63483386-mhs

I

Funo horria da elongao

10 exerccios

(01 ao 10) 11 exerccios - (11 ao

II Funo horria da velocidade e da acelerao 21) III IV V

Dinmica do MHS Sistema massa-mola 12 exerccios (22 ao 33) Pndulo Simples 13 exerccios (34 ao 46) (47 ao 51)

Associao de molas 6 exerccios

- Movimento peridico --- todo movimento que se repete em intervalos de tempo iguais - Movimento oscilatrio (vibratrio) harmnico --- o mvel se desloca sobre a mesma trajetria, indo e vindo, em relao a uma posio mdia de equilbrio (ponto O, onde a resultante das foras que agem sobre ele nula)

- O perodo T o tempo em que o corpo em cada uma das figuras (figura 1 pndulo simples; figura 2 pndulo de mola; figura 3 sistema massa-mola e figura 4 lmina vibrante) demora para ir de A at A e depois retornar a A, ou seja,. o tempo decorrido entre duas passagens consecutivas do corpo por um mesmo ponto da trajetria. - A freqncia f representa o nmero de vezes que o mvel passa pelo mesmo ponto da trajetria, na unidade de tempo, ou seja, o nmero de vezes que o fenmeno se repete, na unidade de tempo. - Quando o perodo T medido em segundos (s), a freqncia f medida em hertz (Hz), sendo 1Hz=1oscilao por segundo. - T = 1/f e f = 1/T.

Movimento Harmnico Simples (MHS)movimento circular uniforme (MCU) sobre uma reta.

--- Podemos generalizar um MHS como a projeo ortogonal de um

Observe na figura acima que, enquanto o corpo descreve um MCU anti-horrio entre os instantes to e t4, sua projeo sobre o eixo x, em MHS, se desloca para a esquerda em movimento retrgrado de +A at A e quando o corpo em MCU se move do instante t4 at o instante t8, sua projeo sobre o eixo x se move para a direita, em movimento progressivo, de A at +A, completando um perodo em t8. A partir da, tudo se repete. O mesmo ser vlido se o eixo x estiver na vertical e for orientado para cima.

DefiniesElongao (x) posio (localizao) da partcula em MHS sobre o eixo x em relao origem 0, ou seja, mostra a que distncia de 0 a partcula se encontra em determinado instante. Amplitude (A) em mdulo a elongao mxima do MHS e corresponde ao raio da circunferncia do MCU (R=A). Perodo (T) corresponde ao tempo que o MCU demora para efetuar uma volta completa ou ao tempo que o MHS demora para efetuar um vai e vem completo sobre a reta x. Freqncia (f) nmero de voltas completas (MCU) ou nmero de idas e voltas completas (MHS), na unidade de tempo. ngulo de fase ( ) posio (localizao) angular no MCU, ou seja, localiza angularmente o corpo em MCU. Fase inicial ( o) indica, no instante t=0, o ngulo de fase inicial do MCU. O ngulo de fase ( ) e a Fase inicial ( o) so medidos em radianos (rad).

Velocidade angular ou pulsao (w) mede no MCU o ngulo varrido na unidade de tempo e fornece o perodo ou a freqncia do MCU atravs das expresses w=2 /T ou w=2 f

Funes

Funo horria da elongao xinstante qualquer t

Na figura abaixo, considere o ponto P em MHS e o ponto Q em MCU num

No tringulo OPQ -- cos =0P/0Q -- cos =x/A -- x = Acos 1 Lembrando que, no MCU, a posio angular varia com o tempo conforme a funo = o + wt, teremos, substituindo-a em 1 --- x = A.cos( o + wt) que a funo horria da elongao e onde x a elongao; w, a pulsao ou freqncia angular ou ainda velocidade angular; A, a amplitude (elongao mxima) e o a fase inicial da partcula em MHS. O mesmo ser vlido se o eixo x estiver na vertical

Os ngulos so medidos em radianos (rad) e a pulsao w em radianos por segundo (rad/s)

01-(UFB) Uma partcula realiza um MHS em torno do ponto O com perodo de 2s (figura).

Os pontos M e N so os extremos da oscilao e no instante t=0 a partcula est passando sobre o ponto 0, deslocando-se para a esquerda. Pede-se para esse MHS: a) a freqncia f b) a pulsao w (velocidade angular) c) a amplitude d) a fase inicial e) a funo horria da elongao f) a elongao nos instantes t=0; t=0,5s; t=1s; t=1,5s, t=2s e t=4,5s. g) Esboce o grfico da elongao x em funo do tempo t, desde t=0 at t=4,5s. 02- (Unicamp-SP) Enquanto o ponto P se move sobre uma circunferncia, em movimento circular uniforme com velocidade angular =2 rad/s, o ponto M (projeo de P sobre o eixo x) executa um movimento harmnico simples entre os pontos A e A'. Nota: B e C so os pontos mdios de AD e DA', respectivamente.

a) qual a freqncia do MHS executado por M? b) determine o tempo necessrio para o ponto M deslocar-se do ponto B ao ponto C. 03-(UFG-GO) O grfico mostra a posio em funo do tempo de uma partcula em movimento harmnico simples (MHS) no intervalo de tempo entre 0 e 4 s. A equao da posio em funo do tempo para este movimento dada por x=A cos( t+ wo). A partir do grfico, encontre os valores das constantes A, e wo.

04- (UFV-MG) Duas partculas descrevem movimentos harmnicos simples representados nos grficos (I) e (II) a seguir.

CORRETO afirmar que os dois movimentos tm: a) mesma freqncia, amplitudes iguais e fases diferentes. b) freqncias diferentes, amplitudes iguais e fases diferentes. c) mesma freqncia, amplitudes diferentes e mesma fase. d) mesma freqncia, amplitudes iguais e mesma fase. e) freqncias diferentes, amplitudes iguais e mesma fase. 05-. (UFPE) Dois corpos descrevem movimentos de oscilao peridicos ao longo do eixo y, conforme indicado na figura. Qual a razo entre as freqncias de oscilao dos corpos?

06-(UFL-MG) Um corpo executa um movimento harmnico simples descrito pela equao x=4.cos(4 t) (SI) a) Identifique a amplitude, a freqncia e o perodo do movimento. b) Em que instante, aps o incio do movimento, o corpo passar pela posio x=0?

07-(MACKENZIE-SP) Uma partcula realiza um MHS (movimento Harmnico simples), segundo a equao x=0,2.cos( /2 + /2t), no SI. A partir da posio de elongao mxima, o menor tempo que essa partcula gastar para passar pela posio de equilbrio : a) 0,5s b) 1s c) 2s d) 4s e) 8s 08-(UFPI) O grfico da elongao x=Acos(wt+ ) de uma partcula que executa um movimento harmnico simples est representado na figura.

Determine a fase inicial, a pulsao ou freqncia angular e a funo horria da elongao desse movimento. 09-(FUVEST-SP) Enquanto uma folha de papel puxada com velocidade constante sobre uma mesa, uma caneta executa movimento de vaivm perpendicularmente direo de deslocamento do papel, deixando registrado na folha um trao em forma de senide. A figura abaixo representa um trecho AB do trao, bem como as posies de alguns de seus pontos e os respectivos instantes.

Pede-se: a) a velocidade de deslocamento da folha b) a razo das freqncias do movimento de vaivm da caneta entre os instantes 0 a 3s e 5s a 13s. 10-(PUC-SP) O grfico abaixo representa as posies ocupadas, em funo do tempo, por uma partcula que oscila em MHS.

Determine a funo horria da elongao

Funo horria da velocidade VNo MCU o vetor velocidade sempre tangente em cada ponto.

. Observe, na figura acima, que a velocidade V do MHS a projeo da velocidade VMCU sobre o eixo da elongao X. No tringulo da direita, obtemos: sen = V/VMCU ---- V = - VMCU.sen --- O sinal negativo devido ao fato de o sentido de V ser contrrio orientao positiva do eixo 0X. Mas, do MCU, temos que VMCU = w.R, sendo w a pulsao (velocidade angular) e R o raio da circunferncia que igual amplitude A.. Ainda do MCU, temos que, = o + w.t.. Portanto: V = - VMCU.sen ----

V = - w.A.sen(

o

+ w.t) -- que a funo horria da

velocidade do MHS.V mnimo e vale wA quando = /2 rad, cujo seno +1--- v= - wAsen --- v= -wAsen /2 ---v= -wA.(+1) V mximo e vale +wA quando

mnimo =3 /2 rad ---v= - wAsen --- v= -wAsen3 /2 -- v= -wA.(- 1)

v

= -wA

vmximo=+wAGrfico da velocidade em funo do tempo.

