2)problemas de la fÍsica matemÁtica - b.m. budak,a.a. samarski & a.n. tijonov

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B. Ai. BynaK A . A . CaMapCKHÜ

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B.M.BudakA.A.SamarskiA.N.Tíjonov

PROBLEMAS DE LA FÍSICA MATEMÁTICA

Tomo 2

Editorial Mir Moscú

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Traducido del ruso por José Hamil Alvarez, candidato a doctor en ciencias físico-matemáticas

Ha ucnancKOM flamee

Impreso en la URSS

<g) Il3AaTC;ibCTm> «Hayica». Í980

(g) Traducción al oapañol, Editorial Mir« 1984

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INDICE

Capitulo V. Ecuaciones de tipo parabólico .......................................... 423

§ 1. Problemas físicos que so reducen a ecuaciones <lo tipoparabólico; planteamiento do los problema de contorno 423, 481

5 2. E l método de separación de variab les......................... 425, 486

1. Problemas do contorno que no exigen la utilización de las funciones especiales (425, 486). a) Medios homogéneos (425, 486). b) Medios heterogéneos; factores concentrados (427, 493). 2. Problemas de contorno que exigen la utilización de las funciones especiales (428,497). a) Medios homogéneos (428, 497>. b) Medios heterogéneos; factores cuncenlrados (431, 516).

| 3. Método de representaciones in tegra les ........................ 432, 523

1. Utilización (le la integral de Fourier (433, 523).2. Construcción y utilización de las funciones do influencia do los manantiales puntiformes instantáneos de calor (436, 535)

Capitulo VI, Ecuaciones de tipo h ip e rb ó lic o ...................................... 441, 546

§ 1. Problemas físicos que conducen a las ecuaciones de tipo hiperbólico; planteamiento de los problemas decontorno ........................................................................ 441, 546

5 2. Problemas sencillos, diferentes métodos de resolución 445, 555§ 3. Método de separación de variab les ............................ 450, 565

1. Problemas do contorno que no requieren la utilización de las funciones especiales (450, 565). a) Medios homogéneos (451. 565). b. Medios heterogéneos (452,570). 2. Problemas de contorno que requieren la utilización de las funciones especiales (452, 572). a) Medios homogéneos (452, 572). b) Medios heterogéneos (457,600).

§ 4. Método de representaciones integrales........................ 457, 601

1. Utilización de la integral de Fourier (458, 601).a) Transformación de Fourier (458, 601). b) Transformación do Fourier—Bcssel (458, 607). 2. Construcción y utilización de las funciones de influencia do los manantiales concentrados (460, 612). a) Funciones de influencia de los impulsos instantáneos concentrados (460, 612). b) Funciones de influencia de los manantiales concentrados de funcionamiento continuo (461,618).

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422 I ndice

Capitulo vil. Ecuoclones de Upo elíptico Au + cu = —I . . . . • 463, 625

§ 1. Problemas para la ecuación Au — x» = —/ . . . . 463, 625§ 2. Algunos problemas sobre las oscilaciones propias . . . 465, 6t0

1. Oscilaciones propias (le cuerdas y membranas (465,630». 2. Oscilaciones propias (le los volúmenes (466,639).

§ 3. Propagación y radiación del sonido ................ 468, 636

1, Manantial punliforme (469, 657). 2. Radiación de las membranas, cilindros y esferas (470. 6R4). 3. Difracción sobre el cilindro y la esfera (472, 675).

§ 4. Oscilaciones electromagnéticas estables ................... 473, 682

1. Ecuaciones de Maxwell. Potenciales. Fórmulasvectoriales de Green—Ostrogradski (473, 682).2. Propagación do las ondas electromagnéticas y oscilaciones en los resonadores (475. 680). 3. Radiación de las ondas electromagnéticas (477, 701). 4. Antena sobre la tierra plana (478, 708).

Complemento................................................................................

I. Diferentes sistemas ortogonales de coordenadas . . .

1. Las coordenadas rectangulares (721). 2. Las coordenadas cilindricas (722). 3. Las coordenadas esféricas (722). 4. Las coordenadas elípticas (723.) 5. Las coordenadas parabólicas (723;. 6. Las coordenadas elipsoidales (723). 7. Las coordenadas elipsoidales degeneradas (724). 8. Coordenadas toroidalcs (725). 9. Coordenadas bipolares (726). 10. Coordenadas esferoidales (727). 11. Coordenadas paraboloidales (728).

I I . Algunas fórmulas del análisis voctoria l.......................

I I I . Funciones especia les ..........................................................1. Funciones trigonométricas (728). 2. Funciones hiperbólicas (729). 3. Integral de los errores (729). 4. Función gamma (729). 5. Funciones elípticas (730). 6. Funciones de Bessel (730). 7. Polinomios de Legendre (732). 8. Función hipergcométrica F (a, fl, y) (733).

IV. Tablas do la integral de errores y de las raices de algunas ecuaciones características..........................................

Bibliografía

721

721

728

728

735

740

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Capitulo V

E C U A C IO N E S DE T IP O P A R A B Ó L IC O

Las ecuaciones de tipo parabólico se obtienen al investigar fenómenos tales como la conductibilidad térmica, la difusión, la propagación del campo electromagnético en los medios conductores, el movimiento de un líquido viscoso, el curso de las aguas subterráneas, etc.

En este capítulo se examinan el planteamiento y la resolución de los problemas de contorno para las ecuaciones de tipo parabólico en el caso cuando los procesos físicos examinados se caracterizan por funciones de dos, tres o cuatro variables independientes; este capítulo es la continuación del capítulo tres en que se tratan las ecuaciones de tipo parabólico para funciones do dos variables independientes.

§ 1. Problemas físicos que se reducen a ecuaciones de tipo parabólico; planteamiento de los problemas de contorno

1. El semiespacio z > 0 está lleno de un líquido con coeficiente de conductibilidad térmica X, densidad de masa p y calor específico c.

Plantear el problema de contorno acerca del calentamiento del líquido si éste se mueve con una velocidad v0 — const en el sentido del eje x, entre el líquido y el plano z = 0 se realiza el intercambio de calor según la ley de Nevvton, la tomperatura del plano de frontera z = 0 os igual a u0. Examinar, en particular, el caso do la distribución estacionaria do la tomperatura con la condición de que se puede despreciar la transferencia de calor en el sentido del eje x, como resultado de la conductibilidad térmica, en comparación con la transferencia de calor por la masa móvil dul líquido.

2. Formular el problema de la difusión análogo al problema 1, suponiendo que el plano z = 0 es impermeable a las partículas de la sustancia en difusión; plantear los problemas de contorno en los casos estacionario y no estacionario.

3. Deducir la ecuación de la difusión para una sustancia cuyas partículas

a) se desintegran (por ejemplo, un gas inestable, el radón), además la velocidad de desintegración en cada punto del espacio es proporcional a la concentración;

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b) se multiplican (por ejemplo, la difusión do los neutrones al existir la fusión nuclear), ademas la velocidad de la multiplicación en cada punto del espacio es proporcional a la concentración.

4. Plantear el problema de contorno sobre la propagación del campo electromagnético en el espacio no acotado lleno de un medio conductor con conductibilidad ff = const, la permeabilidad magnética fi = const y la constante dieléctrica e = const.

5. Plantear el problema de contorno acerca del enfriamiento de una placa plana no acotada si sobre su superficie se realiza el intercambio de calor por convección con un medio ambiente de temperatura igual a cero.

Examinar, en particular, el caso cuando la variación de la temperatura según el espesor de la placa es despreciablemente pequeña.

6. Un tubo cilindrico circular está lleno de un líquido con conductibilidad térmica muy grande*); fuera del tubo bay aire con temperatura U0 = const. Plantear el problema de contorno para determinar la temperatura del tubo, suponiendo que ésta es independiente de la distancia media a lo largo del mismo.

7. Un cilindro circular infinito de radio r0, con momento de inercia K sobre una unidad de longitud, está en un líquido viscoso; para t > 0 el cilindro se pone en revolución por la acción del momento M sobre una unidad de longitud.

Utilizando la expresión, en coordenadas cilindricas, de las ecuaciones del movimiento del líquido viscoso y de las componentes del tensor de las tensiones**), plantear el problema de contorno sobre el movimiento viscoso y del cilindro.

8. Una capa del suelo está sobre una base horizontal impermeable y contiene en sí las aguas subterráneas. El vector U del flujo de las aguas subterráneas está relacionado con el vector V de la velocidad del movimiento de las partículas de estas aguas por la relación

U = mV,

donde el coeficiente m se llama porosidad del suelo.La fuerza de resistencia aplicada a una partícula del agua refe

rida al peso específico del agua, según la ley experimental es igual a

donde k es el llamado coeficiente de filtración***).Denominamos presión excesiva referida al peso específico del

agua, a la diferencia entre las presiones real e hidrostática en las aguas subterráneas.

*) Se trata «le la conductibilidad térmica sumaria incluyendo la transferencia de calor por las corrientes de convección del líquido.

**) Véanse las respuestas e indicaciones.»**) Acerca de la terminología véase |23).

424 Planteamiento de Jos problemas

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V . Ecuaciones de tipo parabólico 425

Plantear el problema de contorno acerca del movimiento de la superficie libre de las aguas subterráneas, con los supuestos siguientes:

1) la componente horizontal del gradiente de la presión excesiva es despreciablemente pequeña,

2) las fuerzas de inercia que actúan sobre los partículas de las aguas subterráneas son despreciablemente pequeñas.

§ 2. El método de separación de variables *’1. Problemas de contorno que no exigen la utilización

de las funciones especiales

En este apartado se examinan tales problemas de contorno par» unas regiones con las fronteras planas y esféricas las soluciones deque se expresan en la forma de las series respecto a las funciones propias más simples (elementales) del operador de Laplace para oslas- regiones.

a) Medios homogéneos

9. Hallar la temperatura del paralelepípedo 0 ^ x ^ ¿lt 0 ^ ^ y ^ ¿2, 0 z ^ l3, si su temperatura inicial es una función arbitraria de x, y, z y la temperatura de la superficie se mantiene igual a cero.

10. Resolver el problema anterior para un cubo con arista l, si en el momento inicial él estaba calentado uniformemente. Hallar ol momento de tiempo a partir del cual en el centro del cubo tendrá lugar a ciencia cierta un régimen regular con exactitud relativa, e > 0**).

11. Hallar la temperatura del paralelepípedo 0 ^ x ^^ y ^ /,, 0 ^ z ^ l;, sobre cuya superficie se realiza el intercambio- de calor por convección con un medio de temperatura nula, si su temperatura inicial es igual a / (x, y, 2); examinar, en particular, el caso cuando / (x, y, z) = U„ = const.

12. Sobre la superficie del cubo calentado en el momento inicial uniformemente, se realiza el intercambio de calor por convección con un medio de temperatura igual a cero. Hallar la expresión para la temperatura en el centro del cubo y determinar el momento d& tiempo empezando a partir del cual en el centro del cubo tendrá lugar a ciencia cierta un régimen regular con exactitud relalivai e > 0.

13. Las paredes del tubo rectangular semiacotado 0 ^ x < -j-oo,0 ^ y ¡i, 0 ^ z ^ ¿n se mantienen a una temperatura igual a cero.Por el tubo se mueve cierto medio con velocidad constante en>

' ) Véase la segunda Humada en la pág. 32 del tomo 1.•* ) Véase el problema 22 del § 2. cap, 111.

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426 Planteamiento de los problemas

el sentido dol eje z. Hallar la temperatura del medio móvil, despreciando la transferencia de calor en el senlido del oje x como resultado de la conductibilidad térmica*), en la» condiciones siguientes: 1 ) el proceso es estacionario, 2) entre ol medio y las paredes del lubo se realiza el intercambio de calor según la ley de Newton, 3) la temperatura del medio en la sección x — 0 es igual a (/„ == const.

14. Sea que on el cubo 0 ^ x, y, z <: / se realiza la difusiónde una sustancia cuyas partículas se multiplican con una velocidad proporcional a la concentración (véase el problema 3). Hallar las dimensiones criticas del cubo, es decir, hallar la longitud de la arista l a partir de la cual el proceso de ]a multiplicación adquiere el carácter de avalancha**). Examinar los casos cuando

a) sobre todas las caras la concentración se mantiene igual a cero,

b) todas las caras son impermeables,c) todas las caras son semiimpermeables.15. Hallar la tomperatura de la esfera de radio cuya super

ficie se mantiene a una tomperatura nula. En el momento inicial de tiempo la temperatura de la esfera era igual a

u- lf-o = / (r), 0 <; r < r0.

16. La temperatura inicial de la esfera 0 r r0 es igual a

u |f_o = U<> = const,

sobre la superficio de la esfera se mantiene la temperatura = =a const. Hallar la temperatura do la esfera para t > 0. Determinar el momento do tiempo a partir del cual en ol centro de la esfera tendrá lugar a ciencia cierta un régimen rogular con exactitud relativa « > 0.

17. La temperatura inicial de la esfera 0 ^ r <1 r0 es igual a

it lt_o = Utt = const,

y dentro do la esfera a través do su superficie se suministra un flujo ■constante de calor de densidad g. Hallar la temperatura de la esfera para t > 0.

18. Hallar la temperatura do la esfera de radio r„ sobre cuyasuperficie se realiza el intercambio de calor por convección con unmedio de temperatura igual a cero. La temperatura inicial de laesfera os

w 11 -o = f (r), 0 < r < r0.

19. La temperatura inicial de la esfera 0 r ^ r0 es igual a

u |t_o = U0 ^ const

*) Véase el problema 1.**) Para más detalles acerca de la nocióo de las dimensiones críticas véase

571, pág. 524-525.

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y sobre su superficie se realiza ol intercambio do calor por convección con un medio de la temperatura constante Ux a const. Hallar la temperatura de la esfera para í >■ 0.

Determinar el momento de tiempo a partir del cual en el centro de la esfera tendrá lugar a ciencia cierta un régimen regular con exactitud relativa e >• 0.

20. La temperatura inicial de la esfera 0 ^ r < rB es igual a

u ||_0 = í/<> == const

y sobre su superficie desde el momento t = 0 se realiza el intercambio de calor por convección con un medio cuya temperatura es

U0 ■+■ « í, 0 < t < +oo, U0 = const, a = const.

Hallar la temperatura de la esfera para i > 0.21. Resolver el problema acerca del enfriamiento de la capa

esférica r, Sj r ^ r2 sobre cuyas superficies interior y exterior se realiza ol intercambio de calor por convección con un medio que tiene una temperatura nula. La temperatura inicial de la capa es igual a

u |í_o = / (r), ri < r < r2.

22. En un recipiente esférico cerrado 0 ^ r ^ R se realiza la difusión de una sustancia, cuyas partículas se multiplican, además, la velocidad de la multiplicación es proporcional a la concentración (véase el problema 14). Hallar las dimensiones críticas del recipiento. Examinar los casos cuando

a) sobro la superficie del recipiente se mantiene una concentración igual a cero,

b) la pared del recipiente es impermeable,c) la pared del recipionte es semiimpermeable.

b) Medios heterogéneos; factores concentrados

23. Hallar la temperatura de una viga de socción transversalrectangular 0 ^ x ^ Ílt 0 ^ y l z compuesta do dos vigas homogéneas (de propiedades físicas diferentes) con las secciones transversales 0 i <C x0, 0 ^ i/ ^ i , y i 0 ^ i ^ i,, 0 ^ ^ los topeade la viga son termoaislados y la superficie lateral se mantiene a una temperatura igual a cero. La temporatura inicial de la viga es

“ It-o ■= / (*t y), 0 0 < y < Zs.

24. Hallar la temperatura del paralelepípedo rectangular compuesto de dos paralelepípedos rectangulares homogéneos [0 ^ x

x0, 0 ^ y ^ Z2, 0 ^ z ^ l3\ y [x0 <1 x ^ l t, 0 ^ y ^ Z2, 0 ^ ^ z ^ y hechos de materiales diforentos. La superficie del paralelepípedo compuesto se mantiene a una temperatura igual a cero y su temperatura inicial es

“ 11 -o — f (x, y, z), 0 ^ x < l„ 0 ^ y i„ 0 z ^ l3.

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428 Planteamiento do los problemas

25. La esfera 0 r ^ r¡ está compuesta de una esfera homogénea 0 ^ r r0 y la capa esférica r„ ^ r ^ /•,, elaboradas de materiales diferentes. Hallar la temperatura de la esfera si su superficie se mantiene a una temporatura igual a cero y la temperatura inicial de la esfera os

26. En la cavidad interior de una capa esférica gruesa r, sgCr r2 se contiene el líquido con la conductibilidad térmica muy grande, es decir, tal que su temperatura todo el tiempo es igual a la temperatura do la superficie interior do la capa. Hallar la temperatura do la capa si su superficie exterior so mantiene a una temperatura igual a cero y la temperatura inicial es

2. Problemas de contorno que exigen la utilizaciónde funciones especiales

En esto punto se examinan tales problemas de contorno para las regiones acotadas por los planos, esferas y cilindros circulares, cuyas soluciones se expresan por series con respecto a las funciones propias generales del operador de Laplace para estas regiones, es decir, por funciones propias compuestas por funciones cilindricas o esféricas.


27. Resolver el problema acerca del calentamiento del cilindro circular infinito 0 ^ r ^ r0, cuya temperatura inicial es igual a cero, si sobre su superficie se mantiene la temperatura l/0 = const. Hallar también en las condiciones del régimen regular la expresión aproximada de la temperatura media por la sección transversal del cilindro.

28. Hallar la temperatura del cilindro circular infinito con la condición de que la temperatura inicial sea igual a

y sobre su superficie se mantenga una temperatura igual a cero. Hallar en las condiciones del régimen regular la expresión aproximada para la temperatura media por la sección transversal del cilindro. .

29. Hallar la temperatura del cilindro circular infinito 0 ^ r ^ ^ r0 si su temperatura inicial es igual a

« lt-o = UB const,

y sobre su superficie desde el momento l — 0 se suministra desde afuera un flujo constante de calor de densidad q.

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30. Hallar la temperatura del cilindro circular infinito de radio r0 si la temperatura inicial es

u = /(r), 0 < r < r0,

y sobre la superficie del cilindro se realiza el intercambio de calor por convección con un medio de temperatura igual a cero. Examinar, en particular, el caso cuando / (r) = U0 as const, y escribir la expresión aproximada para la temperatura en las condiciones del régimen regular.

31. La temperatura inicial del cilindro circular no acotado 0 <1 r ^ r0 es

u 11 —o ~ Ut> = const,

y sobro la superficie del cilindro se realiza el intercambio de calor por convección con un medio de temperatura igual a Í7, = const.

Hallar la temperatura del cilindro para t > 0.32. Resolver ol problema anterior si la tomperatura del medio

es igual a U¡ + a i, donde U, y a son constantes.33. Fuera del cilindro conductor circular infinito 0 ^ r ^ r0

en el momento í = 0 se establece instantáneamente el campo magnético constante # 0, paralelo al eje del cilindro.

Hallar la intensidad del campo magnético en el interior del cilindro con las condiciones inicíalos nulas: determinar después el flujo de la inducción magnética a través do la sección transversal del cilindro.

34. Resolver el problema anterior si la intensidad del campo magnético exterior es igual a

H — //„ eos o>t, H 0 = const, 0 < t < + 00.

35. La temperatura inicial del tubo cilindrico circular infinito r ^ r2 es igual a

“ lí-o = 1 (r). n *£ r < r2.

Hallar la temperatura del tubo para t > 0 si sobre su superficie interior se mantiene la temperatura U¡ = const y sobre la superficie exterior, la temperatura U2 = const.

36. La temperatura del tubo cilindrico circular infinito es igual a cero para í < 0. Desde el momento í = 0, a través de su superficie exterior se suministra desde afuera un flujo constante de calor de densidad <? y la superficie interior dol tubo se mantiene a una tomperatura igual a cero.

Hallar la temperatura del tubo para t > 0.37. Resolver el problema acerca del enfriamiento del tubo cilin

drico circular infinito sobre cuyas superficies interior y exterior se realiza un intercambio de calor por convección con un medio de la temperatura nula. En el momento inicial el tubo estaba calentado uniformemente.

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38. Entre dos cilindros concéntricos’ de longitud infinita hay unlíquido viscoso. En el momento í = 0 el cilindro exterior empieza a girar con uua velocidad angular co ss const.

Determinar la velocidad del movimiento del líquido.39. Hallar la temperatura dol cilindro circular no acotado

0 ^ r ^ r 0, si su temporatura inicial es

“ 11 -o = / (r, <?>)» 0 < r < r„, 0 < <p < 2it,

y sobre la superficie se mantiene una temperatura igual a cero.40. Hallar la temperatura del cilindro circular no acotado

0 r ^ r,, si su temperatura inicial es igual a

u |(_0 = / (r, <p), 0 ^ r ^ r„, 0 ^ <p ^ 2ji,

y sobre su superficie se realiza el intercambio de calor por convección con un medio cuya temperatura es igual a cero.

41. Hallar la temperatura del tubo cilindrico circular no acotado r¡ ^ r <; r* si su temperatura inicial es

u | ( _0 = / (r, tp)> ri < r < r2. 0 < <P < 2ít,

y sobre sus superficies interior y exterior se mantiene una temperatura igual a cero.

42. Hallarla temperatura del tubo cilindrico circular no acotado ri r ^ si su temperatura inicial es igual a

u |, _ 0 *= / (r, <p), r, < r < r2, 0 < <p < 2 n,

y sobre sus superficies interior y exterior se realiza el intercambio de calor por convección con un medio la temperatura de que es igual a cero.

43. Hallar la temporatura del sector cilindrico infinito 0 5^ r ¡g; r„, 0 < (p ^ tp„ si sobre la superficie r = r„ y las caras cp = 0

y ip = (j'„ se mantiene una temperatura igual a cero y la temperatura inicial es

«* 1i_# ■= / (r, <f), 0 < r < r0, 0 < „.

44. Hallarla temperatura del sector cilindrico infinito 0 ^^ r0, 0 < <p <; (p„ si sobro la superficie r = r0 se realiza el intercambio do calor por convección con un medio cuya temperatura es igual a cero, las caras )> 0 < r < r„, 0 < q> < qp0.

45. Hallar la temporatura del sector cilindrico infinito r¡ ^ ^ r í j r , , 0 < tp ^ <p0 si su superficie se mantiene a una temperatura igual a cero y la temperatura inicial es

“ >l-o = f (r< <P)> r, < r < r4, 0 < <p < cp0.

4 3 0 Planteamiento de los problemas

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46. Hallar la temperatura del sector cilindrico infinito rA ^ r ^ r2, 0 <p (po, si sobre las superficies r = r¡ y r = r2 se realiza el intercambio de calor por convección con un medio de temperatura igual a cero, las caras <f = 0 y 0.

47. Hallar la temperatura del cilindro circular finito 0 ^ r r0, 0 ¡sj <¡> ^ 2ji, 0 ^ z ^ cuya superficie se mantiene a una temperatura igual a cero, si la temperatura inicial es

u |¡_0 => j (r, <f, z), 0 r < r0, 0 < <p < 2jt, 0 < z < l.

48. Hallar la temperatura del cilindro circular finito 0 r s j r0,0 <p 2ji, 0 z l, sobre cuya suporficio se realiza el intercambio de calor con un medio de temperatura igual a cero, si latemperatura inicial del cilindro es

u 11_0 — / (r, <í\ 2). 0 < r < r0l 0 < <p < 2n, 0 < z < l.

49. Resolver el problema acerca del enfriamiento do una esferade radio r„ sobre cuya superficie se mantiene una temperatura iguala cero. La temperatura inicial de la esfera es

“ li-o = / (r> 0, <p), 0 < r < r„, 0 ^ 6 ^ n, 0 ^ tp ^ 2it.

50. Resolver el problema acerca del enfriamiento do la esferade radio r0, si sobre su superficie se realiza ol intercambio de calor por convección con un medio de temperatura igual a cero. La temperatura inicial do la esfera es

u |t_o = f (r, fl, ip), 0 r < r0, 0 ^ 0 ^ n, 0 sg <p ^ 2n.

51. Resolver el problema acerca del enfriamiento de una cápsula esférica gruesa c, íC r r„, cuyas superficies interior y exterior se mantienen a una temperatura igual a cero. La temperatura inicial de la cápsula es

“ lf-o = 1 ('‘i <T>- O). r¡ < r < r2, 0 s£ 0 < Jt, 0 < cp < 2n.

52. Resolver el problema acerca del enfriamiento de una cápsulaesférica gruesa r, s j r ^ r2 sobre cuyas superficies interior y exterior se realiza el intercambio de calor por convección con un medio de temperatura igual a cero. La temperatura inicial de la cápsula es

u |i_o = / (r, 0, «p), r, < r < r2, 0 < 6 < n, 0 < cp < 2ji.

b) Medios heterogéneos; factores concentrados

53. El cilindro circular heterogéneo 0 ^ r ri, 0 <1 cp 2n,O ^ z ^ j i está compuesto de un cilindro homogéneo 0 r ^ r0, 0 SC <p ^ 2n. 0 ^ z ^ l y de un tubo cilindrico homogéneo r0 <t


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4 3 2 Planteamiento do lo» problema»

^ r ^ r¡, 0 <; <p ^ 2it, 0 z ^ l, hechos de materiales diferentes.Hallar la temperatura del cilindro compuesto si su superficie

se mantiene a una temperatura igual a coro y la temperatura inicial ©9

u 11 -o = / (r, <P. z), 0 sgC r < r lt 0 ^ <p 2n , 0 < z < l.

54. Resolver el problema acerca del enfriamiento del tubo cilindrico infinito r, ^ r ^ r, lleno de un líquido enfriador, si la temperatura de este líquido todo el tiempo es igual a la tomperatura do la superficie interior del tubo y la superficie exterior es termoaislada. La temperatura inicial del tubo es igual a

» li-o — 1 (r)> r¡ C r < r¡.

55. Resolver el problema anterior, suponiendo que sobre la superficie exterior del tubo se realiza ol intercambio de calor por •convección con un medio la tomperatura del cual es igual a cero.

56. El cilindro de radio r¡ con momento do inercia K sobre una ■unidad de longitud está hundido on un líquido y se lleva on giro por ol momento iXI =s const sobre la unidad de longitud.

Determinar el movimiento del líquido y del cilindro si el líquido llena el espacio ontre el cilindro y el tubo coaxial inmóvil con el radio interior r. > r¡. Considerar que el cilindro y el tubo son infi- nitamonto largos. En el momento inicial de tiempo el cilindro y el líquido estaban en reposo.

57. Fuera de un conductor cilindrico hueco r, ^ r ^ r2 de longitud infinita en el momento Z = 0 se establece instantáneamente el campo magnético constante ff0 paralelo al eje del cilindro.

Hallar el campo magnético dentro del conductor con las condiciones iniciales nulas, suponiendo que en la cavidad interior el campo es homogéneo y también que fuora y dentro del tubo existe un vacío.

58. La esfera heterogénea 0 ^ r ^ rt está compuesta do unaesfera homogénea 0 ^ r ^ r<, y de una cápsula esférica homogénea '"o ^ ^ ri elaboradas de materiales diferentes.

Hallar la temperatura de la esfera si su superficie se mantiono a una temperatura igual a coro y la temperatura inicial es

u | (_0 = / (r, 0, (p), 0 ^ r < r¡, 0 ^ 0 Jt, 0 ^ cp 2n.

0

§ 3. Método de representaciones integrales

En este parágrafo se examina la utilización de las representaciones integrales a la solución de los problemas de contorno de la teoría do la conductibilidad térmica. Primero se incluyen los problemas sobre la utilización de la integral de Fourier, después sobre la construcción y el empleo de las funciones de manantiales.

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1. Utilización de la integral de Fourier

59. Hallar la distribución de la temperatura en un espacio no acotado, con temperatura inicial

w l«-o •= / (x, 'J> *). — °° < x , y, z < +oo.

Examinar también el caso particular cuando / ( i , y, z) no dopende de z.

60. Hallar la temporatura del espacio no acotado provocada por los manantiales de acción continua con densidad g (x, y, z, í)i la temperatura inicial del espacio es igual a coro. Examinar también los casos particulares cuando g (x, y, z, l) no depende do t y cuando g (x, y, z, í) no depende de z.

61. Resolver el problema de contorno

ut — o2 Aíí, —oo < x, y < 4-oo, O < z < -f-oo, O <

< t < +oo,

« U-0 = O, — oo < x, y < + 0 0 , O < t < +0O,

u 11 —o = / (*> y< 2)> — 00 < X, y < + o o , O < z < -hoo.

Examinar también el caso particular cuando / no depende de y.62. Resolver el problema de contorno

u t = a2 At¿, —oo < í , i/ <C -j-oo, O < z < 4-oo, O <

< t < 4-00,

« lz -o = / (•*> y - *>. — 00 < *. y < + « > , O < ¿ < 4-oo,

U lí-o =“ o, — oo < x, ¡/ < 4-oo, O < 2 < 4-00.

Examinar también el caso particular cuando / no depende de y.63. Resolver el problema de contorno

u, — a2 Au, —oo < # , ( / < 4-oo, O ■< z, í < 4-oo,

« ! lí-o = O, —oo < * , ! / < 4-00, O < í < 4-00,

« 11 —o = 1 (*, y, z), —oo < x, y < 4-oo, O < z < 4-oo.

64. Resolver el problema do contorno

«•( = a2 Aíí, —oo < x, y < 4-oo, O < z, £ < 4-oo,

li-o =* / (*, y, í), —oo < z, y < 4-oo, O < í < 4-oo,

u |t —o = O» —00 < x, y < -foo, O < z < 4-oo.

2-0942

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u t = a1 Am, —oo < x, y < + oo, 0 < z, £ < +oo,

u¡ — hu = 0, —oo < x, y < +oo, z = 0, 0 < £ <

< + < » ,

U |t_„ = f (x, y, z), — oo < y < + oo, 0 < z < -j-oo.

Examinar también el caso particular cuando / no depende de y,66. Resolver el problema de contorno

u¡ = a'- Au, —oo c x, y < -f oo, 0 < z, £ < +oo,

u, = h lu — I (x, y, £)1, —oo < x, y < +oo, z = 0,

0 < £ < +oo,

u |(_0 = 0, — oo < x, y < +oo, 0 < z < -f-oc.

Examinar también el caso particular cuando / no depende do y.67. Resolver el problema de contorno

u, — a2 Au + / (x, y, z, £), —oo < x, y < +oo, 0 < z, t < -foo,

“ I*-o = 0, —oo < i , J < + o o , 0 < £ < +oo,

u ||.o = 0, —oo <. x, y < +oo, 0 < z < + o o .

68. Hallar la temperatura de una viga no acotada con sección transversal rectangular 0 ^ x ¡SJ /|, 0 ¡Sj y ^ /2, —oo <_ z <. +oo, si su temperatura inicial es

u |(_0 = / (x, y, z), 0 ^ x ^ l¡, 0 < t / < /j, —oo 2 s í -|-oo

y sobre la superíiciea) se mantiene una temperatura igual a cero;b) tiene lugar la aislación térmica;c) so realiza el intercambio de calor por convección con un medio

de temperatura nula.69. Rosolvor el problema anterior para una viga semiacotada

con la sección transversal rectangular; 0 x ^ i,, 0 ^ y l¡, 0 < z < -f-oo; examinar los casos que corresponden a las condiciones de frontera a) y b).

70. Hallar la temperatura de un cilindro circular infinito 0 ^ r ^ r0, 0 ^ ip ^ 2it, —oo < z < + oo, si su temperatura inicial es

ti lt-o = / (r< <T> z)> 0 < r < r„, 0 < ( P< 2 Jt, —oo C z C -foo,

y sobro la superficie se cumple una de las siguientes condiciones de frontera;


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a) la temperatura de la superficie se mantiene igual a cero;b) la superficie es termoaislada;c) sobre la superficie se realiza el intercambio de calor por con

vección con un medio ambiento cuya temperatura es igual a ccro-71. Hallar la temperatura de un cilindro semiacotado circular

0 < ?•(,, 0 Sj <p ^ 2n , 0 ^ z <C +oo, si su temperatura iniciales »

u |i_0 = / (r, Ti 2), 0 < <p< 2n, 0 < r í : f , , 0 < z < -j-oo

y sobre la superficie se cumple una do las siguientes condiciones de frontera:

a) la temperatura de la superficie se mantiene igual a cero; t>) la superficie os termoaislada.72. Hallar la temperatura de un sector cilindrico no acotado

0 ^ r Sí ro> cfo, —oo < 2 < -foo, si su temperaturainicia] es

“ 11 —o = / (r< CP< z)> 0 < ip < cf0, 0 < r < r0, —oo < 2 < +oo

y sobro la superficie se cumple una de las siguientes condiciones do frontera:

a) la temperatura de la superficie se mantiene igual a cero;b) la superficie os termoaislada.73. Resolver el problema anterior para uji sector cilindrico

semiacotado 0 ^ r /■„, 0 ^ <P)> 0 < r < -j-oo, 0 < ( p < ( p 0

y sobre los bordes de la placa:a) se mantiene una temperatura igual a cero;b) tieno lugar la aislación térmica.75. Resolver el problema anterior, suponiendo que un borde de

la placa es termoaislado y la temperatura del otro se mantiene igual a cero.

76; Hallar la temperatura de una cuña no acotada con el ángulo de abertura rp0 si sobre sus caras:

a) se mantiene una temperatura nula;b) tiene lugar la aislación térmica.77. Rallar la temperatura de un espacio no acotado con una cavi

dad cilindrica circular infinita si la temperatura inicial os igual a cero y la temperatura sobre la superficie de la cavidad se mantiene igual a U„.

2*

V. Ecuaciones de fipo parabólico 4 3 6

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2. Construcción y utilización de las funciones do influencia de los manantiales puntiformes instantáneos de calor

78. Demostrar que el producto de las soluciones u¡ (x, t), u2 (y, (), «3 (z, t) de los problemas de contorno

43 6 Planteamiento de los problemas

79. Utilizando las expresiones de las funciones de influencia do los manantiales puntiformes instantáneos de calor para las rectas— oo < x < + oo, —oo < y < + oo, —oo < z < -foo y la suposición formulada en el problema 78, escribir la función de influencia del manantial punliforme instantáneo de calor para el espacio

80. Mediante la función de influencia hallada en el problema anterior resolver el problema de contorno

« i = a! Au + F (x, y, z, t), —oo < x, y, z < + oo, 0 < í <

81. Escribir la expresión de la función de influencia del manantial puntiforine instantáneo de calor para el semiespacio —oo < x, y < +oo, O < +oo que corresponda a las condiciones de frontera

a) “ U-o = O,b) u2 U_0 = O,c) (u2 — hu) |z_0 = O,

por las funciones unidimensionales correspondientes de influencia análogamente como so hizo en la solución del problema 79.

0 < í< + o o , (1 ')

(2 ')

0 < t < + oo, (t")

(2")

0 < t < + oo, (1 “)

(2" )

= (x), — oo < * < -f oo,

“alí-o = / 2(!/). — oo < y < - fo o ,

“ 3 l í -0 = fa (*)■. —OO < z < +oo,es la solución del problema de contorno

—oo < x, y, z < +oo, O < t < +oo,

“ It-o = U (x) f2 (y) fa (z)> —°° < x , y, z < +oo.

(1)

(2)

—oo <c x, y, z < +oo.

< + o ° i

“ l i - o = / (*> y . z). — 00 < x , y, z < -foo.

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82. Medíanle las funciones de influencia halladas on e) problemaanterior resolver los problemas de contorno

a) u< — a2 Alt + P (x, y, z, i), — oo < x, y < + 00,

0 < z, t < + 00,

u |t _(> = (x, y, t), — 00 < x, y < + 00, 0 < í < -foo,

u 11 _0 = / (2 , y, z), — 00 < x, y < -feo, 0 < z < + 00;

b) u¡ — o a A u + F (x, y, z, t), — 00 < * , y < + 0 0 , 0 < z,

í < + 0 0 ,

“ 1 Ir-o = ^ (x, y. £)> — 00 <. x, y < -foo, 0 !/. 2). — 00 < x, y < + 0 0 . 0 < 3 < + 0 0 ;

c) u, = a1 A1/. + /•' (a:, {/, z, í)- — 00 < *1 ¡/ < + °°, 0 < z,

{ < + 0 0 ,

(ul —hu) |2_0 ==&<!> (x, y, t), —o o < x , y < + 00, 0 < t < -f-oo,

w It-o = / (*. V, z), — 00 < x, y < -foo, 0 < z < + 00.

83. Sea i? una región cilindrica (infinita, seiniacotada o finita) paralela al eje z, y sea D xv su intersección con el plano xy. Sean dadas sobre la superficie de la región D las condiciones de frontero de primero, segundo o tercer género.

Demostrar que el producto de la correspondiente función de influencia del manantial puntiforme instantáneo de calor para todo el eje z, del semieje z o del segmento finito del eje z por la función do influencia del manantial puntiforme instantáneo de calor para la región plana Dx¡/ es la función de influencia del manantial puntiforme instantáneo de calor para la región D .

84. Utilizando la afirmación formulada en el problema anterior, escribir la expresión de la función de influencia del manantial puntiforme instantáneo de calor para la capa plana — 00 < x} y < — co, 0 < z < /. Examinar los casos cuando sobre los planos de frontera z = 0 y z = I:

h) se mantiene una temperatura nula;h) tiene lugar la aislación térmica;c) lino de los planos de frontera (z = 0) os termoalslado y sobre

el otro (z = l) se mantiene una temperatura nula;d) sobre los ambos planos de frontera se realiza el intercambio

de calor por convección con un medio de temperatura nula.85. Construir la función de influencia del manantial puntiforme

iastantáneo de calor para la viga no acolada con la sección transversal rectangular 0 ^ x ^ l,, 0 sC 1/ <á — 00 < z < + 0 0 si sobre la superficie de la viga

a) se mantiene una temperatura nula;

V. Ecuaciones de tipo parabólico 4 3 7

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b) tiüno lugar Ja aislación térmica.86. Construir la función de influencia del manantial puntiforme

instantáneo de calor para el paralelepípedo rectangular 0 ^ x s j l¡, 0 y ^ ¿s. 0 s j z s j Examinar los caso» cuando la superficie del paralelepípedo:

a) so mantiene a una temperatura nula; h> os toi'moaislada.87. Mediante ol método de reflexión construir la función de

influencia dol manantial puntiforme instantáneo de calor para una

cuña no acotada con ángulo de abertura — , donde m es un númerom

natural. Examinar los casos cuando los planos de frontera (p = O

a) se mantienen a una temperatura igual a cero;b) son tcrmoaislados.88. Hallar la distribución do la temperatura eu el espacio no

acotado, producida por el hecho de que en el momento inicial de tiempo sobro la superficie esférica de radio r' se desprendieron instantáneamente ^ unidades de calor distribuidas uniformemente. (Construcción de la función de influencia del manantial esférico instantáneo do calor).

89. Mediante la función dol manantial hallada en el problema anterior resolver el problema de contorno

donde r = -(- y1-\-zt.90. Hallar la distribución de la temperatura en el espacio no

acotado producida por el hecho de que on el momento inicial de tiempo en cada unidad de longitud de la superficie cilindrica infinita de radio r' se desprendieron Q unidades de calor distribuidas uniformemente. (Construcción de la función de influoncia del manantial cilindrico instantáneo de calor.)

91. Mediante la función de influencia hallada en la solución del problema anterior resolver el problema de contorno

donde r = Y x 1 + y92. Hallar la función do influencia dol manantial puntiformo

instantáneo para la ecuación de la difusión si el medio on que se realiza la difusión so mueve con una voiocidad constante v con respecto al sistema de coordenadas on examen.

u(r, 0) — f(r ) , 0 < r < + oo,

(1)

(2 )ú (r, 0) — F (r), 0 < r < - f o o ,

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V . Ecuaciones de tipo parabólico 4 3 9

93. Hallar la función de influencia del manantial puntiforme inmóvil de potencia constante para la ecuación de la difusión en un medio que se innove con velocidad constante v en el sentido del eje x, si ol proceso de la difusión es estacionario y si se puede despreciar la transferencia de la sustancia en ol sontido dol ojo x on comparación con la transferencia como resultado del movimiento del medio (véase el problema 2).

94. Resolver ol problema anterior para el semiespacio 0 < z << -j-oo, examinando los casos cuando: •

a) el plano z = 0 es impermeable;b) sobre el plano z = 0 so mantiene una concentración igual

a cero:c) el plano z = 0 es semiimpermeable. además, debajo de él

(es docir, para z < 0) se mantiene una concentración igual a cero.95. Hallar la concentración do la sustancia en difusión en el

espacio no acotado que se desprende por un manantial puntiforme do potencia / (t) con las coordenadas x = <p (í), y = i|) (/), z = = x (í), si la concentración inicial de esta sustancia en el espacio es igual a cero.

96. Hallar la concentración de la sustancia en difusión en un espacio no acotado cuya concentración inicial es igual a

donde r es el radio-vector del sistema esférico de coordenadas.97. Resolver el pi'oblema anterior para el semiespacio z > O,

suponiendo que z0 < r„ y (O, O, z0) son las coordenadas del centro do la esfera, en el cual la concentración inicial es igual a í/0- Examinar los casos cuando

a) el plano z = O es impermeable para la sustancia en difusión,b) sobre el plano z = O se mantiene una concentración igual

a cero.98. Hallar la concentración do la sustancia on difusión en el

espacio no acotado si su concentración inicial es igual n

dondo ;• es el radio-vector del sistema cilindrico de coordenadas.99. Resolver el problema anterior para el semiespacio x > O

suponiendo que el cilindro es paralelo al ejo z y su oje interseca el plano t — O en el punto (xv, 0), donde x0 >• r„. Examinar los casos cuando:

a) el plano x = 0 es impermeable para la sustancia en difusión,b) sobre el plano x = 0 se mantiene una concentración igual

a cero.

uU0 = const para 0 ^ r < r o,

0 para r„ < r < + oo,

uU0¡ss const para 0^ r < r „ ,

0 para r0<Cr<-!-oo,

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100. El canal con las paredes verticales y el fondo impermeable de súbito se llena do agua de tal manera que en una parte, para x < 0, el nivel del agua es H x = const y en la otra parte, para x > 0, //2 = const, y ulteriormente estos niveles se mantienen invariables (véase la fig. en la respuesta al problema, el eje vertical H es perpendicular al plano del dibujo).

En el momento inicial el nivel de las aguas subterráneas en la capa del suelo y > 0 es igual a — const.

Considerando que la capa está sobre una base impermeable que es la continuación del fondo del canal, hallar el nivel de las aguas subterráneas // (x, y, t) para t > 0 (y > 0).

101. Sobro la superficie de la cavidad esférica 0 ^ r ^ r„ de un espacio no acotado la temporatura debe variarse según la ley“ lr-r. = (0 i donde <p (£) es una función dada do tiempo; la temperatura inicial del espacio es igual a coro.

¿Qué flujo de calor se debo suministrar de la cavidad esférica al espacio para asegurar tal ley de variación de la temperatura sobre la superficie de la cavidad?

4 4 0 Planteamiento <íe los problemas

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Capitulo V I

E C U A C IO N E S DE TIP O H IP ER B Ó LICO

A las ecuaciones de tipo hiperbólico llevan los problemas de- carácter dinámico de la m ecán ica de los medios continuos (acústica, hidrodinámica, aerodinámica, teoría do elasticidad) y los problemas de electrodinámica*). En el capítulo presente se examinan el planteamiento y la solución de los problemas de contorno de tipo hiperbólico para las funciones de dos y más variables independientes, así que esto capítulo es la continuación y el desarrollo del cap. II en que se examinan los problemas de tipo hiperbólico sólo para las- funciones de dos variables independientes, Al igual que en el capítulo II las oscilaciones de los medios continuos en todas partes deeste capítulo se consideran pequeñas en el sentido usual de la palabra.

§ 1. Problemas físicos que conducen a las ecuaciones de tipo hiperbólico; planteamiento de los problemas de contorno

En este párrafo se examina el planteamiento de los problemas- de contorno para los procesos de la mecánica de los medios continuos- El planteamiento de los problemas de electrodinámica se examinan en el cap. IV**).

1. Plantear el problema de contorno acerca de la propagación-de las perturbaciones pequeñas en un gas ideal homogéneo que llena un espacio no acotado, tomando por la función que caracteriza el proceso una de los magnitudes: la densidad del gas p, la presión en el gas p , el potencial de velocidades de las partículas del gas U , el vector de la velocidad do las partículas del gas r = 4- j iÁ2> +-f fcy(3), el potencial del desplazamiento de las partículas del gas <1>*o el vector del desplazamiento de las partículas del gas u = iu>'' + + /u(S) + kui3\ Demostrar que utilizando una de estas magnitudes- so puede expresar cualquiera otra de ellas.

2. Deducir las condiciones de frontera para el potencial de \elo- cidadesdelas partículas del gas £'***), el potencial del desplazamiento <t>, la densidad p y la presión p sobre el plano que acota el semiespacio, lleno con este gas.

*) Las ecuaciones de In teoría relativista de la gravitación c<-n la? salvedades conocidas, también pertenecen al tipo hiperbólico.

**) Vt-aso también [7], págs. 493-507.•**) Acerca de la notación véase la respuesta al problema t.

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-442 Planteamiento de los problemas

Examinar los casos cuando este plano:a) está inmóvil,l>) se mueve con la volocidad subsónica en el sontido de su normal

según una ley dada.3. El espacio está lleno con dos gases ideales diferentes, la fron

tera de separación de los mismos es la superficie S*). Suponiendo que las presiones no perturbadas en ambos gases son igualos, plantear el problema de contorno sobre la propagación do las perturbaciones pequeñas en el gas.

Plantear el problema de contorno sobre las oscilaciones transversales de una membrana con el borde fijo inmóvil si en el estado no perturbado la membrana es plana y el medio ambiento 110 produce resistencia a las oscilaciones de la misma.

Observación. El problema sobre las oscilaciones de la membrana es el análogo bidimensional del problema sobre las oscilaciones de la cuerda**).

5. Plantear el problema de contorno sobre las oscilaciones de la membrana tendida sobre el hueco de un recipiente cerrado, teniendo en cuenta la variación de la presión en el recipiente excitada por las oscilaciones de la mombrana y considerando que la velocidad de propagación de las perturbaciones pequeñas en el gas es considerablemente más grande que la velocidad de propagación de las ondas en la membrana (el problema sobre las oscilaciones de la membrana del tambor).

6. Deducir la ecuación de la propagación de las perturbaciones pequeñas en un gas que se mueve a velocidad constante con respecto al sistema de coordenadas.

7. Plantear ol problema de contorno sobre el contorneado estacionario subsónico de una cuña inmóvil por el flujo plano paralelo simétrico del gas ideal.

8. Plantear el problema de contorno sobre el contorneado estacionario subsónico dol cono circular por un gas ideal en el sentido del oje del cono, considerando que el flujo no perturbado es homogéneo y las perturbaciones excitadas por el cono son pequeñas.

9. Sea que ol nivel de un líquido ideal en un estanque con el fondo horizontal y las paredes verticales en el estado no perturbado es igual a h = const. Con oscilaciones pequeñas de la superficie libre pueden surgir movimientos en que las partículas dol líquido, que están en cualquier vertical, se mueven de modo igual en las direcciones horizontales. Sea ? (x, y, £) la elevación de la superficio perturbada softre el nivel del líquido en reposo. Considerando la presión /> en el líquido perturbado a una profundidad igual a la hi-

*) La superficie geométrica. Se supone que durante el tiempo de examen la frontera <le separación de los gases 2 puede considerarse como uua superficie icifinitoinonu' Helgada.

**) Véase cap. I I . § t y también 17], págs. 39-42.

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V I. Ecuaciones de tipo hiperbólico 4 4 3

drostática, plantear el problema de contorno sobro la propagación de las perturbaciones pequeñas cu la capa, tomando por la función que caracteriza el procoso: 1) £ (x, y, t)\ 2) ol potencial do las velocidades (horizontales) do las partículas del líquido si la presión p(> sobre la superficie del líquido queda constante (véase el problema 7 del cap. II. § t).

10. Plantear el problema de contorno i) para 'el caso cuando [/„os una función dada de x, y, í, tomando por la función que caracteriza el proceso el potencial de las velocidades horizontales.

11. Deducir lo ecuación del movimiento del centro do la masadel elemento infinitésimo del medio elástico, tomando el elemento en la forma de un paralelepípedo rectangular con las aristas paralelas a los ejes de las coordonadas.

12. Utilizando la ley de Hooke para ol medio elástico, isotró- pico y homogéneo, representar las ecuaciones dol movimiento halladas en el problema anterior, de forma que contenga sólo las componentes del vector de las fuerzas volumétricas y del vector del desplazamiento

U = iu (x, y, z, t) + jv (x, y, z, í) + kw (x. y, z, t)

y demostrar que el “largamiento a tedas parles" 0 = d ivU y elrotor B = rot U satisfacen, cada uno por separado, la ecuación

a2A<p además para 0 la constante

,*-±±3.»P

Observaciones. 1. Cualquier vector U se determina unívocamente por su divergencia div U y el rotor rol U (véase 1141, pág. 209).

2. La forma del olemento del medio elástico, que tiene en ol estado no deformado la forma descripta en el problema 1 1 , 011 ol estado deformado se determina por las magnitudes

ondulatoria de d ’Alembert -jjr —

y para ti la constante o2= —I<

Vxy-

Ou du Ou

OX *eu —

~ó7' Ez -= úz

dv , (tu dv

dx Ty ’ Y¡, — y*t - -¿70w . Ou

Y2.X “ Y « = óx + 1T

de la deformación

e x V.XJ, Vx,

(D) = Vi/* Yv* .

Yz* Vw

, Ow

*) Las ondas clásticas «longitudinales» se propagan más lápidamente ijue las «transversales».

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En el caso cuando el medio es homogéneo y isolrópico las componentes del tensor de la tensión (véase la respuesta al problema anterior)

T*y(T) = o» »

T*y

eslán relacionadas por las correlaciones siguientes con las componentes del tensor de las deformaciones

as- M » + 2j i- g . « ,- H M - 2| í .£ . <r, = X ñ - 2 p-^-,

/ Ow | Ov \ { Ou . Ow \—ll ( Ou + d i ) ’ T« - T« “ ll ( '3T+ dx) ■

/ do . Ou \*xy — *„* - P [ Or ) '

donde 0 = div U, X y p son las constantes de Lame relacionadas del modo siguiente con el módulo E de Young y el coeficiente m de Poisson:

u (3Á 2ii) XE — m = 7TK+ñ-

El coeficiente m de Poisson caracteriza la razón de la contracción transversal correspondiente y el alargamiento longitudinal. El módulo del desplazamiento

G = p.

