69

5. MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 1 5.1. Introdução: Consideremos os seguintes enunciados: • Quais são as dimensões de uma caixa retangular sem tampa com volume v e com a menor área de

superfície possível?

• A temperatura T em qualquer ponto ),( yx do plano é dada por ),( yxTT = . Como vamos determinar a temperatura máxima num disco fechado de raio r centrado na origem? E a temperatura mínima?

Para resolver essas e outras questões, vamos pesquisar máximos e/ou mínimos de funções de duas ou mais variáveis. O máximo ou mínimo de uma função de duas variáveis pode ocorrer na fronteira de uma região ou no seu interior. Inicialmente, vamos analisar exemplos em que os máximos e mínimos encontram-se no interior de uma região. Posteriormente, mostraremos as técnicas para determinar máximos e mínimos na fronteira de um conjunto e também sobre uma curva. Diversos exemplos são dados para ilustrar a aplicação de conceitos e proposições para a resolução de problemas práticos. Alguns exemplos serão dados para visualizarmos o caso de funções com mais de duas variáveis. 5.2. Definições:

Definição 1: Seja ),( yxfz = uma função de duas variáveis. Dizemos que )(),( 00 fDyx ∈ é ponto de

máximo absoluto ou global de f se: ),(),()(),( 00 yxfyxffDyx ≤⇒∈∀ . Neste caso, dizemos que

),( 00 yxf é o valor máximo de f .

Exemplo: 1) A figura a seguir, gerada a partir do software MAPLE, através das linhas de comando também

apresentadas, mostra o gráfico da função 224),( yxyxf −−= . O ponto )0 ,0( é um ponto de máximo absoluto ou global de f , pois,

)0 ,0(4)(),( 22 fyxfDyx ≤−−⇒∈∀ ou

222 ),( ,44 ℜ∈∀≤−− yxyx

O valor máximo de 224),( yxyxf −−= é 4)0 ,0( =f .

1 O presente material faz parte da Apostila de Cálculo II, elaborada pelo prof. José Donizetti de Lima. Alguns tópicos da versão original foram suprimidos.

70

Linhas de comando: MAPLE => plot3d(4-x^2-y^2,x=-2..2,y=-2..2);

Definição 2: Dizemos que a função ),( yxfz = admite um máximo local no ponto ),( 00 yx , se existe

um disco aberto R contendo ),( 00 yx tal que ),(),( 00 yxfyxf ≤ , para todos os pontos ),( yx em R ,

conforme ilustra a figura a seguir.

Definição 3: Seja ),( yxfz = uma função de duas variáveis. Dizemos que )(),( 00 fDyx ∈ é ponto de

mínimo absoluto ou global de f se: ),(),()(),( 00 yxfyxffDyx ≥⇒∈∀ . Neste caso, dizemos que

),( 00 yxf é o valor mínimo de f .

Exemplo: 1) A figura a seguir, gerada a partir do software MAPLE, através das linhas de comando também apresentadas, mostra o gráfico da função 221),( yxyxf ++= . O ponto )0 ,0( é um ponto de mínimo absoluto ou global de f , pois,

)0 ,0(1)(),( 22 fyxfDyx ≥++⇒∈∀ ou

222 ),( ,11 ℜ∈∀≥++ yxyx

O valor mínimo de 221),( yxyxf ++= é 1)0 ,0( =f .

Linhas de comando: MAPLE => plot3d(1+x^2+y^2,x=-2..2,y=-2..2);

Definição 4: Dizemos que a função ),( yxfz = admite um mínimo local no ponto ),( 00 yx , se existe

um disco aberto R contendo ),( 00 yx tal que ),(),( 00 yxfyxf ≥ , para todos os pontos ),( yx em R ,

conforme ilustra a figura a seguir.

71

Nota: Ao máximo local e ao mínimo local de uma função chamam-se extremos dessa função, ou em outras palavras, dizemos que uma função admite um extremo num dado ponto, se ela tem nesse ponto um máximo ou um mínimo. Exemplos: 1) Mostre que a função 1)2()1(),( 22 −−+−= yxyxf admite um mínimo local no ponto )2 ,1(P . Solução: Sabemos que:

0)1( 2 ≥−x e 0)2( 2 ≥−y Assim,

0)2()1( 22 ≥−+− yx1) - somando(

⇒ 11)2()1( 22 −≥−−+− yx ⇒ )2 ,1(1),( fyxf =−≥

)2 ,1( ∴ é um ponto de mínimo.

2) Mostre que a função )( sen2

1),( 22 yxyxf +−= admite um máximo local na origem.

Solução:

De fato, para a origem, 0=x e 0=y , temos: 2

1)0 ,0( =f .

Por outro lado, fazendo: 62

1sen )( sen

2

1 222222 π=+⇒

=+⇒+= yxarcyxyx

Escolhendo no interior (vizinhança do ponto analisado) do círculo de raio 6

π=r e centro

)0 ,0(6

22 π=+ yx , um ponto ) ,( yx , então, 6

0 22 π≤+≤ yx e deste modo 0)( sen 22 ≥+ yx (pois o

ângulo analisado é agudo).

)0 ,0(2

1)( sen

2

1),( 22 fyxyxf =≤+−=

)0 ,0( ∴ é um ponto de máximo. Teorema 1: (Condições necessárias para existência de um extremo)

Se a função ),( yxfz = admite um extremo para os valores 0xx = e 0yy = , então cada derivada

parcial de primeira ordem de z anula-se para esses valores das variáveis independentes ou não existem.

72

Assim, nos pontos extremos, temos:

0 e 0 =∂∂=

∂∂

y

z

x

z

Geometricamente, esse teorema nos diz que se ),( 00 yx é um ponto extremo de ),( yxfz = então o

plano tangente à superfície dada, no ponto analisado é paralelo ao plano xOy (plano horizontal).

Nota: Este teorema fornece uma condição necessária, mas não uma condição suficiente. Em outras palavras, se o ponto for um ponto extremo as derivadas se anulam, porém quando as derivadas se anulam não podemos garantir que este ponto seja um ponto extremo. Ou ainda, não vale a volta. Exemplos:

1) Dada a função 22),( yxyxf += , temos: 22 yx

x

x

f

+=

∂∂

e 22 yx

y

y

f

+=

∂∂

e estas derivadas

parciais não são definidas para 0=x e 0=y (não sendo diferenciável nesse ponto). O gráfico da

função 22),( yxyxf += , apresenta um ponto anguloso na sua origem, )0 ,0 ,0(P , não admitindo

plano tangente neste ponto.

Observe que essa função admite um ponto de mínimo em

0=x e 0=y A parte final do Teorema 1 garante que, se não existir as derivadas parciais, no ponto analisado, nesse caso também, esse ponto será um ponto extremo. plot3d(sqrt(x^2+y^2),x=-2..2,y=-2..2);

Nota: Esse teorema não fornece uma condição suficiente para a existência de um extremo, ou seja, se as derivadas parciais de 1a ordem de uma função ),( yxfz = anulam-se no ponto ),( 00 yx não

implica que esse ponto é um extremo dessa função.

2) Dada a função 22),( yxyxf −= , temos: xx

f2=

∂∂

e yy

f2=

∂∂

e estas derivadas anulam-se para

0=x e 0=y . Mas esta função não tem nem máximo nem mínimo para estes valores. Com efeito, ela anula-se na origem, mas toma, na vizinhança deste ponto, tanto valores positivos como valores negativos, portanto o valor zero não é um extremo, como mostra as figuras a seguir. Tal ponto é conhecido como ponto de sela.

Figura gerada pelo software MAPLE

O plano tangente é horizontal

73

Construção de uma função no software MAPLE

plot3d(x^2-y^2,x=-2..2,y=-2..2);

74

5.3. Ponto crítico de uma função de duas variáveis Seja função ),( yxfz = definida num conjunto aberto. Um ponto ),( 00 yx desse conjunto é um ponto

crítico de f se as derivadas parciais ),( 00 yxx

f

∂

∂ e ),( 00 yx

y

f

∂∂

são iguais a zero ou se f não é

diferenciável em ),( 00 yx . Geometricamente, podemos pensar nos pontos críticos de uma função ),( yxfz = como os pontos em que seu gráfico não tem plano tangente ou o plano tangente é horizontal. Nota: Os extremantes (pontos extremos, ou seja, ponto de máximo ou de mínimo) de ),( yxfz = estão entre os seus pontos críticos. No entanto, um ponto crítico nem sempre é um ponto extremante. Um ponto crítico que não é um ponto extremante é chamado um ponto de sela. Exemplo:

1) Verifique que o ponto )0 ,0( é ponto crítico da função

=

≠+=

)0 ,0() ,( 0,

)0 ,0() ,( ,2

) ,( 22

3

yx

yxyx

y

yxf .

