemos concluir a importância de se trabalhar o sentido e o significado dos

conceitos. Pois, segundo Ausubel (1980, p.32), a aprendizagem significativa

processa-se quando o material novo, ideias e informações que apresentam

uma estrutura lógica, interagindo com conceitos relevantes e inclusivos, claros

e disponíveis na estrutura cognitiva, sendo por eles assimilados, contribuindo

para sua diferenciação, elaboração e estabilidade.

A quinta atividade sobre a área do triângulo retângulo, foi

extremamente simples de demonstrar através da decomposição de um

retângulo e um quadrado em triângulo retângulo. Para resolver os exercícios

simples onde teriam de aplicar a fórmula não tiveram dificuldade alguma.

Torrence e Torrence (1973, apud Ausubel), concluem que as

abordagens mais bem sucedidas parecem ser aquelas que envolvem tanto o

funcionamento cognitivo como o emocional, oferecem estrutura e motivação

adequadas, e dão oportunidade para o envolvimento a prática e a interação

com os professores e outros alunos.

A sexta atividade sobre o Teorema de Pitágoras, só um tipo de

demonstração foi trabalhada. Foi solicitado que fizessem o cálculo da área dos

catetos e depois as desenhassem no triângulo retângulo. Tanto para o cálculo,

quanto ao desenho das áreas dos catetos, não houve nenhuma dificuldade.

Mas, quando foi novamente solicitado para que calculassem a área da

hipotenusa e a desenhassem, os alunos tiveram extrema dificuldade em

desenhá-la. Concluímos nesta atividade que a maneira com que foi trabalhada

tornou esta atividade muito difícil para alunos. Talvez, se ao invés de usarem

esquadros, para desenhá-la fosse utilizado uma malha quadriculada para fazer

o desenho e colado na figura seria menos trabalhoso.

Euclides demonstrou o Teorema de Pitágoras ainda no primeiro dos

treze livros dos Elementos. No livro de Elon Lages Lima, na página 25, existe

uma demonstração do Teorema de Pitágoras por Euclides onde a

demonstração se faz por meio de decomposição de figuras congruentes. Na

página seguinte, há um comentário muito interessante de Proclus (410-485

D.C.), autor de um livro de comentários sobre o Livro I dos Elementos de

Euclides, onde explica, comenta e analisa as proposições do Livro I (Lima,

1991).

A sétima atividade foi trabalhada a partir de um texto sobre como foi

deduzida a fórmula do cálculo da área do círculo. Esta atividade, por ter sido

desenvolvida a partir da interpretação de um texto, dificultou a dedução da

fórmula pelos alunos. Quando a utilizaram para o cálculo da área de figuras

simples, tiveram dificuldade em fazer cálculos com valores decimais e em

interpretar quando era para calcular a área a partir de seu raio ou calcular o

raio a partir da sua área. Foi necessário o auxílio da professora para a sua

realização.

No que diz respeito à área do círculo, Euclides não vai mais além do

que provar (no livro XII) que as áreas de dois círculos estão entre si como os

quadrados dos seus diâmetros ou, o que é o mesmo dos seus raios. Sabia

também que a razão entre o comprimento da circunferência e o seu diâmetro é

uma constante d, independente da circunferência tomada, mas não tratou nos

Elementos de estimar os valores de c e d (Lima, 1991).

A oitava e última atividade foi sobre noções de volume. Foi procurado

demonstrar a diferença entre calcular áreas e calcular o volume. Foi preciso

explicar muito bem estas diferenças. Principalmente na hora de colocar as

grandezas e o porquê de utilizarmos a medida cúbica e não a medida quadrada

utilizada para calcular áreas. Outra dificuldade encontrada foi quando tiveram

que resolver exercícios que utilizavam o cálculo de áreas e volume na mesma

figura. Precisaram de auxílio na sua resolução

Volumes são tratados por Euclides no Livro XII dos Elementos. Não há

fórmulas ali para exprimi-las, mas sim os principais teoremas são

demonstrados, sobre o volume das pirâmides e dos prismas, cones, cilindros e

esfera (Lima, 1991).

5. Conclusão

Uma das maneiras de fazer com que o aluno compreenda a geometria

é procurar fazê-lo pensar e deduzir por si próprio as fórmulas necessárias, e

não apenas seguir modelos prontos e acabados, sem qualquer aplicação

prática.

Para que isso ocorra, é de fundamental importância, o resgate de fatos

e processos históricos, mostrando que todo conhecimento adquirido ao longo

do tempo não se constitui de fatos isolados, mas sim de contribuições

importantíssimas, que em conjunto, ajudaram a compreender e transformar o

mundo que conhecemos.

Muitas vezes, em nossas aulas, voltamos à matemática dos egípcios e

babilônios, cujos textos diziam para fazer isso e em seguida aquilo com a

finalidade de se achar a solução.

Quando mudamos nossa maneira de ensinar, levando os alunos a

interpretar e demonstrar as fórmulas por meio de textos para depois aplicá-las,

concluímos que é extremamente trabalhoso desenvolvê-las. Mas não menos

enriquecedora. Procurar também mostrar de onde surgiram determinados

conhecimentos matemáticos, responde muito dos questionamentos dos alunos,

tais como: Onde vou usar isso? Ou, quem inventou isso?

Mas, sobretudo, não devemos somente ensinar matemática útil aos

nossos alunos. Grande parte da “matemática não útil” encontra aplicações no

nível de ensino superior. É fundamental que o aluno esteja ciente disso, pois a

matemática encontra aplicação nas mais diversas áreas.

Devemos deixar claro ao aluno que a aplicação dos conceitos

matemáticos envolve conhecimentos multidisciplinares que talvez não sejam

acessíveis para o aluno em seu nível de educação atual, mas que futuramente,

serão fundamentais.

Devemos mostrar que a matemática sendo uma ciência abstrata, nem

tudo pode ser aplicada ao nosso cotidiano, mas nem por isso ela deixa de ser

importante (será útil no decorrer da educação do aluno).

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