13. rtepresentando el vector de las fuerzas volumétricas en la forma F = grad el) + rot li (acerca de la posibilidad de representación en esta forma de un vector arbitrario véase \M\. pág. 209),

demostrar que si = (X + 2p) Aff- -f- Ü>, p-^í- = p + B ,

entonces el vector U = grad <f> + rol A satisface las ecuaciones del movimiento obtenidas en el problema 12.

\\. So llama plano el problema sobre la propagación de las perturbaciones en un medio elástico, si la componente ir del vector del desplazamiento U y la componente Z del vector de la densidad de las fuerzas volumétricas F = iX + jY -f- kZ. son iguales a cero y las magnitudes restantes no dependen de z. Por ejemplo, el problema sobre la propagación do la deformación en una placa delgada causada por las tuerzas que actúan en su plano es un problema plano*).

Demostrar que en ol caso del problema plano el vector del desplazamiento V se expresa por medio de dos potenciales escalares, cada uno de los cuales satisface la ecuación ondulatoria correspondiente.

* ) Para más <l>'lailes víase 1201, pág. 92.

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15. Expresar por medio de las componentes del vector U y el tensor T (véase el problema 12) las condiciones de frontera para la propagación do las perturbaciones clásticas en un semiespacio isotró- pico y homogéneo, si ol plano de la frontera

a) está libre,b) está fijo rígidamente.Expresar para el problema plano estas condiciones de frontera

por medio de los potenciales escalares (véase el problema 14).16. Plantear el problema de contorno sobre las oscilaciones

radiales de) tubo cilindrico circular bajo la acción de la fuerza radial F (/", ¿), donde F (r , t) es la fuerza que actúa sobre una unidad de masa que está a la distancia r del eje del tubo.

17. Plantear el problema de contorno sobre las vibraciones radiales de la capa esférica elástica r, ^ r ^ r2 bajo la acción de la presión variable p (t) dentro do la cavidad interior.

18. Deducir la ecuación diferencial para la desviación desde el estado no perturbado de los puntos do una placa homogénea isotró- pica fina que efectúa oscilaciones transversales pequeñas. Examinar, en particular, el caso cuando la placa está puesta (y sujeta) sobre la base elástica.

Ohstmación. El problema sobre ¡las- oscitaciones Iransvorsales (le un» placa es el análogo biilimensional del problema sobre las oscilaciones transversales de la barra (véase § 1, cap. II).

19. Pasando a las coordenadas polares, plantear el problema de contorno sobre las oscilaciones transversales de una placa circular si el borde de Ja placa está rígidamente apretado.

20. En el origen do las coordenadas del espacio no acotadoi , y, z, que representa en sí el vacío, se encuentra el dipolo eléctrica paralelo al eje z. El momonto del dipolo varía según la ley

Plantear el problema de contorno sobre la determinación delcampo electromagnético generado por el dipolo para t > 0.

§ 2. Problemas sencillos; diferentes métodos de resolución

21. a) Resolver el problema de contorno

Un — a2 Au, —oo (r), |r2 = x2 -|- z2.

0 < r < - f o o . (2)

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»>) Hallar

lim u (x, y, zy t).X , u , 2 — 0


u,¡ = a2 A a 4- / (r, l), r* = x- + y- + z“,

0 ^ r <; -f- oo, 0 < ¿ < + oo, (1)

u lt_« — 0, ut ||_0 = 0. (2)


Un — c* A u, — oo < x, y , z < + o o , 0 < i < + o o (1)

con las condiciones iniciales

I U0= const dentro de la esfera de radio r„,

O fuera de esta esfera,

H/|i=o = 0 on todas parles.

Í U0 = const dentro de la esfera de radio r0,

O fuera de esfera.

«|(=u= 0 en todas partes.

24. En el mo/nenlo inicial de tiempo t = O el gas dentro de un volumen esférico de radio r„ está comprimido de tal modo que la

perturbación de la densidad es p = pi y fuera del volumen p sse 0. La velocidad inicial de las partículas del gas os igual a coro en todool espacio. Hallar el movimiento del gas para < > 0 .

25. Resolver el problema 23 b) para el semiespacio z ¡3* O si el centro de la esfera se encuentra en el punto (0 . 0 . z„), z0 > r„; examinar los casos particulares cuando

«) » 12 —« — O,1>) u z = O.

2fi. Resolver el problema 23 b) para el ángulo diedro y > O,z > O si el centro de la esfera está en el punto (O, y0, Zn), 'Jo > r0> Zo > ra- examinar los casos cuando

a) u Ijy-.o O, u z |?_p ” O,b) u,j ]¡f.(i = O, u — 0.27. El espacio no acotado eslá lleno de un gas ideal en reposo.

En el momento do tiempo / = O, en un cierto punto fijo do osle espacio empieza a actuar continuamente un manantial simétrico esférico de gas do potencia q (í). Hallar el potencial de las velocidades de las partículas del gas para t > 0, suponiendo que las perturbaciones generadas por el manantial son pequeñas.

28. Resolver el problema anterior si el manantial se encuentra


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a) dentro del ángulo diedro , donde n es un número eidero

mayor que cero;b) deutro de una capa plana 0 < z < í, además, los planos de

frontera son inmóviles.29. Do la solución del problema de contorno

utt = a2 A3t¿ + / (®, y, z, l), —oo < x, y, z < + 00, 0 < í <

< +00,.

« It-o = y< z). u i l i- o = <*, i/. *)< — 00 < x , y, z < + 0 0

mediante el método «de descenso»*) obtener la solución del problema de contorno

u*t = a2 A ^ * -1- /* (2 , y , í) , — 00 < x , y < + 00, 0 < Z < + 00,

»* I< —o = <f* (x< y)- “ * l í - o = 1í)* (*> y ). — 00 < * > y < + 00..

30. De la solución del problema do contorno

Utt — al As“ ± « + / y. z. *)• — 03 < *' z < +°°<0 < í < + 00,

u |/_o = z). 11 _ 0 = ’i’ (* . !/- 2)- — 00 < x, y, z < + 0 0

medíanlo el método «de descenso»*) obtener la solución del problema de contorno

uf, = a" A 2u* ± c2ti* -f- /* (2 , y, í) . — 00 < x, y < -roo,

0 < í < + 00,

u* 11_ 0 = <f* (r , y), u t | ,» 0 = ’l:* (*■ y), — 00 < x , y < -foo.

31. Sobre una recta fija en el espacio no acotado lleno de un gas ideal en reposo, están distribuidos continuamente los manantiales de gas que empiezan actuar en ol momento t = 0, además, la potencia de los manantiales de una unidad de longitud de osla recta es igual a q(t). Hallar el potencial de las velocidades de las partículas del gas para / >- 0, suponiendo que las perturbaciones generadas por los manantiales en ol gas ambiente son pequeñas (fuera del entorno infinitésimo de la recta sobre Ja que están los manantiales).

32. Resolver el problema anterior para el cuadrante x ^ 0. y 0 acotado por Jos planos absolutamente duros x *- 0, y — U si la recta en que están los manantiales es paralóla al eje z y so define por las coordenadas x„. y«, x0 > 0, y„ ~> 0.

33. lín el espacio no acotado lleno de un gas ideal en reposo se encuentra una copa esférica do radio r0 con el rentro en un pimío fijo. Empezando desde el momento t — 0 el radio de la superficie

VI. Ecuaciones do tipo hiperbólico 44 7

*) Véase 171, págs. 458-4U0.

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•esférica varía continuamente según la ley dada, además la velocidad radial do los puntos de ln superficie es igual a ,u (t). Hallar el movimiento en el caso cuando n (¿) = A sen wi.

34. Resolver el problema anterior si la osfora se encuentra en■un semiespacio acolado por un plano inmóvil.

35. En ol espacio no acotado lleno de un gas ideal on reposo seencuentra una esfera de radio fijo r0. Desde el momento í = 0 ol •centro de la esfera efectúa oscilaciones pequeñas con velocidad V (t); además, | V (<)l <*, donde a es la velocidad del sonido. Hallarel potencial de las velocidades do las partículas del gas.

36. Resolver el problema sobre el contorneado subsónico simétrico estacionario do una cuña por el flujo de un gas ideal. Hallar ■el potencial de las velocidades on la región perturbada y la pertuiv Ilación de la presión sobre la cuña*).

37. Resolver el problema sobre el contorneado subsónico simétrico estacionario de ún cono circular con el ángulo de abertura pequeño**).

38. La onda plana de propagación para la ecuación

La distancia desde el plano (3) hasta el origen de las coordenados— 0, *2 »=0......... xn — 0 es igual a

Con la variación de t el plano (3) se muevo con una velocidad

u¡t = a2 Aw + cuy (1)

dondo Am = 6 u ' ' a u- , se llama la solución de la forma

n(2)

nLa onda plana m - / (2 a¡x¡—lit) tiene un valor constante para

1=1•cada plano de la familia

n2 a¡x¡ — bt = const. (3)

bt+ const (4)71

b(5)7»

*) Véase el problema 7.**) Véase el problema 8.

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V I. Ecuaciones do tipo hiperbólico 449

quedando paralelo a su posición inicial (para í = 0)

y a(2¡ = const; i= i

(B)

en otras palabras, con la velocidad (5) él so aleja de su posición inicial (6). Para simplificar la exposición consideraremos en ade

lanto que 2 a\ — 1 , es decir que a¡ son los cosenos directores de

la normal al plano (3); Q = 2 a¡x¡ — bt es la fase de la onda4—1

(2), y /, la forma de la onda.Demostrar que:1) para que existan las ondas planas de forma arbitraria que se

propagan con la velocidad a en cualquier dirección es necesario y suficiente que c — 0;

2) cuando c 0 para la ecuación (1) existen ondas planas de cualquier dirección do propagación y de cualquier velocidad, excepto la a, pero sus formas no pueden ser arbitrarias y son las soluciones de la ecuación diferencial

39. Resolver el problema sobre el contorneado estacionario de la pared ondulatoria y = e sen vx, donde e es pequeño, —oo < x << +oo, por el flujo del gas comprensible ideal, cuya velocidad no perturbada coincide con la dirección del eje x y es igual a U — const. Examinar los casos:

a) de la velocidad subsónica del flujo,b) de la velocidad supersónica del flujo.40. Mediante la superposición do las ondas planas con el frente

paralelo al eje z, / (at — ax — Py), donde a y p son Jos cosenos directores de la normal al frente de la onda, obtener las ondas cilindricas

donde r = Y x z +- y2,Hallar la expresión explícita para \|>(r, t) con la condición

de que

41. Mediante la superposición de las ondas esféricamente simé

tricas —— y t dondo /, (|) y /¡(g) son funciones nrlii-

n

n

r (Q) («2 - + / «?) e = 0. (7)

(1)

3-0942

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trarias, obtener las ondas cilindricas

p2 ’

pz= x 2-,-y2,

suponiendo quo las integrales convergen.42. Hallar las ondas monocromáticas cilindricas simétricas en

un espacio no acotado, resolviendo la ecuación u¡t — o2 Au, y después obtener estas ondas mediante la superposición de las ondas monocromáticas planas.

43. Mediante la superposición do las ondas planas obtener la onda esférica de la forma

44. Resolver el probloma sobre la reflexión y la refracción do la onda monocromática plana sobro la frontera de separación de dos gases ideales diforent.es; hallar la relación entro los ángulos de incidencia, de reflexión y do refracción y también entre las amplitudes de las ondas incidente, reflejada y refractada. Considerar iguales las presiones no perturbadas en los ambos gases.

45. Hallar la relación entre los ángulos de incidencia, de reflexión y de refracción do la onda electromagnética monocromática plana sobre la frontera plana de dos dieléctricos isotrópicos homogéneos.

46. Examinando el caso de la incidencia normal do la onda electromagnética linealmente polarizada monocromática plana sobre el plano de separación de dos dieléctricos isotrópicos homogéneos, hallar la relación entre las amplitudes de las ondas inciden te, reflejado y refractada y dar las expresiones de las mismas.

§ 3. Método de separación de variables *>1. Problemas de contorno que no requieren la utilización

de las funciones especiales

En esto punto se examinan también los problemas de contorno para las regiones con las fronteras planas y esféricas, cuyas soluciones se expresan mediante series según las funciones propias más simples (elementales) del operador de Laplace para estas regiones.

Inicialmente los medios se suponen isotrópicos y homogéneos, después se dan algunos problemas para los medios heterogéneos.

r

♦) Véase la primera llamada en la pág. 32 del tomo I.

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VI. Ecuaciones de tipo hiperbólico 461


47. Hallar los oscilaciones transversales de una membrana rectangular 0 s j x l¡, 0 ^ y ^ l¡¡ con el borde fijo causadas por la desviación inicial

u (x, y, 0) = Axy (Z, — x) (l2 — y),

si so puede despreciar la reacción del medio ambiente.48. Hallar las oscilaciones transversales de una membrana rec

tangular 0 < x < 0 < ;/ < /2 con el borde fijo, causadas por ladistribución inicial de velocidades

“ i (z, y, 0) = Axy (/j — x) <l2 — i/)

si se puedo despreciar la reacción del medio ambiente.49. Hollar las vibraciones transversales de una membrana rec

tangular 0 x <1 lt, 0 ^ .y ^ lt con ol borde fijo, causadas por el impulso transversal concentrado K comunicado a la membrana en el punto (,r„, i/0), 0 < %t < llt 0 ■< y0 < l2, considerando que la reacción del medio ambiente es despreciablemente pequeña.

50. Hallar las oscilaciones transversales de una membrana rectangular 0 <; x ly, 0 y ^ l2 con borde fijo, causadas por la fuerza continuamento distribuida por la membrana y perpendicular a su plano con la densidad

F (x, y, t) — A (x, y) sen coi, 0 < í < +oa,

considerando que la reacción del medio ambiente es despreciablemente pequeña.

51. Hallar las oscilaciones transversales de una membrana rectangular 0 sS x ^ 0 ¡sj y ^ l2 con borde fijo, causadas por lafuerza transversal concentrada

F (t) = A sen oit, A = const, 0 < í < +oo

aplicada en el punto (.r0, y0), 0 < x0 < llt 0 < y0 < l2, couside-rando que la reacción del medio ambiente es despreciablemente pequeña.

52. Hallar las oscilaciones del agua en un depósito rectangular0 x ¿i, 0 ^ y ^ /a bajo la acción de la presión exterior variablesobre la superficie libre

/>»(*, y, t) — A eos eos ~r~ / (í), 0 < í < + co, / (0) = 0ti l2

si la profundidad del agua en el estado no perturbado es igual a h. Se supone que la función / (í) tiene derivada continua*).

53. Resolver el problema 49, suponiendo quo el medio ambiente ejerce una resistencia proporcional a la velocidad.

*1 Véanse los problemas 9 y 10.

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54. Hallar las oscilaciones establecidas de la membrana rectangular 0 x ^ lu 0 ^ y ^ l.¿ en un medio con resistencia proporcional a la velocidad, bajo la acción de una fuerza transversal continuamente distribuida con densidad

F = A sen mí, 0 < í < -(-oo, A «= const.

El borde de la membrana es inmóvil.55. Un gas ideal está encerrado entre dos esferas concéntricas

S ,| y Srr El radio de la esfera interior Sri varia según la ley

r (í) = r¡ -j- e sen wt, —oo < í < +oo, 0 < s < rs — r,

y la osfera exterior permanece invariable. Hallar las oscilaciones establecidas del gas entro las esferas.

56. Un gas ideal está encerrado entre dos esferas concéntricas Sr, y Sr¡ con los radios fijos r, y ra. Hallar las oscilaciones del gas entre las esferas causadas por la perturbación radial inicial de la densidad

P (r , 0) = } (r), r , < r < r2.

b) Medios heterogéneos

57. Hallar las oscilaciones transversales de una membrana rectangular 0 x ^ lt, 0 ^ y ^ l2 compuesta de dos trozos rectangulares homogéneos 0 ^ x ^ x0, 0 y <; Zs y x0 ^ x ^ i„ 0 y ^^ l2, causadas por las perturbaciones transversales iniciales.

58. Una cavidad esférica de radio fijo r2 está llena con dos gases ideales diferentes; la superficie de separación de los mismos es la esfera Sri (0 < rx < r2) concéntrica a la superficie de la cavidad.

Hallar las oscilaciones do los gases en las condiciones iniciales siguientes para el potencial de las velocidades u (r, í) y la presión P (r, ty.

u (r, 0) = / (r), p (r, 0) — p0, 0 < r < r2.

2. Problemas de contorno que requieren la utilizaciónde las funciones especiales

Al igual que en el punto anterior, primero van los problemas para los medios homogéneos y después para los medios heterogéneos.

fl) Medios hojnogéneos

59. Hallar las oscilaciones transversales de una membrana circular con borde fijo, causadas por la distribución inicial radialmente simétrica do las desviaciones y de las velocidades, considerando que la reacción del medio ambiente es despreciablemente pequeña.

60. Resolver el problema anterior, suponiendo que la desviación inicial tiene la forma de un paraboloide de rotación y que las velocidades iniciales son iguales a cero.

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V I. Ecuaciones do tipo hiperbólico 45 3

61. Hallar las oscilaciones (ondas) del agua en un recipiente cilindrico vertical con el fondo horizontal si las condiciones iniciales poseen simetría radial y la presión sobre la superficie libre del agua queda constante.

62. Hallar las oscilaciones de una membrana circular con el borde fijo en un medio sin resistencia, causadas por la presión constante uniformemente distribuida que actúa sobre una parte de la membrana desde el momento t = 0, suponiendo que el medio ambiente no ejerce ninguna otra resistencia a las oscilaciones de la membrana.

63. Hallar las oscilaciones de una membrana circular 0 ^ r ^ r0 con el borde fijo en un medio sin resistencia, causadas por la presión variable

p «= / (r, t), 0 < r < r o, 0 < t < -f-oo

aplicada en un lado de la membrana.64. Hallar las oscilaciones de una membrana circular 0 ^ r r0

con borde fijo en un medio sin resistencia, causadas por la presión continuamente distribuida

p — p0 sen coi, 0 <C t < +oo

aplicada en un lado de la membrana.65. Hallar con las condiciones iniciales nulas las oscilaciones

de una membrana circular 0 ^ r sg; r0 en un medio sin resistencia causadas por el movimiento de su borde según la ley

u (r0t) — \A sen &>í, 0 < t < +oo.

66. Resolver el problema 59 en el caso cuando el medio ambiente ejerce una resistencia proporcionnl a la velocidad.

67. Hallar las oscilaciones establecidas de una membrana circular con el borde fijo en un medio con resistencia proporcional a la velocidad, bajo la acción de la presión uniformemente distribuida (aplicada a uDa parte de la membrana)

a) p = p0 sen coi, 0 < t < +oo, p0 = const,

b) P — Po eos <oí, 0 < t < +oo, p0 = const.68. Hallar las oscilaciones establecidas de una membrana circu

lar 0 r ^ r„ en un medio con resistencia proporcional a la velocidad, causadas por el movimiento de su borde según la ley u (r0, t) = = A sen u>t (compárase con el problema 65).

69. Hallar las oscilaciones de una membrana circular del tambor*) causadas por las perturbaciones iniciales radialmente simétricas.

*) Víase el problema 5.

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70. Hallar las osculaciones de una membrana circular del tambor causadas por la presión continuamente distribuida

p = lio sen coi; 0 < t < -f-oo, n 0 — const,

aplicada a la parte exterior de la membrana.71. Hallar las oscilaciones transversales de una placa circular

con el borde fijo rígidamente en un medio sin resistencia, causadas por las perturbaciones iniciales radialmente simétricas.

72. Hallar las oscilaciones transversales de la placa del problema anterior causadas por un golpe concentrado transversal en el con tro de la placa quo le comunicó el impulso I .

73. Hallar las oscilaciones transversales de la placa del problema 71 causadas por una fuerza transversal uniformemente distribuida con densidad p = p„ sen cal aplicada desde el momento i = 0.

74. Hallar las oscilaciones transversales de la placa del problema 71 causadas por una fuerza transversal concentrada P —= Pu sen coi aplicada en el centro de la placa desde el momento t = 0 (las oscilaciones de la membrana del altavoz).

75. Hallar las oscilaciones transversales de una membrana que tiene la forma de anillo circular con los bordes fijos, generadas por perturbaciones iniciales radialmente simétricas.

76. Hallar las vibraciones transversales dp Ja membrana descripta en el problema anterior generadas por una presión uniformemente distribuida

p = P(¡ sen <oí, 0 < í < +oo, p0 = const,

aplicada a una parte de la membrana.77. Hallar las oscilaciones del líquido on un recipiente con

fondo horizontal, cuyas paredes son dos cilindros circulares coaxiales, si la profundidad del líquido en el estado no perturbado es igual a h — const y las perturbaciones iniciales son radialmente simétricas*).

78. Hallar las oscilaciones de un gas (el potencial de las velocidades) en un recipiente cilindrico circular cerrado, generadas por las oscilaciones radiales de la pared lateral que comienzan en el momento ¿ — 0 si las velocidades de las partículas de las paredes son iguales a

/ (z) eos « í, 0 ^ i l (l es la longitud del cilindro), 0 < t < -foo.

Los fondos superior e inferior son inmóviles.79. Hallar las oscilaciones do un gas en un cilindro circular

cerrado generadas por las oscilaciones transversales de uno de sus fondos que comienzan en el momento í = 0, si las velocidades de las

454 Plonleamionto do los problemas

*) Véase 3[ problema 9.

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V I. Ecuaciones do tipo hiperbólico 4 5 5

partículas de oslo fondo son iguales a

/ (z) eos <o¿, 0 ^ r r„ (r9 os el radio dol cilindro), 0 < t < + 00.

El segundo fondo y la superficie lateral dol recipiente son inmóviles.80. Hallar las oscilaciones de un gas on un recipiente cerrado,

formado por dos cilindros circulares coaxiales y dos fondos planos transversales generadas por las vibraciones radiales del cilindro exterior que comienzan en el momento t = 0 si Jas velocidades de las partículas de este cilindro son iguales a / (z) eos *>¿, 0 ^ z ^ l,l es la longitud del cilindro. Los fondos y el cilindro interior son inmóviles.

81. Hallar los oscilaciones do un gas en ol recipiente descripto en el problema anterior generadas por Jas oscilaciones transversales de uno de los fondos que empezaron en el momento í = 0 si las velocidades de las partículas de este fondo son iguales a / (r) eos wt, r* r ^ r**, r* y /■** son los radios de Jos cilindros interior y exterior. El segundo fondo y los cilindros son inmóviles.

82. Hallar las oscilaciones transversales de una membrana circular 0 ^ r ^ r0 con ol borde fijo, generadas por un golpe concentrado normal a la superficie de la membrana que le comunicó on el punto (r¡, (p,), 0 < r, < r„, el impulso K.

Contemplar el caso cuando el medio ambiente no ejerce resistencia al movimiento de la membrana.

83. Un recipiente con agua que representa on sí un cilindro circular vertical con el fondo horizontal durante largo tiempo se mueve con velocidad = const en dirección perpendicular al eje del recipiente.

Hallar las oscilaciones del agua on el recipiente para t > 0 si en el moinonlo ( = 0 el recipienlo instantáneamente se detiene y si para t < 0 el agua permanecía inmóvil con respecto al recipiente. Considerar constante la presión sobre la superficie libro del agua.

84. Hallar las oscilaciones de uno mombrana circular 0 sCr r„ con el bordo fijo, generadas por Ja presión variable conti

nuamente distribuida

p = f (r) eos (cp — coi), / (r0) = 0, 0 < í < + o o ,

aplicada a una parte de la mombrana.85. Hallar las oscilaciones establecidas de la membrana descripta

en el problema anterior en un medio con resistencia proporciona) a la velocidad.

86. Hallar las oscilaciones de una mombrana circular 0 ^ r ^ ^ rc generadas por las oscilaciones de su borde según la ley

u (r0, <p, /) = / (í) eos «<p, /(O) = f (0) = 0, n es

número entero mayor que 0, 0 < t < + 00.

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87. Hallar las oscilaciones de una membrana circular 0 ^ r r0 generadas por las oscilaciones de su borde según la ley u (r„, cp, í) = = F (cp) sen coi, F ((p) es una función suave con período 2jt.

88. Hallar las vibraciones do un gas on un cilindro circularcerrado 0 ^ r ^ r0, 0 ^ z generadas por las vibracionesradiales de su pared lateral con la velocidad que varía según la ley / (z) eos nep eos coi, n es número entero mayor que 0,

0 < t < -t-oo.

Los fondos del recipiente son inmóviles.89. Hallar las oscilaciones do un gas en un cilindro circular

cerrado 0 ^ r ^ r„, 0 ^ z ^ í, generadas por las oscilaciones transversales de uno de sus fondos con velocidad que varía según la ley / (r) eos nep eos coi, n es un número entero mayor que 0, 0 < í < < -(-oo.

90. Hallar las vibraciones transversales de una membrana con el borde fijo, generadas por el impulso Inicial concentrado transversal K comunicado a la membrana en cierto punto interior, si la membrana tiene la forma de un sector circular y el medio ambiente no ocasiona resistencia a Jas oscilaciones.

91. Resolver el problema anterior para la membrana que tiene la forma de un sector del anillo circular.

92. Hallar las vibraciones de un gas en la región acotada por dos cilindros circulares coaxiales inmóviles, dos planos perpendiculares al eje de los cilindros y dos planos que pasan por su eje si estas oscilaciones son generadas por las perturbaciones iniciales que no dependon de z.

93. Un recipiente esférico con un gas durante largo tiempo se mueve uniformemente con velocidad v y después en el momento t — 0 instantáneamente se detuvo y quedó inmóvil. Hallar las vibraciones del gas en el recipiente, surgidas como resultado de esto.

94. Un recipiente esférico lleno de un gas, a partir del momento t = 0 realiza oscilaciones armónicas pequeñas en la dirección de uno de sus diámetros; el desplazamiento del recipiente en la dirección de diámetro es igual a A sen coi, 0 <C í < +oo. Hallar las oscilaciones deJ gas en el recipiente suponiendo que para l < O el gas estaba en reposo.

95. Hallar las oscilaciones de un gas en el recipiente esférico0 < r < r0, 0 < 6 < n, 0 < cp < 2n, generadas por las deformaciones pequeñas de la pared del recipiente que comenzaron en el momento t — 0, si las velocidades de las partículas de la pared de] recipiente están dirigidas según sus radios y la magnitud de las velocidades es igual a__________ AP„ (eos 0) eos coi*).

*) Pn (5) es el polinomio de Legendte.

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V I. Ecuaciones do tipo hiperbólico 4 6 7

96. Hallar los oscilaciones de un gas en un recipiente esférico generadas por las vibraciones pequeñas de su pared que comenzaron en el momento t — 0, si las velocidades de las partículas de la pared dol recipiente están dirigidas según sus radios y la magnitud de las velocidades es igual a

P„ (eos 0) / (í),

donde / (0) = f (0) — 0.97. Hallar las oscilaciones de un gas en un recipiente esférico’

generadas por las oscilaciones pequeñas do su pared que comenzaron en el momento t = 0, si las velocidades de las partículas de la pared del recipiente están dirigidas según sus radios y la magnitud de las velocidades es igual a

/ (0) eos bit, 0 C t < +oo.

98. Resolver el problema anterior con la condición que las velocidades de las partículas de la pared sean iguales a

AP" (eos 0) eos mip eos mí*).

99. Resolver el problema 97 si las velocidades de las [partículas do la pared son iguales a

/ (0) eos mí.

100. Resolver oí prohlema 97 si las velocidades de las partículas de la pared son iguales a

1 (t) Pn (eos 0) eos mtp, / (0) = /' (0) = 0.

101. Resolver el problema 93 para un gas encerrado entre dosesferas concéntricas ST¡ y Srt, r, < r2.

102. Resolver el problema 94 para un gas encerrado entre dos.esferas concéntricas Sri y S rt, r, ■< r2.


103. Hallar las vibraciones transversales de una membrana circular heterogénea i c o n el borde fijo, obtenida mediante la unión de una membrana circular homogénea 0 r ^ r, y una membrana homogénea de forma de anillo r, <1 r ^ r2, si las perturbaciones inicíalos son dadas.

§ 4. M étodo de las representaciones integrales

En el primer apartado de este párrafo se han reunido los problemas sobre la utilización de la integral de Fourier; en el segundo* sobre la construcción y empleo de las funciones de influencia de los manantiales concentrados instantáneos.

*) I*™ (5) es Ia función asociada de Legendre, m < n.

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1. Utilización de la integral de Fourier

a) Transformación de Fourier


u,, = a2 A.U, —oo < x, y < -|-oo, 0 <T_ í < 4-co*), (1)

“ l i - o = t,) (x > y)- u t l i - o = (•*> y)< u < (2 )


u tt = a• A:,u, —oo < a:, y, z < + 00, 0 < í < + 00**), (1)

■“ l ( - o = (iJ (*< y , 2)- l f= o = Y ( * , y , 2).

— 00 < x, y, z < + 00. (2)

lOti. Resolver el problema de contorno

■ult = A2« ~r / (*, y, /), — 00 < x, y <i -|-oo, 0 < t < + 00, (1)

« U^o = 0. u t |¡=o = 0, — 00 < x, y <_ + 00. (2)


■u„ = n2 A3i¿ + / (a:, y, z, ¿), — 00 < *, y, z < + 00,

0 < t < + 00, (1)

u li^o = 0, u, = 0, — 00 < x, y, z < + 00. (2)

108. Resolver ol problema de contorno

un — b'¿ A2 Aji¡ — 0, —00 < x, y < + 00, 0 < ¡ < + 00***), (1)

« l<-« = (z . ¿/)> “ 1 Ií=o = ’P i31- y)- — 00 < *1 y < +°°- (2)

b) Transformación de Fourier — Dessel— Hankel

109. Utilizando la transformación do Fourier — Bessel, resolver >el problema de contorno

l ( í ’ = a ! ( ' F + l ¥ ■ )' 0< r < + o ° , 0 < < < f o o , (1 )

u(r, 0) = — A y , «1 (r, 0) = 0, 0^ r < - r ° o . (2)

________ V i +h*) Ai = div grad es el operador dB Laplace para el plano; en las coorde

nadas cartesianas Aa = + gr¡ .

**) A>= div grad es el operador de Laplucc paraol espacio;'on las coorde-1 . ■ . <5* , ó1 , í>¿

madas cartesianas A, = ^ .

***) líl operador biarmónico ¿\2A3 que significa la utilización doble del ■operador de Laplace A2.

*458 Planteamiento de los problemas

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110. Hallar Jas oscilaciones transversales radialmentc simétricas de una placa no acotada, resolviendo el problema de contorno

’T F '1' bi ( ‘J ^ + T 17)*“ =0 , 0< r < + °°> 0 < ¿ < + oo, (I)

i¿ (r, 0) = / (r), u, (r, 0) = 0, 0 <; r < +oo. (2)

Examinar, en particular, el caso cuando

ra

/ (r) = Ac~ °! , 0s£ ;•<+ <*. (2')

111. Hallar las desviaciones transversales radialmentc simétricas de los puntos de una placa no acotada 0 r < + oo, si el punto r — 0 de esta placa desde ol momento i — 0 se mueve según una ley dada. Examinar, en particular, el caso cuando

U ( 0 ’ M 0 , « , < * < + oo. <‘ )

112. Hallar las desviaciones puramente impulsantes, transversales, radialmente simétricas de los puntos do una placa no acotada 0 ^ r < +oo bajo la acción de unas fuerzas transversales distribuidas con la densidad

p (r, t) = 16pfe¿>/ (r) t|>' (i), —oo < í < +oo,

donde 2h es el espesor de la placa; p, la densidad do la masa do la placa; b tiene el mismo significado que en los problemas anterio

res*); tj>' (t) = (f) depende sólo de t y / (r) de r.

Examinar, en particular, los casos cuando:a) el movimiento de la placa se impulsa por la fuerza transversal

concentradalüpftéi|:' (¿), —oo «< í < +oo,

aplicada en el punto r — 0;b) el movimiento de la placa se impulsa por la fuerza transversal

16pAM|:/ (0» — 00 < í < +oo,

uniformemente distribuida sobre el círculo 0 ^ r a;c) la fuerza descripta en el apartado b) actúa durante el tiempo

i0, a saber

( 0 para — oo < í ^ 0,0 = const para 0 < í < / 0,

0 para í0 < í < -t- oo,


*) Para más detalles véase el problema 18.

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dar las fórmulas asinlóticas para la representación de la solución para las magnitudes pequeñas y grandes de r;

d) p ( r , í) = ^ - V ^ / ' ( í ) — oo < i < + oo;

e) hallar las velocidades transversales de los puntos de una placa para

j*2

p { r , = — o o < í < + o o ,

donde ó (£) os la función 6 impulsiva (es decir, en el momento t — O

la placa recibe un golpe transversal con el impulso, continuamenteri

distribuido, ‘ '

2. Construcción y utilización de las funciones do influencia de los manantiales concentrados

a) Funciones de influencia de los impulsos instantáneos concentrados

113. Construir la función de influencia del impulso instantáneo concentrado do potencia unitaria para la ecuación

Utt ~ A3i¿

en el espacio no acotado x, y, z, considerando al principio que el impulso tiene lugar en eJ origen de coordenadas en el momento t — = 0; hallar la función de influencia, resolviendo el problema de contorno

u u — a~ A3k, < x, y, z < +oo, 0 

después pasar al caso cuando el impulso tiene lugar en el punto (g, ti, £) en el momento t = x.

114. Resolver el problema anterior para la ecuación

= a2 A3u ± c2u.

115. Resolver el análogo bidimensional del problema 113.116. R&solver el análogo bidimensional del problema 114.117. Mediante la separación de variables construir la función

de influencia para un impulso instantáneo concentrado para el primero, segundo y tercer problemas de contorno para la ecuación u tl = as A ¡u:

a) para la membrana rectangular 0 Sj 2 ^ ¿¡, 0 ^ y ^ l¡,b) para la membrana circular 0 ^ r ¿ J r 0, 0 ¡Sí q> 2n.


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V I. Ecuaciones de tipo hiperbólico 4 6 t

118. Mediante el método de reflexión construir la función de influencia de un impulso instantáneo concentrado para la ecuación

u¡t = a2 A2ií ± czu con ángulo 0 ¡Sj <p ^ , donde n es un número

entero mayor que cero, si sobre los rayos de frontera cp = 0 y cp = ^

se cumple la condición de frontera de segundo género.119. Sea G una región plana acotada por ol contorno r suave

a trozos. Suponiendo posible la utilización do la fórmula de Oreen — Ostrogradski que relaciona la integral curvilínea con la integral doble, hallar la solución a) del primero, b) del segundo y c) del tercer problema de contorno para la ecuación Utt = a2 A¡¡i¿ db c*u + + / (x, y, t) con las condiciones iniciales y de frontera heterogéneas, si se conoce la función de influoncia del impulso instantáneo concentrado para cada uno de los casos enunciados.

120. Mediante la función de influencia del impulso instantáneo concentrado hallada en la solución del problema 113, deducir la fórmula de Kirchhoff*) para la ecuación

u lt = a* A3u + / (x, y, z, í).

b) Funciones de influencia de los manantiales concentrados de funcionamiento continuo

121. Construirla función de influencia del manantial concentrado de funcionamiento continuo de potencia variable / (t) (J (t) — 0 para t < 0) que se encuentra en un punto fijo del espacio para la ecuación u tt = a2 A3u, es decir, resolver el problema de contorno

u tt = «2 + 6 (x — x„) 6 (y — y0) 6 (z — z0) / (t),

—oo < a:, y, z < -f-oo, 0 < t < -f-oo, (1 )

u |j=0 Ut Ii=o = 0. (2)

122. Construir la función de influencia del manantial concentrado de funcionamiento continuo de potencia variable / (í) (/ (í) = 0 para t < 0) que se encuentra en un punto fijo del espacio para la ecuación utt = a2 A¡u, es decir, resolver el problema de contorno

Un = «* + 6 (x — *0) 6 (y — y„) f (<),

— oo < x, y < +oo, 0 < í < +oo, (1)

u |í=0 = 0. >*< lc~o = 0. (2)

123. Construir la función de influoncia del manantial concentrado ■de funcionamiento continuo de potencia variable / (t) (/ (í) = 0 para

*) Véase [7], págs. 464-468.

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46 2 Planteamiento de los problemas

t <; 0) que se mueve según lina ley arbitraria para la ecuación u tt = = a.* A3u, es decir, resolver el problema do contorno

Un = a¡ A3u + ó <x — X (i)) 5 (y — Y (t)) Ó (z — Z (í)) / (t),

donde X (£), Y (t), Z (<) son los coordenadas del manantial; X (0) = = y (0) = Z (0) = 0. En particular, hallar la función de influencia del manantial concentrado que se mueve rectilíneamente con la velocidad constante y; examinar los casos cuando a) v < a, b) v > a.

124. Tomando en consideración que si el manantial posee la potencia constante q y se muevo rectilíneamente con la velocidad constante i>, entonces en el sistema de coordenadas que se mueve junto con el manantial, el proceso será estacionario; hallar la función de influencia de tal manantial: a) para v <. a, b) para v >> a, omitiendo los términos con las derivadas con respecto al tiempo en la ecuación de las oscilaciones, transformada en este sistema móvil de coordenadas.

125. Hallar el campo electromagnético generado por un electrón que se mueve rectilíneamente en un dieléctrico con una velocidad constante mayor a la de la luz en este dieléctrico (el electrón de Cherenkov).

126. Resolver el problema de contorno 20.127. Hallar las oscilaciones de un medio homogéneo, isotrópico

y elástico, que llenan todo ol espacio no acotado, y generadas por la fuerza de funcionamiento continuo F (£) (F (£) = 0 para í < 0), aplicada a cierto punto del medio y paralela a una dirección fija.

— oo <Z x, y, z <C -f-oo, 0 < £ < -f-oo,

M l í“ 0 “ t I í^o ^

(1)(2 )

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Capitulo VII

E C U A C IO N E S DE T IP O ELÍP TIC O A u + c u = - /

§ 1. Problemas para la ecuación A« — k2» = — /

En este parágrafo examinaremos algunos problemas para lar ecuación de tipo elíptico

Au - xsu. = 0, (xa > 0), (1>

a que conducen, por ejemplo, los problemas sobre la difusión de un> gas inestable que so desintegra en el proceso do difusión.

La ecuación (1) tiene las soluciones fundaméntalos:e-xr

a) u0(M) = —— en el espacio tridimensional,

b) u0 (M) — Ka (xr) sobre el plano(r es la distancia entre el punto M y ol origen de las coordenadas). La función K„ (x), como es sabido, tiene una singularidad logarítmica para i = 0 y decrece exponencialmente en el infinito.

El método de separación de variables al resolver la ecuación (1)' frecuentemente conduce a la ecuación de Bessel para el argumento imaginario

y’ + ^ - y ' — ( í + - £ ) .'/ = 0 ,

la solución general tiene la forma

y = A IV (x) + BKV (;r),

donde I y (x) y Kv (x) son funciones cilindricas de primero y segundo géneros de argumento imaginario. La función / v (x) es acotada cuando x — 0 y crece exponencialmente cuando x -*-oo.

1. Determinar la distribución estacionaria de la concentración de un gas inestable en un espacio no acotado, generada por un manantial puntiformo de gas de potencia Q0.

2. Un manantial puntiforme de un gas inestable está situado- a la altura £ por arriba del plano z — 0, estanco al gas. Hallar la distribución estacionaria de la concentración.

3. Construir la función del manantial puntiforme para la ecuación Au — y?u — 0 sobre el plano y dar su interpretación física.

4. Resolver el problema 3, suponiendo que ol plano y = 0 es estanco al gas.

5. Construir la función de manantial para la ecuación do 1a difusión de un gas inestable, si el manantial se encuentra dentro- de la capa (0 z ^ /) acotada por los planos 2 = 0 yz = / estancos al gas.

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■464 Planteamiento de los problemas

6. Resolver el problema análogo al 5 para el caso bidimensional.7. Un manantial puntiforme de un gas inestable está colocado

dentro de un tubo cilindrico infinito con las paredes estancas al gas. Determinar la distribución estacionaria de la concentración del gas, considerando que la sección del tubo puede tener una forma arbitraria.

8. Construir la función del manantial para la ecuación Au —— x2u — 0 dentro de la esfera, con las condiciones de frontera desegundo género.

9. Un manantial puntiforme de un gas funciona en un medio no acotado que se mueve con una velocidad constante y0. Hallar la distribución estacionaria do la concentración del gas.

10. Hallar la distribución estacionaria de la concentración de un gas inestable dentro do un cilindro infinito de sección circular, si sobre la superficie del cilindro so mantiene la concentración constante u |2 = u0.

11. Resolver el problema 10 para la región exterior al cilindro.12. Resolver el problema 10 dentro de la esfera de radio a si

a) w |r=a ” wo*b) u |r=a = u„ eos 8.13. Resolver el problema 12 para la región exterior a la esfera

de radio a.14. A una profundidad h debajo de la superficie terrestre se

encuentra un medio en el que está distribuida con la densidad •constante una sustancia radiactiva. Hallar

a) la distribución do la emanación dentro de la tierra,b) la magnitud del flujo de la emanación a través de la super

ficie torreste, considerando que su concentración sobre la superficie lorroslo es . igual a cero.

15. A una profundidad h debajo de la superficie terreste en cierto volumen está concentrada una sustancia radiactiva que desprende on una unidad de tiempo cierta cantidad de emanación (de un gas inestable) igual a Q0. Hallar:

a) la distribución de la concentración de la emanación dentro de la tierra,

b) la magnitud del flujo de emanación a través de la superficie terreste, considerando que el manantial de emanación es puntiforme y su concentración sobro la superficie terreste es igual a cero.

16. Resolver el problema recíproco al problema 15. Siendo conocida la distribución del flujo a través de la superficie terreste g — = q (p); so debo hallar:

a) la potencia del manantial Q„,b) la posición del manantial, es decir, la profundidad de la

estratificación h de la sustancia radiactiva.

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V II. Ecuaciones de tipo elíptico 4 6 5

§ 2. Algunos problemas sobre las oscilaciones propias

Los problemas sobre las oscilaciones propias de membranas y de volúmenes acotados, como es sabido, conducen a la ecuación homogénea L (v) + Xpy 0, L (y) — div (k grad v) (k (x) > 0, p (x) >• 0) dentro de cierta región T con condiciones homogéneas en su frontera. En el cap. I I y después en el cap. V, en la medida necesaria se examinaron algunos problemas sobre las oscilaciones propias de la cuerda y de la membrana. En este parágrafo se brinda una lista más completa do problemas sobre los valores propios, que pueden resolverse mediante el método de separación de variables.

La expresión «hallar las oscilaciones propias» en el futuro significará que se deben encontrar los valores propios y las funciones propias normadas para la región examinada.

1. Oscilaciones propias de cuerdas y membranas

17. Resolver el problema sobre las oscilaciones transversales propias de una cuerda homogénea 0 ^ x ^ l si:

a) los extremos de la cuerda están fijos rígidamente,b) los extremos de la cuerda están libres*),c) un extremo de la cuerda está libre y el otro, fijo,d) los extremos de la cuerda están fijos elásticamente,e) un extremo de la cuerta está fijo rígidamente y el otro, elásti

camente,f) un extremo de la cuerda está fijo elásticamente y el otro está

libre.18. Hallar las oscilaciones longitudinales propias de una barra

de longitud l compuesta de dos barras de longitudes x0 y L — x0 que poseen diferentes densidades (pj y pt) y módulos de elasticidad

y i?2), suponiendo que los extremos de la barra:a) están fijos rígidamente,b) están libres,c) están fijos elásticamente.19. A un extremo do la barra está sujeto un peso de masa M.Hallar las oscilaciones elásticas longitudinales propias de la

barra, considerando que el segundo extremo de la mismaa) está fijo rígidamente,b) está libre,c) está fijo elásticamente.

*) Esto significa que en los extremos de la cuerda son iguales a cero.

Ello tiene lugar, por ejemplo, cuando los extremos de la cuerda están fijos mediante anillos (con la masa despreciablemente pequeña) que resbalan sin rozamiento por barras paralelas.

4-0942

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Prestar atención a la condición de ortogonalidad de las funciones propias.

Para el problema a) examinar los casos de las cargas pequeñas y grandes, hallando las correspondientes correcciones a los valores propios no perturbados.

20. Resolver el problema sobre las oscilaciones propias de la cuerda cargada con una masa concentrada M colgada ¡en cierto punto interior de la cuerda, suponiendo que los extremos do ésta:

a) están fijos rígidamente,b) están libres,c) están fijos elásticamente.Calcular las correcciones a los valores propios para el problema a).21. Hallar las oscilaciones transversales propias de una barra

homogénea si:a) ambos extremos do la barra están fijos rígidamente,b) ambos extremos de la barra están libres,c) un extremo do la barra está libre y el otro esta fijo rígidamente.Hallar el primer término del desarrollo asintótico de las fre

cuencias propias.

2. Oscilaciones propias de los volúmenes

22. Hallar las oscilaciones propias de una membrana rectangular:a) con la frontera fija rígidamente,b) con la frontera libre,c) si dos lados opuestos están fijos y otros dos, libres,d) si dos lados adyacentes están fijos y otros dos, libres,e) con la frontera fija elásticamente.23. Resolver ol problema 22 para la membrana circular (los

casos a), b), o)).24. Determinar los valores propios y las funciones propias

normadas para un paralelepípedo rectangular con:a) las condiciones de frontera de primer género,b) las condiciones de frontera do segundo género,c) las condiciones de frontera de tercer género.25. Hallar las oscilaciones propias de una esfera cona) las condiciones de frontera do primor género,h) las condiciones de frontera de segundo género,c) las condiciones de frontera de tercer género.26. Resolver ,el problema sobre las oscilaciones propias de un

cilindro circular de longitud finita con las condiciones do frontera:a) de primer género,b) de segundo género,c) de tercer género.27. Determinar las oscilaciones propias de una membrana que

tiene la forma de un anillo circular a p ^ b si su frontera:

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VII. Ecuaciones de Upo elíptico 467

a) está fija rígidamente,b) está libre,c) está fija elásticamente.28. Determinar las oscilaciones propias do una membrana que

tiene la forma de un sector circular (p ^ a, 0 ^ (p ^ <p0) si sufrontera:

a) está fija rígidamente,b) está libre,c) está fija elásticamente.29. Hallar las oscilaciones propias de una membrana que tiene

la forma de un sector del anillo (a p <[ &, 0 q> íC <p0):a) con la frontera fija rígidamente,b) con la frontera libre,c) con la frontera fija elásticamente.30. Determinar los valores propios y las funciones propias de

un toroide de sección rectangular ( a ^ p ^ f c , para lascondiciones de frontera:

a) de primer género,b) de segundo género,c) de tercer género.31. Una membrana plana tiene la forma de un anillo con el

radio exterior a y el radio interior e; la frontera de la membranaestá fija rígidamente.

Comparar &I primer valor propio X, de tal membrana con el primer valor propio X° de la membrana circular de radio a , para eso

a) mostrar que Hm X¡ ~ XJ,€-0

b) calcular la corrección AX = X, — XJ para e pequeños.32. Una membrana circular de radio a está cargada con una

masa M uniformemente distribuida sobre el círculo absolutamente rígido de radio s (r e).

Comparar los valores propios Xn de esta membrana con los valores propios X£ de la mombrana no cargada.

Examinar dos casos: M pequeño y M grande. Si M -> 0, entonces X„ -*-K- Si M entonces Xn -*-Xñ-i además X, -)-0.

33. Resolver el problema 31, suponiondo quo la frontera exterior está libre.

34. Formular el problema sobre las oscilaciones propias de un tambor como el problema sobre las oscilaciones de una membrana circular con el volumen asociado de aire. ¿Cómo depende la frecuencia principal de las dimensiones del volumen asociado (véase el problema 5 del cap. VI)?

35. La membrana circular do un tambor grande tiene ol radio

r0 = 50 cm, p = 0,1 gr/cm2, T = 10® din/cm.

4'

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«Cuál será la frecuencia principal si la membrana oscila en un espacio libre? La conexión de cierto volumen de aire a la membrana auméntala frecuencia principal 1,45 veces. Determinarla magnitud del volumen asociado.

§ 3. Propagación y radiación del sonido

En este parágrafo se examinarán algunos problemas sobre la propagación, radiación y dispersión del sonido sobre los cuerpos sólidos que conducen a la ecuación de onda

At¿ + k‘u - 0 (/c2 > 0). (1)

Al resolver la ecuación de la onda para un cilindro y una esfera

aparecen las funciones esféricas Y = Pffl (eos t )& Y n (■&) = = Pn (eos O) y diferentes funciones cilindricas.

Para resolver los problemas exteriores para un cilindro se usan las funciones de Hankel:

- 2

* np

D " p ¡

± ( n - 1 ) , r e > 0 ,

re = 02 > , i — ln — ,n P

para p grandes,

para p pequeños,

en nuestro caso p = kr. La función H%' (kr) satisface la condición de radiación

lím V r (4^- iku) = 0,

quo corresponde a la dependencia del tiempo de tipo e,ot. Para resolver los problemas sobre la radiación del sonido por una esfera y la dispersión sobre una esfera se utilizan las funciones

sen (p —T n)---- ------ r • • • para p grandes,

- 3V5 . ü ^ + lT + • " para P P0(lucñ0S

4- . . . para p grandosr

. 1-3-5 . . . (2« — 1) . pn* ------- pñTT--------+ 1 .3 . . . ( 2 . + 1) + ' ' • P a r a P P " 5 'J e n O S -

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VII. Ecuaciones de tipo elíptico 469

En lo sucesivo utilizaremos para p pequeños ln represontación siguiente de la función £™'(p):

(p)==ctmeiv' " + . . . ,

donde

1-3 . . . (2m— 1) .. P!m«“ m — p * « • Ym— ( 2.32 _ (2m — l ) i ( 2mrj-1)» •

La función (kr) satisface la condición do radiación

líin r (4^-H-íA‘u) = 0,W r I

que corresponde a la dependencia de) tiempo de tipo e1"'.Todas las informaciones teóricas necesarias acerca del material

dol § 3 se puede encontrar en e) cap. V II y también en los complementos I y II del curso 171.