Observe, na figura abaixo que, enquanto a partcula se move em MCU de =0 at = rad, a velocidade do MHS (projeo da velocidade do MCU sobre X) sempre negativa pois contrria a orientao positiva de X.e que:

V1=0 e V5=0 (projeo sobre X nula) e que V3 tem mdulo mximo e valor mnimo. Analogamente, quando a partcula se move em MCU de rad at 2 rad sua velocidade sempre positiva e tem valor mximo em X=0 e nula nos extremos.

Funo horria da acelerao aNo MCU a acelerao ac a acelerao centrpeta, sempre radial e dirigida para o centro da circunferncia. A acelerao a do MHS a projeo da acelerao ac do MCU sobre o eixo X.

cos = a/ac ----- a = - ac.cos (negativo porque as orientaes de a e do eixo x so contrrias). Do MCU ---- ac=w2.R --- ac=w2.A e = o + w.t a= -accos a= -w2.A.cos( o + w.t) funo horria da acelerao do MHS Observe que: * quando x=0 --- a=0 2 * quando x= +A --- a= -w2A --- valor mnimo de a, pois = rad e cos = -1 --- amnimo= - w .A 2 * quando x= -A --- a= w2A --- valor mximo de a, pois =2 rad e cs 2 = 1 --- amximo = w .A Grfico aXt

a = - w2.A.cos

Grfico aXx --- x = A.cos

--- a = - w2.x


Velocidade angular ou pulsao (w) mede no MCU o ngulo varrido na unidade de tempo e fornece o perodo ou a freqncia do MCU atravs das expresses w=2 /T ou w=2 f * Funo horria da elongao --- x = A.cos ou x = A.cos( o + wt) * xmximo= + A * xmnimo= - A * Funo horria da velocidade --* vmxima= +w.A * vmnima= - w.A * Funo horria da acelerao --* amxima= + w2.A * amnima= - w2.A

v = -w.A.sen

ou

v= -w.A.sen(

o

+ wt)

a= -w2.A.cos(

o

+ wt)

ou

a=-w2. A.cos

* Velocidade v em funo da elongao ou posio x --* acelerao a em funo da posio ou elongao x ---

v=w. A2 a= - w.x

x2

*Grficos

Elongao x em funo do tempo t

Velocidade v em funo do tempo t Acelerao (a) em funo da elongao (x)

acelerao a em funo do tempo t

*Facilitando o entendimento

11-(UFB) A funo horria da elongao de uma partcula em MHS x = 4.cos( + t) SI. a) a funo horria da velocidade b) a velocidade mxima e a velocidade mnima c) o grfico da velocidade em funo do tempo d) a funo horria da acelerao e) a acelerao mxima e a acelerao mnima f) o grfico da acelerao em funo do tempo g) o grfico da acelerao a em funo da elongao x 12-(UFCE) A figura a seguir mostra uma partcula P, em movimento circular uniforme, em um crculo de raio r, com velocidade angular constante w, no tempo t = 0.

A projeo da partcula no eixo x executa um movimento tal que a funo horria vf(t), de sua velocidade, e expressa por: a) vf(t) = w r b) ) vf(t) = w r cos (wt + ) c) vf(t) = - w r cos (wt + ) d) vf(t) = - w r sen (wt + ) e) ) vf(t) = w r sen (wt + ) 13-(UFPB) Uma partcula material executa um movimento harmnico simples (MHS) em torno do ponto x = 0. Sua acelerao, em funo da posio, descrita pelo grfico a seguir.

Nessas condies, a freqncia angular do MHS : a) 4 rad/s b) 3 rad/s c) 2 rad/s d) 1 rad/s e) 0,5 rad/s 14-(UFF-RJ) Medidores de tempo so, em geral, baseados em osciladores peridicos. Um exemplo mecnico simples de um desses osciladores obtido com um carrinho, preso a duas molas ideais, que oscila, sem atrito, entre as posies x = L em torno da sua posio de equilbrio x = 0, conforme ilustrado na figura 1. Assinale o grfico que melhor representa a acelerao do carrinho em funo da sua posio x.

15- (MACKENZIE-SP) Um disco de 20cm de dimetro gira uniformemente em torno de um eixo O, sobre um plano horizontal executando 60rpm. Perpendicularmente ao plano do disco, existe um anteparo, conforme figura.

Ao fixarmos um objeto cilndrico de pequeno dimetro. Perpendicularmente ao disco, num ponto de sua periferia, o mesmo passa a descrever um MCU de freqncia igual a do disco Pede-se a mxima velocidade da sombra do objeto.

16-(MACKENZIE-SP) Uma partcula em MHS tem velocidade mxima 2,0 m/s. Se a amplitude do movimento 20cm, seu perodo de: a) 2,0 min b) 0,20 min c) 20 s d) 2,0 s ---e) 0,2 s 17-(PUC-SP) A figura abaixo representa uma senide para t 0, indicando a velocidade do ponto P mvel na trajetria (0,x), em funo do tempo.

a) sua velocidade inicial e sua fase inicial b) sua pulsao (velocidade angular) e sua amplitude c) a maior distncia que ele alcana da origem d) a acelerao mxima por ele adquirida 18-(UFCE) Um carrinho desloca-se com velocidade constante, vo, sobre uma superfcie horizontal sem atrito, conforme figura.

O carrinho choca-se contra uma mola de massa desprezvel, ficando preso a ela. O sistema mola+carrinho comea ento a oscilar em movimento harmnico simples, com amplitude de valor A. Determine o perodo de oscilao do sistema. 19-(Fuvest - SP) Dois corpos, A e B, ligados por um fio, encontram-se presos extremidade de uma mola e em repouso. Parte-se o fio que liga os corpos, e o corpo passa a executar um movimento oscilatrio, descrito pelo grfico abaixo:

a) Determine a frequncia, a amplitude e a pulsao do movimento de A. b) Escreva a equao horria das posies Y do corpo A, conforme o grfico. 20-(UNESP-SP) Um mvel com MHS obedece funo horria x=7.cos( /2.t), onde x medido em centmetros e em segundos. Calcule: a) O tempo necessrio para que este mvel v da posio de equilbrio para a posio de elongao mxima. b) A velocidade mxima e a acelerao mxima 21-(UFMS) A figura 1 representa um sistema mecnico que ilustra o funcionamento de um motor a combusto, simplificado, com apenas trs peas: virabrequim, biela e pisto. Essas trs peas esto acopladas entre si, atravs de eixos articulados. Enquanto o virabrequim gira com velocidade angular constante, no sentido horrio, a biela faz o pisto subir e descer num movimento oscilatrio. A posio do pisto no eixo vertical y, dada pela projeo do ponto de articulao entre a biela e o pisto sobre esse eixo. Essa posio no eixo y, oscila entre as amplitudes +A e -A.

Chamemos de y, vy e ay, respectivamente, a posio, a velocidade e a acelerao do ponto de articulao entre a biela e o pisto. Se iniciarmos a marcao do tempo t, quando a posio do ponto de articulao entre a biela e o pisto estiver na posio y = 0, como mostra a figura 1, assinale a alternativa que apresenta corretamente os grficos correspondentes s posies y, s velocidades vy e s aceleraes ay em funo do tempo.

