38 o 29’ 51’’ + 15 o 45’ 24’’ 1) operaÇÃo com Ângulos 38 o 29’ 51’’ + 15 o...
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38o 29’ 51’’ + 15o 45’ 24’’
1) OPERAÇÃO COM ÂNGULOS
38o 29’ 51’’+ 15o 45’ 24’’
53º 74’ 75’’54º 15’ 15’’
ÂNGULOS
Ângulo agudo:
Ângulo obtuso:
Ângulo raso:
Ângulo reto:
2) CLASSIFICAÇÃO DOS ÂNGULOS
90º
= 90º
> 90º
= 180º
Ângulo nulo:
Ângulos adjacentes:
Ângulos consecutivos:
Ângulo de 1 volta:
2) CLASSIFICAÇÃO DOS ÂNGULOS
(lados coincidentes) = 0o
= 360o
Mesmo vértice e um lado comum entre os lados não comuns
Mesmo vértice e, dois a dois, um lado comum.
Ângulos complementares:
Ângulos replementares:
Ângulos suplementares:
2) CLASSIFICAÇÃO DOS ÂNGULOS
+ = 90º
+ = 180º
+ = 360º
3) ÂNGULOS FORMADOS POR DUAS PARALELAS E UMA TRANSVERSAL.
r
s
abc
d
ef
gh
t
Correspondentes: a e e; d e h; b e f; c e g.Opostos pelo vértice: a e c; b e d; e e g; f e h.Alternos internos: d e f; c e e.Alternos externos: a e g; b e h.Colaterais internos: d e e; c e f.Colaterais externos: a e h; b e g.
Questão 3:(UFES) O triplo do complemento de um ângulo é igual à terça parte do suplemento deste ângulo. Este ângulo mede:a) 45o
b) 48o 30’c) 56o 15’d) 60o e) 78o 45’
Questão 3:
O triplo do complemento de um ângulo é igual à terça parte do suplemento deste ângulo.
Solução:
'4578
63081809810
)180.(313270
)180.(31)90.(3
ox
xxx
xx
xx
630º 8 6º 78º
360º 8 0 45’
x 60’
Questão 13:(UF-ES) Se as retas r e s da figura abaixo são paralelas então 3 + vale:a)225o
b)195o c)215o d)1750 e)1850
Questão 13:
Solução:
15º
60º
60º 30º
30º = 60º
= 45º
o1953
6045.33
Questão 16:(UF-MG) Na figura, AC = CB = BD e A = 25o. O ângulo x mede:a)50o b)60o c)70o d)75o e)80o
Questão 16:
AC = CB = BD
Solução:
25º
130º 50º
50º
80º 75º
1) POLÍGONOS CONVEXOS E NÃO-CONVEXOS
CONVEXO NÃO-CONVEXO
POLÍGONOS
2) SOMA DOS ÂNGULOS
Si = (n – 2).180o
n = 4
1 x 180º Si = 180º n = 3
2 x 180º Si = 360º
n = 5 3 x 180º Si = 540º
2) SOMA DOS ÂNGULOS
Se = 360o
3) NÚMERO DE DIAGONAIS
no de diagonais de um polígono c/ n lados:
no de diagonais determinadas a partir de 1 vértice: (n – 3)
2)3.(
nnd
Questão 2:(CESCEM-adaptada) Se ABCDE é um polígono regular, então a soma dos ângulos assinalados na figura é: a) 90o b)120o c)144o d)154o e)180o
Questão 2:Solução:
180º – A – C
180º – B – D 180º – C – E
180º – A – D
180º – B – E
oi
oi
oi
S
S
nS
540
180).25(
180).2(
180 – A – C + 180 – B – D + 180 – C – E + 180 – A – D + 180 – B – E = 540 2A + 2B + 2C + 2D + 2E = 360 2.(A + B + C + D + E) = 360 (A + B + C + D + E) = 180º
Questão 4:(ESAF/2006) Em um polígono de n lados, o número de diagonais determinadas a partir de um de seus vértices é igual ao número de diagonais de um hexágono. Desse modo, n é igual a:a) 11b)12c)10d)15e)18
Questão 4:
O número de diagonais determinadas a partir de um de seus vértices é igual ao número de diagonais de um hexágono.