1. Manantial puntiforme

36. Hallar la función del manantial para el semiespacio z > 0 si sobre el plano z = 0 la solución do la ecuación At> + lev = 0

a) satisface la condición de frontera de primer género v |í=0 — f,

b) satisfaco la condición de segundo género 4t-|z=o — /•

37. Hallar la función del manantial para la ecuación de la onda en el semiespacio y 0

a) para el primer problema do contorno,b) para el segundo problema de contorno.38. Calcular la energía que se irradia en e) espacio libre por un

manantial acústico puntiforme aislado que oscila según la ley armónica. Hallar también la magnitud de la impedancia acústica específica.

39. Un manantial acústico puntiforme está puesto en el semiespacio z < 0 a una distancia a de la pared absolutamente rígida z — 0.

Hallar la radiación dol manantial, su intensidad en la zona de la onda y comparar con la solución del problema 38.

40. Resolver ol problema 39, considerando que ol semiespacio está lleno de un líquido acotado por la superficie libre z = 0 en que la presión es igual a cero. Comparar con las soluciones de los problemas 38 y 39.

41. Demostrar el principio de reciprocidad en la acústica: «Si en el espacio lleno de aire, parcialmente acotado por unos cuerpos inmóviles que se extienden a una distancia finita y parcialmente también no acotado, en cualquier punto M se excitan las ondas acústicas, entonces ol potoncial de velocidades generado por ellas en cualquier otro punto P por su magnitud y la fase coincide con aquel

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que tuviese lugar cu el punto M si en P se encontrase el manantial acústico» (véase f 361).

42. Demostrar que en un tubo cilindrico infinito de sección arbitraria con las paredes absolutamente rígidas en ciertas condiciones pueden existir las ondas acústicas móviles. Hallar la velocidad de fase de las ondas móviles y calcular el flujo de energía a través de la sección infinitamente alejada del tubo (del guíaondas). Examinar los casos de las secciones rectangular y circular.

43. Construir la función del manantial puntiforme colocado dentro del tubo cilindrico de sección arbitraria para la ecuación do onda con las condiciones de frontera

a) de primer género,b) de segundo género.Examinar el caso particular de la sección circular.44. Resolver el problema 43 para ol tubo semiacotado z > 0.45. Construir la función del manantial puntiforme para el reso

nador cilindrico 0 z <1 l con la sección transversal arbitraria. Considerar las paredes dol resonador absolutamente rígidas.

2. Radiación de las membranas, cilindros y esferas

46. Sea que en la sección z = 0 del tubo de sección circular examinado en el problema 42 se ba colocado una membrana que oscila con la velocidad v =■ o0eiul (el pistón). Determinar la reacción do la presión de las ondas acústicas sobre la membrana.

47. Resolver el problema 46, suponiendo que la velocidad del pistón exitante varía según la ley

v = v0 (r)

donde vv (r) es una función dada.Examinar el caso particular

donde A es una constante; ¡im, la raíz de la ecuación J 0 (p.) = 0.Hallar la magnitud del vector de Umov y el valor de la impedan

cia acústica sobre el pistón.48. Sea que el cilindro de radio a pulsa, es decir, se comprime

y se ensancha uniformemente según la ley armónica; su velocidad sobre la superficie para r = a es igual a

Hallar la presión, la velocidad radial del aire a una distancia grande del eje del cilindro y también el flujo de energía.

49. Resolver el problema 48, suponiendo que el radio del cilindro2jic

es pequeño on comparación con la longitud de la onda X = — t

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es decir,ka -C 1.

50. Un cilindro de radio a vibra, como entero, perpendicularmente a su eje (en el sentido del eje a:) con la velocidad v0eiml. Hallar la presión y las velocidades de las partículas del aire; para el caso

< 1 calcular la impedancia acústica específica y la potencia completa de radiación para una unidad de longitud.

51. Un cilindro de radio a vibra según la ley armónica de modo que la velocidad sobre su superficie es igual a

/ (cp) eial,

donde / (q>) es una función dada. Hallar la presión y la velocidad

del aire, el flujo de energía (para ka pequeños, donde k = —■'j.

Obtener de las fórmulas halladas las soluciones de los problemas 48—50.

52. El centro de una osfera do radio a oscila en el sentido del eje polar con la velocidad v0eia“. Si a <c X (ka<g; 1), X es la longitud do la onda, entonces tal radiador acústico en forma de pequeña esfera oscilante se llama dipolo acústico. Hallar el flujo de energía y la potencia completa que irradia el dipolo acústico.

53. La superficie de una esfera de dimensiones finitas oscila según la ley acústica / (9) e'“'. Hallar la reacción completa del

medio sobre la esfera para ka <SÍ 1, donde k = . Considerar el caso

particular1 (8) = ü0.

54. Investigar el campo acústico de un pistón insertado al ras con la superficie de una esfera y capaz de oscilar sin rozamiento. La distribución de las velocidades sobre la esfera al existir tal pistón se puede representar del modo siguiente:

1,0 para ° < 0<°o-1 0 para 80<c 6 ^ j i.

Examinar el caso de un B0 pequeño. Dar la expresión de la presión para las frecuencias bajas.

55. La superficie do una esfera vibra de modo que la componente radial de la velocidad sobre la superficie es igual a

va = (1 + 3 eos 28) eiot.

Tal manantial acústico se llama radiador de sogundo orden o manantial cuadrípolo. Calcular la intensidad y la potencia de su radiación. Trazar el diagrama polar do la intensidad de la radiación. Examinar el caso de las ondas largas.

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56. Uua placa circular sólida vibra según la ley armónica en el hueco circular igual por su área a ésta y recortado en la placa plana sólida que se extiende al infinito. Hallar la presión y la velocidad de las partículas del aire y la potencia de la radiación.

57. Hallar la reacción del campo acústico sobre la placa, examinada en el problema 56. Examinar el caso particular cuando el radio del pistón es pequeño en comparación con la longitud do la onda (ka 1).

58. Resolver el problema 56 si sobre la superficie del pistón (de la placa) la velocidad es variable:

v = f(r)

(pistón «no rígido»). Limitarse a la representación do la solución on la zona de la onda.

3. Difracción sobro el cilindro y la esfera

59. La onda plana acústica se propaga en una dirección perpendicular al eje del cilindro rígido infinito de radio a. Hallar la onda dispersa. Examinar los casos de las distancias pequeñas y grandes desde el cilindro.

60. Basándose en la solución del problema 59, calcular la intensidad de la onda dispersa y también investigar la dependencia de la característica de la directividad de la onda dispersa con respecto a la longitud de la onda.

61. Calcular la potencia total en la onda del sonido dispersa sobre una unidad de longitud del cilindro para los casos límites de las ondas cortas y largas (véase el problema 59). Hallar la fuerza que actúa sobre el cilindro.

62. Construir la solución del problema sobre la dispersión de la onda plana del sonido sobre el obstáculo esférico.

63. Utilizando la solución del problema 62, calcular la intensidad de la onda dispersa y la potencia dispersa total para ol caso

ka ■C l ,

donde k = ~ = ~ , X, la longitud de la onda, a, el radio de la

esfora.Calcular la fuerza que actúa sobre la esfera.64. Resolver el problema sobre la dispersión de una onda plana

sobro la osfera de radio p = a, si la esfera está completamente libre y se mueve bajo la acción del aire.

65. Resolver el problema sobre el movimiento de la esfera de radio a bajo la acción de la onda plana incidente si la esfera está

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fija clásticamente, es decir, la fuerza de retorno es igual a

X = - M a lí ,

donde 5 es )a coordenada del centro de la esfera; M, la masa de lo esfera.

Despreciar ci rozamiento del aire.

§ 4. Oscilaciones electromagnéticas estables1. Ecuaciones de Maxwell. Potenciales.

Fórmulas vectoriales de C reen— Ostrogradski

66. Escribir las ecuaciones do Maxwell en el sistema curvilíneo ortogonal de coordenadas (as,, ¡r2, x3), en que el cuadrado del elemento do longitud se da por la fórmula

ds2 — h\ dx\ + h\dx\ + hldxl,

donde h¡, k¡, h3 son los coeficientes métricos.67. Demostrar quo la solución de las ecuaciones de Maxwell

ro lH — -i- /■ div £1 = 0, B = fd l (ji = conat),

rot£ = — -- , d ivD = 4np, D = t.E (n = const)

puede representarse de la forma

gi

V il. Ecuaciones do tipo elíptico 4 7 5

B — rot A, £ •= —gradqi — i

donde A es el potencial vectorial, <j>, el polencialtescalar relacionado? entre sí por la condición de Lorentz

d ivX + S ^ - 0c dt

y que satisface las ecuaciones

, t 5“$ íx „ c*A<P-~ ~¿7T= — 7 P> =

. . 1 i¡2A .a- ~3W c

Aquí A A es el operador de Laplace que actúa sobre las componentes curvilíneas del vector A.

Hallar la expresión de A,4 en las coordenadas curvilíneas ortogonales. Demostrar que para p = 0, / = 0, las ecuaciones de Maxwell, admiten la solución de la forma

D = io tA ‘, 11= — grad <(■'— ^ --j—,

donde A' y tp' son los llamados antipotenciales.

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Examinar el caso cuando la dependencia del tiempo es de la forma e~ial.

68. Introducir los potenciales escalar y vectorial para las ecuaciones de Maxwell en un medio conductor homogéneo.

69. Introducir el potencial polarizado I I (el vector eléctrico de ilertz) para las ecuaciones de Maxwell en el vacío, utilizando las relaciones

. i a i i ....— ' <P = - (livVi

donde A es el potencial vectorial; <p, el potencial escalar.Examinar el caso cuando la dependencia del tiempo es do la

forma Análogamente, introducir el vector magnético deHertz I I ' . Determinar los vectores de Hertz en un medio conductor.

70. Si los coeficiente métricos satisfacen las condiciones h¡ = 1,

(jp) = 0 y el campo electromagnético en ol vacío depende del

tiempo como entonces el campo se puede representar mediante dos funciones escalares U y U’ (las funciones de Borguins).

a) para el campo de tipo eléctrico (H, = 0) tenemos:

F - l‘ZT7 U f i // p _____ / r. 1 ‘ £>*'{ ’ 2 h¡ ítXy dx.¡ ’ 3 h3 dx, dx} ’ \ c / ’

/ / _ 0 / / ______— dU- TI ^ — " U ■" ' - u ’ h3 d¡ra ’ 11 h.¿ oxi ’

h) para el campo de tipo magnético (£, = 0) tenemos:

n"_ r\ T¡n_ OU p>_

Tjt _ j 111' I ^ ' F . i r '_ 1 ± ti ' 11 + 0r\ ’ 2 ~~ k,¿ axl 0x.í ’ 3~ h¡¡ dx, dx, ’

donde U y U' son las funciones que satisfacen la ecuación

i t r i _j¡» 60 \ ¡ Ji¡_ _££_) | i i.2/7 _ q¿Íj'f /!2fc3 [ ¿)Xj \ ht ÜxJ / \ i j 5i! I J

Demostrar esta afirmación.Examinar después los sistemas esférico y cilindrico de coordena

das. Demostrar que en el sistema cilindrico de coordenadas la función U coincido con ¡a componente z del vector de Hertz I I = = (0, 0, U).

71. Introducir las funciones V y V" para el campo electromagnético en un medio conductor cuyos parámetros son «, ¡x, a (conductibilidad).

72. La esfera de radio a con conductibilidad o¡ y constante dieléctrica «j, está colocada en un medio no acotado de conductibilidad a2 y constante dieléctrica k2. Introduciendo las funciones U

4 7 4 Plantaamlento de los problemas

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VII, Ecuaciones de tipo elíptico 476

y U', formular para ellas las condiciones de frontera sobre la superficie de la esfera.

73. Demostrar la validez del vectorial análogo de la segunda fórmula de Oreen

f (W rot rot U — U rot rot W) dx= f {| U rot M7) — [W rot U]} n do,

t ¿

donde U — U (x, y, z), \V = IV (x, y, z) son funciones arbitrarias suficientemente suaves; T, cierto volumen acotado por la superficie 2; n, el vector unitario de la normal a la superficie 2.

74. Demostrar la validez del vectorial análogo de la fórmula principal de Green

U (M 0) = U(x, y, z) =

~~éí \ (rotrot U ~~ k2U) +grfid <pdiv U} dxP— r

~ "éí í rot U1 Srad q>] + (**U) grad <p} doP,2

donde U es un vector arbitrario,

9 = . r — V (x — |)2 + (í/ — -n)2 -í- (z — £)2,

la distancia entre los puntos M (x, y, z) y P (|, T|, £).75. Utilizando la fórmula vectorial principal de Green obtenida

en el problema anterior, directamente, sin introducir los potenciales, escribir las expresiones de E y // que son las soluciones de las ecuaciones de Maxwell

rottf = - ik 0&E + - j , k = k 0V I¿ ,

rot E = ik0\iH0, div ¡1 = 0, d iv £ = 4i p

en los puntos interiores de cierta región T mediante sus valores sobro la superficie 2 que acota el volumen T.

2. Propagación de las ondas electromagnéticas y de las oscilaciones en los resonadores

76. Aclarar la posibilidad de la propagación de las ondas electromagnéticas a lo largo de un cilindro circular infinitamente largo, cuya conductibilidad es infinitamente grande. La conductibilidad del medio ambiente o es finita.

77. Resolver el problema anterior, suponiendo que la conductibilidad del cilindro es finita e igual a cr,.

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4 7 6 Planteamiento de lo* problemas

78. Demostrar que dentro de un tubo cilindrico, hueco e infinito (ol guíaondas) de sección arbitraria, con paredes idealmente conductoras, puede existir un número finito de ondas electromagnéticas móviles. Hallar la expresión de la velocidad de fase y el flujo de energía de la onda móvil en el guíaondas.

79. Demostrar la existencia de ondas electromagnéticas corrientes dentro de una cavidad limitada por dos suporficies cilindricas coaxiles p = a y (> = 6. Considerar la pared del coaxil idealmente conductora.

Calcular el flujo de energía y escribir la expresión para las componentes del campo para la onda principal que corresponde a la longitud mayor de onda.

80. Hallar las frecuencias propias y los campos electromagnéticos correspondientes de un resonador esférico con paredes idealmente conductoras. Calcularla energía media por el período en la onda fija.

81. Hallar las oscilaciones electromagnéticas propias del resonador cilindrico que es un «segmento» del guíaondas radioeléctrico cilindrico de sección arbitraria con paredes idealmente conductoras. Calcular la energía media por el período en la onda fija. Examinar los casos particulares de los resonadores

a) do sección rectangular,b) de sección circular.82. Determinar las frecuencias propias de las oscilaciones electro

magnéticas dentro del resonador toroidal de sección rectangular, considerando que las paredes son igualmente conductoras.

83. Difracción, sobre el cilindro. Una onda electromagnética planacae sobro un conductor cilindrico circular infinito, cuyo eje es perpendicular a la dirección de ln propagación de la onda. Hallar el campo de difracción, considerando que el cilindro es conductor. El cilindro tiene capo dieléctrica con constante dieléctrica y conductibilidad igual a cero. Examinar el caso del cilindro ideolmonto conductor. Suponiendo que el radio del cilindro a es pequeño en com

paración con la longitud do onda incidente <g. 1, k = , calcu

lar la potencia dispersa total.84. Difracción sobre la esfera idealmente conductora. Examinar

el problema sobre la dispersión de «na onda electromagnética plana sobre la esfera idealmente conductora. Hallar el campo electromagnético.

85. Difracción sobre la esfera conductora. Una onda electromagnética plana que se propaga en un medio con los parámetros e = e,,o = 0, |.i = l. encuentra en su camino una esfera conductora de radio a, con parámetros 8 = e¡, (i = }i2. a = <r= =£ 0.

Hallar el campo electromagnético dentro y fuera de la esfera (el problema de Míe) acerca de la difracción sobre una esfera).

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V IL Ecuaciones de tipo elíptico 477

3. Radiación de las ondas electromagnéticas

86. Hallar el campo de radiación de un dipolo eléctrico infinitésimo que se encuentra en un espacio no conductor infinito. Calcular la potencia media por el periodo de radiación.

87. Resolver el problema anterior, utilizando la representación de las componentes del campo electromagnético mediante las funciones de Borguins en el sistema de coordenadas esféricas

p _ i Kzrj p — d 'V p __ I d^UEr=-d¿- + k U ' E°- T d 7 d e E* ~ J Í * ¡ ; ’

rr __ r» rr 1 dU rj. __ ik dU

donde la función U satisface la ecuación

d*U , 1 d I Q dU \ , 1 d*U , , , rr r,dr* r3 sen 0 <¡0 ( dO I + rJ son2 0 ~dq? +

de modo que Ja función u — ~ satisface la ecuación

Au + k-u = 0.

88. En el centro de un resonador esférico con paredes ideal mente conductoras, hay un dipolo eléctrico infinitésimo dirigido según el radio.

Determinar el campo electromagnético generado por el dipolo dentro del resonador.

89. Una esfora conductora homogénea de radio n con las constantes e2, n2, aa está puesta en un medio con otras constantes físicasEi, jix, (Tj. En el centro de la esfera se encuentra ol dipolo eléctrico que oscila según la ley armónica e~iat. Calcular el campo dentro de la esfera, la potencia media por el período de radiación y examinar el caso límite <T¡ ->-oo. Estudiar el caso particular cuando a —-oo.

90. Las paredes de un resonador esférico están hechas de unmaterial conductor homogéneo que posee una conductibilidad ct. Sean r = a y r = b, los radios de las paredes del resonador. En el centro del resonador hay un dipolo eléctrico que oscila según la ley armónica Hallar las oscilaciones electromagnéticas impulsantes del resonador, considerando la región r > b no conductora (el aire).

Examinar los casos límites, cuando b ~v oo y b —>- a.91. Dentro de una esfera de radio a hay un dipolo eléctrico orien

tado según el radio y separado del centro de la esfera por la distancia r = r'. Determinar el campo electromagnético de radiación dentro de la esfera, suponiendo que ésta se halla rodeada por un medio homogéneo que posee una conductibilidad finita a. Examinar el caso límite cuando <r -*• oo.

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Considerar los casos particulares: el radio de la esfera es pequeño en comparación con la longitud de onda y a —*-oo.

92. Antena eléctrica vertical sobre la tierra esférica. Hallar el campo electromagnético generado por la antena eléctrica que se oncuenira sobre la tierra y que se considera como una esfera cuyo radio a tiene conductibilidad finita <r y constante dieléctrica e. Considerar la antena como un dipolo elemental que efectúa oscilaciones armónicas a lo largo de la dirección del diámetro de la tierra. Considerar la atmósfera homogénea y no conductora (e = n = 1,o = 0).

93. Antena, vertical sobre te tierra esférica. Resolver el problema anterior (92), considerando que la antena se encuentra sobre la superficie terrestre y está dirigida segúu la normal a ella.

4. Antena sobre la tierra plana

En los problemas 94—101 se examina la propagación de las ondas radiadas por antenas que se encuentran sobre la superficie terrestre. Con esto supondremos que la tierra es plana, homogénea y conductora (a veces idealmente conductora, otras, poseedora de conductibilidad finita); consideraremos la antena como un dipolo cuyo momento varía periódicamente en el tiempo con una frecuencia w: p = p ae~ial. para simplificidad supondremos I p0 I = 1.

Los problemas 94—97 tienen el carácter de planteamiento, aquí se debe introducir el vector de Hertz y plantear para sus componentes distintas de cero el problema de contorno.

Para resolver los problemas 98—101 se debe realizar el cálculo del campo electromagnético radiado por la antena y también la potencia media por el período de radiación.

Aquí para el método de resolución es esencial el desarrollo en la integral de Fourier — Bessel con la utilización do la integral de Sommerfeld

e~ = ¡ y o(x ,)C- * ' ^ M ' - 7^ = , j í- V T T F ? .

(J

94. Antena eléctrica vertical. Sobre la superficie plana de la tierra que llena el semiespacio z < 0 hay una antena eléctrica vertical djrigida a lo largo del eje z.

Introducir el vector de Hertz y formular para él las condiciones de frontera sobre Ja superficio terrestre, distinguiendo también la singularidad en el manantial. Considerar p = 1.

95. Antena magnética vertical. Sobre la superficie terrestro z = 0 hay una antena magnética vertical (cuadro horizontal).

Resolver el problema de contorno para el correspondiente vector de Hertz si la tierra posee conductibilidad finita.

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VII. Ecuaciones de tipo elíptico 4 7 9

96. Antena eléctrica horizontal. Resolver el problema do contorno para la antena horizontal situada sobre la superficie terrestre, con conductibilidad finita.

97. Antena magnética horizontal. Un dipolo magnético olernental situado sobre la superficie terrestro z = 0 está orientado a lo largo del eje y, es decir, el cuadro con corriente se encuentra en el plano xz. Formular el correspondiente problema de contorno para ol vector de Hertz, considerando que la tierra es conductora.

98. Hallar el campo electromagnético de radiación de una antena eléctrica vertical sobre la superficie terrestre plana (voase el problema 94). Calcular el flujo de energía de radiación, considerando H = 1. Examinar los casos cuando la tierra es conductora ideal y cuando se sustituye por el aire.

99. Determinar el campo radiado por la antena magnética vertical que se encuentra sobre Ja tierra plana (véase el problema 95).

100. Resolver el problema sobre la propagación do las ondas radiadas por una antena eléctrica horizontal que se encuentra sobre la superficie terrestre (véase el problema 96).

10Í. Hallar el campo electromagnético generado por una antena magnética horizontal situada sobre la superficie terrestre plana (véase el problema 97).

102. Un dipolo eléctrico vertical está situado on el punto z = z0, r <= 0 del medio 1, con constante de propagación igual a El medio2 tiene forma de la plancha plana paralela con constante de propagación k« y fronteras z — a < zn y z = 0. El semiespacio z < 0 es idealmente conductor.

Hallar el potencial polarizado del campo secundario JTiK.103. Hallar el campo electromagnético excitado por la corriente

lineal en un espacio no acotado y calcular el campo en la zona de onda.

Determinar la resistencia de radiación.104. Determinarla resistencia de radiación del dipolo semiondu-

lar en un espacio no acotado y también la parte reactiva de la resistencia de entrada (reactancia) del dipolo semiondular.

105. Dentro del guíaondas cilindrico oxaminado en el problema 78 hay un dipolo puntiforme paralelo al eje del guíaondas y de vibración armónica según la ley e~M .

Hallar el flujo de energía medio radiada en el período por el dipolo. Calcular la resistencia de radiación. Buscar la solución para un guíaondas de sección arbitraria y después examinar el guíaondas de sección circular, suponiendo que el dipolo se encuentra sobre el ejo del guíaondas.

106. Hallar lo expresión para el campo electromagnético dentro dol guíaondas, excitado por una corriente lineal de longitud 21 paralela al eje del guíaondas y calcular el flujo do energía a través de la sección transversal del tubo para el caso particular del dipolo

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semiondular situado sobre el eje del guíaondas radioeléctrico de sección circular. Hallar las componentes activa y reactiva de la resistencia de entrada. Resolver el problema con la aproximación de las corrientes dadas, despreciando la influencia del campo secundario sobre la distribución de la corriente en el dipolo.

107. Utilizar la solución del problema 106 para la búsqueda de la resistencia de radiación y de reactancia del dipolo semiondular situado sobre el eje del guíaondas de sección circular y dirigido a lo largo de este eje.

108. Calcular el campo excitado dentro del guíaondas radio- eléctrico con paredes idealmente conductoras por el dipolo eléctrico perpendicular al eje del guíaondas y paralelo a uno de los lados <le la sección perpendicular; hallar la resistencia de radiación para:

a) el dipolo infinitésimo,b) el dipolo semiondular.


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Capítulo V

E C U A C IO N E S DE TIPO P A R A B Ó LIC O

§ 1. Problemas físicos que se reducen a ecuaciones de fipo parabólico; planteamiento de los problemas de contorno

1. Para la temperatura del líquido en el caso no estacionario tenemos

du . t d*u . , áau \ du-5T = “‘ (-áS*-+ipr+a¡r)— '«-¿7 *

— OO < X, y < H-oo, 0 < *, t < 4*°°I (1)

a2 es el coeficiente de termodifusividad;

) . ~ = a ( u — () para i = 0, (2)

donde / (xy y, t) es la temperatura del plano z = 0;

u )*„<, = q:> (x, y, z), — oo < *, y < -fo o , O < * < -f-oo, (3)

en el caso estacionario (con la conductibilidad térmica «despreciablemente pequeña» en el sentido del eje x)

Ou

dx

a2 / d2u , \ , .= l f [ ' W + -SF) • - « < » < + «>■ 0 < x , K + oo, (!')

a da . . .X-^- = a ( « — /„) pata z = 0, (2')

donde /0 (*, i/) es la temperatura del plano i = O,

« l*=o = <Po (y• 2). — 00 < 0 < + 00. o O y se mueve con velocidad constante en el sentido ael eje x, con la condición de que el plano 2 = O es impermeable, en el caso no estacionario tenemos:

Ou __ / d*u - 02u , d'u \ du

di ~ di1* + d-.1 ) V° 1 F •

— o o < x , i í < - f c o , O < s, í < -f-o o , (1)

■¿ ■=0 para * = 0, (2)

D es el coeficiente de la difusión;en el caso estacionario (con las condiciones del problema)

du D / d’£u , d“u \’ - « < » < + “ . 0 < x , K + c o , (1')

= ° para » = 0, (2')

« ^), — o o < y < - J - o o , O < ! < - } - 00. (3')

5-0942

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o du — n l d2u i d‘ u i \ a, a ^ a3 .a ) 6l [ a i i + g yi + 9zi ) P > ° .

— OO < * . y, z C + oo, (2). du n I d*u . d*u . d^u \ a a

h> ~ D b ? ‘+áP"t-7?‘ ) + Pu' p>0,— co < x , y, z<C-f-oo, 0 < t < C - j- o o , (1 ')

u | ¡ J!0 = q )(i, y, z), — o o < x , y, K + oo. (2’)

dE c* / f)*E . ¿>aE d*E \dt 4n|ia \ dx3 dy2 dz"- I *


— oo ■< x, y, z < + oo. (1>

i « = _ £ ! _ ( ü « + i ! " + £ " ) , o < t< + o o , (!')di 4n(io \ c?-r dy* dz‘ I ' '

donde E y U son los vectores de las intensidades eléctrica y magnética c, la velocidad de la luz on ol vacio; n, la permeabilidad magnética; o, la conductibilidad.

E\,=„ = i<Fi(x, y, z)+j<fi(x, y, z)+k<ps (x, y, z), \ _ z<r-l-oo (2>

/ / lt=o=*'|>l(*, í , ¡O + ./ 'M * . y. + 9. *). / (2’)

donde i, /, i son los vectores unitarios según los ejes x, y, i y 9t, <p„ <p„ <l>ii 'i’a funciones dadas.

Indicación. Examinemos el sistema de ecuaciones de Maxwell

- ‘ "- T - tr + T - '’ <3>

■.t— i # ,

d ivB = 0, (5)

d iv D = 0, (6)

escrita en el supuesto de que on la región examinada no> existen cargas volumétricas ni fuerzas electromotrices ajenas.

Utilizando asi llamadas ecuaciones materiales del campo

D = eE, Tí = ji/f, j = oE (7)

y la condición do la constancia do e, (t, o, y despreciando las corrientes

de desplazamiento —■ en comparación con las corrientes de la conducción

j =~- E, obtenemos los ecuaciones

* •

rol II j=-Í22- E. (91C-

Si de ambos miembros de la ecuación (8) tomamos rot y utilizamos la igualdad conocida del análisis vectorial

rot rot a = grad div a — div grad a,

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entonces, mediante las ecuaciones (6), (7) y (9) se puede obtener la ecuación (1)* Análogamente se logra la ecuación (!').


j» du , g í Ó2u , d*u , ¡flu \

5- — ‘=a dy?

0 < I < I, — oo < y, i < +oo, 0 < t < +oo, (1)

J.U* (0, y, z, I) — hu (0, y, z, t) = 0, \ux (/, y, x, t) + hu (/, y, i, t) = 0, (2)

u (x, y, z, 0) = / ( í, y, z),

donde / es el espesor de la placo; el coeficiente de la conductibilidad térmica. Si la temperatura varía despreciablemente poco según el espesor, entonces

u — u {y, z, t)

y -|f= <,í (’l j r + ' j j r ) —2Aiu’ — 00<¡,> *< + *>. 0<t<+ «>, (3)

Cpl

donde p] es la masa de la unidad del área de la placa.

,, áu . / 1 0 / du \ . i <9*u \

b’ -W~tt \TTir \r — l +7 s- l^} 'Ti ^ r ^ r 2, 0 ^ q> ^ 2n, 0 < í < -foo, (1)

\ur (rlT (p, i ) — h |u (rlt 9, f) — U íf)l = 0, 0 < t < + 001 (2)Xur <r2, <p, í) 4- h ju (r2, q>* t) — í / 0] — 0, 0 < t < + 0 0 , (2')

2n

j u (r ,, q>, í)dtp] , 0 < < < + » , <2>

0

donde U (t), p*, c* son la temperatura, la densidad de masa y el calor específico del líquido dentro del tubo., u (r, <p, 0) = / (r, <p), r1 r < r2 0 < q > < 2;x.

7. Para determinar la velocidad v (r, /) de las partículas del líquido*)v la velocidad angular o) ft) del cilindro obtenemos eljproblema de contorno

dv f ifiv , 1 dv v \W = v \l¡?-+ 7 ^ — ? } ' 0 < ( < + oo. (i>

f| r=rí — r#0)(<), V-+0 para r-. + <x>, 0 < í < + oo, (2)

* ■ £ « " + *«* P v i F - T k ' <3>

Indicación En las coordenadns cilindricas1) Las ecuaciones dol movimiento dei líquido viscoso incompresible

son

dvr dvr V9 dvr dor V% __ü r + t v s r + — - w + V z ~ - — ~

= - — - T L + v (p dr \ 0r«r , 1 , d*vr , 1 dvr 2 dvy \2 1 ¿qp2 * * 1 r dr 7*“ 0<p

*) v (r, i) « (r, í); véase la indicación a este problema.

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__ 1 8p ¿>*i>,, d»z vr

dr r d f d i ' r

donde r/r, ¡> ot bou los vectores componentes de la velocidad en el sentido de los vectores unitarios de las coordenadas de! sistema cilindrico;

3) las componentes del tensor de las tensiones son

Las componentes del tensor de las tensiones en las coordenadas cilindricas se determinan análogamente a como se hace en las coordenadas cartesianas al deducir la ecuación del movimiento del medio elástico en el problema 11 del § 1 del cap. VI.

8. Resolución. Colocamos el origen do las coordenadas sobre la base impermeable y dirigimos el eje t verticalmente hacia arriba. Sea que en las proyecciones sobre los ejes de las coordenadas los vectores f, V, V se escriben en la fo rm a /= {¡%, i z), V = {V' Vu, U = {u , v, w). Entonces la ecuación del movimiento de las partículas de las aguas subterráneas se puede escribir en la forma

d«nde p es la presión en las aguas subterráneas. Despreciando (en virtud del supuesto 2) de la enunciación del problema), las fuerzas de inercia, y utilizando

que se pueden escribir en forma vectorial del modo siguiente:

¡ 7 = — A: grad H, (2)

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donde

//<*, y, t, f) = E=£&.+ , , (3)

P¡¡ es Ja presión sobre la superficie libre de la» aguas subterráneas (que no depende de z, y, i).

Sea que p, significa la presión hidrostática en el punto que está a la altura < por encima de la base impermeable, y z = J //0 (x, y, t) es la ecuación de la superficie libre de las aguas subterráneas; entonceB para la presión hidrostática obtenemos la expresión siguiente;

Pt — Po = «P I * . (*. y, » — *1. 0 < * < Ht (z, y, í)>

es decir,

+ * = //„(*, y, t). (4)

De (3) y (4) hallamos para la presión excesiva la expresión siguiente:

£ZLP »= /7 (* . y, 2. y, t). (5)

En virtud del supuesto 1) de la enunciación del problema de (2), (3) y (S) so deduce:

u= ~ k l i r ’ <6>

es decir, las partículas de las aguas subterráneas situadas sobre una vertical tienen velocidades horizontales iguales.

Examinando el prisma vertical fino con la base AxAy y la altura II* (r, y, l) y utilizando la relación (6), la ecuación de continuidad se puede escrinir en la forma


Si la capa del suelo y la capa de las aguas subterráneas encima de la base impermeable se extiende «infinitamente», entonces el problema do contorno para determinar el movimiento de la superficie libre de las aguas subterráneas se puede formular del modo siguiente:

OH*___ k í a If , d!í° ] tOt ~ m \3x \ “ dx ) +

+Ty [Ifo~Tir)} ’ ~ °° < T' 'J < + oa’ 0< í < +°°« <8

Ho (*. y, 0} = (V)dt l a*3 “ m > ' ' '

sustituyendo el factor //o entre las paréntesis que están en el segundo miembro de la ecuación (7) por la altura media ha — const de la superficie libre de la» aguas subterráneas.

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§ 2. El método de separación de variables1. Problemas de contorno que no exigen la utilización

de las (unciones especiales


9. La solución del problema de contorno

■ i r - •<- « ■• »<»<'■• “<•<'■•0 < í < + o o , (1)

u — u Ix— 1| = u — u ly—1« = U |2=0= u l* = l t = l 0 < * < + C O , (2)

—I (x, y, i), 0 < * < ¿ 1, O c t < l J (3)

«s

+» _a.It./±L+J2L + _2l. f« ( * , » , I , « )= y¡ ¿h .m .n e '* '» sen—

A, m, n—!mnv , í ,

X sen ——^ son —-— , (4)*3

dondo

li /,

4 8 6 Respuestas, indicaciones y resoluciones

Ak.'m, nSSiT*»l9 \ \ dX{ W 11 *12 5 fl o or?í Jtrj r _

X sen , son —-—- sen —-— dQ. (o)lt /* *3

10. ufx, y, zT 0 =

X' +<*• - - ((2*+l)«+(2»n+l)>+(Í>l+l),l «

~ ( ~ ) S »(2k + l ) ( 2»< + l ) ( 2n + l)k, m, n*=0

(2^+D ;2" + 1)n::i - ■ - ■ • (i>

En ol centro del cubo

• ( ■ r . t - y ‘ ) - " - ( 4 ) ' { 2 > -■ > * • } '■ *h-=Q

Para todos los t que satisfacen la desigualdad

1,1 ,3>

donde e es menor que el mínimo dp los números 1 y , en el contro del cubo

o ciencia cierta tendrá lugar el régimen regular con la exactitud relativa e.Indicación. Indicamos con a el primer término de la serie que está entre las

llaves de la igualdad (2l y por .9 la suma de todos sus términos restantes. Para

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V. Ecuaciones de tipo parabólico 487

todos los t que satisfacen lo desigualdad (3) se tendrá*):

I — I < e; (4)

dado q ue 7 < 1 y eC-^-, resulta:

3a2S-f-3a,Ss + S3 aa

es decir, en el centro di>l cubo tendrá lugar el régimen regulai con la exactitud relativa i .


0 < í < /„ 0 < í-j- co, [I)

■ hu)

íu~ = a ‘

{ 0-u 4_ < u 4- \l dx1 • dy2 oz~ j ■

1 du

* - ( £ + * * )l l * I UI Ou

~ [ ' WT hu j i1

a 1«

ii _ ¡

lp-0

(2)

u (x, y, 2, 0 )= / ( * i !/’ *)• 0< T ¡r< ít. Ü < ¡ í< ¿ 2, 0 < s < l 3, (3)

„{*. y, 2,t)= 2 <-'*)h, m. n = l

donde

fi /»*»8XÍnmVn J J J / y< 2) Xk k*) Ym HJ) Zn {*) dx dy dz

A _ 0 0 0 /jj\

Km n~~ [/l t >.J + )1=) + 2A|.[¡.(i(í, + ) + 2J(l.[/s (vS4->>, )-t-2ftl ’

i.i, X2, jx„ h j, v ,. v2, . . . son respectivamente las raíces positivas de las ecuaciones

cte!,* = 4 - (4 ~ -£■), « «> # -

- x ( t - - f - ) . « « ' . ' - t ( x - t ) . **>

X*(ar) = cos>.i2 + -í-sen?.fcX, Y m (¡í) = cos sen|i,„y.flr>i

Z„ (2> = cosv„2+-^-senvni. (7)

* l’ara más detalles véase en el cap. I I I , §2, ta respuesta al problema 22.

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488 Respuestas, indicaciones y resoluciones

En particular, si / {x, y, z )= U 9 = const» entonces

+00u ( i l í l x1 l) = 4 W , 2 X

A, m, n=0

w - sh+i (•*) (y)S 2n4-i (2) ___(8)

Indicación. Las raíces Xj, de la ecuación ctg fjX — — — ~ j satisfa

cen las desigualdades 0 < X 1/1 < n , j i < X 5¡ i< 2 « , 2 n < X 3/ i< 3 n , . . . , es decir las desigualdades

0 t g > 0 para k impar y es menor que cero para k par.

l ’ero

2 tg-|

t»P —

por eso de (10) se deduce que

I’or consiguiente,

i,

h , ., ~z— para k impar,

¿ÜÍ2. - J Xh-- ~~ para k par.

j Xk ix) dx — j — J sen X*íi + -j^-ll — cosXi¡¡i)J =

“ i 7 z” " i T L '°| i r - [ , + T r ' í '17 1- J “

t X* 8 2 J | j t - para A impar.

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i. h

Análogamente se calculan ^ Yrn (V)dy, ^ 2n (i)di-

o o‘Observación. Si el paralelepípedo en el momento inicial de tiempo está

calentado uniformemente (es decir, / (x. y, «) = t/0 =a const), entonces, evidentemente, la distribución de la temperatura en él será simétrica con respecto

a los plano9 2 = - ^ , í f ' = y , í = -^, por oso se puede limitarse a determinar

la temperatura en uno de los ocho paralelepípedos en que estos planos parlen el paralelepípedo inicial.

12. La temperatura en el centro del cubo —-I < x, y, s ^ l es igual a

V. Ecuaciones de tipo parabólico 4 8 d

f +" l / " t+-£—U = 8U0h31 , — ~ ( . «>

dondo 3i0, Xj X2* ..«son las raíces positivas de la ecuación

tgx ;=— . (2>

Para todas las magnitudes de tiempo t que satisfacen la desigualdad

! > ! ' = --1 r W + w + í ^ , ) 1 1 / ' H t r

a 1 X . i n t (fc/*+AZH-(tto>a y

■ + ( £ ) ’(3)

dende e es el mínimo de los números 1 y ~ , en el centro del cubo a ciencia cier

ta tendrá lugar el régimen regular con la exactitud relativa e.Indicación. A fin de obtener la expresión (1) para la temperatura en el centro

del cubo —l < i , j , i < / c« suficiente, de acuerdo con la observación al problema anterior, con hallar primero la temperatura de la parte 0 < x, y, i < l de este cubo, considerando que los planos * = 0, y — 0, z — 0 son termoaisla-

problema 29 del cap. I I I .13. La solución del problema de contorno

(■ S jr+ íij')’ » < » < + - . 0<=<1„ (l>

0 <*<+ <», <2)

u lx—o“ ^o* (3V

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•490 Respuestas, indicaciones y resoluciones

es:-f°o O.2 t ,* \

“ (*. í) = 166T0Aa ¿ i 1 Xm. n»0

f COS Mann-i» + ,7 ^ — se» ( cos van+12-f — sen v2„« ,j)Y ______________ f*27nn____________ Í__\___________ v an -u ___________

V, U‘-2>*,i + *2H- 2*1- IU (v|„+, -t- A ) + 2*1

donde |i,t ;i2, v,, v2, . . . son respectivamente las soluciones de tns ecun-clones

C t g / , ( . = - ! • ( £ — J - ) . c t g / 2V = | .

indicación. Véase la indicación al problema 11.

JUt. 11) Ier r a n ] / ;

I» ol proceso de carácter do avalancha de la multiplicación de las partículas tendrá lugar p?ra cualquier dimensión del cubo:

* , a ]/ 3 _ 1 y jí ah j/3 \O ^cr = —u— arectg-a-— !-L-=------- , si

P * * oh 1/3 V $ '

;> 3a2k2\ el proceso do carácter de avalancha será para cualquier dimensión, si P ^ 3azh3; fj es el coeficiente de la multiplicación que entra en la ecuación

(D

Ou— a2 1

<>»«J . Ü 1 1 d‘u

\ 4- P,idt \áz- ' áz?

} -t PJ

+°c n’n*o* sonnnr

\ t)

W

II Ane r“ o

• o2 f ntir ,

An = — j rf (r) sen —— rfr- l2)

aIndicación. La ecuación do la conductibilidad térmica on virtud de la

simetría radial se escribe en la forma

f t>aU | 2 du \ dt \ dr,¿ “r r dr f •

El paso a la nueva función incógnita u (r, ¡) = ru(r, () conduce al problema de contorno sobro ol enfriamiento de la barra

= -^4-. 0 < r < r „ , 0 < í < + a>. (3)

i-tO. í) = 0, u(r0, í) = 0, 0 < í < + c o , (4)

u (r ,0 ) — r/{r), 0 < z r< .r „ . (5)

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La primera de las condiciones de frontera (4) es consecuencia de la acotación de la temperatura u (r, l) en el centro de ia esfera

u(-f-0, t) = lim ru (r, t) — 0. r- + 0

+o° flJ±r

10. «|r,0 = g. + 2 ^ lC .- i ) S .(-U"4' f S -- J j> _ 'n= 1

Para todos valores de tiempo t que satisfacen la desigualdad

= — J aí Ine,

en el centro de Ja esfera tendrá Jugar a ciencia cierta el régimen regular con la exactitud relativa e > 0.

Indicación. Véase la solución de) problema 22 del § 2 del cap. 111.17. La solución del problema de contorno

i t - ' & ' - T 1, ?)■ •< ■ < + “ • ><>

= r = r„, 0 < < < + ! » , (2)

u(r, 0) = CA„ Q < r< r0. (3)es:

u (r, <) — < oagt 3rj — 5r3 ^ 2r0e ,<?n r0

I r; lOrg i-! |i=in son las raíces positivas de la ecuación

tgn=n- <5>18. La solución del problema de contorno

4 r — f S - + 4 £ } - «< '< '•■ « « < + - • <«

4íi- + ftu = 0 para r= r „ 0 < t < + N ! , (2)or

u (r, 0) = / (r), 0 < r < r0 (3)

es:

-foo-n *X2 < senÁnT

donde

.. ^ sen Anr« f . * ) = 2 j a " ‘ — p— > l4 >

n= 1

2 rg>.i+(r„A—1)* f . . . . .An “ '77 ' ^ + ( ^ - 1 ) ^ . J r¡ <r> * " X"r dr> <5>

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Xn son las raíces positivas de la ecuación

X

492 Respuestas, indicaciones y rosoluciones

<6 )

J». H(r, í) = t 'j +

+ « ____________a,tín‘ sen JÜL1 ser f u r ; ? i ir - - r5 <•. m+ l ’„)>ir0¿¡ ( 1) (u?, + /lV*-/¡r0) r > O

«=1donde jia son las raíces positivas de la ecuación

tg >*= — r0h - 1 > (2)

y h, el coeficiente del intercambio de calor que entra en la condición defrontera

=eh |Cri — u) para r = rv, 0 < t <-f- 00 . <3)

En ei centro de la esfera

U (0,0 = f,+ 2(y1- í o)/»r.2 < - D ™ ' (4)n—I

Si ;ir„ < 1, entonces, evidentemente, la serie (4) satisface las condiciones del teorema du Lcibnlz sobre las series de términos de signo variable. Utilizando esto, hallamos que para todos valores de tiempo t que satisfacen la desigualdad

ro ln fr Ml + ftVs — hr„ / >tiJ + (fern — 1)» 1(¡ijí — Mí) i ní + fPr l— hrc V + (/ir„— 1)> / *

en el centro de la esfera tendrá lugar a ciencia cierta el régimen regular con la exactitud relativa e > 0.


l ¡ T = a ' { - J ^ + T 1 7 -} ■ ° < r < ro. 0 < t < + o o , (1)

-¡ÉH “ * + — “i I . 0 < »<+«>, (2)Dr |r= r0 |r—r,

u (r, 0) = £/„, 0 < r < r„, (3)

r<¡-

-

+<* |iar

uZ¡ ín A2r J— ílr0) r(4)

donde |in son las raíces positivas de la ecuación

>>h r „ - i ’lBI‘= x r ir r * <5>

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Indicación. Primero se debe hallar la solución particular de la ecuación (i) que satisface la condición heterogénea de frontera (2). Tal solución particular se puede buscar en la forma U (r, í) = í/j 4* at -f- F (r), donde P (r) es unafunción incógnita.


du

dt

(i7-A'u)Lr=o- (4 7+a=“)L=°-

dondo

An ~

2 j r/(r)sen[X n (r —r,) + v„]<(r

r2— ri +

(2)

<*(r, 0) = t{r), f l < r < r „ (3)

ulr, J 5ÍÜ M ^ £ | H ^ L , m

(5)

A.n son las raíces positivas de la ecuación

U - (a . + t- ) (a. - 7 -)Clg Xn (r2— r,) = ----- 7--------- ;----- T V — > (6>

v„ = arctg— -n . ■■ (7)

*i+7-" I

22. a)

b) ei proceso tendrá el carácter de avalancha para cualquier dimensión de la esfera,

c) ^cr- es Ia ra‘z positiva mínima de la ecuación

1 ( - ¥ ■ - ) - ¿ W

6) Medios heterogéneos; factores concentrados

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cipi-lr2 1 {■fe' + 'ijí '} » ° < i< :c »- o < ¡ /< )„ oo, (i)

csPi-^-=:*r*{-0-+*0-}> * •< z < l “ fl< y < 'í . o < f< + » , (i’>

u ( í ( — 0. y, t) — u(x„4-Ü, !/, <), 0 < v < ¿ j , o < t < + 00, (2)

lttux (xc— 0, y, t) — ktux {xc+ 0, y, t), 0 < y < / 2, O c í c + o o , <2')

u|,«»=u|a:=íl = «|ff_,v=u|i,=l2 = 0, (2*)

u (1 , y, 0) = / (*, y), (3)

c.«:

u (z, y, <) — 2 Am.n* n< l’m „ (*« !/). Mm, « = 1

donde

»n». n (*. ^ =

sen (ümnx ^ ^--- —---- sen— y ^ ¿: ,sen ü)mnx0 <2

sen U m n d i— z) . nny ^ ^ .---=---------- sen — , x0 < x < /,, 0 ^ y ^ *2scnú>mn(/i— *«) *2

r» __£iPi =a "***ü)m n— “ T— Amn y “ m u---------- JT Amn ,

(5)

(«>

Xmn (m = l, 2, 3, . . . ; n = l , 2. 3, . . . ) son las raíces de la ecuación trasce- denle

k' V £^ L ^mr,-—^-Ctg^xo y r Jp}-

= k ,\ / ■^•xj,„--2^1ctg ((r .- íI) y / ' ^ } , (7>

1. 1,\ J H t*» !/) i (*» !/) *>m n (*, y) dx dy

Am. /»■=* ^ ----- — ¡rr--- p ------------ (8)II i m n II

IL It = I í)Pl para 0 < * < Co. 0 < y < /4, Q.' ’ \ CjPj para

V r!U f„ . r l l4= \ \ M * . P)*m. n (* . y) dx dy =

0 0

f cíOixo____|____cgPa( i" Jq) I 10)4 \ sen20)mnx0 sen54 <umn (/!— x0) ^

Las funciones um. n son ortogonales con respecto ol núcleo f.i ( j , «/) sobre el rectángulo 0 x ^ i l9 0 y ^ /2*

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24. L8 solución del problema de contorno

du . í d2u . d*u CP*-gr = 'r. [spr + s ^

0 <; r < j 0, 0 < y c í2, 0 < s < í , , 0 < í <+ oo ,

fjpDu I

l2_a r= * n +d2u

dy2

* „< *< /„ 0 < y < /a, 0 < 2 < ;,, 0< í <+oc,

« ( 'o —0, .V, 2, l) = u (z0+0, ¡í, 2, ?)• a.

0 < 2< i s, 0 <;í<-$-oo,

ír,a*(z0— 0, y, 2, 0 = "*(■*'0-1-0. », 2, i),

0 < y < í 2, 0 < 2< í a, 0 < í < + oo,

** lx=0— u !x^/t u |y -0 — U íu- lz** u lz=»0= ** Iz—Jg” 0f

u l t - o - f ( * f !/• *). 0 0 < s r < ; z, 0 < í < / 9,

(1)

d')

(2)

( 2' )

(2")

(3)

dondo

— X* fu (x, >J, í , t)=* J| Am, n ,v* m’ n ‘ p vm.n ,p {* , ÍT. *),

Mj n . p = l(4)

seno)mn?»a; nnu pnz--- a -----sen — sen — ,ten (úm„par„ <a «*

0 ^ i ^ ^ 3* 0 ^ y ^ /ji 0 z s>

scnü)ranp (¡,— *) nny pnz--- — " — ------ son —— sen —;— .send)mnp(/,—*n) '= '»

Z|j ^ ^ ¿i, 1* íT y ^ ¡2, 0 Sss 2 ^ / j .

_ <jpl n»n2

<! ’

_ _ íí£í Xm. n. p — *pzn2

~

Xm. n. p = lm = U 2, 3, . . . ; de ia ecuación trascedcnlo

(5>

i6>

»1, 2, 3, . . . ; /> = 1. 2, 3, . . . ) son las raíces

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1} h hj J J l* (* . y. » )/(* . », *)»m, n, p{*t y, *)dzdyd i 0 0 0

An "■ P~ If l!m. n. p IIa ’

u(* y i\=/e‘Pl psra o< » < ; , , i’ ’ \ciP2 para * „ < * < / „ 0 < y < l t , /

???I»(*t y, *)ll*= J J v, n.p<i, », ijiiiá sd í-

ClPlJQ-+■ '} •

(8)

<9)

(10)son8 <Omnpxo sen2 ®mnp (¿i — *o)

Las!funciones p (*, ¡/, s) son ortogonales con respecto al ntícleo1* (*. ií,tz)"sobre el paralelepípedo 0 < y < í 2, 0 . La solución del problema de contorno

{'STS' + T ' l r } ’ 0<<<+oo, (1)

ci P * 4 f == * ! { 4 ^ " + " 7 ' f r ) » 0 < í < - ¡ - o o . (!')u (r„— 0, <) = u (rt -t-0, í), 0 <(<- )-oo .