Solução: O ponto )0 ,0( é ponto crítico da função dada, pois ),( yxf não é diferenciável (as derivadas de 1a ordem não são contínuas no ponto analisado). A figura a seguir mostra que essa função não admite plano tangente na origem.

Linhas de comando no software MAPLE

plot3d((2*y^3)/(x^2+y^2),x=-2..2,y=-2..2);

5.4. Condição necessária para a existência de pontos extremantes (= teorema 1)

Seja função ),( yxfz = uma função diferenciável num conjunto aberto. Se um ponto ),( 00 yx desse

conjunto é um ponto extremante local (ponto de máximo ou de mínimo local), então,

0),( e 0),( 0000 =∂∂=

∂∂

yxy

fyx

x

f

isto é, ),( 00 yx é um ponto crítico de .f

75

Exemplos: 1) Determine os pontos críticos da função xxxyyxf 33),( 32 −+= . Solução: 1o Passo) Determinação das derivadas parciais:

xyy

fxy

x

f6 e 3-33 22 =

∂∂+=

∂∂

2o Passo) Resolução do sistema:

==−+

⇒

=∂∂

=∂∂

06

0333

0

0 22

xy

xy

y

fx

f

(1)

Da equação 06 =xy concluímos que 0=x ou 0=y . Fazendo 0=x , na primeira equação de (1), vem

1 1033 22 ±=⇒=⇒=− yyy

Assim, temos os pontos )1 ,0( e )1 ,0( − Por outro lado, fazendo 0=y , na primeira equação de (1), vem

1 1033 22 ±=⇒=⇒=− xxx

Logo os pontos críticos são: )0,1( e )0 ,1(− . Portanto, a função dada tem quatro pontos críticos: )1 ,0( ),1 ,0( − , )0 ,1( e )0 ,1( − .

2) Determine os pontos críticos da função 22

.),( yxexyxf −−= Solução: 1o Passo) Determinação das derivadas parciais:

222222

.2.2 2 yxyxyx exyy

f e exe

x

f −−−−−− −=∂∂−=

∂∂

2o Passo) Resolução do sistema:

{ {

=⇒=−⇒=−

±=⇒=⇒=⇒=⇒

=∂∂

=∂∂

≠

−−

≠≠

−−

−−−−

00...2 0.2

2

2

2

12 1.2

0

0

000

222

2222

2222

yeyxexy

xxxexe

x

fx

f

yxyx

yxyx

321

Logo os pontos críticos são:

− 0,

2

2 e 0,

2

2.

76

5.5. Condição suficiente para um ponto crítico ser extremante local Teorema: Seja ),( yxfz = função cujas derivadas parciais de 1a e 2a ordem são contínuas num

conjunto aberto que contém ),( 00 yx e suponhamos que ),( 00 yx seja um ponto crítico de f . Seja

),( yxH o determinante:

),(),(

),(),(),(

2

22

2

2

2

yxy

fyx

yx

f

yxxy

fyx

x

f

yxH

∂∂

∂∂∂

∂∂∂

∂∂

=

Temos:

• Se 0),( 00 >yxH e 0),( 002

2

>∂∂

yxx

f, então ),( 00 yx é um ponto de mínimo local de f .

• Se 0),( 00 >yxH e 0),( 002

2

<∂∂

yxx

f, então ),( 00 yx é um ponto de máximo local de f .

• Se 0),( 00 <yxH , então ),( 00 yx não é extremante local. Nesse caso, ),( 00 yx é um ponto de sela.

• Se 0),( 00 =yxH , nada se pode afirmar (pode ser um ponto de máximo, mínimo ou sela).

Notas:

• A matriz

∂∂

∂∂∂

∂∂∂

∂∂

=),(),(

),(),(),(

2

22

2

2

2

yxy

fyx

yx

f

yxxy

fyx

x

f

yxH aparece em diversas situações num curso de

Cálculo e é conhecida como matriz hessiana. O seu determinante, ),( yxH , é chamado determinante hessiano da função ),( yxfz = , ou hessiano da função.

• A demonstração desse teorema é bastante complexa. A idéia fundamental é usar as derivadas

parciais de 2a ordem da função ),( yxf para determinar o tipo de parabolóide que melhor se

aproxima do gráfico da função próximo de um ponto crítico ),( 00 yx . O parabolóide que melhor se

aproxima do gráfico de ),( yxf , próximo ao ponto crítico ),( 00 yx , é o gráfico da função

polinomial: GFyDxCyBxyAxyxP +++++= 22

2

1

2

1),( .

77

Exemplos: 1) Classificar os pontos críticos da função xxxyyxf 33),( 32 −+= . Solução: Em exemplo anterior, mostramos que os pontos críticos são: )1 ,0( ),1 ,0( − , )0 ,1( e )0 ,1( − .

O determinante hessiano é dado por: 22

2

22

2

2

2

363666

66

),(),(

),(),(),( yx

xy

yx

yxy

fyx

yx

f

yxxy

fyx

x

f

yxH −==

∂∂

∂∂∂

∂∂∂

∂∂

= .

Temos:

• Análise do ponto (0, 1). Nesse caso,

3606

60)1 ,0( −==H

Assim, como 0)1 ,0( <H , (0, 1) é ponto de sela.

• Análise do ponto (0, -1). Nesse caso,

3606

60)1- ,0( −=

−−

=H

Assim, como 0)1- ,0( <H , (0, -1) é ponto de sela.

• Análise do ponto (1, 0). Nesse caso,

3660

06)0 ,1( ==H

Logo, como 0)0 ,1( >H , devemos analisar o sinal de )0 ,1(2

2

x

f

∂∂

.

Temos 6)0 ,1(2

2

=∂∂

x

f.

Assim, como 0)0 ,1( >H e 0)0 ,1(2

2

>∂∂

x

f, (1, 0) é ponto de mínimo local de f .

• Análise do ponto (-1, 0). Nesse caso,

3660

06)0 ,1( =

−−

=−H

Logo, como 0)0 ,1( >−H , devemos analisar o sinal de )0 ,1(2

2

−∂∂

x

f.

Temos 6)0 ,1(2

2

−=−∂∂

x

f.

Assim, como 0)0 ,1( >−H e 0)0 ,1(2

2

<−∂∂

x

f, (-1, 0) é ponto de máximo local de f .

Portanto, os pontos críticos de xxxyyxf 33),( 32 −+= são classificados como:

• (0, 1) e (0, -1) são pontos de sela. • (1, 0) é ponto de mínimo local. • (-1, 0) é ponto de máximo local.

78

2) Mostrar que 533

),( 22 +++++=yx

yxyxyxf tem mínimo local em (1, 1).

Solução: Vamos, inicialmente, verificar se (1, 1) é ponto crítico. Temos

2

32

xyx

x

f −+=∂∂

e 2

32

yyx

y

f −+=∂∂

Como 0)1 ,1( =∂∂x

f e 0)1 ,1( =

∂∂y

f, concluímos que (1, 1) é ponto crítico de f .

Vamos agora determinar o hessiano,

16

2.6

2621

16

2),(

33

3

3

−

+

+=+

+=

yxy

xyxH

Assim, 063)1 ,1( >=H

Temos também que

08)1 ,1(2

2

>=∂∂

x

f

Portanto, como 0)1 ,1( >H e 0)1 ,1(2

2

>∂∂

x

f, (1, 1) é um ponto de mínimo local da função dada.

3) Determinar e classificar os pontos críticos da função 22

.),( yxexyxf −−= Solução:

Determinação das derivadas parciais: 222222

.2.2 2 yxyxyx exyy

f e exe

x

f −−−−−− −=∂∂−=

∂∂

Resolução do sistema:

{ {

=⇒=−⇒=−

±=⇒=⇒=⇒=⇒

=∂∂

=∂∂

≠

−−

≠≠

−−

−−−−

00...2 0.2

22

21

2 1.2

0

0

000

222

2222

2222

yeyxexy

xxxexe

x

fx

f

yxyx

yxyx

321

Logo os pontos críticos são:

− 0,

2

2 e 0,

2

2.

