8/2/2019 49614501-retas-e-planos

1/36

Retas e planos

Dados uma reta r e um plano no espao, temos asseguintes possibilidades:

MA620 - Aula 2 . 1/

8/2/2019 49614501-retas-e-planos

2/36

Retas e planos

Dados uma reta r e um plano no espao, temos asseguintes possibilidades:

se r e se intersectam em dois pontos, ento a retaest contida no plano;

MA620 - Aula 2 . 1/

8/2/2019 49614501-retas-e-planos

3/36

Retas e planos

Dados uma reta r e um plano no espao, temos asseguintes possibilidades:

se r e se intersectam em dois pontos, ento a retaest contida no plano;

se r e possuem apenas um ponto em comum, entodizemos que a reta secante ao plano;

MA620 - Aula 2 . 1/

8/2/2019 49614501-retas-e-planos

4/36

Retas e planos

Dados uma reta r e um plano no espao, temos asseguintes possibilidades:

se r e se intersectam em dois pontos, ento a retaest contida no plano;

se r e possuem apenas um ponto em comum, entodizemos que a reta secante ao plano;

se r e no possuem pontos em comum, ento r e

so paralelos.

MA620 - Aula 2 . 1/

8/2/2019 49614501-retas-e-planos

5/36

Teoremas I

Teorema: Seja um plano e r uma reta no contida em . e r so paralelos se e somente se existe uma outra reta scontida paralela a r e contida em .

MA620 - Aula 2 . 2/

8/2/2019 49614501-retas-e-planos

6/36

Exerccios I

Sejam r e s duas retas reversas. Mostre que existe umplano contendo r e paralelo a s.

MA620 - Aula 2 . 3/

8/2/2019 49614501-retas-e-planos

7/36

Exerccios I

Sejam r e s duas retas reversas. Mostre que existe umplano contendo r e paralelo a s.

Mostre que, dadas duas retas no paralelas r e s e umponto P exterior a ambas, existe um plano paralelo a r e s econtendo P.

MA620 - Aula 2 . 3/

8/2/2019 49614501-retas-e-planos

8/36

Posio relativas de planos

Dados dois planos distintos e no espao, temos asseguintes possibilidades:

MA620 - Aula 2 . 4/

8/2/2019 49614501-retas-e-planos

9/36

Posio relativas de planos

Dados dois planos distintos e no espao, temos asseguintes possibilidades:

se e possuem um ponto (e portanto uma reta) emcomum, ento dizemos que os planos so secantes;

MA620 - Aula 2 . 4/

8/2/2019 49614501-retas-e-planos

10/36

Posio relativas de planos

Dados dois planos distintos e no espao, temos asseguintes possibilidades:

se e possuem um ponto (e portanto uma reta) emcomum, ento dizemos que os planos so secantes;

se e no possuem pontos em comum, ento r e

so paralelos.

MA620 - Aula 2 . 4/

8/2/2019 49614501-retas-e-planos

11/36

Posio relativas de planos

Dados dois planos distintos e no espao, temos asseguintes possibilidades:

se e possuem um ponto (e portanto uma reta) emcomum, ento dizemos que os planos so secantes;

se e no possuem pontos em comum, ento r e

so paralelos.

Teorema: Se e so paralelos, ento paralelo atodas as retas contidas em , e vice-versa.

MA620 - Aula 2 . 4/

8/2/2019 49614501-retas-e-planos

12/36

Posio relativas de planos

Dados dois planos distintos e no espao, temos asseguintes possibilidades:

se e possuem um ponto (e portanto uma reta) emcomum, ento dizemos que os planos so secantes;

se e no possuem pontos em comum, ento r e

so paralelos.

Teorema: Se e so paralelos, ento paralelo atodas as retas contidas em , e vice-versa.

Teorema: Se paralelo a duas retas concorrentescontidas em , ento e so paralelos.

MA620 - Aula 2 . 4/

8/2/2019 49614501-retas-e-planos

13/36

Teoremas II

Teorema: Seja um plano e seja P um ponto exterior a .Ento existe um e apenas um plano paralelo a .

MA620 - Aula 2 . 5/

8/2/2019 49614501-retas-e-planos

14/36

Teoremas II

Teorema: Seja um plano e seja P um ponto exterior a .Ento existe um e apenas um plano paralelo a .

Teorema: Se uma reta secante a um plano, ento sersecante a todo plano paralelo a este.