*i“r (»"ii—0. í)~ M r (ri) + 0- *>. 0 < « < + <*,u ( r „ 1) = 0, 0 < /< - ¡- o o ,

“ (r, 0) = / (r ) , 0 < r < r , ,

es:

í ” ->■-1 *)= y " fn (r),

71=1

donde Xn (n = l , 2. 3, . . . ) son loa micos de la ecuación Irascedonte

l/'/tlCiPiCtg|r0J.„ ~í£!-| —

-yS5STctg {(r.-ri)X. 1 / ^ } = ,

0 < r < r„.

"n (r) =

Wn =* X

■n---

sen d)„r

r sen nr0 ’

sen (ün (rt — r)

r sen « « (r t — rg)- 'o )

s „ = xb1/ ^ : ,

l> (r) / (rl ü„ (r) dr

I »n II2

(2)

(2')

(2*)

(3)

(<)

(5)

(6)

(')

(8)

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eslio» lls= \ l‘ (O i'n(r) d r = C'P' rJ --- h g»°»_<f ' - r«)----h - k r A .

2 son2 Mnfo 2 sen2 u)n (r, — ru) ?-nr«

Las funciones (r) ton ortogonales con respecto al núcleo ¡t (r) sobro elsegmento 0 < r,.


du , f 02u . 2 du 1 .1 F = — — } , r , < r < r It 0 < í< + o o , (i,

4 . * dV . ... du_ nr? p V T = far^ —


r = r i

«!»-=>-!== (*>. «Ií-_r2 = 0, 0<¡<+ oo, (2)

u(r,C>) = H r), r l < r < r „ (3)

donde p* y c* son la densidad de masa y ol calor específico del líquido,resulta:

+ TOS

„4;2, sen t*— ,,a)hnl --------- -------- , r , < r < r s, 0 -c* 1 \2 , , , , 2i;sr,p*<;*-lrH . r' ( --- ü .-----U 7 ¡l T x " + ru J

(ü)

Indicación. Mediante la sustitución v (r, t) — ru (r, t) el problema (t), (2),(3) se reduce al problema sobre el enfriamiento del segmento con la capacidad concentrada en el extremo, y que se resuelve análogamente a como se hizo en el cap. I I I (véase el problema 50).

2. Problemas de contorno que exigen la utilización de funciones especiales


-ce _ Ú £ ¡ J 0

B,rt 0 ^ o [ l - 2 S e -n=l

0 < r < r 0, 0 < í < — oo, (1)

donde r, es e! radío del cilindro y fin, las raíces positivas de la ecuación / 0 (u) = = 0.

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En las condiciones del régimen regular, es decir, para valores tan grandes de t que la suma de los términos de la serie (1) que corresponden a |a2, ua, . , . es despreciablemente pequeña en comparación con el primer término*)

2 (til?) - fi O T j ' r“" J> 0 < r< r»' (2)

la temperatura media sobre la sección transversal es


U (f l* ¿ ’0 [ 1— rS ‘] . (3)

Observación. Ln los pumos con coordenada r, = JÜ- el régimen regular1*2

llega antes, debido a que en estos puntos .«e anula el término de la serie (1) quo corresponde a |x2.

+- U ( ^ )28. «cr, t) = 8LT0 e P , , ■ , donde u„ son las raíces positivas

n= ide la ecuación /„ 1 1 = 0. En las condiciones del régimen regular

A (— ) -üS¿*u\¡\ 11 « 8(7Q

(*?•>! <Hi>

Ja temperatura media sobre la sección transfersal os

»Ía» ■

f f W - Í S , '* .

Observación. 151 régimen regular llego antes en los mismos puntos que on el problema anterior (véase la observación a la respuesta al problema anterior).


du

til

, f d'¿u 1 d u ^ . ...■{f t T V ) ’ 0 < t < + o o . (1)

\ ^ ■ = 1 P»*ft r= r „ , 0 < í < + » , (2)

u (r, 0) = í Qy 0 ^ t rq, (3)

♦) Recordemos que para las raíces de la ecuación / 0 (n) = 0 tiene lugar la representación

/ 1 . 0,05661 0,053041 , \

de modo que» 2,4048, [it » 5,5201, « 8,6537, , , ,

Los valores de / , (p.„) véanse en [7], pág. 394.

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V. Ecuaciones de f¡po parabólico 4 9 9

. i

■ ir. 0 - * . + ? [2 ¿ ¡ - i ( ■ - * - £ ) - S ( * ) ] .

donde

es

(4)

donde (i„ son las raíces de la ecuación Irascedenle

•/Ó'1‘>=0. (5)

30. La solución del problema do contorno

(DÍ ! i = a * { ! £ 4 ~ - - | L } . 0 « r < r o, 0 < » < + o o ,

= 0 < r s jr 0. (2)

r ^ + f c - l = 0 , 0 < X < + » (3)I. Or Jr-=r0

+ _ Vn'itt t

«ir , 0 - S / í n / 4 ,4>TJ —1

rQ

An= . . f r¡ (r) J„ (Ü2Ü) dr. (5)

opn son las raíces positivas de la ecuación

fi/£ (C)

En las condiciones del régimen regular

r«

2I>5 \ rI (r) /„ ) dr u?o»t

u (r , t ) ü í--- a . ... ... ,t 7— :— /o ( — ) « .rc lní+W r?) ¿ I (M-i) ' rv I

3). La solución del problema de contorno

t — { - S - + T Í - } - » « '< '• • »<=*<+” • «>■¿L. = /t(C fj— uj para r = r 0, 0 < í< + o o , (2)

«(r. 0) = t?„ 0 < r < r 0 (3)

- 1,211» ,

u (r, I)- V, + 2 l6', — 1 '„) S + /o > (4>n = i

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6 0 0 Respuestas, Indicaciones y resoluciones

donde j.in son las raíces positivas do l.i ecuación

Observación, lín virtud de (5)

i ( m ) ______ ____hr¡,

(5)

Hn Pí<¡Í>JT^F(Í*ñ)T ~ -Mlln' ll‘ n + i “,'¡Sl 'De esta manera. la expresión (4) para u (r, <) puede ser escrita en la forma

- “*>1» f rt,

(tí)i m « i •* • oí \ ' » <

n = l

+ 90

u (r, t\=L\+2(l\-V<))hr<¡ 2 /„((!„) J ° (> „ ) '

,2hrf,a +—32. u (r, 0 = {.'0+ a

rs_r5-2 h^-

4a2

_ o*Uñf_

+“ e r5 /,■wl^n) U‘a ~ ,

(1)donde pn tienen los mismos valores que en la respuesta al problema anterior.

.'13. La intensidad del campo magnético es

{■*■06 r J (V2LL\

- s . - M ■n«=l J

donde in son las raíces positivas de la ecuación lil flujo de lainducción magnética a través de la sección transversal df*l cilindro us

¿ n r<\

n J3r dr d<f =

2 n r„!» r , ( -r~ _!!ÍUL2,/,, -j

, 5 y //„{ !- 2 S - 's Í i ^ r í b } r dr d<f =

_ £22? , +{c 1-5

= nrSn//0{ l- i 2 " — }■

indicación. En la ecuación para el vector de la intensidad magnética *>

. „ eu d-H . 4nno dllA ,í= ^ 1 F + — —

*) Véase ¡7], págs. 287-2M.

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para un medio conductor con elevada conductibilidad so puede despreciar el 8ii #2JI ., . . , 4nuo OH .

termino — <*n comparación con el termino — — —— T lo <jue conduceC~ Ot C" Ot

a la ecuación

dH „ - c1ot 4jtiut

Desarrollando ol vector H con respecto a los vectores unitarios cT% ev, ez del sistema cilindrico, el eje quo coincido con el eje del cilindro

H = Hrer + //,*» + Hje,.

Dado que el campo exterior no depende de <p y es paralelo al eje z, entonces es natural suponer que I I r — //,. = 0 y H , — I I (r, ()- Esta hipótesis es válida envirtud del teorema de unicidad de solución del problema de contorno. ParaH (r, í) obtenemos el problema de contorno

I I (r, 0) = 0. 0 < r < r „ . <2>

I I (r0, t) = H 0 0 < t < 4 - '» .

34. I¡n el sistema cilindrico de coordenadas el eje z de que coincide con el sje del cilindro

I l ^ e rH r+ t ^ H v+ e 2H z, //r = //,E0, I Iz = H (r, I),„ . berto'rliei ü)’rn— hci 10'r lierw'fl

" ber- <.)' r„-(- lio i2 o/r0, ,, beria'r bei Cu'r„— bei o 'r bero/r.

X eos bit + //„ ----- ¡— , 0 , . ;------ ! xber2 v> r„-r- bei2 oj r0

V . Ecuaciones de fipo parabólico 501

donde jtn son las raíces positivas de la ecuación J 0(p)ssO y cú' = Í ^ ^ .

Resolución. La solución del problema de contorno

■Ht - ' W + t 4 ^ } . • < ' < * « < « < + -• <*>I I (r, 0) = 0, 0 s £ r < r 0, (2)

/ í (r„, í) = //„ eos (oí, 0 < / < 4-00, (3)

hallamos como parte real de la solución del problema de contorno

{ ^ + T - S } . 0 < «< + °° , 11',

£/(r„, 0) = O, 0 < r < r „ . (2')

£7(r0, n < í< + oo. (3')

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La solución del problema de contorno <1'). (3) la buscamos en la forma

U (r. 0 = >’ (r, 0 + IV (r, t), (4)

donde V (r, l) es solución particular de la ecuación (1') que satisface la condiciónde frontera (3') y es de la forma

V > , i ) = f í ( r ) t la‘ , (5)

H '(r, i) es la solución de la ecuación (1*) que satisface la condición inicial

W (r. 0) = — Y (r, 0) = — n (r) (6)

y la condición de frontera

W (r „ t ) = 0. (7)

Sustituyendo (5) e.i (!') y (3'). Iiallamo*


dondeI» (ro<>>' 0 !,er “ r° + 1 be‘ r°

(8)

V

\/ i)’ l<,(r0u>'y T)

fl(r)=//0-; 7 ,:r - f , (9>

t- _ ._f

» > , rí / o(17 ^ } ’ <‘°)7 »= }

a _______________________ — o/a *tnCÚ r**1______ t tn

4 II- - “ •«■W.-

E! cálculo de la integral que está en el numerador de la igualdad (11) se realiza mediante el siguiente procedimiento general.

Sean Zv (X*x) y Zv (Xx) funciones cilindricas arbitrarias de v-ésimo orden; X y X*, unos números reales o complejos. Obtenemos:

jL f ! Í 2 ^ £ ) J + ( * . , _ £ ) ,12)

(is>Multiplicando la primera de ellas por Zy (k**) y la segunda por Zv (Xi), restando los resultados y realizando la integración, obtenernos:

r . . x \>.ZV (>*x) Z'v (U)-Jw*Zv (U ) (%*x)\\xZv (k*x) Zv (/•*) dx = ------------- -------------------- . (14>

*) Recordemos que J e (xi V 0 = í¡¡ (x \ri) = ber x + i bei *; ber x • _ t ** , *• . x- x* | J 10‘ 1 2-4* 2242G!8* • • • ■ 1 — 2» 2242(i- + 2*4*6*8*10*

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V. Ecuaciones de Jipo parabólico 603

Haciendo X* — <■>' \/7t >, = — f obtenemos: ro

Y 'i) /„ ( ^ ) rfr = i / 1, , (15)

de donde directamente se deduce (lt).Separando la parte real de Y (r, i) y de W (r, t) y sumando, obtenemos la

igualdad (1), dada en la respuesta.Observación. EJasando a límite en (14) cuando }.* Á, y utilizando !a ecua-

cíón (12), no es difícil obtener una relación importante para calcular las normas de las funciones propias

f , , , (X*)4 [Zv (3ur)]*+KM*—V*| |ZV (>.*■>)*y.Z\0.r)dz = --------------- 2 ) 1--------------- • 1 *

í';/s(Mn) f rt (r) Z0 ( — ■ ) dr

35. u (r, ( )= ~2rf 2 (jin)-Va (n„fc)

+oon2

n= l

+oorí ~ / l ' n r \ _ V> . . t v » ( n * ) — í ' , / , (Hnk) , , , „ / ^ r \ „

X< - Z“( — ¡~n ¿ * ^<H„>-7? (¡.„A) l — )X

X« +Íí"t ln lni.

donde ; |i„ son las raíces positivas de la ecuaciónri

Jt, (|0 A’o (!>*) — 1 o &<•*) A'o ((O = 0,

yZ. ( * f )=A ’. (M n « / , ( ^ ) - / , ( M )A 'll( ü ^ ) .

Para V y = Í72= £ / * = const, / (r) — C'a—const

+0° ■MMnJZoí — )

» (r . » ) - * • + * « 7 .- 1 ^ S X (Uní + J|J (Mn*> e r6 •71=1

/«dícflcídn. Para calcular la norma de las funciones propias

( •A¡r ) == ^ i (^ ^T i) A j (?v/4r) — A j 0*kr i ) J i (k/*r)

se debe utilizar lu igualdad (1G) de Ib observación a la solución del problema 34 y la expresión para ol wronskiano de las funciones cilindricas / v (2). N v (s)

I /v W A'vC) | = _2_I (z) ATJ<a) I n* '

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30. Lu solución dol problema de contorno

Ou n ( d~u , “( f , ..._ = a» | 1 -r + _ _ | , r , < r < r i . ( . < < < + =». (!)

«(/•,, 0 = 0 , ur (r2, <) = - y - , 0 < í < + oo, (2)

« (r, 0) = 0, rj < r < r2, (3)~f-CO ji

!< (r, t) = U (r)-f- 2 ( / , (>./¡r,) A'# (>.fci) — A '„(X *r,)(K j,r)] , (4)>t—I

donde U (r)= ln — es la solución estacionaria de )a ecuación (I) que

satisface las condiciones de frontera (2) (e) limite a que tiende la temperatura cuando t-*- — oo), y los coeficientes A* so hallan por las fórmulas

"*=V x írtr (r) |y“ (X"ri) A’° (X‘r)-r i

— A’o (^ftri) * t! (X^r)] di"t (5)

X/t son las raíces positivas de la ecuación

Jo (Xrj) A'J (Xr2) — aV8 (Xr,) (Xr2)= 0 . <6>


Ou .. (<7¿u . 1 Ou \ A , /4v— = a¿{ ^ + — — '■■<r<ri, O c K + o ., (1)

ur (rn 0 — ftlU(r,t í )= 0» wr (r2, Í) -f* (?*2> 0 = 0, 0 < í <-|-oo, (2)

u (r, 0) ■= £’fl, T| < r < r2 (3)

es:

“ (r’ ' ) = Z Ah e a'^ 't (|>vji £ (Xfer,) — M o lW i) ] XoO-h’') — l>-*'vó ^ h r ,) — h=l

— /i,A’0(>.;tr,)l /»(>•;,r)), (4)

donde

J* = —j ^ X

* ________________________ I W ^ O + V'i>(W]»______________________

(W+X¿) IAl,JH 't-kr,)-h,J, )!'■>-(;,; + ?,/,) f5“ 7¿ (M,r.,) + V . (X*r2)J2 A

X f/© "•— {IX/ y (X&rA)— Mo (Xftri)] X [r2A'i (X&rj)— (X rj)]¿’k

lX/tA'o (X^r|) — A|Aft (Xft^))'{r27x (X/jr.,)— rtJ j ( rt)J^

?.í, son la* raíces positivas de* la ecuación

I X /¿ (Xtj) — hxJ 0 (a/*i) X-A'o (X rt) — * (Xri) I __ yI Jó ^*r 2) (^r s) ó (^r 2) “i" o (X r2)


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V . Ecuaciones de tipo parabólico

38. La solución dol problema de contorno

<J*y i 1 dv v >

' r " Or r~ )

v (r&, *)■*<), i>(r2, i) = (OrJt 0 < ¿ < - f » o t

y(r, 0) = 0, rL < r < r*;

además, y(r, í) = rl(.(r, *)*), es

•fr. 5fc=1

y* (r) = A (X&fi) Afj (X ¿f)— A , (AftTj) /j(X fcr),

donde X* son lns raíces positivas de la ecuación

J i (^J.ri) A‘i (X^rj) N , (X»tr|) /| (X^r2) = 0.

■f»

39. n (r, <f, í ) = 2 1 " - ) M ». * 608 " V t

n,

¿n,t(

+ fl„. * sen ”>(>] «donde

,,(n) ,___________ i l » , „.w (' ■

_ í 1 para n = 0 , 1En — \ 2 para n ^ O , J

lo2?. A —

jij,” 1 son las raíces positivas de la ecuación / „ (n )= 0 .

+~ ,,,(»> .40 . u ( r , ip, < ) = 2 Jn \~7T~ / »•t o s « fpH- * n .h s e n n ( p | X

n, k=0

*-á ~r~

Xe r°tq 2 n

(1)

(2)

<3>

(4>

(5)

(6>

d>

( 2).

(3>

(4)

(5>

( l>

506

*) Véase la indicación a la respuesta al problema 7.

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/ l 4 n , r \

X / (r, <p) / „ [ — — I ros « <¡! r dr d <f, ' r o '


(2)

ro 2.1

On k = --------------- í \ X

» 'y ‘»H * i) [ l+ ] 0 0

/ u( n)r\X f ( r , <r) J n ( —— ) sen nq>rdrd<p, (4)

' rD '

I # " son las raíces positivas de la icuación

yJn (p) ■+■ rth J„ (n) = 0; (5>

b, el coeficiente del intercambio de calor que entra un la ecuación de frontera

f ¿ ü I = 0, 0 < < < T - o o . (6)L dr Jr *- ra

41. u. (r, tp, t) =

+ 0° -a*>/n)af= 2 * * Z„ <X¡in>r) ¡Xfi, k<*>i n ssennip}, (1)

n,k= 0

Zn (>.í,n’ n ) -Vn ( > . '" V ) - .V „ ( 4 nV ,) / „ (X<n)r ) , (2)

donde son las raíces positiva' de la ecuación

J n <X¡TV l> -V" <*¿’‘ )'» ) - -Y n ( X ^ r J J n (X ^ V 8) = 0 , (3)

nX),">! ^f,(X <nV 4)^n,fc=-

2í" S ia P r i )- JlQ .ín,r,)ro 2 n

X J / (r, if) Z„ (X¡,n,r) eos n<f rd r d<p,

o o'2 para n = 0

(4)

Cn 3 I 2 para n = 0, \ .

\ 1 para n=¿0, /

aXjf " /« (4"V2)"n . k — — ■

2 ■'Ü(XÍ’»rI)_.^(Xj>'>rl)

ro 2n

X J J / (r, 1 ) Z„ (XS,n’r) sen n <f r dr dq>. (6)

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Observación. Si se representa la solución mediante las funciones propias

2n (>in)r) = J n (X¡,n>r2) Nn ( X j f M - t f » (X '" 'r2) / „ (X¿n,r) =

Jn (4 "V S)

= Zn<xfc r>- w

(esta relación entre '¿n y Z* se establece mediante (3|). entonces

u (r. <p, í) == >. e * xT), /t=0

X Zn (X)"'r) {/ln, k eos W f+fin, h seri n(p). (8)

Las fórmulas para An & y Bn. k se obtienen de las fórmulas (4) y (6) si la fracción

Jn (>.Jtn V,)

/ í (XÍ">r,)-/^(Xj'")r,>

es sustituida por la fracción

J i a p n )


í ü = «r> / í í + J - i ü - L * — 1dt \¿/r2 1 r dr 1 r2 <?<p2 / *

t*! < r < r 2t 0 < ( p < 2 n , 0 < í < 4 - o o ,

[l7- [lf + fc*uL„=0’ 0<'“ l t = » = / ( ' ,i <P). r , < r < r 2, 0 < «J. < 2rt,

< + °°.(1)

(2)

(3)

+ » -a*>.ín)3|u (r, <f, ( ) = 2 « " X

n, fc=0

X Z„ (Xj,n)r) {/)„ * eos racp + 8n , t, sen nqj, (4)

donde

Zn (XÍnV) = [X<ln> /; ( X ^ > r , ) - M n (X ^ r , ) ! (X £ " r )-

- l ^ n)An ( ^ V , ) - / , tA-n (X ^ ’r , » / „ (XjfV), (5)

donde Xj,n) fon las raíces positivas de la ecuación

>-kn)Jñ - M « (4n,'-í) C4n)ri) - '■An

(X ^ V .l + M . . (X¡,">r2) X«>‘'a ; ( X ^ V j + M ' n (X ^ r . )= 0, (b)

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^n. fc —2n rz

2Mi’l)4 í ( í (r- <f) y-n (X(ftn)r> eos ntf r dr dy

= ----------------------- ÍLÍ¡____________________________ne» IhSrl+^rJ-»»] zS^'V^-lA írl+ X^V i-»*! Z\ (Á¡1n)r1) ’ U>

< 2 para n = 0 ,1 n \ 1 para n ¡$e. 0, / ^


i; l

Bn, h =

| j I (r, ip) Z„ 0-'i¡')r) sen n(fr dr ¿<j>

o r i

* I*lr3 + X;;”V¡ - ft*l 7.1 (>4/‘>ra) - [ft]r| + n'V f- tí2] 2?, (X*"V,) (9)

OfeseriíacWn. Se puede representar la solución mediante las funciono» propias

2» (4 n)r) - l ^ (4 n,r,) + k ,/n (4">r2)J A’» -

- t t i ’‘>ra)-(-h.,A'n (4 " ,r.)] J n <X}”>r), (10)

relacionadas con las funciones Zn por las relaciones

z n ( 4 " M =

*S;‘y n (xV'Vai-j-ftg/n (?.},"V,)

XjJ'Vñí^V,)-/.,/» (4»>r,) " ( " ’’ (M)

+“ ~u (r, <f, i ) = v e Z„ (Xj¡r) {yl„ ,, eos ttcf+i#n . it sen n. (12)

u-/r

Las fórmulas pala >*„, ), y j, se obtienen de las fórmulas (7) y (9) me

diante la sustitución de Zn por Z„.

43. u (r, (f, ( )= ¿ ¿n. J,< 'a2''*1 ’ ' X / „„ a (,,”V) sen ^ (1)n. <.=1 -57 ^

donde í.'"1 son las raíces positivas de la ecuación

^ ( 4 ’‘V„) = ü. (2)

>Porn <T »

^ í Í * ' <r' *’ SCn r dr (3)V(>

44. u(r, cp, ( )= 2 ¿n . <,« '* X J „„ (Xj,”),) eos , (i)». *=o -=- %

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V. Ecuaciones de tipo parabólico

donde Jtj1* son Las raíces positivas de la ecuación

+r0;ly_i¡i(>.<,'V1)=o,<Pn <fg

4Xf»4

'forj ( >-in),-!-*s— ||7r ) J 2l(>-jtn)'o)

Ti» <P»

X j j / (r, <K /,„n P-j/'M eos "|”í,i,2f45. u(r, v. ! , = ^ «mJÜSE.,

n, ft-=l — Ti)• y-n

z n* ( 4 nM = 0 - ^ r ,) N ^ <X f >,) _

Vü 9o «To ‘Po

4 n) son las raíces positivas de ia ecuación

<Po Va

' « a í ^ d - O .lo

a aX¡,")s

fP0 Vo

>■2 <Í>C

X j J / (r, <f ) X ^O - in)r) sen r dr d>¡.

r\ 0 i|„

40. La solución del problema ríe contorno

du „ í di u . i du , 1 íftu 1 .7 r = 0' ( ~ -r r i 7 + - ^ w ) ' '■ < '< ' « • f)« p < 0,os

+ OO ,y < )a/

u(r, <f, 0 = A"< *f Z„{X<"V)XC0S^,n, ft=0 T»

(2)

(3)

(1)

(¡2)

(»)

(4)

(!)

U)(3)

<n

50 9

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donde

Z„ (4">r) = A ,/

<Po v<¡ «t>(,

- l 4 n)JV ^(X j[»»rI)- fc lA'¡¡JL(X<“V1)] (2')<Í0 <J)Q 4J,0

4 " ' son las raíces positivas de la ecuación

4 nVk<>4n)' I) - ' . 1/ A^¡_ X<P» m0 <Po

X(>4n)r1)_fc,.Vn n (4 ',,n )

K ^j'nxSW ^ + htJ,,* O ^r,)

n í l v

<P<,

<ta q.n

4XÍn>*^n. H = ~ — X

So

(4)

47. « (r, <p, s, í)¡

• »tn)*+ ~ +“ -t w8nM , ¡ ,,<n)r

; n < l 'i 12 J x / . 4 - 1 ) :tn— t n, / s*»i)

X m. 7» COS m. n sen r»<f) sen , (1)

ro 2a l

m i uí” r \ mnzrf (r, <p, z) J n ( _ -- J eos nepsen — j— dr <fcp dz

Ah«nltr%l\J'n (|lj,”')]a

donde 11 son las raicea positivas de la ecuación

J n (\¿¿")=<y,

f 2 para n = 0,

En — \ 1 para « * C>,

ro 2-1 I

¡>k.

m i Mi r ) mnzrf (r, tp, z) J n ( — I sen nep sen — j— dr dtf dz

o (i ü____________ ffl_________________________

f'OÍ |/n

(2>

(3)

(4)

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V . Ecuaciones de tipo parabólico 61?


du r. í d - u __1_ du_ , 1 ó2u . d‘ U \d t ~ ' Q \ dr- ' r dz ' r*~ oíp2 ' dzz í 9

0 ^ r < r 0, 0<q><2n, 0 < s < / , 0<í<-foo, (1)l

[ f - A‘“ L o = ° ' [■fT + As“ ] l - I = 0, [-57+ * 3“ ]r-r„“ 0,

0 < * <-l-oo, (2)‘

u/a=0 = / ( r , y, z), 0 < r < r0, O < <p< 0 < z < /, (3)

es;

,.ín)2 .

/ X2 —0“ ' Q -r 'm ' * I IU

r- J

h, m, n—0X { 4 * . m , >1 COS n<t+ Bk, m , „ sen n y ) se n (V m : + s m), (4).

d o n d e n¡,n) so n lo s ra le e s p o s i t iv a s d e la e c u a c ió n

t f ' j ’n < ! lu' ")) = O, (5).

vm son las raícos positivas de la ecuación

c,gv"‘' = ^ ! i r w > (6>í m = arclg-^2-, (7>

Ak, m. n —

r r r / u*nV \J r¡ (r,<p, t ) J n — | eos n<f seu {vmz-j-zm) dr ¡¡n r V f i I ^*1^2 “t" vw ) "W * i) I j 2 /,.cn) I i i rV l “ n * j

nr°En l l+ ( * f + ^ ) < * i+ v « J L 1 + ~ ^ p ~ J

- { !2 para n ea O,

para n O,

r0 2jx i .4 í \ í r/ (r ' S) Jn ( ~ r ¡ — ) sennipsen (v„,z-f-zm)d r d<pdz

Bk' m,n — f - (h^is-rvi,) ((!., + /!,) | „ ,n) r rjfta —n» 1" rS I 1 + W + v^M/ii + v^l J ^ <M l + ^ J

(9)'

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3u _ . ! í , 2 <?« , 1 d ( „ du \ ,

~ ~ a 1 T l iT (” 6 -w) +

I 1 3S« \

r® son* 0 óq-2 i 1

< * l , (2)

u l i- o = / ( r> 0. q>) (3)

4}S

u<n)

* (r, 0, <p, t)= X y, e ' r" ' 1 X

S12 Respuestas, indicaciones y resoluciones

+~ " / "“í» 1

= 2m, i¡=(i t

<londe sun *as raíces positivas de la ecuación

m, n=0 lt=0

J

n+tX ------ -------- P„, k (cosO) {/im, J, cos*q>4-am .n, fc sen fcip}, (4)

1 1 í | # )>=0. (5)W+T

^mt n. k —ro íi ¿i* 3 ijiJj.

\ i W (r» <JJ r 2 J i ( — !r— ) son fi^n, >, (eos 0)cos A<p dr d8 c/®

= -- TTj--------------------------- , (6)- •- " i '- » 1 „■ , i ^ , | .

'¿( 2 ]»ara k = 0,

e"- { i

^ ^ / (r, 0, r 2 J , ( ——— j son 0Pn% h ico? 0) sen k n+Tnrj(n-M)! ~ — —

;2»-f 1) (« — /t)! 1 r,| * (lm "

(7)


du 2 ( d2u t 2 du 1 0 / n du V , 1 O u \

<Jí ~ a ‘ l </r* + r dr 1 r- si>n 0 00 \SOn 0 ~W ) + r» son*» / ’ ( )

[ 4r + H « » = 0- (2)“ l£=0 = / (»■• 0. 9) (3)

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(n) v 2

tX

m, n=0 /í=0

n+±\ r, )X ------ -pj------Pn, h (eos 0) {Am, n eos A(p+ l)m, sen A-tp), (4)

donde |i¡£* son las raíces positivas de la ecuación

i <\ & -r{r°h ~ t ) J > 0»£ ’>=0. (5)«+-5* ' 1 w+"tr

^m, n. h —

? ? 2r ± , u<n)rj | ^ I (r< 0, V) r 2 J j — ) sen8/'„ .i, (eos it) eos A¿ U para * ^ = 0 ,1

n. h —T* 1 '¿Z 3 ..(11)

j Í í í (r’ °> í') T ' S i (~7~— ) senO/'n. h (cusO)sen ky dr c/0 di» I) il D_____________K + T___________________________________

(2n + l) («-*)I L ^ j y„ + _l_ <**-» >

+°° n .51. u (r , Ü, <T, l) = 2 S e “ Am * x

m, ™=íi /í=(i

Z . 1 ttSM

(b)

x ---- ^ -----Pn, ft (eos6) (/lm, iCOsA^+Z?m, h senAqi), (1)

donde

Z . (W ') = J ■ a ^ r ,)N , (4*'r)-A- , (JlWr,)/ t <>.<Jr). (2)n+-J- 7l+-j- «+-j- «+-j.

?.*£) son las raíces positivas de la ecuación

Z , ( * W r ,)- 0. (3)

T7-0942

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•¿w. n k —*n a 2*t


i ^ / (r. 0, <p) r 2 Z | (\(„,'V) sen f’/ ’n, k (eos 0) eos ky dr d0 d(f

Ck

J 2 ■ , (MfVj4n (n + frt!____________________________ '’+T_T _____

(2n +1) (/.-*)! y2 , (X¡'"r,)

-c2 poro fc = Q,

para A* 0,

^rn. n . h — ro n 2ít

í 1 j 7 (r, tí. <p) r - ^ , (V„'"r) sen 6P „ , k (eos Ú) sen A<j> dr áÜ d f

I V&'tú- J* , (XK'rJ 4ji (n + fr)[ " + T_”+~__

(2« + l) (n-k)\n*\\‘¿>: J'1 ,n-r-,

y><n).T


du „ [ 02u . 2 Ou , idu „ / O-u . ¿ Ou , 1 o / c/u \ ,

~dT= a \"dr“ T~ U r” r1 sen U W V ™ ° ~W ) +

. 1 , * » . ) , r i < r < ' r- sen¿ 0 ó(p2 J

[ 4 t - a>“ ] w 1 = ü' [ ■ & + * * - ] « , - 0- 0 < , < + í

u ( r , 8 . <p. 0 = 2 2 ‘ X

rn, n=0 A=ll

¿ x . t ó Mm+T

X --- ------ ¿V fc <eo» ü) k COS k.

2 i f t í í M - f H£'J‘ i d S V , ) - (/<! + - - - ) / , ( ^ V o l X» + T 1 « T T v ’ « + T J

XA' , [*£>.¥* , (fcí-’r,) —n+T ’■+“

“ ( fc‘ + i ? r ) A'n+i ^ * > J ' i . o S * ' *

(5)

(6)

. (4)

(1)

(2)

(1)

m

(2')

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Am. ra> h — r t n 2 n

M í / (r, 0, (f) r 2 Z , sen 6Pn, h (eos 0) eos Acp dr d(i

r» 0 0

- é r - g É j B - í ^ a S M * /*! ü

/ 2 pnra fc = 0,-

(3')

J j J / (r, 6, ip) r 2 V, , (X '^’r) sen e/’n . », (cosft) sen fci|. dr dGdqi

' i l i n+—

pa ra k =£ 0,

Bm, n. ft—

r, n 2-t i

ri2ji (n-rfr)!

W

2n + i {»— &)!t)í .í rZ¿n+± O-m^dr

2

f rZ 2 , (X<„fr)dr =

* ;i+JL <*$S» + (*1 - -¿7 ) ' n+1_ (>4"V,)J2

x{ ¡ > - •sr)*+(X» ))1— ] *

x [ C ^ , ( C m - (*. + 3k ) yn+^ ^ > ] -

!x

donde X'"’ son las raíces positivas de la ecuación

ttS 'r,)* (*. - -ér) 2„ J_ (Ml’rd-0. (6)

7*

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6) Medios heterogéneos; factores concentrados

53. La solución del problema fie contorno


P<2 n,du . ( \ du . 1 d~u . dht 1 ^

cil’> á{ —ki\ dr* + r dr + 7 T ó(j.i 0:z ) . I

0 < r < r 0, (

du í d*u , 1 du . 1 ") ¡

e‘p* - á r = A' » \ - ^ r + T i r + 75” 5Í ? - 4' l F / - ’ *r „ < r < r i , •»

i t ( r 0 — 0 , <r, * , t ) = u ( r , + 0 , (f, 2 , I ) , \ 0 < ( (

fcl “ r ( r o — 0 . í ) í , í) = i '» l lr ('■«+<', <r, Z, t ) , f 0 < ¡

(1)

< + »l (i'>

0 < (p < 2jt, 0 < Í < 1,

< -j-oc.

ufri, <P. *i 0 = 0,II (r, <p, 2, O) =• I (r, <p, 2)

es+ 00

u (r, ip, 2, í) = 2 p (r>« X

mt u, fí=0

X n, p e o s n . psen ii<f¡son

donde J,m, jj son las raíces de la ecuación irascedeute

Jn (3f0) N n (“ ro) J n (o»o)

fc,®/!, (<5r„) kM.*¡ ’n (ü>r„) k^óJ¡, (<or„) = 0 .

0 ¿V„ (wr,> J n (ür, )

= ___V P

ni, n . P (r ) ~

l*^n (Mnt. n, Prol ( ^ m , n. P**i)

— iVn (ó)m, n, p o) Jn (°>m, n, rri))

( / n (^m. n. pr) $ n (wm, n, pr‘i)—

M n (© jn , n , pr) J n (<0m, n . Pr 1)]

rx 2rt I

l J n(tóm n. ^

] J n n. p O f ^

^ n i dr ^ dy ^ / ( r , qp, 2) f l m , p ( r ) eos n')

(3)

(4)

(5)

(•5)

(V

ra< r ^ r t,

mnz .

al f« n — } p {r)<tr

0t i , n =£ 0,

Cn_\ 2, n = 0,(8)

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\ rji dr J d<\ J / (r, cp, z) /?»,. n. p (r) sen sen -2 pL ¿z

_ »' 0 0->mr r*. P —


2a l

•í______ !J____Si---------------------------- t (9)

| C lPl para 0 « r < r 0,

1 c2p2 Par!1 r0< r < r ¡ .Las funciones f ím, n . pf (r) y / ím, p2 (' ) para diferentes p, y p , son orto

gonales con respecto al núcleo rp sobre el segmento O ^ r ^ r j .54. La solución del problema de contorno

i)u / d2u . 1 du \ n -- * = “ \ - 3 ? - + T - s r } > o < * < + » > («>

ar?C»p* ^ - = 2 n r , ^ - | ^ , V <f) = u|r„ r, ,

- F - U s = 0’ ° < ‘ <+~- (2)

« (r, 0) = / (r), r, < r < r „ (3)

donde X es la conductibilidad térmica del materia] del tubo; c* y p*. elcalor específico y la densidad de masa del liquido, resulta

■4*00«<r, 0 = 2 Ane~a2 (Xnr), (4)

r<= idonde

Z0 (Xnr) “ J q (?*nra) (Xnr2) / o (Xn^), (o)

Xn son las raíces de la ecuación trascedcnte

Zq (X,ní’1) = -^Xn-- 2} ^ ( X n í * i ) » (6)

*1^ rf (r) Z„ (J.„r> dr-- n8r *P* / (r,) Z, <A„r,)

= ------------------------------- -------------------------------*). (7)

j r[Z,(>.„r)F dr-- a*rfr*P* [Z0 (X^r,)]»2A.


<)u

ót

/ ¿¡2u , 1 du

l dr* r Or

■?c*p* -dU , d7~ = 1

du .1i r |r = r 2

0< << + 00, (2)

K (r, 0) = 1 (r), r, < r < r2, (3)

*) Véase (21) y (27) en el problema 57.

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se obtiene de la solución del problema anterior si suponer

Zo <M = IVÓ (V*) -f h J0 (Xhr2)J iV0 (V) -— (Áfcr2) 4- /¿Ao (^Arí)l ^e (^br)* (4)

56. Para determinar la velocidad v (r, t) de las partículas del líquido*) y la velocidad angular <a (í) del cilindro obtenemos el problema de contorno

l f = v {-0-+ T--|— 7 ^ } ’ r' < r < r‘’ (i)

»l r_ r i P|, _rj = 0, K ~ !- = M + 2m-;pv .

(2)0 < í < -f-oo,

u(r, 0) = 0, r , < r < r 4. (3)

Eliminando > 0 < t < + OC.

Buscamos la solución particular estacionaria de la ecuación (1)

V = V (r), (4)

que satisface las condiciones heterogéneas de frontera (2')*‘ ). Si después suponer

V (r, í) = u (r, £) + V (r), (5)

entonces para u (r, í) obtenemos el problema de contorno

du I d*u 1 du u "1 . ,i r = v {— + T ~ }• r* < r < r>- o < í < + « , (6)

A l í H = 2 ''Ir 'rjv I "^7 — T I ’ “ l-=M= 0 ’ '> < < < + o o , (?)OL |r=rt 1. or r J r = r i

» i r , 0) = - V (r ) , r, < r < r 2. (8)

Resolviendo el problema de contorno (C), (7), (8) y determinando mediante (5) o (r, t), de la condición de frontera i> lr= rl = ¿i<o (<) hallamos también o) (t).

E l problema de contorno (6), (7), (8) puede ser resuelto análogamente al problema anterior. Las soluciones particulares de la ecuación (6) que satisfacen las condiciones de frontera (7) ¡as buscamos en la forma

- v?.?t-'h (r . t) — ’ f>h(r). (9)

l’arn /?* (r) obtenemos la ecuación

d-R , 1 dH , I .„ 1 \ ,, ,, HAv-Zr+ V -ST + l**— pr)*-® . (10)

n h (r) = Z¡ (?.fcr), donde Z, {2) es la solución general de la ecuación de las funciones cilindricas de primer orden en que las constantes indefinidas son eligidas

•) v (r, t) — i’v Ir, t) (véase la solución del problema 7).V (r) es el lím ite a que tiende lo velocidad de las partículas del líquido

cuando t + 00.


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de modo que la condición de frontera Rk (r2) = 0 so cumpla para cualesquiera ).k:

(^hr) ~ (X^r2) / j (Xfrr) ■— J\ (X^r2) Afj (Á./(r). (11)

Exigiendo el cumplimiento de la primera de las condiciones de frontera (7),obtenemos la ecuación para determinar los valores propios


ripara k =£ n

-\ lK Z l O.>r,) = ¿nrfpv [ ÁfcZ,' (X»r, ) - J . <i2)

Mediante las relaciones (14) del problema 34 y la igualdad (12) hallamos las relaciones que expresan la ortogonalidad generalizada de las funciones prnpias Z, (Xftr),

T2f A'j r/j (Á r) Zi (Xn r) dr -I- 2*(r,pv ^ íXnrj) = 0 *)

donde

(13)

■JOu (r , 0 = 2 Ane " 'n <í,Zl (>.nr), (14)

«:= 1

f K\ r\'(r)Zx0.nr)dr + - r— V (r,) Zx (Ánr,)

i4n = — ' ro • (15)‘ Kír ¡Zi(/.n/-))8d<-T- 2nr,pv~ l2 i (x»riH5

57. Resolución. A] igual que en el problema 33 obtenemos:

<¡H „ f ó2// , 1 S// 1 , , cl ,~TT~ ~ i T i — -------------- r— > . r , < r < r s. 0 < í < + o o , a2 = -;----- , (1)At \. dr* r dr 1 • 4nn¡j

H (r, 0) — 0, r, < r < r„ (2)

H (r., í) = H „ 0 < t < +oo, (3)

donde H es la componente del campo magnético en el sentido del eje i que coincide con el eje del cilindro (las otras componentes del vector de la intensidad del campo magnético son iguales a cero).

Hallemos la condición de frontera para r = rt . Escribimos las ecuaciones de Maxwell

. ,, 4no _ . e dE ...rot f f — (4)

rot E = — — (5)c dt '

en las coordenadas cilindricas

1 d lf, dIh _ I 4no , e___d_\ .

r dtp 0z \ 0 c dt ) r*

dHr OHz I 4no . « 0 \ „ ,

~ñi---- — = 1- 7“ + T íT ) £»> (G)

*) Véanse (21) y (27) en el problema 57.

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1 d 1 d l l r _ ( i n n


Or r <r'(i

/ 4no . f 3 \ _= (— + 7-7t ) £- <6*>

1 <?j?2 d£.f>_______[j OH rr 0<¡> d i e dt 9 '

<)Er i)Ez _ ji

dz Or c <)l ’ ' '

1 o <rE«) 1 q e t _ » OH,

r dr r dy c ot ' ' '

Dado que despreciamos las corrientes del desplazamiento y debido a que H r == //,, = 0 (véase la solución del problema 33), entonces de <6') obtenemos:

«ur, /,rto , (8)cfr c

Integrando (5) sobre la sección transversal de la cavidad interior utilizando para eso Ja fórmula de Stofccs y usando la condición de que en todas partes de la cavidad I I es igual al valor de H sobre la superficie interior del tubo, obtene-

(»>

0 < t < + oo. (3')

*•>=»! c Ot Ir^-n’

De (8) y (9) obtenemos por fin la condición de frontera buscada

«£, I ^ 2,1 g, d i r t idt (rsssci Tj dr [rsssri *

es decir,

OH I _ M 2 dHOt lr=r,~ r, ' dr

l ’ara liberarse do la heterogeneidad en la condición de frontera (3), buscamosla solución del problema de contorno (I), (2), (3), (3’ ) en la forma

//|r, I ) = / / , T « (r . í|. (10>

l’ara u (r, t) obtenemos ol problema de contorno

^ - = a2 /-4-j—|—— 4 ^ } , r , c r < r ¡ , , 0 < < < + o o , (11)dt \ d r* 1 r or t

k (r, 0) = — //„, r, < r < r.¿, (12)

K (r„ 0 = 0 , 0 < / < +oo, (13)

Ou I 2(i du

dt | r = r , — r t Or(13')

Las soluciones particulares de )a ecuación (11) que satisfacen las condiciones d« frontera (13) las buscamos en la forma

L\(r, t) = t~a,k“ tf ík lr). (14)

Sustituyendo (14; eia (11), obtenemos

j 1 tMh , /-i

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Por consiguiente,

(r) = ¿o <V ). 0 5 >

donde Z0 (2) = AN0 (2) + B J 0 (2) es la solución general de la ecuación de las funciones cilindricas de orden nulo. Eligimos las constantes A y B de tal modo que la condición (13) para Z9 (X^r) se cumpla para cualquier valor do X*: por ejemplo, hacemos

20 (Kr) “ N<¡ frhri) J o — J1 (Áfci-j) .V, (\hr). (10).

Sustituyendo con (14) en (13')* hallamos

dlih (ñ


dr

(X^r 1) — — Xft Zq (Xhri) (15)*

Tal es la ecuación Je la cual se hallan los valores propios X|, X2, X«, . . . del problema de contorno. He la ecuación (15) y de la ecuacióu que se obtiene mediante la sustitución de k en (151 por n obtenemos, multiplicando respectivamente por Rn (r) y Rh (r), restando los resultados o integrando;

(XJ - X I , 5 m k (r) * „ (r) d r = { r [ * » ,,) » . tr) j } ~ ; .

r1(19)

En virtud de 1» condición de frontera (13) y (17) obtenemos

rt ¿(K — Á*) { j rlth (r) ltn dr- ¿ fíh (r.) /i„ (rt)} - 0, (20).

de donde para « ^ A- ha 1 Jamos:

rt\ rKh(r) Rn tr) dr-- —-j- /?/, (r,) (r,) = U. (21)

De tal manera, las funciones /?/, (r) y Rn (r) son ortogonales generalizad ámente (la relación (21) es la expresión «le la orlogonalidad generalizada).

La resolución del problema de contorno (11), (12), (13) buscamos en la forma de la suma de la serie

»(r. 0= ¿¡ (22)h>=>i

u ír, í) satisface la ecuación (11) (si la serie converge suficientemente bien)- y las condiciones de frontera (13), (13'). Exigereinos el cumplimiento de las condiciones iniciales, suponiendo primero para la comunidad que « (/*, 0) = / (r). Suponiendo en (22) t = 0, obtenemos

- f <X>

H n = 2 AhKh w. (23).

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j>ara r = rt-feo

/ (r ,)— 2 A/tfín (ri). (24)k=l

Multiplicamos (23; por rRn (r) o integramos con respeclo a r eniro r, y r2:

r t -4-co n

\ rí (r) R n Ir) dr = Ak rfíh (r) (?) dr. (25)

n /‘=1 r»fí

Multiplicamos (24) pur R n (O):

-foc

Rn (r,) * 2 Ah^ Rh ^ Rn 26)*«t

Sumando (25) y (26), obtenemos en virtud de (21)

r* i r*\ r f ( r )R n (r)dr-- JÍ- f{rt) R n {trí ) ^ A n { rR*n (r) dr — R*n (r,) j . (27)

*L ' rlPor consiguiente,

?J rf ID « „ (r) dr— ^JL / (r ,) « „ (r,)

* Ij r ñ lw d r— l l i l (r.)

(28)

atediante la igualdad (16) del problema 34, el wronskiano de las funciones cilín- •dricas y la condición de frontera ( i8) obtenemos:

5 rK(r,dr= T ? k ~ T ( 1+^ ) zS (W l)- (29)

Sustituyendo en el numerador de (28) / (r) <= — //, y utilizando el wronskiano de las funciones cilindricas, obtenemos para el numerador indicado el valor

M í í + í H ^ ^ - i á r } - í30'En virtud de (29) y (30) la igualdad (28) toma la forma

( T T + j r N ^ - i a j rAn - Ho ---- r«K. 'V "--- . <31>

n é — r { r + l + - w ) zi ^donde

Zo =* A (Xnr«) /« i)— (?-nr%) A<> (Xnrj)« (3¿)

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58. La solución del problema dv contorno

— - k (1 ñ

tr*-2H-\±1 d / () da \ 1 a2u\clpl Tt— \. r- dr \ Or 1 ' r‘ sen t) dé W /

ir- sen* 0 clif-2 / ’

0 < r < r«. (1)

c$ z\ d / r2 _2fí. ■ 1 d

sen 0du \

l -i.1 d2U \

— “ M r2 dr r dr r" sen 0 00 dü )¡

r- sen! 0 (Ííf.1 / ’

r<, < r < r , . ( !')

u (r0 — 0, 0. <P. t) = u (r„ + 0, 0, T. <). 0 ^ 0 Ej n,, 0 < T 2n (2)

M r ( r „- 0, 0, 'P. 0 =■ V 'r (r0 + 0, 0. <f, t), ( 0 < t < + ■», (2')

w(r,, 0, «■. t) = :(l, (2")

u (r, 6, <P. U) = /('■• 0, <pi (3)

osu ( r , O, <p, í) =

+ OC -f oo 2

= 2 2 ¡ « m n p ( r > ( c o i O ) f " !- " ' ,1' !* (/ I„ ,n p cos/> I< P + B m „ p se» m<r},n , p=-0 rn «0

donde los valores propios Xmn/, y las funciones propias Rmfíp (r) se hallan análogamente a como se hizo en los problemas 53 y 24.

§ 3. M étodo de representaciones integrales1. Utilización de la integral de Fourier

59. La 9o)ución del problema de contorno

u¡ = «! 4su, — oo < x, jr, 2 < +oo, O < t < -|-oo, (l)

u ||_o = / (jt, y , i\. — oo < i . y, z < + oo, (2)

i i * 0* . d2 ¡ ó* donde ‘■'í = -5pr+ -g^r + - ^r- t's;

+oo

“ <*’ »•s* °~TSV 5 F n i /(5’ i)e" 40" d'M (3)— oo

Si / no depende de z, entonces-+ or. _

u(i1 »■ í)=7i7 ¡7H r í l ,(l ' 11)0 w< dld"- <3<>Indicación. La imagen de Fourier de la función F (x, y, z) arbitraria*}

*) No nos detenemos sobre las limitaciones de F (a:, y, z), para las cuales

a ciencia cierta existe F (/., ja, v) y tiene lugar la fórmula de inversión (5), remitiendo, con respecto a este problema, a la literatura especializada.

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524 Respuestas, indícocíonos y resoluciones

d e fin id a para — ocxzx, y , s c - f - o o se in d ic a :

+ 9C

M>., i*. j J f ( s , ti, C)f"«+ ^|+ Ví i d ^ <¡;. (4)

El paso de P a F según la fórmula (4) se denomina transformación de Fourier

con respecto al núcleo El paso de la imagen F al original F serealiza según lu fórmula

•r«w

F{x' y- S)=75j5»/í 1 j j !'■ v) 1'lw+víl dk d|l dv. (5>

Multiplicando ambos miembros de las igualdades (1) y (2) por (.‘Í>"+>"1+Vk) e imegranoo con respecto a E. i), £ entre — oo y + oo, obtenemos la ecuación diferencial ordinaria y la condición inicial para la imagen de Fourier ü de lasolución u del problema de contorno (1), (2). Hallando ñ y utilizando la transformación inversa de Fourier, obtenemos u.

