Internet: www.xkmat.pt.to

Escola Bsica e Secundria Dr. ngelo Augusto da Silva Teste de MATEMTICA A 12. Ano

1. PARTE Para cada uma das seguintes questes de escolha mltipla, selecione a resposta correta de entre as alternativas que lhe so apresentadas e escreva-a na sua folha de prova. Se apresentar mais do que uma resposta a questo ser anulada, o mesmo acontecendo em caso de resposta ambgua.

1. Considere um octaedro com as faces numeradas de 1 a 8. Pretende-se colorir

as suas faces dispondo-se para o efeito de oito cores distintas.

De quantas maneiras diferentes o podemos colorir, supondo que trs das faces

tm de ter a mesma cor e as restantes cores diferentes?

(A) 8 73 58 C A (B)

8 7

3 5C A (C) 8

3 5!C (D) 8 7

3 5A C

2. Na figura encontra-se representada parte do grfico da funo f, definida por, ( ) cosf x x e o

tringulo [ ]ABC . Sabe-se que os pontos A, B e C pertencem ao grfico de f. Os pontos A e B tm

ordenada 1

2e o ponto C tem abcissa .

x

y

O

2

3

1

2

fA B

C

A rea do tringulo [ ]ABC :

(A) 2

(B) (C)

3

2 (D) 2

3. Seja 3

z cis

um nmero complexo.

Indique qual dos seguintes valores o argumento de: 1 z .

(A) 6

(B)

5

6

(C)

2

3

(D)

5

3

Durao: 90 minutos Junho/ 2014

Nome ________________________ N. ___ T: __

Classificao

____________

O Prof.__________________ (Lus Abreu)

Internet: www.xkmat.pt.to

4. Na figura est parte da representao grfica de uma funo g, de domnio , definida por:

( ) g x sen x .

A um ponto do grfico de g, que tem ordenada zero.

A reta r tangente ao grfico de g no ponto A.

Qual das seguintes pode ser uma equao da reta r?

(A) y x (B) 2y x (C) 22

y x

(D) 2

y x

5. Seja f uma funo cuja derivada no ponto de abcissa 2 igual a 1.

Indique o valor de:

3 22

( ) (2)

6limx

f x f

x x x

.

(A) 1

10 (B)

3

2 (C)

3

5 (D)

3

10

2. PARTE

Apresente o seu raciocnio de forma clara, indicando os clculos efetuados e as justificaes necessrias. Quando no indicada a aproximao que se pede para um resultado, pretende-se o valor exato.

1. Considere os nmeros complexos 1 1z i e 2

5z cis

.

1.1. Determine 207 5

1 24( )

2

z i z

i

e apresente o resultado na forma algbrica.

1.2. Efetue as operaes seguintes e apresente o resultado de 21 2z z na forma trigonomtrica.

1.3. Determine o menor valor de n natural para o qual 2

1

nz

um nmero real negativo.

2. Em , conjunto dos nmeros complexos, considere 1 (0)w cis e 2

7w cis

.

2.1. O complexo 1w raiz do polinmio

3 2 49 49w w w . Determine, em , as restantes razes

do polinmio. Apresente as razes obtidas na forma trigonomtrica.

2.2. Mostre que: 2

1 2 2 2cos7

w w

Internet: www.xkmat.pt.to

3. Resolva, em , a equao: 3

3z

iz .

4. Na figura junta est representado um quarto de crculo, com centro em B e raio 2.

Considere que um ponto C se desloca sobre o segmento de recta [BD].

Para cada posio do ponto C, seja x a amplitude, em radianos,

do ngulo BAC 0,4

x

.

4.1. Mostre quer a rea da regio sombreada dada, em funo

de x, por:

( ) 2 2A x tgx

4.2. Determine 4

A

e interprete o resultado obtido no contexto

do problema.

4.3. Justifique, analiticamente, que a funo A tem extremos em 0,4

5. De uma funo g, de domnio , , sabe-se que a sua derivada est definida igualmente no

intervalo , e dada por:

'( ) 2cosg x x x

5.1. Estude a funo g quanto s concavidades do seu grfico e determine as abcissas dos pontos

de inflexo.

5.2. Considere a funo h, definida no intervalo , por ( )

( )1 cos

g xh x

x

.

Determine as equaes das assntotas do grfico da funo h.

Fim

Cotaes:

1. Parte

Questes10 pontos cada

questo. Total :1.1. 1.2. 1.3. 2.1. 2.2. 3. 4.1. 4.2. 4.3. 5.1. 5.2. Total

Pontos 50 10 15 15 10 15 15 15 10 15 15 15 200

2. Parte

Internet: www.xkmat.pt.to

Formulrio

Comprimento de um arco de circunferncia

. (r amplitude, em radianos, do ngulo ao

centro; r raio)

reas de figuras planas

Losango:

2

Diagonal maior Diagonal menor

Trapzio:

2

Base maior Base menorAltura

Polgono regular: SemipermetroAptema

Sector circular:

2

2

r ( amplitude, em radianos,

do ngulo ao centro; r raio) reas de superfcies

rea lateral de um cone: rg (r raio da base; g geratriz)

rea de uma superfcie esfrica: 24 r

(r raio)

Volumes

Pirmide:1

3rea da baseAltura

Cone: 1

3rea da baseAltura

Esfera: 34

3r (r raio)

Trigonometria

sen (a + b) = sen a .cos b + sen b. cos a

cos (a + b) = cos a .cos b sen a. sen b

tg (a + b) = 1 .

tga tgb

tga tgb

Complexos

( ) ( . )n ncis cis n

2

, k 0,...,n-1n nk

cis cisn

Probabilidades

1 1 ... n nx p x p

2 2

1 1( ) ... ( )n nx p x p

Se X N(,) , ento:

( ) 0,6827P X

( 2 2 ) 0,9545P X

( 3 3 ) 0,9973P X

Regras de Derivao

'u v u v

uv u v uv

2

u u v uv

v v

1( ) (n )n nu nu u

cos sen u u u

cos u u sen u

2

cos

utg u

u

u ue u e

( ) lnu ua u a a ( \{1})a

ln u

uu

(log )ln

a

uu

u a

( \{1})a

Limites notveis

1lim 1

n

en

0

lim 1

xx

sen x

0

1lim 1

x

x

e

x

0

ln( 1)lim 1x

x

x

lnlim 0

x

x

x

lim (p )

x

px

e

x

Internet: www.xkmat.pt.to

Solues:

1. Parte

1. (A) 2. (B) 3. (B) 4. (A) 5. (A)

2. Parte

1.1. 12 1

5 5i 1.2.

32

10cis

1.3. 2n

2.1. 72

cis

e 3

72

cis

3. 11 23 35

2 , 2 , 2 , 224 24 24 24

z cis cis cis cis

4.2. 4

A

A regio sombreada coincide com o quarto de crculo.

4.3. ( ) 0A x Min: 2 Mx:

5. 1.

x 6

5

6

g + 0 0 +

g

5.2. x e x

No tem assntotas no verticais porque o domnio limitado.