EAP II 25

4. CIRCUITOS INTEGRADOR E DIFERENCIADOR

Suas principais aplicações são na geração de sinais, células básicas de filt ros ativose controle industrial.

4.1. Circuito Integrador com Amp.Op

Sua configuração básica é apresentada na figura 4.1., evidenciando-se que arealimentação negativa é feita através de uma capacitância, enquanto na entradapermanece uma resistência, e que o circuito continua do tipo inversor.

figura 4.1. - Circuito integrador inversor básico

A tensão de saída nesse circuito, será uma integral da tensão de entrada. Caso seaplique um degrau de tensão na entrada, mantém-se uma tensão constante aplicada aoterminal de entrada inversora. Considerando o caso ideal de entrada ri = ∞, em que acorrente na entrada inversora tende a zero, toda corrente de entrada Ie passa pelocapacitor C como If. Como a tensão Ee é de nível constante e como Ie é obtida fazendoEe/R, a corrente de carga If de C também será constante. Assim, obter-se-á na saída umatensão Es variando linearmente como tempo, isto é, obter-se-á uma rampa linear. Deve-seapenas lembrar que Es terá uma polaridade contrária à de Ee, por se tratar de umaconfiguração inversora.

Para sinais senoidais, quanto ao ganho de tensão do circuito pode-se escrever:( )

R

jX

Z

Z

E

EA c

in

f

e

svf

−−≅−≅=

ou

CRjAvf ω

1−≅

O que mostra que o integrador também atua como filt ro passa-baixas.Por outro lado uma forma de onda senoidal de entrada provoca uma forma de onda

cossenoidal na saída, como mostrada na figura 4.2.Se ee = 5sen(ωt) [V] ter-se-á na saída:

( ) [ ]Vtttdtee ωωωω cos50)cos5(sen5 =+−−=⋅−= ∫

EAP II 26

Figura 4.2. (a) Forma de onda senoidal de entrada(b) Forma de onda cossenoidal de saída

Operação com sinais não-senoidais

Aplicando-se uma tensão em função do tempo na entrada do circuito integradorprovoca-se uma corrente pelo capacitor, de modo que:

dt

deCi c

c −=

onde ic = a corrente pelo capacitorec = a tensão sobre o capacitorO sinal negativo é consequência da configuração inversora

Da expressão anterior pode-se obter:

∫−= tcc dti

Ce 0

1

Considerando o curto virtual entre os terminais de entrada, portanto, a terra virtualna entrada inversora, vê-se que a tensão sobre o capacitor é a própria tensão de saída, Es.Como a corrente pelo capacitor é a própria corrente de entrada, pode-se rescrever aequação para um degrau de tensão aplicado à entrada:

∫−= tes dtI

CE 0

1

ou

∫−= tes dtE

RCE 0

1

Efetuando-se a integração obtêm-se :

ce

s EtRC

EE +−=

onde Ee = a tensão de entrada (cte.);t = tempo em segundos;Ec = tensão de carga já existente sobre o capacitor.

Se o capacitor estiver descarregado Ec = 0.

EAP II 27

Circuito integrador mais prático

O circuito integrador básico apresenta a desvantagem de ter um ganho de malhafechada muito elevado para baixas frequências, tendendo a um valor infinitamente grandepara o componente contínuo. Desta forma haveria uma integração da tensão de off-set deentrada, que é um componente contínuo, apesar de seu valor reduzido, podendo trazercomo consequência uma possível saturação prematura do Amp.Op.

Para evitar esse problema, liga-se um resistor em paralelo com o capacitor C(figura 4.3.), cuja função é reduzir o ganho do circuito a um valor Avf = -Rs/R1 nasfrequências baixas.

Figura 4.3. - Circuito integrador mais prático

Como resistor Rs em paralelo com C tem-se para R2 um valor de:

s

s

RR

RRR

+=

1

12

a fim de limitar os problemas relacionados às correntes de polarização de off-set.