Determinação das deriadas parcias de 2a ordem:

)46(442 332

222222222

xxeexexexx

f yxyxyxyx +−⋅=⋅+⋅−⋅−=∂∂ −−−−−−−−

)42(42 222

222222

yxyeexeyxy

f yxyxyx +−⋅=⋅+⋅−=∂∂

∂ −−−−−−

)42(42 222

222222

yxyeeyxeyyx

f yxyxyx +−⋅=⋅+⋅−=∂∂

∂ −−−−−−

)42(42 222

2222222

xyxeexyexy

f yxyxyx +−⋅=⋅+⋅−=∂∂ −−−−−−

79

O determinante hessiano é dado por: ),(),(

),(),(),(

2

22

2

2

2

yxy

fyx

yx

f

yxxy

fyx

x

f

yxH

∂∂

∂∂∂

∂∂∂

∂∂

= .

Para

− 0,

2

2e0,

2

2, temos:

ee

ee11

2

1

02

102

2 22

===−−−

±−

• Análise do ponto 0,2

2

−

Nesse caso,

( )e

e

e

e

e

ee

eeH4

20

022

21

0

0221

21

01

01

2231

0,2

2 =⋅

=⋅

⋅=

⋅⋅

⋅−⋅=

−

022

0,2

22

2

>=

−

∂∂

ex

f

Desta forma, como 00,2

2 >

−H e 00,

2

22

2

>

−

∂∂

x

f,

− 0,

2

2 é um ponto de mínimo local.

• Análise do ponto

0,

2

2

Nesse caso,

( )( )

( )( ) e

e

e

e

e

ee

eeH4

20

022

21

0

0221

211

0

10223

1

0,2

2 =−

−==

−⋅

−⋅=

−⋅⋅

⋅+−⋅=

022

0,2

22

2

<−=

∂∂

ex

f

Dessa forma, como 00,2

2 >

H e 00,

2

22

2

<

∂∂

x

f,

0,

2

2 é um ponto de máximo local.

Portanto, ponto de máximo:

0,

2

2 e Ponto de mínimo: 0,

2

2

−

4) Determinar e classificar os pontos críticos da função yxyxyxf 6622),( 33 −−+= . Resposta: Pontos de sela =>(1, -1) e (-1, 1); Ponto de máximo=>(-1, -1); Ponto de mínimo=>(1,1)

5) Determinar e classificar os pontos críticos da função 22122 ).2(),( yxeyxyxf −−+=

Resposta: Pontos críticos => (0, 0) ; (0, 1); (0, -1); (1, 0); (-1, 0) Pontos de sela => (0, 1) e (0, -1); Ponto de máximo => (1, 0); Ponto de mínimo => (1, 0)

80

Visualização gráfica, usando o software MAPLE: 1) xxxyyxf 33),( 32 −+= => plot3d(3*x*y^2+x^3-3*x,x=-2..2, y=-2..2);

2) 533

),( 22 +++++=yx

yxyxyxf =>

plot3d(x^2+x*y+y^2+3/x+3/y+5,x=-2..2,y=-2..2);

3)

22

.),( yxexyxf −−= => plot3d(x*exp(-x^2-y^2),x=-2..2,y=-2..2);

81

4) yxyxyxf 6622),( 33 −−+= => plot3d(2*x^3+2*y^3-6*x-6*y,x=-2..2,y=-2..2);

5)

22122 ).2(),( yxeyxyxf −−+= => plot3d((2*x^2+y^2)*exp(1-x^2-y^2),x=-3..3,y=-3..3);

6) Seja 44 23),( yxyxf += . O único ponto crítico de f é )0,0( e temos 0)0,0( = H ; logo, o teorema

não nos fornece informação sobre este ponto crítico. Entretanto, trabalhando diretamente com a função verifica-se, sem dificuldade, que )0,0( é ponto de mínimo global.

Teorema: Se leydxcxybyaxyxf +++++= 22),( , onde l e e d c b a ,,,, são constantes, então se

),( 00 yx for extremante local de f (mínimo local ou máximo local), então será extremante global.

Nota: A demonstração pode ser feita ao observarmos que o gráfico de ),()( 00 ktyhtxftg ++=

( k e h constantes) é uma parábola.

82

LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS: 1) Usando o teorema anterior, estude com relação a extremantes globais as funções: a) yxyxyxyxf 222),( 22 +−++=

Resposta: Mínimo Global => (2, -3/2) b) yxxyyxyxf 43),( 22 ++−−=

Resposta: Ponto de sela => (10/13, 11/13), ou seja, não admite extremantes c) 22 322),( yxxyyxyxf −−−+=

Resposta: Máximo Global => (1/4, 1/4) d) yxxyyxyxf 223),( 22 −−++=

Resposta: Mínimo Global => (2/11, 10/11) e) yxxyyxyxf 2232),( 22 ++++=

Resposta: Ponto de sela => (2, -2), ou seja, não admite extremantes f) yxyxyxf 42),( 22 −−+=

Resposta: Mínimo global => (1, 2) Teorema: Seja ),,( zyxf de classe 2C (admite todas as derivadas parciais de ordem 2 contínuas) e

seja ),,( 000 zyx um ponto interior do domínio de f . Considerando que ),,( 000 zyx seja um ponto

crítico de f e sejam ainda ),,( zyxH e ),,(1 zyxH dadas por:

2

222

2

2

22

22

2

2

z

f

zy

f

zx

fzy

f

y

f

yx

fzx

f

yx

f

x

f

H

∂∂

∂∂∂

∂∂∂

∂∂∂

∂∂

∂∂∂

∂∂∂

∂∂∂

∂∂

= e

2

22

2

2

2

1

y

f

yx

fyx

f

x

f

H

∂∂

∂∂∂

∂∂∂

∂∂

=

Notas:

1) Lembre-se pelo teorema de Schwartz, temos: yx

f

xy

f

∂∂∂=

∂∂∂ 22

; zx

f

xz

f

∂∂∂=

∂∂∂ 22

e zy

f

yz

f

∂∂∂=

∂∂∂ 22

2) As derivadas de cada variável são colocadas por colunas e não por linhas. 3) Essas matrizes são matrizes simétricas (M = Mt). Na realidade elas são matrizes positiva definida.

• Se 0),,( 0002

2

>∂∂

zyxx

f, 0),,( 0001 >zyxH e 0),,( 000 >zyxH , então ),,( 000 zyx será ponto de

mínimo local.

• Se 0),,( 0002

2

<∂∂

zyxx

f, 0),,( 0001 >zyxH e 0),,( 000 >zyxH , então ),,( 000 zyx será ponto de

máximo local. • Se 0),,( 000 <zyxH ou 0),,( 0001 <zyxH , então ),,( 000 zyx será um ponto de sela.

83

Exemplo: 1) Estude com relação a máximo e mínimos locais da função

2842425),,( 222 +−−−+++= zyxxyzyxzyxf . Resposta: Mínimo Local => (1, 0, 2)

Solução: 20,1

2

4104

242

084

04104

0242

===⇒

==+

=+⇒

=−=∂∂

=−+=∂∂

=−+=∂∂

z e y x

z

yx

yx

zz

f

yxy

f

yxx

f

Assim, (1, 0, 2) é o único ponto crítico.

xz

f

xy

f

x

f0;4;2

22

2

2

=∂∂

∂=∂∂

∂=∂∂

; yz

f

yx

f

y

f0;4;10

22

2

2

=∂∂

∂=∂∂

∂=∂∂

e zy

f

zx

f

z

f0;0;4

22

2

2

=∂∂

∂=∂∂

∂=∂∂

Logo,

0166480

400

0104

042

)2,0,1( >=−== H ; 01620104

42)2,0,1(1 >−== H

02)2,0,1(2

2

>=∂∂

x

f

Portanto, como 0)2,0,1(2

2

>∂∂

x

f, 0)2,0,1(1 > H e 0)2,0,1( > H , então )2,0,1( é ponto de mínimo

local.

LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS 1) Estude com relação a máximo e mínimos locais das funções: a) 2333),,( 333 +−−−++= zyxzyxzyxf Resposta: Mínimo Local => (1, 1, 1); Máximo Local => (-1, -1, 1); Pontos de sela => (1, -1, 1); (1, 1, -1); (1, -1, -1); (-1, 1, 1); (-1, 1, -1) e (-1, -1, -1),ou seja, não são extremantes b) zxzyxyxzyxf 452),,( 223 −−+++= Resposta: Mínimo Local => (5/3, -5/3, 2); Ponto de sela => (-1, 1, 2), ou seja, não é extremante c) zxyzxzzyxzyxf 62424),,( 222 −−−++−= Resposta: Ponto de sela => (5/7, -4/7, 2/7), ou seja, não é extremante.

