1 “A exercitação, é simples, de tal modo que até a sua simplicidade torna fácil a compreensão de qualquer problema”.

(Mathusso:2015) E-mail: phlipwilker@gmail.com

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS SOBRE LOGARITMOS

Elaborado por: Mathusso Jucuiana1

Lembre-se antes da definição de logaritmo: xNb =log , com Nb x = . 1. Calcule o valor dos seguintes logaritmos:

a) b) c)

d) e) f)

g) h)

2. Calcule o valor da incógnita "N" em cada exercício, aplicando a equivalência fundamental: a) b) c)

d)

3. Calcule o valor da incógnita "a" em cada exercício, aplicando a equivalência fundamental:

a) b)

c) d)

4. Calcule o valor: a) b) c)

Continua => 1 Licenciado em ensino de Matemática pela Universidade Católica de Moçambique. Lecciona matemática desde 2010 (6ª à 10ª

Classe).

2

332

444)4(

4log64log3232

3

416 2

=⇔=⇔

=⇔=⇔

=⇔=

xx

xxxx

8

1

4

1

2

12

14

2

1)5(

5log5log

4

2

1

5625 4

=⇔×=⇔

=⇔=⇔

==

xx

x

x

x

61/661

5

1

5

1

10

2log

1000000

64log)000064,0(log

61

6

6

5

1

55

1

−=⇔−=−⇔=−⇔

=

⇔=⇔

==

−

−

xxx

x

x

x

( )

6

1

2

1

3

13

1277

7log7log

3

12

3

1

73

49 2

=⇔×=⇔

=⇔=⇔

==

xx

x

x

x

( ) ( )

( )

3557

75

122

2log128log

75

1

7

225

15

=⇔×=⇔

=⇔=

⇔

==

xx

x

x

x

( )( )

4

32

32

2

113

3log33log33log

2

2

11

32

1

99 2

=⇔

=⇔+=⇔

=×=+

x

xx

( )

4

3

8

622

2log64log

8

6

8 62

82

=⇔=⇔=⇔

==

xx

x

x

2222

1log

4

1log

100

25log25,0log

222

222

−=⇔=⇔=⇔

=⇔==

− xx

xx

x

N

NN

=⇔=⇔=

125

53log 35 N

NN

=⇔=⇔=

256

28log 82

N

NN

=⇔

=

⇔−=

512

1

2

19log

9

2

( ) NNN =⇔=⇔= 332log2

3

33481log 44 =⇔=⇔= aaa

( )5413log1

81log3log813log4

3

333

=+=+=

+=×

3692log2log

64log512log64

512log

62

92

222

=−=−=

−=

( )

116321

2log2log2log1

64log8log4log2log

64842log

62

32

22

2222

2

=+++=+++=

+++=×××

( )

33

33

333333333939

2

127log

2

1

2

1

2232

1

9

=⇔=⇔

=⇔=⇔=×⇔×=⇔=⇔=

aa

aaaaaa

( )22

221024201024log2

10102102020

=⇔=⇔

=⇔=⇔=⇔=

aa

aaaa

1010210log 2 =⇔=⇔= aaa

2 “A exercitação, é simples, de tal modo que até a sua simplicidade torna fácil a compreensão de qualquer problema”.

(Mathusso:2015) E-mail: phlipwilker@gmail.com

Continuação

d) e) f)

5. Calcule o valor das expressões: a) b)

c)

d)

e) f)

6. Determinar o valor de x para o qual:

a) b) c) d)

Continua =>

415132

17log7log

7log343log49log

7

34349log

37

27

777

7

=−=−+=−+=

−+=

×

2

3

2

582

5432log16log

2

52log32log

42log16log

32log16log

42

5

24

422

42

2

=−=

−=−∴

==

==

=−

( )

( )

1

3

1

3

13log125loglog

35log125log

125loglog

1

3

15

3

1

355

5

3

1

−=⇔

=

⇔=

==

=

−

x

x

( ) ( )