O resistor paralelo, Rs, tem como outra consequência sobre a atuação no circuito, ade modificar sua frequência de corte, de modo que,

[ ]HzCR

fs

c π2

1=

onde fc é a frequência de corte ou crítica do integrador

A atuação do circuito pode ser avaliada de seguinte forma:quando

• a frequência de operação f<fc, a atuação do mesmo se aproxima da de umampli ficador inversor simples, com um ganho de tensão Avf = -Rs/R1.

• a frequência de operação f>fc, a atuação do mesmo é a de um integrador.

Na prática, costuma-se adotar as duas seguintes regras, para se implementar umcircuito integrador:a) Faz-se a constante de tempo R1C igual ao período do sinal de entrada a ser integrado

(R1C=T)b) Faz-se Rs>10R1

EAP II 28

4.2. Circuito Diferenciador com Amp. Op

A Figura 4.4. mostra um circuito diferenciador básico. Ao contrário do integrador,faz-se, agora, a realimentação negativa por um elemento resistivo, enquanto o elementocapacitor aparece em série com o terminal da entrada inversora e o sinal de entrada.

Figura 4.4 Circuito diferenciador básico.

Neste caso, aplicando uma rampa linear de tensão sobre o capacitor C, portantocom uma taxa de variação constante, fluirá uma corrente Ie também constante pelocapacitor. Considerando novamente o caso ideal em que ri = ∞, toda a corrente Ie fluirápelo resistor Rf em forma de If. Lembrando ainda da terra virtual na conexão entre C e Rf

(potencial zero entre os terminais de entrada), vê-se que a tensão Ee de entrada ficaaplicada toda sobre o capacitor C, enquanto a tensão Es é a própria tensão sobre Rf.

Desse modo, pode-se escrever as seguintes relações:

t

ECII e

ef ∆∆

≅=

onde

f

sf

R

EI −=

Substituindo obtém-se:

dt

dECRE e

fs −=

ondeEs = a tensão de saída.dEe/dt- = a taxa de variação da tensão de entrada em função do tempo.

Vê-se como a tensão de saída é realmente uma derivada da tensão de entrada.Contrário ao que ocorre no integrador, como agora o elemento capacitivo se encontra naentrada do Amp. Op., haverá um aumento no ganho de malha fechada do circuito, comfrequências crescentes, pois tem-se que:

( ) ff

in

f

e

svf CRj

jX

R

Z

Z

E

EA ω−≅

−−≅−≅=

Uma conseqüência dessa característica de operação é uma susceptibili dadegrande a ruídos de alta frequência, podendo prejudicar seriamente a atuação do circuito,

EAP II 29

pois a expressão mostra que o diferenciador atua, basicamente, também como filt ropassa-altas.

O circuito diferenciador mais prático

A fim de limitar o ganho em alta frequência do circuito diferenciador, coloca-seuma resistência em série com o elemento capacitivo, mantendo o ganho máximo em umvalor dado pela relação:

in

f

e

s

R

R

E

E−=

como em qualquer ampli ficador inversor.

Figura 4.5. Circuito diferenciador mais prático, onde Rin é geralmente de valor reduzido.

Essa prática insensibili za o circuito contra ruídos de alta frequência, tornando-omais estável. Com a inclusão da resistência série Rin, surge uma frequência de corte emque a limitação de ganho começa a ser sentida. Essa frequência é dada por:

CRf

inc π2

1=

ondefc = frequência de corte ou crítica do circuito.Rin = resistência de limitação de ganho em série com a capacitância C.

Esta frequência (fc) dita o desempenho do circuito, de modo que o mesmo secomporta como:

• diferenciador, quando a frequência de operação f < fc.• ampli ficador inversor comum, quando a frequência de operação f > fc.

Por outro lado, há também uma frequência de corte de valor máximo, que deveser menor ou igual à média geométrica entre 1/2 π Rf C e a frequência de transição, fT, doAmp. Op. Logo, o limite superior da frequência de corte será:

CR

ff

f

Tc π2

max ≤

onde:

EAP II 30

fT é a frequência limite superior do Ampli ficador Operacional (do CI), em queo ganho de tensão cai para 1. Trata-se de um fator de mérito do componente,também definido como o produto ganho x largura de faixa do componente.