84

5.6. APLICAÇÕES: A maximização e a minimização de funções de várias variáveis são problemas que aparecem em vários contextos práticos, como, por exemplo:

• Problemas geométricos.

• Problemas físicos

• Problemas econômicos, etc.

A seguir são apresentadas aplicações enfatizando problemas econômicos. Revisão conceitual: CUSTOVENDADESPESARECEITALUCRO −=−= Exemplos: 1) Uma industria produz dois produtos denotados por A e B. O lucro da indústria pela venda de x

unidades do produto A e y unidades do produto B é dado por:

xyyxyxyxL −−−+= 22

2

3

2

310060),(

Supondo que toda a produção da indústria seja vendida, determinar a produção que maximiza o lucro. Determine, também, esse lucro.

Solução:

Diante do problema apresentado, temos que:

0 , :a 2

3

2

310060),( 22

≥

−−−+=

yxsujeito

xyyxyxyxLMax

Inicialmente, determinemos os pontos críticos dessa função. Temos:

xyy

Lyx

x

L −−=∂∂−−=

∂∂

3100 e 360

Resolvendo o sistema:

=−−=−−

03100

0360

xy

yx obtemos a solução: 10=x e 30=y .

Agora, resta nos verificar se esse ponto encontrado é um ponto de máximo.

Temos: 831

13),( =

−−−−

=yxH ⇒ 08)30 ,10( >=H e 03)30 ,10(2

2

<−=∂∂x

L.

Assim, o ponto (10, 30) é um ponto de máximo e representa a produção que maximiza o lucro da indústria.

Para determinar o lucro máximo, basta calcularmos:

800.13010)30(2

3)10(

2

3301001060)30 ,10( 22 =⋅−⋅−⋅−⋅+⋅=L unidades monetárias (u. m).

85

2) Uma determinada empresa produz dois produtos cujas quantidades são indicadas por x e y . Tais

produtos são oferecidos ao mercado consumidor a preços unitários 1p e 2p , respectivamente, que

dependem de x e y conforme equações: xp 21201 −= e yp −= 2002 . O custo total da empresa

para produzir e vender quantidades x e y dos produtos é dado por xyyxC 22 22 ++= . Admitindo que toda produção da empresa seja absorvida pelo mercado, determine a produção que maximiza o lucro. Qual o lucro máximo? Resposta: (10, 30) =>3.600

Solução: Produto 1: x e Preço 1: 1p ; Produto 2: y e Preço 2: 2p Como: CUSTOVENDALUCRO −= : L = V – C, Onde: Vendas: 22 2002120)200()2120( yyxxVyyxxV −+−=⇒⋅−+⋅−=

Custo: xyyxC 22 22 ++=

Assim, xyyyxxLxyyxyyxxL 232003120222002120 222222 −−+−=⇒−−−−+−=

30101003

603

20026

12026

026200

026120

==⇒

=+=+

⇒

=+=+

⇒

=−−=∂∂

=−−=∂∂

y e xxy

yx

xy

yx

xyy

L

yxx

L

Deve-se determinar o hessiano para mostrar que realmente este ponto é um ponto de máximo.

Para determinar o lucro máximo, basta calcular:

301023033020010310120)30,10( 22 ⋅⋅−⋅−⋅+⋅−⋅=L ⇒ 600.3)30,10( =L

Portanto, deve-se produzir 10 unidades do produto 1 e 30 unidades do produto 2 e o lucro será de 3.600 unidades monetárias (u.m).

3) Para produzir determinado produto cuja quantidade é representada por z , uma empresa utiliza dois fatores de produção (insumos) cujas quantidades serão indicadas por x e y . Os preços unitários dos fatores de produção são, respectivamente, 2 e 1. O produto será oferecido ao mercado consumidor a um preço unitário igual a 5. A função de produção da empresa é dada por

yxyxz 4132900 22 ++−−= . Determine a produção que maximiza o lucro. Qual o lucro máximo? Resposta: (15,8; 20,4) => 1.576,20

Solução: Produto 1: x e Custo: 2; Produto 2: y e Custo: 1; Preço de venda: 5

Produção: yxyxz 4132900 22 ++−−= Como: CUSTOVENDALUCRO −= : L = V – C, Onde: Vendas: zV ⋅= 5 Custo: yx +2

Assim, yxyxyxyxyxyxL −−++−−=+−++−−⋅= 220516055500.4)2()4132900(5 2222

4,208,1520410

15810

0120510

0216010

==⇒

−=−−=−

⇒

=−+−=∂∂

=−+−=∂∂

y e xy

x

yy

L

xx

L

Deve-se determinar o hessiano para mostrar que realmente este ponto é um ponto de máximo.

Para determinar o lucro máximo, basta calcular:

20,576.1...);8,15( ==20,4 L Portanto, deve-se produzir 15,8 unidades do produto 1 e 20,4 unidades do produto 2 e o lucro será de 1.576,20 unidade monetárias (u.m.).

86

4) Quais as dimensões de uma caixa retangular sem tampa com volume 3 4m e com a menor área de superfície possível?

Solução: Vamos considerar a caixa, conforme ilustra a figura a seguir.

Sendo yx e as arestas da base e z a altura, da geometria elementar (plana e espacial), temos: • Volume da caixa: xyzV = .

• Área da superfície total: yzxzxyA 22 ++=

Nosso objetivo é minimizar yzxzxyA 22 ++= sabendo que 4=xyz e 0 , , >zyx .

Podemos simbolicamente escrever:

>=

++=

0 , ,

4 .

22 min

zyx

xyzas

yzxzxyA

Costumamos, ao usar essa notação, chamar a função yzxzxyA 22 ++= de função objetivo e as equações e/ou inequações de restrições. O símbolo s. a lê-se “sujeito a”.

Como, pelo volume, 4=xyz , temos: xy

z4= , e a área a ser minimizada pode ser expressa como

função de duas variáveis yx e , xy

xyA88 ++= .

Procuramos um ponto crítico dessa função, isto é, um ponto em que:

08

2=−=

∂∂

xy

x

A e 0

82

=−=∂∂

yx

y

A

Dessas equações resulta que 2=x e 2=y , ou seja, o ponto crítico é o ponto (2, 2). Usando o hessiano, podemos confirmar se o mesmo é ponto de mínimo.

3

3

161

116

),(

y

xyxH = ⇒ 02)2 ,2( e 0 31421

12

8

161

18

16

)2 ,2(2

2

>=∂∂>=−===

x

AH

Assim, (2, 2) é um ponto de mínimo.

Portanto, as dimensões da caixa são: metrosx 2= , metrosy 2= e metroxy

z 12.2

44 === .

Conclusão: A caixa de volume dado, sem tampa, com área de superfície mínima, tem uma base quadrada e altura medindo metade do valor da aresta da base.

87

LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS 1) Determine os pontos críticos das funções, a seguir investigue a sua natureza: a) 121023),( 22 +++++= yxyxyxyxf Resposta: Ponto de mínimo => (-2, 1)

b) xyyxyxf 6),( 32 −+= Resposta: Ponto de sela => (0; 0) e Ponto de mínimo => (18, 6) 2) Determine e classifique todos os pontos críticos das seguintes funções de duas variáveis. a) 422),( 22 +−−−−= yxyxxyyxf Resposta: Máximo => )2 ,2( −−

b) xyyx

yxf 493

),( 33

−+= Resposta: Sela =>

9

4 ,

3

4 Mínimoe )0 ,0(

c) yeyxf x cos.),( 2−= Resposta: Não tem ponto crítico

d) ).ln(2),( 2 yxxxyyxf −+= com 0>x e 0>y Resposta: Ponto de mínimo => (1/2, 2) 3) Determine e classifique os extremos e os pontos de sela de f :

a) 124),( 22 −+−−−= yyxxyxf Resposta: Ponto de máximo: 4)1 ,2( =−f

b) 22 32),( yxyxyxf ++= Resposta: Ponto de mínimo: 0)0 ,0( =f

c) 33 3),( yxyxyxf −+= Resposta: Ponto de sela: 0)0 ,0( =f e Ponto de mínimo: 1)1 ,1( −=−f

d) 234 422

1),( yxyxxyxf ++−= Resposta:

Ponto de sela: 0)0 ,0( =f ; Ponto de mínimo: 64)8 ,4( −=−f ; Ponto de mínimo: 2

3)2 ,1( −=−f

e) yeyxf x sen.),( =

Resposta: yexistenãoysen

y

ysene

yex

x

⇒

==

⇒

=

=0

0cos

0.

0cos., logo: não existem pontos críticos.

