71141822 nocoes de limites e derivadas
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Nocoes de Limites e DerivadasTRANSCRIPT
Ensino Médio
MATEMÁTICA
Alexandre Correia FernandesGraduado em Matemática
Mestre em Matemática e Estatística - Área de concentração : Geometria Diferencial
Ex-professor do Ensino Fundamental e do Ensino Médio de escolas públicas
e privadas de Minas Gerais.Professor do Ensino Superior desde 2004.
TAM
noçõES DE lIMITES E DErIvADAS
CréDIToS
Ficha Catalográfica
Fernandes, Alexandre Correia.Matemática : noções de limites e derivadas :
ensino médio / Alexandre Correia Fernandes. --Belo Horizonte : Editora Educacional, 2010.44p. Ilust. ISBn 978-85-7932-159-7
1. Matemática (Ensino médio) I. Título.09-09385 CDD-510.7
Dados internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)(Câmara Brasileira do livro, SP, Brasil)
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Adriana Batista Gonçalves
Alex Alves BastosDaniela Pereira de Melo
Denise de Barros GuimarãesGabrielle Cunha vieira
Hélio MartinsJoana Paula de Souza
Júnia Kelle Teles Martinslilian Ferreira de Souza
luciana Marinho da Silvaluciano Pereira Marins
Marcos Eustáquio GomesMarcelo Correa de Paula
Mônica Alves de FariaPriscilla Alves do nascimento
raquel Barcelos e Meloroberta Mara de Souza lima
Tatiane Aline do Carmo e Melovaléria Cardoso
Aline Paula de oliveiraDouglas nunes Brandão
Júnia Kelle Teles Martinsluana Félix da Silva
Magali luciene dos SantosMiriam Carla Martins
Cornélia Cristina S. BrandãoGustavo Celso de Magalhães
Aldeir Antonio neto rocha Aparecida Costa de Almeida
lydston rodrigues de Carvalho Marinette de Cácia Freitas
raquel Cristina dos Santos Faria
rogério FernandesGreco Design ltda.
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letra por letra ltda. e Só letra
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Xxxxxxxx
TAM
SUMÁrIo
Capítulo 1 ― Limite e Continuidade ............................................................. 6 noção intuitiva de limite ...........................................................................7 limites laterais ................................................................................... 7 Propriedades dos limites .......................................................................... 8 limite de uma função polinomial ................................................................ 9 limite de uma função racional .................................................................. 10 Cálculo de limites quando o numerador e o denominador tendem a zero ............... 10 Cálculo de limites por meio de fatoração ................................................... 10 Cálculo de limites por meio de racionalização .............................................. 11 Cálculo de limites por meio de mudança de variável ..................................... 12 Continuidade ....................................................................................... 12 Limites infinitos .................................................................................... 14 Limites de funções quando x tende ao infinito ............................................... 14 limite da função polinomial quando x→±∞ ................................................ 15 Teorema do confronto ............................................................................ 17 limite trigonométrico fundamental ........................................................... 18 limite exponencial fundamental ............................................................... 19
Capítulo 2 — Derivada ............................................................................ 23 Taxa de variação .................................................................................. 24 Taxa média de variação ......................................................................... 24 Taxa instantânea de variação ................................................................. 24 Interpretação geométrica da derivada ......................................................... 25 A derivada como uma função ................................................................... 27 regras de derivação .............................................................................. 28 Derivada da função constante ................................................................ 28 Derivada da função potência .................................................................. 28 Derivada do produto de uma constante por uma função ................................. 28 Derivada da soma e da diferença de duas funções ........................................ 29 Derivada da função f(x) = sen x ............................................................... 30 Derivada da função f(x) = cos x ............................................................... 31 Derivada do produto de funções .............................................................. 31 Derivada do quociente de funções ........................................................... 31 A regra da cadeia ............................................................................... 32 Derivada da função exponencial f(x) = ax ................................................... 33 Derivada da função logarítmica .............................................................. 33 Derivadas de ordem superior ................................................................... 35 Análise do comportamento de funções ........................................................ 36 Funções crescentes e funções decrescentes ................................................ 36 Extremos relativos e absolutos ............................................................... 38 Aplicações de máximos e mínimos .............................................................. 41
limite e Derivada
ConHEçA SEU lIvro
Para que vou estudar este assunto? Onde ele se aplica? Como ele se relaciona com outros tópicos da Matemática e com outras Ciências? na introdução de cada capítulo, propomos uma situação-problema, que você vai retomar mais tarde. Em seguida, descrevemos sinteticamente o conteúdo a ser abordado, listamos suas aplicações mais imediatas e seus aspectos históricos.
Por que isso acontece? Como isso se explica? O que ocorreria se esse detalhe mudasse? Permeando todo o texto, você vai encontrar perguntas e questionamentos sobre a teoria apresentada. Com base em suas reflexões, você vai produzir, individualmente ou em grupo, pequenos textos matemáticos.
Como isso funciona? Será que isso sempre ocorre? Que hipóteses essa regularidade sugere? Posso inferir regras gerais a respeito? Por meio da experimentação, da investigação e da pesquisa, você vai analisar situações novas, fazer conjecturas, formular hipóteses, testá-las e, com base em suas conclusões, construir novos conceitos e estabelecer leis gerais relacionadas ao conteúdo. Finalmente, você vai sintetizar suas conclusões por escrito.
Por que os números obedecem a essas regularidades? Posso estabelecer uma lei geral? Qual é a lógica desse raciocínio? Por meio dele, a que conclusões posso chegar? Propomos, nesta seção, vários problemas de lógica e de raciocínio numérico, explorando relações lógicas, além de regularidades e curiosidades que envolvem, principalmente, os números inteiros.
Questões resolvidas aparecem toda vez que há necessidade de manter situações de aplicação de um conteúdo, de uma regra ou de uma fórmula.
Esta seção aparece a todo momento, sempre que um pequeno segmento se encerra. o objetivo é que você explore conceitos, resolva problemas práticos e explore situações novas sobre o conteúdo trabalhado.
nesta seção, a maioria das questões são extraídas de exames vestibulares e das provas do Exame nacional do Ensino Médio (Enem). é uma oportunidade para você se familiarizar com as tendências dos concursos vestibulares de todo o Brasil, além de possibilitar um aprofundamento do conteúdo, em questões que apresentam um nível de dificuldade crescente.
Introdução
Questões propostas
Refletindo
Investigando
Questões resolvidas
Questões de revisão e aprofundamento
Raciocínio lógicoe numérico
LIMITE E DERIVADA
Fabio Rodrigues Pozzebo / Folha imagem
Bolsa de valores
Apresentamos uma nova ferramenta com a qual será possível fazer-se um estudo mais detalhado acerca do comportamento de funções, tais como a função usada para descrever a oscilação do valor de ações.
Trata-se do conceito de Limite de uma função, que também é empregado na determinação de tangentes e curvas, o que, naturalmente, nos conduz ao conceito de Derivada e suas múltiplas aplicações.
Tais conceitos permitiram a sistematização de um ramo da Matemática considerado por muitos como um dos mais importantes pilares da ciência moderna: o cálculo diferencial e integral, objeto de estudo de vários cursos do Ensino Superior.
Limite e ContinuidadeCapítulo 1
6
Introdução
Aníbal, poupador inveterado, resolveu aplicar R$ 10 000,00 em regime de juros compostos, a uma taxa de 12% ao ano, durante dois anos.
Ansioso por saber quanto ele teria acumulado ao fim desse período, resolveu utilizar a fórmula
para calcular o montante M, gerado pelo capital c, aplicado à taxa i, por um período de tem-po n.
Como os juros seriam capitalizados anualmente, ele concluiu que o montante seria
Frustrado com o rendimento, ele recorreu ao ge-rente, que lhe ofereceu outra opção de capitaliza-ção: a capitalização semestral.
Os juros seriam capitalizados a cada 6 meses, a uma taxa semestral proporcional a 12% ao ano, ou seja, uma taxa de 6%, pois o ano tem 2 semestres.
Photos.com Photos.com
Nessas condições, o montante acumulado ao longo de 4 semestres (2 anos) seria
Não satisfeito, Aníbal insistiu com o gerente que, dessa vez, lhe propôs a opção de capitali-zação mensal: os juros seriam capitalizados mês a mês, a uma taxa mensal proporcional a 12% ao ano, isto é, 1% ao mês. Dessa forma, o montante acumu-lado ao fim de 24 meses seria dado por
Foi o suficiente para o ganancioso Aníbal pensar em capitalizações diárias, por hora, minutos, segun-dos ...
Qual seria, porém, o montante acumulado se o número de capitalizações assumisse um valor muito alto? Além disso, é possível ficar rico se o número de capitalizações tender ao infinito?
Essas respostas podem ser obtidas por meio do conceito de Limite, que estudaremos a seguir.
TAM
LIMITE
E
CONTINUIDADE
7
Noção intuitiva de limite Seja a função f: IR→ IR definida por f(x) = x2 − 1,
representada graficamente a seguir.Vamos atribuir a x valores arbitrários, próximos
de 2, e calcular os correspondentes valores de y, para que possamos saber como essa função se comporta nas vizinhanças de 2.
x f(x)1,900Aproximação pela
esquerda de 2
Aproximação pela direita de 2
2,6100001,990 2,9601001,999
2,0002,0012,0102,100
2,996001
3,0000003,0040013,0401003,410000
f(x) = x2 − 1
3
y
x
2
1
1−1−2 2 3
−1
0
Podemos perceber que, quando x tende para 2 (seja por valores maiores, seja por valores iguais ou menores que 2), y tende para 3, o que nos leva a escrever
lim( )x
x→
− =2
2 1 3 ,
que será lido da seguinte forma:
O limite da função f(x) = x2 − 1, quando x tende a 2, é igual a 3.
De forma geral, se a função f(x) fica arbitrariamente próxima de um único número real L para os infinitos valores de x próximos do número c, então dizemos que a função f tem limite L quando x → c, e escrevemos
lim ( )x c
f x L→
=
Vale ressaltar que, no estudo do comportamento de f(x) quando x tende a um certo valor c, não é necessário que f(x) esteja definida em x = c.
Questões resolvidas
Seja a função R1. f xx se x
se x( )
,,
=+ ≠
=
1 11 1
. Calcule lim ( )x
f x→1
.
Resolução: y
3
2
1
0−1 1 2 3 x
Com base no gráfico de f(x), podemos perceber que y→2 quando x→1.
Determine, caso exista, R2. lim ( )x
f x→2
para a função
f xx se xx se x
( ),
,=
≤+ >
2 21 2
.
Resolução:
y
1
10−1−2−3−4 2 3 4
2
3
4
5
6
x
A construção do gráfico de f nos permite notar que f(x) se aproxima de 4 à medida que x se aproxima de 2 pela esquerda e que f(x) se aproxima de 3 quando x se aproxima de 2 pela direita.Uma vez que f(x) se aproximou de valores diferentes quando x se aproximou de 2 (pela esquerda e pela direita), podemos dizer que lim ( )
xf x
→2 não existe.
Limites laterais
Esse último exemplo serviu para nos mostrar que, em certos casos, uma função tende para valores diferentes quando x tende a c por valores maiores ou menores que c.
TAM
LIMITE
E
CONTINUIDADE
8
Se x se aproximar de c por valores maiores que c, isto é, pela direita de c, podemos utilizar a notação
lim ( )x c
f x→ +
para indicar o limite lateral à direita de c.
De modo análogo, se x se aproximar de c por valores menores que c, isto é, pela esquerda de c,
podemos utilizar a notação lim ( )x c
f x→ −
para indicar o
limite lateral à esquerda de c.
Refletindo
Para que lim ( )x c
f x→
exista, qual deve ser a relação
existente entre lim ( )x c
f x→ −
e lim ( )x c
f x→ +
?
Questões propostas
Seja y = f(x) a função cujo gráfico se encontra a Q1. seguir. Quais das seguintes afirmativas são corretas?
lim ( )x
f x→
=8
3a)
lim ( )x
f x→
=8
5b)
lim ( )x
f x→ −
=8
3c)
lim ( )x
f x→ +
=8
5d)
f(8) = f(9) = 5e)
lim ( )x
f x→ +
=9
5f)
lim ( )x
f x→
=9
5g)
y
5
3
8 9
y = f(x)
x
Em relação à função y = f(x), representada a seguir, Q2. quais das seguintes afirmativas são corretas?
f[f(-1)] = 1a) 1 < f[f(1)] < 2b) f[f(3)] = 2c)
lim ( ) lim ( ) ( )x x
f x f x f→ →− +
= =1 1
3d)
lim ( )x
f x→
=3
1e)
lim ( ) lim ( )x x
f x f x→ →− +
=3 3
f)
y
3
2
1
10−1 2 3
Propriedades dos limites Sejam b e c dois números reais e n um inteiro
positivo. Sejam, ainda, f e g funções para as quais
se têm lim ( ) ( )x c
f x g x L M→
± = L e lim ( ) ( )x c
f x g x L M→
±g = M. São válidas as
seguintes propriedades:
1.ª) Limite de uma constanteO limite de uma constante é a própria constante, isto é,
limx c
b b→
=
2.ª) Limite da soma ou diferençaO limite da soma (ou diferença) de duas funções é igual à soma (ou diferença) dos limites dessas funções, isto é,
lim ( ) ( )x c
f x g x L M→
±
3.ª) Limite do produtoO limite do produto de duas funções é igual ao produto dos limites dessas funções, isto é,
lim[ ( ). ( )] .x c
f x g x L M→
=
TAM
LIMITE
E
CONTINUIDADE
9
4.ª) Limite do quocienteO limite do quociente de duas funções é o quociente dos limites dessas funções, desde que o limite presente no denominador seja diferente de zero, isto é,
lim ( )x c
g x→
≠ 0lim( )( )
;x c
f xg x
LM→
=
5.ª) Limite de uma potênciaO limite da n-ésima potência de uma função é igual à n-ésima potência do limite dessa função (desde que esta última potência seja um número real),isto é,
lim ( ) lim ( )x c
n
x c
nnf x f x L
→ → =
=
6.ª) Limite de uma raizO limite da raiz n-ésima de uma função é a raiz n-ésima do limite da função (desde que esta última raiz seja um número real), isto é,
lim ( ) lim ( ) ;x c
nx c
nnf x f x L
→ →= = n ∈ IN* e L ≥ 0.
