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Matemática para CEF Teoria e Exercícios Comentados

Prof Alexandre Azevedo – Aula 01

Prof. Alexandre Azevedo www.estrategiaconcursos.com.br 1

Olá pessoal, tudo bem? Esta será a primeira aula de nosso curso e darei

continuidade ao conteúdo que foi visto na aula demonstrativa.

Darei especial atenção aos descontos simples, pois são os que mais caem em prova.

Mesmo assim, veremos algumas questões de descontos compostos, assunto que irá voltar a aparecer em aulas mais à frente.

Sintam-se à vontade para usar o meu email para dúvidas, sugestões e

críticas.

Forte abraço,

Prof Alexandre Azevedo

Janeiro/ 2012

AULA 01: Juros, capitalização e taxas

(segunda parte)




1) (CESPE – 2011 – FUB – CONTADOR) Julgue os próximos itens,relativos ao regime de juros compostos.Para um mesmo

capital aplicado a uma mesma taxa, o montante em regime de

juros composto é sempre superior ao montante em regime de juros simples.

Resolução:

Para responder essa questão, o candidato deveria conhecer os gráficos

dos montantes de juros simples e de juros compostos:

Por esse gráfico, podemos perceber que:

- o montante em juros simples cresce linearmente;

- o montante em juros compostos cresce exponencialmente;

- o montante em juros simples é maior que o montante em juros

compostos quando tempo <1;

- o montante em juros simples é igual ao montante em juros compostos quando tempo = 1;

- o montante em juros simples é menor que o montante em juros

compostos quando tempo >1.

LEMBRETE: mesmo capital inicial e mesma taxa de juros tanto para juros

simples quanto para compostos!!!

Agora voltando a nossa questão. A questão fala que o montante em juros




compostos é sempre maior que o montante em juros simples, mas isso

está errado, uma vez que quando t<1, o montante de juros simples é maior que o de juros compostos.

GABARITO: ERRADO

2) (CESPE – 2011 – FUB – CONTADOR) Julgue os próximos itens,

relativos ao regime de juros compostos.

Os juros em regime de juros compostos geram, ao longo do tempo, uma curva exponencial.

Resolução:

Essa é mais uma questão que pode ser respondida pelo gráfico:

Por esse gráfico, podemos perceber que: - o montante em juros simples cresce linearmente(em forma de uma

reta); - o montante em juros compostos cresce exponencialmente(é essa

curva que temos no desenho);

- o montante em juros simples é maior que o montante em juros compostos quando tempo <1;

- o montante em juros simples é igual ao montante em juros compostos

quando tempo = 1;

- o montante em juros simples é menor que o montante em juros compostos quando tempo >1.

GABARITO: CERTO




3) (CESPE – 2011 – STM) Carlos e Paulo ganharam R$ 200.000,00

em uma loteria. Com a sua metade do prêmio, Carlos comprou um apartamento e o alugou por R$ 600,00 ao mês. No mesmo dia,

Paulo investiu a sua parte em uma aplicação financeira à taxa de

juros compostos de 0,6% ao mês. Carlos guardava em casa o valor do aluguel recebido; Paulo deixava o seu rendimento na

aplicação, para render nos meses seguintes.

Com base nessa situação, e considerando as aproximações 1,006² = 1,012 , 1,006³ = 1,018 e 1,0066 = 1,0363, julgue os itens que se

seguem.

O rendimento obtido por Paulo no primeiro mês de aplicação é o mesmo que o obtido por Carlos no primeiro mês de aluguel.

Resolução:

Dados da questão:

- Cada rapaz recebeu R$100000 de prêmio.

- Carlos recebe R$600 de aluguel por mês.

- Paulo faz um investimento a juros composto cuja a taxa é de 0,6% ao mês:

i = 0,6% ao mês = 0,006 ao mês (juros compostos)

Vo = 100000

A questão afirma que o investimento de Paulo no primeiro mês rendeu o

mesmo que o aluguel de Carlos, vamos descobrir quanto o investimento de Paulo lhe rendeu aplicando a fórmula:

J = Vo (1 + i)t – Vo

J = 100000 (1+0,006)¹ - 100000

(t=1, porque a questão fala em um transcurso de tempo do primeiro mês apenas)

J = 100000.1,006 – 100000

J = R$600

Ou seja, o rendimento de Paulo lhe rendeu o mesmo que o aluguel de

Carlos: R$600.

GABARITO: CERTO




Essa questão também poderia ter sido resolvida pelo gráfico dos

montantes de juros simples e juros compostos.

Para isso, o candidato precisaria perceber que Carlos fez um investimento

a juros simples! Vamos explicar melhor:

Carlos comprou um apartamento e o aluga por R$600 por mês. Ou seja, é como se ele tivesse aplicado os R$100000 num investimento de juros

simples que lhe rendesse R$600 por mês. É juros simples porque incide apenas no capital inicialmente aplicado. Vamos achar que taxa de juros

seria?

Antes disso vamos destacar os dados da questão:

Vo = 100000

J = 600 (juros mensal de uma taxa de juros simples)

t = 1 mês

Agora vamos aplicar a fórmula de juros simples:

J = Vo . i .t (juros simples)

600 = 100000 . i . 1

i = 600/100000 = 0,006 ao mês = 0,6% ao mês

Paulo – a banca nos informa que ele investiu a juros compostos. Vamos

ver os dados:

i = 0,6% ao mês = 0,006 ao mês (juros compostos)

Com isso, o aluno poderia visualizar o nosso conhecido gráfico de

montantes de juros simples e juros compostos:




Por esse gráfico, podemos perceber que:

- o montante em juros simples cresce linearmente;

- o montante em juros compostos cresce exponencialmente;

- o montante em juros simples é maior que o montante em juros

compostos quando tempo <1;

- o montante em juros simples é igual ao montante em juros compostos quando tempo = 1;

- o montante em juros simples é menor que o montante em juros

compostos quando tempo >1.

LEMBRETE: mesmo capital inicial e mesma taxa de juros tanto para juros simples quanto para compostos!!!

Observe que no exemplo da nossa questão que temos a mesma taxa de juros simples e compostos (0,6% ao mês) e o mesmo capital inicial

(R$100000), logo, quando o transcurso de tempo for de 1 mês, teremos o mesmo montante.

4) (ADMINISTRADOR PETROBRAS DISTRIBUIDORA CESGRANRIO 2010) A avaliação da taxa de retorno de um investimento pode ser

feita em termos nominais e em termos reais. Se determinado investimento apresenta uma taxa de retorno nominal de 10% em

seis meses e a taxa de inflação no mesmo período foi de 3%, a taxa real desse investimento para o período de seis meses é

(A) igual a 7%.

(B) igual a 13%.

(C) superior a 3% e inferior a 6%. (D) inferior a 7%.

(E) inferior a 10% e superior a 7,1 %.

Resolução:

Esta questão não foi do Cespe, mas coloquei aqui pois achei interessante para nós.

Vou dar um outro exemplo,diferente desta questão, para que você

entenda a idéia.A idéia da questão é a seguinte.Imagine que você ganha um salário de 100 reais.Imagine também que,com esta quantidade, você

consiga comprar determinada coisa.




Se eu pego esta quantia e aplico, o valor que terei daqui a 6 meses será

de 100 x 1,2 = 120 reais.Essa taxa que utilizei de 20% é a taxa real de juros.

Você deve estar imaginando que com estes 120 reais você vai até a loja, compra o mesmo objeto de 100 reais e ainda sobram 120 – 100 = 20

reais ,não é?

Só que para imaginar isso você está achando que o preço da camisa permanecerá o mesmo, o que não aconteceu, já que vamos imaginar que

tivemos uma inflação de 5%.Com isso, a camisa(ou qualquer outra coisa), que custava 100 reais, passará a custar 100 x 1,05 = 105 reais.