MA620 - Aula 2 . 5/

8/2/2019 49614501-retas-e-planos

15/36

Teoremas II

Teorema: Seja um plano e seja P um ponto exterior a .Ento existe um e apenas um plano paralelo a .

Teorema: Se uma reta secante a um plano, ento sersecante a todo plano paralelo a este.

Teorema: Se um plano secante a uma reta, ento sersecante a qualquer reta paralela a ela.

MA620 - Aula 2 . 5/

8/2/2019 49614501-retas-e-planos

16/36

Teoremas II

Teorema: Seja um plano e seja P um ponto exterior a .Ento existe um e apenas um plano paralelo a .

Teorema: Se uma reta secante a um plano, ento sersecante a todo plano paralelo a este.

Teorema: Se um plano secante a uma reta, ento sersecante a qualquer reta paralela a ela.

Teorema: Sejam e dois planos secantes, e seja r a retacontida em ambos os planos. Ento ser secante aqualquer plano paralelo a , e a interseo ser uma reta

paralela a r.

MA620 - Aula 2 . 5/

8/2/2019 49614501-retas-e-planos

17/36

Exerccios II

Mostre que se uma reta paralela a dois planos secantes,ento ela paralela reta de interseo dos dois planos.

MA620 - Aula 2 . 6/

i

8/2/2019 49614501-retas-e-planos

18/36

Exerccios II

Mostre que se uma reta paralela a dois planos secantes,ento ela paralela reta de interseo dos dois planos.

Sejam r e s duas retas reversas. Mostre que existemplanos paralelos e tais que r est contida em e s estcontida em .

MA620 - Aula 2 . 6/

P i l ti d t l

8/2/2019 49614501-retas-e-planos

19/36

Posies relativas de trs planos

Sejam , e trs planos distintos. As suas possveisposies relativas so:

MA620 - Aula 2 . 7/

P i l ti d t l

8/2/2019 49614501-retas-e-planos

20/36

Posies relativas de trs planos

Sejam , e trs planos distintos. As suas possveisposies relativas so:

os trs planos so paralelos;

MA620 - Aula 2 . 7/

Posies relativas de trs planos

8/2/2019 49614501-retas-e-planos

21/36

Posies relativas de trs planos

Sejam , e trs planos distintos. As suas possveisposies relativas so:

os trs planos so paralelos;dois deles so paralelos, e o terceiro secante aambos, cortando-os em retas paralelas.

MA620 - Aula 2 . 7/

Posies relativas de trs planos

8/2/2019 49614501-retas-e-planos

22/36

Posies relativas de trs planos

Sejam , e trs planos distintos. As suas possveisposies relativas so:

os trs planos so paralelos;dois deles so paralelos, e o terceiro secante aambos, cortando-os em retas paralelas.

os trs planos possuem uma reta comum;

MA620 - Aula 2 . 7/

Posies relativas de trs planos

8/2/2019 49614501-retas-e-planos

23/36

Posies relativas de trs planos

Sejam , e trs planos distintos. As suas possveisposies relativas so:

os trs planos so paralelos;dois deles so paralelos, e o terceiro secante aambos, cortando-os em retas paralelas.

os trs planos possuem uma reta comum;

os trs planos se cortam dois a dois em trs retas

paralelas;

MA620 - Aula 2 . 7/

Posies relativas de trs planos

8/2/2019 49614501-retas-e-planos

24/36

Posies relativas de trs planos

Sejam , e trs planos distintos. As suas possveisposies relativas so:

os trs planos so paralelos;dois deles so paralelos, e o terceiro secante aambos, cortando-os em retas paralelas.

os trs planos possuem uma reta comum;

os trs planos se cortam dois a dois em trs retas

paralelas;

os trs planos possuem um e apenas um ponto emcomum, cortando-se dois a dois segundo trs retas

concorrentes.

MA620 - Aula 2 . 7/

Prismas I

8/2/2019 49614501-retas-e-planos

25/36

Prismas I

Seja P o polgono plano definido por pontos coplanaresA1, A2, . . . , An.

MA620 - Aula 2 . 8/

Prismas I

8/2/2019 49614501-retas-e-planos

26/36

Prismas I

Seja P o polgono plano definido por pontos coplanaresA1, A2, . . . , An.

Tome B1 um ponto exterior ao plano do polgono.

MA620 - Aula 2 . 8/

Prismas I

8/2/2019 49614501-retas-e-planos

27/36

Prismas I

Seja P o polgono plano definido por pontos coplanaresA1, A2, . . . , An.