(Se L < 0, n deve ser ímpar)
7.ª) Limite do logaritmoO limite do logaritmo de uma função é igual ao logaritmo do limite dessa função, desde que o limite da função seja positivo, isto é,
limlog [ ( )] log [lim ( )] log ;x c
b bx c
bf x f x L→ →
= =
(0<b≠1 e L > 0)
8.ª) Limite do senoO limite do seno de uma função é o seno do limite da função, isto é,
lim [ ( )] [lim ( )]x c x c
sen f x sen f x→ →
=
9.ª) Limite do cossenoO limite do cosseno de uma função é o cosseno do limite da função, isto é,
lim cos[ ( )] cos[lim ( )]x c x c
f x f x→ →
=
10.ª) Limite da função exponencial de base e
lim ( ) lim ( )
x c
f x f xe e x c
→= →
Questão resolvida
Aplicando as propriedades dos limites, calcule:R3.
lim( )x
x x→
− +1
43 2 5a)
lim sen (2x)x →
4p
b)
lim( ).x
xx e→
++1
113c)
limcos
x
xx→ +0 43 1
d)
Resolução:
a) lim( ) lim lim lim
. .x x x x
x x x x→ → → →
− + = − +
= − +=
1
4
1
4
1 1
4
3 2 5 3 2 5
3 1 2 1 56
b) lim ( ) lim( )x x
sen x sen x sen→ →
=
=
=p p
p
4 4
2 22
1p p
p
c) lim( ). lim( ).lim
( ).lim(
x
x
x x
x
x
x e x e
ex
→
+
→ →
++ = +
= + →
1
1
1 1
11 1
1 1
3 3
1
3 ++
=
1
22
)
.e
d) lim
cos limcos
lim( )
cos lim
.x
x
x
xxx
x
x
x
→
→
→
→
+=
+=
( )+0 4
0
0
40
43 1 3 1 3 0 1== 1
Limite de uma função polinomial
Se P é uma função polinomial e c é um número
real, então lim ( ) ( )x c
P x P c→
= .
Questão resolvida
Calcule R4. lim( )x→ 1
2x 54 3
Resolução:
lim ( ) =x
x x 2x→−1
54 3
3. (−1)4 − (−1)3 + 2.(−1) + 5 = 7
―
TAM
LIMITE
E
CONTINUIDADE
10
Limite de uma função racional
Se P(x) e Q(x) são funções polinomiais e Q(c) ≠ 0,
então lim( )( )
( )( )x c
P xQ x
P cQ c→
= .
Questões propostas
Calcule:Q3.
lim( )x
x x→
+ −1
23 2 5a)
lim( )x
x x x→−
− + −1
3 2 1b)
limx
xx→
+−6
25
c)
limx
xx→−
++4 2
44
d)
lim( )( )x
x x→
− −3
1 4e)
lim( )x
x x→−
+ − −1
17 63f)
limx
x xe→
+
1
32g)
limcosx
xx→
++0
2 11
h)
lim(log log )x
x x→
−1 2 1
3
8 27i)
Determine Q4. lim ( )x
f x→2
em cada caso:
lix→2a)
lix→2b)
lim( )x
xf x→
=2
4 125
c)
Cálculo de limites quando o numerador e o denominador tendem a zero
Se f e g forem funções para as quais
lim ( ) lim ( )x c x c
f x g x→ →
= = 0 , nada poderemos dizer, a
princípio, sobre lim( )( )x c
f xg x→
.
Dependendo das funções f e g, esse limite pode assumir um valor real qualquer ou pode até não existir.
Dizemos que 00
é uma forma indeterminada,
pois ela nada nos diz sobre tal limite.Nesses casos, podemos nos valer de certos
artifícios algébricos, apresentados a seguir.
Cálculo de limites por meio de fatoração
Se, no cálculo do limite de uma função racional, o numerador e o denominador da função tenderem a zero quando x tender a um certo valor c, devemos fatorar e simplificar a referida função (se for possível) antes de fazermos a substituição de x por c.
Questão resolvida
Calcule R5. limx
x
x→
−−1
3
2
1
1.
Resolução:
Como 1 é raiz do polinômio x3 −1, vamos utilizar o dispositivo prático de Briot-Ruffini:
1 1 0 0 −1
1 1 1 0
Logo: x3 −1 = (x − 1)(x2 + x + 1) Portanto:
= = =limx
x
x→
−−1
3
2
1
1lim
( )( )( )( )x
x x xx x→
− + +− +1
21 11 1
limx
x xx→
+ ++1
2 11
32
Refletindo
A função xx
3
2
11
−− está definida para x = 1? Por
que pudemos cancelar o fator (x − 1), comum ao
numerador e ao denominador? O que se pode
dizer a respeito de limx
xx→
−−1
3
2
11
?
TAM
LIMITE
E
CONTINUIDADE
11
Questão resolvida
Calcule R6. limx
x x
x x→
− +−2
4
3 2
10 4
2
Resolução:
Uma vez que 2 é raiz do polinômio x4−10x + 4, podemos, novamente, utilizar o dispositivo prático de Briot-Ruffini e escrever quex4 −10x + 4 = (x − 2)(x3 + 2x2 + 4x − 2).
Além disso, evidenciando o fator comum x2 no polinômio x3 − 2x2, notamos que x3 − 2x2 = (x − 2)x2.
Portanto:
limx
x xx x→
− +−2
4
3 2
10 42
lim( )( )
( )x
x x x xx x→
− + + −−2
3 2
2
2 2 4 22
limx
x x xx→
+ + − =2
3 2
2
2 4 2 112
= =
Questão proposta
Calcule os seguintes limites:Q5.
limx
xx→−
−+1
2 11
a)
limx
xx→
−−3
2 93
b)
limx
x xx x→
+ −+ −1
2
2
22 3
c)
limx
x xx→
− −−5
2
2
2 9 53 75
d)
limx
x x xx x→ −
+ − −+ +1
3 2
2
2 27 6
e)
limx
x xx x x→
− ++ − +2
3 2
3 2
3 416 20
f)
limx
xx→
−−1
7
3
11
g)
limx
x xx x x→
− −− − −5
3
3 2
19 302 13 10
h)
Cálculo de limites por meio de racionalização
Questões resolvidas
Calcule R7. limx
x xx→
− +−1
2 11
.
Resolução:
Em virtude da indeterminação 00
, vamos recorrer
ao artifício da racionalização do numerador:
limx
x xx→
− +−1
2 11
=
lim .x
x x
x
x x
x x→
− +( )−( )
+ +( )+ +( )
1
2 1
1
2 1
2 1 =
lim( )
x
x x
x x x→
− +−( ) + +( )1
2 1
1 2 1 =
lim( )
x
x
x x x→
−−( ) + +( )1
1
1 2 1=
limx x x→ + +( )1
1
2 1 =
1
2 2
24
=
Calcule R8. limx
x
x→
+ −− −4
2 1 3
2 2.
Resolução:
Vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo “conjugado” do numerador e também pelo “conjugado” do denominador:
limx
x
x→
+ −− −4
2 1 3
2 2 =
lim . .x
x
x
x
x
x
x→
+ −( )− −( )
+ +( )+ +( )
− +( )− +( )
4
2 1 3
2 2
2 1 3
2 1 3
2 2
2 2
limx
x x
x x→
+ −( ) − +( )− −( ) + +( )
4
2 1 9 2 2
2 2 2 1 3 =
TAM
LIMITE
E
CONTINUIDADE
12
limx
x x
x x→
−( ) − +( )−( ) + +( )
4
2 4 2 2
4 2 1 3 =
2 2 2
9 3
2 23
( )++( ) =
Cálculo de limites por meio de mudança de variável
Questão resolvida
Calcule R9. limx
x
x→
−−1
3 1
1.
Resolução:
Faremos a mudança de variáveis x y y= ≥6 0, para facilitar os cálculos.Se x →1, então y6 →1 e y→1, pois estamos considerando y ≥ 0.A escolha do expoente 6, para a nova variável y, é justificada pelo fato de mmc (2,3) ser igual a 6.
lim lim limx y y
x
x
y
y
yy→ → →
−−
=−
−= −
−=
1
3
1
63
6 1
2
3
1
1
1
1
11
lim( )( )
( )( )y
y yy y y→
− +− + +
=1 2
1 11 1
lim( )
( )y
yy y→
++ +
=1 2
11
23
Questão proposta
Calcule os seguintes limites:Q6.
limx
x
x→
−
+ −2 2
2
5 3a)
limx
xx→
+ −−8
1 38
b)
limx
x xx→
+ − −0
1 1c)
limx
x
x→
− +− −4
3 5
1 5d)
limx
x x
x x x→
− −
− −3 2
6
6e)
limx
x x xx x→
+ − + −−2
2 2
2
5 4 32
f)
limx
xx→
+ −0
3 3g)
limx
x
x→
+ −− −2
4 1 3
3 2 2h)
limx
x
x→
−+ −1 3
1
2 6 2i)
limx
x
x→
−−1
3
4
1
1j)
limx
x
x→
−−64 3
8
4k)
limx
x
x→
+ −+ −0
3 32 2
2 2l)
lim( )
x
xx→
+ −0
42 16m)
Continuidade Uma função f é dita contínua num ponto x = c de
seu domínio se, e somente se, as condições a seguir forem satisfeitas:
1.ª) existe f(c)
2.ª) existe lim ( )x c
f x→
3.ª) lim ( ) ( )x c
f x f c→
=
Caso uma ou mais condições acima não forem satisfeitas, dizemos que a função é descontínua em x = c.
Se a continuidade puder ser verificada em todos os pontos do domínio de uma função, esta será denominada função contínua.
São funções contínuas:
I) as funções polinomiais (contínuas para todo número real);
II) as funções racionais (contínuas em todos os pontos de seus domínios);
III) as funções raízes (contínuas em todos os pontos de seus domínios);
IV) as funções exponenciais (contínuas para todo número real);
V) as funções logarítmicas (contínuas em todos os pontos de seus domínios);
TAM
LIMITE
E
CONTINUIDADE
13
VI) as funções trigonométricas f(x) = senx e f(x) = cosx (contínuas para todo número real) e as demais funções trigonométricas (contínuas em todos os números de seus domínios).
Refletindo
Verifique se as funções representadas graficamente a seguir são contínuas em x = c. Em caso negativo, informe qual (ou quais) condição(ões) não foi(foram) satisfeita(s).
Questões resolvidas
Verifique a continuidade da função R10.
f xx x xx x
( ),
,=
+ ≥− <
2 4 02 0
em x = 0.
Resolução:
Cálculo de f(0):f(0) = 02+4.0 = 0
Cálculo de lim ( )x
f x→0
:
lim ( )x
f x→ −
= −0
2 e lim ( )x
f x→ +
=0
0
Uma vez que os limites laterais foram diferentes,
podemos afirmar que não existe lim ( )x
f x→0
.
Como somente a 1.ª condição foi satisfeita, podemos concluir que essa função é descontínua em x = 0.
Seja R11. λ ∈ IR e f: IR→ IR a função definida por
f xx se xx se x
( ),,
= − >− ≤
3 3
2 3lλ. Calcule o valor de λ
para que f(x) seja contínua em x = 3.
Resolução:
Para que a 2.ª condição seja satisfeita, é necessário que lim ( ) lim ( )
x xf x f x
→ →− +=
3 3.
Logo, podemos afirmar que 2 3 3 3 6. − = − ⇒ =l lλ λ .
Questões propostas
Para cada uma das funções a seguir, calcule f(xQ7. o),
lim ( )x xo
f x→ −
e lim ( )x xo
f x→ +
. Em seguida, diga se essas
funções são contínuas ou descontínuas em x = xo.
f xx
xx
x( ) ,
,= ≠
=
0
0 0a) , xo = 0
f xx x
xx x
( ),
,,
=− <
=− >
1 35 38 3
b) , xo = 3
f xx x
xx x
( ),
,,
=+ >=
− <
2 1 25 27 9 2
c) , xo = 2.
TAM
LIMITE
E
CONTINUIDADE
14
Determine os valores de a e b para os quais a função Q8.
f xx xax b x
x x
( ),,
,
=− < −+ − ≤ <− ≥
2
2
4 11 2
4 2
é contínua, qualquer que
seja x ∈ IR.
Seja a função Q9. f: IR →IR definida por
f xx se x
kx se x( )
( ),,
=− <
≥
2 2 11 . Determine k, de
modo que f seja contínua em x = 1.
Seja Q10. λ ∈ IR e seja f: IR →IR a função definida por
f xx se x
se x( )
,,
=− ≠
=
2 4 32 3lλ
. Calcule λ para que f(x)
seja contínua em x =3.
Seja a função Q11. f xx
xse x
k se x( ) ,
,=
+ −−
≠
=
2 22
2
3 2.
Determine k para que f(x) seja contínua em x =2.