Isso quer dizer que,embora pareça que o meu dinheiro aumentou o seu

poder de compra em 20 reais, ele ,na realidade, aumentou em 20 – 5 =15 reais.

A taxa utilizada para chegar a este aumento é que é a taxa nominal do

investimento.

Ou seja, devemos imaginar que,caso não aplicássemos o

dinheiro,deixando ele parado, teríamos o aumento do valor do objeto de 100 para 105.A taxa nominal é aquela que aplicamos sobre estes 105

reais para que eles se transformem em 120.

Logo, tal taxa será igual a:

120 = 105 x f

f = 120/105 =1,14286

Para encontrar a porcentagem,fazemos:

P = f – 1 = 0,14286 = 14,286 %

Na prática, você pode observar que fizemos um primeiro aumento de 5%

e,sobre ele,fizemos um aumento de 14,286%.Ou seja,estamos falando de aumentos sucessivos.E,multiplicando os fatores multiplicativos

correspondentes, temos:

1,05 x 1,14286 = 1,2 , que é justamente o fator multiplicativo de um aumento de 20%.

Professor, complicou...

Vamos resumir então?




A avaliação da taxa de retorno de um investimento pode ser feita em

termos nominais e em termos reais. A taxa nominal é também chamada de taxa aparente. Havendo inflação, a taxa que determinado investimento

rendeu não corresponde aos seus ganhos reais, mas sim aos seus ganhos

nominais (ou aparentes). A taxa real corresponde à taxa nominal descontada a inflação.

Segundo o enunciado, determinado investimento apresenta uma taxa de

retorno nominal de 10% em seis meses e a taxa de inflação no mesmo período foi de 3%. A questão solicitou a taxa real.

Para calcular a taxa real de um investimento, utilizamos a seguinte

relação:

(1+A) =(1+R) x (1+I)

Elementos da fórmula:

A : taxa nominal ou aparente; I : inflação.

R : taxa real;

Segundo o enunciado:A =10% e I = 3%

Substituindo os dados na fórmula, temos:

A taxa real do referido investimento foi de 6,8% no referido período de

seis meses.

Gabarito: D

5) (FUB 2009 - CARGO 42 / CESPE) Considere que um comercial

de TV anunciava a venda daquele modelo com 20% de desconto se o pagamento fosse à vista, mas que o proprietário havia

aumentado seu preço de forma que, mesmo vendendo com o desconto anunciado, ele ainda obteria os R$ 32.000,00. Nesse

caso, o proprietário aumentou o preço do modelo em 20%.




Resolução:

Valor do carro: R$ 32.000,00

Desconto à vista: 20%

Preço anunciado para venda: X

80%X = 32000

X = 32000/0,8

X = 40.000,00

Portanto, o carro foi anunciado por R$ 40.000,00. Vamos calcular, agora,

qual foi o aumento do valor anunciado em relação ao valor original do carro.

32000 ----- 100%

40000 ----- Y%

Y = (40000 . 100)/32000

Y = 4000/32

Y = 125%

Com isso, vemos que o aumento foi de 25% e não de 20%.

Gabarito: Errado

6) (FUB 2009 - CARGO 42 / CESPE) Considere que sobre o preço

de fábrica de um automóvel zero km incida um imposto federal de 12% e sobre o preço de fábrica acrescido do imposto federal

incida um imposto estadual de 15%. Nessa situação, o preço de venda do automóvel será pelo menos 28% superior ao preço de

fábrica.

Resolução:

Vamos supor que o preço de fábrica seja R$ 100,00. Assim, temos:

Preço após imposto federal:




P = 100 + 100 x 12%

P = 100 + 12 = 112

Preço após imposto estadual:

P = 112 + 112 x 15%

P = 112 + 16,8 = 128,8

Chegamos, então, a um preço final 28,8% superior ao preço inicial.

Gabarito: Certo

7) (FUB 2009 - CARGO 42 / CESPE) Considere que uma loja venda

seus produtos nas seguintes condições: à vista, com 20% de

desconto sobre o preço de tabela; no cartão de crédito, com 5% de acréscimo sobre o preço de tabela. Nessa situação, um produto

que é vendido por R$ 800,00 à vista terá, no cartão, preço superior a R$ 1.000,00.

Resolução:

Aqui temos:

Preço de tabela: PT Preço à vista: PV

Preço no cartão: PC

Como o preço à vista tem 20% de desconto sobre o preço de tabela, teremos:

PV = 800 = PT - PT.20%

800 = 0,8PT

PT = 1000

PC = 1000 + 1000.5% PC = 1000 + 50 = 1050

Gabarito: Certo

8) Um empréstimo no valor de R$ 10000,00 é contratado na data de hoje para ser pago através de dois pagamentos. O primeiro

pagamento, no valor de R$ 5445,00, vence de hoje a um ano e o segundo tem um vencimento de hoje a um ano e

meio.Considerando a taxa de juros nominal de 20 % ao ano , com capitalização semestral, o valor do segundo pagamento será :

(A)R$ 7102,80;




(B) R$ 7280,00;

(C) R$ 7320,50;

(D) R$ 8360,00;

(E) R$ 8810,00.

Resolução:

Fique atento, temos uma taxa nominal!

Taxa nominal, quando o período da taxa é diferente do período da

capitalização!

Quem manda é a capitalização!

Nesse caso , a nossa taxa e tempo devem ser semestrais!

20% ao ano com capitalização mensal, é igual a 20: 2 = 10 % ao

semestre ( somente é permitido realizar a proporção , quando a taxa for nominal)

O primeiro pagamento, de 5445, vence daqui a um ano e o segundo pagamento vence daqui a um ano e meio.

Vamos mudando a data focal!

Hoje = 10 000

Obs.: M = C( 1+i)t

10000 daqui a um ano = 10 000 ( 1 + 0,1)² = 10 000 . 1,21 =

12 100

Nesse período pago 5445 , logo 12 100 - 5445 = 6655

Esse valor de 6555 será daqui a um semestre , logo 1 capitalização

semestral!

6655. ( 1 + 0,1)¹ = 6655 . 1,1 = 7320, 50




Gabarito: C

Linha de tempo da Matemática Financeira

Bom, agora que fizemos estas questões que eu julgava serem bem

importantes, passemos a uma explicação que será a base de tudo o que iremos ver daqui por diante que guardar alguma relação com a parte de

matemática financeira.

Veremos agora o conceito de linha de tempo. Trata-se de um conceito

fácil, mas que utilizaremos para esquematizar tanto a teoria quanto a resolução de várias questões que veremos a partir de agora.

Na resolução das questões, trabalharemos sempre com o “desenho” do

enunciado. Ninguém pense que é preciso fazer desenho artístico nesse nosso curso. Basta saber traçar uma reta .

Em nosso “desenho” da questão, o tempo será representado por uma

linha! É a “linha do tempo”. Normalmente, essa linha terá início com a data de hoje, também chamada de “data atual” ou “data zero”. Então,

doravante, quando falarmos em “data atual” ou em “data zero”,

estaremos nos referindo ao dia de hoje!

A linha do tempo é a seguinte:

E o que se segue à data zero são as datas futuras!

Pra que serve a linha do tempo? Serve para desenharmos nela, com tracinhos verticais, os nossos valores monetários, as quantias em

dinheiro, que serão fornecidas pelo enunciado da questão, colocando esses tracinhos nas datas também especificadas pelo enunciado.

Tomemos, por exemplo, os enunciados daqueles dois exemplos que

criamos acima.