Na prática, costuma-se fazer a constante de tempo RfC aproximadamente igual aoperíodo do sinal de entrada, ou, melhor, RfC = T. Faz-se também Rf > 10Rin.

a) Aplicações com sinais senoidais

A tensão de entrada, neste caso, é:ee = Emsen(ωt)

A tensão de saída em função do tempo é:

( ) tCERtEdt

dCRe mfmfs ωωω cossen −=−=

ondeEm = valor de pico da tensão de entrada.ωRfCEm = valor de pico da tensão cossenoidal de saída.O sinal (-) deve-se à inversão de fase do circuito.A Figura 4.6 ilustra a situação, comparando os sinais de entrada e de saída.

Figura 4.6. Comparação entre as formas de onda de entrada e de saída

b) Aplicações com sinais não-senoidais

Enquanto com o integrador se obteve uma onda triangular de saída, aplicandouma onda quadrada em sua entrada, obtém-se, agora, uma onda quadrada na saída dodiferenciador, aplicando-se uma onda triangular em sua entrada.

A onda triangular da Figura 4.7.a tem um período dado por:T = t1 + t2

Logo, sua frequência será encontrada fazendo:

21

11

ttTf

+==

Observa-se como durante o semiperíodo t1 há uma variação linear crescente detensão, apresentada como uma reta entre -Em até +Em, valores de pico negativo e positivoda onda. Por outro lado, há uma variação decrescente linear desde Em até -Em durante ointervalo t2.

Aplicando a expressão básica nessas duas partes da onda triangular, obtém-se nasaída uma onda quadrada de mesma frequência e com um nível de tensão negativo

EAP II 31

durante o intervalo t1, enquanto o nível positivo aparece no intervalo t2. Essas inversõesdevem-se à configuração inversora do circuito. Logo, a forma de onda quadrada de saídaterá valores de pico de: '

±=

12,2

tt

ECRE m

fsm

ondeEsm = valor de pico da tensão de saída.Em = valor de pico da tensão de entrada.t1 = semiperíodo onde a tensão de entrada é crescente.t2 = semiperíodo onde a tensão de entrada é decrescente.

A Figura 4.7. compara as tensões de entrada e de saída.

Figura 4.7. (a) sinal de entrada (b) sinal de saída

Exercícios:1 Projete um circuito que diferenciará um sinal de entrada de 3000 Hz, com o ganhode alta frequência do circuito limitado em 10. A capacitância , na entrada, possui umvalor de 0,1µF. Em sua opinião, o circuito funciona realmente como diferenciador?

2 Usando o circuito do Exemplo 1 e aplicando uma tensão senoidal na entrada, comum valor de pico de 2 V e uma frequência de 400 Hz, determine o valor de pico da tensãode saída.

3 Aplica- se uma onda triangular na entrada do circuito diferenciador (figura) com umvalor de pico de 2 V e uma frequência de 800 Hz. Considere a tensão de entradaperfeitamente simétrica. Determine o valor de pico da tensão de saída.

EAP II 32

4 Aplica-se na entrada do circuito diferenciador da figura abaixo uma tensão senoidalcom uma frequência de 10 kHz, como mostrado a seguir. Pede-se:

a) Verificar se o circuito funciona como diferenciador.b) Determinar qual deverá ser a frequência de transição do Amp. Op., para que o limitede fc máxima do circuito seja satisfeito.c) Calcular o valor de pico da tensão de saída es e desenhá-la.

5 Um circuito diferenciador prático deve operar com um sinal de entrada cujafrequência é de 2 kHz. O capacitar C tendo um valor de 0,02 µF, e o ganho máximo docircuito sendo limitado em 10, pede-se:a) Determinar o valor de Rin, de modo que a frequência crítica do circuito seja dez vezesa frequência do sinal de entrada (bom desempenho).b) Determinar o valor de Rf.