4) Mostre que a função 44),( yxyxf += tem um mínimo local na origem.

Resposta:004

004

3

3

=⇒==∂∂

=⇒==∂∂

yyy

f

xxx

f

)0,0(),( =⇒ yx e 2

2

120

012),(

y

xyxH =

0)0,0( =H => Nada a concluir pelo teste da 2a derivada. Mas trabalhando diretamente com a função

dada, vemos que o mesmo é ponto de mínimo.

0ou0),,(0)0,0( ≠∀≠∀<= yxyxff

5) Mostre que 22 42),( yxyxf += tem um ponto de mínimo em )0 ,0(

Resposta: Para verificar que é mínimo trabalha-se com a função:

0ou0),,(0)0,0( ≠∀≠∀<= yxyxff Nota: Observe que não existe as derivadas parciais da função no ponto )0 ,0( , por isso, o mesmo é um ponto crítico.

88

6) Mostre que uma caixa retangular com tampa e volume dado terá a menor área de superfície se for cúbica.

Solução:

yzxzxyzyxA 222),,( ++=

kxyzV == , onde: k é o volume dado

De kxyz=xy

kz =⇒ ⇒

x

k

y

kxyyxA

222),( ++=

kyxy

kx

y

A

kxyx

ky

x

A

=⋅⇒=−=∂∂

=⋅⇒=−=∂∂

22

22

02

2

02

2

xy =⇒

Logo xxy

yx

xy

kz ===

2

zyx ==⇒

32

2 4

x

k

x

A =∂∂

; 22

=∂∂

∂xy

A; 2

2

=∂∂

∂yx

A;

32

2 4

y

k

y

A =∂∂

Lembre-se: 0,, >zyx , pois são as dimensões da caixa. E mais, xyzke === zyx .

0416

42

24

),(33

2

3

3

>−==yx

k

y

kx

k

yxH e 04

32

2

>=∂∂

x

k

x

A

Conclusão: As embalagens deveriam ser cúbicas para se minimizar o custo na confecção das mesmas. 7) Quais as dimensões de uma caixa retangular sem tampa com volume 3 8m e com a menor área de

superfície possível? Solução:

38 mV = ⇒ xy

zxyz8

8 =⇒= e xy

xyxy

yxy

xxyyxA16168

28

2),( ++=⋅+⋅+=

16016

16016

22

22

=⋅⇒=−=∂∂

=⋅⇒=−=∂∂

yxy

xy

A

xyx

yx

A

xy =⇒

De 52,2222816161616 333322 ≅=⋅==⇒=⇒=⋅⇒=⋅ xxxxxy m

Logo: 52,2223 ≅== xy m e 26,14

2

44

8

2222

883333

≅==⋅

==xy

z m

84

22222

3

33 =⋅⋅=V m3 ou 826,152,252,2 =⋅⋅=V m3

Nota: Em situação semelhante a esta sempre teremos: 22

32 xx

xV =⋅=

89

5.7. MÁXIMO E MÍNIMOS CONDICIONADOS – MULTIPLICADOR ES DE LAGRANGE •••• Introdução Consideremos os seguintes problemas: 1) Maximizar 224),( yxyxf −−= => Máx 224),( yxyxf −−=

2) Maximizar 224),( yxyxf −−= sujeito a: 2=+ yx => 2 : .

4),( 22

=+−−=

yxas

yxyxfMáx

O problema (1) é um problema de otimização irrestrita (sem restrição), e podemos solucioná-lo usando as proposições já apresentadas. Por outro lado, no problema (2), temos a presença de uma restrição ou vínculo. Neste último problema, estamos diante de um problema de otimização restrita, onde queremos encontrar o maior valor da função num subconjunto de seu domínio, nesse caso, o subconjunto do plano xy, dado pela reta 2=+ yx . Nesse contexto, a solução do problema (1) é chamada um ponto de máximo livre ou não-condicionado de f . A solução do problema (2) é dita um ponto de máximo condicionado def . Uma visualização da solução desses problemas é dada na figura a seguir.

Notas: 1) Se a função ),...,,( 21 nxxxfz = , conhecida como função objetivo (função que se quer maximizar

ou minimizar) e a restrição 0),...,,( 21 =nxxxg forem lineares, teremos problemas de Programação

Linear. 2) De forma geral, problemas de otimização restrita podem ser muito complexos, não havendo um

método geral para encontrar a solução de todas as classes de problemas. Em algumas situações simples, podemos resolvê-los, explicitando uma variável em função das outras, na restrição, substituindo na função objetivo e resolvendo o problema de otimização irrestrita resultante, como ilustra o exemplo a seguir:

90

Exemplo 1: 2 .

4),( 22

=+−−=

yxas

yxyxfMáx

Solução: Como: xyyx −=⇒=+ 22 . Substituindo na função objetivo, temos:

xxxxxxxxxxxxfyxf 42444)44(4)2(4)2,(),( 2222222 +−=−+−−=−−−−=−−−=−=

Assim, temos a seguinte função de uma variável a ser maximizada: xxxf 42)( 2 +−= Calculando a sua derivada, temos: 44)(' +−= xxf . Determinando o ponto crítico: 1440 =⇒+−= xx . Verificando que o mesmo é de máximo: 04)1('' 4)('' <−=⇒−= fxf Logo, 1 é ponto de máximo. Substituindo o valor 1=x em xy −= 2 , temos: 1=y .

∴ O ponto máximo é (1, 1). Nota: Ás vezes, a resolução de 0),( =yxg é muito difícil ou mesmo impossível. Por isso, teremos que examinar o problema através de um novo método. Lembre-se: que as coordenadas do vetor gradiente de uma função ),...,,( 21 nxxxfz = são as derivadas

parciais da função, ou seja:

∂∂

∂∂

∂∂=∇=

nnn x

f

x

f

x

fxxxfxxxfgrad ,...,,),...,,(),...,,(

212121 .

O MÉTODO DOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

O método dos multiplicadores de Lagrange permite analisar situações mais gerais. Através desse método, um problema de otimização restrita com n variáveis e m restrições de igualdade é transformado num problema de otimização irrestrita com (n + m) variáveis. Algumas situações particulares são apresentadas a seguir.

Nota: Esse método, é aplicável também a funções não lineares.

• PROBLEMAS ENVOLVENDO FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS E UM A RESTRIÇÃO

Consideremos o seguinte problema: 0),g( : .

),(

=yxas

yxfMáx

Usando as propriedades do vetor gradiente, vamos obter uma visualização geométrica do método de Lagrange, que nos permite determinar os candidatos a pontos de máximo e/ou mínimo condicionados de f . Para isso, esboçamos o gráfico de 0),( =yxg e diversas curvas de nível kyxf =),( da função objetivo, observando os valores crescentes de k. O valor máximo de ),( yxf sobre a curva 0),( =yxg coincide com o maior valor de k tal que a curva kyxf =),( interpreta a curva 0),( =yxg . Isso ocorre num ponto P0 . Nesse ponto, as duas curvas tem a mesma reta tangente t , conforme mostra a próxima figura.

91

Como fgrad e ggrad são perpendiculares à reta t , eles tem a mesma direção no ponto P0, ou seja:

g grad f ⋅= λgrad Para algum número real λ . Nota: Os vetores f∇ e g∇ são múltiplos (ou paralelos, ou de mesma direção ou L. D.) Claramente, nesse argumento geométrico, fizemos a suposição de que )0,0(),( ≠∇ yxg em P0. Além disso, o mesmo argumento pode ser facilmente adaptado para problemas de minimização. Temos o seguinte teorema: Teorema: Seja ),( yxf diferenciável num conjunto aberto U. Seja ),( yxg uma função com derivadas parciais contínuas em U tal que )0,0(),( ≠∇ yxg para todo }0)(){()( =∈=∈ x,yU / gx,y V, onde V x,y . Uma

condição necessária para que Vyx ∈),( 00 seja extremante local de f em V é que:

),(),( 0000 yxgyxf ⋅=∇ λ

para algum número real λ . Assim, podemos dizer que os pontos de máximo e/ou mínimo condicionados de f devem satisfazer as equações:

0y) g(x, e .;. =∂∂=

∂∂

∂∂=

∂∂

y

g

y

f

x

g

x

f λλ (1)

para algum número real λ . O número real λ que torna compatível o sistema é chamado multiplicador de Lagrange. O método proposto por Lagrange consiste, simplesmente, em definir a função de três variáveis:

),(),(),,( yxgyxfyxL ⋅−= λλ

e observar que o sistema (1) é equivalente à equação:

0=∇L ou 0L

e 0;0 =∂∂=

∂∂=

∂∂

λy

L

x

L.