Exemplo 1: “se eu tenho hoje uma quantia de R$1.000,00 (mil reais), e eu a depositar numa conta de poupança de um banco qualquer, quanto

eu irei resgatar (retirar, sacar) daqui a três meses?”

Neste caso, o desenho desta questão seria o seguinte:




Ora, vamos analisar esse desenho: o enunciado fala que na data de hoje eu disponho de uma quantia de R$1.000,00. Daí, já sabemos: data de

hoje é a “data zero”, ou seja, é onde começa a “linha do tempo”.

Vejamos que o valor monetário que temos hoje é esse: R$1.000,00, o qual será representado por esta seta vertical, exatamente sobre a data

zero!

Daí, o enunciado quer saber o quanto valerá essa quantia de R$1.000,00

em uma data futura, qual seja, três meses após hoje. Portanto, desenharemos o tempo (os meses) sob a nossa linha. E teremos:

Por fim, o valor que desejamos saber na questão será traçado sobre a data 3 meses, que foi escolhida pelo enunciado.

Como não conhecemos ainda esse valor, o chamaremos apenas de “X”.

E, conforme aprendemos na lei fundamental da matemática financeira, se “transportarmos” um valor inicial para uma data futura, sabemos que

este aumentará com o passar do tempo, de modo que o valor de “X” será,

necessariamente, maior que os R$1.000,00 iniciais. Desta forma, quando




formos desenhar o X, teremos que colocar um tracinho maior que o

tracinho que representava os R$1.000,00. Teremos:

Vamos ao segundo exemplo: “eu tenho uma dívida, no valor de R$5.000,00, que tem que ser paga daqui a três meses, mas eu pretendo

antecipar o pagamento dessa dívida e pagá-la hoje. Quanto terei que pagar hoje por essa obrigação?”

Aqui, o valor monetário que nos foi fornecido pelo enunciado (R$5.000,00) está localizado (na linha do tempo) exatamente na data

três meses! Assim, pra começar, teremos:

Só que a questão quer saber o quanto representaria o valor desta dívida de R$5.000,00 se eu resolvesse pagá-la hoje! Ora, conforme

aprendemos, hoje é sinônimo de data zero! Então a questão quer saber,

na verdade, o quanto vale estes R$5.000,00 na data zero.

Não sabemos ainda essa resposta, portanto, representaremos essa quantia na data zero apenas por “X”.

Teremos:




Observemos que, como estamos “retrocedendo” no tempo, ou seja, como estamos recuando na linha do tempo, o valor de “X” será,

necessariamente, um valor menor do que R$5.000,00. Isso é o que nos diz a lei fundamental da matemática financeira. Por isso, o tracinho que

representa o valor “X” deve ser menor que o que representa os

R$5.000,00. Vejamos de novo:

Viram como é fácil? Darei mais um exemplo agora, um pouco diferente...

Vamos propor mais uma situação: “suponha que o João contraiu uma dívida. Ele se comprometeu com o seu credor que lhe pagaria daqui a 30

dias, uma quantia de R$3.000,00. Ocorre que, quando chegou no dia combinado, o João estava mais liso que barriga de nenê ensaboado!

Então, João pegou o telefone e ligou para o seu credor, dizendo: „devo, não nego! E quero pagar, só que de uma forma diferente! Agora quero

pagar essa dívida em duas parcelas iguais, nas datas sessenta e noventa dias!‟ Ora, qual seria o valor dessas duas parcelas que João vai ter que

pagar agora, para substituir a dívida original (de R$3.000,00) que era devida (que vencia) na data 30 dias?”

Vamos desenhar esse enunciado? Seria como? Fácil! A questão nos dá o

valor monetário R$3.000,00, que é uma dívida que vencerá (ou seja, que deverá ser paga) na data 30 dias. Desenhemos, portanto os R$3.000,00

sobre a data fornecida. Teremos:




Estes R$3.000,00 representam a “obrigação original” do João. Ou seja, o valor da dívida a ser paga conforme havia sido tratado originalmente.

Acontece que por não dispor de dinheiro suficiente, o João deseja “alterar, substituir, modificar” (são todos verbos essenciais

neste tipo de questão!) aquela forma original de pagamento, por uma outra forma de pagar a sua dívida. E qual é essa outra maneira de pagar

sua dívida? Com duas parcelas iguais, as quais chamaremos apenas de “X” (já que são desconhecidas e iguais!), nas datas 60 e 90 dias. Nosso

desenho agora será:

Alguém pode perguntar: “os tracinhos dos „X‟ não teriam que ser maiores que o tracinho do R$3.000,00?” Sabemos que o valor R$3.000,00, em

uma data futura, representaria uma quantia maior! Isso é certo! Porém,

como esse valor será “quebrado” em duas parcelas (são dois valores “X”) então não podemos afirmar, de antemão, que o valor de “X” será maior

que R$3.000,00.

Neste caso, basta desenhar os “X” nos locais corretos, designados pelo enunciado, e está tudo certo! No final da resolução, quando calcularmos o

valor exato de X, saberemos se é maior ou não que os R$3.000,00. Ok?

Fiquem calmos, pois os detalhezinhos serão esclarecidos, tanto nesta quanto na próxima aula. Por enquanto, a única coisa que eu quero é que

você entenda como lidar com a linha de tempo. Leia e releia a explicação acima e me mandem email caso ainda fique alguma dúvida.

Veremos agora para que serve a linha de tempo, em que tipo de questões

isso de fato é cobrado.

Começarei falando a respeito de descontos simples.

Como é professor? Sim, é isso mesmo. Assim como existem os juros

simples e compostos, também existe tal denominação para os descontos, que podem ser simples ou compostos.




Desconto Simples

Vou partir do exemplo para que você possa entender o que realmente é

um desconto simples. É um assunto bem tranquilo:

“suponhamos que eu tenho uma dívida, no valor de R$5.000,00, que tem que ser paga daqui a três meses, mas pretendo antecipar o pagamento

dessa dívida e pagá-la hoje.”

É esta a nossa situação: aqui nós pretendemos saber o quanto representa

hoje um valor que era devido numa data futura. Em outras palavras, queremos agora “retroceder” no tempo com determinado valor

monetário, e descobrir o quanto este valerá no dia de hoje, ou numa outra data anterior àquela do seu vencimento.

Estamos recordados que o “desenho” deste enunciado seria o seguinte:

Novamente, reparem que, como estamos “retrocedendo” no tempo, ou seja, como estamos recuando na linha do tempo, o valor de “X”

será,necessariamente, um valor menor do que R$5.000,00. Isso é o que nos diz a lei fundamental da matemática financeira. Por isso, o tracinho

que representa o valor “X” deve ser menor que o que representa os R$5.000,00.

E por que o valor de X será um valor menor que o da dívida?




Porque estará sofrendo uma operação financeira a qual chamaremos de

DESCONTO. Em suma, Desconto é apenas isso: transportar um valor monetário de uma data futura para uma data anterior.

Ilustrando uma operação de desconto, de uma forma genérica (sem

estabelecer valores), teremos o seguinte:

Vejamos agora como são tratados os termos utilizados numa questão de desconto, ou seja, quais são os principais elementos que precisamos

conhecer:

Valor Nominal(N):

Significa tão somente o nosso valor monetário, devido numa data

futura.

Normalmente, o valor nominal figura nas questões como sendo uma obrigação (uma dívida, ou coisa parecida) que tem que ser paga numa

data posterior à de hoje.

Não importa qual seja o nome dado a esse título, se ele representar uma

obrigação vencível numa data futura, será pois tratado sempre da mesma forma, como sendo nosso Valor Nominal.

Outro sinônimo de Valor Nominal é “Valor de face”, que significa o valor

que está escrito na “face” do papel, do título.