Limites infinitos Há funções para as quais os valores de f(x)
aumentam ou diminuem ilimitadamente quando a variável independente se aproxima de um número real c.
Vejamos alguns exemplos:
Consideremos a função f: IR → IR − {2} definida por
f xx
( )( )
=−1
2 2, representada graficamente a seguir:
y
x20
Notemos que, quando x tende a 2, seja pela esquerda, seja pela direita, a função assume valores arbitrariamente grandes, o que nos permite escrever:
lim ( )x
f x→
= +∞2
Vale ressaltar que +∞ e − ∞ não são números reais. Dessa forma, o limite acima não existe. O símbolo ∞ apenas indica como a função se comporta quando x fica cada vez mais próximo de 2.
Consideremos, também, a função f: IR → IR − {1}
definida por f xx
x( )
( )=
−2
1, cujo gráfico se encontra
esboçado a seguir:
y
1
2
x
Observemos que, quando x tende a 1 pela esquerda, a função f(x) assume valores arbitrariamente pequenos. Para indicarmos que f(x) diminui ilimitadamente quando x tende a 1 por valores menores que 1, escrevemos:
lim ( )x
f x→ −
= − ∞1
Por outro lado, quando x tende a 1 por valores maiores que 1, percebemos que f(x) aumenta ilimi-tadamente, o que indicaremos da seguinte forma:
lim ( )x
f x→ +
= +∞1
Constatamos, neste caso, que lim ( ) lim ( )x x
f x f x→ →− +
≠1 1
.
Limites de funções quando x tende ao infinito
Podemos estar interessados em estudar o comportamento das funções quando a variável independente cresce ou diminui indefinidamente.
Vejamos alguns exemplos:
Comecemos pela função f: IR* → IR definida por
f xx
( ) = 1:
TAM
LIMITE
E
CONTINUIDADE
15
y
x0
É fácil perceber que, quando x → +∞ (x tende para o infinito), o valor da função f(x) se aproxima cada vez mais de 0.
O que acabamos de afirmar pode ser expresso da seguinte maneira:
lim ( )x
f x→+∞
= 0
De modo análogo concluímos que, quando x → –∞ (x tende para menos infinito), o valor da função f(x) também se aproxima cada vez mais de zero, ou seja:
lim ( )x
f x→−∞
= 0
Analisamos, anteriormente, o comportamento
da função f: IR → IR − {1} definida por f xx
x( )
( )=
−2
1,
quando x tendia a 1, por valores menores e maiores que 1.
Agora estamos interessados em saber como esta função se comporta quando x → +∞ e quando x → –∞.
y
x1
2
O gráfico acima nos permite afirmar que
lim ( )x
f x→−∞
= 2 e lim ( )x
f x→+∞
= 2
Refletindo
Considerando a função f: IR*→IR definida por
f xxn( ) = 1 , com n ∈ IN*, existe algum valor para o
qual se tenha f(x) = 0? O que podemos afirmar,
neste caso, a respeito de lim ( )x
f x→+∞
e lim ( )x
f x→−∞
?
Limite da função polinomial quan-do x→±∞
Seja a função polinomial f(x), de grau n, com an ≠ 0, definida por:
f x a x a x a x a x ann
nn( ) ...= + + + + +−−
11
22
1 0
Evidenciando o fator xn, obtemos:
f x x aax
a
x
a
x
a
xn
nn
n n n( ) ...= + + + + +
−
− −1 2
21
10
Quando x → ±∞ , os termos
tendem todos a zero.
Por conseguinte, temos que:
lim ( ) lim ...
lim
x x
nn
nn n
x
f x x aax
a
x
a
x→±∞ →±∞−
−
→±
= + + + +
=
1 11
0
∞∞a xn
n
Concluímos, então, que o limite de uma função polinomial, quando x → ±∞ , é igual ao limite de seu termo de maior grau.
Analogamente, se h xf xg x
( )( )( )
= é uma função racional
com f x a x a x a x a x ann
nn( ) ...= + + + + +−−
11
22
1 0
e g x b x b x b x b x bmm
mm( ) ...= + + + + +−−
11
22
1 0 ,
temos:
lim( )( )
limx x
nn
mm
f xg x
a x
b x→±∞ →±∞=
ax
a
x
a
x
a
xn
n n n−
− −1 2
21
10,..., , ,
TAM
LIMITE
E
CONTINUIDADE
16
Questão resolvida
Calcule os limites a seguir:R12.
limx
x x→+∞
−5 33 2a)
limx
x x→−∞
− + +3 4 3b)
limx
x xx→+∞
+ −−
2 6 54 2
3
5c)
limx
x x xx x→+∞
+ − ++ −
6 3 2 13 5 2
4 2
4d)
limx
x x xx→−∞
− + − +−
4 2 33 7
3 2
e)
limx
x x x→+∞
+ + −( )2 4 3f)
Resolução:
lim limx x
x x x→+∞ →+∞
− = = +∞5 3 53 2 3a)
Observação: Não podemos escrever
lim
lim limx
x x
x x
x x→+∞
→+∞ →+∞
− =
− =
+∞ − ∞
5 3
5 3
3 2
3 2
devido ao fato de ∞ não ser número. Consideramos +∞ − ∞ uma forma indeterminada.
lim limx x
x x x→−∞ →−∞
− + + = − = +∞3 34 3b)
lim lim limx x x
x xx
xx x→+∞ →+∞ →+∞
+ −−
= = =2 6 54 2
24
24
03
5
3
5 2c)
Obs.: Conforme já fora dito anteriormente, ∞ não é número. Portanto, não podemos escrever
lim
lim
lim
x
x
x
x xx
x x
x
→+∞
→+∞
→+∞
+ −−
=
+ −
−= ∞∞
2 6 54 2
2 6 5
4 2
3
5
3
5
Consideramos ∞∞
um outro tipo de forma
indeterminada.
lim lim limx x x
x x xx x
xx→+∞ →+∞ →+∞
+ −+ −
= = =6 3 23 5 2
63
2 24 2
4
4
4d)
lim lim
lim
x x
x
x x xx
xx
x
→−∞ →−∞
→−∞
− + − +−
= −
= −
= −
4 2 33 7
43
43
3 2 3
2 ∞∞
e)
Devido à presença daf) forma indeterminada do tipo +∞ − ∞ , para calcularmos este limite, vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo
“conjugado” de x x x2 4 3+ + −( ) .
lim
lim .
x
x
x x x
x x xx x x
x x x
→+∞
→+∞
+ + −( ) =
+ + −( ) + + +( )+ + +
2
2
2
2
4 3
4 34 3
4 3(( )
=
+
+ + +( ) =+
+ +
→+∞
→+∞
lim
lim
x
x
x
x x x
x
xx x
4 3
4 3
4 3
14 3
2
22
+
=
x
Uma vez que x x2 = , se x ≥ 0, obtemos:
lim
lim
x
x
xx
xx x
x
→+∞
→+∞
+
+ +
+
=
+
43
14 3
1
43
2
+ +
+
=
14 3
1
2
2x x
Questões propostas
A função Q12. f xx
( ) =−
112 encontra-se representada
graficamente a seguir. Observando seu gráfico, determine, se existir:
x
y
1
10−1−2−3 2 3−1
−2
−3
−4
2
3
4
TAM
LIMITE
E
CONTINUIDADE
17
lim ( )x
f x→−∞
a)
lim ( )x
f x→+∞
b)
lim ( )x
f x→− −1
c)
lim ( )x
f x→− +1
d)
lim ( )x
f x→−1
e)
lim ( )x
f x→ +0
f)
lim ( )x
f x→ −0
g)
lim ( )x
f x→0
h)
lim ( )x
f x→ −1
i)
lim ( )x
f x→ +1
j)
Os esboços dos gráficos da função f:IR Q13. →IR*+ definida por f(x) = ax, para os casos em que a > 1 e 0<a<1, encontram-se registrados a seguir.
y y = ax
a > 1 0 < a < 1
y = axy
x x
Observando-os, determine o valor dos seguintes limites:
limx
x
→−∞10a)
lim ,x
x
→−∞0 5b)
limx
xe→−∞
c)
limx
x
→−∞
p4pd)
limx
x
→+∞2e)
limx
x
→+∞
13
f)
limx
x
→+∞( )2g)
A seguir encontram-se esboçados os gráficos da Q14. função f: IR*+→IR definida por f(x) = log a x.
0 < a < 1a > 1
yy = loga x y = loga x
y
x x
Observando-os, encontre o valor dos seguintes limites:
lim logx
x→ +0
a)
lim logx
x→ +0
15
b)
lim lnx
x→+∞
c)
lim logx
x→+∞ 3
2
d)
Construa o gráfico da função Q15.
f: IR − p
p2+
kp p →IR (k ∈ Z)
definida por f(x) = tg x. Em seguida, determine:
limx
tgx→
−p2p
a)
limx
tgx→
+p2p
b)
Calcule os limites a seguir:Q16.
limx
xx x→ +
−− +4 2
15 4
a)
lim ( )x
x x→−∞
+ −2 1004 2b)
lim ( )x
x x→−∞
+ +5 2 173c)
limx x x→+∞ + +
212d)
limx
x xx x→+∞
+ ++ +
5 4 37 5 1
2
2e)
limx
x xx→−∞
+ −+
2 3 72 1
f)
limx
x xx→+∞
+ −+
2 3 72 1
g)
limx
x xx x→−∞
− + +− +
3 3 14 7
2
2h)
limx
x xx x x→+∞
+ ++ + −
4 2 35 3 4
2
3 2i)
limx
x x xx x x→−∞
− + ++ − +
9 4 15 2 7
3 2
5 3j)
limx
x x x→+∞
− + −( )2 1k)
Teorema do confronto Certos limites não podem ser obtidos, facilmente,
de forma direta. Todavia, tais limites podem ser calculados, de forma indireta, se fizermos uso do importante teorema que enunciaremos a seguir e que também é conhecido como “teorema do sanduíche”.
Se f, g e h são funções que estão definidas em algum intervalo aberto I que contém c, exceto, possivelmente, no próprio c, f(x) ≤ g(x) ≤ h(x), para
todo x em I, tal que x ≠ c e lim ( ) lim ( )x c x c
f x h x L→ →
= = ,
então lim ( )x c
g x L→
= .
TAM
LIMITE
E
CONTINUIDADE
18
Questão resolvida
Utilizando o teorema do confronto, calcule R13.
limx
x senx→0
2 1 .
Resolução:
Não podemos simplesmente substituir x por 0 porque
limx
senx→=
0
10 não existe.
Como − ≤ ≤ ∀1 1senq q, ,q q podemos afirmar que
− ≤ ≤11
1senx
Multiplicando a desigualdade acima por x²,
obtemos
− ≤ ≤x x sen x xf x
g xh x
2 2 21( )
( )( )
/
Visto que lim limx x
x x→ →− = =
0
2
0
2 0 , concluímos que
limx
x senx→=
0
2 10 , que pode ser comprovado pelo
gráfico a seguir.
0.05
0.05
0.1−0.1−0.2−0.3−0.4 0.2 0.3 0.4
0.1
0.1
0.15
0.15
Limite trigonométrico fundamental
Seja a função f: IR* → IR definida por
f xsen x
x( ) = .
Embora saibamos que tal função não está definida para x = 0, podemos desejar saber como ela se comporta à medida que x assume valores arbitrariamente próximos de zero.
Como, porém, calcular limx
sen xx→0
?
O resultado deste importante limite será a con-clusão da demonstração apresentada na sequência.
Consideremos um círculo de raio unitário e x um arco (medido em radianos), de modo que 0
2< <x
pp , como representado na figura a seguir:
Seno Tangente
Cosseno
T
tg x
P
HOx
A
Pela figura, verificamos que é verdade que
Área DOPH < Área do setor OAP < Área do DOAT.
Como PH sen x= ; OA = 1 e AT tg x= , temos que:
Área DOPH = sen x x.cos2
,
Área setor OAP = x.12
e
Área DOAT = 12
.tg x
Logo, sen x x.cos2
< x.12
< 12
.tg x .
Dividindo todos os membros da desigualdade
acima por sen x.2
(>0), obtemos:
cosx < xsen x
< 1cosx
.
Uma vez que todos os termos desta última desigualdade são positivos, podemos escrever:
1cosx
> sen xx
> cosx
Visto que 1cosx
e cosx tendem a 1, quando x
tende a 0, pelo Teorema do Confronto, concluímos
y = x2
y = x2 sen 1 x
y = ―x2
TAM
LIMITE
E
CONTINUIDADE
19
que sen x
x→ 1 quando x → 0 .
De maneira análoga, provamos também para x < 0.Logo,
limx
sen xx→
=0
1
O gráfico a seguir, correspondente à função
f xsen x
x( ) = , ilustra este resultado.
y
x105−5−0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
−10x
y = sen xx
Questão resolvida
Calcule os seguintes limites:R14.
limx
sen xx→0
5a)
limx
sen xsen x→0
35
b)
limcos
x
xx→
−0 2
1c)
limx
tg xx→0
d)
Resolução:
lim lim.
.lim
.x x x
sen xx
sen xx
sen xx→ → →
= = =
=0 0 0
5 5 55
55
55 1 5
a)
lim lim.
.
lim .
x x
xsen xsen x
sen xx
sen xx
sen xx
→ →
→= =
0 0
035
33
3
55
5
33
3
=
→
→
→
lim .
