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4Estudos Preliminares

4.1Identi�cação e Análise de Cenários

4.1.1Campo-Livre

A primeira necessidade observada é o entendimento da resolução docampo-livre pelos programas SASSI∗ (SASSI 2000 e ACS SASSI). A in�uência,na resposta do campo-livre, da variação de parâmetros de de�nição do sítiocomo:

• Tipo de onda incidente e ângulo de incidência da mesma;• Número de camadas de terreno;• Propriedades do terreno, como: módulos de elasticidade longitudinal e

transversal, densidade especí�ca e altura das camadas;• Direção do movimento de controle;• Localização do ponto de controle.

começou a ser estudada na dissertação de mestrado de Dalcanal, [28],e tem continuidade na dissertação de Correia [29]. O apêndice A, apresentaalgumas recomendações para utilização dos programas SASSI∗ obtidas dosestudos realizados até o momento.

4.1.2Interação Solo-Estrutura - In�uência na Resposta do Terreno

As análises da ISE servem para abrir o cenário SASSI∗, no assuntointeração, para a análise da IESE. Para tal estuda-se o efeito da presença deuma estrutura no terreno. Considera-se estrutura super�cial e com diferentesprofundidades de enterramento.

O estudo é iniciado por uma estrutura simples, tipo caixão, com massasconcentradas, sendo suas freqüências naturais variadas através da consideração

DBD

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Estudos Preliminares 58

de diferentes valores de rigidez. Também se consideram diferentes relações demassa entre a estrutura e o terreno.

Busca-se obter sensibilidade quanto a variação da resposta do terrenopróximo a estrutura implantada e a certo afastamento da mesma.

4.2Campo-livre

4.2.1Resolução do Campo-Livre pelos Programas SASSI∗ (SI) x Propagaçãode Ondas (PO)

Primeiramente faz-se uma ambientação nas soluções adotadas peloSASSI∗ utilizando-se princípios de propagação de ondas em meios elásticos,pelo método da matriz de Thomson-Haskell, [30], apresentado em seqüência.O embasamento da resolução adotada pelo SASSI∗ está apresentada no capí-tulo 3, ítem 3.1.2.

No problema bidimensional no plano, ou seja, ondas P ou SV incidente,tem-se que as condições de deslocamento nas direções x, y e z são respec-tivamente: ux = ux(x, z, t), uy = 0 e uz = uz(x, z, t). Já as equações demovimento nas direções x e z, para um meio viscoelástico isotrópico sujeito auma excitação harmônica são, respectivamente, iguais a:

(M∗ −G∗)∂ε

∂x+ G∗∇2ux = ρ

∂2ux

∂t2(4-1)

(M∗ −G∗)∂ε

∂z+ G∗∇2uz = ρ

∂2uz

∂t2(4-2)

Onde

ε =∂ux

∂x+

∂uz

∂z- dilatação volumétrica

∇2 =∂2

∂x2+

∂2

∂z2- operador de Laplace.

As soluções podem ser expressas por deslocamentos potenciaisΦ e Ψ,nas seguintes formas:

ux =∂Φ

∂x− ∂Ψ

∂z(4-3)

uz =∂Φ

∂z+

∂Ψ

∂x(4-4)

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Sendo que Φ e Ψ satisfazem as equações de onda associadas às ondas Pe SV, respectivamente:

∇2Φ =1

V ∗2P

∂2Φ

∂t2(4-5)

∇2Ψ =1

V ∗2S

∂2Ψ

∂t2(4-6)

Como os movimentos são assumidos harmônicos na freqüência ω, ospotenciais de onda também são harmônicos, permitindo-se escrever as equaçõesna forma independente do tempo como:

∇2Φ + k2P Φ = 0 (4-7)

∇2Ψ + k2SΨ = 0 (4-8)

Onde:kP e kS - números de onda P e S complexos, respectivamente.

Que têm como soluções:

Φ = [A1(ω)exp(−ikφz) + A2(ω)exp(ikφz)] exp(ikx) (4-9)

Ψ = [B1(ω)exp(−ikψz) + B2(ω)exp(ikψz)] exp(ikx) (4-10)

Sendo:k = kP sen(β) = kSsen(α) - número da propagação de onda na horizontal,

dependente do ângulo que as ondas P (β ) e SV (α) fazem com a vertical.kφ = kP cos(β) = kcot(β) - número de propagação da onda P na verticalkψ = kScos(α) = kcot(α) - número de propagação da onda SV na vertical.A1, A2, B1, B2 - amplitudes das ondas P ascendente e descendente e das

ondas SV ascendentes e descendentes, respectivamente.