Valor Atual(A):

Também chamado de “Valor Líquido” ou “Valor Descontado”.

Significa o quanto representa o Valor Nominal, quando “projetado” para uma data anterior! É o quanto pagaremos hoje por aquele nosso título!

Por isso recebe esse nome de Valor Atual. Porque atual é hoje!




Naturalmente, como já é do nosso conhecimento, o Valor Atual será necessariamente menor que o Valor Nominal, uma vez que, na linha do

tempo, está sempre numa data anterior.

Basta olharmos para o “desenho-modelo” de uma operação de Desconto

Desconto(D):

Veremos agora o que é o desconto em si.Ora, se eu devia uma quantia qualquer, a ser paga numa data futura, e resolvo antecipar o pagamento

desse valor, já sei que irei pagar hoje um valor menor do que o que era devido.

Essa diferença entre o valor que era devido no futuro e o valor menor que

pagarei hoje (em função da antecipação do pagamento) é exatamente o

que chamaremos de Desconto.

Ilustrativamente, teremos:

Pela figura acima, já descobrimos a nossa primeira equação do Desconto.

É a seguinte:

D = N – A

Outras formas que a equação acima pode assumir são as seguintes:

N = D + A e A = N – D

Essas são também equações “visuais”. Só temos que nos lembrar




do “desenho-modelo” de uma operação de desconto, e já as deduziremos!

Tempo de antecipação(t):

Sabemos que na operação de desconto estamos na verdade “projetando” um valor monetário para uma data anterior. Então, “n” será, numa

questão de desconto, a distância de tempo entre o Valor Nominal e o Valor Atual.

Se o Valor Nominal representar uma dívida que seria paga numa data futura, e pretendemos pagá-la hoje, então “n” será o “tempo de

antecipação” do pagamento daquela obrigação.

Taxa (i):

Este elemento já é nosso velho conhecido. Falamos bastante a seu respeito na última aula. É ela, a Taxa, a responsável por realizar a

“mágica” da Matemática Financeira. É ela quem faz com que os valores monetários nunca fiquem parados com o transcorrer do tempo!

E é também ela que faz com que uma quantia vencível (devida) numa

data futura diminua de valor, caso venha a ser projetada para uma data anterior!

Da mesma forma que vimos no assunto de Juros, também aqui no Desconto teremos taxas no Regime Simples e no Regime Composto!

Daí, continua valendo aquela nossa primeira preocupação: descobrir em

qual dos regimes (simples ou composto) estamos trabalhando nossa operação de desconto!

Se a taxa é simples, estaremos numa questão de Desconto Simples; se é

composta, estaremos numa questão de Desconto Composto. E serão questões distintas, com resoluções e resultados também diferentes!

Tipos de Desconto:

Passamos aqui a uma explicação essencial.

Já sabemos que, em se tratando de regimes, teremos questões de Desconto Simples e de Desconto Composto.

Aprenderemos agora que existem duas modalidades de Desconto, quais

sejam: o Desconto por Dentro e o Desconto por Fora.




A seguir detalharemos essas duas modalidades do desconto. Por hora, é necessário guardarmos a seguinte informação: em toda questão que

envolva operações de desconto, além da preocupação inicial em descobrir

o regime desta operação (se simples ou composto), haverá uma segunda grande constatação a ser feita, qual seja, a de descobrir a modalidade do

desconto (se por dentro ou por fora)!

Isso é tão importante que frisaremos novamente! Quando se lê uma questão de desconto, antes de iniciarmos a sua resolução, temos,

impreterivelmente, que descobrir duas coisas:

Primeiro) Qual o regime desta operação de desconto? Simples ou Composto? Ou seja, estamos numa questão de Desconto Simples ou de

Desconto Composto?

Segundo) Qual o tipo, ou seja, qual a modalidade desta operação de desconto? É o Desconto por Dentro, ou o Desconto por Fora?

Somente após respondidas estas duas perguntas, é que estaremos aptos a iniciar a resolução da questão.

Pelo que foi dito até aqui, concluímos que uma questão de Desconto

poderá apresentar quatro diferentes “feições”:

- Desconto Simples por Dentro; - Desconto Simples por Fora;

- Desconto Composto por Dentro; e - Desconto Composto por Fora.

Nesta aula de hoje, aprenderemos a identificar e a resolver as questões

de Desconto Simples, nas duas modalidades (por dentro e por fora).

Desconto Simples:

Vamos supor que você tenha em mãos um cheque pré-datado para dois

meses no valor de R$ 120,00 e necessite trocá-lo hoje. É claro que receberá, por ele, um valor inferior a R$ 120,00. Esse cheque, então, será

descontado.

Assim, em uma operação de descontos, o desconto, como já dissemos,

será a diferença entre o valor nominal (ou de face) e o valor atual( ou valor descontado).

Veremos agora o desconto comercial, também chamado de desconto

bancário ou por fora.




O desconto bancário é um desconto calculado sobre o valor nominal.

Você vai achar a fórmula muito parecida com a de juros simples. Na

realidade, nós vamos simplesmente trocar o montante(M) pelo valor nominal(N) e aí já teremos a expressão:

D = N.i.t

Sendo “N” o valor nominal, “i” a taxa de juros e “t” o tempo de antecipação.

Vamos a um exemplo?

Ex: Voltando ao problema inicial, vamos imaginar que o cheque de

valor nominal R$ 120,00 e prazo de dois meses vá ser descontado comercialmente em um mercado de taxa mensal simples igual a

10%.Qual o valor desse cheque hoje?

Resolução:

Em geral, as questões de desconto não são complicadas, pelo contrário,

elas são bem simples.

Nesta questão basta fazermos a utilização direta da fórmula:

D = N.i.t

Onde i = 10% a.m. = 0,1 e t = 2 meses

Logo:

D = 120 x 0,1 x 2 = 24

Cuidado, pois o que a questão pediu foi o valor atual.

Sendo assim:

A = N – D = 120 – 24 = 96 reais.

Gabarito: 96 reais.

Ex.2:Qual o desconto comercial simples de uma promissória de

valor 25000, descontada à taxa de 3 % a.m., cinco meses antes do vencimento?

Resolução:




N = 25000

i = 3 % a.m. = 0,03 a.m.

t = 5 meses

Logo, D = N.i.t = 25000 x 0,03 x 5 = 3750

Gabarito: A promissória vale 3750.

Ex.3:Um título descontado comercialmente à taxa simples de 12

% a.m. reduz-se , três meses antes do vencimento, a 2432.Qual o valor nominal desse título?

Resolução:

i = 12 % a.m. = 0,12

t = 3 meses

A = 2432

Sabemos que A = N – D

Logo,

2432 = N – N.i.t

2432= N( 1 – i.t)

2432 =N (1 – 0,12x3)

2432 = N( 1 - 0,36)

2432= N x 0,64

Dividindo 2432 por 0,64, temos:

N =3800

Gabarito: O valor nominal será de 3800.

Ex.4:Um título de valor nominal R$ 600,00 foi descontado comercialmente 60 dias antes do vencimento à taxa simples de 8

% a.m. Calcule a taxa mensal de juros simples efetiva dessa operação.




Resolução:

Aqui temos uma novidade. A taxa de juros efetiva numa questão de

desconto. Reparem que eu deixei para falar sobre isso justamente neste exemplo, porque eu quero que você a matéria o menos decoreba

possível.

A primeira reação pode ser você estranhar ele ter perguntado a taxa, já que ela já foi dada pelo enunciado.

O que acontece é o seguinte: a taxa que ele está perguntando não é essa

taxa do desconto. Quando descontamos o valor, chegamos a um valor atual ,não é?