- Sistema massa-mola - Um corpo de massa m realiza MHS quando, sobre uma trajetria retilnea, oscila periodicamente em torno de uma posio de equilbrio O, sob ao de uma fora denominada fora restauradora (Fel) que sempre dirigida para O. Essa fora a fora elstica fornecida pela expresso Fel = - kx (lei de Hooke)

medida que afastamos o bloco de massa m para a direita a partir da posio de equilbrio O ( origem da abscissa x orientada para a direita), a fora restauradora vai aumentando at atingir um valor mximo no ponto x=+A (abscissa mxima, a partir da qual, retornar)). Analogamente, se empurramos o bloco de massa m para a esquerda a partir da posio 0, uma fora de sentido contrrio e proporcional ao deslocamento X surgir tentando manter o bloco na posio de equilbrio 0, e esta fora ter mdulo mximo no ponto de abscissa x=-A, a partir de onde, retornar. A distncia do ponto O at os extremos x= +A e x= -A chamada de amplitude A desse MHS. Observe que nesses extremos +A e A, ocorre inverso de sentido do movimento e a velocidade se anula. Observe tambm que na passagem pela posio de equilbrio (ponto O), a velocidade mxima em mdulo. O perodo T desse MHS fornecido pela expresso

T

perodo tempo que a massa m demora para efetuar um vai e vem completo m massa que executa o MHS k constante elstica da mola

- Da lei de Hooke F= -kx e da segunda lei de Newton F=m.a, obtemos --- -k.x=m.a --- a= -k/m.x. Igualando a= -k/m.x. com a= -w2.x, obtemos --- - k/m.x= -w2.x --- w= k/m. Lembrando que w=2 /T e igualando essa expresso com a anterior --- k/m = 2 /T, isolando T, obtemos a expresso acima -- T=2 m/k. Observe na expresso acima que o perodo T da massa oscilante no depende da amplitude e nem da acelerao da gravidade local, independente do fato da oscilao ser na vertical.

Energia no MHS no plano horizontal2 * A energia potencial a elstica --- Ep = k.x /2 Observe na equao acima que a energia potencial nula no ponto mdio 0 da trajetria onde x=o e mxima nos extremos onde x=+A e X=-A, onde x2 mximo e vale Ep=kA2/2 2 * A energia cintica vale Ec=m.v /2 Essa energia mxima no ponto mdio 0, onde o mdulo de v mximo e nula nos extremos onde v=0. 2 * A energia mecnica sempre constante no MHS e vale Em= kA /2 ou Em=Ec + Ep ou Em=kx2/2 + m.v2/2 * Nos extremos onde v=0 e o mdulo de x A, temos que --- Em=Ec + Ep --- Em= 0 + k.A2/2 --- Em=k.A2/2 = constante * No ponto mdio 0, onde o mdulo de v mximo e x=0, temos que --- Em=Ec + Ep --- Em=mv2/2 + 0 --Em=mv2max/2=const.

* Grficos

* Se a massa estiver oscilando na vertical

Na primeira situao, sem a massa m, a mola est em sua situao natural. Na segunda situao, j com a massa m e em equilbrio e distendida de x, temos --- Fe = P --- k.x = m.g ---

x=m.g/k e

x=A. Observe que nesta situao, quanto maior for a constante elstica k, menor ser a amplitude A, desde que a massa mseja a mesma.. Na terceira situao, a massa m oscila em MHS de amplitude A, em torno de 0. Neste caso, a energia mecnica a soma das energias cintica, potencial elstica e potencial gravitacional

* Na expresso T=2 m/k voc observa que o perodo (e consequentemente a freqncia) do MHS do sistema massa-mola depende da massa m do corpo e da constante elstica k da mola, mas no depende da amplitude A da oscilao e nem da acelerao da gravidade local, mesmo que o movimento seja na vertical, desde que seja a mesma mola e a mesma massa. * A energia potencial a elstica --Observe na equao acima que a energia potencial nula no ponto mdio 0 da trajetria onde x=o e mxima nos extremos onde x=+A e X=-A, onde x2 mximo e vale Ep=kA2/2 * A energia cintica vale Ec=m.v /2 Essa energia mxima no ponto mdio 0, onde o mdulo de v mximo e nula nos extremos onde v=0. * A energia mecnica sempre constante no MHS e vale Em= * Se a massa estiver oscilando na vertical2

Energia no MHS no plano horizontal Ep = k.x2/2

kA2/2 ou Em=Ec + Ep ou Em=kx2/2 + m.v2/2

Na primeira situao, sem a massa m, a mola est em sua situao natural. Na segunda situao, j com a massa m e em equilbrio e distendida de x, temos --- Fe = P --- k.x = m.g --- x=m.g/k e x=A. Observe que nesta situao, quanto maior for a constante elstica k, menor ser a amplitude A,desde que a massa m seja a mesma.. Na terceira situao, a massa m oscila em MHS de amplitude A, em torno de 0. Neste caso, a energia mecnica a soma das energias cintica, potencial elstica e potencial gravitacional No ponto 0 a velocidade de m mxima, pois ela acelera at 0 e retarda a partir de 0. Portanto, em 0. a acelerao nula.

22-(UFC) Uma partcula de massa m move-se sobre o eixo x, de modo que as equaes horrias para sua velocidade e sua acelerao so, respectivamente, v(t) = - wAsen (wt + ) e a(t) = w2Acos(wt + ), com w, A e constantes. a) Determine a fora resultante em funo do tempo, F(t) , que atua na partcula.

b) Considere que a fora resultante tambm pode ser escrita como F(t) = - kx(t), onde k = mw2. Determine a equao horria para a posio da partcula, x(t), ao longo do eixo x. c) Usando as expresses para as energias cintica, Ec(t) = 1/2 mv2(t), e potencial, Ep(t) = 1/2 kx2(t), mostre que a energia mecnica da partcula constante. 23-(UFPB) Um Professor de Fsica utiliza uma mola, de constante elstica k e comprimento L (quando no distendida), para demonstrar em sala de aula o movimento harmnico simples (MHS). A mola, presa ao teto da sala, pende verticalmente. Um corpo de massa m preso extremidade livre da mola e subitamente largado. Desprezando todas as foras dissipativas, admitindo que a mola tem massa desprezvel e que a gravidade terrestre g, analise as afirmaes a seguir: (g = 10 m/s2) I. O perodo do MHS obtido T = 2 (L/g). II. O corpo no realiza MHS devido gravidade. III. A nova posio de equilbrio est deslocada de L = mg/k. IV. A energia mecnica total do corpo, no movimento vertical, igual soma das suas energias cintica, potencial elstica e potencial gravitacional. Esto corretas apenas: a) I e II b) I e III c) I e IV d) II e III e) III e IV 24-(UECE) Um sistema oscilante massa-mola possui uma energia mecnica igual a 1,0 J, uma amplitude de oscilao 0,5 m e uma velocidade mxima igual a 2 m/s. Portanto, a constante da mola, a massa e a freqncia so, respectivamente, iguais a: a) 8,0 N/m, 1,0 kg e 4/ Hz b) 4,0 N/m, 0,5 kg e 4/ Hz --c) 8,0 N/m, 0,5 kg e 2/ Hz d) 4,0 N/m, 1,0 kg e 2/ Hz 25-(UFMS) O Bungee Jump um esporte radical que consiste na queda de grandes altitudes de uma pessoa amarrada numa corda elstica. Considerando desprezvel a resistncia do ar, correto afirmar que (01) a velocidade da pessoa mxima quando a fora elstica da corda igual fora peso que atua na pessoa. (02) a velocidade da pessoa mxima quando o deslocamento da pessoa, em relao ao ponto que saltou, igual ao comprimento da corda sob tenso nula. (04) o tempo de movimento de queda independe da massa da pessoa. (08) a altura mnima que a pessoa atinge em relao ao solo depende da massa dessa pessoa. (16) a acelerao resultante da pessoa nula quando ela atinge a posio mais baixa. 26-(ITA-SP) Duas molas ideais, sem massa e de constantes de elasticidade k1 e k2, sendo k1 .k2, acham-se dependuradas no teto de uma sala. Em suas extremidades livres penduram-se massas idnticas.

Observa-se que, quando os sistemas oscilam verticalmente, as massas atingem a mesma velocidade mxima. Indicando por A1 e A3, as amplitudes dos movimentos e por E1 e E2 as energias mecnicas dos sistemas (1) e (2), respectivamente, podemos dizer que: a) A1 A2 e E1= E2 b) A1 A2 e E1= E2 c) A1 A2 e E1 E2 d) A1 A2 e E1 E2 e) A1= A2 e E1 E2 = 27-(PUC-MG) Uma partcula de massa 0,5kg move-se sob ao de apenas uma fora, qual est associada uma energia potencial Ep cujo grfico em funo de x est representado na figura abaixo.

Esse grfico consiste em uma parbola passando pela origem. A partcula inicia o movimento a partir do repouso, em x= -2,0m. Pede-se: a) Sua energia mecnica b) A velocidade da partcula ao passar por x=0 c) A energia cintica da partcula ao passar por x=1m. 28-(MACKENZIE-SP) Um corpo de 250g de massa encontra-se em equilbrio, preso a uma mola helicoidal de massa desprezvel e constante elstica k igual a 100N/m, como mostra a figura abaixo.