101033

10331024log64

27log8log

102log1024log

33

4log

4

3log

64

27log

32

1log2log8log

1024log64

27log8log

2

3

4

2

1

1022

3

3

43

3

3

4

3

4

3

2

13

2

1

2

1

2

3

4

2

1

−=−+−=

−−−−=−−∴

==

−=

==

−=

==

=−−

−

−

6

17

6

8918

3

4

2

3316log33log001,0log

3

42log16log

2

33log3log

27log27log33log33log

310log10

1log

1000

1log001,0log

16log33log001,0log

)2()3()6(

8310

4

28

2

3

32

13

3

2

1

332

33

3103101010

8310

3

−=−+−=

−+

−=−+∴

==→

===

==×=→

−====→

=−+

×

−

3

4

5log

5log

3log

4log555

555

35

45

5

53log

4log

3log

14log

3log

5log4log

3log44log3log

4

5

55

5

55

4554

==

====

==×

××× lo

( )

7

5

3log

3log

7log

5log333

333

73

53

13

37log

5log

7log

15log

7log

3log5log

7log5log5log7log

13

31

33

13

33

5335

−=

====

==

−−

×

×−××−

−−

−

10

522log22log

25log222

25

2

25log5log2 2

22

=×=⇔=⇔

=⇔=

( )9

4

18

8

18

42

4

182

4

36

2

2

1

2

36

20

2log6

10log0

2log2log

100

1log0

8log64

1log

01,0log1log

2

3

2

210

3

2

62

10

42

103

22

−=−=−

×−=−−=

×−

−=

××−

−+=

×−

+=

×

+=

×

+ −

−

2

2

221287128log 777 =⇔=⇔=⇔= xxxx 322828log 32 =⇔=⇔=⇔= xx xx

( ) xxx =⇔=⇔= 6443log 34 ( ) 1

2

1

2

12

2

12log

1

2

1 −=⇔

=

⇔=

⇔=−

xxxx

3 “A exercitação, é simples, de tal modo que até a sua simplicidade torna fácil a compreensão de qualquer problema”.

(Mathusso:2015) E-mail: phlipwilker@gmail.com

Continuação e) f)

7. Seja x um número real positivo. Qual é o valor da base b para que o logaritmo de x na base b: a) Seja igual a 0. Solução: O valor de x deve ser 1. b) Seja igual a 1. Solução: O valor de x deve ser igual a

valor de b. c) Seja igual a -1. Solução: O valor de x deve ser inverso de b. II PARTE

1. Calcule: a) b) c) d)

2. Calcule o valor de x:

a) b)

c) d)

e)

3. Calcule:

a) b) c) d) e)

4. Dados log a = 5, log b = 3 e log c = 2, calcule

c

ba 2.log .