Vamos fazer o cálculo:

t = 60 dias = 2 meses

D = N.i.t = 600 . 0,08 . 2

D = 96

Logo, A = N – D = 600 – 96 = 504

Agora, se quiséssemos imaginar que o valor nominal é um montante do valor atual... pense comigo, para pegarmos o valor de 504 e retornarmos

ao valor de 600, nós temos que usar a mesma taxa? A resposta é NÃO!

Digo isso porque a taxa que nós utilizamos, de 8%, foi sobre um total de 600 e o total sobre o qual agora queremos aplicar uma porcentagem é

menor, de 504 reais.

Bom, de uma coisa você pode ter certeza: se o valor total é menor, a

porcentagem que iremos utilizar, para compensar isso, terá de ser maior.

Com isso, utilizando a idéia de montante, teremos que :

M = C .(1 + i.t)

600 = 504.( 1 + i.2)

1,190476 = 1 + 2i

2i = 0,190476




i = 0,952, aproximadamente

ou seja, ief = 9,52 % a.m.

Observem que tal valor é realmente maior do que a taxa de 8 % a.m.

Bom, na realidade, tal exercício nos dá condições para ver o outro tipo de desconto simples, que é o desconto racional.

Desconto Racional, Matemático ou Por Dentro

Na realidade, o exposto no exercício anterior é justamente a idéia do desconto racional. Para calcularmos tal desconto devemos imaginar o

valor nominal como montante do valor atual. Vejamos um exemplo:

Naquele mesmo exemplo do cheque pré-datado, vamos agora calcular o desconto racional para um prazo de dois meses, taxa de 10 % a.m. e

valor nominal de 120 reais.

Logo,

N = A ( 1+ i.t)

120 = A ( 1 + 0,1.2) 120 = A.(1,2)

A = 120/ 1,2 = 100

Percebam que o nome de tal desconto é racional porque podemos

expressar o valor como sendo:

A =

Além disso, falta calcular o desconto em si,pois calculamos apenas o valor atual.

Como A = N – d ou d = N – A:

d = 120 – 100 = 20

Quando fizemos o mesmo exercício com desconto comercial encontramos um desconto de 24 reais. É isso mesmo, dada uma mesma situação, com

mesma taxa de juros e prazo, o desconto racional sempre será menor do que o desconto comercial.

Vejamos alguns exemplos:




Ex1: Um título, ao ser descontado racionalmente dois meses antes do vencimento, à taxa simples de 5 % ao mês, teve valor atual

igual a R$ 8000,00. Qual o valor de face desse título?

Resolução:

Temos que A =

Logo:

N = 8000 x 1,1 = 8800

Ex.2: Qual o desconto racional simples sofrido por um título de

6715,60 descontado a 24% a.a. em um mês e 15 dias?

Resolução:

N = 6715,60 t = 1m 15 dias = 1,5 m

i = 24 % a.a. = 24/12 = 2 % a.m.

Com isso, o valor atual será igual a:

A =

Desconto = d = N – A = 6715,60 – 6520 = 195,60

Enunciado das questões 9,10,11,12 e 13:

(FCP-INSS/97-CESPE/UNB) Julgue os itens a seguir, relativos às

diferentes maneiras com que uma nota promissória pode ser

descontada.

9) Se forem calculados a uma mesma taxa, o valor atual segundo o desconto comercial será sempre menor que o valor atual

segundo o desconto racional.

Resolução:

Já vimos que a fórmula do desconto comercial é algo parecido como:

Dc = Nit

Onde: Dc = Desconto Comercial




N = Valor Nominal

i = taxa de desconto comercial t = número de períodos de antecipação.

Também não deve ser novidade que o desconto racional pode ser

calculado pela aplicação da seguinte fórmula:

Dr = Nit

(1 + it)

Dessas duas fórmulas podemos extrair diversas conclusões:

1ª) O desconto comercial é sempre maior do que o desconto racional;

2ª) O desconto comercial representa o montante, tomado como capital o desconto racional. Faço essa afirmativa tendo em mente que Nin é o

desconto comercial e se substituirmos Nin por Dc na fórmula do Dr, teremos:

Dr = Dc

Dc = Dr (1 + it) (1 + it)

3ª) Qualquer desconto (comercial ou racional) é sempre o valor nominal menos o valor atual:

D = N – Va Va = N – D

Conforme afirmamos, o desconto comercial é sempre maior do que o

desconto racional. Então, o valor atual comercial (Vac) é sempre menor

do que o valor atual racional (Var);

4ª) No desconto racional as fórmulas a serem empregadas são semelhantes às fórmulas do juro e do montante, tomando-se, para tanto,

no lugar do capital o valor atual e no lugar do montante o valor nominal. Por isso o desconto racional é, também, chamado de desconto “Por

Dentro”, pois com a aplicação da mesma taxa, por igual período do desconto sobre o valor atual, tornaremos a obter o valor nominal

(montante);

5ª) O desconto comercial representa os “juros” sobre o valor nominal (montante), isto é, o seu cálculo é feito por fora, sobre o valor nominal

De tudo o que aqui se disse, a relação existente entre o desconto comercial e o desconto racional, seja talvez a de maior importância, pois

costuma ser freqüentemente questionada em concursos, principalmente

nos elaborados pela ESAF e pelo CESPE. Por isso, repito a relação:

Dc = Dr x (1 + it)




Gabarito: Certo

10) O desconto bancário nada mais é do que o desconto racional

acrescido de uma taxa a titulo de despesas bancárias.

Resolução:

O desconto bancário é o próprio desconto racional, acrescido de taxas. A

razão é que nessa modalidade de desconto o valor do desconto é maior do que no desconto racional.

GABARITO: CERTO

11)No desconto comercial, a taxa implícita na operação é sempre menor que a taxa estabelecida.

Resolução:

A taxa implícita é aquela taxa necessária para elevar o Valor Atual ao

Valor Nominal em igual período adotado para o desconto, ou seja, é a

taxa efetiva da operação.

Exemplificando:

Se atribuirmos ao valor nominal o correspondente a R$ 1.000,00, com taxa de desconto comercial de 10% ao período e quisermos saber o

desconto comercial que esse título sofrerá três meses antes do vencimento, teremos:

N = 1.000,00

i = 10% ou 0,10 n = 3 períodos

Dc = ?

Dc = Nin

Dc = 1.000,00 x 0,10 x 3 Dc = R$ 300,00

A = 1.000,00 – 300,00 = R$ 700,00

Para elevar R$ 700,00 (A) a R$ 1.000,00 (N), qual a taxa que deve ser

aplicada?

N = Ax (1 + in) 1.000,00 = 700,00 (1 + 3i)

1.000,00 = 700,00 + 2.100,00 i 1.000,00 – 700,00 = 2.100,00 i

2.100,00 i = 300,00 i = 300,00 2.100,00




i = 0,1428, isto é, 14,28% ao período.

É de se notar que a taxa implícita (efetiva) supera largamente a taxa da

operação.

O cálculo da taxa efetiva ou implícita pode ser obtida, também, pela aplicação da seguinte fórmula:

ief = idc

(1 – idc x t)

Onde: ief = taxa efetiva

idc = taxa de desconto comercial

t = número de períodos de antecipação

Salienta-se, ainda, que quanto maior for o número de períodos de antecipação (t), maior será a diferença entre a taxa da operação e a taxa

efetiva.

Se usarmos o exemplo anterior e trocarmos o período de antecipação para somente um período (n = 1), obteremos a seguinte taxa efetiva:

ief = 0,10

= 0,10

= 0,1111 ou 11,11% (1 – 0,10 x 3) 0,9

Comparando os dois resultados, comprova-se o antes afirmado: A taxa

efetiva é tanto maior quanto maior for o período de antecipação do desconto.