.lim
lim
x
x
x
sen xx
sen xx
se
0
0
0
55
5
35
33nn xx5
5
35
11
35
= =.
b)
Uma vez que c) ( cos )( cos )1 1 2− + =x x sen x , vamos multiplicar tanto o numerador quanto o denominador de 1
2
− cos xx
por ( cos )1+ x . Assim:
limcos
limcos cos
cos
lim
x x
x
xx
x x
x x
sen
→ →
→
− =−( ) +( )
+( ) =0 2 0 2
0
2
1 1 1
1
xxx x
sen xx xx x2 0
2
011
1
112
12
+( ) =
+( ) =
=
→ →coslim .lim
cos
.
d) lim limcos
lim.cos
lim .li
x x x
x
tg xx
sen xx
xsen x
x xsen x
x
→ → →
→
= = =0 0 0
0mm
cos.
x x→= =
0
11 1 1
Questão proposta
Calcule os seguintes limites:Q17.
limx
sen xx→0
23
a)
limx
sen xsen x→0
48
b)
limcos
.x
xx sen x→
−0
1c)
limsec
x
xx→
−0 2
1d)
limcosx
tg xx→
−
4
12p
e)
limx k
sen x senkx k→
−−
f)
Use a identidade
senm senn senm n m n− = − +
22 2
cos
limcosx
tg xsen x x→
−−
4
1g)
Limite exponencial fundamental
Seja a função f xx
x
( ) = +
1
1, cujo domínio é
dado por x x x∈ < − >{ }IR ou| 1 0 .
p
TAM
LIMITE
E
CONTINUIDADE
20
Fazendo uso de uma calculadora científica, podemos construir a tabela
x f xx
x
( ) = +
1
1
−10000 2,7184
−1000 2,7196
−100 2,7320
−10 2,8680
−1,1 13,9808
0,1 1,2710
1 2
10 2,5937
100 2,7048
1000 2,7169
10000 2,7181
100000 2,7183
com base na qual o seguinte gráfico pode ser construído: y
0
1
−1
−2 2 4−4−6
2
3
4
5
x
Tanto a tabela quanto o gráfico acima nos sugerem, intuitivamente, que, à medida que x→ ±∞, f x e( ) → , em que e é o número de Euler (2,7182818...).
De fato, é possível provar que:
limx
x
xe
→±∞+
=1
1
Refletindo
O número de Euler é um número irracional que pode
ser obtido a partir de 1 10
11
12
130 nn ! ! ! ! !
...=
∞
∑ = + + + + .
Questão resolvida
Calcule os seguintes limites:R15.
limx
x
x→∞+
1
32
a)
limx
xx→
+( )0
4
1 4b)
limx
xxx→∞
+−
11
c)
Resolução:
Vamos substituir a) 3x
por 1y
e, consequentemente,
x por 3y.
Neste caso, observamos que x → ∞ e que, portanto,
y também tenderá a ∞.
Logo,
lim lim
lim
.
x
x
y
y
y
x
x y
y
→∞ →∞
→∞
+
= +
=
+
13
11
11
2 2 3
= +
=→∞
6 6
611
limy
y
ye
Fazendo b) 41
xy
= e, consequentemente, xy
= 14
,
notamos que, quando y → ±∞, x → 0.
Logo,
lim lim
lim
xx
y
y
y
y
xy
y
→ →±∞
→±∞
+( ) = +
=
+
0
4 16
1 4 11
11
=
16
16e
Fazendo c) xx t+−
= +11
11 , por meio de manipulação
algébrica, notamos que x t= +2 1.
Notamos que, quando x →∞ , t →∞ também.
Logo,
limx
xxx→∞
+−
11
= limt
t
t→∞
+
+
1
12 1
= lim .t
t
t t→∞+
+
11
11
2 1
= lim .lim .t
t
tt te e
→∞ →∞+
+
= =1
11
11
2
2 2
TAM
LIMITE
E
CONTINUIDADE
21
Questão proposta
Calcule os seguintes limites:Q18.
limx
x
x→∞+
1
7a)
limx
x
x→∞−
1
6b)
limx
x
x→∞+
1
35
c)
limx
x
x→∞+
1
52
d)
limx
x
x→∞+
1
2 4e)
limx
xx→
+( )0
1
1 4f)
limx
xx
x→−∞
+
8g)
limx
xxx→∞
+−
11
h)
Questões de revisão e aprofundamento
(UF-PA) Dado o gráfico da função y = f(x), podemos Q19. afirmar que:
y
xa
b
cy = f(x)
lim ( )x a
f x b→
=a)
lim ( )x a
f x c→
=b)
lim ( )x a
f x→
= 0c)
lim ( )x a
f x c→ −
=d)
lim ( )x a
f x b→ −
=e)
(UF-PA) Seja f definida por Q20. f xx se x
se x( ) =
+ ≠=
3 12 1
.
Qual o valor de lim ( )x
f x→1
?
1a) 2b) 3c) 4d) 5e)
(Mack-SP) Q21. limx x
xx x→ −
+ −+ −
2 2
12
76
é igual a:
0a)
25
b)
35
c)
1d)
52
e)
(UF-PR) O Q22. limx
x xx x→
− ++ −2
2
2
2 12 163 3 18
é igual a:
− 415
a)
− 25
b)
− 12
c)
− 32
d)
− 52
e)
(UF-PA) Qual o valor de Q23. limx
xx→
−−2
22
?
0a)
14
b)
1
2c)
24
d)
12
e)
(PUC-SP) Q24. limx
x
x→
+ −+ −0 3
1 1
1 1 é igual a:
13
a)
25
b)
35
c)
23
d)
32
e)
TAM
LIMITE
E
CONTINUIDADE
22
(Mack-SP) O valor de Q25. lim.
x
x x
x→
− +−0
22 4 2 32 1
é:
–1a) –2b)
c) ∞0c) 1d)
(UFU) A função Q26. f xxx
( ) = −−
2
3
11
não está definida para
x = 1. Para que a função f(x) seja contínua no ponto x = 1, devemos completá-la com f(1) =
−a) ∞
23
b)
13
c)
+d) ∞0e)
(Q27. PUCMinas) Se L = limx
xx→ −∞
−+
2 81
3 , o valor de L é:
−2a) −1b) 0c) 1d) 2e)
(UF-PA) Qual o valor de Q28. limx
x xx x→ +∞
+ ++ −
2 14 5
2
3 ?
0a) 2b) 4c) −d) ∞+e) ∞
(PUC-SP) Q29. limx
x xx→∞
+ +−
4 6 35
2
2 é igual a:
−2a) −1b) 0c) 1d) 2e)
(UF-PA) Calcular Q30. limx
x x x→∞
− + −( )2 5 7 .
− 52
a)
− 25
b)
1c)
25
d)
52
e)
(PUC-SP) Q31. limx
sen xsen x→0
54
é igual a:
2a)
12
b)
54
c)
34
d)
23
e)
(PUC-SP) O valor de Q32. limx
tgx xx→
+0
é igual a:
0a) 1b) 2c) −d) ∞+e) ∞
(PUC-SP) Se Q33. limx
x
xe
→∞+
=1
1, então, para k real e
não nulo, o limite limx
kx
x→∞+
1
1 vale:
kea) eb) k
kc) e
e + kd) e/ke)
(Cescem) Q34. limn
n
n→∞+ +
5 11
vale:
5ea) eb) 5
5 – ec) 5 + ed) 5e) e
DerivadaCapítulo 2
Introdução
Suponhamos que o lucro mensal de uma rede de sorveterias possa ser modelado pela função
, em que x
corresponde ao número de bolas de sorvete vendidas
durante o mês . Quando do estudo das funções quadráticas, vimos
que o valor máximo ou mínimo sempre ocorre na orde-nada do vértice da parábola correspondente à função.
Sendo assim, para o problema apresentado acima, se desejássemos saber qual o lucro máximo
que essa rede de sorveterias poderia obter, ou então, a quantidade ideal de bolas de sorvete que ela deveria vender, poderíamos nos valer, apenas, das coordenadas do vértice da parábola correspondente a tal função do 2.º grau.
Entretanto, há um outro caminho, que pode ser considerado melhor do que o que acabamos de descrever por não estar restrito apenas a funções quadráticas.
Trata-se da aplicação das derivadas em problemas de otimização, conforme você poderá perceber no fi m deste capítulo.
23
TAM
24
DERIVADA
Taxa de variação
Taxa média de variação
Consideremos o gráfi co a seguir, correspondente à função y = f(x), cuja lei estabelece o relacionamento entre as grandezas x e y.
y
∆y
f(x)f(x1)
f(x0)
x0 x1 x
Expressando a variação de x, de xo para x1, por ∆x (∆x = x1 − xo) e a consequente variação de y, de f(xo) para f(x1), por ∆y (∆y = f(x1) − f(xo)), podemos defi nir a taxa média de variação de y em relação a x, no intervalo [xo, x1] pelo quociente
∆∆
yx
ou seja, por
f x f xx x
o
o
( ) ( )1
1
−−
chamado de razão incremental.Da Geometria Analítica, sabemos que o quociente
acima pode ser interpretado como a inclinação (ou coefi ciente angular) da reta secante à curva correspondente à função y = f(x), que passa pelos pontos (xo, f(xo)) e (x1, f(x1)).
y y = f(x)
f(x1)
f(x0)
x0 x1 x
P
Q
Refl etindo
O que nos informa o coefi ciente angular de uma reta? Qual a unidade para a taxa média de variação? Se y é uma distância e x é o tempo, que nome podemos dar à taxa média de variação de y em relação a x?
Questão resolvida
Num estudo sobre a maneira como o corpo humano R1. metaboliza o cálcio, um pesquisador injetou uma pequena quantidade de cálcio, quimicamente marcada, na corrente sanguínea de um paciente e mediu a rapidez com que a substância foi removida do sangue. A concentração C de cálcio marcado, medida em mg/Ml de sangue, foi monitorada em intervalos de 1 hora, durante 4 horas, após a injeção, dando origem à tabela a seguir.
t 0 1 2 3 4
C 0,026 0,015 0,0052 0,0026 0,001
Determine a taxa média de variação para os intervalos:
[0, 1]a) [1, 3]b)
Resolução:
∆∆Ct
C C
mg ml
= −−
= −−
=( ) ( ) , ,
, /min1 0
0 015 0 0261 0
0 011 por
a)
∆∆Ct
C C
mg ml
= −−
= −−
=
= −
( ) ( ) , ,
, /min
3 13 1
0 0026 0 0153 1
0 0062 por
b)
Taxa instantânea de variação
Se fi xarmos xo, a taxa média de variação de y em relação a x dependerá apenas de x1.
Dessa forma, à medida que tomarmos valores de x1 cada vez mais próximos de xo, poderemos vir a perceber que a taxa média de variação pode estar tendendo a certo valor (o que não ocorre sempre).
Chamamos esse valor, para o qual a taxa média de variação tende, quando x1 → xo , de taxa instantânea de variação no ponto xo.
∆∆
yx
TAM
DERIVADA
25
A taxa instantânea de variação de y = f(x), em relação a x, no ponto x= xo é dada por
Uma vez que x1 = xo + ∆x, também podemos escrevê-la como
lim( ) ( )
∆
∆∆x
o of x x f xx→
+ −0
A taxa instantânea de variação da função y = f(x) no ponto xo pode ser chamada de derivada da função f, em relação à variável x, no ponto xo, que vamos indicar por
f xo'( ) .
Portanto, a derivada da função f, em relação à variável x, em um número xo, é dada por
f xf x x f x
xox
o o'( ) lim( ) ( )
=+ −
→∆
∆∆0
desde que este limite exista.
Diante do que apresentamos acerca de taxa instantânea de variação, podemos defi nir a velocidade, no instante t to= , de uma partícula que se move ao longo de uma linha reta como sendo a taxa instantânea de variação da posição em relação ao tempo, isto é, se desejarmos calcular a velocidade de um corpo num instante t to= , basta calcularmos s to'( ) , ou seja, a derivada da sua função posição em relação à variável tempo, no instante t to= .
Questão resolvida
Um vaso de fl or cai da sacada de um apartamento, R2. situada a 19 metros de altura, em relação à rua. Sua altura, após t segundos, é dada pela função
, para 0 2≤ ≤t , em que h é a
altura medida em metros. Nessas condições, calcule a velocidade do vaso de fl or, 1 segundo após o início da queda.
Resolução:
v h
vh t h
t
vt
t
t
( ) '( )
( ) lim( ) ( )
( ) lim, (
1 1
11 1
14 9 1
0
0
= ⇒
= + −
=
→
→
∆
∆
∆∆
∆(( ) +
− − +
=−
→
2 2
0
19 4 9 1 19
14 9 9 8 4 9
, .
( ) lim, , , (
∆∆ ∆
∆
t
vt
t
tt
t
vt t
tm s
t
) ,
( ) lim, ,
, /
2
0
19 4 9 19
19 8 4 9
9 8
+ + −
=− −( )
= −→
∆∆ ∆
∆∆
Interpretação geométrica da derivada
Seja uma curva y = f(x) defi nida no intervalo
aberto a b, . Consideremos dois pontos distintos
P (xo, f(xo)) e Q (x1, f(x1)), pertencentes à curva correspondente à função y = f(x), conforme indicado na fi gura a seguir.
yy = f(x)
reta secante
reta tangente
f(x1)
f(x0)
x0 x1 x
P
Q
∆y
Já afi rmamos, anteriormente, que a razão
incremental ∆∆
yx
nos fornece a inclinação da reta
que passa pelos pontos P e Q, secante ao gráfi co de y = f(x).
Tomando o ponto P como fi xo e imaginando o ponto Q movendo-se sobre a curva de modo a aproximar-se de P, podemos perceber que a inclinação da reta secante PQ variará.