Considera-se um semi-plano formado por n camadas isotrópicas, homo-gêneas e perfeitamente ligadas na interface, sem permitir deslizamento algumentre as superfícies de interface, como apresentado na Figura4.1.

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Figura 4.1: Semi-plano estrati�cado excitado por ondas de corpo P e SV

O método consiste em reduzir o sistema de equações correspondentes atodo o meio, (4n-2) condições a serem satisfeitas, em um produto de pequenasmatrizes (4x4), uma para cada camada.

Considere-se a camada m limitada pelas interfaces m-1 e m. Re�exõesmúltiplas formarão um sistema de ondas ascendentes (a) e descendentes(d), propagando-se nas direções negativas e positivas de z, com os seguintespotenciais:

φam = amexp

[i(kx− ζm(z − zm−1))

], onda P ascendente (4-11)

φdm = bmexp

[i(kx + ζm(z − zm−1))

], onda P descendente (4-12)

ψam = cmexp

[i(kx− ηm(z − zm−1))

], onda SV ascendente (4-13)

ψdm = dmexp

[i(kx + ηm(z − zm−1))

], onda SV descendente (4-14)

Onde o subscrito m refere-se à camada e am, bm, cm e dm são as ampli-tudes.

Assim, os potenciais totais dos campos de ondas P e SV são:

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φm = φam + φd

m (4-15)

ψm = ψam + ψd

m (4-16)

Uma relação linear entre as amplitudes e as componentes de deslocamen-tos e tensões é dada pela seguinte transformação:

Sm = EmDm (4-17)

Onde

STm =

(uxm uzm σm τm

)(4-18)

DTm =

(am bm cm dm

)(4-19)

Em11 = ikP−1m Em12 = ikPm

Em21 = −iζmP−1m Em22 = iζmPm

Em31 = G∗ (2k2 − k2

Sm

)P−1

m Em32 = G∗ (2k2 − k2

Sm

)Pm

Em41 = 2kG∗mζmP−1

m Em42 = −2kG∗mζmPm

Em13 = iηmQ−1m Em14 = −iηmQm

Em23 = ikQ−1m Em24 = ikQm

Em33 = 2kG∗mηmQ−1

m Em34 = −2kG∗mηmQm

Em43 = −G∗m

(2k2 − k2

Sm

)Q−1

m Em44 = −G∗m

(2k2 − k2

Sm

)Qm

(4-20)

sendo:Pm = exp [iζm (z − zm−1)] exp(ikx) eQm = exp [iηm (z − zm−1)] exp(ikx).

Na interface m-1, Sm−1m = Em−1

m Dm e na interface m, Smm = Em

mDm.Combinando essas relações para produzir uma fórmula de recorrência entre osvalores de deslocamentos e tensões no topo e na base da camada m, tem-seque:

Smm = Em

m(Em−1m )−1Sm−1

m (4-21)

Smm = AmSm−1

m (4-22)

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Onde:

(Em−1m )−1 =

− ikk2

Sm

− i(2k2−k2Sm)

2ζmk2Sm

− 12ρmω2

k2ρmω2ζm

− ikk2

Sm

i(2k2−k2Sm)

2ζmk2Sm

− 12ρmω2 − k

2ρmω2ζm

i(2k2−k2Sm)

2ηmk2Sm

− ikk2

Sm

k2ρmω2ηm

12ρmω2

− i(2k2−k2Sm)

2ηmk2Sm

− ikk2

Sm

− k2ρmω2ηm

12ρmω2

exp(−ikx)

(4-23)

Aplicando-se repetidamente a Equação4-21 para todas as camadas, pelascondições de continuidade, tem-se para todo meio que:

Sn−1n = An−1An−2 . . .A1S

01 (4-24)

e

Dn = (En−1n )−1An−1An−2 . . .A1S

01 (4-25)

Dn = JS01 (4-26)