En el caso cuando/no depende de s el problema de contorno (1), (2) se convierte en el problema de contorno

u¡ = a*&tu, — oo < x , y < -j-oo, O < t < +<*>, (1*)

u | , _0 *= / (¡r, y), — oo < x, y < + oo, (2')donde

A ______* L 4 . J Lz~ dx1 r O y- ‘

Para resolver el problema de contorno (!'), (2') se debo utilizar la transformación de Fourier para la función de dos variables

P (>•• lO ■

-roo

"é r i í F(l' <r >

Con esto la fórmula ele inversión es de hi forma

-fooF (.1-, !/) = - i - j j /•■ (X, , , ) t -H).3c+Wld)i£Í)i. (5')

— oc

00. La solución vlel problema de contorno

U( = (J \ y, z, i), — o o C x , y, 2 c - f - c o t 0<:. * < r-rc o , (1)

» l f—o = 0, — oo < ,r, y, z <-f-oo (2)

es:

«(*, y» 2, i) =t —00 (y- $)«•» +

= (í t N p í í 5 5 e *(5’ n- í T ) < w ; - t3>' r o -»

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V . Ecuaciones de Upo parabólico 525

SI g (x, y, z, 0 no dependo do t, os decir, * = « (* . lh z)r entonces la expresión (3) para la solución se puede llevar a la forma

<>= - 5 5 P J í 5 íü i r L i l { 1- ° ( ¿ T i ) } M w— 00

a

donde <!>(«)— •——sr- \ e“ to2dui y r =y * J

= ~r {y — m)* + (2—£r* Si 6{x* S* sr 0 00 dependo de z, entonces

^ 1)» Hy- in2‘ 00 t e

U (X , !/ , t ) = - J - 5 - j J J * (5 . n . t> 7 Z T 7 * J d g d , , .

— oc 0

Indicación, l'ara fr = g{r% y, z) la expresión (3) se transforma en (4) mediante la sustitución

2(1 \f t — T

4-30 +cc +-»

61. u {*, !/, 2, /) = ---- * _ f de f dil f X(2«v JtO J J •— •» -oc O

x/(S-n. O l* *“*' Jrf^. H)Si / (*, y, z) no depende de y, entonces

S 5 4 *, ,1 1 f J , f „ r ' Ha*1 Ha*íU (X, Z, <) =

(2o y ni)"

X /(£,?>*{. (2)Indicación. U tilizar lu transformación rio Fourier con respecto al núcleo

--- !--- ¿i P-s-runl vr21' V '2 *

en el semiespacio — <x-< £, J] < - f oo. O < £ < + 00. Sí / no depende de y, entonces se debe utilizar la transformación de Fourier con respecto «1 núcleo

— ctAgsen xí n

para — oc < |<-f-00, O< £< - {- oo.

Indicación. Véase también la solución del problema 59 del cap. I I I .

62. u (je , y y z, t) =

* , + °° ( y - £>*+(?/-n )2+z*— f ---- f --- d X — f f ,, 4/2= (t-T ) X

(2av^ñ)5 i (t-T)5/2 J J

X/(| . t), T) d;<ii|. (1)

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Si / (¿, yy I) no depondo de y, entonces

t -f-OO <x-s)a**2

u <*■ * • - T S T - 5 T P = V - 5 e‘ ~ ' (- T) * (2)0 — po

Indicación. Utilizar la transformación de Fourier propuesta en la indicación a! problema anterior.

-f-OO -f-30 -f-OO

63‘ J di J dn J x' f ' -w -oo 0

r (3c-S)*+(y-n)3-HtTÜ* i

x/ft, 1), £)l «" ia‘‘ + <’" 4,lí' M-

Indicación. Utilizar la transformación de Fourier con respecto al núcleo

--- ei tví+MDl cos vj(2 n)J l-

en el semiespacio— oo < ^ <-Koo, 0 <£<■+-ce.

64. k (x, y ,z y t) =

í +r <y-e)«-f(y-n)*-t-t»= , \ ■ -37T V \ o I*r<7rí> /(I. 1. X) d'dn.

(2 a i/n )» J l( — t )3 /“ J J• 0 -90

/«tftcíicííírc. U tilizar la transformación propuesta en la indicación al problema anterior.

+00 +00 -4-00i

65.s- “<*’ i,’ 2-‘ )= ^ 7 w 5 í dn 5 x-00 —00

x | f " + «" *oS'

+ » . . . <x-£)*- (!/-n>*+(í+-t+ra)2— /l íl)---------------

[- 2/» J ^ du> ] y (6, tj, o d i.

OSi j no depende do »/, entonces

+ po < (x -S )a-+- (z -f£ )-

T-» (x-6)»+(z+t-K»>)2- 2 h ^ d io J d l d ? .

o

Indicación. Utilizar la transformación de Fourier con respecto al núcleo

1 ffM+mn vcosvC + *genvC01/2-.3/2 V2 k'¿

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sobre el somiospiicio— c o < £ , ^ < + ;». 0 < í < T - j - x>. Si / no depende de y» entonces se debe utilizar !<■ transformación de Fourier con respecto ni núcleo

1 JíX veos v j+ ftsen vt ji v*+A*

para — oo < | 0 < J < + x .

Víase también la solución del problema 05 del cap. II I .

V. Ecuaciones de Upo parabólico 627“

. ,, h f diu (x, .v, t, < )= — — ;=— \ -----------r— X

(2a | .1)3 J ( í t )

+r“ +P° r '>-;)-+iy-n)--i-(x-rC)i] di ] <¡n j (2-ft)/(s, k </£.

— PO -00 (I

Si / no depende de entonces

i -*-«• T »

!• (jr. *, O = j 77T)r J J xÜ — oo O

- zit_i£rl£±iíííj?X(S + 0 / ( 6 , T) « t l í-

Indicación. Utilizar la Iraní formación de Fourier propuesta en e) problema anterior.

67‘ “ (*’ *’ 0 = T i ^ j ¡ 7 = 7 ^ I dS ] í ' (l' ”• T) xC 'x -i)* -K v -n )* + < t-tp <x-j>¿+ »> -n)-+(z+iy‘ i[ e- J djd n .x U

68. u (x, y, 2, () =

-feo l-i

j d!) I' / (í, >). i ) G¡ (x, y, 2, I , T|, i) di, ¡ = 1, 2. 3,

en e! caso a) bajo la integral está fi,; en el caso b), G¡-, en el caso c), G3, donde

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3>28 Respuesías, indicaciones y resoluciones

«/, 2, r). £, <) =<r-£)2 +» _/ kt n* ,

' 2 «h , n = 0

„ Artr AjiE nny «nn X COS —■ CCS —r-2. eos ——£• eos ——í.

2 para n = 0,, k = {-T "*'» k= ° ’ Bn= | 4

*- 1 para *=*0 , ^ í paru «=£0 ,

<í|) (■>•. ». s. 5. >|. ?. 0 =

2f 4¿ i ( " + “ í -“1 (*i+J»n><

= a yñt S !(>■* + *'> fi + üfc))) 2/«| XIi, n= 1

X (>.fc cos + « son ?./,*) (Xj, eos h sen X j¡|) X

X (Un COS Uní/ ~ h sen Un») (Un cos Pn'l + h sen =

+00Ot ‘‘•‘■t I T

= ——7=— 2 X fll ní A, n=l

(Xi+fc^íiiñ+^i + >1«) 1x l(íj¡ + ft*) íl+ 2&] |(|iñ + />2) í2 + 2/¡| x

X sen (?v*.r-f <f/4) sen (Kft£-t-qte) sen (|in|f + n ) sen (n„ n + Hrn)«

«londe ?.* y Pn son respectivamente lus raíces positivas do las ecuaciones

« • » - * & ■ r

>('* — arctg ~ ~ , = a rctg ü-2-.‘1 «2

it, e l c o e f ic ie n te d e l in t e r c a m b io de c a lo r .

Indicación. U t i l iz a n d o la t r a n s f o r m a c ió n de F o u r ie r c o n re spe c to a z

-foo

ü ( z , J , V , t ) = _ L _ ^ it(x, y, £, i) riv tdt, (l)

-0 0

+ «•

7 (*, V, v) = — 1 (x, y, p eiv* rfr. (2)y in J

llegamos a la ecuación

du31

„ ( d*u . <5au , , - 1==al { iS + W - V * } (3)

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“ li= o = / ( ;r- ¡)> v)- W

1 v ( i , y, v, t)


óv , r (92« . <5'i> 1( — + á F l <3'>

y la condición inicial

La sustitución

lleva a la ecuación

y la condición inicial

v lf= i = / (*. V, v). (4*)

Las condiciones de frontera para v serán las mismas que para u. Hallamos-» mediante el método de separación de variables y después, sustituyendo su expresión en (5), utilizamos a ü la transformación inversa de Fourier, con esto despuésde realizar la integración respecto a v se obtiene las expresiones dadas en larespuesta.

■foo ¡2 ¡ i

69. u (x, y, z, <)“= j dt, ^ / (£, TI, £) X

0 IJ o

X G i (x, ifi í i t), i) di;, í — i , 2.

V a las condiciones de frontera a) corresponde la función G¡ que so obtiene de la iunción G, do la respuesta al problema anterior mediante la sustitución del

d-B» r U-t>»factor e i "2‘ por el factor I c ia ' 1 — e 4aa| J , Análogamente en el

caso b) G. se obtiene de mediante la sustitución

r Cz-h» <*+t)2 -i por [e~ iatt + • " 4a:!' J .

Indicación. En el caso a) se debe utilizar la transformación seno de Fourier con respecto a * y en el caso b), la transformación coseno con respecto a z. Después el problema se resuelve análogamente al anterior.

70. u (r, q>, z, <) —

•foo ro 2ic

= ^ d£ J r ' dr’ J f(r\ tp\ £) Gj (r, 9, z, r ‘ , <f', 5, f)d<P'. 1 = 1. 2, 3.

-00 o oEn el caso a) i = i ,

t 4aJí -c-T<?i (r, q>, z, r\ <p\ £, t) = —— — 2 *

ar\nV nt f-* A• 1 71, * = 0

J

X

„ - ( S & ) / . ( ^ )-2---- cos n (qp— ip'),

t» Un (4n’)l*_ / 2 para n = 0,

®n — t i para n ^ O ,

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son las raíces positivas de la ecuación Jn 0 0 0 ,

En el caso b) i — 2,

_i£rí>i j-oo e v-,

G. (r, <p, s, r ' , q>', £, í) = ■ ¿ j Xar°nV **K„=0

" V r„ I Jn \ r„ / , ,, f2 para » = 0 ,----^Tñ— -««»■ * 19-*). en={1««■Ti O Í0) I* — ¿ p - j

^ n) son las rafees de la ecuación J'n (n) = 0, ¡^tl> Sí h{,'" > 0 para rí 0. En ol caso c) <=-3.

G3 (r, qp, i , r ', <p'. ? , < )-

, — V üT J * ( ~ ^ r ) " ( “ r„ “ )2 — r » -------- 1«— (»—


arjn ]/ju — e„JJ (|<Í'°) T — ü l l‘ /{, « n 'f h '| pj J

/■ 2 para » = 0,

“ \ 1 pnm n -±= 0,

p£n> son las raíces positivas de la ec unción / 'r o 1 . ^

0¿w?n>arión. En el caso )>) a la raí/. |i¿0' —0 Jo correspondo una función propia idénticamente Igual n una constante.

Indicación. Rl problema su resuolve análogamente al problema 08.

71. M- (/, <p, zT í)~

+oo r0 2n

= j d£ ^ r' dr ^ Ur', cj.\ {;) 6'¡ (r. <j, :, r\ <F'. f . <) d ^ ', 1 = 1, A

0 u o

on el caso a) $-=1, G{ « j obligue de Gx del problema anterior mediante la

r<-C»a | (r-P* U+t?» 1.sustitución dc\ factor e 4nlí por el factor I e 4n"< — ¿ *4Q¿f J

on el caso l>) l - C.¿ so obtiene do G.¿ del prhlema anterior mediante ia susti- (r-g)* r l •’-£)* Ü+ i> l |

tución del factor c por el factor | c 4,líí -f ** 4rt_f J*

72. u (r, <p, 2, /) =

-f-oo rn <Po

= ^ d i ^ r ‘ dr' ^ / (r ', <f', t)G il(r , <p, s, r', <p'. £, 1) wp’, ¡ = 1, 2;

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en el coso a) í = I,

o, ir, <p, i , r\ q>\ {, í) =

,,-D. +m ^ (J^ ÍL ) i jú l L . )-~isa~ ^ — ' r° 1 « 7 ' r« '_ €______ V t <Po____________


<rr> ’

jj<") Sun las micos positivas de la ecuación J M (n)=0;

<T0en el caso b) f —2,

<3, (r, <p, 2, r', tp', £, t) =

njtqi niui>cos-- — eos — — ,

T'o <To ’

a* » V * K .to

' <ío

{1 pn rn » 0,o2 para n = 0,

|ijn)> 0 para n =£ 0, son las raíces do la ecuación

•'V, W -".

A h raÍ7, p¿gl corresponde la función propia idénticamente igual aúna cons- taute.

73. u (r, <p. 2> /) ^

+ 00 r,i «ro

= ^ dt. j r' dr' /(r\ q>\ $, f)S í(r,<p, z, r' 9 ', £, í) rfip', í = i, 2;

0 0 o

en el caso a) ¿ = 1, Gx ee obtiene de C2 del problema anterior mediante lasustitución del factor

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en el caso b) ! = 2, G¡ se obtiene de G2 del problema aDterior mediante la

U-»° r (z-t)» U+O» |sustitución del factor e por el factor L« 4aJ| +« *ollí J.

+«> <Po74. u (r , <pf t) = j pdp J f (p, <p') (rT <p, p, <p', t) dy', i = 1, 2;

o i>en el caso a) i = 1,G, <r, <p, p, <p', t) =

=■=■ 2 { í (M ^«a (>.r) X d x js e n - ^- s e n - ^ ;<Po X Jo -5? W J %

en el caso b) i — 2,

Gt (r, <f, p. <p', 0 =-foo +<Xf

= - | ~ 2 e" { i ( M J » n ( X r ) X d x j c o s - ^ - c o s - ^ . ,

™ „=(i o 'Oo ®"

l 1 para * = 0.

Si se utiliza la oonocida relación para las funciones de Beasel

+co gZ-fya

j í “ ftlx*/v(ax)/v(ir)‘' ^ = -^r e" W Jv ( ^ r r ) ,

o

Re(v)> —1, |Argf»|<-|J-,

obtenemos:

+°° p-t-ra

^ e a ?I * J WTC (?wp) J nJT (X-r) \ d\ =* ~2¡aH 6 4°** * n7X ( 2a*t )0 <Po l>o «J>o

Por eso y G2 se puede representar en la íorma r*+oa' , „

— 1 1 A.- +°°

0 , ( r .9 .P . » '« ) - i ^ S r -2 ( w ) 3en^ Sea/ ^ ’M = i <Po

_i!±£í. +„

[ -i- para n rt 0,

C, (r, <p, p, 9'. «= e - 2 enfjm eos J £ £ co ¿ g - ,

"I 9«

para » = 0,

—(T

n«0 V»1_2

para n =£ 0.

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Indicación. Las soluciones particulares de la ecuación

d u __ 4 ( d*u . í du , 1 duu 1dt \ dr- ' r dr r r’ 3qiJ /

las buscamos en la forma V (r, <p, t) — W(r, í) <D (g>), exigiendo que en los casos a) y b) se cumplan las respectivas condiciones de frontera.

En el caso a) esto conduce a las soluciones particulares u„ (r, t)X

X sen n7zy ■, n — i , 2, 3, . . . y en el caso b), a las soluciones particulares <Po

u„ (r. t) cos n^ , n = 0, 1, 2, 3..........En ambos casos u„ (r, l) es la solución*0

de la ecuación

La solución del problema inicial de contorno la buscamos en forma de suma de estas soluciones particulares:

en el caso a)+ oo

u (r. <p, í) = 2 “ » scn :to

«cal

en el caso b)-+-oo

« (r, <P. 0 = 2 “» (r' *> C03 ' <3>n=0

Desarrollando /(r , cp) — u l í==0 en serie coa respecto a sen en el primer

caso y con respecto a cos JÜI5L en el segundo, hallamos las condiciones. . . ,

iniciales para un (r, t): •en el caso a)

<Po2 f /ijup'

wn(r, 0) = / n (r) = — j / (r , q>') sen —— d<p'; (4)

o 0en el caso b)

(r, 0) = /„(r) = -5_ i / (r. <p') c o s d q > ' , i» 0, % J To

“o (r. 0) = /0<r) = - j / (r , q>')á(p'.

0

(4')

La solución de la ecuación (1) con la condición inicial (4) ó (4') acotada cuando r-»-0, la buscamos en la forma

5 J Vn<p’“ n (r, 0 “ \ ) Un <p, o 1 rm 0-P) J nn W >■ P «¿P.

«Po To |

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utilizando la integral do Fourier — Bossol — Hankel *>

+00 +00

F ( r ) = | j P (P ) A , (>-P) Jy (.Xr) X dX(i d P , V > — — .

75. La solución del problema do contorno

du __ « í d2u 1 du . 1 d*u 1~dl~ “ \~drr ~ T 'd F 'i "P !"3^ ' / ’

0 <<p<<p„, 0 < r < + « , 0 < í < + ° o , (1)

u (r , 0, t) = 0, 3lí = 0 , 0 < r < + » , 0 < í < + oo, (2)

“ (r, 0) = / (r, cp), 0<<P<<P<,, 0 < r < + o o (3)

es:

<¡>o +“>

U(r, <p. 0 = j d f ‘ \ /(p , q>')C(p. r, <p\ <p, í ) p rfp. (4 )

0 (1donde

4-CO 03

G(P, r, <p', cp, í) = — 2 { j e~a‘>' ‘ J (2n+l)jt (U>)J (2n+l)n (Xr) X«—0 O 2<Pt 2<pa

(2n-M)nip' (2n + l)mp

X£6n 2% ■ 2cp0 *

76. u (r, 9 , 2, t) =+“ r, t(,

= j d í J r’ dr’ J / ( r ' . n-', Q G¡ (r, (p, i , r ', rp', £, t)d(f’, ¡ = 1, 2;

-DO O U

en el caso a) ¿ = 1 ,

U-D*- wtGt = \ -G,.

2a j/ nf

donde G. es hallada en ol problema 74; en el caso b) l — 2,

(z-t)2 ~ - 4<z»íG ^ l — — .G1I

2a y jxí

donde G, es hallada en el problema 74.Indteación. Si utilizar la transformación de Fourier con respecto a 2, enton

ces el problema se reduce al problema 74.

») Víase [42], págs. 459-500.

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- ^ = 0 * B ^ + T - ! 7 } ’ r# < r < + « , + (D

«(<•>, t)“ t/o=const, 0 < í < + » , (2)

u (r, 0) = 0, r « < r < + o c (3)

os:

, « 2ü„ T n — k (f. X) d x . . .{r' )= ‘ rt J /g (W-) + .'V'ilr,l) X ' °

r #

d o n d e

* X ) - / „ (r0X) íV0 (r/t) - jV (r0X) J 0 (r\). (5)

Indicación. U t i l iz a r la t r a n s fo rm a c ió n in te g r a l de W e b e r c o a respecto a l

n ú c le o rK (r, X) sobre e l io te r v a lo rc ^ r < -f- 00» u t i l i z a n d o p re c is a m e n te p r i

m ero esta t r a n s fo rm a c ió n en la e cu a c ió n (\), o b te n e r la e cua c ió n p a ra la im a g e n

d e W e b e r d e la f u n c ió n in c ó g n it a


77. La solución riel problema «lo contorn-i

-J-OO

u ( X , t ) — \ u { r , / ) r J f ( r , \) dry (0)

r„

luego, una vez hallado u (X, t), utilizar la fórmula de inversión de YVeher

-foo

(?)

2. Construcción y utilización de las funciones de influencia de los manantiales puntiformes instantáneos de calor

78 . Indicación. L a v a l id e z de la a f irm a c ió n se v e r ií ic a m e d ia n te la s u s t itu

c ió n d ire c ta de la f u n c ió n u (x , y , 2, í ) = ux (x , t) u 2 (y , í) uz (2, í) en la

e c u a c ió n ( 1) y en la c o n d ic ió n in ic ia l (2) .

(x-ZYi+Qj-f\)*+(z-W79. C(*. #, . ) = . - 7 - . 3 <■ 4»*‘

(2a /n t)

Indicación . S i en e l p ro b le m a 78 se hace / s (* ) = 6 (x) , /2 (y) = Ó (¿/),

/ i (*) = Á (*)» e n tonce s d ire c ta m e n te se o b t ie n e que la fu n c ió n de in f lu e n c ia de l

m a n a n t ia l p u n t i fo r m e in s ta n tá n e o de c a lo r p a ra e l e spac io — 00 < x, y, 1 <

< 4 - 00 es e l p r o d u c to de la s fu n c io n e s de in f lu e n c ia de los m a n a n t ia le s p u n t i

fo rm es in s ta n tá n e o s de c a lo r p a ra la s rec tas — 00 < x < - fo o , — 00 < y < H-oot

— 00 ■< 2 <C 4-c°.

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80. u(x, y, i , t) =

(2.7s?-IÍI'" /*%««*«*+ (2a i/w)’ í S H *(2a / n i ) 0

x ~ *««</-») (5) T)> r, x) (i)

Indicación. La fórmula (1) se puede obtener de una forma completamente elemental, pero no estricta, utilizando el sentido físico de la función de influencia obtenida en la solución del problema 79 y considerando la temperatura buscada u (x, y, i , f) como la suma de las accioues de los manantiales elementales instantáneos, distribuidos en el momento inicial de tiempo con la densidad / (x, y, i), y los manantiales de actuación continua, distribuidos cou densidad P (*, y, i, í).

La fórmula (1) puede ser obtenida también mediante la fórmula de Green análogamente a como se hizo en la solución del problema 68 del cap. I I I .

81. a) Gl {x, y, t, 5, n. b. <> =

r (g-£)»-Hy-ti)3+(»-E)3 (g-W-O-nVMU-K)1 I.■ 4¡x2! -4 o 2 <

7~rr L« ' J(2al/nt)

b) 02(x, y, l, l , TJ. S, í ) =

r (*- S)--H;; - n)a +(«-?)» t x - S)a+ü/ - n)- +(»+1);1 -le” ,,n2í ialt+ c

(2a Y J»)3c) Gj(x, y, z, S, »], 5, <) =

__________ 1 r .~ 4n2¡ , ~ 4o21 _

(2a V^íü)3 I+oo ii-;>a+(i/-'l)¿+(z+t+o>i-

— 2 h \ * - " « « " * > j .

n

82. n) u (ar, y, *, <) =

4*oo 4-<» 4"00

= J d| flíri J /(?> 1I> (*■ y- 2- S- Tl> V <)<*£+— oo — oo O

i 4-00

-faa jdT JJ» (6, n. z. £• n, o. »—t)d5*iH-U — oo

i 4-® 4-9®

-f j ár d í j [ P {l, H. t. r)G , (x, y, z, >}, £, í —

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V . Ecuaciones de tipo parabólico 5 3 ?

b) u (x, y, x, t) =

-foo + Oi

d i j J /(£. >1, !/, 2, S, n. 5. odU n-0 — oo

í -foo

— fl* j d t ^ J <t>(5. rj, t )C 2 (x, y, z, g, 0, í — -i)d|di) +

ó - OO

t +00 + 00

+ ^ d i j di j ^ F (6 , 1), l , 1 )G t (x, y, 2 , 5 , I), t, < — T)í/j(/ri,

o oc) u(*. y, «, 0 =

+ 00 4 -oü

^ d t J ( / ( I» TI» ? ) í s ( * . | . ! . I i), t . t)d|dri +

0 -OO1 +00

-\-ha2 ^ dt j <n (S, t|, x)Ca (r, y. i . g, t|, O, i — T)dgdn +

O — 00

t -*-00 +00

+ ^ dT j d i J F (6, *!• £• t) G, (x, y, z, rj, t, t — T> d;di

83. Indicación. Utilizar e) método propuesto 011 la indicación al problema 79.

84. a) G (¡c, y, 2, g, i), g, t) —

(x-6)2-f{y-íi)2 ----43»!-- I (»-t+2»l)3 U+t+8nl)S\

(2a Y nt)s ( .

j i = 00

kaM 2+ " nínSa*

(2a /n<)2 1 n—I

2 “ * wnz njite &en~~i— 90,1 —Y 9

l>) G(x, y, 2, 6, rj, 5, í) =

ti-S)2+(l/-ri)2 .------4ñ*i---- + I («-C+»»»»» _ U + l+ 2nO*\¡5|-- I

2 ( . v:-';(2o / í r t)8 n__.

+„e ¿ f 1 , ---¡r~* un í lint ^

1 (ST/SJ*- ' T V a + eos —¡— c.os —¡~ | ,' 1 TI—O

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C) 6’ (x , y. x, £, t ], í ) =

cv-Si-Kfl-'n)»---- 4 7-- ^ / (>-E+2*ir.« «g4;-2nl;2 \

‘ (2rt /Hf)* ¿ u * ;n=-oo( 3 f - 6 ) g f (y-7|>«

« 4“*1 2 sn - ^ T ^ I C.'1 + (|S« (2i»+l)*C" (211d) (?<*, y, X, *, t), 5. <)=»

(X - 6 )¿ - K .7 - •>!)>•

(2« 1/Í7)¿ " ^ <>„¡+ **)/ +2*

Xp*n eos -J-fc son Xnx) (X» cos sen A-n£)t

31»- A 5l n son las raíces positivas do la ecuación nlg/X — —s=-r-

85. a) 6'i (a;, y, z, x\ y\ s 't í) =

iz-t'y*4 «s j + 0° / ( x - x #-l-2wfi)¿ (x-Hx, - f2 n < i) i \

_ 2 U " *«** *«** )x(2a |/"ji/)’

I + íy+lt' + Zhl,)! \

X U" 4,,a' — í~ ,,a-' J,b ) 6' j (ar, <j , s, i ' , ¡ / , () =

iz-z'fiviTi. + / ( .v -i'-zn ii)! f*-t

- s kMt +e~ /:(2a \r 7it) n, «=-ooI (y-y*+2Mg)» ( y - f N

4«*« 4-<f jX W ™ 1 -fe

Indicación. U tilizar la afirmación formulada i;n el problema *9.

KO. a) G, = -

. +TO I (x-x'+¿kl,)= \

S í i r S ' • 0 5 4011 J x(2a \f ni)v * 7 h, m, n«-

/ <y-y'+2mtg)2 (u-ry’+7.mi2yz xX U " 4<,ií -e~ 4* “ j x

/ (g-z'-i-2n¿3)a (z-fz*+2n¿3)a \

xU~ *«*< - e" *<* j,

b) se obtiene de (7lt si en todas partes entre las paréntesis delante de e :so coloca el signo más.

Indicación. Véase la indicación al problema anterior.

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67. a) G (r, cp, z, r\ 9 ', z\ t) =

~ t! :' t r ' 171-1 2"'r .oS

(2a I^JTí)* 2 ( e4a2|

) .

b ) G ( r , <p, 2 , r ' , <p', 0 =

- f 2rr'coí(<p-<p'-^-^)

S ( í------ ^ ----- +(2o / H ¡ ) $

2rr' C03 {cp-Hp'+2f<—

+ eU

Indicación. Sea que el manantial instantáneo está en el punto P0 con coordenadas (r\ cp', s') (fíg. 48). Construimos consecutivamente: la reflexión simétrica Px «el punto Po con respecto al plano 7, después la reflexión simétrica P$ del punto Py con respecto al plano / / , luego la reflexión simétrica P3 del punto

Po con respecto al plano /, etc., colocando en el caso a) en los puntos con los números pares los manantiales instantáneos de potencia unitaria positiva y en los puntos con los números impares, los de potencia negativa; en el caso b) en todos estos puntos se colocan los manantiales instantáneos de potencia unitaria positiva. Tenemos:

¿ AOP¡ = - < p ', ¿ AOPÍ = q / + 2 - £ - , ¿ A O P ; = - ( < p'H-2 - ÍL ) ,

¿ A O P ¡ = < p '- M - £- , ¿ A O P ; = - ( < p ' + 4 - !Um \ m /

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6 4 0 Respucsids, indicaciones y resoluciones

¿ A O P t + e •••.

Los puntos Pirn-i y Po 5011 simétricos con respecto al plano IJ\ en efecto,.

¿A O Pzm_x — 2 — cp'j = <p' — 2jt. Es fácil observar que con el arreglo

indicado de los manantiales, en los casos a) y b) las condiciones de frontera sobre los planos I y / / serán cumplidas.

Observación. El método de reflexionesiya es inaplicable para una cuña con el

ángulo de abertura — , donde n y m son números naturales primos*). En el

caso de una cuña con un ángulo de abertura arbitrario cp0 las expresiones de las funciones de influencia para las condiciones de frontera a) y b) fueron obtenidas en la solución del problema 76 de este parágrafo (véase también el problema 74).

Si cp0 ~ — t donde m es un número natural, entonces la expresión (obtenida me-nx

Hiante el método de reflexión) de la función de influencia puede ser transformada en la expresión en la solución del problema**).

88. Colocando el origen del sistema esférico de coordenadas en el centro de la esfera, obtenemos

u = - 2 -C (r. r\ i). WC [)

dondo(r — r*)2 (r+r')a i

, — í /¡a'“ J (2>

se denomina función de influencia del manantial esférico de calor. Indicación. Resolvemos la ecuación

» < ' < + « • 0 < « + c o , (3)

con las condiciones iniciales

!0 para 0 < r < r \

e p i ^ d r - Para ’-‘ < r < r' + dr'< (4>

0 para r'-f-dr' < r oo,

después, en la solución obtenida pasamos al lím ite cuando dr' 0. La soluciónde la ecuación (3) con la condición inicial (4) mediante la sustitución v (r7 t) == ru (r, t) se reduce al caso unidimensional y v (0, 0 = 0, dado que u (0, tes una magnitud acotada.

feo p (r-5)2 Ar-hS)* -i

89. K(r, - / 4a2í J]d| +2ar y nt J

j {■/«. t)L .; 4q2(<-t) id .o

*) Para més detalles véase 141), pág. 185.*•) Véase [411, pág. 184.

i í' d i

ü n / n J Y t — t ’ i» r

i (r , r ’ , !) = • = - L8narr' \Z"nt

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a — -^—.C (r, r', t), (1)cp

donde+oo

f i ( r , r 0 = - ^ ^ í - “ a,-S , / 0 (> .r )y 0 ( ) . r ' ) X

0r¡i+ r '«

V. Ecuaciones de Upo parabólico 541

90.

(2>se llama la función de influencia del manantial cilindrico de calor.

Indicación. Resolvemos la ecuación

du

dt

con la condición inicial

0 para 0 < r < r \

» ( r ,° )- < ¡ í „ p Qdf-cp- P « » r '< r< r '- |- d r\ (4)

0 para r* -+- dr' < r < -J- oo

y después, en la solución obtenida pasamos al límite cuando dr' -*■ 0. Para r = 0 u(r, í) debe ser acotada. La solución de la ecuación (3) que satisface la condición inicial (4) y que sea acotada para r = 0, la buscamos en la forma

+ oo -f-oo

u (r , í ) = | ^ U <p, í) /„ (>.p) /„ {kr) k d). (, dp. (5)

0 oVéase también la indicación al problema 74.

91. Mr. S ( - w ) * +o

i „~4a»<i-T) +í° ---lí__ , - >■*"J 2a3 (t—T) dt J 5/(1. T)e 4<,i« *>/0 ( 2a2(,_ t) ) <*:•

0 o92. La función de influencia para la ecuación

-4 - = D Au — o grad u di B

G (*, y, z, x\ y' , z 't í) = :(2 / 5 i )

X < 4Ü I ’ ( i )

donde in, t>„ u3 son las componentes de] vector o en el sentido de los ejes x, y, z y x\ y , z , las coordenadas del punto en que estaba el manantial en el momento t = 0.

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Indicación. En el sifiloma de coordenadas que se mueve junio con el medio

la ecuación de la difusión toma la forma ^ at ¿>Au. Escribiendo la expresión

do la función de influencia en el sistema móvil de coordenadas y regresando al sistema inmóvil, obtenemos (1).

93. Para el manantial con las coordenadas (0. y\ z') tenemos

iy-y')2+(z-X'Y¿

a x¡G {z, y, J, i / , z ) = 4 5 ^ 7 «

94. ») (i (x, y. *.

(y-*/')*+</ - z*)« z'

r 4.2..V ixLe ” +« " J .

A l)n?

c) 6 (x. !/. j j ^ X

» <.?/ — ~ r * )M Q / - . |y, ) 2- K s T Z , ) g

4—« 4— Xx U * + * ’

+ 0»

U<' ’ *’ ‘ >=='(2 V ^ W 1 (t-i)*/* x(2 . - ¡,

Xe 4£H(-t)

Indicación. Buscamos la solución de la ecuación

du . í <fiu . d2u . d'u \ .Ot l dx2 ¿»i/2

+ / (< )* (*- (1)

con la condición inicial

“ lí=0 = 0’ <2>

es el símbolo de la función delta impulsiva.

Un

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dondei

— s _ r <.-5* ,¿í;. (2).y n J

o

Indicación. Si se utilizo la función de influencia del manantial esférico- instantáneo hallada en la solución del problema 88, teniendo en cuenta la semejanza do los problemas térmico y de difusión, entonces la solución de la ecuación

du n / (Pu . 2 Ou \ . ,— = D \ 1?r+ 7 — / ’ «< + o o , <3)

que satisface la condición inicial

u{r, 0) — /(r), 0 < r < - f £X>> (4>

puede ser representada en la forma

V. Ecuaciones de tipo parabólico 643^

■foo

u (r, t ) = ^ / (r ')G (r, r', t) 4nr'* dr\ <?»>

donde

C(r. r\t) = --- -JLST-1 e~ ÍD ' - e 4" ‘ J . (I¡>8 nrr y nD t

El problema se puede resolver también reduciéndolo a una barra semiacotada mediante la sustitución i>(r, t) = ru, (rt /).

í>7. a) w(*. ¡/y z, r) = Z ( Y xz-\-ij*-\-{z — *o)' *) + « ( V **+{/*•i (z—s j- , <),

b) U (x, y, X, t) = U ( Y X2 4* y® + (* — 2o)2- <)— » (V ** + I ♦ *)*

donde u (rt 0 es la solución del problema anterior.

98. K(r, 0=-5^ - J « ' _ í5 r / . ( ^ T) r ' ¿r'. (1>o

Indicación. Si utilizar la función de influencia del manantial cilindrico instantáneo obtenida en la solución del problema 00, teniendo en cuenta la semejanza do los problemas térmico y de difusión, entonces la solución de la ecuación

l f = D <><-•<+*>• 0

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©44 Respuestas, indicaciones y resoluciones

donde

14 nDt

rg-f-r'2

( w ) - <5)

!)!). a) u (x, y, t) — u ( Y (x — x ^ + y * , t) + ií ( Y (z-Mol’ -t-y* . *).

I>) u (x, y, t) — u (Y (x — x»)‘ + !/3i t ) ~ “(v/’(* + io)4 + .Vs. <).

■donde u(r, t) es la solución del problema anterior.)0Ü. La solución del problema de contorno (fig. 49)

d i! . ( d*H , d'H 1 , kh ,' ^ 7- = aM _ rs-H— r-5-í> a “ -------- 1 — o o < x < + oo,Ol 1. dx% dy2 I ’ m

0 < y , t < + oo ,

H (x, y, 0) = //'„ = const, — oo ( i t t t ) ] ”

(1)

(2)

(3)

2a Y *x l|a+l/»

(//¡ - H ,) y f ian dr)

n 3 T|s-f¡/a ’o

Indicación. Construir la función de influencia del manantial puntiforme instantáneo para el semipleno y > 0 con la condición homogénea de frontera de

Fig. 4?

primer género para la ecuación (1) y después representar la solución del problema (1), (2), (3) mediante esta función del manantial.

101. Para el flujo buscado q (t) obtenemos la expresión

•) Véase la solución del problema 8.

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Indicación. Mediante la sustitución i/(r, t) = ru(r, t), donde u (r, í) es la temperatura del espacio, pasamos al problema:

dv , d*v- H ^ a - g - ? ' '•0 < r < + oo, 0 < í < + » ,

v (rt 0)=0, r„< r< + oo,v(r„, t) = r0<f(t), 0 < < < + oo,

■ ^ • 1 ^ = — £*<*> + 9 (0 . 0 < ( < + oo,

donde q (í) es la función buscada. Después, como en los problemas 95 y 96 § 2 cap. I I I , resolviendo la ecuación integral de Abel, hallamos q (¿).


9-0942

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Capitulo VI

E C U A C IO N E S DE TIPO HIPERBÓLICO

§ 1. Problemas físicos que conducen a las ecuaciones de tipo hiperbólico; planteamiento de los problemas de contorno

1. Por coordenadas de Lagrange*) de una partícula lomamos sus coordenados cartesianas x, z, en el estado no perturbado. Sean las coordenadas cartesianas de la partíúula, en el estado perturbado, ¡guales a

| = x + «<» (*, y, i , t),

ti = y + u*z> {x, y, i , t),

í — z -f- u'»> (*, y, s, <)•

El vector u = iu (1> -f- ju ‘-> + fc¡<|3: caracteriza el desplazamiento de la partícula del estado no perturbado *, y, z. E l vector de la velocidad de la partícula os

o = -|~í- = ivM-\-juW + kuW — íe('>-f-/p(!> + fcol3),* dt

donde el punto colocado encima representa la derivada con respecto al tiempo. E l potencial de las velocidades y el del desplazamiento se determinan por las igualdades

grad U — v, grad (V = u,

cada uno con exactitud hasta un sumando que es una función arbitraria del

tiempo. La perturbación de la densidad o y la perturbación de la presión p sedeterminan como antes**). Cada una de las magnitudes

P. Pi Pi Pi i**1; i = 1, 2, 3,

en el supuesto de que las perturbaciones sean pequeñas, satisface la ecuación

“ll = «2 (“** + «UV + “ll)' (■>)

donde a2 — k — ; k = — es la razón del color específico con respecto a la pre-Po <?l>

sióu constante al calor especííico a volumen constante; p0 = const y p0 = const son, respectivamente, la presión y la densidad no perturbadas. Las condiciones iniciales se escriben en la forma

u (x, ¡I, z, 0) = / (X, y, s), «( (r, y, s, 0) =- F (x, y, i),

— oo < x, y, z < +<».

Cada una de las magnitudes p, p, U, , o, « puedo ser expresada por cualquier otra de estas magnitudes mediante las relaciones

p = iflp, (3)

VtA'i + P — **. (4)

*) Para más detalles sobre las coordenadas de Lagrange víase el problema 4, | 1, cap. II .

**) Véase el problema 4, § 1, cap. I I .

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Po't>« + P=<>. (5)

o = g rad í/ , (ti)

u = gradO), (7)

— w - <8)Indicación. La ecuación de continuidad en las coordenadas de Lagrange se

puede obtener examinando la deformación del volumen elemental A jAy&z y teniendo en cuenta que su masa queda invariable; el coeficiente do la deformación del volumen es el determinante de Ostrogradski («el jacobiano»). La ecuación al ser lineal se vuelve adiabática y las ecuaciones (4J y (5) se deducen delmismo modo que las correspondientes ecuaciones en la solución del problema 4§ 1 cap. I I .

2. Sobre el plano que acota el semiespacio en examen deben cumplirse las condiciones de frontera

. dp dp dU . , , d - , . , fa) — = 0, donde -r— es la derivada según la direc-' dn dn dn dn dn e

ción de la normal al plano;

b> Ü H '- 4 í r = 5 VdL ^ ^ - = - ^ - ^ 1londcVW cSlao

proyección de la velocidad del plano sobre la dirección elegida de la normal

a que corresponde' la derivada .

3. Las magnitudes de una parte de la superficie Z están marcadas con el Índice 1, do la otra parte, con el índice 2. Sobre la superficie 2 deben cumplirse las condiciones de frontera

p0t¿/l==P02 2í (1)

W i - ¡>U*On ~ dn ’ W

donde t- significa la derivada con respecto a la dirección de la normal a la on

superficie 2 ; poj y p»2 son las densidades no perturbadas de los gases.Indicación. La condición de frontera (1) so obtiene mediante la igualdad (4)

de la respuesta al problema 1. La condición de frontera (2) expresa la conservación de la frontera de separación de los gases (la igualdad de las componentes según la normal de las velocidades de las partículas de ambos gases adyacentes en un mismo lugar a la superficie 2 ).

4. Para la desviación u (.r, y, t) de las partículas de la membrana del plano del estado no perturbado (el plano XO Y) obtenemos:

V|. Ecuaciones de tipo hiporbólico 547

O^u n / d“u . d*u \“ (ih5-+-w) ' 0< (<+°°' (*• »)ec. (0

donde G es la región sobre el plano (r, y) acotada por el contorno P,

u (* , U , 0) — / (x, y), u , (x, i j , 0) = F ( z , i j ) , (x, !/ ) í G, (2)

« | r = 0 , 0 < / < + « > * ) (3)

*) La deducción más detallada de la ecuación (1) véase on [71, págs. 39-42.

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5. La ecuación (i) en la respuesta al problema anterior se debe sustituir por la ecuación

O

donde a, es la velocidad de la propagación de las ondas transversales en la membrana; p,, la densidad superficial ae la membrana; Q0, el volumen del recipiente; p0, la densidad no perturbada del aire; o0, la velocidad do la propagación de las perturbaciones pequeñas en el aire.

Indicación. En virtud de la condición a„ » a, la presión del aire encerrado en el recipiente al calcular las fuerzas que actúan sobre un elemento de la membrana, se puede considerar independiente de las coordenadas del elemento en examen de la membrana y determinado por la variación general del volumen del recipiente como el resultado de la flexión de la membrana.

Observación. Si la velocidad de la propagación de las perturbaciones pequeñas en el medio ambiente es considerablemente menor que la velocidad de la propagación de las perturbaciones en la membrana, es decir, si a» < a,, entonces la reacción del medio sobre cada elemento de la membrana se determina por el estado del medio en la proximidad inmediata a este elemento. En este caso la ecuación de las vibraciones de la membrana*) puede ser escrita en la forma

oí u , í (/*u . á¡u ) ___po da

Sí1 — i dx3 dy1 / p, dt '

G. {-g7 + (»o. v)}2u=«»áy, (i)

donde U es el potencial do las velocidades de las partículas del gas excitadas por las perturbaciones pequeñas, ¿yi01 H- ju ^} •+■ ko °\ el vector de la velocidad del movimiento del medio, el operador (u0, V) se determina por la relación

(* .* )- * • £ + # , i + * , - k ' (2)

y el potencial U se considera como una función do las coordenadas {*, y, 2) del punto geométrico y del tiempo t en el sistema inmóvil de coordenadas con respecto al cual el medio se mueve con la velocidad ü0; con otras palabras, U se estudia en las coordenadas de Euler **).

Si el eje x coincide en dirección con el vector o0) entonces

90*0, V> = °3 ¿7

y lo ecuación (1) loma la forma

d*U , _ «W , _ d*U % ( d'U dHJ , W \ H ,x

-á7r+2t‘ ^ r + ' ;*155-=‘,a{ ^ r + ^ ' + ^ - /- (1>

Iguales ecuaciones tienen lugar pora la densidad y para la presión.


*) Véase [381. pág. 224.**) l'ara más detalles sobre las coordenadas de Lagrange y de Euler véase

el problema 4, § 1, cap. I I .

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Indicación. Primero se deben deducir las ecuaciones básicas do la hidrodinámica en las coordenadas de Euler

-!-(•>*. V) c* = - i- grad p, (3)

|j-+d¡v(pi>*)-0, (4)

P = /(P). / (í>) = / '» t^ . * = 7 — , (5)p¡¡ c0

o* = D„ -f- ü, p — pn + p. P — Po + /'• donde o* es la velocidad total («absoluta») ae las partículas; c0. la velocidad del despla2amiento; t>, la velocidad

relativa y las magnitudes po. Po, (>. P se determinan del mismo modo que en el problema 1. E l hecho de que las ecuaciones (3), (4), (5) se vuelvan lineales y la eliminación de p y p, conducen, a la ecuación (í) de la respuesta.

La ecuación (1) puede ser obtenida también por el siguiente procedimiento. En el sistema de coordenadas (0\ x ', y', s') que se mueve junto con el medio y que coincide en el momento í = 0 con el sistema inmóvil (O, *, y, z) para el potencial U = U y', i ' , «)> tendrá lugar la ecuación

3»0 , / oh; . 0*U . S'V \

dP ~ a ( di1 + dy1 + ) ‘ ( *

El paso de las coordenadas de Euler (x't y\ t) a las coordenadas do Euler (,x, yy 2, í) transforma la ecuación (6) en ía ecuación (í) de la respuesta.

VJ. Ecuaciones de tipo hiperbólico 649

7. Hacemos coincidir el eje Oz del sistema rectangular cartesiano con la arista de la cuña de modo que la cuña sea simétrica con respecto al plano xOt y la dirección de la velocidad del flujo corriente coincida con la dirección del eje Ox (fig. 50). El ángulo de abertura de la cuña lo denominamos por 2e. Puesto que en el caso dado el potencial de las velocidades U% v — grad U no depende ae z y de í, entonces la ecuación (l") de la respuesta al problema anterior se lleva a la forma

dHJ 1 d*U

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donde M — — > 1 en virtud deí planteamiento del problema (la velocidad del a

flujo corriente es mayor que la velocidad dol sonido). La ecuación (1) tiene lugar entre la superficie de la cuña y la onda de interrupción (discontinuidad) débil*). Sobre la superficie de la cuña tenemos:

(,;»+4 r ) lBí para í'= x ,se*

Sobre la onda de interrupción débil

V = 0 para y = x tg a, (3)\

donde tg a = —-YM* - 1

8. En el sistema cilindrico de coordenadas, cuyo eje Oz coincide con el eje del cono (íig. 51) para el potencial de velocidades U — U (r, z) obtenemos el

problema de contorno

ú*V 1 f d*U x \ Mvdz¿ M2— \ \ Or* ' r dr i

entro la superficie del cono y la superficie de la onda de interrupción (discontinuidad) débil

(2)

♦) La onda de interrupción (discontinuidad) débil separa la región perturbada de la no perturbada; sobre la superficie de la onda de interrupción débil el potencial U y sus derivadas de primer orden son continuas. Para más detalles véase (tñJ,

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sobre la superficie del cono, es decir, para r = z tg a; sobre la superficie de la onda de interrupción débil

U = 0. (3)

9. Para £ (x, y, t) obtenemos el problema de contorno

Ü I =(tW i !L + *!L\ m)dt* \ dx* ’ Oy* ] ’ V >

«*=gfc, g es la aceleración de la fuer/a do gravedad;

£ (z , y, 0 ) = / ( z , y), £, ( * , ; / , 0) = /’ (x, //), (2)

-J¿-=0 sobre la parod del estanque, (3)

donde 4- es la derivada con respecto a la dirección de la normal a la pared.(/Tí

Para el potencial de las velocidades horizontales U (x, y, í) obtenemos el problema de contorno

W . / m , <W \ s .

t / ( r ,y , 0 ) = h (x , y), U, (z, y, 0) = FX (*, y), (2’)

-¿^- = 0 sobre la pared del estanquu. (3')

indicación. Obtenemos primero: ln ecuación de continuidad

—div w,Ot

donde w ts el vector do la velocidad horizontal; la ecuación del movimiento

V I. Ecuaciones de tipo hiperbólico 661

dw . . dp . Op

i r ’— *nd^ p ^ - ‘ ~ J w

la ecuación que expresa la presión en el líquido a una dislanc¡H i del fondo del estanque

P — Po = 89 {h + í — *).

y después se realizan las eliminaciones necesarias (véase también la solución del problema i).

10. La ecuación del potencial de las velocidades horizontales toma la forma

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Las condiciones iniciales y de frontera se formulan como en la respuesta al problema anterior.

11 0i u _ dox faxy , 8xx. , v

dv _P“ " — +v>

a»u> _ 3t;x . aoz PT F — a r A~ — + — +z'

donde ox, txii, xxí son las proyecciones sobre ioa ejes de coordenadas del vector

de la tensión (fue actúa sobre el área perpendicular al eje x\ análogamente so determinan xyx, <t„, y i zx, zly¡ ct2; con esto los ax, au, a t se llaman ten

siones normales, y txv, %xz, ty l, los esfuerzos tangenciales o las tensiones de

rompimiento; X , y , Z, las proyecciones sobre los ejes de coordenadas del vector de la densidad de las fuerzas volumétricas.

12. Indicación. De las ecuaciones del movimiento obtenidas en la respuesta al problema 11 y de la ley de Hooke dada en la nota 2) 'al problema presento, no es difícil deducir las ecuaciones siguientes para las componentes del vector U:

„ d*u . ,, d&P-0jr=MAw-t-(*+n) — + x,

d2v | | d0P - a jr^H - tx + iO -^+ r.

p-|^- = |iiw + (X + p) 4^-+Z,

donde 6 = div U.

M- Ü “ l ( 4 * + { £ ) + *

p f j r - <>- + 2i‘) { 4 ^ - + - 0 } + í ' i ( * ' y< *>.

p4 í " ^ { l i r + - | £ } +*'«<*• "• *>•

F, (i, y, t) y f ’j (r, «, í) son los términos indopondientes que se obtienen del vector de la densidad de las fuerzas volumétricas.


15. a) <JX cos (n, iJ+ T jj, cos (n, » )+ txj cos (n, z) = 0, "]

Tj,; cos(n, xJ+oijCosfn, y) + TKtcos(n, z )= 0, > (1)

Tj-tcos(n, *)-f-TjV cos (n, y)+ ot cos (n, * )= 0, J

donde cos (n, x), cos (n, y), cos («, í) son los cosenos directores de la normal al elemento de frontera examinado.

b) V = 0, es decir, u — 0, u = 0, w = 0. (2)

Tomando el plano m por la frontera y dirigiendo el eje y al interior del cuerpo,en el caso del problema plano*) obtenemos las expresiones siguientes de las

*) Véase el problema 14.

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<?8<p

V I. Ecuaciones de Upo hiperbólico 5 6 3

condiciones de frontera:

(OI. Sij* ' dx! dx dy Jv=o

I n d\ i 9H ÓH I _ n.I “ dx dy d'j1 dx'2 Jj/= y ij; son los potenciales que figuran en la respuesta ni problema anterior.

Indicación. Los primeros miembros de las igualdades (1) son las proyecciones sobre los ejes de coordenadas del vector de la tensión aplicada al área con 1» normal »»).

16. Para el desplazamiento radial u (/-, l) do la partícula del tubo, que- está a la distancia r del eje del tubo obteuemos

& = a'{ l ! £ + T - W - 7 r )+ p ^ *>■ °< * < + ~ . («>

donüu r, y r2 son los radios interior y «xlorior dol tubo, aa = - A Í S i ; o, la

velocidad de la propagarían de* las deformaciones longitudinales,

f r - f r - 1 A“ J r_ r, = 0 ’ + <2>

dondo hX + ’

u (r, 0) = í3>

“t (r. 0) — ip (r), 0 < r < r0. >

17. Para el desplazamiento radial u (r, t) de las partículas de la capa esférica, en las condiciones del planteamiento del problema obtenemos:

d*u ( d2u , 2 Olí 2u\ n .á ír = aa{-573- + --3r - — }- <+ °°. 0>

a2 tione ol mismo sentido que un ol problema anterior,

n d" j.» “ _ /~ P (n Para r= r»*\ ,,va + para r = r j <¿>

u (r. 0) = 0, 1 , .