Assim, os candidatos a extremantes locais de f sobre 0),( =yxg são pesquisados entre os pontos críticos de L . Os valores máximo e/ou mínimo de f sobre 0),( =yxg coincidem com os valores máximo e/ou mínimo livres de L . É importante observar que o método só permite determinar potenciais pontos extremantes. A classificação desses pontos deve ser feita por outros meios, tais como argumentos geométricos, etc.

92

Exemplos:

1) 2 : .

4),( 22

=+−−=

yxas

yxyxfMáx

Solução: Para resolver esse problema pelo método de Lagrange, como apresentado, devemos escrever a restrição 2=+ yx na forma 02 =−+ yx .

A função lagrangeana é dada por: )2(4),,( 22 −+−−−= yxyxyxL λλ Derivando L em relação às três variáveis λ e , yx , temos:

λ−−=∂∂

xx

L2 ; λ−−=

∂∂

yy

L2 e 2+−−=

∂∂

yxL

λ

Igualando essas derivadas a zero, obtemos o sistema de equações:

=+−−=−−=−−

02

02

02

yx

y

x

λλ

⇒

=+=−=−

2

2

2

yx

y

x

λλ

⇒ 1 e 1 2

22==⇒

=+=⇒−=−

yxyx

yxyx

Assim, o ponto extremante é (1, 1) e substituindo na função objetivo vemos claramente que é ponto de máximo condicionado. Fazendo o teste da vizinhança do ponto: 224114)1,1( 22 =−=−−=f ;

0044)0,2( =−−=f ; 0404)2,0( =−−=f ),(2)1,1( yxff ≥=⇒ . Portanto, (1, 1) é ponto de máximo 2) Aplicação: Um galpão retangular deve ser construído num terreno com a forma de um triângulo,

conforme a figura a seguir. Determinar a área máxima possível para o galpão.

Solução: Na figura a seguir, representamos a situação a ser analisada num sistema de coordenadas cartesianas, traçado convenientemente.

Revisão: Equação segmentaria da reta:

1=+q

y

p

x

=> 20211020

=+⇒=+ yxyx

Observando a figura anterior, vemos que a área do galpão é dada por: yxyxA ⋅=),( e que o ponto

),( yxP deve estar sobre a reta 202 =+ yx .

93

Temos, então, o seguinte problema: 202 : .

),(

=+=

yxas

xyyxfMáx

Para resolver o problema pelo método dos multiplicadores de Lagrange, como apresentado, devemos escrever a restrição 202 =+ yx na forma 0202 =−+ yx . A função lagrangeana é dada por: )202(),,( −+−= yxxyyxL λλ Derivando L em relação às três variáveis λ e , yx , temos:

λ−=∂∂

yx

L; λ2−=

∂∂

xy

L e 202 +−−=

∂∂

yxL

λ

Igualando essas derivadas a zero, obtemos o sistema de equações:

=−+=−

=−

0202

02

0

yx

x

y

λλ

Resolvendo esse sistema, encontramos: 5 e 5y ,10 === λx As dimensões do galpão que fornecem um valor extremo para a sua área são x = 10 m e y = 5 m. Com essas dimensões, a área do galpão será: A = 10 m . 5 m = 50 m2. Embora o método não possibilite verificar se esse valor é um valor máximo ou mínimo, através de uma simples inspeção geométrica da figura anterior vemos que, de fato, as dimensões encontradas fornecem a área máxima do galpão.

Podemos, também, usar o método da vizinhança do ponto para avaliar se o mesmo é ponto de máximo ou de mínimo: ),(50)5,10(18)1,18(;32)2,16(;48)4,12(;50)5,10( yxAAAAAA ≥=⇒==== , logo, ponto de máximo.

Nota: O multiplicador de Lagrange λ desempenha um papel auxiliar, não sendo de interesse na solução final do problema.

PROBLEMAS ENVOLVENDO FUNÇÕES DE TRÊS VARIÁVEIS E UM A RESTRIÇÃO

Nesse caso, podemos visualizar o método fazendo um esboço do gráfico de 0),,( =zyxg e de diversas superfícies de nível kzyxf =),,( da função objetivo, observando os valores crescentes de k . Como podemos ver na figura a seguir, no ponto extremante P0, os vetores fgrad e ggrad são paralelos. Portanto, nesse ponto, devemos ter: λλ real algum para ,gf ∇⋅=∇ .

O método dos multiplicadores de Lagrange para determinar os potenciais pontos extremantes de

),,( zyxfw = sobre 0),,( =zyxg consiste em definir a função lagrangeana: ),,(),,(),,,( zyxgzyxfzyxL ⋅−= λλ

e determinar os pontos (x, y, z) tais que: 0=∇L ,

ou, de forma equivalente: 0),,( e 0;0;0 ==∂∂=

∂∂=

∂∂

zyxgz

L

y

L

x

L

As hipóteses necessárias para a validade do método são análogas às do teorema anterior.

94

Exemplos: 1) Determinar o ponto do plano: 2x + y + 3z = 6 mais próximo da origem. Solução:

Nesse caso, queremos minimizar a distância 222 zyx ++ , dos pontos do plano 2x + y + 3z = 6 até a

origem. Para simplificar os cálculos, podemos minimizar o quadrado da distância. Temos o seguinte problema de otimização:

632:.

222

=++++zyxas

zyxMin

Para esse problema, a função lagrangeana é dada por:

)632(222 −++−++= zyxzyxL λ

Derivando L em relação às variáveis λ e ,, zyx e igualando essas derivadas a zero, obtemos o sistema:

=−++=−

=−=−

0632

032

02

022

zyx

z

y

x

λλλ

cuja solução é:

7

6,

7

9,

7

3,

7

6 ==== λzyx

Geometricamente, é claro que o ponto

7

9,

7

3,

7

6P é um ponto de mínimo, como podemos visualizar

na figura a seguir.

Nota: Usando a função objetivo podemos mostrar que

7

9,

7

3,

7

6P é ponto de mínimo.

• .60,17

143

7

126

49

126

7

9

7

3

7

6

7

9,

7

3,

7

6222

≅===

+

+

=

f

• ( ) ( ) ( ) ( ) 22002,0,0 222 =++=f (o ponto a ser analisado deve pertencer necessariamente ao

domínio da função). • Tomando um outro ponto do domínio, por exemplo: (1, 1, 1), temos:

73,13111)1,1,1( 222 ≅=++=f , ∴ 63yy2x:plano,,),,,(7

9,

7

3,

7

6 =++∈∀≥

zyxzyxff .

95

2) Aplicação: Um fabricante de embalagens deve fabricar um lote de caixas retangulares de volume 64=V cm3. Se o custo do material usado na fabricação da caixa é de R$ 0,50 por centímetro

quadrado, determinar as dimensões da caixa que tornem mínimo o custo do material usado em sua fabricação.

Solução. Sejam x , y e z as dimensões da caixa, conforme a figura a seguir:

O volume da caixa é dado por: xyzV = A sua área de superfície é: yzxzxyA 222 ++= O custo do material usado para a fabricação da caixa é dado por:

yzxzxyyzxzxyzyxC ++=++= )222.(5,0),,(

Estamos, assim, diante do seguinte problema de otimização: 64:.

),,(min

=++=

xyzas

yzxzxyzyxC

A função lagrangeana, para esse problema, é dada por:

)64(),,,( −−++= xyzyzxzxyzyxL λλ

Derivando L em relação às variáveis λ e ,, zyx e igualando a zero as derivadas, obtemos o sistema:

=+−=−+=−+=−+

064

0

0

0

xyz

xyyx

xzzx

yzzy

λλλ

⇒

==+=+=+

64xyz

xyyx

xzzx

yzzy

λλλ

Da última equação, segue que: 0z e 0y ,0 ≠≠≠x . Das três primeira equações, concluímos que 0≠λ , pois em caso contrário teríamos 0=x , 0=y e

0=z . Assim, sabendo que 0≠λ e isolando λ nas duas primeiras equações, obtemos as seguintes equações equivalentes:

yz

zy

xz

zx +=+ ⇒ xzzyyzzx )()( +=+ ⇒ 22 xzxyzyzxyz +=+ ⇒ 22 xzyz = ⇒ xy =

Da mesma forma, trabalhando com a segunda e a terceira equação, temos que zy = .