Gabarito: Errado

12)A diferença entre os descontos racional e comercial, a uma

mesma taxa, aumenta à medida que a data de desconto aproxima-

se da data do vencimento.

Resolução:

Podemos aplicar o raciocínio desenvolvido no item anterior, relativamente à taxa efetiva.

Também podemos utilizar a relação existente entre o desconto comercial

e o desconto racional, pois mudando apenas o “t”, a diferença entre as duas modalidades de desconto aumenta à medida que nos afastamos do

prazo de vencimento.




Ressalte-se que o “t” diminui à medida que nos aproximamos da data do

vencimento.

Gabarito: Errado

13) Se uma nota promissória — com valor de R$ 1.000,00 na data

de vencimento, em 2 anos — é descontada 2 anos antes do vencimento, em um banco que pratica uma taxa de desconto

bancário simples de 18% a.a., então a taxa anual de juros compostos que está sendo paga pelo cliente é superior a 24% a.a.

Resolução:

Dc = Nit

Dc = 1.000,00 x 0,18 x 2

Dc = 360,00

A = N – D

A = 1.000,00 – 360,00 A = R$ 640,00

Para elevar o valor de R$ 640,00 a R$ 1.000,00, em dois anos, é

necessário que se utilize uma taxa de 25% ao ano no regime de juros compostos.

M = 1.000

C = 640 n = 2

i = ?

1.000 = 640 (1 + i)2

(1 + i)2 = 1.000 640

(1 + i) = (1,5625)1/2 1 + i = 1,25

i = 0,25, isto é, 25%

Gabarito: Certo




14)(CESPE) Considerando que a instituição financeira X ofereça

aos clientes a taxa de desconto de 2,4% ao mês para desconto de títulos, e que a instituição concorrente Y ofereça uma redução

de 25% na taxa praticada pela X, para descontos dos títulos

com vencimentos em até 90 dias, então o valor atual, com desconto simples por fora, pago pela Y para um título com

valor de face de R$ 1.000,00 e que vence em 2 meses é inferior a R$ 960,00.

Resolução:

Primeiramente, vamos calcular o valor da taxa, que teve uma redução de

25%:

Taxa de Y = (0,024 - 0,25*0,024) a.m. = 0,018 a.m.

Como D = N.i.t e A = N – D

A = N – N.i.t = N.(1 – i.t)

A = N.(1 – i.t)

A = 1000.(1 – 0,018.2) = 1000.0,964 = 964 > 960

Afirmação falsa, pois 964 > 960.

Gabarito: Errado

15) (FUB 2009 - CARGO 42 / CESPE) Considere que um cliente

tenha comprado um veículo desse modelo pagando R$ 12.000,00 de entrada, devendo pagar o restante em uma única parcela, em 6

meses. Se essa concessionária usa o sistema de desconto racional simples para as dívidas de seus clientes, com juros de 2% ao mês,

então o valor nominal que o cliente deverá pagar 6 meses após a

compra será superior a R$ 22.000,00.

Resolução:

Sabemos que:

N: Valor final (ou valor nominal) A: Valor presente




A relação entre o valor presente e o valor final no desconto racional simples é dado por:

A = N/(1 + i.t)

Sabendo que A = 20.000,00, n = 6 e i = 2%, temos:

20000 = N/(1 + 0,02.6) N= 20000.(1 + 0,02.6)

N = 20000.(1,12) N= 22400

Gabarito: Certo

Enunciado da questão 15:

Carlos tem uma dívida com determinado banco, cujo vencimento é para daqui a 10 meses, com valor nominal de R$ 16.000,00.

Considerando que ele dispõe, hoje, de R$ 10.000,00 e quer usar

esse dinheiro para saldar a dívida ou parte dela, julgue os itens de 98 a 100.

16) (FUB 2009 - CARGO 42 / CESPE) Se o banco pratica o

desconto comercial simples, à taxa de juros de 5% ao mês, então o dinheiro de que Carlos dispõe para pagar a dívida hoje é

suficiente.

Resolução:

No desconto comercial simples temos:

N: Valor Nominal do Título

A: Valor presente

A relação entre o valor presente e o valor final no desconto racional simples é dado por:

A = N.(1 - i.t)

Sabendo que N = 16.000,00, t = 10 e i = 5%, temos:

A = 16000.(1 - 0,05.10)

A = 16000.(1 - 0,5)




A = 16000.(0,5)

A = 8000

Gabarito: Certo

17) (CESPE - TRE - MT - 24/01/2010) Um candidato a cargo

eletivo, com a finalidade de financiar sua campanha política, contraiu um empréstimo junto a uma instituição financeira e

assinou uma nota promissória no valor de R$ 55.000,00 com vencimento em doze meses. Após dez meses, ele desistiu da

candidatura e decidiu quitar o empréstimo, do qual restava R$ 20.000,00.

Nessa situação, se a instituição financeira trabalha com desconto

comercial simples à taxa de 1% ao mês, então o valor adicional

necessário para quitar a dívida é igual a:

A) R$ 29.500,00.

B) R$ 30.000,00.

C) R$ 31.500,00.

D) R$ 38.500,00.

E) R$ 40.500,00.

Resolução:

A=valor atual

N=valor nominal

i=1%

t=10 meses

D = N.i.t =55000 . 0,01 . 10




D =5500

Com isso, o valor atual é de A = 55000 – 5500 =49500

Como o candidato possui no bolso 20000, terá de completar:

49500-20000=29500

Gabarito: A

18)(CESPE-2009-TCE-AC-ANALISTA DE CONTROLE EXTERNO) Um

comerciante que deve a um banco um título de valor nominal igual a R$ 23.450,00, com vencimento para daqui a dois meses,

negociou com o banco a prorrogação da dívida por mais quatro

meses. Considerando a data focal como sendo o momento atual e que, para o título acima, o banco adotou o desconto comercial

simples à taxa de 60% ao ano, então o valor nominal, em reais, do novo título será:

a) inferior a 26.000.

b) superior a 26.000 e inferior a 28.000. c) superior a 28.000 e inferior a 29.000.

d) superior a 29.000 e inferior a 31.000. e) superior a 31.000

Resolução:

A idéia desta questão é a seguinte: temos uma aplicação cujo valor

nominal será alterado, pois ela terá o seu prazo alterado de 2 para 4

meses.

O que você tem de fazer é calcular o valor atual desta primeira modalidade de 2 meses.

Utilizando a fórmula do desconto comercial simples, teremos:

N =23450 e i= 60% a.a. = 60/12 =5 % a.m.

D = N.i.t = 23450 .0,05. 2 =2345

Com isso, o valor atual é igual a 23450 – 2345 = 21105

Só que este valor irá se transformar numa dívida a ser paga daqui a 4 +

2 = 6 meses, pois o prazo inicial era de 2 meses e foi pedida uma prorrogação de mais 4 meses.




Queremos encontrar,desta forma, qual o título que,descontado a 5 %

a.m. num prazo de 6 meses dará este valor de 21105.

Calculando o novo desconto, temos:

D = N2 x 0,05 x 6 = 0,3 N2, onde N2 é o novo valor nominal que

queremos encontrar.

Tal desconto, subtraído do novo valor nominal, terá que dar 21105:

N2 – D = A

N2 – 0,3 N2 = 21105

0,7 N2 = 21105

N2 = 21105 / 0,7 =30150

Gabarito: D

19) (CEF-Técnico Bancário-CESPE-2010)Se, ao descontar uma

promissória com valor de face de R$ 5.000,00, seu detentor receber o valor de R$ 4.200,00, e se o prazo dessa operação for de

2 meses, então a taxa mensal de desconto simples por fora será igual a:

a) 5%

b) 6%

c) 7%

d) 8%

e)9%

Resolução:

Temos:

N = 5000 A = 4200

t = 2 meses

Com isso, o desconto foi de D = N – A =5000 – 4200 = 800

Como D = N.i.t




800 = 5000 . i . 2

i = 800 /10000 =0,08 = 8 % a.m.