É fácil se convencer de que, à medida que o ponto Q vai se aproximando indefi nidamente do ponto P, a inclinação da secante pode vir a variar cada vez menos, tendendo a um valor limite, haja vista que ∆x , dado pela diferença entre x1 e xo, tenderá a zero.
lim∆
∆∆x xy
→0
∆∆
yx
m/s
TAM
26
DERIVADA
Diante do que acabamos de afi rmar, podemos interpretar, geometricamente, a derivada da função y = f(x) no ponto xo como o coefi ciente angular da reta tangente à curva correspondente a y = f(x), no ponto (xo, yo), ou seja,
f x tgo'( ) = aα
Cabe ressaltar que, se a reta tangente for uma reta vertical, ela não possuirá coefi ciente angular e, portanto, não haverá derivada no referido ponto.
Outras condições sob as quais a derivada de uma função não existe num ponto específi co de abscissa xo encontram-se também representadas grafi camente a seguir:
y y
x0
x0
x0
x0
x
Tangentevertical
Cúspide
Quina ou nó Descontinuidadex
x
x
y y
Refl etindo
Por que retas verticais não possuem coefi ciente angular?
Questões resolvidas
Determinar o coefi ciente angular da reta tangente à R3.
curva f x x x( ) = −2 no ponto P(1,0).
Resolução:
Como o coefi ciente angular da reta tangente à
curva f x x x( ) = −2 no ponto (1,0) é dado por f '( ),1
temos:
mf x f
xx x
x
x
x
= + −
+ − + − −→
→
lim( ) ( )
lim( ) ( ) ( )
l
∆
∆
∆∆∆ ∆
∆
0
0
2 2
1 1
1 1 1 1
iim.
lim( )
∆
∆
∆ ∆ ∆∆
∆ ∆∆
x
x
x x x
xx x
x
→
→
+ + ( ) − −
+ =
0
2
0
1 2 1
11
Encontre a equação reduzida da reta tangente à R4. curva y x= 2 no ponto de abscissa 3.
Resolução:
Para x = 3, temos que y = 32, donde concluímos que o ponto de tangência é (3,9).
Cálculo do coefi ciente angular da reta:
mx
xx x
xx
x
x
x
= + −
= + + −
=
→
→
→
lim( ) ( )
lim( )
lim(
∆
∆
∆
∆∆
∆ ∆∆
∆
0
2 2
0
2
0
3 3
9 6 9
6 ++
=
∆∆
xx
)
6
Da Geometria Analítica sabemos que a equação de uma reta da qual conhecemos o coefi ciente angular e um ponto é dada por y y m x xo o− = −( ) .
Portanto, temos:
y x− = −9 6 3( )
Ou seja, y x= −6 9 .
y
x
P
1−1
10
−10
−20
20
−2 0 2 3 4 5
Encontre a equação geral da reta tangente à curva R5. y x= , paralela à reta x y− − =2 5 0 .
Resolução:
Sabemos que retas paralelas têm coefi cientes angulares iguais.
y x= −6 9
y=x²
−3−4
TAM
DERIVADA
27
Portanto, a reta procurada tem coefi ciente angular
igual a 12
.
Fazendo lim( ) ( )
∆
∆∆x
o of x x f xx→
+ −=
0
12
, obtemos a
abscissa do ponto de tangência. Assim:
lim( )
∆
∆∆x
o ox x x
x→
+ −=
0
12
O desenvolvimento do limite acima nos permite
afi rmar que 1
2
12xo
= , donde concluímos que
xo = 1 e, consequentemente, f xo( ) também é igual
a 1.
Utilizando a equação da reta, obtemos:
y y m x x
y x
y xx y
o o− = −
− = −
− = −− + =
( )
( )112
1
2 2 12 1 0
Portanto, a reta procurada é a reta de equação
x y− + =2 1 0 .
y
x10
−1
1
2
−2
2x
x − 2y − 5 = 0
x − 2y + 1 = 0
3 4
y = x√
Refl etindo
Qual a relação existente entre os coefi cientes angulares de retas ortogonais?
Questões propostas
A população de uma cidade foi monitorada, de 1991 Q1. a 1997, conforme podemos perceber na tabela a seguir, em que P é dado em milhares de habitantes:
ANO 1991 1993 1995 1997
P 793 820 839 874
Encontre a taxa média de crescimento, em cada caso:
de 1991 a 1995a) de 1993 a 1995b) de 1995 a 1997c)
Encontre o coefi ciente angular da reta tangente à Q2.
parábola y x x= +2 2 , no ponto (−3,3).
Determine a equação da reta tangente à curva dada Q3.
por f x x x( ) = − −1 2 3 2 , no ponto (−2,−7).
A derivada como uma função
A derivada de uma função y = f(x) é a função denotada por f’(x), (pronuncia-se f linha de x), tal que seu valor para todo x ∈ D(f) é dado por
f xf x x f x
xx'( ) lim
( ) ( )= + −→∆
∆∆0
,
caso esse limite exista.
Podemos utilizar outras notações além de f’(x) e y’, que foram introduzidas por Joseph-Louis Lagrange (1736−1813) para denotar a função derivada, a saber:
f x ou y• •( )
Notação introduzida por Isaac Newton (1642−1727).
dydx
oudf xdx( )
Notação utilizada por Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).
D f xx ( )
Notação introduzida por Augustin-Louis Cauchy (1789-1857).
TAM
28
DERIVADA
Questão resolvida
Utilizando a defi nição, encontre a derivada da R6. função f x x x( ) = −3 2 e, em seguida, calcule f '( ).2
Resolução:
f x'( ) = lim( ) ( )
∆
∆∆x
f x x f xx→
+ − =0
lim( ) ( ) ( )
∆
∆ ∆∆x
x x x x x xx→
+ − + − − =0
3 32 2
lim( ) ( )
∆
∆ ∆ ∆ ∆∆x
x x x x x x x x x xx→
+ + + − − − +0
3 2 2 3 33 3 2 2 2
= lim( )
∆
∆ ∆ ∆
∆x
x x x x x
x→
+ + − 0
2 23 3 2 = 3 22x −
Como f x x'( ) = −3 22 , temos que f '( ) .2 3 2 2 102= − = .
Questão proposta
Aplicando a defi nição, calcule as derivadas das Q4. funções a seguir:
y x= 3a)
y x x= − +2 5 6b)
yx
= 1c)
Regras de derivação O cálculo de derivadas de funções por meio da
defi nição é, em alguns casos, bastante extenso e demorado.
Para que não tenhamos de recorrer a esse processo, vamos, na sequência, apresentar algumas regras que nos permitirão obter, de forma mais fácil, a derivada de uma função f(x).
Utilizaremos a notação proposta por Leibniz na enunciação de tais regras. Algumas delas estarão acompanhadas de suas respectivas demonstrações.
Derivada da função constante
A derivada de uma função constante é zero, isto é,
ddx
c = 0 , c ∈ IR.
Demonstração:
f xf x x f x
xc c
x
x
x x
'( ) lim( ) ( )
lim lim
= + − =
− = =
→
→ →
∆
∆ ∆
∆∆
∆
0
0 00 0
Derivada da função potência
Seja n um número real e f(x) = xn ; a derivada da função f(x) é dada por
ddx
x n xn n
=
−. 1
Demonstração:
f’ (x) = lim
= lim
f (x + ∆x) − f (x)
(x + ∆x)n − x n
∆x
∆x
∆x → 0
∆x → 0
Utilizando os conhecimentos adquiridos acerca do Binômio de Newton, podemos desenvolver ( )x x n+ ∆ e obter
lim
( )( ) ... ( )
li
∆
∆ ∆ ∆
∆x
n n n n nx nx xn n
x x x x
x→
− −+ + − + +
−
=
0
1 2 212
mm
( )... ( )
∆
∆ ∆ ∆
∆x
n n n
nx nx
n nx x x
xnx
→
− − −
−+ − + +
=
0
1 2 1
1
12
Derivada do produto de umaconstante por uma função
Seja f uma função derivável de x, e c uma constante.
A derivada da função g(x) = c.f(x) é dada por
ddx
c f x c f x. ( ) . '( ) =
TAM
DERIVADA
29
Demonstração:
f xf x x f x
xcf x x cf x
x
x
x
x
'( ) lim( ) ( )
lim( ) ( )
lim
= + − =
+ − =
→
→
→
∆
∆
∆
∆∆∆∆
0
0
00
0
cf x x f x
x
cf x x f x
xx
( ) ( )
. lim( ) ( )
+ −
=
+ −
→
∆∆
∆∆∆
= c f x. '( )
Questão resolvida
Calcule a derivada R7. f x'( ) das seguintes funções:
f x( ) = 7a)
f x( ) = p4πb)
f x x( ) = 9c)
f x x( ) = −3d)
f x x( ) = 4e)
f x x( ) = 16
18f)
f xx
( ) = 65g)
Resolução:
f x f x( ) '( )= ⇒ =7 0a)
f x f x( ) '( )= ⇒ =π4
0b)
f x x f x x x( ) '( ) .= ⇒ = =−9 9 1 89 9c)
f x x f x xx
( ) '( )= ⇒ = − = −− − −3 3 143
3d)
f x x x f x x x
f xx
( ) '( )
'( )
= = ⇒ = =
∴ =
− −414
14
134
34
14
14
1
4
e)
f x x f x x x( ) '( ) .= ⇒ = =−16
16
18 318 18 1 17f)
f xx
x f x x
f x x
( ) . '( ) .( )
'( )
= = ⇒ = −
∴ = −
− − −
−
66 6 5
30
55 5 1
6
g)
Derivada da soma e da diferença de duas funções
A derivada da soma (ou da diferença) de duas funções f e g, deriváveis, é igual à soma (ou diferença) das derivadas de f e g, isto é,
ddx
f x g x f x g x( ) ( ) '( ) '( )± = ±
Demonstração:
Faremos a demonstração para a derivada da soma de duas funções, mas desde já informamos que, de modo análogo, podemos demonstrar a regra para a derivada da diferença de duas funções.
Seja h x f x g x( ) ( ) ( )= +
h xh x x h x
xf x x g x x f x g
x
x
'( ) lim( ) ( )
lim( ) ( ) [ ( )
= + −
= + + + − +→
→
∆
∆
∆∆∆ ∆
0
0
(( )]
lim( ) ( ) ( ) ( )
lim( )
xx
f x x f x g x x g xx
f x xx
x
∆∆ ∆
∆∆
∆
∆
= + − + + −
= + −→
→
0
0
ff xx
g x x g xx
f x x f xxx x
( ) ( ) ( )
lim( ) ( )
lim
∆∆∆
∆∆∆ ∆
+ + −
= + − +→ →0 0
gg x x g xx
f x g x
( ) ( )
'( ) '( ).
+ −
= +
∆∆
Observação: Embora tenhamos apresentado as regras para as derivadas da soma e da diferença de duas funções, elas permanecem válidas para qualquer número fi nito de funções.
Questões resolvidas
Dada a função R8. f x x x x( ) = − + −3 84 2 , calcule f '( )1 .
Resolução:
f x x x x
f x x x x
f x x
( )
'( ) . . .
'( )
= − + − ⇒= − + ⇒= −
− − −
3 8
3 4 1 2 1 1
12 2
4 2
4 1 2 1 1 1
3 xx
f f
+
∴ = − + ⇒ =
1
1 12 1 2 1 1 1 113'( ) . . '( )
TAM
30
DERIVADA
Encontre a equação da reta tangente ao gráfi co R9. da função f x x x( ) = − +2 6 5 no ponto de abscissa x = 0.
Resolução:
Ponto de tangência : , ( ) ( , )
'( ) .'( )
0 0 0 5
2 62
2 1 1 1
f
f x x xf x x
( ) == − ⇒=
− −
−−= = − = −
60 2 0 6 6m f '( ) .
Equação da reta tangente:y y f x x x
y xx y
o o o− = − ⇒− = − −+ − =
'( )( )
( )5 6 06 5 00
Questões propostas
Calcule as derivadas das funções a seguir:Q5.
f x x( ) = 5 3a)
f x x( ) = 2b)
f xx
( ) = 54
c)
f xx
( ) = 33
d)
f x x( ) = +7 12e)
f xx x x
( ) = + − +29
34 3
25
3 2
f)
f x x x( ) = − +4 33 7g)
f xx
x( ) = +23
2h)
Encontre, em cada caso, uma equação da reta Q6. tangente ao gráfi co da função f(x), no ponto xo especifi cado:
f xx
xo( ) ,= =11a)
f x x xo( ) ,= = 4b)
f x x xo( ) ,= =23 2 2c)
Descubra o ponto pertencente ao gráfi co da função Q7.
y x x= − +2 5 tal que a reta tangente à curva, que
passa por ele, forme, com o eixo das abscissas, um ângulo de 45º.
Determine a equação da reta tangente ao gráfi co Q8. da função f x x x( ) = − +2 4 1, sabendo que ela é
perpendicular à reta de equação 2 5 0y x+ − = .