Solução:
Diagonais a partir de um dos vértices: (n – 3)
Diagonais de um hexágono:
92)36.(6
2)3.(
d
d
nnd Então:n – 3 = 9n = 12
Questão 6:No hexágono ABCDEF abaixo, a medida do ângulo ABC é o quádruplo da medida do ângulo EFA. Calcule a medida de um ângulo obtuso formado pelas bissetrizes de ABC e EFA.a)100o
b)110o c)120o d)130o e)140o
Questão 6:
A medida do ângulo ABC é o quádruplo da medida do ângulo EFA. Calcule a medida de um ângulo obtuso formado pelas bissetrizes de ABC e EFA.
x
4x
5x + 160 + 120 + 90 + 150 = (6 – 2).180 5x + 520 = 720 5x = 200 x = 40
Solução:
Questão 6:
A medida do ângulo ABC é o quádruplo da medida do ângulo EFA. Calcule a medida de um ângulo obtuso formado pelas bissetrizes de ABC e EFA.
5x + 160 + 120 + 90 + 150 = (6 – 2).180 5x + 520 = 720 5x = 200 x = 4020º
80º
+ 20 + 160 + 80 = 360 = 100º
Solução:
Questão 8:Na figura seguinte, o valor de é:a) 90o b) 95o c) 100o d) 110o e) 120o
Questão 8:Solução:
75º
110º
1) CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA
Em todo triângulo, qualquer lado é menor que a soma e maior que a diferença entre os outros dois.
a
b c
b - c a b + c
TRIÂNGULOS
2) ELEMENTOS
Altura: é o segmento de reta que liga um vértice ao lado oposto, perpendicularmente.
Bissetriz interna: é a semi-reta que divide o ângulo em dois ângulos de medidas iguais.
2) ELEMENTOS
Observação: Teorema da Bissetriz Interna.
A bissetriz interna de um triângulo determina sobre o lado oposto dois segmentos proporcionais aos outros dois lados.
A
B CP
PCAC
BPAB
PCAC
BPAB
2) ELEMENTOS
Mediana: é o segmento de reta que liga um vértice ao ponto médio do lado oposto.
Mediatriz: é a reta perpendicular a um lado, que o divide em dois segmentos de mesma medida.
2) ELEMENTOS
Baricentro: é o ponto de interseção das medianas.
OBSERVAÇÃO: O baricentro divide cada mediana na razão 2/3 a partir do vértice.
2) ELEMENTOS
Incentro: é o ponto de interseção das bissetrizes.
OBSERVAÇÃO: O incentro é o centro da circunferência inscrita no triângulo. Assim, o incentro é eqüidistante dos lados do triângulo.
2) ELEMENTOS
Circuncentro: é o ponto de interseção das mediatrizes.
OBSERVAÇÃO: O circuncentro é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo. Assim o circuncentro é eqüidistante dos vértices do triângulo.
2) ELEMENTOS
Ortocentro: é o ponto de interseção das alturas.
2) ELEMENTOS
OBSERVAÇÃO: Os três pontos de interseções, baricentro, circuncentro e ortocentro, de uma maneira geral são pontos distintos. Mas em qualquer triângulo, eles estão alinhados (Reta de Euller).Se o triângulo for eqüilátero, os quatro pontos (baricentro, incentro, ortocentro e circuncentro) são coincidentes.
2) ELEMENTOS
3) SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
Dois triângulos são semelhantes quando possuem lados homólogos* proporcionais e ângulos respectivamente de mesmas medidas. * lados homólogos: são lados opostos a ângulos iguais.
3) SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
45o 45o 60o 60o 50o 50o
2 cm
3 cm
3 cm
4,5 cm
2 cm
3 cm4 cm
4 cm
8 cm 6 cm
4) RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
A
BCa
b c
m n
h
b2 = a.m c2 = a.n
h2 = m.n
a.h = b.c
a2 = b2 + c2
5) RELAÇÕES MÉTRICAS NUM TRIÂNGULO QUALQUER
A B
C
b a
cm n
ha2 = b2 + c2 - 2c.m
Triângulo Acutângulo: Num triângulo acutângulo qualquer, o quadrado do lado oposto a um ângulo agudo é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos duas vezes o produto de um deles pela projeção do outro sobre ele.
5) RELAÇÕES MÉTRICAS NUM TRIÂNGULO QUALQUER
Triângulo Obtusângulo: Num triângulo obtusângulo qualquer, o quadrado do lado oposto a um ângulo agudo é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, mais duas vezes o produto de um deles pela projeção do outro sobre ele.
a2 = b2 + c2 + 2c.n
m
C
A B
ab
c
h
n
6) RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS
AB
C
hipotenusa cateto oposto
cateto adjacente
adjacentecatetoopostocatetotg
hipotenusaadjacentecateto
hipotenusaopostocatetosen
cos
6) RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS
sen cos tg
30o
45o
60o
21
2122
22
23
23
33
1
3
7) LEI DOS SENOSNum triângulo qualquer, as medidas dos lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos.
r.2senC
csenB
bsenA
a
8) LEI DOS COSSENOSNum triângulo, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois, menos o dobro do produto das medidas desses dois lados pelo cosseno do ângulo oposto ao primeiro lado.
a2 = b2 + c2 – 2.b.c.cosA
Questão 3
(COVEST 2003) Um triângulo com lados medindo 2.1050, 10100 – 1 e 10100 + 1:a) é isóscelesb) é retânguloc) tem área 10150 – 1d) tem perímetro 4.10150
e) é acutângulo
Solução:
100100200100200
25021002100
10.4110.210110.210
)10.2()110()110(
O triângulo é retângulo.