O atrito entre as superfcies em contato desprezvel. Estica-se a mola, com o corpo at o ponto A, e abandona-se o conjunto nesse ponto, com velocidade zero. Em um intervalo de 1,0s, medido a partir desse instante, o corpo retornar ao ponto A a) um vez b) duas vezes ---c) trs vezes d) quatro vezes e) seis vezes 29-(UNESP-SP) Em um sistema massa-mola, conforme mostra a figura (superfcie horizontal sem atrito), onde k a constante elstica da mola, a massa deslocada de uma distncia xo, passando a oscilar.

a) em que ponto, ou pontos, a energia cintica da massa igual a 7/9 da energia potencial do sistema? b) a energia cintica pode ser superior potencial em algum ponto? Explique sua resposta. 30-(UEM-PR) Um corpo de massa igual a 2,0kg oscila sobre uma mesa horizontal lisa, preso a uma mola tambm horizontal, cuja constante elstica k = 200N/m. A amplitude da oscilao A = 10cm. Nessas condies, d como resposta a soma dos nmeros correspondentes s afirmaes corretas. Considere g = 10m/s2.

(01) A fora que a mola exerce sobre o corpo constante e vale 20N (02) Se nenhuma fora externa agir sobre o sistema, o mesmo oscilar indefinidamente. (04) A frequncia angular de oscilao de 10rad/s (08) O mdulo da velocidade mxima do corpo de 1,0m/s e ocorre no ponto de mximo deslocamento, em relao posio de equilbrio. (16) O perodo de oscilao igual a /5 s.

31-(UFU-MG) Uma massa m executa um MHS. Sua energia potencial U, em funo de sua posio x, est no grfico abaixo.

Se E for sua energia total, teremos: a) em x1, sua energia cintica ser a b) em x1, sua energia potencial ser b c) em x1, sua energia cintica ser +b d) na posio x2 sua energia cintica ser mxima e) na posio x2 sua energia potencial ser nula. 32-(PUC-SP) Na figura abaixo, est representada a situao de equilbrio de uma mola ideal quando livre e depois de ser presa a um corpo de massa 400g.

Considere g=10m/s2 e determine: a) a constante elstica da mola b) o tipo e o perodo do movimento que o corpo descreveria, caso fosse suspenso 1,cm de sua posio de equilbrio. Despreze a ao do ar sobre o movimento. 33-(UNICAMP-SP) Os tomos de carbono tm a propriedade de se ligarem formando materiais muito distintos entre si, como o diamante, o grafite e os diversos polmeros. H alguns anos foi descoberto um novo arranjo para esses tomos: os nanotubos, cujas paredes so malhas de tomos de carbono. O dimetro desses tubos de apenas alguns nanmetros (1nm=109 m). No ano passado, foi possvel montar um sistema no qual um nanotubo de carbono fechado nas pontas oscila no interior de um outro nanotubo de dimetro maior e aberto nas extremidades. As interaes entre os dois tubos do origem a uma fora restauradora representada no grfico. (1nN=10-9N)

a) Encontre, por meio do grfico, a constante da mola desse oscilador.

b) O tubo oscilante constitudo de 90 tomos de carbono. Qual a velocidade mxima desse tubo, sabendo-se que um tomo de carbono equivale a uma massa de 2.10-26kg.

- Pndulo Simples - consta de uma massa m, presa na extremidade inferior de um fio ideal, fixada verticalmente na sua extremidade superior (figura)

Se o pndulo simples oscilar, com oscilaes de pequena abertura (no mximo 15o), ele descreve um movimento circular de raio R=L, sendo L o comprimento do fio. Seu perodo (T), que o tempo que ele demora para efetuar um vai e vem completo fornecido pela expresso:

onde g a acelerao da gravidade local. - Observe que: * a massa pendular m no influi no perodo T do movimento. Assim dois pndulos de mesmo comprimento L mas de massas diferentes M e m, apresentam o mesmo perodo T. * O perodo de um pndulo simples independe da amplitude, ou seja, da altura em que m abandonada, assim, os pndulos da figura abaixo, tanto na situao 1 como na 2, demoram o mesmo tempo para ir de A at B, de B at C, de C at B e de B at A.

. * O perodo de um pndulo simples diretamente proporcional raiz quadrada de seu comprimento L. Assim, para dobrar o perodo T de um pndulo, seu comprimento L deve ser quadruplicado, etc.

* O perodo de um pndulo simples inversamente proporcional raiz quadrada da acelerao da gravidade g. Assim, quanto maior for a acelerao da gravidade do local onde est o pndulo, menor ser o seu perodo. Uma das aplicaes do pndulo simples a determinao da acelerao da gravidade.

. Seu perodo (T), que o tempo que ele demora para efetuar um vai e vem completo fornecido pela expresso:

onde g a acelerao da gravidade local. - Observe que: * a massa pendular m no influi no perodo T do movimento. Assim dois pndulos de mesmo comprimento L, mas de massas diferentes M e m, apresentam o mesmo perodo T. * O perodo de um pndulo simples independe da amplitude (angular), ou seja, da altura em que m abandonada, assim,, os pndulos da figura abaixo, tanto na situao 1 como na 2, onde a altura em que abandonada maior, demoram o mesmo tempo para ir de A at B, de B at C, de C at B e de B at A.

* O perodo de um pndulo simples diretamente proporcional raiz quadrada de seu comprimento L. Assim, para dobrar o perodo T de um pndulo, seu comprimento L deve ser quadruplicado.

* Se voc levar um relgio de pndulo de uma regio mais fria para uma regio mais quente, o comprimento do pndulo aumenta, pois ele se dilata devido elevao da temperatura e como raiz quadrada de L diretamente proporcional T, o perodo aumentar e o relgio atrasar.

* O perodo de um pndulo simples inversamente proporcional raiz quadrada da acelerao da gravidade g. Assim, quantomaior for a acelerao da gravidade do local onde est o pndulo, menor ser o seu perodo. Uma das aplicaes do pndulo simples a determinao da acelerao da gravidade. * Se o pndulo for abandonado em A (VA=0), em A sua energia potencial (gravitacional) mxima e sua energia cintica nula. A medida que ele desce a energia potencial vai se transformando em cintica que ser mxima quando ele atinge B. O processo se inverte at atingir C onde a energia potencial mxima e a cintica nula. Sendo o sistema conservativo (no h energia dissipada), em todos os pontos do movimento a energia mecnica constante (veja figura abaixo)

Referencial no solo

referencial em B

34-(UEM) Suponha que um pequeno corpo, de massa m, esteja preso na extremidade de um fio de peso desprezvel, cujo comprimento L, oscilando com pequena amplitude, em um plano vertical, como mostra a figura a seguir. Esse dispositivo constitui um pndulo simples que executa um movimento harmnico simples. Verifica-se que o corpo, saindo de B, desloca-se at B' e retorna a B, 20 vezes em 10 s. Assinale o que for correto.

(01) O perodo deste pndulo 2,0 s. (02) A freqncia de oscilao do pndulo 0,5 Hz. (04) Se o comprimento do fio L for 4 vezes maior, o perodo do pndulo ser dobrado. (08) Se a massa do corpo suspenso for triplicada, sua freqncia ficar multiplicada por 3. (16) Se o valor local de g for 4 vezes maior, a freqncia do pndulo ser duas vezes menor. (32) Se a amplitude do pndulo for reduzida metade, seu perodo no modificar. 35-(UNIFESP-SP) Um estudante faz o estudo experimental de um movimento harmnico simples (MHS) com um cronmetro e um pndulo simples como o da figura, adotando o referencial nela representado.