» , < r . 0 ) = 0 , )

18. Para los desviaciones transversales de los puntos de la placa desdi- la posición no perturbada, obtenemos la ecuación

d2u , / d*u d'u , ,ru \ 1 _

7?r+f (-d7r-r21^ 7>^+ 7F ) ' ~ 2 ' p( ’ u' l >

*) Para más detalles véase 1261, págs. 17-18.

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dondo c3 — -,r- . f 1'1— s— ; E , el módulo dp Yuung; m, el confidente de Poisson, áp (l — m2)


2h, el espesor de la placa; p, la densidad de masa de la placa; p (x, y, i), la fuerza transversal que actúa sobre una unidad del área de la placa.

Si la placa está sobre uno base elástica, entonces

d * u „ / f l ' u . d ' u . 8 ' u \ . k i , , ,

Ol■ +<" ( Or' ' “ O c 'd ^ </!/' ) 2/cp 2hp P 'J ' 1 *

k es el coeficiente de la elasticidad do la base*).Nota. El conjunto do los términos entre paréntisis es cómodo escribirlo

en la forma A2Aaií, donde A2 = div grad es el operador de Laplace sobre el pJano.

Ü*u_ * / J3 1 & 1 d \20r‘ + r Or r* 0<f )

u. = 0, 0 < r < r„, 0 < q> < 2n, 0 < t <-|- oo, (1)u (rf í>. 0) = / (r, (f), u¡ (r, cp, 0) = F (r, cp), 0 < r ^ r0,

0 < q> < 2n, (2)

« (»-o. Vi 0 — “r (ro. <P. 0 = 0, 0 < c p < 2 n , 0 < í < + o o . (3)20. En las coordenadas esféricas con origen «n ol dipolo con el eje 0 = 0

«Itrigido según el dipolo, obtenemos el problema do contorno

{ t f ¡ ^ T j ó ^ ^ I / > r>ÍK , > a ( , )

I I ij, lí=o —0 para r (2)

on,t \ _ _ 3a.1/0 sen 0r > 0. W )Ot ll-o r*

para

1IIcly-

iúMti . i\---son o>t sen Uar8 para t > 0. (3)

Indicaciiín. Utilizar el sistema do ecuaciones de Maxwell en las coordenadas esféricas. En virtud de la simetría cilindrica y de las reflexiones electrodinámicas elementales Hr = //0 = = 0 para t > 0.

Para t = O so tiene ol campo electrostático excitado por el dipolo electrostático de modo que | ,=0 = 0 y

,, . —V o cos 0 AI„ son Ür l/=0---- ---- i * « 1(^.0= ---¡3--•

La condición inicial (2') lu obtenemos de estas relaciones mediante la ■ecuación de Maxwell

1 I 0 (rE 0) 0E t I _______ t_ ó II,,

r I Or oQ ] a 0t '

Por último, la condición de frontera (3) expresa la intensidad del campo magnético en los pontos tan cercanos al dipolo, que se puede despreciar el tiempo de la propagación do las perturbaciones (véase |17J).

*) Véase el problema 10 § 1 cap. II .

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§ 2. Problemas sencillos: diferentes métodos de resolución

21. a) u (r , !) =

( r — at) cp ( r ~ - g ¿ ) - | - q ) (r- f-at) 1

dondo los funciones <p(f) y son continuas do forma par para | negativos;

b) lim u (r, t) = at<f' (ai) + 0.

2 2 .

( r + o < í- T)

U (f, <)=-¿T jj dT j 5/(6, *)<¡Z,0 r-o(í-T)

donde / (5, t) es continua de forma par para los valores negativos dp23. Con las condiciones iniciales a):

U> para ° < ‘ < VUo

r— at

2 rpara ro— < ( < ro + r

n a

0 para r‘’^~r < ( < + « , a

0 paraa

U,r —at

2 rpara r~ r° < ( < r+ r »

a a

0 para ‘L i l a . < ( < + < » ,a.

« (r, t) --

u (r, ») =

Coa las condiciones iniciales b):

í / j í para

para 0 < r < r0,

u(r, () =

0 < < < —

para 0 < r < r o,

para

u(r, para !=*■ < < < ^

1 °para r-;>- - < i < - ) - » .

para oo.

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24. El potencial de las velocidades de las panículas del gas es igual a u (r, t) de la respuesta a! problema anterior con las condiciones iniciales b),

si se supone que í/0 = —a" — , donde as = k — .po Po

25. Sea U (r, i) la solución del problema 23 b) para el espacio no acotado (víase la respuesta al problema 23 b)); entonces

a) u (x, y, t, t) = U (r, <)—•£/ (r, t),

b) u (*, y, z, í) = U (r, í) + U (r, i),

donde r = + ¡r + (z — zo)1, r — V + V° + (2 + !o>4-26. Sea U (r, l) la misma función que en la respuesta al problema anterior;

entonces

a) u (i. y, *, í) - U (r„ t) - ü (r„ ¡) + U (r„ l) - U (r4, t),

b) u (*, y, z, t) — U (r„ í) -1- £/ (ra, t) — U (r„ t) — V (ru t),donde

ri = / ** + (» — i/o)a + (s— *»)*. rs = >/** + (»T y ¡iF + (* -— *o)Ji

p3 / * a+ (» + w)*+(*+*o)1'. ) V + (!/-y„)2 + (z+ í0>*-

66 6 Respuestas, indicaciones y resoluciones

27. <f (r, () = ----- ^nr °-- , i7(t) = 0 para «< Ü .

indicación, cp (r, <) es la solución del problema de contorno

(j>„ = a3Aij), (1)

<P l<-o = <fi l(-» = 0. (2)lím 4jir!Cfr = g (<). (3)r-0

28. a) Sea que el manantial está en el plano z = z( y tiene las coordenadas

polares r„, D„, 0 < 60 < • Entonces, designando por cp (r, I) la solución

del problema anterior, obtenemos

~ n- 1<P(*. » . z. ») = J1 { M rí . <)+<P(r* t 0}. (i)

ft=odonde

r h = j / r r* + rg— 2rrr,cos |e + 09 + - ^ - j+ ( z — zc)a , (2)

rk = j / " — 2rr„cos (9 — 0,-- ^ - ) +( *— . (3)

b) Sea que el manantial está dentro de la capa 0 < z < ¡ y tiene las coordenadas r,,, y,,, zt, 0 < z0 < l. Denotando por <p (r, t) la solución del problema 27, obtenemos:

~ +”<p(r. J/. z, 0 = 2 O + V l'* , 0}. (1')

A®-oo

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donde

V I. Ecuaciones de iipo hiperbólico 557

rA=-/r* + (2+30-2W)s, (2')

rft— V r2- f("— — 2/W)2, (3')

aquí r — ■/(* — *o)s + (¡/ — 'Jo)*-Observemos que para cada valor de t > 0 la serie (1') formalmente infinita

de facto se reduce cada vez a la suma de un número finito de términos, dado que

<p(r¡t, í) = ° Para IC - — J (rjt, f) = 0 para 1 < — .

p^al 1

, f r D)<g<¿n . f f f /»(£■ n. *)djd<\ \+ J J + .1 J 3 / < ■ « ( « / ’

p<aí 1 0 p<a(í-T) * 1 1

donde p = Y (x — £)’ + (y— i|)s-

»• - <■...~ ¿ ¡ - { i J J «• >5- ■#« *>+(|<0<

I f f , . ít \ ch c v r t 1 —p® ,+ J **«■ ^ * * ■ +

P«£aí V '

+ ! " 5 50 p s S a « - t ) v ' ' 1

donde p = Y (x — J)a + (y — si en la ecuación delante do c*u está el signomás; si delante de este término está el signo menos, entonces en la respuestadada en todas partos ch debe sustituir por cos.

Indicación. La solución de la ecuación

uít = <z» (Uxx + U¡/¡/ + ulz), (1)

que satisface las condiciones iniciales

u 1^0 = 0, u, |¡_o = F(x , y)e<*, (2)

se relaciona por la relación

u (x, jr, t, t) = e«i4» (r, y, ()

con la solución de la ecuación

uii = a‘ (ux* + um¡> + ciu*

que satisface las condiciones iniciales

u* | i=o = 0 . o? |(=0 = F (x, y),

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lo que no es difícil obtener mediante )a presentación de la solución del problema (1), (2) mediante la integral de Poisson*). Si en la ecuación ante c-u está el signo menos, entonces se debe realizar la sustitución u (x, y, z, í ) = t iczu* (x, y, t).

31. Para el potencial de las velocidades u'(r. t) obtenemos la expresión


u (p, <)= |

i‘¿na

o la expresión equivalente

i V (t) dr

Y a ‘ (t — i ) s— p£

O

para —

lo

u(p, () =

j ? (< — r chÉ )d£ p“ra < > 't »o

isidora q (í) = 0 para / < 0+oo

U(P. 0 = — 119 ( * — -§-c h &) <£.

(*>

o, si lia jo la integral SC considera g(í) = 0 para < < 0+00

dondo p— Y x*+ !/3 6' 1» recta sobre que están los manantiales so toma por el eje t.

Indicación. () es la solución del problema de contorno

- f r - í v + T T F ) * °< p < + ~ ' °< t < + ~ ’ím ( 2 n p - ^ - ) = 9 (0 » 0 < í < + » ,-ü ' dV f

Unp-

u (p, 0)«=uj(p, 0) ^ 0, 0< p< + of..

Formalmente u (p, /) en la forma (3) se puede obtener mediante el método del «descenso* (la integración con respecto a z entre — oo y -f-co) de la solución del problema 27; después no es difícil verificar que con la condición de acotación de q (t) la luución obtenida de esta manera satisface todas las condiciones del problema.

Observación, En el origen de las coordenadas u (p, 0 tiene la singularidad logarítmica con respecto a p. Usando la forma (1) para u (p, í) y utilizando la integración por paites y la fórmula de Taylor, se puede representar wjp, í) en la forma

t

u (p, t) = -^-q ^ (0 ) l n 2 * — ^5- jj q' (t ) l n 2 ( í— x)dx + e(p, í),

*) Véase [2|, tomo I I , págs, 553-554*

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donde e (p, l) — *0 paro p —> 0.

'I H-oo

32. n (x, y, <)= — J - 2 j <1 ( c h í )

fe=l 0donde

Pi = Yi*~ *«)4 + (» — ¡O ”. Pí = V <X -i- j-0)“ -I- (y —

Pa = / ( * + *.)* + (» + yo)*. P, = \/(x-x„)2 + (i/ + ¡;„)í.

33. l'ara el potencial de las velocidades de las partículas dol ¡jas fuera do la esfera obtenemos la expresión

0{r, 0 =

t <

r„ <. r < 4-oo,

y fuera de la esfera, la expresión

rnAV (r, t) = -

ü) üi a n>— cos — rü-i— — sen — r0

■ son wí 4-

donde X„ son las raíces positivas de la ecuación

lR(rflX ) ^ — -

!>•j / (r) sen (>.nr) dr

Un

f sen2 (>.„/•! dr

• sen — r.

Observación. La expresión de U (r, í) para O ^ r ^ r0 se obtiene en el

supuesto de que no haya resonancia, es decir, que X = — no coincida con ningunoa

de los valores propios >.n*).

*) Acerca de la búsqueda de la solución en el caso de la resonancia véase el problema 134, § 3, cap. II .

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34. Sea que el centro de la esfera está sobre el eje Oz en el punto z0 > r0 >> 0 y ol plano z = 0 es la frontera del semiespacio en examen. Entonces, denotando por V (r, t) la solución del problema anterior, obtenemos la solución del pronlema 34 en la forma

6 6 0 Respuestas, indicaciones y rcsolucionos

donde r , = \ í xs-t-y - (z — z„)2, r ,= f/'*, 4 -ff*+(*+*o)“.35. Pn rn el potencial de las velocidades obtenomos la expresión

(n es el vector unitario según la dirección de /•; el tildo significa la diferenciación do I con respecto a su argumento) satisface la condición de frontera ur = Vn para r — r0, de donde para / obtenemos la ecuación

36. Para el potencial de las velocidades U provocadas por una perturbación

pequeña y para la perturbación do la presión p obtenemos las expresiones

Indicación. Para determinar p so debo utilizar la relación (4) de la respuesta al problema 1*).

*) Se debe pasar en la relación indicada a las coordenadas de Euler y utilizar el carácter estacionario del proceso y la pequenez do las perturbaciones. Acerca de las notaciones véase la respuesta al problema 7.

u (x, i j , i , t)= U (fj, í) + U (r„ t) para rt > r« y z > O,

« (*, y, z, t) — U (rx, t) para O < rx < r0,

/ ( ( ) = ar$e r° ‘ f V ( t ) s e il c r ° J x .

Indicación. La solución del problema se puede buscar on la forma

r

J.a velocidad do las partículas del gas es

y = grad U —3 (/« ) n — f , 3 ( / ' « ) » — / ' , H (n f )

---7~>---+--- ari '~ñh~

r W + T-f 'W + - 1 0 -= r ^ V (t).ro rñ

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\\1. V (r, x) =


— Y - p r tgsa- l- f-~-- í- tgaIn

Y Va— i +4- l S 8 tg a¿ v—.y vs- 1

0 < x < + co, iv c tga < ~ < ctgot, v = - ^ Í L > 1 ,

l ^ + V ^ —1

tg«.

, , v — l A ’*— 1l-lr-» s = r-o-o -_J — ------- v + 7 ^ = j 18 a‘

v2— 1 -f- -?r tga tg e Ln--- ~»¿ v — y v®— 1

Indicación. Véase el problema 8; la solución de la ecuación (1) con las condiciones de frontera (2) y (3) se puede buscar en la forma

U (r, i ) = rip ( i ) = n f (C), í = y .

Para determinar p se debe utilizar la relación (4) de la respuesta al problema 1.39. Para establecer el potencial de las velocidades perturbadas provocadas

por la influencia de la pared obtenemos el problema de contorno (en las coordenadas de Lagrange)

(1 — jtf2) ux x -\- u yu = 0 , — oo < * < + o o , 0 < j < - ) -o o t M = — , ( 1)

donde a es la velocidad del sonido en el gas,

iiy (r, 0) —1 í/eü> cos ü >x , — o o < x < -f* o o , ( 2 )

a) En el caso de la velocidad subsónica del flujo 1 — M* > 0 la ecuación(1) es elíptica.

u { x ,y )= ---cosa*.v 1 — M*

b) En el caso de la velocidad supersónica del flujo 1 — M 2 < 0

** (*» y) — --- r = = = r senü) (x — y M z— 1 ).y jl/a— 1

Indicación. En el caso elíptico la solución se debe buscar en Ja forma

u (x, y) = u, (x) u2 (y)

y en el caso hiperbólico, en la forma de las ondas de propagación, teniendo en cuenta que en el caso hiperbólico (supersónico) las perturbaciones pequeñas se propagan hacia la derecha de loa manantiales ue perturbación. La condición de frontera (2) se obtiene de la condición exacta de frontera

í-üfc-)\u+ u*/ íront V dx ) iI /ronl

despreciando las magnitudes pequeñas de orden superior.

10—00Í2

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562 Respuestas, Indicaciones y resoluciones

Observación. Comparando las soluciones en los cosos elíptico y hiperbólico, vemos que las perturbaciones provocados por la pnred ondiforme a la medida de nlojomiento de ella (el crecimiento de y) en el caso elíptico se amortiguan rápidamente y en el caso hiperbólico conservan su amplitud.

40.

para 0 < < < •

*<r, <) =

/ n , r„— at\ r„— r0 ( “ + ares<!n — ) Pa r a —J— < t •

.rt+Z

para r < t < 4-00,

para 0 < í <r—r»

„ I * , r»— r~ r« . ^ r + rO\ ~2 arcsen — j l’ara —J- < <■ —a— ’

► O c jr c r , , ,

para < * < + °°>

Indicación. Haciendo x = r cos cp, y = r sen <f, a = cos 8, p ■= sen 8, realizar primero la integración con respecto a 0 entre 0 y 2ji y después efectuar la sustitución necesaria de la variable de integración; esto conducirá a la expresión (1) del planteamiento del problema.

41. Indicación. Realizar la integración con respecto a i entre — 00 y -f-oo

de las ondas esféricamente simétricas ^ y — nt ! r y luego efectuarr r

la sustitución necesaria de la variable de integración.42. Resolución. Buscarnos la solución de la ecuación

«2u / d2a , 4 ,>u

l Or* ^ r di

en la forma u (r, t) — (r); esto da:

u (r, o = / l í- iw'y0 (kr) + BH?> (kr) í " 1®*, k =

A y B son constantes arbitrarias*), u2 (r, t) = Ae~ití>fJ 0 [kr), la onda cilindrica monocromo tico estable que no tiene singularidades cuando r = 0, para r grandes

u, (r, i) iy t )

u, (r, í) = Be~'m lI\ot (kr) es la onda cilindrica monocromática lio propagación «divergente» que tiene una singularidad para r = 0. Para r pequeños

para r grandes

u2 (r, t) B ln (Ar) e"

*) Acerca de las funciones J 0 y I I véase [7], págs. 574, 714, 725, 748, 753 y otras.

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Integrando la onda monocromática plana

(í * &>* Q+y sen Q\v >

con respecto a] ángulo 0 entre 0 y jí, obtenemos

n

(r, í> -< r lo< p ' ' rco5(B- ' t ) dO = 2ne-¡'*lJ a (kr), A = - .II

SI se realiza integración sobre el plano de 1» variable compleja 8 a lo largo de) comino L (fig. 52), entonces nos queda:

¡Tg (r, <) = í- iM‘ j « i'lrc'ls9¿e = n f -to'/ í¿ " (kr).

1.44. Resolución. Tomemos como plano de separación de los dos medios el

* = 0 (fig. 53). Las magnitudes correspondientes al semiespacio z < 0 las marca-

V I. Ecuaciones de tipo hiperbólico 663-

Fig. 52 Fig. 53

mos con el subíndice 1 y las correspondientes al semiespacio s > 0, con el subíndice 2. Designamos las ondas incidente, refleja y refractada, respectivamente, por

q = 1 1 1 ,

Aquí Ar, = — , = — y í , = — son los números de onda; ci>,, <a}*. lasfli Q\ O0

frecuencias de las ondas incidente, refleja y refractado, a, y os, las velocidades de propagación de las ondas en el primer y segundo medios; n,. nf, n,, los vectores unitarios en los sentidos de las direcciones de propagación de'lag ondas correspondientes; el vector r =■ {*, y, i ) . Sobre el plano z = -0 deben cumplirse

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56 4 Respuestas, Indicaciones y resoluciones

las condiciones de frontera*)

Pi í'pi-t-|pí! = p!<fj para z= 0 .

(2)

Consideremos el vector n, paralelo al plano xOz, es decir,

n¡ — (cos a , , 0, cos y,}.

Escribimos ahora en la forma de coordenadas los vectores n f y n4:

n* = {eos a f , cos Pf, cos y* ¡,

ns = {eos a», cos p2, cos y8}.

Dado que las funciones de T. ev,t, ev,x, ev,t, con la condición que v„ vJt v8 son diferentes y linealmente independientes, entonces la sustitución de , «p*. q>, en las condiciones de frontera (1) y (2) conduce a las igualdades

es decir, los vectores unitarios n f y «2 también son paralelos al plano xOi,

k¡ cos = ¿i cbs a f = *a cos a 2, ! (5)

de donde se obtienen las relaciones conocidas entre los ángulos de incidencia, reflexión y refracción: a i = —a f dado que la onda reflejada como y la onda incidente está en el semiespacio * < 0

(!)cos tti k2 a¡ ___a,_

en las condiciones de frontera (1) y (2) simplificar por el tactor variable común, entonces se obtienen las relacionos para determinar las amplitudes de las ondas refleja y refractada

Pi- i "l" M í = Pí - 2*ki cos Y i^ i + kx cos vf>lf = k, cos y2.A4:

de estas ecuaciones, utilizando la igualdad cos TÍ = — cos Ti - obtenemos

45. Denotando por «i, n*, a¡. al igual que on el problema anterior, los vectores unitarios en el sentido de las direcciones de las ondas incidente, refleja

13)

cos pf = cos p4= 0, (4)

cosa2 k¡ <o a2 ‘

«i

SI las igualdades que se obtienen como resultado de la sustitución de <pt. (pj1, <p4

A*. P i*i eos Yi — p|fc8cos Yz j

1 p3&! COS Y ) + P lfc s COS Y í 1

9-Ct. le, r .os v .

*) Véage la respuesta al problema 3.

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cos a, v, -i ea c c

a ' _ ai> cosa*-" y2 ” Vl2 “ V k, ’ V,“ l / e T ’ ** V * t *

donde ¿ es la velocidad de la luz en el vacio; Pj y e2, las constantes dieléctricas del primer y segundo medios (consideramos ^ = |i* = 1).

Indicación. La onda monocromática electromagnética plana se puede representar en la forma*)

E — // = fl<0)tfi(<úí_Anr>.

Después se deben utilizar las condiciones sobre la frontera de separación de dos dieléctricos*).

46. Representando la onda incidente en la forma**)

El = {E1e<(u(- ‘ ,I); O; 0), //í = {0; l / £ 0},

obtenemos:

E*^{E*eil““-k'*\ 0; 0); fl* = {0; - y'ST' E»í1<“ ' +>.2): 0};

E, = { £ ¡.e*<“ ,- ,,■',; 0: 0); Ht={0; ~ ] A T E ¿ w -h't); 0},donde

« - • Í T Í f ' - - ’ - y f '

§ 3. M étodo de separación de variables1. Problemas de contorno que no requieren Ib utilización

de las (unciones especiales



u« = fl2 (ux* + uw ), 0 < * < ¡ j , 0 < y < ¿2 0 < t < + o o , (1 )

“ li= » — “ ! x= í,= u ly=« = u !j=ü, = ®> fi)

“ (*, y, 0) = Axy(ll — x )( l,— y), u¡ ( i , y, 0) = 0,

0 < * < 1,. 0 < y < /*, (3)

es

- < * . « ) = ^ L x

+~ sen (2m + t>na ccn (2« + i) Jry _______________X V __________lJ_________________ k cos Snal i / I (2n + 1)«1

2 j (am+l)»(2n+l)» \ V 1* + l¡ / •m . 71=0

VI. Ecuaciones de tipo hiperbólico 5 8 5

y refractada, obtenemos (véase fig. 53)

•) Véase [7j, pág. 495.**) Véase [17], págs. 499-509.

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utt = a 1{uxx + uliv), 0 < z < ¿i, 0 < y < l „ 0 < f < + oo, (1)

— » l _ | 1 = í l » - o = » ly _ i , !“ 0. (2)

u(x, y, 0) = 0, ut(x, y, 0) = Axy(ll — x )(li — y), 0 < z < ¡ ! , 0 < y < l z (3)

B66 Respuestas, indicaciones y resoluciones


“ (*, !/. 0 = — X 3l‘a

(2m + l)a (2n-(-l)3 , / (2m-M )3 , (2/!-¡-l)sm.„=0 y -- jj— + -- ---

49. u(xt y, <) =

, mJix0 mzíx nny0 nny, „ +°° sen , sen —:— sen — r^- sen —— _ r —5----5-.

_ \ K _ v ____ w______ ij_______¡i______ L L n ^ n / i o Z lnapl.í. 2 j ^ ^sen nal y (J -t- q f .

K l f + T

donde p es la densidad superficial de la masa.Indicación. Se puede hallar primero la solución, suponiendo que el impulso

K está uniformemente distribuido sobre los entornos x„ — e < x < *„ + e, y0 — 8 < y < yo + 8 del punto (i„, y0), v después pasar ai lím ite cuando e 0*}.

Se puede también utilizar la función S impulsiva de Dirac y formular las condiciones iniciales del modo siguiente

“ (*. Jí. 0 ) = 0 , ut (z, y, 0 ) = - - 6{x— * , ) 6 (y — y0), 0 < y < l 2.

El segundo procedimiento conduce mucho más rápidamente al fin. Utilizando las funciones 6, elegimos el multiplicador del producto de las funciones 6, de modo que el impulso total transmitido a la membrana sea igual al dado.


u( 1 = aa {u:c.T + u1/j,}-i-^‘0) ( i , y)scnwr, /1 <°> (*, </) = -£■ A (z, y), (1 )

“ lr=o “ “ lx=(, = u Iíí-o ” « l¡,=!, (2>“ (* ,!/, 0 )= 0 , uj {x, y, 0) = 0, 0 < x < i,, 0 < y < ¡ a, (3)

u (z , y. í) = Amn ( senwí — J 2 _ sen ü>m„< ) s e n ^ ^ s e n ^ , (4)" ' Ü)mn / ¿i *4m,n=l

) Véase la solución del problema 101 § 3 cap. I I .

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donde

Amn= l M ¿ ^ V M 4<0,(I' !')son (5)

V I. Ecuaciones do tipo hiperbólico 567

/ m2 n¿I f ‘— ’ (6)

con la condición do que la frecuencia de la fuer/,a impulsante no coincida coa ninguna de las frecuencias propias a (¡>mn- Si o>= e>,„0,1() (i la resonan

cia i), entonces

+ «, ,, 'Ti . / . i» mnx nny .

“ (*. u, <)= >1 Amn I seutol — -— sen wm„ í] ) sen —— sen-r-i-f-" . \ wmn / ‘i h

m, )i-= i

7«bnt

+ /tm»no i3®0 “ í— íiXcosait) son 'H^L sen 'iíM f (7)

donde Amn se determina según las fórmulas (5) y

= i ¿ { dl í •4" ) #) sen(8)

Odjtfr^acidn. Si la frecuencia de omo», e9 múltiple, es decir, corresponde al

valor propio múltiple, entonces en vez de un término resonante aparecerá un grupo de ellos cu la forma indicada.

51. Si Ja frecuencia de la fuerza impulsante no coincide con ninguna de las frecuencias propias de la membrana, es decir, <o # comn, mt n = d, 2, 3, . . ., entonces

sen io í---sen (úmnJ

* * > - & s --------------^ ------------- Xm , rtsssl

mnxn nrti/a mnx t nnyX sen —¡—i sen — sen —j— sen #

*1 ¿2 ‘t hSi (la resonancia), entonces

+® senoii— -^-senmmn(

S tomrx mnxn nn ; / „ m n x __ nny ,----- -3----r----- sen —— sen —-Jsen —j— sen ——

“mn— ¡1 <2 i 1 ¡, 'ra, n=l

«4-n,

2/1 , , moJt*rt n0Hí/a mnil*4— —— (sen (oí— o)¿ cos coi) sen . ■ sen . -sen — — sen pilleo ' ¿a

0¿3crt;fl(rMn. Si la frecuencia <omo7lo es múltiple, entonces en vez de un termino resonante aparecerá un grupo de términos resonantes de la forma indicada.

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52 . E l p o te n c ia l do la s v e lo c id a d e s h o r iz o n ta le s d e la s p a r t íc u la s de l a g u a

es la s o lu c ió n d e l p r o b le m a de c o n to rn o

d*U - ( d*U , d*u \ . A nz ny „

{ l 3 - + - 5 F } + T C0S— C0S1 T / { , ) ’0 < í < + oo, o * = (1)

¿ a i = i £ i = í í í| = ^ í l i « o (2>C?JT |X=0 0 * |x-*íj t>y lv=0 dy \y=l2 *

U(T< y, 0) = 0 , U tix , y% 0 ) = 0 . (3)

R I p u e de se r re p re se n ta d o e n í a fo rm a

t

U (x , y , í ) = ^ - 1 \ i ' ( t ) sen A (/ — x) d i J co a y c o s - ^ - . (4)u * 1 2

53 . a (a:, j/t í ) =

, „ mnxn nny0 rriTiz nny / v + 00 son — p - sen sen — — sen ^

= 2 ---Ü \ k---- ^ - n » mní.

668 Respuesfas, indicaciones y .resoluciones

rn, n = 1

d o n d e

¡ i — " ( t t - t ) — -y v! 09 el coeficiente de la resistencia que entra en la ecuación

Ü “ „! / Ü £ +Í í i\ _ 2va i i ^ \ aza ^ a»1 / di •

54. m ( j, .v, 0 =

+0°\GA ^ (<o2— («)&,„) sen t»)í + 2v 2ü> cos o * _ mxx n nny

“ J i2f> ¿ (2m + 1) (2n + l ) 4® »v‘ l a<?" / , S° n ¡¡ »m , 7 i= » l

, / mr , nd «m n = na y .

Indicación. B u sc am o s la s o lu c ió n d e la e c u a c ió n

d*U1ÍF'

qu e se a n u la p a ra x = 0 , x = l 1% y — 0, y — l z , en la f o rm a

U(x, v, ») = V<*, tf) í to'|

en to n ce s u ( r , y , <) = l m ( ( / ( x , y, i))- P a ra d e te r m in a r V (x , y) o b te n e m o s e l

p ro b le m a do c o n to rn o

o . » - 2 v » ü ) i ______ £

AV h a2 po*»V|x=0= v | „ ti=K|¡_ 0- i '| ^ (l= l\

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etor, |f 0) 0)— cos — r2 —

[ a a

1 a> — sen —

r, o r’ )I

0(t )>2- ^ )1 scn-£(r,— r,)+ |Í_í---L]

I r , r, J| C 0 S - ^ . ( r a — r , )

Su solución la buscamos en !a forma+ OO

T7 / \ ^ A m J lX „ n n Vv (z, y )= >J Amn sen -y- sen — .

7TJ, 7 »=1


d*U „ / d*Ut , 2 QÜ \

=eo)cos o)í, *4^- I = 0, 0 <C*<-J-ooOr | r= n &r |r=rt

(V (r, I) es el potencia] de las velocidades de las partículas del gas) que representa las oscilaciones armónicas estables con la frecuencia <t> es

V (r, 0 -/ r«i m 1 fii \ («)

eos — r

— i - +


------ ---- -------------------^--- --------------- ------- /COSO)/,1 y / r.\ v i>. 4 \ / A A v m r I

Indicación. Buscar la solución en la forma

V (r, t ) = R (rjeosue.

56. La solución del problema de contorno *>

S - ( S + r £ ) . — l1>■Ur0’ ^Ur0' (2>£/(r, 0) = 0, y ( (r, 0 )= - - ^- /(r ) , r, < r < r*. (3>

Po+ 00

», / TI < cosXnr4-YnSunXnr ____ .es U ( r , í ) = V An -----------sen aKnt,

íiwldonde Xn son las raices de la ecuación transcendente

. , JH /r t — 1/r,tg X « r , - r , « ---- , " .

i—rlr2

Xn Sen An j~}----COS \jiT2r 2y n S --------------------------------- 2-------------------

O / 01 „ W 12a t ( — sen — r$ -f- ■ \ a a

1 ü) \ — cos — r„ r2 a i1

sen-^ (r ,— r,)+ |í 1 1 \ „ <o . .

4?.n eos ?.nra---- sen Xnr2

T2a2 r

¿ n = — — \ r/(r) [eos Xn^ + Yn sen Xnr] dr. Po J

*) C/ (rt í) e3 el potencial de las velocidades de las partíc ulas del gas

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Indicación. Pasar a la nueva función incógnita

V (r, t) = rU (rt t).

ib) Medios heterogéneos57. La solución del problema de contorno

o Ü Ü L - T „ /£ íí . i4-d2“ i l 19l^ F - T°Xd& + !F />0 C a: 0< y < / 2, l 0^ i

< t <+<*> (1)

u (* o - 0, y, <) = « (*o + 0, y, t), \ <. , lt£. r 0 m«x (xo-0, ¡/, i), / 0 < l < | oo, (2)

uIi - 0 ~ “ /jc=!i = u lK-0= u ,K=¡2~®>« (* . y. ») = / (* , y), tit (x, y, 0 )= F{x, y), 0=Sy«SZ2,

OS

u (xi y> 0— ^ Mmn w8 í-mní+ mt» sen Xmní) í'mn íxi y)i m, n«J

donde

%»(». !/) =

sen (úmnx nny .--- — -- son- y i, 0 < a r . sen^p, * „ « * « ( , 0 « y « < a,Sen ú>mn (J| - ^o) 2

n2n2 - rt27l2< = | - “ - ~ £

«londe \mn (m, n = t, 2, 3, . . . ) son las raíces de la ecuación trascedcnte

1 * i -¿ "■ ** , __V_) -¿ "7’j* 9 7n n T¡¡ || 5

(í)

(i)

(5)

(6)

- } / " { ('«“ W r7x™" f"}> (7)

0- *1\ ) |1 (*. y) / (*> i/) (*. y) dx dy6 o

!*I wmn Ilí li\ \ n (*, l/) F (*. y)vmn(x, y) dx dy

&mn —-hrnn |iymíi II2

Pn 0<z<x ,„ 0< y < ¡ 2, 1< J ! < i , , 0 < y < í 2, /

(8)

(9)

(10)

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II i'mn IIa = j j U) Vmn (*» //) dxdy =

t> 0

- MPl*n P2 Ul-xo)

sen2 ci)mn2g sen2 « míl {lt —


3*u „ r atu . Z du \ , , ,P” ~d7i_ lPo \ ’0rí + m7 JF I ’ ° « r « r‘’ '> < í< - r« .

) ■

„ d*u „ / d*u , 2 du \Voi-gp— ICiPo { -g^+~ 17 )> ri< r < ra

<?r — Poi " lr= r !- o — Po»" lr= r i+ « ’ir—ro

du I

dr ¡r=r,-o"

Su

ár lr-rj+0 '0 < t < + oo ,

« (r, 0) = / ( r ) , «, (r, 0) = 0, 0 < r < r4.

u (r, í ) = 5 j ^ cosqui, 0 < r < r ¡ , O C ÍC + o o ,

n=ldonde X n f n ^ l i 2, 3, . . . ) son las raíces de la ecuación trascedento

Xr, X . __ XPoi sen - — Poaeos - -pos sen -

a. i X X Xi , 1 X X X . 1 X-cos— r ,-- sen— r, —sen— r, -i— cos— r ,--- ¿eos— r¡ -{— sen— r.i at 1 r¡ a, ‘ a¡¡ <>2 r, aa 1 a a2 ri at

X X . 1 X X X , 1 X —sen— r»H— cos— r»---cos— r,-l— sen— r,a . a . ¿ 1 r . / i. “ n . / i. “ 1 r . 4

etn sen -

<>n (r) = <

PnCOS-^ r-j-7 n son -^2-

0 < r < r , ,

r, < r < r 2.

(11)

(1>

(2)

(3)

(4)

= 0, (5)

(6)

Las constantes a n, Pn y Yn se determinan con exactitud basta el factor constante común del sistema de ecuaciones

(p c lsen-^- r i) a n — (p ó je o s ^ - r , j p „ - (p0.sen r, ) yn = 0>

/lí-cos-A n r ---L s e n ^ - n ) « „ + ( Áü. sen - ^ - r ,+U , <h r , « i / l «1 «2

_j--Leos iü- n) p„-t- ( — - -cos r ^ — sen rA Yn=0,r 1 «2 * \ «3 «2 »1 Cj /

) Pn +

-(- í-í- sen — rs— — eos — rt ) Yn = 0,V r, a. a, a2 1 / ‘

{-í-\ r.

(7)

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] T* <r) / (r) »n ('•) dr

An — — --- rr-— ------ . « = 1.2, 3.........I»»

.M

M O ’í °< r < r "

I f t * * < '< * ■r»

<-'n 1*= | H (r) »?i (r) dr.

(b)

(9)

(10)

2. Problemas de contorno que requieren la utilización de las funciones especiales



d2u * / 02u . 1 du \ A A ,( ~ + T — )> ° < r < r°' <><<<+“ •

B(r«, í) = 0, 0 < t<- t-oo ,

u (r, 0) = <p(r), u¡ (r, 0) = (r ) , 0 < i- < r o,

es

«<r. 0- S {¿»C03(UJ ^ , ) + f l n3,m{a-!ií- , ) } / 0( ^ ) ,

donde

An~ í i a V o p J r<p(r)y° ( ' v ) dr’o

r °¿ f » = ----- ,7 . ... f ri|)(r)J0 (■— -) dr,

J M r , /

Un son las raíces positivas de la ecuación / tf(ji) = 0.60. La solución del problema de contorno

|r}> °<>-<r.. 0 <«<+ oo ,

u (r0, () = 0,

« (r . 0) = il ( i — íj-j , uf (r. 0) = 0, 0 < r < r 0,

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(1)

(2)

(3)

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J ( K2L)

u (r, «) = 8/tJ 2 — ■ y° '■ c o s ^ i , n=l V -U i (fin) r0 ’

( — )'• r<i' (4)

fin son las raíces positivas de la ecuación / o ( j i ) = 0.Indicación.. Para calcular los coeficientes de la serie (4) utilizar ta fór-

x

(nula x j0 (x) dx = x j ¡ (x); establecer primero la validez de la fórmula

^ xV„ (x) dx = 2xa/ „ (i) + (xa — 4x) J t (x). (5)

61. El potencial de las velocidades horizontales de las partículas del agua es la solución del problema de contorno

<W . f 0*U . 1 ^ n ___ ...I í 5 - = a { ^ - + T - 5T /> 0 < t < + » , (1)

Iu (0. OK+oo, 0< í< + » , (2)

V (r, O )- If(r), J/,(r, 0 « r < r 0. (3)

Para él obtenemos la representación

í ’ (r, 0 = -^- J r(<p(r) + /\|>(r)}dr4 -

o•foo

+ S ( ^ c o s ^ + e n ^ ) / * , (4)

Tí—1

donde

4 = t o f ! r<p(r)/° ( ^ ) dr'ro

Bn - ------- 77-,--- vñ \ r'P M A) ( - ^ W r ,flHnro [ 0 (^«)] J ' r0 /

son las raíces positivas de la ecuación A 0*) = G.62. La solución del problema de contorno

(5)

d*u

dt*(i)

u (ro» 0 = o, 0 <r t <c “I- oo, (2)u ( r . 0)*=0, ut ( r , 0 ) = 0, 0 r < r„% (3)

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6 7 4 Respuertas, indicaciones y resoluciones

+0° J t i í*f\

„ (r. |) - * 2rS S cos «KS*\ , (4>

donde j»* son las raíces positivas de la ecuación /(,(n) = 0, p, la densidad superficial de la membrana.


^ • = í , { ^ + 7 -3 7 } + ? í ( r ' í>' O í S r e r , , 0 < t < + o o , <1>

u (rr, t ) — 0, 0 < í <-¡-<x>, (2>

u(r, 0) = 0, u ,(r , 0 )= 0 , 0 < r < r „ , (3)es

-foo

“ (r- o = S ^ w /(> »w=i

/ »-l>

<*» ^ f d , x) J 0 senCün(*— x)<¡5, (4)

n o

donde <un — —■l’1' y Mn son las raíces de la ecuación J<¡ (u)= 0.r 0

64. La .solución del problema de contorno

- ^ - = a a {-|^+ - i- ^- }- j- ^-sen<o t. 0 < r < r„, 0 < í < + oo, ( 1>

“ (>■0. 0 = 0, 0 < l < + ® , (2>

u (r, 0) = 0, B|(r, 0)==0, 0 < r ^ r 0, (3>

u(r, 8 ) . A sen(flí+J £ ^ x«f>

Jo (JtnL) scn^ünlV y-o / fov T1 r° r° Í41

¿ !ln (0) 5-aVÍ,) / t 1n= i

donde son las raíces positivas de la ecuación J 0 (n) = 0 si sólo la frecuencia <o de la fuerza impulsante no coincide con ninguna de las frecuencias propias de

la membrana mn = (no hay resonancia). En el caso de la resonancia la soluto

ción se halla análogamente a como se hizo en la solución del problema 133, § 3, cap. II.

J.<i5. u ( r , i) =■• A

(— ) +--- -— --- sen ü>!— AnJa ( — )i ¡ loro ' r« '/o

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donde

Hn son las raíces de la ecuación J„ (n) = 0.Indicación. Primero se deben hallar las vibraciones forzadas con la frecuen

cia de la fuerza impulsante en la forma U (r, t) — R (f) sen coi.Observación. La solución está escrita en el supuesto que no hay resonancia,

es decir, que o) ^ o>„ = ^ 5 , n = i , 2, 3, . . . I)


5 = ' ( S t í í ) - ' - w - » < ' < ~ » < ■ < + - < »K ( r a, 0 = 0 , 0 

u(r, 0) = O c r c r , , , (3).

VI. Ecuaciones de 1¡po hiperbólico 575-

« (r - O S * ~VZt 003 a nt + Rn Sen u¡nt) X / a ^ 'j , (4>

dondo

" “ T f / . W ! r'f(r ) j° i ^ - ) dr' <5>f»ro

j r t W / , ( i ^ - ) á r , (t¡>R n ~ ” —1 ''ift-f-í;----------------Oln <.»nr|I/, (Un)!2 ;¡

Un son las raíces positivas de la ecuación / n (M) = 0,

Sn = 1 / S - v » ) ,

(<j3li n — ro0)2) sen <*t — 2 v-ü) eos d)t (a2Un — rgctí*)* + Av«fií*

*) Suponemos que o,, son reales para n — 1, 2, 3, . . si para n =

= 4, 2, 3* . . . íi)n son imaginarios on los términos correspondientes, eos y ser* se sustituyen por ch y sh y el signo delante del primer sumando en la fórmula (6) se cambia por el opuesto.

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*- .í. ( — )

7J=«i

(0 V n — rl<ú*) coa toí 4- 2v*o) sen o>/

X (osr t —» > » ) » + 4v'u>* ’

donde |i„ son las raíces positivas de la ecuación /„ (n) = 0.Indicación. Véase la indicación al problema 50.68. Se debe hallar la solución de la ecuación

Ü¿L=«> /Ü íL x ± i£ .\ _di* l dr* ' r dr ) dt ’

que satisface las condiciones de frontera

I V (O, t) | < *4“ oo, V (r0, i) =

y después tomar su parte imagiuaria. Para este fin nos liberamos de la heterogeneidad en la condición de frontera, pasándola al segundo miembro de la ecuación diferencial; precisamente, buscaremos la solución del problema en la forma

V (r, t)-=u{r, 0 + 4 ~x-e'al , ro

donde

u(r, t)= /?(r)etu', |/?(0)1< + oo, /?(r,) = 0. (1)

l'ara /f(r) obtenemos la ecuación diferencial

tPR , 1 dn , —2vs<rti „ , f / útr* 4 \ 2or’ v1 11 ^ + T i r + — «»— «r 7»

cuya solución que satisfaga las condiciones de frontera (1) la buscamos en la forma

67 6 Rospucstos, ¡ndicacior.cs y resoluciones

*(r) = 2 AnJ, ( ^ - ) ,

<londe u n son las raíces positivas de la ecuación / 0(|j) = 0,G9. La solución del problema de contorno

d2u 2 r d2u , 1 du\ 2 ? , 4. .a-. < „ „ --- r—>— <x* \ ru (r, t) dr,

dt2 1 l dr* ' r dr J J v /O

O < r < r0, 0 < t < + < » , a= = - ^ 2l , (d)

“ (ro, 0= 0, 0< /<+«>, (2)i¿ (r, 0)= < p (r), uj (r, 0) = i|) (r), O < r < r„, (3)

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VI. Ecuacionos de tipo hiperbólico 677

“ «■. 0 = 2 { /)n c o s ^ Í 4 - « n s e n ^ Í } (|*„ - / 0(f<n)} . (4)

71= i ° J

donde fin son las raíces positivas de la ecuacióu

/ 0(^) + x /2(fl) = 0, K — f l f r rg,*) (5)

' B = . r . , T T 1 r<p(r)l'/o ( “ " v ) “ dr'*01 j % a * -)+ -¡¡r J ^

ro

»»=---p----------r í (r) í/o (**n t;) <tln) Idr-«.pn>-u[/?(|*B)+^r/Í(Mn)J ¡j "7' J

Indicación. Las soluciones particulares de la ecuación

2:i roü i L * , . . , f J ü í j - L

Ou 11 Pqgo{ dr* ^ r 0r J PiOo

que satisfacen las condiciones

| u (0, 0 | < +oo, u (r„ t) = 0,

tas buscamos en la formaU (r, t ) = R (r) T (í).

Después de la separación de variables eso conduce a las ecuaciones

r + W T - 0, { rR (r) dr.

oAntes de buscar ía solución de la última ecuación que satisface las condiciones

| R (0) | < + oo, R (r0) = 0, {1')

realizamos en esta ecuación la sustitución de variables: Xr = z, R (f) — R =

= y (z); esto conducirá a la ecuación

'* + 7 y‘+» (a)= \ x y (z) “*■ <2'>0

donde jx = Xr0.Con esto las condiciones (1) tomarán Ja forma

| y (0) | < -i- oo, y 00 = 0. (3')

•) Sobre las notaciones véase el problema 5.

11-0942

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Lü solución de la ecuación (2') que galisface Jas condiciones de frontera (3')la buscamos en la forma

y(x) - J 0 (*) — /„ (n). (4')

La sustitución de (4') en (2') da

J M lO )dx, (5')

0([iie conduce a la ecuación siguiente para determinar los valores ft que correspon

den a los valores propios X = ü-del problema de contorno en examenro

/0 (y) + (H) = 0*K (6)<londe

* . * J2d . *P»«? Uo

Tomando

/<n ( r ) = / o ( “ ) - ^ (»*»)•

donde n„ son las raíces positivas de la ecuación Irascedente (6), no es difícil establecer las relaciones siguientes de ortogonalídad*») para las funciones propios Rn (r) del problema de contorno en examen

{ r » ni r ) « m (r)rfr = ¡ 4 í - , - (^ + T T / » ('‘ ">J »arU » = "• I (7,

o (i para m ^ n. t

+00+ 2 An »„(<•) sen (1)

ron— I

donde x y JRn (r) tienen el mismo sentido que en el problema anterior,

roAn = ------p----- *--p-------- r- [ r\$ (r) Hn (r) dr, (2)


donde

Tc es la tensión de la membrana.

---- f---- --27----- T Í rí (r) (r) dr'‘■Mn'-o | ^i(»«n)+-^/Í(f«n)J o

If (r) = '■ 1---L í ! _ L _ --- 12x.i L (3)

*) Para eso, después do realizar la integración en el segundo miembro <le 5) mediante la relación (20), pág. 715 |7J, se debe utilizar la primera de las rela-(?) a ..........

eiones (21), pág. 715 |7], haciendo v = 1 **) Véase I38J.

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Indicación. Véase la indicación al problema anterior.71. La solución del problema de contorno

i»

—¡-c4A2A2u — 0, 0 < r < r 0, 0 < í< - f- o o , (1)

u (r0, i ) = « r ( roi <) = °> 0 < < < + oo, (2)u (r, 0) = /(r ), ¡»( (r, 0 )— F (r), 0 < r < r„, (3)

la buscamos mediante el método de separación de variables. Observemos que encondiciones do la simetría radial

. _ 1 0 ...g ^ + T7F> (4)

a las soluciones particulares de la ecuación (2) las buscamos en la Corma

U (r, t) = R (r) T(t), (5>

Obtenemos7” + <a*T — 0, T (t)<= A cos <o-í + B sen <o-í, (6)

A2A2« - k *R = 0, **=-|í-. (7)

La última ecuación se puede escribir asi:

(A , + *2) (A, - *«) f i (r) = 0. (8)

De esta manera R (r) puede ser la solución de la ecuación

(A, + * * )R (r )= 0 . es decir, ^ - + 4 - ^ - + í r » / í= 0 , (9)

o de 1;» ecuaciónjJD | J If

(At -*.*)/T(r) = 0. es decir, -i- *t/j = 0 . (9'>

Dado que nos interesan sólo las soluciones de la ecuación (8) que están acotadas para r = 0, entonces

R (r) - CV6 (kr) + D I0 (kr). (10>

Para satisfacer las condiciones de frontera {2), R (r) debe satisfacer las condiciones de frontera

R (ro) = B ' (r0) = 0. (11 ).

Sustituyendo con (10) en (11), obtenemos Jas ecuaciones

CS0(kr„) + D f ,(k r ü) = 0, 1

CJ¿ (*'•<,)+ DI* (*0 = 0. / U >

Buscarnos las soluciones no triviales de la ecuación (8) que satisfacen las condiciones de frontera (11), por eso las constantes C y D no deben convertirse eu cero- simultáneamente, en consecuencia, el determinante del sistema (12) debe ser Igual a cero. Así llegamos a la ecuación trascodentc

Jo (kr,) 1¿ (kr„) - I o (kr0) J ¡ (A-r„) = 0 (13>

para determinar los valores propios de nuestro problema de contorno k¡, k2. . . .. . . Como funciones propias se puede tomar

R„ (r) = R (knr) = re (knr0) / 0 (k„r) — J „ (k„r0) /„ (knr). (14)

VI. Ecuaciones de fipo hiperbólico B 7 9

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Estas funciones son ortogonales*) con respecto al núcleo r sobre el segmento0 < r < r». Para demostrar esta afirmación observemos que la ecuación (7) se puede escribir en la forma

6 8 0 Respuestas, indicaciones y resoluclonoi

a r cutre'cero y r0; esto da

W ,- « i ) ] rn mR n a r = { * » £ [ > ■ £ ( ^ ) ] ~

- “" é i - T l F ( (,6)*) La ortogonalidad de W„ y R m puede ser demostrada sin la investigación

detallada de sus comportamientos para r = 0. Tomemos las ecuaciones

&3&*Rn (r) — (r) 0, AaAtR m (r) k^Rm (r) ~ 0,

multiplicamos la primera por R w (r) y la segunda por Rn (r) y restamos; llegamosa la igualdad

Integramos esta igualdad sobre el circulo K con la frontera F. 0 < r < r0,0 < 'f < 2« y utilizamos la fórmula de Green

J R m ^ n d o = ^ [^mAjAjftn— ^nÁ 3AsRm1 da =

- 5 ( * - * ¥ * - " - í ( ~ >F F

- ^ Ü A í f i n ) * = 0 , (17)

dado que sobre la circunferencia I\ r = r6, tiene lugar

/im (ro) = fl„.(ro) = 0, « i ( r 0) = r t i (r„) = 0.

Si *mM>An (*m. *n > 0 ) , entonces de la igualdad

j \ «m¡tnd<J = 0

se deduce la igualdad

es decir,u — 0T

rn

j rRm (r)Rn (0 ¿r = 0.