Solução: 12214295235loglogloglog 222

=−=−+=−+=−+=

×cba

c

ba

5. Sendo logx 2 = a , logx 3 = b calcule 3 12log x .

Solução: ( ) 3log3

12log

3

23log2log32log12log 3

1

3

2

3

123

xxxxxx +=+=×=

6. Sendo loga 2 = 20 , loga 5 = 30 calcule 100log a

Solução: ( ) 5log22log25log2log52log100log 2222aaaaaa +=+=×=

Continua =>

1222

12

2

1log 1

2 −=⇔=⇔=⇔= − xx xx

1

4

3

4

3

3

4

4

3

3

4log

1

4

3

−=⇔

=

⇔=

⇔=

−

x

xxx

33log27log 333 ==

35

1log5log125log

3

5

13

5

1

5

1 =

==

4

52

1

2

52

2

5

2

52

222log

2log32log

2

522

5

2

5

24

2

2

=⇔

×=⇔÷=⇔=⇔

=⇔=⇔

==

x

xxx

x

x

x

3

3

2log

3

2log

27

8log

3

3

23

3

3

2

3

2 =

==

2238log 33 =⇔=⇔= xxx 4

1

4

1

16

12

16

1log

222 =⇔

=⇔=⇔= xxxx

3225log 52 =⇔=⇔= xxx 2

332333log27log 323

39 2 =⇔=⇔=⇔=⇔= xxxx x

52

1

2

12

2

132log

55

2

1 −=⇔

=

⇔=

⇔=−

xxxx

32log 32 −=−

2

17log7log 2

1

77 == 75 7log5 =

2137

222 3log7log3log7log 2222

=×=×=+

40104522222 25log225log22 22 =×=××=×=+

4 “A exercitação, é simples, de tal modo que até a sua simplicidade torna fácil a compreensão de qualquer problema”.

(Mathusso:2015) E-mail: phlipwilker@gmail.com

Continuação

7. Resolva as seguintes equações:

( ) ( )

{ }3

32

662610221022102log2102log 2

24 2

=

=⇔−=⇔−=⇔+−=⇔=+⇔=+⇔=+

S

xxxxxxx

( )( ) 21loglog 32 =−x

( ) ( ) ( )

60

17717127log2

22222221

==

−=−⇔+=+⇔+=+⇔=++

x

xxxxxxxx

( ) ( ) ( )

{ }3

33993363633

6log33log6log13log6log1log3log 2222222

==⇔÷=⇔=⇔+=⇔=−⇔

=−⇔=−⇔=−+

S

xxxxx

xxx

( ) ( ) ( )

−=

−=⇔−=⇔−=⇔

=+⇔=+⇔=+⇔=++

2

12

112212

122122log112log11log2log 3333

S

xxx

xxxx

f) 0222logloglog2loglog2 222 =−⇔=⇔=⇔+= xxxxxxxx

( ) ( ) ( )

0323274424472

147221

72log21log72log

2222

222

222

2

=−−⇔=−⇔+−=−+⇔−=−+⇔

−=−+⇔=

−−+⇔=−−−+

xxxxxxxxxx

xxxx

xxxxx

NB: Para as equações que são preciso recorrer a fórmula de Báskhara para achar a sua solução, apenas levamos o x com o qual é possível tornar verdadeira a equação logaritmica. Daí termos apenas uma solução ao invés das duas soluções obtidas. Isto não descarta a ideia de termos duas soluções numa equação como o caso do número que segue.

Continua =>

( ) ( ){ }10

1019913121log 23

==⇔+=⇔=−⇔=−⇔=−

S

xxxxx

d)

e)

( )

{ }2

022

0

2

4

2

22

2

222

22

2

42

12

01422

2

4

212121

22

=

=∧=⇔=∧=⇔−=∧+=

⇔±=⇔±=⇔×

××−−±=⇔−±−=

S

xxxxxx

xxxa

acbbx

( )

{ }3

132

2

2

6

2

42

2

422

42

2

162

12

31422

2

4

212121

22

=

−=∧=⇔−=∧=⇔−=∧+=⇔

±=⇔±=⇔×

−××−−±=⇔−±−=

S

xxxxxx

xxxa

acbbx

a)

b)

c)

g)

⇒ Indeterminado

5 “A exercitação, é simples, de tal modo que até a sua simplicidade torna fácil a compreensão de qualquer problema”.

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Continuação 8. Determine a solução da equação: ( ) ( ) ( )72log13log2log 222 −+=−+− xxx

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )[ ] ( )[ ]

0209

0146451446572232

72log2log32log72log13log2log

2

22

222222

=+−⇔

=++−−⇔−=+−⇔−=−−⇔

−+=−−⇔−+=−+−

xx

xxxxxxxxx

xxxxxx

{ }4;5

42

85

2

10

2

19

2

191

19

2

19

12

201499

2

4

2121

22

=

==∧==⇔−=∧+=⇔

±=⇔±==×

××−±=⇔−±−=

S

xxxx

xxxa

acbbx