A formulação de Thomson-Haskell é um algoritmo que relaciona as res-postas na interface n-1 com as respostas na superfície livre por um produto dematrizes. Considerando-se que as constantes an e cn correspondem ao campode ondas incidentes na camada n e as condições de contorno, tem-se a forma:

an

bn

cn

dn

=

J11 J12 J13 J14

J21 J22 J23 J24

J31 J32 J33 J34

J41 J42 J43 J44

u0x

u0z

0

0

(4-27)

Da qual pode-se escrever as expressões para os deslocamentos na super-fície livre:

u0x =

anJ32 − cnJ12

J11J32 − J31J12

(4-28)

u0z =

−anJ31 + cnJ11

J11J32 − J31J12

(4-29)

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Como S10 é conhecida, o vetor de deslocamentos e tensões pode assim ser

avaliado em qualquer nível da camada m por:

Sz∗m = Ez∗

m (Em−1m )−1Am−1 . . .A1S

01 (4-30)

Onde:z∗ = z − zm−1 - profundidade medida a partir do topo da camada.

Já no problema bidimensional fora do plano, onda SH incidente, ascondições de deslocamentos nas direções x, y e z são, respectivamente:ux = 0,uy = uy(x, z, t) e uz = 0. Essas condições produzem a seguinte equação demovimento:

∇2uy =1

V 2S

∂2v

∂t2(4-31)

Por separação de variáveis, tem-se a equação da onda no domínio dafreqüência:

∇2uy + k2Suy = 0 (4-32)

Que tem como solução geral:

uy = [A1(ω)exp(−ikψz) + A2(ω)exp(ikψz)] exp(ikx) (4-33)

Onde:kψ = kScos(αi) - número de propagação da onda SH na vertical.A1, A2 - amplitudes das ondas SH ascendente e descendente, respectiva-

mente.

Nesse caso o sistema consistirá do produto de matrizes (2x2) para cadacamada.

Como onda SH incidente gera somente onda SH re�etida e refratada, ocampo de deslocamentos, fora do plano, é formado por ondas SH ascendentes(a) e descendentes (d), propagando-se nas direções negativa e positiva de z,com as seguintes expressões:

uaym

= cmexp[i(kx− ηm(z − zm−1))

], onda SH ascendente (4-34)

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udym

= dmexp[i(kx + ηm(z − zm−1))

], onda SH descendente (4-35)

Assim os deslocamentos totais são:

uym = uaym

+ udym

(4-36)

E a relação linear entre as amplitudes das ondas e as componentes dedeslocamento e tensão é dada pela transformação:

Sm = EmDm (4-37)

Onde

STm =

(uym τm

)(4-38)

DTm =

(cm dm

)(4-39)

Em11 = Q−1m Em12 = Qm

Em21 = −iηmG∗mQ−1

m Em22 = iηmG∗mQm

(4-40)

E, a fórmula de recorrência entre os valores de deslocamento e tensão notopo e na base da camada m, torna-se:

Smm = Em

m(Em−1m )−1Sm−1

m (4-41)

Smm = AmSm−1

m (4-42)

Onde:

(Em−1m )−1 =

−i

2G∗mηm

[iG∗

mηm −1

iG∗mηm 1

](4-43)

Para todo o meio tem-se:

Sn−1n = An−1An−2 . . .A1S

01 (4-44)

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e

Dn = (En−1n )−1An−1An−2 . . .A1S

01 (4-45)

Dn = JS01 (4-46)

ou seja,{

cn

dn

}=

[J11 J12

J21 J22

]{u0

y

0

}(4-47)

Assim:

u0y =

cn

J11

(4-48)

Novamente pela Equação 4-30, podem-se calcular os deslocamentos emqualquer nível da camada m.

Agora, faz-se uma comparação numérica das metodologias apresentadas.Estuda-se, separadamente, o caso de ondas de corpo P, SV e SH incidente notopo de um semi-espaço que suporta três camadas de solo, como apresentadona Figura 4.2. As respostas de campo-livre, na superfície de cada camada edo SE, são obtidas utilizando-se o programa SASSI 2000 (SI) e o método damatrix de Thomson-Haskell (TH). Os espectros de amplitudes do movimentode campo-livre na vertical do ponto de controle, para as direções x, z e y , sãoobtidos e comparados.