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La sustitución en el segundo miembro de la igualdad última se convierte en cero idénticamente para r = 0, lo que se deriva de la estructura de las series para las funciones de Bessel J„ (x) e / o (z), y para r .= r0 esta sustitución se convierte en cero en virtud de las condiciones de frontera (11). Por eso para km =/= kn, km >> 0, k„ 0, será:

Si en la igualdad (16) se sustituye km por k y se pasa al limite'cuando k -*• kn, entonces, liberándose de la indeterminación según la regla de L ’HospItal,

hallamos»)

La solución de) problema de contorno (1), (2), (3) la obtenemos en forma de suma de la serie

(17)

o

< = rp l(k „ rt) IU k n r ,) . (18)

u (r, <) = 2 {^n eos (c*i&f) + £ n sen (ca*S»0} R„ (r).

donde

_0__________

72. u (r . sen (k*ncH)>

donde la rigidez cilindrica D es igual a

8Bh* ««)3 ( i — m»)

y /?n ( r ) tiene el mismo sentido que en el problema anterior.

*) Se podía utilizar de modo análogo la relación (17) obtenida en la llamada anterior.

**) Véase la solución del problema 18 del capitulo presente.

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C82 Rospuosfas, indicaciones y resoluciones

73. u (r, /) =

o * 00 sen (A ric*rt— .— -— '3011 o>í . . . % .. , ,_ 2ptcV; y UI_______ A (knro) Hn (r)<■>£> ^ , / * n £ lV ' k‘„rp i(k„r) / » (*„r) >

donde Rn y D tienen el mismo sentido que en el problema anterior*),

74. u(r, <) =

2 +M sen Ik^cPt)-- — son Mi , , ,._ c Po w ( / q (^*nro) — « 0 (^n^u)] /?n (f)

2 n 0 ¿ I / /££■ VJ ‘ *'br¡J$ (* „r„)/S (fcnr .) >*


¿>*uaia:r=®2 {I7T-+--7--fr} * r* < r< r” o < « + » . (i)

u(r*, O ^ u ír * * . t) = 0, 0 < t < + o o , (2)

I»(r, 0) = ip (f). i*f (r, 0) = H'(r), r* < r < r**, (3)+ OO

esu<r,«) = 2¡ (/ln cos(aXnO + n «en («í.n))/?n (r). (4)n=l

donde / l , t í = ; , ( r W / / ¡ » r i , ) - / , r i » ) / / í , ' ( r l , ) , (5)

Un son las raíces positivas de la ecuación

S, (r*X) V i" (r” U ~ J 0 (r**K) //J» (r»Á) = (l, (C)

, _ jW k _______ Jj(Ur*) V ...n 2 ‘ (k„r*) J (<>

r*

./S (W **W Í (W*) i *■* W «n (<■) *-. (7')r*

-f-oo

7 6 . u ( r , /) — /? ( r )s e n < ü í4 - ^ (r ) sen a>vní , (1)

n = !

« « — á j r x

í [ " * " F í ) ] - ' . ( t ) + )

*) En caso de resonancia o)-*-0in = c2, la indeterminación en la resoluciónsé salva aplicando la regla de L* Hospital.

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VI. Ecuaciones de tipo hiperbólico

n _ _____J\ (XnT*) C n t \ o j-” 2« ' /J(Xnr**)-/|(Xnr*) J (r) Rn {r) dr'

r*Rn(r) = J 0(y.nr) H ^ ‘ (kn r-*)- /0(\„r^) tfí» (X „r),

Xn son las raicea positivas de In ecuación

//0<» (Xr**) — J q (Xr**) H<f> (Xr*)=0.

+0077. u (r , í = > 2 {-4n eos aX„<-t-/?n sen flX„t¡ «J¡ (r),

n= 1ffS=-^o(W ) i / i ” ' (X „r** )- /í(X „r**)//<■>' (X„r),

Xn son las raíces positivas de la ecuación

J i (Xr*) //<"' (Xr**) — J q (Xr**) //<'>' (Xr*) = 0,

r** r**

j r«P (r) n* (r) dr j n f (r) « * (r) dr

, « „= Í 1 ---------- .

j r^J4 (r) dr aX„ ^ rflj* (r) drr* r*

+00I. u(r. *. ,)= { 2 ¿„/0( r ] / ^ Í - ^ - ) c o sacos *.+

n—i+00 -------------------------------

4- S " " " M - ^ H ^ C O S M | / f + ^ ,in. n O

I¿ _ = ________________________2___________________ f

J l/^nsns <1 . I ■. /" n*ji* to*-\ 3 f (a) eos ds,1 K 13— ( r° V -?— -¿r) 0 1

* — 1, 2 , 3, . . . ,

I

A°= ---TürT í / « * .toV, (— ) ¿

— -2 i>-a - _ 2A"nm —

r!-/8 (f‘m)

- w f c j I ' " • ( ? ) ' • W ' -a

Hmn — 0. 1, 2, 3, . . . sun las raíces positivas de la ecuación 7, (n) = fl

(3)

(4)

(5)

(1)

(2)

(3)

683

0)

(2)

(2 ’ )

(3)

(3')

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Observación. El término cos cot en la igualdad (1) es la solución particular de la ecuación

/ Ü Í U .- L Ü + Ü ü \d i2 \ dr* ' r dr T dt* f '

f,que satisface las condiciones heterogéneas de frontera del problema, ^

79. El potencial de las velocidades es igual a

+oo


«V, *» 0= { S /ln’ c h íK ( ^ “ ) } C0SÍI>í+m= 0

2 _ MIZ . / Hmr 'i - í/^M Ü i n * n a®»m COS — / 0 j COS M ] / — }-¡j— ,

rt, m * 0

rP ¡ ( ..m) | / 1 & _ J 5 Í sh t l / ' 4 - 4 X Í r / (r ) ' • ) dr>r rr. O2 r Tí a a o

* . « = - - T 2- J c h i ) / n = 1 , 2, . . .

I'm. (»»=0, 1, 2, — ), son las raíces positivas de la ecuación / i (¡») = 0 '80. El potencial de las velocidades es igual a

u (r, i, /) = | 2 '•nflj! (r) eos - y— } cos mí +

S w «•* ^-cosía j/X=,+ -2j í- , (1)n, m=0

/?n (0 = K '0 (x„r*) / 0 (y.nr)-K, (xnr) /ó (xnr*),

l2 P j / \ «nz . . ,v

An=ia -ñT ^ ) J 1 (I)Ü0S“ d2’ ',í= ,' ¿.......

•) Aquí se supone que x„ son reales; en caso contrario Kt e /„ se susliluyen |ior A’0 y J 0.

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Ecuaciones de tipo hiporbóllco- 58B

l

A° - m í( r * * )o

V!, <--> = / , d m r ) //<,»' (Xmr * * ) - / J (Xmr**) //<’ > (Xmr),

Xm'son las raicés"posltlvas do la ecuación

J¿ (>•<-*) B ^ ' (\r**)-J'0 (Xr**) (Xr*) = 0,

r**

An r!1n (r) /?* (r) dr

(/|)

= ---t \ \ \ rH*z <r) drj rl‘%,- (r) <

ii . i81. El potencial de las velocidades es igual a

+“ _____ j_u (r, i, i) = { 2 A*Rh <r) ch 1 y cos “ * +

h=0

2 Snmfl!M € ís 22ico í ía\ f w, »p=0 '

« í (r) = /„ (X„r) « i lv (X „ r* » )- / i (X„r**) í/<‘> ().„r),

X„ (n = 0, 1, 2, . . . ) , son las raíces positivas de la ecuación

/ i (Xr*) #{,*>' (X r** )- /J (Xr**) tf<lv (Xr*) —0*),

r**

J r/ (r) ÜS (r) dr

An — -

j / H — £ sil ¡ ] / X & - - j r/?*=(r)rfr.

C « / ’TT o? mju . „ ..1 — — 1 ch 2 y \\— cos —— dz, n = 1 , 2, J, . . ,

^no — — —p- j ch z " j / " —- • -y dz.

*) Aquí se supone que X* > — para todo n = 0, 1, 2t . . .

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82. u tr, w, Y __ r°, . 1 r° 75'“r<' n-A *nMÍ'°J'n

§ 8 6 Respuestas, indicaciones y resoluciones

A. n=0

ví°*X cos n (<f— <Pi) sen

< io n de n j," ’ son la s ra íc es p o s it iv a s d e la e cua c ió n J n ( n ) = 0 ;

-í í2 para n = 0paro » 0;

r„, el radio de ía membrana; (r,, n>,), el punto del golpe.

Indicación. Se puede en principio considerar que el impulso K está distribuido uniformemente en el momento t = 0 sobre el área elemental q>i < 0) = 0, 0 < (p < q>„, 0 < r < r0,

sobre el área indicada,f — £■«í (r, (p, 0 ) = < pr,Aq

l 0pr^tp&r

fuera del área indicada,

y después, en la solución obtenido con estas condiciones iniciales, pasar al límite «uando A<¡> -*• 0, y Ar — 0.

Se pueden utilizar también las funciones á impulsivas para la expresión <lc las condiciones iniciales, tomando

« (r, <p, 0) = 0, 0 < q )< q> „ 0 < r < r c,

«I <F. 0) = —2- 6* (r— r,) 6 (,),

<ionde la función 6 («f — Ti) se determina del modo habitual y la función ó*(r — r,) por medio de las igualdades

0ró*(r — r ,)/(r) dr = f(r ,), si r¡ < rt < rj.

OI r5* (r — r,) f (r) dr = 0, si r, está fuera del segmento |r¿, r¡¡),

rvcualquiera que sea la función continua / (r). De esta manera, el producto i* (r— ri)ó (<P—<Pi) es lo función 6 ordinaria para la región plana-, m ultip licándola por el elemento dol área en las coordenadas polares rdrdy e integrando tsobre la región en examen, obtenemos l ó 0, según pertenezca el punto (r,, q>i) a esta región o no*).

♦) Véase 17], pág. 301.

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83. El potencial do las velocidades horizontales de las partículas del agua es la solución del problema de contorno

d*u . r d*u . \ du , 1 ¡fiu \dt1 { dr"- + r dr + r2 0<p2 } » 0 ^ r < ro.

0 < q > < 2« , 0 < t<- )- oo , (1)

«rfro» t) = 0. 0 < < j> < 2n, 0 < í < + <». (2)

u (r, <p, 0) = ivcos(f\ u, (r, <p, 0 )= 0 , 0 < r < r p, 0 < <p < 2n, (3)

para í I obtenemos la expresión

+ OQ

u (r , Cp, í ) — t’qCO S<f ^ AnJ\ ( ^ T ~ ) C O S - 3 j ~ - , (4)

donde |»n son las raíces positivas de la ecuación /í(|¿) = 0 V

2|¿n J ( i ^ ) dr

An= r ,[ F .- IU !W (5>+ X> l

84. u (r, qp, t) — ~ ^ [ cos(<p—<.yr)xsen - ^ 2- (t — J)dx, (1)« p " l*n ' r o / J r n

íi—1 0

donde p,n son las raíces positivas de la ecuación /|(|0 =sO,

ro r<»

\ r lW J , ( » £ . ) * ■ 2 ¡ r / M / , ( M ) r f r

t» 0


J r/f ( ü ^ } d rr V \ 2 < M n >

(2)

di*

Observación. Se puede obtener la otra forma de la solución. Para eso se debe, primero, sin preocuparse sobre las condiciones iniciales, hallar la solución particular do la ecuación heterogénea

/ d2u , 1 du 1 d*u \ / (r)<-TT'A-----3--I---7--T-T ? + Z TTí'C OS (q) — íot),\ dr" ' r dr 1 r£ 0q>* J ‘ p

que se anula para r = r0r en la forina

Í7 (rt <p, f) = /? (r) coa (9 — &><).

Usando el método de variación de las constantes con la utilización dol wronskia-2

no de las funciones cilindricas W'{ / , (2), TV, (2)} = — , para fí (r) no es difícil

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obtener la expresión

Mil" « - i r 7 7 " « * ■ ( - ? > -

J \ ~ ) «


. * ( * 4

( - ? ) í ( ? ) " + # * ( ? ) 5 " » ' ■ ( t - ) *■0 V(’ o

Después se debo hallar la solución de la ecuación homogénea con correspondientes condiciones iniciales heterogéneas.

85. u(r, <|>, 0=| 2 Cn (aV& —d®*) A ( ’T~) } C0S(<P— '•><) — n=»l

+«*

— 2rgxí»> ( 2 « m > sen (>

n=l

2 Í r/(r)y‘ ( ^ )

" P>;2 <(*n) l ( ^ - a V 5 i ) 4+ ¡i ' 1 ^ ]

Un son las raíces positivas de la ecuación /[ tu ) — 0.Indicación. La solución del problema puede ser obtenida como la parte

real de la solución de la ecuación

-2ÜíL=as /¿ !Ü -L± ÍÜ + -LÜ M _ 2x^- í..Ü £L íí(,'-“') mitl- \ árJ ‘ r dr r2 á<p‘ i út ' p '

que se convierte en cero cuando r — r0. Esta solución de ]a ecuación (1) se puede buscar en la forma

U (r , 9 , (r)*1**-*0 .

La solución de la ecuación diferencial que se obtiene para R (r) se puede hallar en la forma

-foo . .

f l(r )- 2 AnJy ( i ^ ) .

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Sljrr*

Vf. Ecuoclones de tipo hiperbólico 68 9

5. u (r, 9 , í)= | w (r , (<)}cos n<J>,

+» / „ ( ÜZ2Í.) i

» i.r , 0 = -^- 2 ----t )d t .

m**»t m 0

’t’m (O*

2 j r [3aa/ (í) — r*/* (01 ( J^ L) dr

jim son tas raíces positivas de la ecuación Jn (n) = 0.

+oo

87. u (r, 9 , t) = sen<j>t ^ J n ( * j r ) (•^nCOSncp+

+ 00+ fí„ sean<f)+ 2 Jn ) (Anm coa " 9 + B*m sen nq) sen a^ m ' ,v “o / r0

ti, m=0’ son las raices positivas de la ecuación / n (n) = 0.

2n 2n

—------f F (<p) dy, An = ----- t---- ( F (9 ) cp a . ) ¡ (j e l ) ]

A0 = ----- - ^ v— \ F((p)d<p, An ---- TT~T \ F ÍV) C0S n(P ¿T»2 j i/ 0 \ u /

n = » l , 2 , 3 ,

2n/Jn13----- -------í F (q>) sen n 'f d<f, n = i, 2, 3, . . . ,

« . ( ^ ) í

ro

--------- i í p ’ ' ' * .........................

fí"m~

indicación, 1‘rimero es conveniente hallar la solución particular de i» ecuación.

. . f S*u , l d u , i d*u \012 \ dr1 r dr r3 ¿ícp3 / *

que satisface la condición de frontera

u (r0, 9 , t) = F (9) sen at.

Esta solución particular es natural buscarla en la forma

V (r, ip, 0 + (<■• <t) sen “ *•

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88. w(r, <f, 2, í) =

•feo

~ { S Amín ( r “^7?---^ r ) cos eos n<? coa wt 4-»—o-foo

_L V . , I ttÁ'í 'r \ mnz ~\/ mJn2 . rf'*+ Z j A m h Jn \— -- I eos —— COS nip COS at 1/ -- ¡3-- 1--- 5— ,

m. k=0 0 ®

Pá”’ Sun l;ls raíces jjositivus de la ecuación 7 ’n (|i)= 0,

i i2 j I (z) cos - ~ Ü <jj f f («) d i

y1>"= / = .. ■ ■■ ---- /- 5=5= =S=— >

- 2¿„, j r/n ( r ) / ^ 2 1 - ^ - ) / n ( ^ ) dr

Amk— — ---------- -

1- £ r .\ W > )\lh

m = 1, 2, ..., k— 0, 1, «.*,

-2A0 J r j„ ( — ) I n ) *

¿oh'-------7------------------ • * = 0, 1, 2, . .

rH ' - ^ ) r j - /" W 'U)L H J80. u (r, q?, 2 , í) =

= | 2 AhJn ( —7 — ) c h í 1 --- 7 t } cosn«¡pcos(iií +

*= 0 ° °

I K1 . . I ni"*'- \ "irts . T / m* ñ * Mf c-I- 2 j ¿mhJn eos—j—cosnipccsat y —^--------|----,m , °

ji;(n ,son las raíces positivas de la ecuación J'n 0 0 = 0 ,

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2 t f , T / Ia ! " * * ü )a j n » ,

Amh --J Ah J Ch 2 y —pj---7 TC0S /--O

4o* == —y Ah J ch z } /

VI. Ecuaciones de lipo hiperbólico 591

m = 1, 2, ...,

A==0, 1, 2,

,,('02 rJ í_---® dfi /c=0, 1, 2........

4/f90. « i r , (p. 0 = -----X

íW oP

/ /Z íl jlV ( \r r 1 r° ' $ 1 r° ' nn<t nmfr MÍ0 •*

X V - —---- ?■ ,-------- scn— — son-------------- — sen —---- , (1>Z j v T J ^ t ( ^ n ) ) f » 'f» r » ’

*■ n=1 1»

donde (rj, <pi) es ol punto en que fue comunicado el impulso, K, |a)/*’, la»

raíces do la ecuación J nn (|i£n, = 0.

Vo

91. u (r, q¡, í) = — —- X«P«Po

x ín ,/S « (X ^ V ,) n nk (r) n nh (r)

x 2 j ______________________..f., 2*2 ,[n " g it,,»;,11'»!,-.<•=• •'¡U % i'o

<P«» <í>»>

donde ^nfc(r) = £ nji M n>r) >' ^ in> tienon el mismo sentido que oii el pro-

~<¿7bloma 45 cap. V; (r. <p) es ol punto en que fue comunicado el impulso A’; p„la densidad superficial do la masa de la membrana (la masa de una unidadde área).

92. El potencial de las velocidades de las partículas dol gas es la solución dtl problema de contorno

02u _ 2 í d*u . J_ ñu , _1_ 02u ^

$f‘ ~ “ \ dr2 + r dr + r“ ¿cp» / >

'•l = S r < r s, 0 < q /< 

i r L H r L . - 0- Í U - w L - '

« S S S - r » . » ) . } ' • < r < r '- » < * < » • »

La solución del problema de contorno (1). (2), (3) so puedo representar ei>la forma

+ oo

u <r. q>, í ) = 2 tAnk cn$ aK ” 'l + t ín)l sen a>.'¿"t) /?„* (r) cos , (/,)

7Í, /<«=<)

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donde

“ no = « " 4 * „ W T». (»«Po «Pe Vo *P*

7 //° son las raíces positivas de la ecuación

* hk <^i> i* '*)- 'n* (W (6)•Po <Po «Po «Po

2 r*^ n » = -- ;--—----- f \ U r, <f>) flns (r) cos r dr d<f, n > 0, (7)

V J J (Po•Po j r R nk ( f) i r r* °

r\

r, <J>„

¿ah — — -— -----— 1" /(<■. <P) (r) r dr ¿<p, (8)

<Po f rfllk M dr f, bn

j r* .„ * (r)dr = ----- -- --------- . (9)

ri *

93. Resolución. Colocamos el origen del sistema esférico de coordenadas en el centro del recipiente y dirigimos el eje 0 = 0 según la velocidad del movimiento del recipiente para I < 0. Entonces, el potencial u de las velocidades de las partículas del gas no dependerá del ángulo , (2)

u (r, 8, 0) = Vr cos 0, u, {r, 0, Oj = 0, 0 < r < r„, 0 < 8 < n, (3)Es natural tratar de buscar la solución del problema de contorno (1), (2), (3) cu la forma

u {r, 0, <) «= w (r, i) cos 0. (4)

Esto conduce al siguiente problema de contorno para u>:

d*u) . f 1 á / , \ 2w 1= “ { 7 5 -5 7 ( r ,- 5 r ) - — } ' ° < r < r«- 0 < l < + « ,, (5)

«’r(«V 0 = 0 . 0 < f < + o o , (6)

u>(r, 0)=vr, w,(r, 0) = 0, 0 < r ^ r 0, (7)

que se resuelve mediante el método de separación de variables, además,y para w(r, t) obtenemos la oxpresión

Hr. <)* S ~-- (8). y r roA-l

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VI. Ecuaciones do tipo hiperbólico 693

donde m* s<'n las raíces positivas de la ecuación

vS'3(h)-jS3M =o , m2 2

r 9 5

p

Au~-~--- ----- 5-rr, * - 1, 2, 8, . . . (10)

94. El potencial u de las velocidades dft las partículas del gas es la solución del problema de contorno

, r 1 a / , du \ . 1 d / „ du. \ l

{ r“ dr V dr ) sen 6 3 8 ) } » ( )

0 < r < r 0, 0 < 0 < j i , 0 < ¿ < + o o ,

=(0A cos 0 cos ai, (2)

0-ti~W

du

dr |r=r.

u (r, 0, 0) = 0, u ,(r , 0, 0)=>0. (3)

La solución dol problema de contorno (1), (2), (3) se puede representar en la forma

u (r, 0, t )= '| m J4r+ 2 An —-— cos 0 cos (0< +

' • I W+ 2 c * ~ — T 5— c o s 0 c o s — * <4 >

donde nn son las raíces positivas de la ecuación

i - / 3 (| i)=0 , (5)

2 2

r „ 5<ú*A

Ah — — j—g----------- --------------------------- , * = 1, 2 , 3 .......... (6)

(*h#) 412-0942

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í + » / 3 ( j t t ) 1 1 *( r 2 r ( M f t M

| “ l r ! v - \71=1

1 1 l r 0 J2

dr

i'H'-iIJ----“ r----5 - T - ^ * * = 1 - 2 ,3 , . . . (7)4'!«r*-wJ

2

06ser«íción« El sumando

i '.psm0)<4r-f“ 2 An 2 --- J eos 0 COS O lí, (8)

+oo2

que entra en (4) es la solución de la ecuación (1) que satisface la condición defrontera (2), pero no satisface las condiciones iniciales (3).

La función

cú>lrcos 0 cos (ot

satisface la condición de frontera (2), pero no satisface S!a ecuación (1).

í „ , * '95. u(r, 0, <) = | t¡7 J= T + 2 A‘ ----y j --- — j ^n(cos0)cosoit +

+ 5}C*----- ------- Pn (eos 0) COS —i--- , (1)ü V r ruft-i 1

donde |i¡,n) son las raíces positivas do la ecuación

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is f t + V * — ¡tí— r ' < (— )Ck= --- 1=1

dr

? - » í , i H " ’ i .

„ r » i < — ) *

rü ,2 ,u .nn f t «<« + <) I2 \+i ^ >L‘ „r J

-Ak. (4>

Observación. Véase lu observación a la respuesta al problema anterior. *JG. El potencial de los velocidades do Jas partículas dcí gas es la solución

del problema de contorno

02u

<tl2 ' { ^ £ K ? ) + r a r £ ( “ » w ) ! . «>0< r ^ r 0, 0< í < + oo,

uT(r„, e. t) — Pn (cose)/(/), 0 < 0 < n , 0 < í< + o o , (2)

“ (>•. 0, 0) = t»t(í\ H, 0) = U, 0 < r < r0, O < 0 ^ n . (3)

La solución del problema de contorno (1), (2), (3) so puede representar enla forma

H(r, o, <>=’ i. »ff-‘

fc=i

donde nj,"’ son las raíces positivas de la ecuación

/ Wí r \

(t) v-i n+ i ' r« ' ,

^ ' 2 1’» <‘>------ ^ ------- I fín <C0SÜ)' (4)

Jn+ ;

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+~ 7n+ ■ ( ? )97. u(r, 0, ----7p=---P^cosO )} cas <út -J-

71** l

j tWirr)+“ .. i (~?r /S , n+ - \ ro / <riiín ,¿

■¿nfc---- 1— —----- Pn (coa8) eos—lií-- (|)

An — ó n '- ' t A \ / (0) P n (eos 8) sen 6 dO,(ro)

, n=u, i, ;/?n (r) = --- ------ , n = U , l , 2 , . . . . (2 )V>

¿nh — '

A*=* 1, 2, 3......... n - 0 , 1, 2, 3......... (3)

donde son las raíces positivas de la ecuación

I»/. M - J j i (l*)= 'l. (4)

n + i n+|

98. 151 potencial de las velocidades de las partículas del gas es la solución del problema de contorno

d2uH¡* ■ ' ( i í l ' i l + j i í í ( - " 3 9 w ) ■1,1

i ü | = / )P ^ (cos 8) cosm9 cosoi(, (2)f l r |r=ro

«lt-O=«tl(=O = 0i (3)

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La solución del problema de contorno (1), (2), (3), se puede repre^ntar eü la formo

3J ,

u(r, 0 , cp, l) =(?) COS (t)í

' . ( * ¥ )+«>

+ 2 ii=i

,,+i ' r“ cosí ^ y r ro

donde jAfc son las raíces positivas de la ecuación

>xJ’ , (|1) — x J . (u)“ 0, »+* ¿ »+s

(eos 0) cos m<p, (4)

(5)

Ak — —

3 '0

X r ? J r-/„+ <( ? )

f —2 / ' , 1 “ n+ i m J Y ^ i (f1*) [J B+ 5

, " ( “ + 1)1

l‘.5 J

*= 1, 2, ... (6)

99. « (r, 0, Ti í) = eos mtp cos toí 2

. ( ? )

J , I ^ n 'r \

X P ” (COS0) + COSm son las raíces positivas de la ecuación

1¡ i j ' , (n) — j j , 0 0 = 0 ,

" + ~ ¿ n+ T3 n

r0“ j I (0) Pn (eos 0) sen 0 d©

(2)

¿ i 71 —2 (n-(-m)l r <jjr0 ( wr° ) 1 r / (»r0 \ I ’

2 n + l (n — m) 1 L a n+-i-l a l 2 „+_!_l a / J

(3)

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M " l Í T 1) ' <

r'é ... . <m. f . « (n + t) I0** >L‘ — ¿ p - J

(4)

100. El potencial de las velocidades de las partículas del gas os la solución deJ problema de contorno

1 1 . . .

"*■ r* s e n 2 6 S<f2 i '

= / ( < ) P y ( c o s e ) cos m<p, / ( 0 ) = / ' ( 0 ) = 0 , (2)du

dr |r= r0

«li=i>=“ ll=o=0. (3)

La solución del problema do contorno (1), (2), (3) se puede representar en la forma

í , . „ „ -“ <r’ °- *>= y¡ ( 0 ------ — 7=---- P% (eos 6) cos m<f, (4)

nro “ i V r

donde son las raíces positivas de la ecuación

y J ‘ i 00 — \ J i 0 0 - 0 . (5)

n+T " +T

% (<) =r J. p (IU,Ln^

\ /'(x )scn— p — {t-x)dx, k = i , 2, 3................ (0)J ro

Áh= -----5-¡----_ 2 ------ ^ 4 ----- , , . * = 1 , 2 , 3 , . . . (7)

n r r 4 ' 2 ± ( ‘H 1- 'ÍLIíLtii- ,n-T n0

| +00 (X*r) — (X*r) |

101. u (r, 0, 0 = 1 2 ----------- -------eos a\ht\ cos6t (1)— t v t

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VI. Ecuaciones de lipo hiperbólico 599

donde Xk son las raíces positivas do la ecuación

f irx J '3 0 .r { )- ± - J± (Xr,)] [xr,¿V '3 (Xra)— ±-AT „ (X r ,)] -

2 2 2 2

[*Xrr ^3 (Xr2) — *2" / 3 {Xr2) J |" Xr,¿V'3 (Xr, )— N 3 (X r,)]“ 0, (2)

T T ~Z T

oír — Xfcr,^ ^ (Xftr,) *2” 8 ( *fcr))» Pfc — ^ r , / j (Xftrt) — J (X^rg), (3)

T T T ~2

? 5» J f 2 [aji-T^ (X)¡r) — ¡?fcAr (X^r)| dr

^ ---------------- ------------------------ - -------------------- , * = 1 . 2 , 3 . . . (4)

^ (>■*>') — Pk-V 3 (X*r)J2drr¡ 2 T

102. u (r , 6, ( ) = | ---------- — --- -------COSWÍ +

+ » a s/ 3 (X^r) — pftW ^(X *r) "j

+ 2 Ah ---- ----- T I --- -------cos aX*l | cos 0, (1)

donde Xj¡, ctf¡, p|¡, tienen los mismos significados que en la respuesta al problema anterior,

-íO'im-T'it-!?-)]a ~ la* IY (w, o, n . r,> "

m j -2--------------------------------------------------------- 2

p- “ ---------------- i - ------------------------ 2---- • <»>

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000 Raspuosfas, indicaciones y resoluciones

W((ú, a, rlt r2)=*

(4 )

• í

j <• [a*.^ (U r )~ f ii ,N ^ (X*r)]sdr

(5)

Pi



<?»U]í í2 1 * * . +

_1_ a«i , i á2u,

i ar» + r 3r “ r4 dtf2

/ Éfífa? I _1_ au2 , i asu2{ ar* + r dr 1 r¿ 5<ps

“ (ri — 0. <F> <) — “ ('"i+O, <J, <)• \ 0 < 0 < t < 4-oo, (2'->

u (r„ <p, t) = 0, (2*>u (r, <p, 0) = / (r, <f), “ 1 (r, <p, 0) = F (r, cp), O < r < r „ O < 9 < 2rt, (3>

u (r , <p, « )= 2 f lmn(r){[ámn Cos nq>+6mn sen nqpJcosAmní-|- m, n=>i

+ [ó:mnCosn<}>+&mn seo n<pl senXm»«}. (4)

donde Xmn son las raíces de la ecuación trascedente

/ „ (ar¡) N n (cír,) Jn (<or,)

ñ j ' n i w r j ü s N ’n ( M r , ) ( W , )

0 Nn (cor,) J n (fflrj)

= 0, (5)

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fimn (r) ■

— Pi^ — jr.\“ =-TT> “ =- £- • (6>

[ /rt (rjJrr.r:r'i) Arn ((,)rnrirj) — Afn (tómnri) /n {G>mnr2)] n n r)»0 < r < r „

[/n (comnr) A?n (Cc>mnr2)~ (tómnr) J n (^ptn^a)! Jn (c*>ninri)»

r, < r < r3,

2."; rtJ' d) f lmi* (r) sen ncp dr

Ómn = -2---í----------------------. (»>

Ji j |i (r) P2mn (r) dr 0

Las fórmulas para <tmn y T,„„ ee obtienen de las fórmulas (8) y (9J medíanle la.sustitución de la función subintcgral / (r, cp) por F (r, cp) y la adición del factorm.n en el denominador.

§ 4. M étodo de las representaciones integrales1. Utilización de la integral de Fourier

c) Transformación de Fourier

Recordemos que la imagen de Fourier de la función F (¿e, y) con respecto aü

núcleo se llama a la función

+00

F (X , n )= - ¿ - \ \ f tH + W p f t , n) dsdn- d>— 00

El original se reconstruye según la imagen mediante la fórmula de inversión

+ 00

F(x, J0 = -¿- í j (X, n)dXdn. (II)— OO

Análogamente se determina la transformación do Fourier en el espacio*).

*) Para más detalles véase el cap. V, § 3.

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i 04. Resolución. Utilizando la transformación de Fourier de la forma (I) ■a la ecuación (1 ) y las condiciones iniciales (2) del problema en examen, obtenemos la ecuación diferencial ordinaria y las condiciones iniciales

— ¿¿7 " <)- +a»(X»+n»)ü(A., n, l )- 0 . (1)

Ü(X, n , 0) = Ó (X ,n > , dU 0) = V (k , K), {2)

donde u, O , V son las imágenes de Fourier de las funciones w, La solución de la ecuación (1 ) con (as condiciones iniciales (2) se escribe en la forma

üWti>(X, n)coSflpt+ ¥(X . n) sc“ apf , (3)

*802 Respuestas, indicaciones y resoluciones

1/tih/ando la transformación inverna do Fourier, hallamos

4*00

" (*. !/. O =-$j¡- { J j n)cosapic- 1(í-*+MI/)dXíín-í-

— oo

+ J J V (X, (1) S° ¿ " P~ rfX <¡j.} . (4)

— o>

Sustituyendo los valores de Q (X , ji) y V (X, |i), llegamos a la igualdad

-feo

y ’ l) = l 2 S j r .í j .í j I ® ® ' ’l ) c o s a P‘ +— OO

+ •F (g, r¡) SOn~ } e« ’'(x-E)+H(l/-il»dEdT) dX (5)

■donde

p = V X * + p .

Introducimos las coordenadas polares mediante las relaciones

z a r c o s <p, X = (>cosO, \_ f (o)

t] — y — r sen (p, ^ = p sen 0, )

obtenemos: X (£ — x) -f- ja (q — i/) = pr cos (6 — q>) — pr cos <p', donde g>' es•el ángulo medido como se indica en la fig. 54.

A los primeros dos sumandos del segundo miembro de la igualdad (5) los indicamos respectivamente por (x, y, t) y u2 (x, yt t). En virtud de (6) tendremos

+oo +oq 2zi 2nl*. V. O - - ¿ r 5 5 J J * (¡j, T,) -3- ^ - ™ • ' pr dr dp d<t d<?. (7)

0 0 0 0

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En virtud de la igualdad *)

_ L j eipr<MV á9' = /o(pr) (8)

de {7) obtenemos:

•4-co 4-cc 2fi

M *. y, 0 = 2 j j í V tt* T») *** apí/° (Pr) rdr d(P' (9> o o o

Pero ••)

+«> í 0 para at < r,

\ / 0 (pr) sen api dp = < 1J I — 7 ~r'» j para at > r,O [ r5 ^

(10)

por_eso

a t

1 f f V (g, >]) r dr d<f

Ua(x-v- l») 0 0

«! se puede obtener de u2 mediante la diferenciación respecto a t, si prc-

Fig. 54

viameute sustituimos V (£, í\) por <t> (£, ij). De esta manera

a t 2 n

u(x. y. /)— 1— 2. f f JH i i i jL L ^ íL +1 ; 2jxa dt ) } Y w — r*

o o

at 2n

+r ¡ J0 0

r -!/■(*-6)»+(y—1|)».

'P (I- 11) rdrdtp

y'” aa<*—r(12)

*) Véase [71, pág. 741, (13').•* ) Véase [7j> pág. 751 (12) y (13).

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6 0 4 Rospuestas, indicaciones y resoluciones

IOS. Resolución. U tilizando la transformación de Fourier análogamente como esto se hizo en ta solución del problema anterior, obtenemos

donde

u (i, y, z, t) = a, (x, y, z, l) + u2 (x, y, z, i). (1)

u.tr, y, i, t)“ (2n)3 í $ 5 5 5 5 ® rs' i',t)cosap‘ x

S J 5 !x e i t> < * . l ) + n ( i / - » ) T V ( Z - ; ) ] d ; d t l d 5 d X d f l d v (3 )

(p = l A ! + l*2+v*)- Pasando a las coordenadas polares según las fórmulas

\ — X = r sen 9 cos q>, i) — y = r sen 0 sen 9 , J — z ■= r cos 0,

(4)>. = p sen 0' cos 9 ' , p. = p sen 0' sen 9 ' , v = p cos 0',

donde 0 es el ángulo entre el sentido positivo del eje 2 y el vector r = = (J — x) i + (11 — y) j + ( t — si *y 0', el ángulo entre r y p = l ¡ + ¡ i j -(■

\k (fig. 55), es decir, tomando el sentido del eje z por el sentido positivo del

eje polar en el sistema esférico de coordenadas, obtenemos:

4-co -foo n n 2 n 2 n

(x-f-rsen0 cos<p, y+r sen 0 sen q>, r c o s 0) x

o o o o o o

x son afit eipr C08 e’pV> e sen 6. dp ¿r ¿g d9/ d(p dlf. ap

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La realización de la integración respecto a cp' y 8' da

+00 +00 n 2»t(x -f- r sen 0 cos «p, y-}- r sen 0 sen <p, r eos 0) X

0 0 0 0X Sen pr sen api r sen 0 dp dr dO dtp =

-foo -foo n 2 ji

í J f ^ ’lr (.r-|-r sen 0 cos <p, y-\- r sen 0 .‘‘en <j», «-freos 0) x

X (eos p (r— ai)— eos p (r-f ai)} r sen 0 dr dp dO d<f.

’ 4 ti Tao o o o

La integral

-foo +00

— j dp J rV (x + r sen 0 cos <p, y + r sen 0 sen <p, t + r cos 0) cos p (r— at) dr

0 o(5)

se puede calcular mediante la integral de Fourier

■feo -foo

— j dp j /(r) cosp(r— aí)dr = /(a i),

o o

suponiendo

í r*F (x+rsen 0 cos qp, </-f-r sen 0 se» cp, z-{-rcos0) para r ^ O ,

\ 0 para r ^ 0*

Sí / (r) satisface las condiciones de la posibilidad del desarrollo en Ja integral de Fourier y es continua, entonces la integral (5) es igual a cero para { < 0 y

atV (x -f- at sen 0 cos qp, j/ -+- at sen 0 sen <p, z -f at co? 0) para t > 0.

Análogamente

-foo -foo

rxP (ar-j-r sen 0cos (p, y -f-r sen 0 sen q>, z-j-rcos 0) cos p (r-f-aí)dr =

-J-OO f W

__( — afT {x— ai sen 0cosq>, y— atsen0 sen<p, z— a/cosO) para ¿< 10*

0 para * .> 0.

De e9ta manera

n 2n

y i *» \ >ir (¿--{-ai sen 0cos <p, y-j-at sen 0 sen <pt z-+-

0 04~a£ cos0) sen 0 <20 d<P,

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u, (x, y, z, t) puede ser obteuida de u2(xy y, zy í) mediante la diferenciación con respecto a t después de la sustitución previa de ¥ por O:

it 2ji« i <*> i/. *» í ) = '5^ { “¿ f \ ( ^ (* + ** sen 0 eos <p, y + al x

o o

X sen 0 sen q-, z-f- at cos 0) sen 0 dQ dtp} .

10G. j j * * l .0 r < o « - T ) '

r=v '(*-5)a+(ff-n)2. (1)

, , , , / ( í .n . c.107. u (x , u. 2 , I) = - f i ^ r j } 3 -------------------- ---------------------<Ü ¿r, d i, (1)

r^at

Pasando a las coordenadas esféricas como en el problema anterior, realizarla integración con respecto a cp', 0', p y r.

+00IU8. u (x, y , O — -jL 4> (x+ 2| y~bt, ¡,+ 2 |/F/) sen í (!i +~)s) d% d"r)+

-O O

I 4-oo

+ 1 T ( dt f j V ( * + 2 6 V 5 í , u+ ¿n v *») s ™ ' (Ia+ i 1) di dñ* (1)O — oo

Indicación. Utilizando la transformación de Fourier, nrt es d ifíc il obtener la expresión siguiente

4-oo

“ <r> V' <) = l 2 ^ 1 í ] í ’ l) cos ^ (? ~ £ ) co s H (!/ — T¡) X

t -too

X cu s *í(>.»+(i»)d|dT| < r t . < í ( í + j dx ^ j J <K(|, l l) co s X (x — ¡j) X

O —oo

X cos (i (y — 1|) cos i>i (X* + |i2) d| di| d\ du, (2)

si tenemos on cuenta que las integrales análogas en las cuales en vez (le eos X (x— 5) o co»ii(i/— 11) están sen X (x— i¡) o son ^ (1/— ij), son iguales a cero, l.as transformaciones ulteriores pueden ser realizadas mediante las igualdades

+ oc' ,[ c.os jkj2 cos qct d a = y - y cos ( --- J f ) ’

606 Rospuesfos, indicaciones y resoluciones

4*00 ___\ sen r a* cos qo d o - ] / - y sen ( -j- ~ -|j-) ,

P > O (3)

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y la sustitución de variables

Z—z *)—y ~ //vbt ’ 2 Y b t

VI. Ecuaciones de lipo hiperbólico 6 0 7

Las igualdades (3) pueden ser obtenidas, por ejemplo,- de las integrales de- Fresnel

■foo T , -fOO _

cos j a J x = "|/f-g" y [ sen z2 dx = j / " -g- (5>

— oo —oo

mediante el paso a la variables o de integración según la fórmula

* = <*V7— - ' . (6>¿ 1/ p

6) T ra n sform a ció n d e F o u rier-B essel

Recordemos que la imapen de Fourier-Ressel de la función / (r), 0 < r < -f-oorespecto al núcleo / v (^£)*) se llama a la función

+00

7 (M - J d>O

El original se reconstruye Según la imagen mediante la fórmula de inversión

-foo

/(<•)= j X jW Jy , (Xr)dX. (2>

,09. u (r, ,) = - 7 5 - í -------------- 1------------- +V < «- , -«JÍ \ . .1 t 9

r2— «2/3 1/2.14“— w

Indicación. Aplicando la transformación de Fourie.r— Bessel de orden nulo a] problema de contorno

( c)2u _L 1 Ó'1 \ A _ , _ ,—TT*- = a2 ■*— ?— ---- — ) i 0 < r , ( < + o o T (1)dt- \ ar* r dr /

» (r, 0) = / (r), « í (r, 0) = K (r), O ^ T r< + o o , (2)

no es d ifíc il obtener la expresión siguiente para su solución

-foo -foo

« (/- ,{ )= \ l j (X) cos (aXt) J-, (Xr) d>. + f 7(X )sen(aX0/«(Xr)dX . í.'t)

O 0

*) O, brevemente, la imagen de Fourier— Uessel de v-éslmo orden.

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En nuestro caso u, (r, 0) = g(r) = 0, por consiguiente,

A


? ( M = 0, / (r) =

Para /'(?.) no es difícil oblener la expresión

T ( \ ) (4)

Para eí>o so debe utilizar la relación

■i-OO

f «* “ *J0 (p*) d* = - 7 = = = - *)J 1/ ps +co*

y leí fórmula de inversión. La sustitución de (4) en (3) do:

+ 00U (r, t) = Ab £r~,%b coa (aXí) /„ (Xr) <fX —

i)+oo

= Re|yl6 J e-W6+ia,>/(,(X/-)dx}, (5)u

<lon<le Re (p -f qi) — p es la parte real del número complejo p -j- qt.110. La solución del problema de contorno (t), (2) (véase el planteamiento

del problema) es

+00

“<r- f)“w J í)/«,)y°(w)sen (-^r1) rfp*O

E11 particular, para / (p) =* Ae~i>7',(l~ obtenemos:

R*, /le 1+T* / /?* . /?* t \

®<r. *)“ -- r+7¡-( cos T+^7'+ t sen T p r3" / ’ ( >

donde

y (3)

Indicación. Para la imagen de Fourier—Bessel do orden nulo de la solucióndel problema de contorno (1), (2) (véase el planteamiento) obtenemos la expresión

+00ü a , í) = cos(4X*0 J II (i) /« (* .') di. (4)

*) Véase |7], pág. 750.

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Si, al emplear In fórmula de inversión, utilizamos la integral de Weber

+“ . / xs+r» \

j ZS<,aySo(>-r)*-pt2rt=-2¿-' 4P /o ( 2 7 )» (5)Ü

haciendo p = —í6f. entonces para u (r, í) obtenemos la expresión (i). Si en (4)

sustituimos / (|) — entonces para ü (Á, t) nos queda

4-oo 52 i

Í » | I , >,2aS

ai ¿o (^|) <%> = "g- ¿4aa« 2 eos (6<>.2), (6)

O

con eso se debe utilizar la integral de Hankel *)

avr (t ! |+ T v) x

2v+ lp2 ll't "2' Vr(l-|-v)

><Mt **+ t ví v+1> — J -)para v = O, p — l/os, n = 2, a = X.

Usando la fórmula de inversión y utilizando esa misma integral de Hankel para ft — 2, v = O, a — r y

a8 / 4¡6i \

^ = t ( 1 + — )

obtenemos la expresión (2) para u (r, <).111. Si el punto r = O se mueve según la ley u. (O, t) = O < l <

< -j-oo, entonces la expresión para u (r, t) puede ser obtenida según la fórmula (1) de la respuesta al problema anterior, si en ella hacemos

O

Si oj) (f) se da por las relaciones (1) (v<5asc el planteamiento), entonces

donde el seno integral y el coseno integral se determinan por las relaciones

X +00

Isen C C eos £

— Ci (*) = — J —

O x

Indicación. Suponiendo en la igualdad (1) de la respuesta al problema anterior r = O, obtenemos la ecuación integral para determinar / (r). Si en ella su

ponemos p = V I entonces ella se transforma en una ecuación integral que fácilmente so resuelve mediante la transformación seno de Fourier**).

*) Véase [42), apartado 393.*♦) Sobre la definición de la transformación seno de Fourier véase el cap. II ,

V I. Ecuaciones de tipo hiperbólico €09

§ 4 .

13-0942

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112. La ecuación de las vibraciones forzadas transversales de la placa*) para p (r, í) = 16píibf (r)\|>' (t) toma la forma

l F + b '¡ ( ^ 5 H— T- - ^ r ) 2 « = 8fc/ ( r ) r (t) - c o < ! < + o o , 0 « r < + o o .

Su solución es

■ <r.l>-4 j J P/ (P)sen[1 E l± lL j /o ( _ £ _ _ ) ¿p. (1>

— eo 0

Para los casos particulares obtenemos las expresiones siguientes para« (r» í):

t

•) “ (r, 0 = 4 - 5 ^ (T> sen L t F ¿ = ^ ] " ^ T 5— oo

í +00b) u (r. t ) = J n> (X) dT j /„ (|r) / , (|<i) cos (6 (t— i) S*| </&

— oo O

C ) U (r, 0= ^ j / o ( | r ) A (|a)l— c o i i6 % )

O

si r < o , entonces parn t < l0

+ * ) + * » ( * ) - -

- w G ( ^ r ) } -

donde

(i)a=- j--- Si ( j)— *Ci (*), G (*) = —— Ci <x);

una expresión análoga se obtiene para 1 > io! si r S> a, entonces

■ ' ' ■ ,> * ¥ [ , ' ( w ) + w c i ( í r ) ] ’

610 Respuestas, indicaciones y rosoluciones

*) Véase <»l problema 18.

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. („ „ „ ( ^ r ) , (5517¿ ríy )+

t

d) u (r, () = -4 j / (*) H (t— x) rfx,

— OO

donde

p*i

■■ - ( ? f r . ) J .


. 3 u ( r , f ) 2/Jpsf ,,J+ Í2 r / \ , í / « « M

e) ÓI “ ^ ( p ’ + í8) l.003 \P*-H, )~r P ( f + P i -I- a h &-

Indicación. En ol caso a) hacer / ( r )= , donde 6 (r) es la función Ó

impulsiva de Dirac; on el caso c) primero hallar la imagen do Fourier—■ Hessel para u (r, í)

( , (aX) 1 — cos (fcXgf)

- iwt\ ' 6a?.1 > ^i S&W/j (aX) eos \b(<— (o) Ás) — cos (JifX*) . ^ ,

l i w X ----------- W -----------’

y después utilizar U fórmula di* inversión. Al deducir las fórmulas asintó- ticas emplear las integrales

-foo 4- OO

J J\ (x) cos (6x2) dj*= 1 — eos J i (x) sen (frx2) </x = sen >

o o-fCO

\ xJo (x) eos (bx*) dx = - L sen (J j- 'j ,

0-f ou

j (j) sen (bx-) dt = 4jJ-cns ( l j ) •

Las dos últimas integrales pueden ser obtenidas de la integral de Weber dado en la indicación al problema 110; en el caso d) se debe utilizar la citada integral de Weber.

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2. Construcción y utilización de las funciones de influencia do los manantiales concentrados

a) Punciones de Influencia de los impulsos instantáneos concentrados

tl« . x ( « , » . « . I ) - - J - 6 ( r - 8t> = * ° ( ‘ ~ ~ ) (1)J 4 na r 4wa2 r ' r v /

donde r = f-*a.

En el caso cuando el impulso puntiforme instantáneo tiene lugar no en el origen de las coordenadas en el momento t = 0 sino en el punto r|, £ en el momento t = t la función de influencia toma la forma

y. (x ,y , z , l , r),S, t - t ) = 5 ------- --------, (2)

donde r = l / ( j . — )2+ (y— ti)2 + (í — f)2.

indicación. Se debo aprovechar el hecho do que **)

-i- | cos k ( j — dk = b (x — j-0)

y también que fi ( i + i,| - 0 si i y i , > 0 simultáneinente. La expresión (2) se obtiene de (1) mediante ia sustitucióu de x por x — g, . . ., t por t — x,lo que es legítimo dado que Ja ecuación u¡t — a-A2u es invariante con respecto a esta sustitución.

114. Y. (X , I J , Z , t], i — 1)==

, _ ^ í4ji a* J

6 ( * -T" r ) f

V £

f ) j , (1)

*) Se debe tener en cuenta que la función 6 es par y que 6 (a:) = —• 6 »

donde a es uaa constante positiva arbitraria. La última afirmación se verifica mediante la integración con respecto a x entre — oo y -j-oo.

**) Véase 171, pág. 304.

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si en la ecuación inicial ante c'u está el signo más y

x (*. y, J. |, T1.&, t— T) =

4n a2

J L ) J , (2)

si en la ecuación inicial ante c2w está el signo menos;

Indicación. E l problema so resuelvo análogamente al anterior; primero se obtiene la expresión para la función de influencia del impulso instantáneo concentrado que tuviese lugar en el origen de las coordenadas x = y = i = 0 enel momento t — 0 y después al igual que en el problema anterior se realiza el paso al caso más general del impulso instantáneo concentrado en el punto £, i j, ¡¡ en el momento x. La función

„ ir ',— I o Para — * > < * < 0 ,0 l l para 0 < ¡ r < + o o

está vinculada a la función ó (x) por la correlación

o0 (x) — 6 (x).

, o„ ( í— x ----115*). x (x, y, q, t — x) = - r r r - -------- — ■■■■ . = ,

>na Y a 1 ( i— t) — r%

r=\ /

116 **). x (r, y, |, t — t ) =

-1 5- y [ l 7- ~ Z Í ch i c ^ } ’r- V < *- í) , +(»-n)*.-

si en la ecuación ante c*u está el signo más; en el caso cuando en la ecuación ante c2m está el signo menos, entonces en la respuesta se debe sustituir ch por cos.

*) Al igual que en los problemas 113 y 114 primero se obtiene la función de influencia del impulso instantáneo concentrado que tuviese lugar en el momento t = 0 en el origen de las coordenadas y después se realiza el paso al impulso que tuviese lugar en nn punto cualquiera en el momento arbitrario t — x.