Substituindo esses resultados na última equação, obtemos: 4643 ==== zyx

Portanto, o único candidato a extremante condicionado da função custo C(x, y, z) é o ponto (4, 4, 4). O custo de material correspondente é: C(4, 4, 4) = 48. Para verificar que é ponto de mínimo, tomemos, por exemplo: x = 4, y = 16 e z = 1, cujo custo é dado por: 4 . 16 + 4 . 1 + 16 . 1 = 84 reais => Ponto de máximo.

96

PROBLEMAS ENVOLVENDO FUNÇÕES DE TRÊS VARIÁVEIS E DU AS RESTRIÇÕES

Consideremos o seguinte problema de otimização:

0),,(

0),,g( : .

),,(

==

zyxh

zyxas

zyxfMáx

Para visualizarmos o método, nesse caso, vamos supor que a interseção das superfícies 0),,( =zyxg e

0),,( =zyxh seja uma curva C . Queremos determinar, então, um ponto de máximo, 0P , de f sobre

C . Como nos casos anteriores, traçamos diversas superfície de nível kzyxf =),,( de f , observando os valores crescentes de k .

Observando a figura a seguir, vemos que, no ponto 0P , a curva C tangência a superfície de nível

kzyxf =),,( de f .

Assim, )( 0Pf∇ deve ser normal à curva C . Temos também que )( 0Pg∇ e )( 0Ph∇ são normais à curva

C . Portanto, no ponto 0P , os três vetores f∇ , g∇ e h∇ são coplanares e, então, existem números

reais λ e µ tais que:

ggf ∇⋅+∇⋅=∇ µλ

Observamos que, nessa argumentação geométrica, estamos supondo que os vetores g∇ e h∇ são linearmente independentes (L. I.), ou seja, tem direções diferentes, não são múltiplos. Lembre-se: Dizer que os vetores f∇ , g∇ e h∇ são coplanares significa que os mesmos estão contidos num mesmo plano. A seguir, temos o seguinte teorema: Seja 3ℜ⊂A um conjunto aberto. Suponhamos que ),,( zyxf é diferenciável em A e que ),,( zyxg e ),,( zyxh têm derivadas parciais de 1a ordem contínuas em A . Seja }0),,( e 0),,(/),{( ==∈= zyxhzyxgAzx,yB . Suponhamos, também, que g∇ e h∇ são

linearmente independentes em B . Se 0P é um ponto extremante local de f em B , então existem

números reais λ e µ tais que:

)()()( 000 PgPgPf ∇⋅+∇⋅=∇ µλ

Com base neste teorema, podemos dizer que os candidatos a extremantes condicionados de f devem satisfazer a equação: 0=∇L ,

onde a função lagrangeana L , nesse caso, é uma função de 5 (cinco) variáveis, dada por:

),,(),,(),,(),,,,( zyxhzyxgzyxfzyxL ⋅−⋅−= µλµλ

97

Exemplo: 1) Determinar o ponto da reta de intersecção dos planos 2=++ zyx e 1223 =++ zyx que esteja

mais próxima da origem. Solução: Para simplificar os cálculos, vamos minimizar o quadrado da distância. Assim, temos o seguinte problema de otimização:

0122z3y x

02zy x: .

222

=−++=−++

++as

zyxMin

A função lagrangeana L é dada por:

)1223()2(),,,,( 222 −++⋅−−++⋅−++= zyxzyxzyxzyxL µλµλ Derivando L em relação às variáveis µλ ,,, ezyx , vem:

µλ −−=∂∂

xx

L2 ; µλ 32 −−=

∂∂

yy

L; µλ 22 −−=

∂∂

zz

L;

)2( −++−=∂∂

zyxL

λ e )1223( −++−=

∂∂

zyxL

µ

Assim, a equação 0=∇L nos fornece o sistema de equações lineares:

=++

=⇒=⇒=+⇒=++

⇒+=⇒=−−

⇒+=⇒=−−

⇒+=⇒=−−

1223

3/223222

22022

32032

202

4

3

2

1

zyx

zzzzzyx

zz

yy

xx

µλµλ

µλµλ

µλµλ

(1) – (3) => µ−=− zx 22 e (2) – (3) => µ−=− zy 22 => zyxzyzxzyzx 22222 =+⇒+−=−⇒+−=+ (substitui em (4))

3/14286436463/4123/423/4123

3/4=⇒−=−⇒+−=−⇒+−=−⇒

−=+=+

− yyyyyx

yx

3/103/143/4 −=−=x Assim, temos:

8 e 3

44,

3

2,

3

14,

3

10 =−===−= µλzyx

Portanto, o ponto

−3

2,

3

14,

3

10 é o único candidato a extremidade condicionado de f .

Geometricamente, é fácil constatar que esse ponto constitui a solução do problema. Por outro lado,

72,876)6,2,6(77,53

310

3

2,

3

14,

3

10 ≅=−<≅=

− ff

Sugestão de atividade: Usar softwares matemático para resolver o sistema e para construir a representação geométrica, quando for possível.

98

LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS Nos exercícios a seguir, use o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar os extremos indicados. Você pode supor que o extremo existe. 1) Determinar os pontos de máximos e/ou mínimos da função dada, sujeita às restrições indicadas: a) 1 x;22 =++= yyxz

b) 1 ;324 22 =+−−= yxyxz

c) 4 ;2 22 =++= yxyxz

d) 16 2 ; 22 =+= yxxyz

e) 9 ; ),,( 222 =++++= zyxzyxzyxf Resposta:

a) Ponto de mínimo =>

2

1,

2

1

b) Ponto de mínimo =>

13

3,

13

2 e Ponto de máximo =>

−−13

3,

13

2

c) Ponto de mínimo =>

−−5

2,

5

4 e Ponto de máximo =>

5

2,

5

4

d) Pontos de mínimo => ( )22,2 − e ( )22,2− e Pontos de máximo => ( )22,2 e ( )22,2 −−

e) Ponto de mínimo => ( )3 ,3 ,3

2) Encontre o valor máximo de xyyxf =),( , sujeita á restrição 1=+ yx .

Resposta:4

1

2

1,

2

1 =

f

3) Encontre os valores máximo e mínimo da função xyyxf =),( , sujeita á restrição 122 =+ yx .

Resposta: Pontos de mínimo =>

−

−

2

2,

2

2

2

2,

2

2e e

Pontos de máximo =>

−−

2

2,

2

2

2

2,

2

2e

4) Encontre o valor mínimo da função 22),( yxyxf += , sujeita á restrição 1=xy . Resposta: 2)1- ,1()1 ,1( =−= ff

5) Encontre o valor mínimo da função 22 2),( yxyxyxf +−= , sujeita á restrição 222 =+ yx . Resposta: 77)4,9( =f (exemplo de que é mínimo f(11, 0) = 121 > 77 = f(9, 4)

6) Encontre o valor mínimo de 22),( yxyxf −= , sujeita á restrição 422 =+ yx . Resposta: 4)2- ,0()2 ,0( −== ff

7) Seja 22 248),( yxyxyxf +−= . Encontre os valores máximo e mínimo da função dada, sujeita à

restrição 18 22 =+ yx .

Resposta: )2/2,4/1()2/2,4/1( 21 −−PeP são pontos de mínimos => 231)()( 21 −== PfPf

)2/2,4/1()2/2,4/1( 43 −− PeP são pontos de mínimos => 231)()( 43 +== PfPf

99

8) Seja 22 2),( yyxyxf −−= . Encontre os valores máximo e mínimo da função dada, sujeita à

restrição 122 =+ yx .

Resposta: Pontos de máximos =>2

3

2

1,

2

3

2

1,

2

3 =

−−=

− ff ; Ponto de mínimo => 3)1 ,0( −=f

Nota: Essa função possui um ponto de sela em (0, -1) cujo valor funcional é 1. Cuidado: Na resolução do sistema:

±=⇒=+

−=⇒=−−

=⇒≠⇒=

2

31

2

1

2

22

102

2

22 xyx

yy

y

xSex

x

λ

λλ

Por outro lado, se 0=x , substituindo na restrição )1( 22 =+ yx , temos: 1±=y . 9) Seja xyyxf =),( . Encontre os valores máximo e mínimo da função dada, sujeita à restrição

822 =+ yx .