As propriedades do solo do semi-espaço e das camadas são apresentadasna Tabela 4.1. Considera-se o ponto de controle (PC) localizado no topo daprimeira camada e o movimento de controle atuando nas direções x (mcX),para ondas P ou SV e y (mcY ), para onda SH.

As Figuras 4.3 e 4.4 apresentam os espectros em aceleração do movimentode campo-livre na superfície de cada camada e do semi-espaço (SE), nas dire-ções x e z, respectivamente, para onda P incidente. Observa-se a concordânciade resultados entre as metodologias em todos os casos.

O mesmo ocorrendo com os resultados nas direções x e z, para onda SVincidente, Figuras 4.5 e 4.6, respectivamente, e na direção y, para onda SHincidente, Figura 4.7.

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Figura 4.2: Modelo do campo-livre

Tabela 4.1: Propriedades do terreno do modelo de campo-livreParâmetros de campo-livre Camadas Semi-espaço

(cam) (SE)Peso Especí�co (γ) (kN/m3) 18,5 18,5Velocidade de propagação 1200 2500da onda S (VS) (m/s)Velocidade de propagação 1900 4000da onda P (VP ) (m/s)Amortecimento associado 0,07 0,07à onda S (ξS)Amortecimento associado 0,07 0,07à onda P (ξP )

Figura 4.3: Espectro de amplitude do movimento de campo-livre na vertical doponto de controle, direção x, onda P incidente, obtida usando-se o SASSI2000e o método da matrix de Thomson-Haskell (TH)

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Figura 4.4: Espectro de amplitude do movimento de campo-livre na vertical doponto de controle, direção z, onda P incidente, obtida usando-se o SASSI2000e o método da matrix de Thomson-Haskell (TH)

Figura 4.5: Espectro de amplitude do movimento de campo-livre na vertical doponto de controle, direção x, onda SV incidente, obtida usando-se o SASSI2000e o método da matrix de Thomson-Haskell (TH)

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Figura 4.6: Espectro de amplitude do movimento de campo-livre na vertical doponto de controle, direção z, onda SV incidente, obtida usando-se o SASSI2000e o método da matrix de Thomson-Haskell (TH)

Figura 4.7: Espectro de amplitude do movimento de campo-livre na vertical doponto de controle, direção y, onda SH incidente, obtida usando-se o SASSI2000e o método da matrix de Thomson-Haskell (TH)

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4.3Interação Solo-Estrutura - In�uência no Movimento do Terreno

4.3.1Estratégia

Busca-se adquirir sensibilidade quanto ao comportamento da soluçãode problemas com interação solo-estrutura e, posteriormente, com interaçãoestrutura-solo-estrutura, adotada pelos programas SASSI∗, pela análise de umaestrutura espacial modelada por elementos de viga com massas concentradasem um terreno estrati�cado em camadas horizontais semi-in�nitas sobre umsemi-espaço elástico em rocha, Figura 4.8. Assim, comparam-se as respostasobtidas no terreno considerando a interação solo-estrutura, com as respostasdo campo-livre, ou seja, do terreno sem a presença da estrutura.

Os aspectos gerais da interação são avaliados variando-se as relações entrea profundidade de enterramento e a largura da base da estrutura (re) e entreas primeiras freqüências naturais da estrutura e do terreno (rf). Mantém-secomo latente um parâmetro relacionando as massas especí�cas do terreno e daestrutura.

Avalia-se a resposta do terreno, no topo da camada super�cial, navertical do ponto de controle, para os vários casos analisados. As freqüênciasnaturais são obtidas das funções de transferência nas direções x, considerandomovimento de controle na direção Z (FTx-mcZ), e z, para movimento decontrole na direção X (FTz-mcX), por serem funções mais bem comportadas.E, as con�gurações dos modos, nessas freqüências, são obtidas das funções detransferência nas respectivas direções, considerando o movimento de controlena direção X se onda SV incidente e, Z para a onda P, por serem as direçõesde maior in�uência dessas ondas.

Assim, tem-se uma base para posterior análise de problemas com intera-ção estrutura-solo-estrutura utilizando-se o programa SASSI∗ e dos parâmetrosque mais in�uenciam na interação.