Questão 4
(COVEST 2006) A ilustração a seguir representa uma escada de comprimento 2,5m apoiada em uma parede vertical. A extremidade inferior da escada está a uma distância de 0,70m da parede. Determine a aresta da maior caixa cúbica que pode ser transportada pela região limitada pela escada e pela parede vertical. (Aproxime seu resultado até os centésimos)
Questão 4
2,5m
0,70m
x
x
myy
y
y
4,276,5
25,649,0
5,27,0
2
2
222
2,4 – x
mxxxx
xx
54,068,1.1,3.4,2.7,068,1
7,04,24,2
Questão 8
(COVEST 2001 – 2ª fase) Na ilustração a seguir, CD é um diâmetro da circunferência com centro em O e raio 8. AC e BD são perpendiculares a AB, e AB é tangente à circunferência em T. Se AB = 12, calcule AO.
8
88
6 6 Solução:
10100
862
222
xx
xx
Questão 12
(Vunesp-adaptada) No triângulo ABC da figura, BD é bissetriz do ângulo interno B, e CD é bissetriz do ângulo externo relativo ao vértice C. Determine a medida do ângulo interno Â.a) 60o b) 70o c) 800 d) 90o e) 100o
OBSERVAÇÃO:
x
x + = + = +
x + = + +
x = 2.
Questão 12
(Vunesp-adaptada) No triângulo ABC da figura, BD é bissetriz do ângulo interno B, e CD é bissetriz do ângulo externo relativo ao vértice C. Determine a medida do ângulo interno Â.a) 60o b) 70o c) 800 d) 90o e) 100o X
Questão 13
(COVEST 2001) Na figura abaixo, BC e AC são bissetrizes dos ângulos DBE e DAB, respectivamente. Se o ângulo ACB mede 21o 30’, qual é a medida, em graus, do ângulo ADB?a) 43b) 41c) 40d) 44e) 42
X
Questão 17
(UCSal/93-adaptada) Na figura abaixo têm-se o triângulo ABC, cujo perímetro é 26cm. O losango ADEF, cujos lados medem 4cm. Se BC mede 8cm, os outros dois lados do triângulo ABC medem:a) 5 e 13b) 6 e 12c) 7 e 11d) 8 e 10e) 9 e 9
Solução:
44
44
8
xy
x + y = 10
16..416..4
444
yxyyxy
yyx
x = 8 e y = 2Os lados valem 6cm e 12cm
Questão 18
(Vunesp) Do quadrilátero ABCD de figura, sabe-se que os ângulos internos de vértices A e C são retos; os ângulos CDB e ADB medem, respectivamente, 45º e 30º; o lado CD mede 2dm. Então, os lados AD e AB medem, respectivamente, em dm:
5e3)e
5e6)d
2e6)c
3e5)b
3e6)a
OBSERVAÇÃO:
30o
cat. opostohipotenusa
cat. adjacente
opostocatadjacentecatopostocatadjacentecat
adjacentecatopostocattg
hipotenusaopostocathipotenusa
opostocatsen
o
o
..3.3..3.
33
..30
.21.
21.30
OBSERVAÇÃO:
30o
48
4. 330o
510
5. 3
30o
612
6. 330o
714
7. 3
Solução:
45o30o
2. 2
2
2 .3 6=
Questão 19
(UFBA/93-adaptada) Considere o triângulo eqüilátero ABC, com lado medindo 6cm. Seja M o ponto médio do lado AC, e seja P o ponto do lado BC tal que PB = 2cm. Sendo x cm2 a área de um quadrado de lado MP, determine x.
Solução:
A C
B
M
6
3 3
2
4
P
60o
x13
21.24169
60cos.4.3.243
2
2
222
x
x
x o
Questão 20
(UnB-DF/adaptado) Na figura abaixo, calcule a medida do ângulo AMD, sabendo que M é o ponto médio de BC.
a) 15o b) 20o c) 30o d) 40o e) 50o
OBSERVAÇÃO:
Solução:
20o 20o
50o
80o
60o
60o
40o