Ele desloca o pndulo para a posio +A e o abandona quando cronometra o instante t = 0. Na vigsima passagem do pndulo por essa posio, o cronmetro marca t = 30 s. a) Determine o perodo (T) e a freqncia (f) do movimento desse pndulo. b) Esboce o grfico x (posio) t (tempo) desse movimento, dos instantes t = 0 a t = 3,0 s; considere desprezvel a influncia de foras resistivas. 36- (UFPR) Uma criana de massa 30,0 kg colocada em um balano cuja haste rgida tem comprimento de 2,50 m. Ela solta de uma altura de 1,00 m acima do solo, conforme a figura abaixo. Supondo que a criana no se auto-impulsione, podemos considerar o sistema "criana-balano" como um pndulo simples. Desprezando-se a resistncia do ar, correto afirmar: (considere g= 10m/s2)

(01) O intervalo de tempo para que a criana complete uma oscilao de s. (02) A energia potencial da criana no ponto mais alto em relao ao solo de 150 J. (04) A velocidade da criana no ponto mais prximo do solo menor que 4,00 m/s. (08) Se a massa da criana fosse maior, o tempo necessrio para completar uma oscilao diminuiria. (16) A freqncia de oscilao da criana depende da altura da qual ela solta. 37-(UNICAMP-SP) Um antigo relgio de pndulo calibrado no frio inverno gacho. Considere que o perodo desse relgio dado por:

Onde L o comprimento do pndulo e g a acelerao da gravidade, pergunta-se: a) Este relgio atrasar ou adiantar quando transportado para o quente vero nordestino? b) Se o relgio for transportado do nordeste para a superfcie da Lua, nas mesmas condies de temperatura, ele atrasar ou adiantar? Justifique suas respostas. .. 38-(UFRS) A figura a seguir representa seis pndulos simples, que esto oscilando num mesmo local.

O pndulo P executa uma oscilao completa em 2 s. Qual dos outros pndulos executa uma oscilao completa em 1 s? a) I. b) II. c) III. d) IV. e) V.

39-(FUVEST-SP) O pndulo de Foucault popularizado pela famosa obra de Umberto Eco consistia de uma esfera de 28kg, pendurada na cpula do Panthon de Paris por um fio de 67m de comprimento. Sabe-se que o perodo T de oscilao de um pndulo simples relacionado com seu comprimento L e com a acelerao da gravidade g pela seguinte expresso: . a) Qual o perodo de oscilao do pndulo de Foucault? Despreze as fraes de segundos. b) O que aconteceria com o perodo desse pndulo se dobrssemos sua massa? (Adote g=10m/s2 e 10= ) 40-(ITA) Um pndulo simples oscila com um perodo de 2s. Se cravarmos um pino a uma distncia 3L/4 do ponto de suspenso e na vertical que passa por aquele ponto, como mostrado na figura, qual ser o novo perodo do pndulo?

41-(UFRS) Um pndulo simples, de comprimento L, tem um perodo de oscilao T, num determinado local. Para que o perodo de oscilao passe a valer 2T, no mesmo local, o comprimento do pndulo deve ser aumentado para a) 1 L. b) 2 L. c) 4 L. d) 5 L. e) 7 L. 42-(UFU) Em um laboratrio de Fsica, um grupo de alunos, Grupo A, obtm dados, apresentados na tabela a seguir, para a freqncia (em hertz) num experimento de Pndulo Simples, utilizando-se trs pndulos diferentes.

Esses resultados foram passados para um segundo grupo, Grupo B, que no compareceu aula. Uma vez que os alunos do Grupo B no viram o experimento, os integrantes desse grupo formularam uma srie de hipteses para interpretar os resultados. Assinale a NICA hiptese correta. a) A massa do pndulo 1 menor do que a massa do pndulo 2 que, por sua vez, menor do que a massa do pndulo 3. b) A massa do pndulo 1 maior do que a massa do pndulo 2 que, por sua vez, maior do que a massa do pndulo 3. c) O comprimento L do fio do pndulo 1 maior do que o comprimento do pndulo 2 que, por sua vez, maior do que o comprimento do pndulo 3. d) O comprimento L do fio do pndulo 1 menor do que o comprimento do pndulo 2 que, por sua vez, menor do que o comprimento do pndulo 3 43-(UFES) Um pndulo, formado por uma massa presa a uma haste rgida e de massa desprezvel, posto para oscilar com amplitude angular o.. Durante a oscilao, no exato instante em que a massa atinge a altura mxima , como mostrado na figura, a ligao entre a haste e a massa se rompe. No instante imediatamente aps o rompimento, os vetores que melhor representam a velocidade e a acelerao da massa so:

44-(UNESP-SP) Um estudante pretendia apresentar um relgio de pndulo numa feira de cincias com um mostrador de 5 cm de altura, como mostra a figura. Sabendo-se que, para pequenas oscilaes, o perodo de um pndulo simples, dado pela expresso T = 2 L/g, pede-se:

Se o pndulo for pendurado no ponto O e tiver um perodo de 0,8 segundos, qual deveria ser a altura mnima do relgio? Para facilitar seus clculos, admita g= 2m/s2. b) se o perodo do pndulo fosse de 5 segundos, haveria algum inconveniente? Justifique. 45-(ITA ) Dois pndulos de comprimento L1 e L2 conforme a figura, oscilam de tal modo que os dois bulbos de encontram sempre que so decorridos 6 perodos do pndulo menor e 4 perodos do pndulo maior. A relao L2/L1 deve ser:

a) 9/4 b) 3/2 c) 2 d) 4/9 e) 2/ 46-(Mackenzie-SP) Comenta-se que o clebre fsico e matemtico Galileu Galilei, ao observar a oscilao do lampadrio da catedral de Pisa, na Itlia, concluiu tratar-se de um movimento peridico, semelhante ao que hoje chamaramos de pndulo simples. Para tal concluso, teria medido o perodo do movimento, utilizando, como unidade de medida para o tempo, seu prprio batimento cardaco. Se considerarmos um grande pndulo simples, de comprimento 10 m, oscilando num local ondeg=10m/s2, e que a freqncia dos batimentos cardacos de 86 batidas por minuto, o perodo do movimento desse pndulo ser de aproximadamente: a) 3 batidas. b) 6 batidas. c) 9 batidas. d) 12 batidas. e) 15 batidas

- Duas molas 1 e 2 tem constantes elsticas k1 e k2, respectivamente. Podemos associ-las em srie ou em paralelo. Em cada uma dessas associaes podemos substituir as duas molas por uma nica, que produza o mesmo efeito e que chamamos de mola equivalente de constante elstica ke. - Associao em paralelo neste caso a deformao x sofrida por cada uma das molas a mesma.

Quando deformadas de x, a mola 1 fica sujeita a uma fora F1=k1.x e a mola 2 a uma fora F2=k2.x. A mola equivalente, quando submetida mesma fora F, sofre a mesma deformao x de modo que F=ke.x Observe que F = F1 + F2 --- ke.x = k1.x + k2.x. Assim:

- Associao x2.

em srie

neste caso as molas 1 e 2 esto sujeitas mesma fora F e sofrem deformaes diferentes x1 e

Como a fora F a mesma --- mola 1 F =k1.x1 --- mola 2 Mola equivalente --- F=ke.x --- x=F/ke x = x1 + x2 --- F/ke = F/k1 + F/k2 ---

F =k2.x2 Ento, x1=F/k1 e x2=F/k2.

* Na associao de molas em srie onde 1/ke = 1/k1 + 1/k2, o valor de ke fica bastante reduzido, sendo que a mola equivalente menos rgida, mais deformvel. Se quisermos aumentar a rigidez da mola equivalente, torna-a menos deformvel, devemos associar as molas em paralelo, onde ke=k1 + k2. mais eficaz e ocupa menos espao.

47-(MACKENZIE-SP) Uma mola helicoidal de massa desprezvel est presa pela extremidade A, a uma parede rgida e, na extremidade B, encontra-se preso um corpo de massa m, conforme mostra a figura 1. Quando o conjunto oscila livremente na direo da reta horizontal AB, perpendicular parede, constitui-se um oscilador harmnico de perodo T. Se dispusermos de duas molas idnticas anterior e as fixarmos conforme a figura 2, ao constituirmos um oscilador harmnico, com a oscilao do mesmo corpo de massa m, segundo a mesma direo AB, seu respectivo perodo ser:

a) T 2/4

Figura 1 b) T/2 c) T 2/2

figura 2 d) T e) 2T

48-(UFB) Uma massa M=20/9kg, encontra-se suspensa ao conjunto de molas ilustrado na figura abaixo, Suas constantes elsticas so k1 = k2=30N/m.

a) A constante elstica total equivalente do conjunto. b) A freqncia de oscilao do conjunto. (adote =3) 49-(ITA-SP) Um sistema massa-molas constitudo por molas de constantes k1 e k2, respectivamente, barras de massas desprezveis e um corpo de massa m, como mostrado na figura.