4.3.2Modelo Básico

Estrutura espacial de dimensões 6 x 6 x 6 m , dividida de 2 em2 m em cada direção e com massas concentradas, como apresentado naFigura 4.8. Modela-se a estrutura com 160 elementos de viga, de seçãotransversal quadrada, com as propriedades geométricas e mecânicas descritasna Tabela 4.2. A massa da estrutura é concentrada e distribuída igualmentenos nós de cada andar, sendo que os andares intermediários recebem a

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contribuição de metade da massa dos andares sub e sobrejacentes. Considera-se um carregamento de 12 kN/m2 por andar, correspondendo ao peso próprioda estrutura e de outros carregamentos gravitacionais, sendo assim, cada nódos andares superior e inferior apresenta massa igual a 1,35 t e os dos andaresintermediários igual a 4,05 t, em cada uma das três direções.

Figura 4.8: Modelo da estrutura sobre o terreno estrati�cado.

Tabela 4.2: Propriedades das vigas da estruturaMecânicas Geométricas

Mód. Elast. Long. variável Area Sec. Transv. 0,1600 m2

Coef. Poisson 0,3 Area Cisalhamento 0,1333 m2

Peso Unitário 0,0 Inércia à Torção 0,0036 m4

Fator de Amortecimento 0,07 Inércia à Flexão 0,0021 m4

O terreno é modelado por seis camadas horizontais de solo com 2 m deespessura cada e propriedades indicadas na Tabela4.3, sobre um semi-espaçoelástico de propriedades indicadas na mesma tabela.

A relação entre as massas especí�cas da estrutura e do terreno (rm) éigual a 0,4 .

Adota-se o ponto de controle na superfície do terreno e na posiçãocorrespondente ao centro da estrutura. Utilizam-se onda SV ou P incidentea 20◦ e movimento de controle nas direções X e Z.

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Tabela 4.3: Propriedades das camadas de solo e do SEParâmetros do terreno Camadas Semi-espaço

(cam) (SE)Peso Especí�co (γ) (kN/m3) 18,5 18,5Velocidade de propagação 1200 2500da onda S (VS) (m/s)Velocidade de propagação 1900 4000da onda P (VP ) (m/s)Amortecimento associado 0,07 0,07à onda S (ξS)Amortecimento associado 0,07 0,07à onda P (ξP )

4.3.3Programa de Ensaios

Analisa-se a estrutura, com base �xa, separadamente no programa SAP2000, para obtenção de suas freqüências naturais. As freqüências naturais doterreno são obtidas pelo método simpli�cado de representação apresentado emDalcanal, [28]. A análise do sistema terreno estrutura, considerando a interaçãoentre os dois, é realizada no programa SASSI 2000, para os diferentes valoresde relações de freqüências (rf): 0,1; 0,5; 1,0; 1,5 e 2,0.

Juntamente, avalia-se a in�uência da relação entre a profundidade deenterramento da estrutura e a altura/largura da mesma (re) na resposta doterreno, para os cinco casos de rf . Os valores de re considerados são: nulo(0), no caso de estrutura super�cial, 1/3, 2/3 e 1, estrutura completamenteenterrada.

Obtêm-se os modos de aceleração do terreno (Φ), na vertical do ponto decontrole, nas direções x e z, pelas FTx e FTz, respectivamente, considerandomovimento de controle na direção X, se onda SV incidente, e na direção Zse onda P, no topo da camada super�cial, para o campo-livre e os diferentescasos de interação solo-estrutura. Observam-se as variações relativas, entre assituações de campo-livre e deste mais a estrutura, do quadrado do módulodas con�gurações na vertical do ponto de controleΦT Φ, para as três primeirasfreqüências do conjunto terreno-estrutura.

Para mobilizar a in�uência da relação de massas entre a estrutura e oterreno (rm), analisam-se os casos de rf = 0, 1 e re = 0 e 1, submetidos à ondaSV a 20o, considerando rm = 1, 5 e 3, 0; valores mais associados a estruturasde edifícios de instalações industriais pesadas, [16]. Veri�cam-se as variaçõesdas freqüências naturais e dos módulos das con�gurações na vertical do pontode controle.

Na seqüência, analisa-se a in�uência da interação solo-estrutura em

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pontos afastados horizontalmente da vertical do ponto de controle a uma vez alargura da estrutura nessa direção (L), duas (2L), três (3L), cinco (5L) e dezvezes essa largura (10L).