Gabarito: D

20) (Caixa- Acre- Cesgranrio) Um título de valor nominal R$ 24.200,00 será descontado dois meses antes do vencimento, com

taxa composta de desconto de 10% ao mês. Sejam D o valor do desconto comercial composto e do valor do desconto racional

composto. A diferença D – d, em reais, vale:

a.) 399,00 b.) 398,00

c.) 397,00 d.) 396,00

e.) 395,00

Resolução:

Gabarito: B

21) (CESGRANRIO 2009) A Empresa Trás os Montes Ltda., obteve

do Banco Z, numa operação de desconto de duplicatas, um valor líquido de R$ 72.000,00. Sabendo-se que a duplicata tinha

vencimento para 25 dias, a contar da data do desconto, e que o Banco cobra uma taxa de desconto simples de 2% ao mês, o valor

da duplicata descontada, em reais, é:

a) 75.000,00 c) 73.220,34 e) 71.111,54 b) 74.333,33 d) 72.999,33




Resolução:

Como trata-se de um desconto simples, temos:

D = N.i.t

Sempre que a questão nada falar a respeito, iremos utilizar o desconto comercial, ok?

O valor líquido recebido pela duplicata é o valor atual, ou seja:

A = N – D = N – N.i.t = N.( 1 – i.t)

Além disso, temos:

30 dias ------------ 1 mês

25 dias ------------ t

t = 25/30 = 5/6

72000 = N.(1 – 0,02 x

)

72000 = N .( 1 –

) = N.( 1 -

) = N .

Logo, N = 72000 x

= 73220,34

Gabarito: C

22) (CESGRANRIO ANP – CIÊNCIAS CONTÁBEIS) A Empresa Serra

Verde Ltda. levou ao Banco quatro duplicatas no valor deR$32.500,00 cada uma, com vencimento para 90, 120, 150 e

180 dias, respectivamente, para descontá-las. O Banco ofereceu à empresa uma taxa de desconto simples de 3,45% ao mês. Com

base nos dados acima e considerando o ano comercial, o valor do desconto pago pela empresa no ato do empréstimo, em reais, foi:

a) 20.182,50 c) 26.910,00 e) 33.637,50

b) 25.750,00 d) 32.187,50

Resolução:

O desconto pago pela empresa será o desconto devido a cada uma das

duplicatas, ou seja:

D = D1 + D2 + D3 + D4 = N.i.t1 + N.i.t2 + N.i.t3 + N.i.t4 =




D = N.i.( t1 + t2 + t3 + t4 )

Após colocar o “N” e o “i” em evidência e substituir o tempo ,que estava

em dias, por meses, temos:

D = 32500 . 0,0345 . ( 3m + 4m + 5m + 6m)

D = 32500 .0,0345. 18 = 20182,50

Gabarito: A

23) (Transpetro- cesgranrio-2011) Uma empresa obteve um

desconto de uma duplicata no valor de R$ 12.000,00 no Banco Novidade S/A, com as seguintes condições:

Considerando-se exclusivamente as informações acima, o valor

creditado na conta corrente da empresa, em reais, foi de

a) 11.660,00

b) 11460,00 c) 11400,00

d) 11200,00 e) 11145,00

Resolução:

Queremos encontrar o valor atual “A”. Achei o enunciado da questão mal

redigido. Ao ler a primeira frase da questão o candidato poderia ficar em dúvida a respeito do valor 12000: ele é o valor da duplicata ou do

desconto obtido? É o valor da duplicata, em caso contrário, você não vai enm encontrar nenhum item como resposta.

Com isso, temos:

D = N.i.t = 12000. 0,025.2 =12000 . 0,05 = 600

Sendo assim, o valor atual A = N – D = 12000 – 600 = 11400

Gabarito: C

24) (Transpetro- cesgranrio-2011) Um título de renda fixa deverá ser resgatado por R$ 15.000,00 no seu vencimento, que ocorrerá

dentro de 2 meses. Sabendo-se que o rendimento desse título é de 1,5% ao mês (juros compostos), o seu valor presente, em reais, é




Dados:

(A) 14.619,94

(B) 14.559,93

(C) 14.550,00

(D) 14.451,55

(E) 14.443,71

Resolução:

Numa operação de desconto composto, o valor atual é sempre da forma:

Sendo assim, teremos:

Para que possamos fazer uso da tabela que foi dada, devemos olhar para a conta acima da seguinte maneira:

Gabarito: B




Questões Comentadas nessa aula

1) (CESPE – 2011 – FUB – CONTADOR) Julgue os próximos

itens,relativos ao regime de juros compostos.Para um mesmo

capital aplicado a uma mesma taxa, o montante em regime de juros composto é sempre superior ao montante em regime de

juros simples.

2) (CESPE – 2011 – FUB – CONTADOR) Julgue os próximos itens,

relativos ao regime de juros compostos.

Os juros em regime de juros compostos geram, ao longo do tempo, uma curva exponencial.

3) (CESPE – 2011 – STM) Carlos e Paulo ganharam R$ 200.000,00

em uma loteria. Com a sua metade do prêmio, Carlos comprou um apartamento e o alugou por R$ 600,00 ao mês. No mesmo dia,

Paulo investiu a sua parte em uma aplicação financeira à taxa de

juros compostos de 0,6% ao mês. Carlos guardava em casa o valor do aluguel recebido; Paulo deixava o seu rendimento na

aplicação, para render nos meses seguintes.

Com base nessa situação, e considerando as aproximações 1,006² = 1,012 , 1,006³ = 1,018 e 1,0066 = 1,0363, julgue os itens que se

seguem.

O rendimento obtido por Paulo no primeiro mês de aplicação é o mesmo que o obtido por Carlos no primeiro mês de aluguel.

4) (ADMINISTRADOR PETROBRAS DISTRIBUIDORA CESGRANRIO 2010) A avaliação da taxa de retorno de um investimento pode ser

feita em termos nominais e em termos reais. Se determinado

investimento apresenta uma taxa de retorno nominal de 10% em seis meses e a taxa de inflação no mesmo período foi de 3%, a

taxa real desse investimento para o período de seis meses é

(A) igual a 7%. (B) igual a 13%.

(C) superior a 3% e inferior a 6%. (D) inferior a 7%.

(E) inferior a 10% e superior a 7,1 %.

5) (FUB 2009 - CARGO 42 / CESPE) Considere que um comercial de TV anunciava a venda daquele modelo com 20% de desconto

se o pagamento fosse à vista, mas que o proprietário havia




aumentado seu preço de forma que, mesmo vendendo com o

desconto anunciado, ele ainda obteria os R$ 32.000,00. Nesse caso, o proprietário aumentou o preço do modelo em 20%.

6) (FUB 2009 - CARGO 42 / CESPE) Considere que sobre o preço de fábrica de um automóvel zero km incida um imposto federal de

12% e sobre o preço de fábrica acrescido do imposto federal incida um imposto estadual de 15%. Nessa situação, o preço de

venda do automóvel será pelo menos 28% superior ao preço de fábrica.

7) (FUB 2009 - CARGO 42 / CESPE) Considere que uma loja venda seus produtos nas seguintes condições: à vista, com 20% de

desconto sobre o preço de tabela; no cartão de crédito, com 5% de acréscimo sobre o preço de tabela. Nessa situação, um produto

que é vendido por R$ 800,00 à vista terá, no cartão, preço superior a R$ 1.000,00.