Tome B1 um ponto exterior ao plano do polgono.

Seja o plano contendo o ponto B1 que paralelo aoplano contendo P.

MA620 - Aula 2 . 8/

Prismas I

8/2/2019 49614501-retas-e-planos

28/36

Prismas I

Seja P o polgono plano definido por pontos coplanaresA1, A2, . . . , An.

Tome B1 um ponto exterior ao plano do polgono.

Seja o plano contendo o ponto B1 que paralelo aoplano contendo P.

Seja r a reta definida pelos pontos A1 e B1.

MA620 - Aula 2 . 8/

Prismas I

8/2/2019 49614501-retas-e-planos

29/36

Prismas I

Seja P o polgono plano definido por pontos coplanaresA1, A2, . . . , An.

Tome B1 um ponto exterior ao plano do polgono.

Seja o plano contendo o ponto B1 que paralelo aoplano contendo P.

Seja r a reta definida pelos pontos A1 e B1.

Trace retas paralelas a r passando pelos demais vrticesA2, . . . , An. Elas cortaro o plano em pontos B2, . . . , Bn.

MA620 - Aula 2 . 8/

Prismas I

8/2/2019 49614501-retas-e-planos

30/36

Prismas I

Seja P o polgono plano definido por pontos coplanaresA1, A2, . . . , An.

Tome B1 um ponto exterior ao plano do polgono.

Seja o plano contendo o ponto B1 que paralelo aoplano contendo P.

Seja r a reta definida pelos pontos A1 e B1.

Trace retas paralelas a r passando pelos demais vrticesA2, . . . , An. Elas cortaro o plano em pontos B2, . . . , Bn.

Os pontos B1

, . . . , Bn

so coplanares, e portanto definemum polgono P congruente a P no plano .

MA620 - Aula 2 . 8/

Prismas I

8/2/2019 49614501-retas-e-planos

31/36

Prismas I

Seja P o polgono plano definido por pontos coplanaresA1, A2, . . . , An.

Tome B1 um ponto exterior ao plano do polgono.

Seja o plano contendo o ponto B1 que paralelo aoplano contendo P.

Seja r a reta definida pelos pontos A1 e B1.

Trace retas paralelas a r passando pelos demais vrticesA2, . . . , An. Elas cortaro o plano em pontos B2, . . . , Bn.

Os pontos B1

, . . . , Bn

so coplanares, e portanto definemum polgono P congruente a P no plano .

Note que os pontos A1, A2, B1, B2 so coplanares, eportanto definem um paralelogramo.

MA620 - Aula 2 . 8/

Prismas II

8/2/2019 49614501-retas-e-planos

32/36

Prismas II

A regio do espao limitada pelos polgonos P e P e pelosparalelogramos A1B1B2A2 etc chamada de prisma debases P e P.

MA620 - Aula 2 . 9/

Prismas II

8/2/2019 49614501-retas-e-planos

33/36

Prismas II

A regio do espao limitada pelos polgonos P e P e pelosparalelogramos A1B1B2A2 etc chamada de prisma debases P e P.

Os segmentos A1B1, . . . , AnBn so chamados arestaslaterais.

MA620 - Aula 2 . 9/

Prismas II

8/2/2019 49614501-retas-e-planos

34/36

Prismas II

A regio do espao limitada pelos polgonos P e P e pelosparalelogramos A1B1B2A2 etc chamada de prisma debases P e P.

Os segmentos A1B1, . . . , AnBn so chamados arestaslaterais.

Os paralelogramos A1B1B2A2 etc so chamados faceslaterais.

MA620 - Aula 2 . 9/

Prismas II

8/2/2019 49614501-retas-e-planos

35/36

Prismas II

A regio do espao limitada pelos polgonos P e P e pelosparalelogramos A1B1B2A2 etc chamada de prisma debases P e P.

Os segmentos A1B1, . . . , AnBn so chamados arestaslaterais.

Os paralelogramos A1B1B2A2 etc so chamados faceslaterais.

Um prisma com base quadrangular tambm chamado de

paraleleppedo.

MA620 - Aula 2 . 9/

Exerccio III

8/2/2019 49614501-retas-e-planos

36/36

Exerccio III

Seja ABCD um tetraedro arbitrrio e tome um ponto P na

aresta AB. Considere o plano passando por P e paralelo

s arestas AC e BD. Mostre que este plano corta otetraedro segundo um paralelogramo.

MA620 - Aula 2 . 10/