Encontre os pontos da curva correspondente à função Q9.
f x x( ) = −3 1, de forma que as retas tangentes a ela,
neles, sejam paralelas à reta y x= +12 1
Derivada da função f(x) = sen x
A derivada da função f(x) = sen x é a função f(x) = cos x, isto é,
ddx
sen x x( ) cos=
Demonstração:
Seja a função f x sen x( ) = ( ) .
ddx
sen xsen x x sen x
xx( ) =
+( ) − ( )
→
lim∆
∆∆0
Empregando a identidade trigonométrica
sen sen cos senA BA B A B− = +
−
2
2 2, temos:
ddx
sen x
sen x x sen x
xx
x
( ) =
+( ) − ( )
=
→
→
lim
limco
∆
∆
∆∆0
0
2 ss
limcos
x x xsen
x x x
x
x
+ +
+ −
=
→
∆ ∆
∆
∆
2 2
22
0
xx xsen
x
x
senx
x
+
=
→
∆ ∆
∆
∆
∆
2 2
20
lim∆∆
∆
∆
∆∆
xx x
senx
xx
2
22
2
20
.cos
lim . li
+
=
→mm cos
.cos cos
∆
∆x
x x
x x
→
+
=
=
0
22
1
TAM
DERIVADA
31
Derivada da função f(x) = cos x
A derivada da função f(x) = cos x é a função f(x) = −sen x, isto é,
ddx
x sen x(cos ) = −
A demonstração desta regra pode ser feita com base no emprego da identidade trigonométrica
cos( ) cos .cos .a b a b sena senb+ = − desde que nos
valhamos do fato de que limcos
∆
∆∆x
x
x→
− ( )=
0
10
Derivada do produto de funções
Se u e v são funções deriváveis de x e f é a função defi nida por f(x) = u(x).v(x), então,
ddx
u x v x u x v x u x v x( ). ( ) '( ). ( ) ( ). '( ) = +
A fi m de simplifi car a escrita e a memorização da regra, podemos escrever:
y u v y u v u v= ⇒ = +. ' '. . '
Derivada do quociente de funções
Se u e v são funções deriváveis de x, v ≠ 0 e f é a função defi nida por f(x) = u(x)/v(x), então,
ddx
u xv x
u x v x u x v x
v x
( )( )
'( ). ( ) ( ). '( )
( )
=
−
2
Novamente, para simplifi car, podemos escrever:
yuv
yu v u v
v= ⇒ =
−'
'. . '2
Questões resolvidas
Calcule a derivada das seguintes funções:R10.
f x x x( ) .cos= 5a)
f x x x x( ) ( )( )= − −3 22 1b)
f xxx
x( ) =+
≠ −
2
2 112
c)
Resolução:
a) f x x x
u x x u x xv x x v x sen xLogo
u v
( ) .cos
( ) '( )( ) cos '( )
=
= ⇒ == ⇒ = −
5
5 45
::'( ) '. . '
'( ) cos
f x u v u v
f x x x x sen x
= += −5 4 5
Como b) u x x= −3 2 e v x= −2 1, temos que
u x' = −3 22 e v x' = 2 .
Logo,
y x x x x x
x x x x x
x x
' ( )( ) ( ).= − − + −= − − + + −= − +
3 2 1 2 2
3 3 2 2 2 4
5 9
2 2 3
4 2 2 4 2
4 2 22
c)
f xxx
u x x u x xv x x v xLogo
f x
u
v
( )
( ) '( )( ) '( )
:
'( )
=+
= ⇒ == + ⇒ =
2
2
2 1
22 1 2
== −
= + −+
= ++ +
u v uvv
f xx x x
x
f xx x
x x
' '
'( )( ) .
( )
'( ) ,
2
2
2
2
2
2 2 1 22 1
2 24 4 1
xx ≠ − 12
Mostre que a derivada da função R11. f x tg x( ) = é
f x x'( ) sec= 2 .
Resolução:
Começaremos reescrevendo a função f x tg x( ) =
como f xsen x
x( )
cos= .
u x sen x u x x( ) '( ) cos= ⇒ =
v x x v x sen x( ) cos '( )= ⇒ = −
f xu x v x u x v x
v x
f xx x sen x
'( )'( ). ( ) ( ). '( )
( )
'( )cos .cos .
= −
⇒
=−
2
−−( )
= +
=
sen x
x
x sen xx
x
(cos )
coscos
cos
2
2 2
2
2
1
Como seccos
,xx
= 1 temos que f x x'( ) sec= 2 .
TAM
32
DERIVADA
Utilizando a derivada do quociente de funções, R12.
prove que a derivada da função f x x( ) sec= é
f x x tg x'( ) sec .= .
Resolução:
Começaremos reescrevendo a função f x x( ) sec=
como f xx
( )cos
= 1.
u x u x( ) '( )= ⇒ =1 0 v x x v x sen x( ) cos '( )= ⇒ = −
f xu x v x u x v x
v x
f xx sen x
'( )'( ). ( ) ( ). '( )
( )
'( ).cos .
= −
⇒
=− −(
2
0 1 ))
=
=
(cos )
cos
cos.cos
xsen x
x
xsen x
x
2
2
1
Como seccos
xx
= 1 e tg x
sen xx
=cos
, temos que
f x x tg x'( ) sec .= .
Questões propostas
Demonstre que, se Q10. f x g x( ) cot= , então
f x ec x'( ) cos= − 2 .
Demonstre que, se Q11. f x ec x( ) cos= , então
f x ec x g x'( ) cos .cot= − .
Encontre a derivada de cada uma das funções Q12. seguintes:
f x x x( ) ( )( )= + −1 1a)
f xxx
( ) = +−
11
b)
f xx
x( ) =
+3
2 1
2
c)
f xx
x( ) = + 2
3d)
f xx
x x( ) =
+−2
112
e)
f xx x
x( ) = + +
+
2 11
f)
A regra da cadeia
A regra da cadeia é a regra que utilizamos para obter a derivada da função composta g f x( ( )) em termos das derivadas de f e g.
Se y g u= ( ) , u f x= ( ) e as derivadas dydu
e dudx
existem, então a derivada da função composta
y g f x= ( ( )) é dada por
dydx
dydu
dudx
= .
Questões resolvidas
Encontre a derivada da função R13. y sen x= +( )2 3 .
Resolução:
Na função y sen xu
= +( )2 3 , fazendo y senu= e
u x= +2 3 , temos:
dydx
dydu
dudxu
x
=
= ( )= +
.
cos .
cos( )
2
2 2 3
Portanto, a derivada da função y sen x= +( )2 3 é
y x' .cos( )= +2 2 3 .
Encontre R14. y ' se y x= −3 2 .
Resolução:
Podemos reescrever a função acima como
y xu
= −( )3122 .
Se tomarmos y u=12 e u x= −3 2 , com o uso da
regra da cadeia, encontraremos:
dydx
dydu
dudx
u xx
u
x
x
=
= = =−
−
.
.( )12
33
2
3
2 2
12 2
2 2
3
Logo, yx x
x' = −
−3 2
2 4
2 3
3 .
TAM
DERIVADA
33
Derivada da função exponencial f(x) = ax
Consideremos a função exponencial f x ax( ) = , com a > 0, a ≠ 1 e x ∈ IR. É possível demonstrar-se que
ddx
a a ax x
= .ln
Como caso particular da regra acima, temos:
ddx
e ex x
=
Derivada da função logarítmica
Seja a função f x xa( ) log= , com a > 0, a ≠ 1 e x ∈ IR.
É possível demonstrar-se que
ddx
xx aalog.ln
=1
Em especial, se a = e (número de Euler), temos:
ddx
xx
ln =1
Refl etindo
Por que pudemos particularizar as regras das derivadas das funções exponenciais e logarítmicas somente para o caso (a = e)?
Questões resolvidas
Determine a derivada das seguintes funções:R15.
f x x( ) = 5a)
f x x( ) log=b)
Resolução:
f x a a f xx x'( ) .ln '( ) .ln= ⇒ = 5 5a)
f xx a
f xx
'( ).ln
'( ).ln
= ⇒ =1 110
b)
A combinação da regra da cadeia com as demais regras de derivação apresentadas nos permite fazer as seguintes generalizações, que apresentaremos na forma de uma tabela de derivadas, que será amplamente utilizada doravante:
Sejam u e v funções deriváveis de x, c, n e a constantes reais. Consideremos, ainda, y ' como notação para a derivada da função y em relação à variável x.
São válidas as seguintes regras:
FUNÇÃO DERIVADA
1 y = c (c ∈ IR) y’=0
2 y = un y’ = n.un-1 . u’
3 y = c . u y’ = c . u’
4 y = u + u y’= u’ + v’
5 y = u − v y’ − u’
6 y = u.v y’ = u’ . v + u.v’
7 yuv
= (v ≠ 0)
yu v u v
v'
'. . '=
−2
8 y au= (a >0 e a ≠ 1)
y a u au' . '.ln=
9 y eu= y e uu' . '=
10y ua= log
(a >0 e a≠1)y
uu a
''
.ln=
11 y u= ln yuu
''
=
12 y senu= y u u' cos . '= ( )
13 y u= cos y senu u' . '= −( )
14 y tgu= y u u' sec . '= ( )2
15 y gu= cot y ec u u' cos . '= −( )2
16 y u= sec y u tgu u' sec . . '= ( )
17 y ecu= cos y ecu gu u' cos .cot . '= −( )
TAM
34
DERIVADA
Questão resolvida
Determine a derivada das seguintes funções:R16.
y x= +2 1a) f) y x x= +cos ( )3 2 2
y ex x= +2 3b) g) y g x x= + +cot ( )3 22 3
y x= +ln( )2 1c) h) ysen x
x= 3
4cos
y x x= +32 5d) i) y
xx
= −+
3 132
2
y sen x x= + +( )5 3 22e)
Resolução:
Fazendo a) y x
n
u
= +( )2 112
, com o auxílio da regra (2)
obtemos:
y x
x' ( ) .= + =
+
−12
2 1 21
2 1
12
Logo, yx
' =+
1
2 1.
y e x x
u
= +2 3
b)
Utilizando a regra (9), obtemos:
y e xx x' .( )= ++2 3 2 3
Logo, y x ex x' ( )= + +2 32 3
y x
u
= +ln( )2 1
c) , Então,
utilizando a regra (11), obtemos: yx
x' =
+2
12
y x x
u
= +32 5
d)
Utilizando a regra (8), obtemos:
y xx x' .( ).ln= ++3 2 5 32 5
y sen x x
u
= + +( )5 3 22
e)
Utilizando a regra (12), obtemos:
y x x x' ( ).cos( )= + + +10 3 5 3 22
A função f) y x x= +cos ( )3 2 2 pode ser reescrita como y x x= + cos( )2 32 .
Utilizando as regras (2) e (13), obtemos:
y x x sen x x x' cos ( ) ( ) ( )= + − + +3 2 2 2 22 2 2
Logo,
y x x x sen x x' ( )cos ( ). ( )= − + + +6 1 2 22 2 2
y g x x
u
= + +cot ( )3 22 3
g)
Utilizando a regra (15), obtemos:
y ec x x x x' cos ( ) .( )= − + + +2 3 2 22 3 3 4
Logo, y x x ec x x' ( )cos ( )= − + + +3 4 2 32 2 3 2
ysen x
x
u
v
= 34
cosh)
Utilizando as regras (7), (12) e (13), obtemos:
yx x sen x sen x
x'
cos .cos( ) ( ) ( )
cos=
( ) ( )
3 3 4 4
42
Logo,
yx x sen x sen x
x'
cos .cos( ) ( ) ( )
cos=
( ) +
( )3 3 4 3 4
42
yx
x= −
+
3 132
2
i)
Utilizando as regras (2) e (7), obtemos:
yx
xx x x
x' .
( ) ( ).( )
= −+
+ − −+
−
23 1
33 3 3 1 2
32
2 1 2
2 2
Com o desenvolvimento da expressão acima,concluímos que
yx x x
x'
( )( )( )
= − − + ++
6 2 3 2 93
2
2 3
Refl etindo
Para a função f xx
( )( )
=−5
2 3 3 , qual processo
nos permite obter a derivada de forma mais fácil? A aplicação da regra do quociente ou das regras (2) e (3) da tabela de derivadas que apresentamos, com
base em f x x( ) .( )= − −5 2 3 3 ? Ambos os processos nos
conduzem ao mesmo resultado?
TAM
DERIVADA
35
Questões propostas
Calcule a derivada de cada uma das funções a seguir:Q13.
f x x x( ) ( )= + +2 43 5a) i) f x x ex( ) .= 3
f x x x( ) ( )= + −2 32 8b) j) f(x) = e(x - x )2
f x x x( ) = −23c) k) f x x x( ) = +32 5
f x x x( ) ( )= + −3 6 22 23d) l) f xxx( ) =++10
2 11
f ttt
( ) = +−
2 11
e) m) f x x x( ) ln( )= − +2 3 1
f x x e x xx( ) .ln= +2f) n) f x x x( ) log ( )= + +102 1
f x x senx x( ) .cos( )= +3 2g) o) f xxx
( ) ln= +
2 12
f x e x x( ) .= + −5 4 5 73
h) p) f x x( ) (log )= 2 3
Para cada uma das funções a seguir, determine Q14. f’(x):
f x sen x x( ) ( )= + +5 3 22a) g) f xx
sen x( )
cos= −−
1 23
f x sen x x( ) ( ).cos( )= + −2 2b) h) f x tg x( ) = −1
f x x x( ) cos ( )= +3 2 2c) i) f xtg x
x( )
sec= −1
f x4x
sen 3 x( )cos
=d) j) f x xx( ) .cos( )= 5 2
f xtg x
( ) = +12
e) k) f x g x( ) cot ( )= −5 3 2
f x x tg x( ) .= 2f)
Derivadas de ordem superior
Seja y=f (x) uma função derivável.Vimos, anteriormente, que a derivada primeira de
f pode ser representada, por exemplo, por f’ ou dx
.
Caso a derivada de f’ exista, ela será chamada de derivada segunda de f e poderá ser representada por f’’ ou d y
dx
2
2.