Avalia-se nos topos das primeira (super�cial) e quarta camadas, e dosemi-espaço (SE), a variação relativa dos valores das amplitudes das FT nasfreqüências com movimento predominante na vertical (44,43 Hz) e na horizon-tal (81,05 Hz), para os diferentes valores de afastamento. Essas freqüências sãoos valores das freqüências correspondentes aos máximos picos das FTz-mcXe FTx-mcZ, respectivamente, do campo-livre na vertical do ponto de controle(VtPC) e na superfície da primeira camada. Também veri�ca-se para os to-pos dessas camadas e do SE a diferença das amplitudes máximas das FT nosdiferentes afastamentos em relação à amplitude máxima das FT na VtPC.

4.3.4Apresentação e Análise dos Resultados

A Figura 4.9 apresenta a variação relativa ao campo-livre da primeirafreqüência do conjunto terreno-estrutura obtida das FT no topo da camadasuper�cial, para diferentes relações de freqüência e de enterramento, conside-rando onda SV incidente a 20◦.

Analisando-se a curva correspondente à estrutura super�cial, re = 0,tem-se como divisor o caso onde as freqüências da estrutura e do terrenocoincidem, rf = 1. Veri�ca-se que a freqüência do conjunto, consideradaestrutura super�cial, é reduzida em relação à do campo-livre. Isso deve-seao fato que, ao apoiar a estrutura sobre o terreno a massa da estruturasoma-se à deste, aumentando a massa do conjunto, reduzindo a freqüênciatotal em relação à do campo-livre. Com o enterramento da estrutura há umareorganização da massa e da rigidez do conjunto, aumentando a freqüênciatotal em relação à do campo-livre. Essa variação reduz com o aumento darelação de enterramento.

Voltando-se à curva correspondente à estrutura super�cial, nota-se quepara valores de rf > 1 a freqüência do conjunto cresce com a relaçãode freqüências, aproximando-se assintoticamente de um valor determinado,correspondendo à presença de um caixão rígido depositado sobre o terreno. E,para rf < 1, a freqüência do conjunto também aumenta em relação ao valorpara rf = 1, tendendo ao valor da freqüência do campo-livre à medida querf aproxima-se de zero; uma vez que a rigidez da estrutura tende a zero, oterreno passa a representar todo o conjunto, e a sua freqüência aproxima-se dado campo-livre.

As curvas para estrutura com enterramento, re 6= 0, têm um comporta-

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mento regular partindo de rf = 0, 1; com valor bem superior ao da freqüênciado campo-livre e decaindo assintoticamente para o valor determinado, agoraconsistente com um caixão rígido parcial ou totalmente enterrado. Esse va-lor decai com o aumento da relação de enterramento, ainda presidido pelareorganização da massa e da rigidez do conjunto à medida que prossegue oenterramento. Excepcionalmente, parare = 1/3 esse comportamento muda deorientação para rf < 0, 5; quando há um mergulho indicando uma freqüênciado conjunto inferior à do campo-livre.

Figura 4.9: Variação relativa da 1a freqüência do conjunto em função da relaçãode freqüências entre a estrutura e o terrenorf , considerando diferentes relaçõesde enterramento re e onda SV a 20o.

Uma forma simpli�cada para se entender a redução da freqüência doconjunto com a crescente freqüência da estrutura, situação aparentementecontraditória, é a indução de uma associação da rigidez do terreno,kt, com ada estrutura, ke, como apresenta a Figura 4.10.

Massakt ke

F, v

F = ( - ) vkt ke

Figura 4.10: Indução da rigidez do conjunto a partir da rigidez do terreno (kt)e da estrutura (ke).

Para onda P a 20◦, o comportamento é semelhante ainda que com osvalores extremos maiores para rf = 0, 1; Figura 4.11.

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Figura 4.11: Variação relativa da 1a freqüência do conjunto em função darelação de freqüências entre a estrutura e o terrenorf , considerando diferentesrelações de enterramento re e onda P a 20o.

As variações das segunda e terceira freqüências são praticamente insig-ni�cantes, inferiores a 5%, exceto para o caso de re = 2/3 e rf = 0, 1 queapresenta uma variação um pouco mais signi�cativa, Figuras4.12 e 4.13.