8) Um empréstimo no valor de R$ 10000,00 é contratado na data

de hoje para ser pago através de dois pagamentos. O primeiro pagamento, no valor de R$ 5445,00, vence de hoje a um ano e o

segundo tem um vencimento de hoje a um ano e

meio.Considerando a taxa de juros nominal de 20 % ao ano , com capitalização semestral, o valor do segundo pagamento será :

(A)R$ 7102,80;

(B) R$ 7280,00;

(C) R$ 7320,50;

(D) R$ 8360,00;

(E) R$ 8810,00.

Enunciado das questões 9,10,11,12 e 13:

(FCP-INSS/97-CESPE/UNB) Julgue os itens a seguir, relativos às diferentes maneiras com que uma nota promissória pode ser

descontada.

9) Se forem calculados a uma mesma taxa, o valor atual segundo o desconto comercial será sempre menor que o valor atual

segundo o desconto racional.




10) O desconto bancário nada mais é do que o desconto racional

acrescido de uma taxa a titulo de despesas bancárias.

11)No desconto comercial, a taxa implícita na operação é sempre

menor que a taxa estabelecida.

12)A diferença entre os descontos racional e comercial, a uma mesma taxa, aumenta à medida que a data de desconto aproxima-

se da data do vencimento.

13) Se uma nota promissória — com valor de R$ 1.000,00 na data de vencimento, em 2 anos — é descontada 2 anos antes do

vencimento, em um banco que pratica uma taxa de desconto bancário simples de 18% a.a., então a taxa anual de juros

compostos que está sendo paga pelo cliente é superior a 24% a.a.

14)(CESPE) Considerando que a instituição financeira X ofereça aos clientes a taxa de desconto de 2,4% ao mês para desconto de

títulos, e que a instituição concorrente Y ofereça uma redução

de 25% na taxa praticada pela X, para descontos dos títulos com vencimentos em até 90 dias, então o valor atual, com

desconto simples por fora, pago pela Y para um título com valor de face de R$ 1.000,00 e que vence em 2 meses é inferior

a R$ 960,00.

15) (FUB 2009 - CARGO 42 / CESPE) Considere que um cliente tenha comprado um veículo desse modelo pagando R$ 12.000,00

de entrada, devendo pagar o restante em uma única parcela, em 6 meses. Se essa concessionária usa o sistema de desconto racional

simples para as dívidas de seus clientes, com juros de 2% ao mês, então o valor nominal que o cliente deverá pagar 6 meses após a

compra será superior a R$ 22.000,00.

Enunciado da questão 15:

Carlos tem uma dívida com determinado banco, cujo vencimento é

para daqui a 10 meses, com valor nominal de R$ 16.000,00.

Considerando que ele dispõe, hoje, de R$ 10.000,00 e quer usar

esse dinheiro para saldar a dívida ou parte dela, julgue os itens de 98 a 100.

16) (FUB 2009 - CARGO 42 / CESPE) Se o banco pratica o

desconto comercial simples, à taxa de juros de 5% ao mês, então o dinheiro de que Carlos dispõe para pagar a dívida hoje é

suficiente.




17) (CESPE - TRE - MT - 24/01/2010) Um candidato a cargo

eletivo, com a finalidade de financiar sua campanha política, contraiu um empréstimo junto a uma instituição financeira e

assinou uma nota promissória no valor de R$ 55.000,00 com

vencimento em doze meses. Após dez meses, ele desistiu da candidatura e decidiu quitar o empréstimo, do qual restava R$

20.000,00.

Nessa situação, se a instituição financeira trabalha com desconto comercial simples à taxa de 1% ao mês, então o valor adicional

necessário para quitar a dívida é igual a:

A) R$ 29.500,00.

B) R$ 30.000,00.

C) R$ 31.500,00.

D) R$ 38.500,00.

E) R$ 40.500,00.

18)(CESPE-2009-TCE-AC-ANALISTA DE CONTROLE EXTERNO) Um

comerciante que deve a um banco um título de valor nominal igual a R$ 23.450,00, com vencimento para daqui a dois meses,

negociou com o banco a prorrogação da dívida por mais quatro meses. Considerando a data focal como sendo o momento atual e

que, para o título acima, o banco adotou o desconto comercial simples à taxa de 60% ao ano, então o valor nominal, em reais, do

novo título será:

a) inferior a 26.000.

b) superior a 26.000 e inferior a 28.000. c) superior a 28.000 e inferior a 29.000.

d) superior a 29.000 e inferior a 31.000. e) superior a 31.000

19) (CEF-Técnico Bancário-CESPE-2010)Se, ao descontar uma

promissória com valor de face de R$ 5.000,00, seu detentor receber o valor de R$ 4.200,00, e se o prazo dessa operação for de

2 meses, então a taxa mensal de desconto simples por fora será igual a:

a) 5%




b) 6%

c) 7%

d) 8%

e)9%

20) (Caixa- Acre- Cesgranrio) Um título de valor nominal R$

24.200,00 será descontado dois meses antes do vencimento, com taxa composta de desconto de 10% ao mês. Sejam D o valor do

desconto comercial composto e do valor do desconto racional composto. A diferença D – d, em reais, vale:

a) 399,00

b) 398,00 c) 397,00

d) 396,00

e) 395,00

21) (CESGRANRIO 2009) A Empresa Trás os Montes Ltda., obteve do Banco Z, numa operação de desconto de duplicatas, um valor

líquido de R$ 72.000,00. Sabendo-se que a duplicata tinha vencimento para 25 dias, a contar da data do desconto, e que o

Banco cobra uma taxa de desconto simples de 2% ao mês, o valor da duplicata descontada, em reais, é:

a) 75.000,00 c) 73.220,34 e) 71.111,54

b) 74.333,33 d) 72.999,33

22) (CESGRANRIO ANP – CIÊNCIAS CONTÁBEIS) A Empresa Serra Verde Ltda. levou ao Banco quatro duplicatas no valor

deR$32.500,00 cada uma, com vencimento para 90, 120, 150 e

180 dias, respectivamente, para descontá-las. O Banco ofereceu à empresa uma taxa de desconto simples de 3,45% ao mês. Com

base nos dados acima e considerando o ano comercial, o valor do desconto pago pela empresa no ato do empréstimo, em reais, foi:

a) 20.182,50 c) 26.910,00 e) 33.637,50

b) 25.750,00 d) 32.187,50

23) (Transpetro- cesgranrio-2011) Uma empresa obteve um desconto de uma duplicata no valor de R$ 12.000,00 no Banco

Novidade S/A, com as seguintes condições:




Considerando-se exclusivamente as informações acima, o valor

creditado na conta corrente da empresa, em reais, foi de

a)11.660,00

b)11460,00 c)11400,00

d)11200,00 e)11145,00

24) (Transpetro- cesgranrio-2011) Um título de renda fixa deverá ser resgatado por R$ 15.000,00 no seu vencimento, que ocorrerá

dentro de 2 meses. Sabendo-se que o rendimento desse título é de 1,5% ao mês (juros compostos), o seu valor presente, em reais, é

Dados:

(A) 14.619,94

(B) 14.559,93

(C) 14.550,00

(D) 14.451,55

(E) 14.443,71




Gabarito:

1-E 6-C 11-E 16-C 21-C

2-C 7-C 12-E 17-A 22-A

3-C 8-C 13-C 18-D 23-C

4-D 9-C 14-E 19-D 24-B

5-E 10-C 15-C 20-B

Bom pessoal, terminamos a nossa primeira aula. Na próxima aula veremos mais questões de juros e descontos, principalmente aquelas

questões que misturam logaritmos com juros, ok?

Em cursos online como esse vocês podem sempre tirar as suas

dúvidas por email. Sintam-se à vontade!

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