De maneira análoga, se a derivada de f’’ existir, ela será chamada de derivada terceira de f e poderá ser indicada por f’’’ ou d y
dx
3
3 .
Seguindo essa linha de raciocínio, poderemos determinar a derivada quarta, a derivada quinta, (...), enfi m, a derivada de ordem n da função f (desde que elas existam).
Questões resolvidas
Encontre as três primeiras derivadas da função R17. f x x x x( ) = − +5 32 .
Resolução:
f x x x x
f x x x
( )
'( )
= − += − +
5 3
4 2
2
5 6 1
f x x x
f x x
''( )
'''( )
= −= −
20 12
60 12
3
2
Considerando-se a função R18. f x x x( ) = −3 184 2, resolva a equação f x''( ) = 0 .
Resolução:
f x x x
f x x x
f x x
f x
x
( )
'( )
''( )
''( )
= −= −= −
= ⇒− =
3 18
12 36
36 36
0
36 36
4 2
3
2
2 001 1
1 1
⇒= − =
∴ = −{ }
x x
S
ou
;
AR19. aceleração de um corpo é defi nida como a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo; isto é, se y s t= ( ) é a função posição do corpo, a aceleração do corpo é dada por a s t= ''( ) . Nessas condições, considerando uma partícula que se move segundo a função posição s t t t t t( ) ,= − + ≥3 212 36 0, em que t está medido em segundos e s em metros, encontre a função velocidade e a função aceleração e, em seguida, calcule-as para t = 3.
Resolução:
v s t v t t t= ⇒ = − +'( ) ( ) 3 24 362 e
a s t a t v t t= ⇒ = = −''( ) ( ) '( ) 6 24
Logo, no instante t = 3, temos:
v m s( ) . . /3 3 3 24 3 36 92= − + =− e
a(3) = 6.3 − 24 = −6m/s2.
TAM
36
DERIVADA
Questões propostas
Considerando a função Q15. f x sen x( ) = , calcule o valor
de f f f f'( ) '' ''' ( )02
32
4+
+ ( ) +
pp
pππ
π .
A função posição de um corpo que está se movendo Q16.
retilineamente é s t t t( ) = − −3324 2 , em que s é
dada em metros. Calcule a sua velocidade e a sua aceleração para t = 4 segundos.
Dada a função Q17. f x x x x( ) = + − +4 2 5 23 2 , calcule f f f'( ) ''( ) '''( ).0 0 0+ +
Análise do comportamento de funções
Entre as várias aplicações das derivadas está a análise do comportamento de funções.
Com o auxílio das derivadas podemos, por exemplo, determinar os intervalos de crescimento e decrescimento de uma função e também podemos encontrar seus valores máximos ou mínimos (quando eles existirem).
Essas informações, associadas ao conhecimento prévio dos pontos de interseção do gráfi co correspondente à função com o eixo y e com o eixo x (raízes reais), permitem-nos esboçar o gráfi co de uma vasta gama de funções.
Funções crescentes e funções decrescentes
É sabido que uma função f é dita crescente em um intervalo a b, de seu domínio se
x x f x f x1 2 1 2< ⇒ <( ) ( )
para quaisquer valores de x1 e x2 em a b, .Dito de outra forma, à medida que aumenta o
valor de x dentro do intervalo a b, , as imagens correspondentes também aumentam, o que pode ser facilmente verifi cado no gráfi co a seguir.
y
xx1
f(x2)
f(x1)
x2 b
y = f(x)
a
A observação do gráfi co nos permite concluir que, para todo ponto pertencente ao intervalo a b, , a derivada é positiva, uma vez que as retas tangentes à curva correspondente a y=f(x), que passam por tais pontos, formam, com o eixo x, ângulos agudos.
Isso nos permite tirar a seguinte conclusão:
Analogamente, uma função f é dita decrescente
em um intervalo a b, de seu domínio se
x x f x f x1 2 1 2< ⇒ >( ) ( )
para quaisquer valores de x1 e x2 em a b, , o que signifi ca dizer que, à medida que aumentam os valores de x dentro do intervalo, as imagens correspondentes diminuem.
y
0 a x1 x2 bx
f(x2)
f(x1)
f(x)
Se f’(x) > 0 para todo x ∈ a b, , então a
função f(x) é crescente em a b, .
TAM
DERIVADA
37
A análise do gráfi co anterior nos permite constatar que, neste caso, para todo ponto pertencente ao intervalo a b, , a derivada é negativa, haja vista que as retas tangentes à curva correspondente a y=f(x), que passam por tais pontos, formam, com o eixo x, ângulos obtusos.
Isso nos permite tirar a seguinte conclusão:
Além disso, sabemos que uma função f é denominada constante em um intervalo a b, de seu domínio se, para quaisquer valores de x1 e x2 em
a b, , temos que f x f x( ) ( )1 2= .
y
0 a x1 x2 bx
f(x1) = f(x2)
f(x)
Notemos, neste último gráfi co, que a função
é constante em a b, e que a reta tangente ao
gráfi co de y = f(x), por qualquer ponto pertencente
a a b, , é horizontal e, portanto, possui coefi ciente
angular nulo.Logo,
As conclusões que acabamos de tirar, associadas ao fato de que, para funções contínuas, a derivada f x'( ) só pode mudar de sinal em valores de x para os quais f x'( ) = 0 ou em valores de x para os quais f x'( ) não está defi nida, permite-nos determinar intervalos de crescimento e decrescimento de funções.
Os valores de x que têm a propriedade acima men-cionada são denominados pontos críticos da função.
Questões resolvidas
Mostre que a função R20. f x x x( ) = +3 2 é crescente para qualquer valor real de x .
Resolução:
A derivada de f é a função f x x'( ) = +3 22 .Ao fazermos o estudo do sinal de f x'( ) , concluímos que f x'( )> 0 ∀ x∈ IR, por tratar-se de uma função do 2º grau para a qual se observa ∆<0 e gráfi co na for-ma de parábola com concavidade voltada para cima.
Portanto, f x x x( ) = +3 2 é crescente x∈ IR, o que pode também ser comprovado por meio de seu gráfi co, apresentado na sequência.
y
x1
5
−5
−10
10
−1−2 2
Dada a função R21. f x x x x( ) = + +3 12 153 2 , faça o que se pede:
Encontre os intervalos abertos nos quais a) f x( ) é crescente ou decrescente.Determine os pontos nos quais a reta tangente ao b) gráfi co de f x( ) é horizontal.Faça um esboço do gráfi co de c) f x( ) .
Resolução:
f x x x x
f x x x
( )
'( )
= + + ⇒= + +3 12 15
9 24 15
3 2
2
a)
Fazendo f x'( ) = 0 , encontramos as raízes − 53
e −1 ,
que nos permitem fazer o estudo do sinal de f x'( ) :
+ +−
x−1− 53
Concluímos, portanto, que:
Se f’(x) = 0 para todo x ∈ a b, , então a
função f(x) é constante em a b, .
Se f’(x) < 0 para todo x ∈ a b, , então a
função f(x) é decrescente em a b, .
Se f(x) está defi nida em xo, então xo é um
ponto crítico de f se f’(xo) = 0 ou se f’ não está
defi nida em x=xo.
TAM
38
DERIVADA
Se x ou x
f x é crescente
Se x
∈ −∞ −
∈ − +∞ ⇒
∈ − −
, ,
'( ) .
,
53
1
53
1⇒ f x é decrescente( ) .
Nos pontos em que a reta tangente ao gráfi co de b) f x( ) é horizontal, devemos ter f x'( ) = 0 .
Substituindo em f x( ) , encontramos:
f −
= −5
3509
e f −( ) = −1 6
Logo, os pontos em que a tangente ao gráfi co de
f x( ) é horizontal são − −
53
509
, e − −( )1 6, .
c) y
x0,5
−5
5
10
−0,5−1−1,5−2−2,5
Questão proposta
Determine os intervalos de crescimento e Q18. decrescimento das seguintes funções:
f x x x( ) = + +2 6 5a) c) f x x x x( ) = − + − +3 26 9 5
f xx
x x( ) = − + +3
2
332
2 4b)
Extremos relativos e absolutos
Consideremos a função y f x= ( ) , cujo gráfi co está esboçado na fi gura a seguir.
0
yf(x2)
f(x1)
x1 x2 x
x = f(x)
Podemos dizer que x = x1 é um ponto de mínimo relativo de f(x) e que f(x1) é um mínimo relativo de f(x).
Da mesma forma, podemos afi rmar que x=x2 é um ponto de máximo relativo de f(x) e que f(x2) é um máximo relativo de f(x).
Que propriedades podemos verifi car em x1 e x2 para podermos dar a eles essas denominações?
Para respondermos a essa pergunta, vamos recorrer à defi nição de extremos relativos, vista na sequência:
É possível demonstrar-se que:
y
y y
y
x
x x
xa
a a
a
tangente horizontal
tangente horizontalf’(xo)
xo
xo xo
xob
b b
b
∃
f’(xo)∃
Vale ressaltar que a recíproca não é verdadeira,
pois é possível que f’(xo) seja nula sem, no entanto, xo ser um ponto de máximo ou mínimo relativo.
Seja f uma função defi nida em xo.
I) f(xo) é um máximo relativo de f se existe
um intervalo aberto a b, , que contém xo, tal
que f(x) ≤ f(xo), para todo x ∈ a b, .
II) f(xo) é um mínimo relativo de f se existe
um intervalo aberto a b, , que contém xo, tal
que f(x) ≥ f(xo), para todo x ∈ a b, .
Se f tem mínimo relativo ou máximo relativo
quando x = xo, então xo é um ponto crítico de f.
TAM
DERIVADA
39
De fato, tomemos como exemplo a função f x x( ) = 5 .
Podemos verifi car que ela é crescente para todo x real, haja vista que sua derivada f x x'( ) = ≥5 04 ,
x ∈ IR e que x = 0 é o seu único ponto crítico (pois 0 anula f x'( ) ; entretanto, x = 0 não é nem ponto de máximo nem ponto de mínimo relativo, conforme podemos perceber por meio de seu gráfi co:
Concavidade para cima
Ponto de inflexão
Concavidade para baixo
y
x
y=x5
Este ponto constitui um exemplo de ponto de infl exão.
É correto afi rmar que, se a tangente a um gráfi co existe em um ponto no qual a sua concavidade muda de sentido, então este é um ponto de infl exão.
Para que possamos determinar e classifi car os extremos relativos de uma função, podemos nos valer do seguinte critério, conhecido por teste da derivada primeira para extremos relativos:
x
x
x
x
y y
f’(xo) > 0
f(xo) é máximorelativo
f(xo) não é nem máximo, nem mínimo relativo
f(xo) não é nem máximo, nem mínimo relativo
f(xo) é mínimorelativo
f’(xo) > 0 f’(xo) < 0 f’(xo) < 0
xo
xo xo
xo
Uma função defi nida num certo intervalo pode apresentar vários pontos extremos relativos.
Chamamos de máximo absoluto da função f num certo intervalo o maior valor apresentado por f nesse intervalo.
Analogamente, denotamos por mínimo absoluto da função f, num certo intervalo, o menor valor apresentado por f nesse intervalo.
Sugerimos que você, leitor, observe a ilustração a seguir e refl ita sobre os comentários feitos sobre ela.
xa b
Máximo relativo
Mínimorelativo
Mínimorelativo
Máximo absoluto. É o maior valor de f. Também é um máximo relativo.
Mínimo absoluto. É o menor valor de f. Também é um mínimo relativo.
c ed
Questões resolvidas
Determine os pontos de máximo ou de mínimo R22. relativos da função f:IR→IR defi nida por f x x x( ) = − +4 28 5 . Em seguida, faça um esboço de seu gráfi co.
Resolução:
f x x x f x x x( ) '( )= − + ⇒ = −4 2 38 5 4 16
Como f x'( ) está defi nida para todo x real, para encontrarmos os pontos críticos de f, basta encontrarmos as raízes de f x'( ) .
f x x xx x e x
'( ),= ⇒ − = ⇒
= − = =0 4 16 0
2 0 2
3
Utilizando os pontos críticos obtidos, podemos
(a) (b)
(d)(c)
y
x x
y
y
y
f’(xo) > 0
f’(xo) > 0
f(xo) é máximorelativo
f(xo) é mínimorelativo
f’(xo) < 0
f’(xo) > 0 f’(xo) < 0 f’(xo) < 0
f’(xo) < 0 f’(xo) > 0
xo xo
Em um número crítico x =xo,
I) Se f’ é negativa à esquerda de xo e positiva à direita de xo, então f possui um mínimo relativo em xo.
II) Se f’ é positiva à esquerda de xo e negativa à direita de xo, então f possui um máximo relativo em xo.
III) Se f’ apresenta o mesmo sinal em ambos os lados de xo, então xo não é um extremo relativo de f.
y= f(x)
TAM
40
DERIVADA
propor os seguintes intervalos de teste: −∞ − , 2 ,
− 2 0, , 0 2, e 2,+∞ , que nos permitirão
confeccionar a seguinte tabela:
Intervalo −∞ − , 2 − 2 0, 0 2, 2,+∞
Valor de teste −3 −1 1 3
Sinal de f’(x) f '( )−3 <0 f '( )−1 >0 f '( )1 <0 f '( )3 >0
Conclusão Decresc. Cresc. Decresc. Cresc.