Determine a freqncia desse sistema.

50-(UFB) A mola helicoidal (figura 1), de constante elstica k=12N/m, foi partida em 3 partes iguais. Em seguida, essas 3 partes foram associadas em paralelo (figura 2) e em srie (figura 3).

Figura 1 figura 2 figura 3 As massas das figuras 2 e 3 so iguais e valem 100g. Adote g=10m/s2 e determine: a) a constante elstica de cada parte. b) o perodo de oscilao do conjunto quando as trs molas esto associadas em paralelo. c) o perodo de oscilao do conjunto quando as trs molas esto associadas em srie. 51-(PUC-SP) Na figura abaixo, as trs molas ideais 1, 2 e 3 so idnticas e possuem a mesma constante elstica de valor 0,1N/cm e as massas tambm so idnticas e de mesmo valor (10g). Inicialmente, o conjunto est em equilbrio e as molas esto em seu comprimento natural (20cm cada uma). Em seguida, retira-se o suporte S e cada mola se distende at que o conjunto adquira novamente o equilbrio.

Aps o novo equilbrio, determine: (g=10m/s2) a) deformao de cada mola. b) o comprimento de cada mola c) a deformao total do conjunto

01a) T=2s --- f =1/T --- f= 1/2Hz (percorre meia volta em cada 1s) b) w=2 /T --- w=2 /2 --- w= rad/s (varre um ngulo de rad em cada 1s) c) A=4m d) na posio (elongao) x=0 existem duas fases.

Como ela est se deslocando em 0, para a esquerda, teremos que e) = o + w.t --- = /2 + .t x = A.cos --- x = 4.cos ( /2 + .t) f)

o=

/2 rad

t=0 --- x=4cos( /2 + .t) --- x=4cos ( /2 + .0) --- x=4cos ( /2) --- x=4.0 --- x=0 t=0,5s --- x=4cos ( /2 + .t) --- x=4cos ( /2 + .0,5) --- x=4cos ( ) --- x=4.(-1) --- x= -4m t=1s --- x=4cos ( /2 + .t) --- x=4cos ( /2 + .1) --- x=4cos (3 /2) --- x=4.0 --- x=0 t=1,5s --- x=4cos ( /2 + .t) --- x=4cos ( /2 + .1,5) --- x=4cos (2 ) --- x=4.(+1) --- x= +4m t=2s --- x=4cos ( /2 + .t) --- x=4cos ( /2 + .2) --- x=4cos (5 /2) --- x=4.0 --- x=0 t=4,5s --- x=4cos ( /2 + .t) --- x=4cos ( /2 + .4,5) --- x=4cos (5 ) --- x=4.(-1) --- x= -4m g)

02a) w=2 /T = 2 f --- 2 = 2 f --- f = 1Hz b) Para que DB e CD sejam pontos mdios de AD e A D, os ngulos esto indicados na figura abaixo

Para se deslocar de B a C o ponto P deve varrer um ngulo de 30o + 30o = 60o = /3 rad. = /3rad w= / t --- 2 = /3/ t --- t = 1/6s w= 2 rad/s 03A = 2m T = 4s --- w=2 /T --- w=2 /4 --- w = /2 rad/s Quando x=0, Wo pode ser /2 rad ou 3 /2. Observando o grfico verificamos que /2, pois, quando t=1s --- A = -2m 04- B 05T1 = 1,5s --- f1 = 1/1,5Hz F1 / f2 = 1/1,5 X1/6 --- f1/f2 = 4 06a) A=4m b) Como

T2 = 6s --- f2 = 1/6 Hz

---- w=2 /T ---- 4 = 2 /T o=0, ele partiu do ponto A=+4m

----

T = 1/2s

---

f=1/T

---- f=2Hz

At chegar a 0, ele demorou um tempo t que igual a um quarto do perodo T=0,5s --- t=0,5/4 --- t = 0,125s 07:Clculo do perodo T --- w=2 /T --- /2 = 2 /T --- T = 4s Para ir de +A at 0 ela andou durante um quarto do perodo, ou seja, durante t=4/4 --- t=1s 08O perodo T=4s ----- w=2 /T ---- w= 2 /4 ---- w= /2rad/s e A=2m Quando x=1m --- t=0 --- x=Acos(wt+ ) --- 1=2cos(w.0 + ) ---- 1=2cos ---x=Acos(wt+ ) ---- x=2cos( /2+ /3) 09a) V= S/ t ---- V=26/13 ---- V=2cm/s b) f1=1/2Hz ---- f2=1/8Hz ---- f1/f2=1/2X8/1

cos =1/2

----

=60o= /3

----

f1/f2=4

10A=6m ---- T=8s ---- w=2 /T ---- w=2 /8 ---- w= /4rad/s Quando x=0, a partcula est na posio angular inicial /2 rad ou 3 /2 rad. Se o MCU for no sentido anti-horrio, observando o grfico verificamos que o=3 /2 rad. X = A.cos( o+ wt) ---- x=6.cos(3 /2 + /4.t) 11R: a) A=4m w= rad/s o= rad v= -wAsen( o + wt) --- v= - .4.sen( + t) --- v= - 4 .sen( + t) b) v maxima --- vmxima= w.A --- vmxima= .4 --- vmximo= +4 m/s v mnima --- vmnima= -w.A --- vmnima= - .4 --- vmnima= - 4 m/s c)

d) a= -w2.A.cos( o + wt) --- a= - 2.4.cos( + t) --- a= -4 2.cos( + t) e) acelerao mxima --- amxima= w2A --- amxima= +4 2 m/s2 acelerao mnima --- amnima= - w2A --- amnima= - 4 2 m/s2 e)

f)

12- C 13a= -w2Acos 14- D 15R=A=20/2 --- R=10cm f=60rpm=60/60 --- f=1Hz --- T=1s W=2 /T --- w=2 /1 --- w=2 rad/s V mxima quando =3 /2, sendo sen3 /2= - 1 --- v= -w.A.sen --- v= -w.10.sen3 /2 --- v= -2 .10.(-1) Vmax = 20 cm/s 16Vmxima=2 m/s ---- A=20cm=0,2m Vmxima= w.A --- 2 =w.0,2 --- w=10 rad/s --- w=2 /T --- 10 =2 /T --- T=0,2s --- a= 4 --- 4 = -w2.(1).cos --- 4 = -w2.(1).(-1) --- w = 4 --- w = 2 rad/s

--- qdo x=A= 1 ---

=

17a) vo=0 (vide grfico) Como v=0 nos extremos, sua fase inicial ou zero ou rad e observando o grfico verificamos que b) T= s (veja grfico) --- w=2 /T --- w=2 / --- w=2rad/s vmximo=10m/s (veja grfico) --- vmximo=wA --- 10=2A --- A=5m c) a amplitude, ou seja, 5m

o=

rad

d) amxima=w2.A --- amxima=22.5 --- amxima=20m/s2 18Quando o carrinho se choca com a mola, o mdulo de Vo mximo e vale vmximo=w.A --- Vo=w.A --- Vo=2 /T.A -T=2 A/Vo 19a) Observe pelo grfico que o perodo do movimento vale T=0,2s. Como a freqncia f o inverso do perodo T, temos f=1/T