Conclui-se, então, que as variações que realmente têm in�uencia nainteração são as observadas na primeira freqüência do conjunto, especialmentepara os casos de rf ≤ 1, 0 e com enterramento da estrutura.

Figura 4.12: Variação relativa da 2a freqüência do conjunto em função darelação de freqüências entre a estrutura e o terrenorf , considerando diferentesrelações de enterramento re e onda SV a 20o.

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Figura 4.13: Variação relativa da 3a freqüência do conjunto em função darelação de freqüências entre a estrutura e o terrenorf , considerando diferentesrelações de enterramento re e onda SV a 20o.

As variações relativas ao campo-livre do módulo das con�gurações de-formadas do terreno, na primeira freqüência do conjunto, para diferentesrfe re, são apresentadas nas Figuras 4.14, direção x, onda SV incidente e, 4.15,direção z, onda P incidente.

Figura 4.14: Variação relativa do módulo da con�guração do conjunto nadireção x, 1a freqüência, em função da relação de freqüências entre a estruturae o terreno rf , considerando diferentes relações de enterramentore e onda SVa 20o.

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Figura 4.15: Variação relativa do módulo da con�guração do sistema na direçãoz, 1a freqüência, em função da relação de freqüências entre a estrutura e oterreno rf , considerando diferentes relações de enterramento re e onda P a20o.

Observa-se pouca variação do módulo em todas as situações no casode rf > 0, 5; com algumas alterações na região de baixos valores da relaçãode freqüências. Esse comportamento também é observado para variação domódulo das con�gurações nas segunda e terceira freqüências, em ambas asdireções.

Uma vez que os sistemas com menores relações de freqüência são osque apresentam maior sensibilidade à interação solo-estrutura, avalia-se ain�uência do aumento da relação de massas em dois sistemas comrf = 0, 1;um considerando a estrutura super�cial e outro a estrutura completamenteenterrada. Os resultados são apresentados na Tabela4.4.

Tabela 4.4: Variações relativas dos valores das freqüências do conjunto pararf = 0, 1 e onda SV à 20o.

Variação das freqüências do conjuntorm re = 0 re = 1

1a 2a 3a 1a 2a 3a0,4 -0,01 0,00 0,00 0,07 0,05 -0,011,5 -0,02 -0,01 0,00 0,20 -0,10 -0,023,0 -0,04 -0,02 0,00 0,05 0,06 0,02

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Observa-se que, no caso da estrutura super�cial, o aumento da relaçãode massa é insigni�cante para variação das freqüências naturais. Já no caso daestrutura enterrada, a variação das primeira e segunda freqüências do sistemapode chegar a 20% em relação à freqüência do campo-livre. Novamente avariação da terceira freqüência é insigni�cante.

Prossegue-se com o estudo da in�uência da interação solo-estruturana resposta do terreno, com o afastamento relativo da vertical do pontode controle. Para tal, a Figura 4.16 expõe as relações entre as amplitudesdas respostas nos topos das primeira e quarta camadas e do SE, com oafastamento da vertical do ponto de controle, obtidas na maior freqüênciacom movimento predominante na vertical (44,43 Hz) considerando sistemascom re = 2/3 e dois valores de rf : 0,1 e 1,5; sendo onda SV incidente. Dandoprosseguimento, a Figura 4.17 apresenta as mesmas relações porém, obtidasna maior freqüência com movimento predominante na horizontal (81,05 Hz) epara onda P incidente.

Afastamento relativo à VtPC

|a|

/|a

VtP

C|

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.5

0.6

0.7

0.8

1

2

3

4

5

CL

rf = 0,1

rf = 1,5

(a) topo camada super�cialAfastamento relativo à VtPC

|a|

/|a

VtP

C|

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.5

0.6

0.7

0.8

1

2

3

4

5

CL

rf = 0,1

rf = 1,5

(b) topo quarta camada


|a|

/|a

VtP

C|

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

CL

rf = 0,1

rf = 1,5

(c) topo SE

Figura 4.16: Variação das amplitudes das respostas do terreno em função doafastamento relativo à VtPC, das FTz-mcX, f = 44, 43Hz, considerandore = 2/3 e onda SV a 20o.