Com o auxílio do Teste da derivada primeira, concluímos que o ponto crítico −2 dá um mínimo relativo (pois f’(x) troca de sinal, de negativo para positivo), que o ponto crítico 0 dá um máximo relativo e que o ponto crítico 2 dá um mínimo relativo.
f f
f f
f
( ) ( ) ( ) '( )
( ) ( ) ( ) '( )
(
− = − − − + ⇒ − = −= − + ⇒ =
2 2 8 2 5 2 11
0 0 8 0 5 0 5
4 2
4 2
22 2 8 2 5 2 114 2) ( ) ( ) '( )= − + ⇒ = −f
Logo, (−2,−11) e (2, –11) são pontos de mínimo relativo e (0,5) é ponto de máximo relativo.
y
x1
5
−5
−1−2−3
−10
10
2 3
Seja a função R23. f x x x x( ) = − + − +3 16 18 24 3 2 defi nida no intervalo [ , ]−1 4 . Determine e classifi que todos os seus extremos relativos, represente-a grafi camente e, em seguida, verifi que se ela apresenta extremos absolutos, indicando-os, caso existam.
Resolução:
f x x x x
f x x x x
( )
'( )
= − + − + ⇒= − + −
3 16 18 2
12 48 36
4 3 2
3 2
Como não existem valores reais para os quais f x'( ) não está defi nida, os únicos pontos críticos são suas raízes; no caso, 0, 1 e 3, que nos fornecem os intervalos de teste −∞ ,0 , 0 1, , 1 3, e 3,+∞ , com base nos quais podemos compor a seguinte tabela:
Intervalo −∞ ,0 0 1, 1 3, 3,+∞
Valor de teste −1 0,5 2 4
Sinal de f’(x)
( )> 0 ( )< 0 ( )> 0 ( )< 0
Conclusão Cresc. Decresc. Cresc. Decresc.
O teste da derivada primeira para extremos relativos nos permite concluir, portanto, que os números críticos 0 e 3 correspondem a máximos relativos e que o número crítico 1 corresponde a um mínimo relativo.Substituindo-se, em f(x), x por 0, 1 e 3, obtemos as ordenadas (valores de y) dos pontos extremos relativos.Dessa forma, encontramos os pontos (0,2), (1,−3) e (3, 29) que serão marcados no plano cartesiano. Como essa função está defi nida no intervalo [ , ]−1 4 , devemos encontrar, também, as imagens correspondentes x = −1 e x = 4.Tais imagens são, respectivamente, ―35 e ―30.As informações obtidas nos possibilitam, agora, construir o gráfi co a seguir:
y
−1 1 2 3 40,2
(3,29)
y= −3x4 + 16x3 −18+2
(−1,35)(4,−30)
Observando o gráfi co, percebemos que, para essa função, temos que f(0) = 2 é um máximo relativo e f(3)=29 é tanto um máximo relativo quanto o máximo absoluto.Além disso, f(1)= −3 é um mínimo relativo de f, ao passo que f(−1)= −35 é o mínimo absoluto, mas não é mínimo relativo posto que ocorre numa das extremidades do intervalo [ , ]−1 4 .Em f(4) = −30 não ocorre nem mínimo relativo nem mínimo absoluto.
Refl etindo
O gráfi co da função f xx se x
se x( )
,,
=≤ <=
0 20 2
, no
intervalo [0,2], apresenta um ponto que seja o mais alto?
TAM
DERIVADA
41
Questão proposta
Determine e classifi que os extremos relativos Q19. das seguintes funções e, em seguida, esboce seus gráfi cos:
f xx x
x( ) = − − +3 2
3 22 4a) c) f x x x( ) = − − −3 2 4
f x x x x( ) = − +3 22b) d) f x x x( ) = − +3 12 54 2
Aplicações de máximos e mínimos
Toda a teoria exposta acerca de máximos e mínimos nos possibilita solucionar uma vasta gama de problemas, muitos deles do nosso cotidiano.
Veremos, em seguida, algumas dessas aplicações.
Questões resolvidas
Se 1 200 cmR24. 2 de papelão estiverem disponíveis para você confeccionar uma caixa de base quadrada e sem tampa, qual é o maior volume possível da caixa?
Resolução:
x
xh
A base da caixa é quadrada; portanto, podemos representar seu volume por V x h= 2 , em que h é a altura da mesma.Nossa caixa deve ter 1 200 cm2 de área (quantidade de papelão disponível e que será utilizado).A expressão (em função de x e h) que fornece a área da caixa é x2 + 4 x h.Logo, temos que x2 + 4 x h = 1 200.Expressando h em função de x nesta última equação,
obtemos hx
x= −1 200
4
2
.
Substituindo esse resultado na equação que fornece o volume, encontramos:
V x h xx
xx x= = − = −2 2
2 31 2004
1 2004
.
Logicamente, a área da base da caixa deve ser qualquer valor de 0cm2 a 1200cm2, ou seja,
⇒ ≤x x0 1 200 0 1 2002≤ ≤ ≤ .
Por fi m, resta-nos determinar o valor de x para o qual é máximo o volume V.
A derivada de V é V x' = −30034
2. Fazendo
V x'( ) = 0, encontramos x = ±20 , mas a raiz negativa
não convém ao exercício. (Não nos esqueçamos de
que 0 1 200≤ ≤x ).Logo, a caixa de base quadrada com 20 cm de lado e, consequentemente, 10 cm de altura é a que proporciona maior volume. Por conseguinte, o maior volume possível é 4 000 cm3.
Um empresário usa a funçãoR25.
C xx
x= + < ≤320 000
0 200
, para estimar o custo C
referente à aquisição de x unidades de um produto. Considerando-se que o veículo que faz a entrega pode trazer, no máximo, 200 unidades por cada pedido, encontre o valor de x que minimize o custo.
Resolução:
C xx
C xx
= + ⇒ = −320 000
320 000
2'( )
C ’(x) só não está defi nida para x = 0, o que, neste problema, não é relevante, uma vez que o domínio da função é 0 200< ≤x .Os demais pontos críticos correspondem às raízes de C ’(x).
Fazendo 320 000
02− =x , encontramos x = ± 20 000
3 ,
mas a raiz negativa não convém ao problema.Sob essas condições, concluímos que o valor de x que
minimiza o custo é dado por x = ≅20 0003
81 65, .
Arredondando para o número inteiro mais próximo, concluímos que, em cada pedido, esse empresário deve adquirir 82 unidades do produto.
De todos os retângulos de área igual a 100 mR26. 2, qual apresenta o menor perímetro?
Resolução:
Começaremos denotando o comprimento do retângulo por x e a sua altura, por y.
y
x
TAM
42
DERIVADA
Área b h x y ou ainda yx
= ⇒ = =. . , ,100100
.
O perímetro do retângulo é dado por p x y= +2 2 .
Substituindo y por 100x
na expressão que fornece o
perímetro do retângulo, obtemos:
p xx
= +2200
.
Calculando-se a derivada de p em relação a x,
encontramos px
' = −2200
2 , que só não está defi nida para x = 0.Fazendo-se p ' = 0 , encontramos os outros pontos críticos, a saber: −10 e 10.Uma vez que x representa o comprimento de um retângulo, não é possível que x seja menor ou igual a zero.Portanto, x = 10 m e, consequentemente, y = 10 m são as medidas dos lados do retângulo de área 100 m2 que apresenta o menor perímetro.
Uma ilha está num ponto A, a 6 km do ponto B R27. localizado numa praia reta, indicada na fi gura a seguir. Um turista que está na ilha deseja ir a um ponto C da praia, localizado a 9 km do ponto B. Ele pode alugar um barco por R$ 1,50 o quilômetro e navegar até um ponto P entre B e C e, então, alugar um bug a um custo de R$ 1,20 o quilômetro e chegar a C por um caminho retilíneo. Determine o percurso mais barato de A até C.
Resolução:
B P
A
6 Kmx
CPraia9 − x
Com base no Teorema de Pitágoras, podemos calcular a distância, em função de x, da ilha ao ponto P. Tal
distância é igual a 36 2+ x . Além disso, a distância de P a C é igual a 9 − x.O custo com o translado de barco é dado por
C x x121 5 36( ) , .= + , e o custo com o bug é dado
pela função C x x2 1 2 9( ) , .( ).= −Logo, o custo total é obtido pela soma de C1 e C2 e é
igual a C x x x( ) , . , ,= + + −1 5 36 10 8 1 22 .
Para minimizar C x( ) , vamos calcular sua derivada
e igualá-la a zero, obtendo, assim, a equação
irracional 1 5
361 2
2
,,
x
x+= , cuja raiz é x = 8 .
Portanto, para minimizar o custo com a viagem de A para C, o turista deve desembarcar num ponto P, entre B e C, distante 8 km de B, e de lá seguir para C, utilizando o bug.
Questões propostas
Encontre dois números positivos cuja soma seja 90 e Q20. cujo produto seja o maior possível.
Qual é a maior área possível para um triângulo Q21. retângulo cuja hipotenusa mede 5 cm?
5 cmx
y
Ilha
TAM
DERIVADA
43
Um fazendeiro pretende cercar um pasto retangular Q22. que é margeado por um rio ao longo de um de seus lados. De acordo com o relatório de uma consultoria técnica adquirida, 180 000 m2 são o sufi ciente para servir de pastagem para seus animais. Levando-se em consideração que não haverá cerca margeando o rio, determine as dimensões que devem ser consideradas a fi m de diminuir o gasto com a cerca.
Rio
x x
y
Uma pessoa joga uma bola para cima com uma Q23. velocidade inicial de 14m/s do topo de um prédio de 17 metros de altura. É sabido que a altura h da bola no instante t é dada pela equação h = −4,9t2 + 14t + 17, que permanece válida até a bola atingir o solo.
Determine o instante em que a bola atinge o solo.a)
Descubra o momento em que a bola atinge a b) altura máxima.
Calcule a altura máxima atingida pela bola.c)
Faça um esboço do gráfi co da função h.d)
h
t
Questões de revisão e aprofundamento
(UF-PA) A reta tangente à curva Q24. y x= ln no ponto (a,b) forma um ângulo de 45º com o eixo x. Então, a+b vale:
1 c) 3 e) 5a) 2 d) 4b)
(UEL-PR) A equação da reta tangente à curva Q25.
de equação y x x= + −3 2 1 , no ponto em que
x = −1 , é:
y x= +5 1a) d) y x= − +3 1
y x= +4 1b) e) y x= − +4 1
y x= −3 1c)
(UFU) Seja r uma reta tangente à parábola Q26. y x= 2 . Sabendo-se que r é paralela à reta y x= −2 3 , podemos afi rmar que a equação da reta r é:
x y− + =2 1 0a) d) x y− + =1 0
x y− − =2 1 0b) e) 2 1 0x y− + =
2 1 0x y− − =c)
TAM
44
DERIVADA
(UF-PA) A equação s = tQ27. 4 − 8t2 representa o movimento retilíneo de uma partícula. A aceleração, no primeiro instante de repouso após t = 0, vale:
12 c) 20 e) 32a) 16 d) 24b)
(UEL-PR) A equação horária de um móvel é Q28.
yt
t= +3
32 , sendo y sua altura em relação ao
solo, medida em metros, e t o número de segundos transcorridos após sua partida. Sabe-se que a velocidade do móvel no instante t = 3 é dada por y’(3), ou seja, é a derivada de y calculada em 3. Essa velocidade é igual a:
6m/s c) 15m/s e) 29m/sa) 11m/s d) 27m/sb)
(Mack-SP) Se Q29. f xx
x( ) = − 2
, então f’(x) é igual a:
−1 c) a) x − 2 e) 12
2−x
22x
b) d) − 1x
(Cefet-MG) A derivada da função Q30. f x sen x x tg x( ) cos= + + , no ponto x = pπ , é:
−2 c) 0 e) 2a) −1 d) 1b)
(PUCMinas) O valor da derivada da função Q31. f x x( ) = −7 no ponto (−2,3) é:
− 12
a)
− 16
b)
16
c)
2d)
3e)
(PUC-SP) Sendo Q32. f x sen x( ) = 22 , então a sua derivada
primeira calculada para x = p8π vale:
0 c) 2 e) 4a) 1 d) 3b)
(UFPR) Se Q33. f xx
e x( )ln=
2
2 , então f '( )1 é:
2 2e−a) d) 2
− −2 2eb) e) 2 2e
ec)
(Mack-SP) A derivada da função f dada por Q34.
f xx x
x xx x
( ) =1
2 3 45 6 2
2
2
2
é:
3x²a) Não existeb) − 4x³ − 4c) 15xd) 4
6xe) 4
(UF-PA) Se Q35. y x x= .cos , então y x''( ) ...=
xsen xa)
x x.cosb)
( . cos )x sen x xc)
( .cos )x x sen x2d)
x x sen x(cos )−e)
(UNIP-SP) Seja Q36. f IR: ,− →3 3 a função defi nida
por f x x x( ) = −3 3 . O valor mínimo absoluto de f e o
valor máximo absoluto de f são, respectivamente,
−2 e 0 d) −2 e 2 a) −2 e 18 e) 0 e 18b) 0 e 21c)
(UFU) A função real de variável real defi nida por Q37.
y x x x= + − +2 9 24 63 2 é decrescente no intervalo:
<4 1xa)
x <− 4b)
x > 0c)
x > 1d)
− < <1 4xe)
(UF-PA) A abscissa do ponto de máximo relativo de Q38.
y x x x= − − +3 23 45 2 é:
−5 d) 3a) −3 e) 5b) 0c)
(PUC-PR) Em um painel retangular de comprimento Q39. (60 + x) cm e de largura 80 cm, deseja-se reservar no canto superior esquerdo um quadrado de lado x. Qual o valor de x para que a diferença entre a área do painel e a do quadrado seja a maior possível?
30 cm a) 70 cm b) 50 cmc) 60 cmd) 40 cme)