--- f=1/0,2 --- f=5Hz. A amplitude a distncia da origem ao ponto mximo. Logo, A=0,1m Pulsao - ou velocidade angular --- w=2 /T --- w=2 /0,2 --- w=10 rad/s. b) Equao da elongao ou da posio, na vertical y=-Acos( o + wt) --- y= .0,1.cos(0 + 10 t) --- y= 0,1cos10 o=0, pois, quando t=o, A=+0,1m (elongao mxima). 20a) A=7cm --- w= /2rad/s --- w=2 /T --- /2=2 /T --- T=4s Para que o mvel v da posio de equilbrio at o ponto de elongao mxima, ele se move durante 1/4 de seu perodo, que de 4s (tempo que demora para efetuar uma volta completa) --- t=T/4 --- t=4/4 --- t=1s b) vmxima=w.A= /2.7 --- vmxima=3,5 cm/s amxima=w2.A --- amxima=( /2)2.7 --- amxima=1,75 2cm/s2 21- E 22a) F(t) = ma --- F(t) = mw2Acos(wt + ) b) mw2Acos(wt = ) = mw2x --- x(t) = A cos(wt + ) c) Usando as equaes para a energia cintica e potencial, juntamente com as equaes horrias da posio e velocidade, temos que k Ec(t) = 1/2mv2(t) = 1/2 m(wAsen(wt + ))2 = 1/2mw2A2sen2(wt + ) --- Ec = 1/2 kA2 sen2(wt + ) Ep(t) = 1/2kx2(t) = 1/2 k(Acos(wt + ) )2 --- Ep(t)=1/2kA2cos2(wt + ) A energia mecnica a soma da energia cintica com a energia potencial. Logo, Emec = 1/2 kA2 sen2(wt + ) + 1/2kA2cos2(wt + ) --- Em=1/2kA2(sen2(wt + ) + cos2(wt + )) --- Em=1/2kA2(1) Em=1/2kA2, que uma constante 23- E 24Em-1J A=0,5m Vmxima=2m/s Em=1/2.kA2 --- 1=1/2.k.(0,5)2 --- k=8N/m Em=1/2.mV2mxima --- 1=1/2.m.(2)2 --- m=0,5kg T=2 m/k --- T=2 0,5/8 --- T=2 .1/4 --- T= /2 s --- f=1/T --- f=1/ /2 --- f=2/ Hz 2501- Verdadera a fora elstica iguala a fora peso no ponto mdio onde a velocidade mxima e a acelerao nula 02- Falsa a velocidade da pessoa aumenta at o ponto mdio e a partir da comea a diminuir. 04- Falsa pois, T=2 m/k 08- Verdadeira veja equao acima 16- Falsa- a acelerao nula no ponto mdio, a partir do qual ela inverte seu sentido, retardando a pessoa. 26Em=kA2/2 (constante) e Em=m.v2mxima/2 ---k.A2/2 = m.V2mxima/2 --- k.A2 = m.V2mxima = constante, ou seja, k inversamente proporcional a A, e Em sempre constante --- alternativa a 27a) Como ela est sujeita a apenas uma fora, o movimento horizontal e essa fora a fora elstica.Quando x=1m --Ep=1J --- Ep=k.x2/2 --- 1=k.12/2 --- k=2N/m. A amplitude A vale 2m, pois a que v=0. Em=k.A2/2 --- Em=2.22/2 --- Em=4J b) Quando x=0 --- Ep=0 --- Em=Ec + Ep --- 4=mV2/2 + 0 --- 4=0,5V2/2 --- V= 16 --- V=4m/s c) Em=Ec + Ep --- 4=Ec + k.x2/2 --- 4=Ec + 2.12/2 --- Ec=3J 28Vamos calcular o perodo T, que o tempo que ele demora para efetuar um vai e vem completo. T=2 m/k --- T=2.3. 0,35/100 --- T=6.5.10-2 --- T 0,3s 0,3s ------ 1 vai e vem completo 1,0s ------ n n 3,3 ----- alternativa C 29a) Em=k.A2/2 --- Ep=k.x2/2 --- Ec=7/9.k.x2/2 Em= Ec + Eo --- k.A2/2 = 7/9.k.x2/2 + k.x2/2 --- k.A2/2 = (7.k.x2 + 9.k.x2)/18 --- 9.k.A2 = 16.k.x2 --- x = 9/16.A2 X = 3/4.A --- Nas posies x = + 3/4.A e X = - 3/4.A

b) Sim. Por exemplo, no ponto O quando toda a energia mecnica estar na forma de energia cintica. 30(01) Falsa. A fora elstica no constante, pois varia de acordo com a deformao. (02) Correta. Desprezando-se as foras externas dissipativas o sistema oscilar sempre. (04) Correta --- w = k/m --- w = 200/2 --- w = 10rad/s (08) Falsa. A velocidade mxima do corpo vale --- Vmxima = w.A = 10.0,1 = 1,0m/s, mas no no ponto de mximo deslocamento, mas sim na posio central 0. (16) Correta. O perodo T dado por T = 2 m/k --- T = 2 2/200 --- T = 2 .1/10 --- T = /5 s. Soma=(02 + 04 + 16) = 22 31Em X2 --- Ep mxima e Ec nula. Em X1 --- Ep = a --- E = Ec + Ep --- E = a + b --- Ec + a = a + b --- Ec = +b R: C 32a) No equilbrio --- Fe = P --- k.x = m.g --- k = m.g/x --- k = 0,4.10/0,05 --- k=4/0,05 --- k =80N/m b) O movimento um MHS e o seu perodo no depende da amplitude A e fornecido pela expresso --- T = 2. T = 2 0,4/80 --- T = 2 .2,24 --- T = 4,48 s

m/k

33a) Escolhendo qualquer ponto por exemplo, quando E --- F = 0,75nN, x=-15nm. F =- k.x --- 0,75.10-9 = -(-15).10-9.k --k = 0,75/15--- k = 0,05N/m. b) T = 2 m/k --- T = 2 180.10-26/0,05 --- T = 12 10-12 s --- w =2 /T --- w = 2 /12 10-12 --- w = 1/6.1012rad/s Vmaima = w.A --- Vmxima = 1/6.1012.30.10-9 --- Vmxima = 5.103 m/s 34(01) Falsa --- 20 vezes --- 10s 20T = 10 --- T = 10/20 --- T = 1/2 s 1 vez --- T (02) Falsa --- f = 1/T --- f =1/1/2 --- f = 2 Hz (04) Verdadeira --- T = 2 L/g --- Observe que T diretamente proporcional raiz quadrada de L. (08) Falsa --- Observe na equao T = 2 L/g que o perodo T independe da massa m (16) Falsa --- Observe que o perodo T inversamente proporcional raiz quadrada de g e consequentemente diretamente proporcional freqncia, pois f = 1/T. (32) Verdadeira --- Observe na equao T = 2 L/g que o perodo T independe da amplitude A Soma (04 +32) = 36 35a) 20 vezes --- 30s 20T=30 --- T = 1,5s f=1/T --- f=1/1,5 --- f = 0,67Hz 1 vez --- T b) Observando-se que em t = 0, x = + A, temos o grfico senoidal a seguir.

36(01) Verdadeira --- T = 2 L/g --- T = 2 2,5/10 --- T = 2 .0,5 --- T = s (02) Falsa --- ponto mais alto h=1m --- Ep=mgh --- Ep=30.10.1 --- Ep=300J 04) Falsa --- A energia mecnica constante e vale 300J (vide 2). No ponto mais baixo --- Em = Ec + Ep --300= mV2/2 + mgh --- 300 = 30V2/2 + 30.10.0,5 --- V = 150/15 --- V = 10 m/s (08) Falsa. Num pndulo simples o perodo T de oscilao independe da massa m. (16) Falsa . O perodo independe da altura (amplitude A). Soma ( ) 01 + 04 = 05

37a) Como o comprimento do pndulo aumenta, pois ele se dilata devido elevao da temperatura e como raiz quadrada de L diretamente proporcional T, o perodo aumentar e o relgio atrasar. b) Sendo T inversamente proporcional a g e como g diminui (gLua gTerra), o perodo aumentar e o relgio atrasar 38O V, pois sendo T diretamente proporcional a L (L=comprimento do fio), para T cair pela metade (de 2s para 1s), L dever ser 4 vezes menor (100/4=25) 39a)

T = 2 67/10 --- T =2 67/ 10 --- T = 2 8/ --- T =16s b) Permaneceria o mesmo, pois o perodo do pndulo simples no depende da massa pendular. 40R: Comprimento L --- T=2s Comprimento L/4 --- T =2 L/4 / g --- T =2 L/g.1/2 --- T =T/2 --- T =2/2 --- T =1s Observe na figura abaixo que o perodo (tempo que demora para ir e voltar) entre A e B T/2=2/2=1s e que o perodo entre B e C T /2=1/2=0,5s