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|a|

/|a

VtP

C|

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.5

0.6

0.7

0.8

1

2

3

4

5

CL

rf = 0,1

rf = 1,5

(a) topo camada super�cialAfastamento relativo à VtPC

|a|

/|a

VtP

C|

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

CL

rf = 0,1

rf = 1,5

(b) topo quarta camada


|a|

/|a

VtP

C|

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

2

CL

rf = 0,1

rf = 1,5

(c) topo SE

Figura 4.17: Variação das amplitudes das respostas do terreno em função doafastamento relativo à VtPC, das FTx-mcZ , f = 81, 05Hz, considerandore = 2/3 e onda P a 20o.

Observa-se que, tanto para onda SV quanto para onda P incidente, asmaiores variações são para o caso de rf = 0, 1; e para distâncias inferiores acinco vezes a largura da base da estrutura, na mesma direção do afastamento.A partir dessa distância o comportamento das curvas de resposta dos sistemastendem a �car paralelas à curva resposta do campo-livre. A variação do sistemacom rf = 1, 5 é muito menor em todos os casos.

Para se ter uma idéia geral da sensibilidade do valor do afastamento àinteração solo-estrutura, apresentam-se, na Figura4.18, a variação relativa aocampo-livre dos valores das amplitudes das respostas máximas da FTz-mcX,para onda SV incidente e FTx-mcZ, para onda P incidente, dos sistemas comre = 2/3 e rf = 0, 1 e 1, 5; nos topos das primeira e quarta camadas e do SE.

Novamente observa-se maior sensibilidade dos sistemas comrf = 0, 1 euma variação inferior a 15% a partir de um afastamento de três vezes a largurada estrutura na direção de afastamento (3L), em todos os casos.

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Afastamento relativo á VtPC

(|a

sis

tem

a|

-|a

CL|)

/|a

CL|

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.9

-0.75

-0.6

-0.45

-0.3

-0.15

0

0.15

0.3

rf = 0,1 - topo cam suprf = 1,5 - topo cam suprf = 0,1 - topo cam 4rf = 1,5 - topo cam 4rf = 0,1 - topo SErf = 1,5 - topo SE

(a) FTz-mcX, SV 20o


(|a

sis

tem

a|

-|a

CL|)

/|a

CL|

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.75

-0.6

-0.45

-0.3

-0.15

0

0.15

0.3

0.45

rf = 0,1 - topo cam suprf = 1,5 - topo cam suprf = 0,1 - topo cam 4rf = 1,5 - topo cam 4rf = 0,1 - topo SErf = 1,5 - topo SE

(b) FTx-mcZ, P 20o

Figura 4.18: Variação relativa ao campo-livre das respostas máximas das FT,pelo afastamento relativo à VtPC, de sistemas comre = 2/3 e rf = 0, 1 e 1, 5;no topo das camadas super�cial e quarta e do SE.

Em síntese, a in�uência da interação solo-estrutura pode ser avaliadaprincipalmente analisando-se a variação na primeira freqüência do conjuntoterreno-estrutura. De maneira geral, observa-se que a freqüência decai expo-nencialmente, à medida que cresce a relação de freqüências entre a estrutura eo terreno, tendendo para um valor determinado, correspondente a uma estru-tura rígida sobre o terreno ou neste embutida. A posição relativa das curvasdepende da relação de enterramento; menores enterramentos, maiores valoresdeterminados. Sistemas com relação de freqüências mais baixas, ou seja, onde afreqüência da estrutura é inferior à metade da do terreno, apresentam maioresvariações da freqüência do conjunto e do módulo da con�guração a ela as-sociada, bem como oscilações de comportamento. Ainda que, o enterramentoda estrutura conduza à idéia de maiores efeitos de interação, o exemplo emquestão mostra que, este ponto precisa ser examinado com detalhe em fun-ção da relação entre as freqüências da estrutura e do terreno. Para estruturassuper�ciais e relativamente �exíveis praticamente não há interação. Quanto àin�uência na resposta do terreno com o afastamento da vertical do ponto decontrole, pode-se considerar como distância limite de sensibilização três vezesa largura da estrutura na direção de afastamento (3L).

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4 estudos preliminares - dbd puc rio · estudos preliminares. 60 figura 4.1: semi-plano estrati...

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