Resposta: Pontos de máximos => ( ) ( ) 42,22 ,2 =−−= ff ;

Ponto de mínimo => ( ) ( ) 42,22 ,2 −=−=− ff

10) Encontre o valor máximo de 2),( xyyxf = , sujeita à restrição 1=+ yx . Resposta: (1/3, 2/3) => Ponto de máximo e (1, 0 ) => Ponto de mínimo => Valor máximo = 4/27

11) Seja 3232342),( 22 +−−−+= yxxyyxyxf . Encontre o valor mínimo da função dada, sujeita à restrição 15=+ yx . Resposta: 18)7 ,8( −=f

12) Seja 72422),( 22 +++++= yxxyyxyxf . Encontre o valor mínimo da função dada, sujeita à

restrição 144 2 =+ xyx . Resposta: f(-1/2, 0) = 11/2 => Valor mínimo, pois é maior por exemplo que f( 1/2, 0) =19/2

13) Determinar o ponto do plano 12423 =++ zyx para o qual a função 222 54),,( zyxzyxf ++= tenha um valor mínimo.

Resposta: ( )exemploPor

ff ⇒=<≅

453,0,090,10

11

8,

11

5,

11

30Ponto

11

8,

11

5,

11

30

14) A reta t é dada pela intersecção dos planos 1=++ zyx e 632 =++ zyx . Determinar o ponto da

reta t cuja distância até a origem seja mínima.

Resposta: f

−3

5,

3

7,

3

1 < f(1, 2, -2) por exemplo

15) Achar os valores extremos de xyz 2= sujeitos à condição 2=+ yx .

Resposta: Ponto de máximo => )1 ,1(

100

16) O departamento de estrada está planejando construir uma área de piquenique para motoristas ao longo de uma grande auto-estrada. Ela deve ser retangular, com uma área de 5.000 metros quadrados, e cercada nos três lados não-adjacentes à auto-estrada. Qual é a quantidade mínima de cerca que será necessária para realizar o trabalho? Solução:

000.5 : .

2),(

=+=

xyas

yxyxfMin

Portanto, a quantidade mínima é : 100 m + 50 m + 50 m = 200 m

17) Há 320 metros de cerca disponíveis para cercar um campo retangular. Como a cerca deve ser

usada de tal forma que a área incluída seja a máxima possível? Solução:

32022 : .

),(

=+=yxas

xyyxfMáx

Portanto, o campo deve ser um quadrado com 80 metros de lado.

18) Deseja-se construir um aquário, na forma de um paralelepípedo retangular de volume 1 m3

(1.000 L). Determine as dimensões do mesmo que minimizam o custo, sabendo que o custo do material usando na confecção do fundo é o dobro do da lateral e que o aquário não terá tampa.

Solução: 1 :.

222

=++

xyzas

yzxzxyMín, usando os multiplicadores de Lagrange.

Portanto, deve-se construir um cubo de aresta 1 m. 19) Projete uma caixa retangular de leite com largura x , comprimento y e altura z , que contenha

512 cm3 de leite. Os lados da caixa custam 3 centavos/cm2 e o topo e o fundo custam 5 centavos/cm2. Ache as dimensões da caixa que minimizem o custo total. Qual é esse custo?

Solução: 512 :.

yz66xz0xy1

=++

xyzas

Mín, usando os multiplicadores de Lagrange. Portanto, as dimensões

devem ser: Largura ≅ 6,75 cm; Comprimento ≅ 6,75 cm e Altura ≅ 11,24 cm. Em relação ao custo, temos: reais.14,08centavos1.4088)8,C(8,reais13,66centavos065,366.1)24,11,75,6,75,6( ==<==C 20) Encontre o volume máximo que uma caixa retangular pode ter, sujeita a restrição de que a área da

superfície é 10 m2. Resposta: 15,2≅V m3 ou 2.151 L 657 mL > 2 = V(1, 1, 2).

21) Determinar os pontos de máximos e mínimos da função dada, sujeita à restrição indicada: yxzyxf +=),,( e 1),,( 222 −++= zyxzyxg .

Resposta:

0,

2

2 ,

2

2=> Máximo e

−− 0,

2

2 ,

2

2=> Mínimo

22) Determinar os pontos de máximos e mínimos da função dada, sujeita às restrições indicadas:

zyxzyxf ++=),,( e

=+==+=

1),,(

2),,( 22

zxzyxh

yxzyxg

Resposta: )1 ,2 ,0( => Máximo e )1 ,2- ,0( => Mínimo

101

23) Aplicação: Encontre o volume máximo que uma caixa retangular pode ter, sujeita a restrição de que a área da superfície é 10 m2.

Solução:

xyzV = , como 10=A m2 e

510222 =++⇒=++= yzxzxyyzxzxyA 5),,( −++=⇒ yzxzxyzyxg Assim, devemos maximizar xyzV = sujeito a 5=++ yzxzxy

yzx

V =∂∂

, xzy

V =∂∂

e xyz

V =∂∂

⇒ ),,(),,( xyxzyzzyxV =∇

zyx

g +=∂∂

, zxy

g +=∂∂

e yxz

g +=∂∂

⇒ ),,(),,( yxzxzyzyxg +++=∇

=+++=+=+=

⇒

=+++++=

5

)(

)(

)(

5

),,(),,( *

yzxzxy

zyxy

zxxz

zyyz

yzxzxy

zyzxzyxyxzyz

λλλ

λ⇒

=++

=+

=+

=+

5yzxzxy

yx

xyzx

xz

zy

yz

λ

λ

λ

⇒

0 e 0 ,0*

≠≠≠ zyx

yxxzyzxzxyyzyxzyxzxyzx

x

zy

y

zx

xz

zy

yz =⇒=⇒+=+⇒+=+⇒+

=+

⇒+

=+

).().( (1)

yzyxzxyzyxzyzxzxyyxzyx

y

zx

z

yx

xy

zx

xz =⇒=⇒+=+⇒+=+⇒+

=+

⇒+

=+

).().( (2)

Substituindo (1) e (2) em 5=++ yzxzxy , temos:

⇒=⇒=++ 535 2222 yyyy3

5=y

logo: 3

5=== zyx

e o volume é:

1516574,227

125

3

5

3

5

3

5 ≅=⋅⋅=V

ou seja:

15,2≅V 2 m3 ou 2.151 L 657 mL.

102

24) Determinar os pontos de máximos e mínimos da função dada, sujeita à restrição indicadas: 22),( yxyxf += e 1),( −−= xyyxg

Solução:

Como

=∇⋅=∇

0),(

),(),(

yxg

yxgyxf λ ⇒

=−−=

1

)1 ,1()2 ,2(

xy

yx λ ⇒

=−=−=

1

2

2

xy

y

x

λλ

⇒

=−

=

=−

12

2

xy

y

x

λ

λ

⇒

=−−=

1xy

xy ⇒

2

1−=x e 2

1=y

Assim, 2

1

4

1

4

1

2

1

2

1

2

1,

2

122

=+=

+

−=

−f

25) 22),( yxyxf −= e 1),( 22 −+= yxyxg

Como

=∇⋅=∇

0),(

),(),(

yxg

yxgyxf λ ⇒

=+=1

)y2 ,2()2- ,2(22 yx

xyx λ ⇒

1a Parte) )0( ≠x

=+⋅=

=⇒⋅−=

1

22-

122

22 yx

yy

xx

λλλ

⇒

=+=⇒=

=

1

022-

1

22 yx

yyy

λ ⇒ 1102 ±=⇒=+ xx

Assim, os pontos são )0 ,1(1P e )0 ,1(2 −P

máximos de pontos ambos 101)0 ,1(

101)0 ,1(

=−=−=−=

f

f

2a Parte) )0( =x

=+−=⇒⋅=

⋅=

1

122-

22

22 yx

yy

xx

λλλ

⇒

=+−=

=⇒−=

1

1

022

22 yx

xxx

λ ⇒ 1102 ±=⇒=+ yy

Assim, os pontos são )1 ,0(3P e )1 ,0(4 −P => mínimos de pontos ambos 110)1 ,0(

110)1 ,0(

−=−=−−=−=

f

f

INTERPRETAÇÃO PARA O MULTIPLICADOR DE LAGRANGE λ Podemos resolver a maioria dos problemas de otimização condicionados pelo método dos multiplicadores de Lagrange sem obter efetivamente um valor numérico para o multiplicador de Lagrange λ . Em alguns problemas, contudo, podemos querer conhecer λ . Isto seria devido a λ ter uma interpretação útil. Suponha que M seja o valor máximo (ou mínimo) de ),( yxf , sujeita à restrição kyxg =),( . O

multiplicador de Lagrange λ é a taxa de variação de M em relação à k . Isto é: dk

dM=λ

Assim, ≅λ variação em M resultante de um aumento de 1 unidade em k

Lembre-se: Nosso objetivo é: kyxas

yxfMáx

=),g( : .

),( ou

kyxas

yxfMin

=),g( : .

),(