Assim, L demora 0,5s para ir de A at B; L/4 demora 0,25s para ir de B a C; L/4 demora 0,25s para ir de C a B e L demora 0,5s para ir de B a A. Portanto o perodo pedido 1 + 0,5 = 1,5s 41-: C 42Sendo f = 1/T --- T3 L3 L2 L1 R: D 43- E 44a) T=2 L/g --- 0,8= 2 L/g --- (0,8)2 = 4. 2.L/g --- 0,64=4g.L/g --- L=0,16m=16cm --- h=16 + 5 = 21 cm b) ) T=2 L/g --- 5= 2 L/g --- (5)2 = 4. 2.L/g --- 25=4g.L/g --- L=6,25m --- h=6,25 + 0,25 = 6,5m Sim, o relgio teria de ter mais que 6,5 m 456T1 = 4T2 L2/L1 = 6/4 --- ( L2/L1)2 = 36 / 16 --- L2 / L1 = 9 / 4

T2

T1 --- como o local o mesmo, g a mesma e como T diretamente proporcional a L --

---

6. 2

L1/g = 4. 2

L2/g ---

46T=2 10/10 --- T=2 s --86 batidas ---- 60s X batidas ----- 6s X 9 batidas

3 --- T 6s

47Perodo T da mola da figura 1 --- T = 2 m/k Como as molas esto associadas em paralelo, a constante elstica da mola equivalente, que, substituindo as duas produz o mesmo efeito ser ke = k + k --- ke =2k e seu perodo ser T = 2 m/2k --- T = 2 m/k.1/ 2. T/T = 2 --- T = T/ 2 --- racionalizando --- T = T 2/2 Resposta C

48a) Como as duas molas de constantes k2 esto em para, a mola equivalente ter constante ke1 =30 + 30 = 60N/m. Ento teremos:

As duas molas acima esto em srie, ento a mola equivalente ter constante ke, dada por: 1/ke = 1/60 + 1/30 --- ke = 20N/m, que a constante elstica total equivalente do conjunto. b) T = 2 m/k --- T = 2 20/9 /20 --- T = 2.3.1/3 --- T=2s --- f=1/T --- f=0,5Hz

49As 3 molas de constantes k2 esto em paralelo e sero substitudas por uma nica mola de constante ke1=3k2. As duas molas de constantes k1 tambm esto em paralelo e sero substitudas por um nica mola de constante ke2=2k1 Ento, teremos:

A mola resultante das duas acima, que esto em srie, ter ke, tal que: 1/ke = 1/3k2 + 1/2k1 --- 1/ke = 2k1 + 3k2 / 6k1. Ke = 6k1.k2 / 2k1 + 3k2 O perodo desse sistema vale --- T = 2 m/6k1.k2 / 2k1 + 3k2 --- T = 2 m(2k1 + 3k2)/6k1.k2 F = 1/T = 1/2 6k1.k2 / m(2k1 + 3k2) 50a) A mola inteira (mola equivalente) tem constante elstica k =10N/m sendo que 1/k = 1/k + 1/k +1/k, onde k a constante elstica de cada parte.

1/k =3/k --- 1/12 = 3/k --- k =36N/m b) Paralelo --- ke=36 + 36 +36 --- ke=108N/m --- T=2 m/ke --- T=2 0,1/108 --- T c) Srie --- ke=12N/m --- T=2 m/ke --- T=2 0,1/12 --- T 18.10-2. s

6..10-2. s

51a) Peso de cada massa --- P=mg --- P=0,01.10 --- P=0,1N. Como as molas so ideais, suas massas so desprezveis. Observe que a mola 1 est sujeita fora F=0,3N (so as 3 massas que esto deformando-a) F1=k1.x1 --- 0,3=0,1.x1 --- x1 = 3cm A mola 2 est sujeita F=0,2N (apenas duas massas esto deformando-a) F2=k2.x2 --- 0,2=0,1.x2 --- x2= 2cm Mola 3 --- F3=k3.x3 --- 0,1=0,1.x3 --- x3= 1cm b) mola 1 L1= 23cm mola 2 L2= 22cm mola 3 L3= 21cm c) 6 cm


Velocidade angular ou pulsao (w) mede no MCU o ngulo varrido na unidade de tempo e fornece o perodo ou a freqncia do MCU atravs das expresses w=2 /T ou w=2 f * Funo horria da elongao --- x * xmximo= + A * xmnimo= - A

= A.cos

ou

x = A.cos(

o

+ wt)

* Funo horria da velocidade --- v = -w.A.sen ou v= -w.A.sen( o + wt) * vmxima= +w.A * vmnima= - w.A 2 * Funo horria da acelerao --- a= -w .A.cos( o + wt) ou a=-w2. A.cos * amxima= + w2.A * amnima= - w2.A 2 * Velocidade v em funo da elongao ou posio x --- v=w. A x2 * acelerao a em funo da posio ou elongao x --- a= - w.x * Grficos

Elongao x em funo do tempo t

Velocidade v em funo do tempo t

acelerao a em funo do tempo t

Acelerao (a) em funo da elongao (x)

Plano horizontal Fel = - kx (lei de Hooke)(Fel) Fora elstica - (x) Deformao da mola (k) Constante elstica da mola

T

perodo

tempo que a massa m demora para efetuar um vai e vem completo m massa que executa o MHS k constante elstica da mola

Energia no MHS* A energia potencial a elstica --- Ep = k.x /2 Observe na equao acima que a energia potencial nula no ponto mdio 0 da trajetria onde x=o e mxima nos extremos onde x=+A e X=-A, onde x2 mximo e vale Ep=kA2/22 * A energia cintica vale Ec=m.v /2 Essa energia mxima no ponto mdio 0, onde o mdulo de v mximo e nula nos extremos onde v=0. 2 * A energia mecnica sempre constante no MHS e vale Em= kA /2 ou Em=Ec + Ep ou Em=kx2/2 + m.v2/2 * Nos extremos onde v=0 e o mdulo de x A, temos que --- Em=Ec + Ep --- Em= 0 + k.A2/2 --- Em=k.A2/2 = constante * No ponto mdio 0, onde o mdulo de v mximo e x=0, temos que --- Em=Ec + Ep --- Em=mv2/2 + 0 --Em=mv2max/2=const. 2

* Grficos

Se a massa estiver oscilando na vertical

Na primeira situao, sem a massa m, a mola est em sua situao natural. Na segunda situao, j com a massa m e em equilbrio e distendida de x, temos --- Fe = P --- k.x = m.g ---

x=m.g/k e

x=A. Observe que nesta situao, quanto maior for a constante elstica k, menor ser a amplitude A, desde que a massa mseja a mesma.. Na terceira situao, a massa m oscila em MHS de amplitude A, em torno de 0. Neste caso, a energia mecnica a soma das energias cintica, potencial elstica e potencial gravitacional

Seu perodo (T), que o tempo que ele demora para efetuar um vai e vem completo fornecido pela expresso:

onde g a acelerao da gravidade local. - Observe que: * a massa pendular m no influi no perodo T do movimento. Assim dois pndulos de mesmo comprimento L mas de massas diferentes M e m, apresentam o mesmo perodo T.

* O perodo de um pndulo simples independe da amplitude, ou seja, da altura em que m abandonada, assim, os pndulos da figura abaixo, tanto na situao 1 como na 2, demoram o mesmo tempo para ir de A at B, de B at C, de C at B e de B at A.

. * O perodo de um pndulo simples diretamente proporcional raiz quadrada de seu comprimento L. Assim, para dobrar o perodo T de um pndulo, seu comprimento L deve ser quadruplicado, etc.

* O perodo de um pndulo simples inversamente proporcional raiz quadrada da acelerao da gravidade g. Assim, quanto maior for a acelerao da gravidade do local onde est o pndulo, menor ser o seu perodo. Uma das aplicaes do pndulo simples a determinao da acelerao da gravidade.

- Associao

em paralelo

neste caso a deformao x sofrida por cada uma das molas a mesma.

Quando deformadas de x, a mola 1 fica sujeita a uma fora F1=k1.x e a mola 2 a uma fora F2=k2.x. A mola equivalente, quando submetida mesma fora F, sofre a mesma deformao x de modo que F=ke.x Observe que F = F1 + F2 --- ke.x = k1.x + k2.x. Assim:

- Associao x2.

em srie

neste caso as molas 1 e 2 esto sujeitas mesma fora F e sofrem deformaes diferentes x1 e

Como a fora F a mesma --- mola 1 F =k1.x1 --- mola 2 Mola equivalente --- F=ke.x --- x=F/ke x = x1 + x2 --- F/ke = F/k1 + F/k2 ---

F =k2.x2 Ento, x1=F/k1 e x2=F/k2.

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