**) Véase la llamada en la pégina anterior.

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117. Primero examinamos )a membrana rectangular.1) para el primer problema de contorno, cuando x = 0 sobre la frontera d *1

rectángulo•foo

^ e « v 4 mnx nxy w* ( * . y . E . ■n. * — t ) = - j t - y sen — r— sen — r-1- X Í1Í2 ¿1

m ,

. . . _. . J "sen <


mnf nntiX 9en —r-2_ «en

l j / j»' { M i t + i t }

2) para el segundo problema de contorno, c u a n d o ! = 4^-1 = 0,<fx |x=0 dx |x«¿i

i i l = 0Jv— o dy li/=ía *

•foo

. / t \ *—T i 1 mju: #* (*, fe, ti, t ~ t) =~ t- j---í— j-j— > . em. „ cos —:— X

‘lís hh ' lim, n = 0 m -f n«¡fe0

XC O S-^ c o s a c o s -2£L — *2 *1 ‘2

{no (r—-r) ] / " ^+-g-}

, / m" , n*aV i r +i r

donde em ,n = 2 para m-n = 0 y em. n = 4 para m n=¡£=0;3) para el tercer problema de contorno, cuando

** I I r. dx I i o I a— — a,x = 0, -r— i + ?i* = 0,dx |x=*0 [x= 0 !*=¿i ¡x=Ii

I I dx I , o I ~— —0Í3X = 0, ~ + M = 0,0» h/=o li/=0 oy Iv íj r‘ Ik-Ij

(*. y. i> »], < —t) =+ CO

_ / Y 8Cn (tW+<Pm) sen (V7.y+ il'7t)sen (nn6+<Pn) sen (V7.t)+ >M

^ r, , (a.fti + fe) W + Pi) 11 , , «XsPs + nH^ + fenm'" =0 I- (o? + mW (5f+M?3 J I -■*" («j+ vr) (P|4-vñ) J

„ sen {a(i— t) Y ¿m + v'n)

a Y Hk+vftdoude jim son las raíces positivas de la ecuación

Vn, las raíces positivas de la ecuación

1 I OCjPj \

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Toaremos la respuesta para la membrana circular.1 ) en el caso del primer problema de contorno, cuando x ) ^ = 0 ,

« (, 9. ,- f l - ----- J p j j w-))- X

a|xír* ’ íX co3 n sen----- ,

'"o

donde n£n) son las raíces positivas de la ecuación / n (í*) = 0,

_ / 2 para n = 0 ,

8n _ \1 para n ^ ¡ 0;

2) en el caso del segundo problema de contorno, cuando P-\ = 0,Of Ir—ro

x(r, <P, r ‘ , <p', t — T) =

V I. Ecuaciones de -tipo hiperbólico 615

/ r t " ’»-) J l r t " V \

i_1c i 2 yM r0 ) Jn \ r0 )

« r j 1 jtar0n, k=Q e„nin> [ l —

ap.íR>íXcos n (<p— q>') sen *

r°donde nkn> son las raíces positivas de la ecuación J n ([i) = 0 y zn toma los mis

mos valores que en el caso 1);3) en el caso del tercer problema de contorno, cuando

dx

*(**, <P, r ', q>', * — t) =■ á r| ^ +ox' ^ o = 0’

-oo r ( lí '" ‘r \ , I W "r' \2 M ~ í r J M - _____ °v-kn-- 2 j ------ r ««- *» 'i--------eos n (q>— <p ) sen —nar0

n. .-O enü i"' [ l + ~ 7 ~ ] ' I & *"’)

donde (i*1*1 son las raíces positivas de la ecuación fi/„ (¡x) + aJ„ (|i) = 0 y en

toma los mismos valores que en el caso 1).118. Realizando las reflexiones pares, obtenemos, partiendo de la función

de influencia para el plano no acotado:

n-‘ a„ i t —t — — )K (r , «p, r „ <Po, <— * ) = - = - - 2

2 n a / . f o

X c h T c \ / ~ l-f- ° ^ “-i - *

xch

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/•£ = ] / " r3 + r j— 2rr0 cos (q>— q>,-|-2A -£■ 'j ,

r j = | X r * + r § - 2rr„ cos (<p-<r>0+ 2& .

119. a) La solución del primer problema

«¡( = <•*¿211 ± -)-/ (x. y, t) dentro de la región G para 0< < < - )- 00. (1)

v)- «<li=.o = ’M*. y) dentro de la región G, (2)

« |r = jí (x, y, i ) sobre el contorno T para 0 < t < + o o (3)

se expresa mediante la función de influencia del impulso concentrado instantáneo Y. — y. (x. y, £, tj, t — t) que satisface la condición de frontera x | r= 0 del modo siguiente

u (x, y, 0 = J J I f <£. q) « i ( * . £> q. 0 + 'i' (5. q) * <*. y, I . t). 01 ¿ I ¿ i +

t

~~ Í ÍX i 1 ^ 8’ ^ 11 ’ Z — T) ^ d’1 —0 o

— a’ J dx }i(i, t|, t) y' ‘— í l ds. (4)

Aquí

d . 0 . . . d -^- = cos (n, | ) _ + cos(n, q) —

significa la derivada según la dirección do la normal exterior.b) La solución del segundo problema de contorno que difiere del problema

a) sólo por la condición do frontera

4 £ | r - H (* . *. 0 . (3-)

mediante la correspondiente función de influencia x que satisface la condición de frontera

dxS n |p = Ü’

se expresa del modo siguiente:

t

K ( i, ’J , t) — I i -f-Za + a2 dx |j.(g, q , z) x (*, y, g, q. t — x) di dq, (4')

0 r

donde / , e / , significan el primer y el segundo sumandos en la fórmula (4).c) La solución del tercer problema de contorno que difiere del problema

a) sólo por la condición de frontera

V' *>• (3,)

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mediante la correspondiente función de influencia x que satisface la condición de frontera


se expresa del modo siguiente

t

u (x % y, t) = I í + f 2 + az j n» *) * (*, í/. t> fl- f — t) tfs, (4*>

o r

donde 7, e /2 tienen los mismos valores que en (4'). indicación. Pasando a las ecuaciones

/)lv-7r-s- = a-<\¿*± c2x (5).

crj/

y4 j^-=asA2u ± y, <) (6>

xy

de t , #, U 5, i|, i y utilizando las condiciones iniciales para x (x, y, £, i)„ í - t):

x l,—i = 0, x, |(= t = 6 (x — i) 6 (y — ii),

no es difícil obtener mediante la fórmula de Green—Ostrogradski que

“ (*, tf, t) = j j [« (5, i), 0) xi (*, y, 5, i), «) +

+ (I, n. 0)x(-e, y, £, i), í)M5d») +<

+ I” 'j ]' /(|. -q, t)x(í, y, 5, n, <—t)d§</n+l> G

+ a* ^ dx ^ |"x (x, y, 11, t— t) --dn

- U(6, n , x) **<*• F .E . n . »- T ) j d, (7>

Para eso las ecuaciones (5) y (6) después del paso a £, i), x, se deben multiplicar respectivamente por u (|, ij, t) y x {*, y, g, t), 1 — t), restar una de otra, e- integrar el resultado con respecto a g, 11 sobre la región G y con respecto a T entre 0 y I.

120. Indicación. Sea la región £2 acotada por las superficies Si y S* (fie. 56). Trazamos, tomando el punto (x, y, 2) como el centro la esfera S t de- radio e; el volumen acotado por ella lo indicamos por a>e. Multiplicando 1 ai ecuación

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€18 Respuestas, indicaciones y resoluciones

•por

x(*. !/. », I. 11. £, t— T) = 4jl<2a

■y la ecuacióndhidi2 = a* A 3 X

por u (£, n , x), se debe restar una de otra c in Legrar el resultado sobre el volu- *nen Q con la exclusión de <oe y con respecto a x entre Tj < 0 y x2 > 0, conside

rando u y / continuadas de cualquier modo para los valores negativos de t.

4>) Función de Influencia de los manantiales concentrados de funcionamiento continuo

121.

«donde

ú>(x, y, s, x0, y0t z0, t) =

r = Y(x — -co -r (¡í + ¡/o)a + (2 — lo)’.

122. 0) (r, y, sr0, t) =

JJV A L_

donde r — Y ( * — *< ,)*+ (y— y0)4-

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123. O - c s r S '

rK

/ (-■?)M

dP(r) 1 dr |L,431a2

donde

y rn son las raíces positivas de la ecuación F (r) = 0,

donde <¿>r es la proyección de la velocidad del manantial sobre la dirección del

radio vector r, trazado desde el punto de observación al manantial; por eso

se puede anularse sólo en tal caso cuando la velocidad dei movimiento del manantial vi > a; por consiguiente, sólo en esta condición la ecuación F (r) — 0 puede tener más de una roí/.

Si el manantial se mueve rectilíneamente con una velocidad constante o, entonces, dirigiendo el eje x en el sentido del movimiento del manantial, obtenemos

a) para v < a , es decir, para Ai = — < 1,

A / ( r - u t ) + • / ( * - « ( ) “ + ( + N .. . 1 / vt a (i—at») ;

® (*, y, *. > 4^a3 y — aíi)

b) para i> > a , es decir, para jW = — > 1

/. i M (x— k<)»—(AfS—1)(»*-H*) \1 / V + a (A /2- l ) ; ,

y' *’ / ( * — K¿)' — (A/2— l)(y 2 + a')

A/ (x — wf)— t/(x — i>«)2— (Aís— 1) (y* + i5) \ a (Ai3— 1) )

/ ( * — rt)*— (A/2— 1) (»*+ 2*)

Observación. Con esta igualdad la solución se determina dentro del cono circular con la vértice en O' el eje de que sirvo el semieje negativo de i y el segmento OO' (véase fig. 57); ctg a = Jlf2 — 1. En este cono la raíz

V (* — vt)2 — (i\r2 — 1) (y2 4- z-) es real. Si el manantial empezó a actuar en el momento de tiempo I — 0 cuando se encontraba en el punto O, entonces la región, en que las perturbaciones excitadas por él pueden ser diferentes de cero, es la parte del espacio acotada por el cono mencionado y la parte de la esfera de radio at con el centro en el punto O (el punto O está dentro de esta región y el cono es tangente a la esfera).

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En el punió de «observación» A (x, i/, 2) en el momento t para v > a llegan las perturbaciones emanadas por el manantial de dos posiciones: A1


Fig. 57

y A Las distancias A tA y AZA son iguales a

. . .. m y <*-«)•-(«*-!)(»*+*»)- 5 _

M (x - t t t ) - Y { .c- v t ) * - ( M * - i ) (</*+*»)¿\iA = r<í — -------------------------------- W ~ i------ •

En el punto el manantial se encuentra en el momento f, = í— y en

el punto A2, en el momento t2= t —

Si la potencia del manantial es constante y es igual a q, entonces

a) para i?< a , es decir para M = ~ < l ,

~ i qo) (x, y, z, t) = —— - — --- ;

4no* Y (x — vt)2 + (i — M 2) (v2 + 25)

h) para w > a , es decir par» M — ~ > 1,

u, 2, < ) = „ * • - q . . . . -—

2na2 y (x— W)*— (A/“ — 1) (»*+x*)

Indicación. En la integral que expresa la solución de la ecuación (I)con las condiciones iniciales (2)

+ oo

“ <*• ’J ' *• ' > = ^ r j i j - ~ 6 (6- l- v| )ó (r i- íy ] )x— oo

X 6 ( ; — [Z]) d ld r id l.

r = í )2 + (tf— )|)2 + (s— ü z.

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donde (O] significa que en la función O el argumento t está sustituido por

t -- — , es conveniente pasar a las variables nuevas de integración « , fl, y:a.

« = S - [ A j . P = t j- [ K | , y = £ - [ Z ] ;

con esto en vez del determinante a* - ■ es conveniente utilizar elV («» p. Y)

/>(«, p, y) determinante .

124. E l manantial está en el origen del sistema do coordenadas O 'z ii'i ' que se mueve junto con el manantial y está situado como se indica en fig. f>7, x’ = vt — X, y' = y, ¿ = s.

a) Para i> < a, es decir M — < 1. se obtiene ia ecuación de tipo elíptico


c>‘ a , 1 / o2u , (flu \ q * / < « * ( / » * # » »

1 — A i* ( dy'* dz'* ) “ a*< 1 — A/*) 6 (j : ) 6 <y

____ IImediante la sustitución de variables .!' = £, y' — — „___ , « ---\f i — Al* y'f — A/2

se transforma en la ecuación de Poisson

cuya solución es la función de influencia de) manantial conconmdo

u ( | , i ) , í> =---------- ................r - ,—

- 4jt« * / i s+y+s*

o en las coordenadas iniciales x\ y\ z'i

_______9u(x\ y 't z') =

4na* + — A/2) (y'2+ z'*)

b) para es decir pata A / 1, se obtiene la ecuación de tipo

hiperbólico

d*u

dx

u 1 / ó*u , d*u \ . q « . . . f. . f. . . .” ~ M * - 1 ( i”/ * "r 17 * ) + a" (>/2— 1) ) 6 0 ) ó ( i ).

Resolviéndola mediante la fórmula integral necesaria con las condiciones iniciales

“ lx'-0 = y’ ‘‘*'l:e'=0=0,obtenemos

1 <¡■¿na* l ) ( y ' 2+ 0

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125. Sea que el electrón se mueve a lo largo del eje % con una velocidad

v = const*), a = — v <C ct donde c ea la velocidad de la luz en el vacíoV «

y a = —~ , la velocidad de la luz en el dieléctrico en examen con la constanteY 8

dieléctrica e. El potencial escalar del campo magnético excitado por el electrón móvil es

2e,__ — para u t~ z > y r , ...6 Y (v t— z)J— v2r2 (1)

0 para vi— z < y r .


,-{■

Aquí e es la carga del electrón; y2 — -^— X; r — Y x 1 + 1¡2, y se supone que

en el momento t = 0 el electrón está en ol punto

X — y = z — 0 .

Las componentes del potencial vectorial son iguales a

A . = A,, 0, A 2 = e — <p,

ad em ás ,

1 dAH = i o t , A , £■=— grad <p-----3—

c ot

(2)

(2 ' )

En cada momento de tiempo t el campo electromagnético excitado por el electrón es diferente de cero sólo dentro del cono con vértice en el electrón (fig. 5S)

F ig . 58

y las superficies equipotenciales dentro del cono son los hiperboloides de rotación (vt — z)2 — y2r2 const.

Indicación. Para los potenciales encalar y vectorial tienen lugar las ecuaciones

. £ d 3 c ‘ '

<»)

*) En realidad esta velocidad variará como resultado de la radiación de energía por el electrón. Para más detalles sobre esto véase (18).

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V I. Ecuaciones de lipo hiperbólico 6 2 S

además *>

div A + — — .= 0 . c dt

En nuestro caso

Ix = .'¿£> = 0* ¡ 2e — »p“ iw6(*)fi(ir)8 (z— vt),p = íS ( i) 6 (y) ó ( í— vt).

(4)

(5>

(6).

La sustitución de estos valores de p y j en la ecuación (3) inmediatamente da

Ax ^ A y= 0, /», = « — cp,

por eso la igualdad (4) se transforma en la igualdad

9AZ e d<t Os ^ c at

<7>

(8>

Jo que permite, utilizando (7) y (8), expresar todas I electromagnético por medio del potencial escalar <p.

126.

A /> ’

j

£e =

las componentes del campo

[reos « { í — L J + J L sen sen 0, l > y ,rV

r*a

‘ <T >

|" r sen o> 11— — ^-cos<o^t — -j-J | cos 8,

2A/„ cos 0

■T ^1 [ ( ’• - £ ) — ( - * ) + T -**0 " ( f 5") J scn 0’

•> T -

jM0 se» 0 . r>3 1 1 < T •

127. Para los desplazamientos do u, v, u\ en el sentido de los ejes x, y, s, considerando que la fuerza F (1) es aplicada al origen de las coordenadas y está dirigida a lo largo del eje x, obtenemos la expresión

r

r

________ ~ w F ( t “ T ) + w f'*} Véase 17). pág. 498.

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<624 Respuestas, indicaciones y resoluciones

r

— &-F ( í _ t ) } »

u'~ j k í ^ r ( y ) ] J [, ~ t )~r

- 4 ' ( — f ) } .<londe

2 (2w—2) <7 X -f 2;a fr4~.iL— J i(m - 2 )p p ’ P ' P ’

■p e» la densidad Je la mnsa del rncdio; a. lu velocidad de propagación de las deformaciones longitudinales; 4, la velocidad de propagación de las deformado- nos transversales.

Indicación. A ln superficie de la esfera pequeña de radio r con centro en el origen <!c las coordenadas se le aplican las tensiones elásticas, cuya resultante debe coincidir con F (t). Por consiguiente, cuando r 0 las tensiones deben

tener el orden ~ (si sólo F (í) ^ 0 y es una magnitud constante). Los desplaza

mientos cuyas derivadas son proporcionales a las tensiones deben tener el or

den J- .

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Capitulo VII

E C U A C IO N E S DE T IP O E L ÍP TIC O A u + cu = — /

§ 1. Problemas para la ecuación A « — x2» = /1. La concentración del gas en el punto M (x, yy z), que se halla a una

distancia r del manantial P = P (§, t¡, £) es

u = <?04itO

r = ^ ( x - + (¡/ - Tl)=> + (J -

adonde D es el coeficiente de difusión, x2 = ^ constante de desintegración.

nn i --Kr* v2. +donde

A/ = A/ ( x , y , j ) , P = P(\, t], £)>

r = y ( X - ! ) « ( ¡ , — n ) * + ( z - C )s ,

rl — MP¡ = Y (* —6)*+(íf—«|)s+(f+0*,

t|. -?)•

El manantial eatá en el punto P (|, r), £).Indicación. La condición de la estanqueidad a los gasea de la pared z = 0

-r-l = °dz [ ic^o

demuestra que la reflexión con respecto al plano debe ser par.3. La función del manantial puntiforme para la ecuación

A 2u — x2u = 0

sobre el plano (x, y) es de la forma

G ( x , y\ s ’l)=>-5j¡-tfo(>'-r),

donde K q es una función cilindrica de argumento imaginario, orden nulo, y segundo género*

r= V ^ - ^ + U-il)2- La interpretación física de la función del manantial es la concentración

estacionaria excitada en el punto x, y, z0, por el manantial del gas inestable, uniformemente distribuida sobre la recta infinita paralela al eje s y que pasa por el punto |, 11, *0; la potencia del manantial por unidad de longitud es igual numéricamente a D.

4. 1 G(x, y, l , i)) =1 ~ [#„(*'•) + <>(>'•'■1» .

donde

r = Y (x - t ) * + (y - v )\ r, = ■ /(*-&)»+ (y+ n)*.

14—0942

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5. Si el manantial está en el punto (5, t|, £). entonces


<?* y r i V r,*lu~ t ¿ d 2 j L ^ ñ r¡T^ i '

donde

rn = Vr(x-l)»-f Uf —H)*-K*-tn)a.

rñ = v"(* - (y - ’!)*+ &)*

t„ = 2»í+ 5, í í , = 2 n i- ; .

Indicación* Las imágenes en los planos z = 0 y 2 = 1 son pares y estánen los puntos

(t. Tí, £n 2ni + ;> y il , tu V i - 2nl - 0-

La convergencia de la serie es evidente en virtud de la existencia de los factoresm /expotenciales e n y e~y’rn bajo el signo de ia suma. (

6. Si el manantial está en el punto (£. *))> entonces

2n D

donde

u = ^ S ñ 2 (xr„) + /<r0(xr")),

rn = ■/(*— ?)2+ (i/ — r)n)J,

rj> = • / ( x - | ) I + ( í( - i l¿ ) i .

1n = 2ní + ri, rii = 2nZ—n.

Indicación. Véase el problema 5. La convergencia de la serie se ve de la fórmula asintótica

7 w —-2i. V 'fn (M) (P) v'x.+x» I >-t>20 Zj || Mp„ j|í /X „ + X2

71=1

donde (M {x, j,); 2) es el punto de ohservación. (P (£, tj); £), el punto en que está el manantial; y v|>n, los valores y funciones propios del problema plano

bt'Pn + MVi *= 0 sobre 5,

= 0 sobre C*dv

5 , la sección transversal del tubo; Ct su frontera; v, la normal a C%

II lla= (

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Indicación. La solución clel problema de contorno

D&it—$u= — /


At¿

~r~~~ —— 0 sobre 2 .dv

donde 2 es la superficie del tubo, se debe buscar en la forma

oo

«= 2 “n(*)lÍTi(AO.n=l

Conociendo la solución de este problema, no es difícil pasar al caso límite del manantial puutlforme.

6. Si el manantial está en el punto (p, 8', cp'), entonces

• . u (r , 0, <f) — -^-G (r, 0, <j>; p. 0', <f'),

donde G (r, 0, (p; (>, 0’ , tp') es ia (unción del manantial que se define por la» fórmulas

. . .. . £ y¡?U0.<p)y iP (0 '. 9 ') .G(r, 6, <p; p, 0 , <f ) = 2 j 2 j -------- ,, yM 11,-<?„■(«■. p).

u— 0 / ( » - n 1 « 11donde

cos 0) { cos 'iq> pa,a ^ ü-<• sen | k | para * < 0

son las funciones esféricas; P(n\ las funciones asociadas de Legendre,

para k = 0,

para k 0,

f xa l ió (««) In (xp )~ in (xp) >lñ (x“)l -|f

®n (r> P) =

1 ytft) Hg— 2 (n + fc)l í 2 para * = 0,1 " 11 2n+ 1 h (n —*)! ’ h~ \ 1

f x 'l i f i íx o J ln fx p ) — Ín(«P)>|á(X“)]-|?-|^y para r p;

_-L _JL?„ (* ) — * 2 I , (2), r],, (x) = x 2 K , (x).

n+T n+T

Indicación. Representar la solución del problema A ti — x8u = —/, uT | r^ 0~0 en la forma

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Haciendo

» = 2 f “ n h (r) (0 , <p), / = í ¡ / » * (r> Y n ’ <6 ' <f>-ji“ 0 f c = -n n = 0 h= - t i

obtenemos

Lu„k = (r'u'^Y — (X2rj + n <« + 1» «„>, = — /n* (r), ujj, ( a )= 0,

a 2n n

«nJt (>•> = j G„ (r, p> / „ ! (p) p* dp, /nfc = j j / (p, 0 ', tp') y (nfc) (0', cp') X

0 () 0X sea 0' ¿0' d<f'

LGn = 0 (r p), Gn (p — 0, p) = Cn (p + 0, p),

G’n (P+0i P) — G'„(p— 0, p ) = -- i - , G'„(n, p) = 0.

9. Si al eje z de! sistema rectangular de coordenadas lo dirigimos a lo largo de f0, entonces

“xr_-orr u(x, y, .)-■ % •-£------------ ,

donde

r = Y (x — jj)3 + (y — r|)z + (z — O*.

10. Si r = a es el radio del cilindro, entonces

• W — - Í Ü 3 - *

Indicación. Se exige hallar la solución acotada de la ecuación

Aau — y.2u = O, r < o

con la condición

W lr = a “ «o -

4 4 4 * K* (Xr)11. I* = u (»■)-= «0 ~ K ^a )'

I , (xr)

> V a 2 „ « sHw .12. a) l l— Uf. - ---=-----r- = u 0----T--- i l (XO) r Xa T

7 3 ('-«•), . Y o ~2 r. / o \ 2 xr ch xr— sh xr „b) u = ua . i . eos 0 = u0 — --- r----- r---eos 9.' 0 / 3 (xa) V r / xa ch xa — shxa

T

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V il. Ecuaciones de tipo elíptico 6 2 £

(*r)

1 8 . , , „ = £ - | (xa)^ u ,-

2

K 3 *X r ' x r•cos 6.

V a ~2 a / a \2 y.r + 1 e

b> “ = “» - 7 r i r 7 T M cos9=Uo( T )2

14. a) Si la superficie terrestre coincide con el plano i — 0, entonces ladistribución de la concentración de la emanación dentro de la tierra se do porlo fórmula

{^ - « ' ^ s h x r para 0 < z < / i ,

-A- (i — e-X Icb y.h) pora /i < z < oo,

donde x = " j / " -j j- ; p es la constante de radiación; D, el coeficiente de difu

sión, /„, la densidad de los manantiales.b) El flujo de la emanación a través de la superficie terrestre es

,- f l iü - l = — «**'*•Oz |r=0 *

15. a) Si z = 0 es la superficie terrestre y el manantial está en el punto {0, 0, h), entonces la concentración es

Qfí / f-*ri g~xr» \ U~ 4nD \ r, r2 / ’

e-*ri g-xr* y

— donde

i’i = V,Pí+ (2~í*)2. r2= V p s+(z + A)a. P =V i’ + í !.

b) (El flujo a través de la superficie terrestre z — 0 es

=0£Lrw(“+i)'‘xr*-donde

r,= VW+V-

16. Se exige determinar <?g y h. Para e¿o, utilizando los resultados He observación, es decir, la magnitud <7 (p), hallamos el finjo total a través de la superficie terrestre

<x> ‘¿ .n

<? = ) \ (1)

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después la integral

oo 2n co

ól = QthKt (xft). (2)

De las fórmulas (1) y (2) tenemos

kK,

T)e aquí, dado que I y Q son conocidas, determinamos la variable h y después según la fórmula (1), la potencia del manantial <?0.

La posición del manantial en el plano horizontal se determina obviamente por el máximo del flujo de observarión q (p).

§ 2. Algunos problemas sobre las oscilaciones propias

1. Oscilaciones propias de las cuerdas y membranas

17, Designamos por o — v (x) la amplitud de la desviación del punto de ta cuerda con la coordenada z. Se exige hallar la solución de la ecuación homogénea

v” -f- "Kv — 0

«con las correspondientes condiciones homogéneas de frontera,a) Las condiciones de frontera son

v (0) «= 0, v (l) c= 0,

ios valores propios son

las funciones propias son

. . 31 nOn (*) = seo -y z,

encuadrado de la norma de las funciones propias es

II •>„ IIa = ¡/2.

b) Las condiciones de frontera son

✓ (0) = 0, v' <í) = 0,los valores propios son

Xn= (n = 0, 1, 2, . ),

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Irs funciones propias son

i>n (*) = eos x ( n = 0, 1 , 2, . . . ) ,

«1 cuadrado de la norma es

2, n = 0.

V II. Ecuaciones de tipo elíptico 631

1 I 2. " = 0,|l>n|l» = y e » , e»- \ 1 , ft =jb 0.

c) Las condiciones de frontera son

, v (0) =■ 0, »’ (l) =» 0,los valores propios son

X n = [ ” (2” f+ 1 )] a (0 = 0. 1 . 2, . . . i :

»s funciones propias son

«„<*) = sen nS ^ ± J ) .x (n = 0, 1, 2. . . . ) ,

el cuadrado de la norma es * *

ii vn ir- - í/2.

d) Las condiciones de frontera son

(ü) — h, v (0) = 0, w' U) + ht» (í) = 0.

donde h¡ > 0, h t > 0,los valores propios Xn se determinan de la ecuación trascedente

M í !

IJ . , . i — ( 1 i1 Xn = UZ


1 _ _Uf> y \n + i¿ 1 C0S ^ X»*+hl sen\/ Xnx\t

el cuadrado de la norma es

lt „ n i 1 i ( h i + h t> (M n + ^ i f t a ) / j j )

~ 2+ 2 U + > W to + é (n— *» 2.

En el caso particular euaudo hl = h , la ecuación (1) toma la furnia

*H r - j ü

(i)

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e) Las condiciones de frontera son

v (0) = 0, v* (!) + hv (i) = 0,

los valores propios "Kn se determinan de la ecuación

tgH = — j*y , Xn = -^- (» —1, 2, ...),


vn (*) = sen Y K * ,



2 1 2 (|&+OT*)*f) Las condiciones de frontera son

v' (0) = 0, v' (l) -f hu (l) = 0,

loa valores propios X„ se determinan de lo ecuación

M \ !*n*8 i* ^ — p )


u„ (x) = cus y \„x.el cuadrado de la norma es

I <1? ' _L h l*I "n II = - s—|—¡

18. La ecuación de las oscilaciones propias longitudinales de la heterogénea es de la forma

— r ^ í x l — l - 4-Xot> = 0 p = / £ i (•»<•'«). D = / P i ( I < x »>dx l d x j ^ 'P ’ •' (.£ , ( x > x 0), P \ pt ( x > x u)

a) Las condiciones de frontera son

v (0) = 0, v (/) = 0,

los valores propios se determinan de la ecuación

*lPl «B 'V ^ 0 + a2p2 Ctg (/ — X„) = 0,

donde

a' = Y i r > a* - Y j tlas funciones propias son

y r non -*■---x

sen

para 0 < x < x

*>n (*)«i

- ^ ( í- x )U .

para x0 < x < l.

s e n l^ ( ,- x c)

barra

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V il . Ecuaciones do tipo elíptico 633^


Pi*«’■=— +-

Pa

2 sen2 3¿.hu x¡) 2 sen2 V ^ n ^

(n—l f 2f ...)»

b) Las condiciones de frontera son

v ' <0) = i>' (0-=0.

Los valores propios se determinan de la ecuación

. V\ , . i/* , , * A«1P1 tg — lo+ atP í lg ” ( í— *o) = 0.

“i "j

Las funciones propias son

V>-nCOS ----2 X0

“l

cosi£ ii(¡-x)___ “t,____ _c°3K A l (2 —X0)

para 0 < x < x,,,

para x0 < x < í,


Pi*c= -- +

P s ( í — *o)

2 COS» V A * ! x 0 2 eos» ( í — x 0)

(»= 1, 2, ...).

c) Las condiciones de frontera son

v' (0)—h\V (0) = 0, a' (l) ■+- luv —

Los valores propios so determinan de la ecuación

« iPi

Y l+ h , tg\/x

*0 ht— — tg1 - (I — *.)j- + a 2p , a=---- 2%------

x, -\-ht tg l— (¿ — x„)

donde

, / £ , , /■ £'21— 1/ —i , rt2= l / — . * Pl * * Pi

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i - t i f a para V n(x)=< y . , (n = l , 2, . . . ) ,

l - £ £ r

X n (* ) = eos x + « .A , sen x ,tí, fl|y „ (x) = l/T ^ eos -3^2 (/ — jO + OjA, sou (/ — r).

fli “ s

El cuadrado de la norma es

11 ■”* l|2=T l k ) J x - < * > + yffe) í n (x) *•<J -\'0

/ndicación. Se exige hallar las soluciones no triviales

[ t ( x ) ]M1

< • '( * ) = { -l V (x) p.u

•de las ecuaciones homogéneas


irtrn U c v < J u,

;»¡\rn r0 < x <. I

v" + A - 1 = 0 , t>* + A - U -aü,' a{ uk

•que satisfacen las condiciones de frontera a) o b), o c), y las condiciones de-conjugación en el lugar de la discontinuidad de ios coeficientes de la ecuación

v = pt Ex\/ — E2v' para x = x0.

Es conveniente buscar la solución en la forma

< X{*)

»{*)--X (x0)

Y{x)

y{* o)

para 0 < x < . r 0,

para x0 < x < / ,

«donde X (j:) satisface la ecuación X " 4- A- A’ = 0 y la condición de fronteraai

para x = 0, e Y (x) satisface la ecuación V ' + i l ' * 0 y la condición deai

frontera para » = l.

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Las funciones propias son ortogonales con peso p (x):

i xo

J On (ar) Í»m (a:) p (,x) dr = px \ X n (x) X m (*) dx +

i

+ P* j Y ti (*) Km (x)dx = 0, m =5¿= a,

x$

t Xo t

II *„ II» = \ (,) p ( , > « * = j n w * + J n * .

V il. Ecuaciones do tipo elíptico 636

10. El peso está en el extremo x = /. La condición de frontera en este extre- »tuo es de la forma

Las funciones propias ~{f;n (x)} satisfacen la condición de ortogonaiidad con la •carga

/

^ vm (x) vn (x) p (x) dx+Mvm (i) Un (/) = 0 para m *f= n

o

E l cuadrado de la norma de la función propia i>„ (x) so determina por la fórmula

l

II IIa ” J' (*) P (*) <í* + n (¿) <» = 1, 2, 3, . . .).

ü

a) El extremo x — 0 está fijo rígidamente, v (0; = 0.

Los valores propios se determinan de la ecuación ctg Y ^ n l = ]/Ár, las

funciones propias son

„n(x) = i í 2 V ^ ( n = 1 .2 . 3 . . . . ) , son i Xní

el cuadrado de La norma es

lf> . M" , MII Un II ~ T + - 2 f '- n’ + - 2 '

Las fórmulas de las correcciones do los valores propios: lj_si el peso .1/ es pequeño, entonces

X

donde — | J son os va^ores propios de la bar^a no cargada

con el extremo libre;|

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2) si l el peso M es grande, entonces

+ A / Í .........

donde j son los valores propios de la barra con el extremo = l

fijo rígidamente.b) El extremo x *s 0 está libre, v' (0) = 0.

Los valores propios se determinan de la ecuación tg l/X n í = — V^n-


En (x)^eos C0SV j j i £ (« = 1 ,2 ,3 , . . . ) , eos 1/ Xnl


(|ln +

o) El extremo x = 0 está fijo clásticamente, v' (0) — hv (0) = 0.Los valores propios se determinan de la ecuación

- ? * ■

Las íu n c io n c s propias son

Xn (x)


rn (x) = -X n W ’

X n (•*) = 1/TT cos 1/ n¡x h sen ]/ 17¡i.

El cuadrado de 1» norma es

|»n IP“ x ^ J jy ll^ i» ll* -

Indicación. La condición dinámica do la carga del extremo x — l es de laforma M utt — —Kux (2, t). Suponiendo u íx, t) — v (x) T (/). obtenemos después de ía separación de variables p;«ra o (a*) la ecuación

v*+\v -0, v' (i) = \v (/)

La condición de ortogonaiidad se deduce de la fórmula de Green

^ I (i:m) — cte= vmrn lo*y

dondeL (i>) = i£< /)'.

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VII. Ecuaciones de tipo elíptico

Para calcular la norma se debo utilizar la ecuación característica.20. La masa concentrada M está en el punto x = x%,a) Ambos extremos de la cuerda están fijos rígidamente,

y (0) = 0, v </) = 0.

Los valores propios \ se determinan de la ecuación

Las [unciones propias son

i'n (*) =

„ Vsen -=■---xa

sen i £ i i l0a

sen x)a v

sen (l — x0)

para 0 <c x <C x„,

para xt < x < l.


i t n i _________P£ü_______ P (l — x0)

2 sen4 V'krc r<> 2 sen1 (i _(n = l . 2, . . .

« — *o>

b) Ambos extremos de la cuerda están libres, «' (0) = 0, w' (Z) = 0. Los valores propios Xr, se determinan de la ecuación

tg —— — (!■— *o)---


í V^Ju cos ----x

vn (x) =

r==— para 0 < x < x0>l/T ñ

eos ---------x0a

eos (¿ — x}a v 7

eos 1^ . ( 2- ^ )

para x0 < z < l.


P*o -P-U — J I>)

2 eos» ~ *„ 2 eos* (l — za)a a v

-+ (n = 4, 2,

637

)■

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c) Los extremos de la cuerda están fijos elásticamente,

✓ (0) — hxv (0) = 0, i>' (l) -|- h2v (l = 0.

Los valores propios se determinan de la ecuación

ah¡— — *o) ak i— / í t g ~ x o

------ ~7=--- 2------- + -------- 7=--- 2----= ^ 1 T -

ah2 tg — 1„) •+- V>- a>h tg ^~r *«+


Los funciones propios son

X n _(•*)

i>n (*) *=X n (*o)

Yn (*) Y n (x0)

para U < j r < ^ t

para x0 < r < Ü,

X rt (a) = Y\n eos j f o w x + ahi sen

V'n (ar)** V ’XÍlcos (/— a-)-|-a/t3i>en (J — x).

1L1 cuadrado de la norma es

1

II ‘ ••ra 11®*= ^ v “n M P d x + M e H x 0 ) ( n = l , 2 , . . . ) •

i

21. La ecuación de las oscilaciones transversales propias de la barra homogénea es do lu forma

p<iv >— ? U « o,a“

donde a2 = ~ ; E es el módulo de elasticidad; 7, el momento de inercia de la p S

sección transversal respecto a su eje horizontal; p, la densidad de la barra; S , el área de su sección transversal.

a) Ambo? extremos están fijos rígidamente

v =s 0, v' = 0 para 3 = 0, x =

Xn ^ aJ- iíL (n - 1 , 2, . .),

donde [i„ es la raíz de la ecuación

ch eos ja =» 1.

La función propia es

Vn (a-) = i4n { ^ch jia - — eos jin -1 j (sh \in — sen Un) —

— (ch n „— cos pn) (sh p n - y — sen pB - y j } ,

donde An es un factor arbitrario.

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b) Ambos extremos están libres,

v* — 0, v9' = 0 para x = 0. x =

(/* = 1* 2, . . . ) ,

donde e9 la raíz de la ecuación

ch ja cos |x =- 1,

Vn(x)=-^n | (ch J4-C0S í y arj (*h JI71 — Set» |in) —

— feh jin 4-cos fi») (sh^y x— sen

c) Un extremo (x = 01 está fijo, el segundo extremo (x = l) está libre,. t> — 0, v' = 0 para x =■ 0; vm = 0, vmt —■ 0, para x — /,

* „ = .« - JÍ2. ( » = 1 , 2, . . . ) ,

donde ¿in es la raíz de la ecuación

ch jí cos n = — 1,

o„(x) = >l„ { ( c h iy * — COS * y * ) (Sh.u« — sen fin)—

— (ch |in — coS(in) (^ h ^y x _ sen ¡y * ) }-

2. Oscilaciones propias de los volúmenes

22. Sean x — 0, x = a, y = 0, y = b los lados de) rectángulo.a) Si la frontera He la membrana está fija rígidamente {v — 0 para x = 0„

a; y = 0, 6), en toncos los valores propios son

>-m. n = * 2 ( ’^ T + 'p r ) (m’ ," = 1 > 2'

lus funciones propiss son

Jim nnvm. n (X, y) = sen — x sen -y y,

Ik n .n l l ’ - y .

b) La frontera de la membrana está libre (r^ = 0 para x — 0, a; t>y O pora y *= 0, b).

VII. Ecuaciones de tipo elíptico 639»

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c) Dos lados opuestos x = 0, x = a, están fijos rígidamente (í> — 0 para x — 0, a) y oíros dos (y = 0 e y = b) están libres (uy — 0 para 2/ = 0. b),

n = J*2 { “I-y r ) ( « “ I* 2t «=*¡0, 1, 2, . . . ) ,

nm nn Vm, n (*, //) = sen — X coa -y y,

ll'-m.n|l*=-|-«6en.

e) Dos lados adyacentes x = 0 y y *■ 0 están fijos rígidamente y otros «dos están libres

(m, , = 0 . 1 . 2 . . . , .

Vm. n (x, y) = sen — - x sen ------ -7 y,

llom. n||’ = j .

f) Todas las aristas de la membrana rectangular están lijas elásticamente,

ux (0, ’j ) — h, v (0, ¡í) = 0, t>x (a, y) -f- ftjf (a, y) =-= 0,

"lí (*i 0) — *l s ° (z < 0) = 0, Uy (*, b) + A4« (x, b) = 0.

(Los valores propios ?.m,n se determinan de la ecuación

*m.n = M ’J* + (Híf’l5 <« = U 2--------),donde (!&’ y n'„2> son las raíces de las ecuaciones

tg (uW .) , t*» + W ,>. . tg !» ( .» ) = <*» + W * > . ,' ( i iW JS - ÍJ jV * — V í 4»

n'.(z, y) = 1(41’ cos n ^ ‘z+ ít , sen cos + ft» sen n'„2>y] X

1

X V W )4 + *S V Uln ’>'J + ,'S *

, , . . ( j l + <>!+*») ] x" m' " " \ 2 2 K n - r + fc?i iü*y>)*+fci); x

v f b • ('»;.+*4>i<hí.,>) » + m « i \A U 1 2 f i J Z ^ ^ + íf í [{(tíf)* + AJ] / •

23. El origen del sistema polar de coordenadas (p, q>) colocamos en el centro ■del círculo, el radio del circulo es igual a a.

a) La membrana está fija rígidamente, v \p-a = 0.

n<rt> \ 2Los valores propios son ?.m, n = / -C2j— ) , donde ¡im * son las raíces de

la ecuación / n (n) = 0,

»m ,n = / n ( - ^ p ) {sen n ^ (n —0, 1 , 2, • • • ; m - 1 , 2, . . . ) ,

n »m. n WP»)I*, e„ = {


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En particular, para n = 0

v - v m = J„ p) , II vm ||*=aW?(|4).

b) La frontero pc=a de la membrana eslá libre ( - ^ = 0 Para p = o j ,

donde es la raíz de la ecuación / i ( n ) = 0 ,

vm. n ÍP, <f) - /n ( p) {

ll«m. R |li ” 2l Í í p p l(^ > ) í- " í i n W > ) (m = 1- 2........ « = 0. 1 . 2, . ..) •

c) La frontera de la membrana está fija elásticamente í-^- —\ « P / P*at¡

V il. Ecuaciones de tipo elíptico 641

donde es la raíz número m de la ecuación

f*^ré(M) + a,l^n<n) = 0,

^ . » ( 0 . f ) - / n ( J ! f - p ) (» = 0, 1, 2, m = l , 2, . . . ) ,

II»m. » n2 = 2 Í ^ ? I° 2A2 + lM«’ ,Ja— « aJ J% f tC *) («)

(2)

La fórmula (1) es conveniente para h pequeños, la fórmula (2), para h grandes. El paso al límite en (1) cuando h 0, da la expresión de jj om¡n ||2 del problemab); el paso al lím ite en la fórmula (2) cuando h oo da jj umin |J3 para el primer problema de contorno a).

Indicación. Se exige resolver el problema de contorno para los valores propios

a) v(a, <p) = 0, b) (o, <t») = 0, c) ~ (a, V) + Av (a, <p) = 0.

La solución se busca en forma del producto v (p, cp) = /? (p) <3> (cp).El método de cálculo de la norma está indicado en 17], (pág. 000).Deducir la fórmula general

/n ( £ " ) | f = T [ y* W + ( H T ) , * w ] -15-0942

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24. Indicamos por a, b, c, las aristas del paralelepípedo,a) Si v = 0 para x =» 0, a\ y = 0, b; z «= 0, c, entonces

í-m. ( • ^ ' + ■• + 15-) ( « . « . * = 1 .2 ,3 , . .

n m nn Jt/c „ 110 abevm. n. h =* sen —— x sen — y sen — z, n. h II25=8 - r - .

a o c o

Las funciones propias normodas son

, / l Tl>m, n, h — y üm, n, h•

1>) Si están dados las condiciones de frontera de segundo género

vx — 0 para ar = 0, a] vv — 0 para y = 0, b\ vz = 0 para z — Ü,

entonces

Xrn. n . f c = n 2 ( - ~ r + T 5T -t-7 í- ) ("*- » , * - < > . 1 . 2 , • • • ) .

Ttm Tin nk*m .n .k = COS —jp x eos - y y cos — z,

„2 a&c f 2, / = 0,II vm, n. h 11“ — “ £~“ eme.nfc fc, y o.

Las funciones propias normadas son

in. h — 7¡— ym, n. fc-

II l'm, n. fc II

c) Para el tercer problema de contorno

(vx — ftii>).r=o = 0 , (w* + fcal ')x - a = 0 .

(<v — '»3w)y=0 “ 0, («V + ^ i ° ) y = b — 0.(¡/j — /i5i-),=0 = 0, (pz + = 0

tenernos¿m.n.fc = M ’l4 + luí,*’ !2 +

donde («y , ¡iSf’, fij,3' sou las raíces de lus ecuaciones siguientes

tC „t. ,B- <*« + **) ^ l g nW t- (*» + »«>HW tgU <3)c = i Í É ± M > ^• g ^ -[,,(!>]»-ftjh j' ’ g> IllW I'-A sfc ,'

fin, n. ít (T) ^ n (y) ¿íi (2),

1


X m (*) = (nü> eos HÍA^ + Ai sen -V (tó>)! + h5 ’

y n (y) = ((*{?’ COS fij,” » + * 3 son M'rí’») —r— ====-,V ( r t fT + ftii

Zh (z) = W cos MA*’*+ K sen ¡ t f z ) ^ J j _ _ — ,

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I

X

\ 2~ 2[|0 »+ *f) I(M«')3 + AÍI / Xib Oi + m W f r M . I 1 i________\ 2 ^ 2 [(n^-)1 + k%| ((n-,f')2 + fcj] / l 2 ^ 2 !(,»{,=

c , ( h i + h t ) [ Q i j ^ + M . ]

/», », /f = i , 2, 3, . . .

25. Eligimos el sistema esférico de coordenadas (r, 0, <p) con el origen en el centro de la esfera de radio a. La ecuación inicia] es

Ay 4* kv = 0

1 ¿ /_* <h> \ t * d n &v \ Ir2 ,?r ( r ar / 1 ^ 'se nW ae ( svn 7>&/ + F

1 ¿>*vrs sen8 0 dtp2

a) El primer prohlem» de contorno: v = 0 para r = a ,

i v \ 2

(« = 0, 1, 2, . m = 1, 2, ...) ,

+ ) . v = 0 .

(rt+i-)donde es la raíz número m de lu ecuación

J , (»i)-0,

vnt, n, l

donde

f (m+t ) ^= \ ----- J yW (6, q.), 1=0, ± 1, ± 2.........± n,

r « ) (8, rf) = PW (cos 6) ( C0S l'f para ' >n 11 \seii !<p para / < 0 , J

1J’n* (jc) = ( 1“ j1) 2 -¿^rPn(x), la función asociada,

¿moi = /<« (x), el polinomio de Legende,

( ("+t ) ^ 2II «-m, n ,/ ll2= --- r j || K»» (9, <p) ||»,

II Y«) (8, <p)||a=. 2” »("+ Q« E. = / 2- 1 = 0 . 1II ^ „ VO, II {2n + i) (n_ l)t . E< Jj- fcO ,/

9,.' 2 /

<D

(2)

(3)

(í)

(5)

(6)

(7)

(8)

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b) E l segundo problema de contorno es: *4— ” 0 para r = a. Las fórmulasor

(1), (3)— (7) siguen siendo válidas; solo que en este caso por n i 2 se debe entender la raíz de la ecuación

Víi (H) = o,ó


{n+T>

l*n(±!V-0|- r r ,n(1~rT+AVVV‘ (»)

o) E l tercer problema de contorno es:

do , ,-f-An = 0 para r — a.

Todas las fórmulas del problema 25 a) excepto las (2) y (8) siguen siendo válidas;

[ri+^ 2 ' ahora significa la raíz de la ecuación

Ptf» (H> H- oh y n (H) — 0,o

J,. . i (tt)~ '1~2|f,h J _ . I (>,) = 0' (10)

TU23

<1*,

f , » ( « + D ah (2-<ifc)-| ,2 Í . ( " +t )1

r r L i J » +4 .V|*" '■1 (£•+>) ( i i )

26. Elegimos el sistema cilindrico de coordenadas (p, <p, z), dirigiendo el eje i a lo largo del eje dol cilindro y colocando el origen de las coordenadas sobre la base inferior, a, es el radio del cilindro; ¡, la altura del cilindro. La ecuación inicial del problema de contorno sobre los valores propios es de la forma

-1" hv = O6

i d I „ 9 v \ i 1 i „p ap u a p i + p ’ + '

a) E l primer problema de contorno: v = 0 para p = a, z = 0, l,

m ,n ,ít= (y^~ )2+ ( ^ ) 2 (« = 0. 1, 2, m, k=\ , 2, . . . ) ,

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donde (ijj* es la raíz número m de la ecuación / n (fi) = 0,

„ ji k , I f*m* \ feos n<p,»n.n,.k = sen_ * / „ ( _ p ) | sen^

II t>m. n. k lli = i X - e» ly " e" = { \ 1 J o .

b) El segundo problema de contorno: •J~=s:0 para (> = a, - ~ = 0

2 = 0, /,

'tó 0 \2 , I n k \ z

VII. Ecuaciones de tipo elíptico

i n . m . k = ( ^ - ) + ( i 7L) 2 {« = <>, 1, 2.........m = l , 2, . . . ) ,

nk T I J \ í eos n(f, „m. n . A= cos — * / „ ( — p ) { aeü

donde es la raíz número m de ecuación J'n (n) = 0 ,

c) El tercer problema de contorno: -| - + ft0i>=0 para p =>a, ~ —lO p 02

p8ra z = 0, — -t-Aji>=¡0 para s = í ,

*».m .k<P. » , . ) _ * » / „ ( ü S L p )

_ . x VftC03 + sen Vi2 , , , , . ,Zh (z) = ------v -----, vfe ea la raíz de la ecuación

K v l + i ?

, (fci + A J v

la raíz de la ecuación r t ( | i ) + í V n W = 0,

/ u<"> \ 2Xn.m.k = v 2 + ( - ^ - J <m, * - 1 , 2. ...¡ n<=0, 1, 2, ...),

, >íWII »n, m. k ll! = |J A>

donde

I on, m. k ||> - «en || / „ p) ||* || Z* (z) ||»,

I I ' " ( i T - ) l|Z = T ( ¡ S i)r Íaífcs+(,*|í,)‘ " " ’ )

,1^ ¿ I (hi + M tv I+ f t iA j)

" * " ' 2 '+ 2 (v l + A?)(v¿ + ) -

indicación. La solución se busca en forma de producto

« (P, *) = V (p, <p) Z (z).

84B

para

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Después do la separación de variables para V (p, y.) obtenemos el problema 23 y para Z (i), el problema 17.

27. Se elige el sistema de coordenadas polares (p, <p).u) El primer problema de contorno es: o — 0 para p = « y p = i ,

*m.„ (p , <p)=J?m, n(p) {0™n " l (»>= !, 2, n - 0 ,1 ,2 , . . . ) ,

Rm. n (P) - Jn (|lff>p) A'„ (tó'V ) - J „ (, ,£>(.) Nn (|l£>p), d)6

«m . n (P) = |/n d C ’f) * n <(.£’*) - Jn iV„ ((iff’(•>]. (2)(lAm )

donde ft¡£’ es la raíz número m de la ecuación trascedente

J „ ( a j í ) Nn (b u ) - J n Nn ( a n ) « 0 , (3)que se puede también escribir en la forma

J n (g|J.) _ N n (an)

/n(ty») A 'nfi'Jl)-

Aquí JVn (x) es la función de Neumann de n-ésimo orden

km. n — (níí*)*»

... 2*7»

n = n m' n I ñfñüpi* * (4>


(2 . n = 0, En- { l , n ^ 0 .

b) El segundo problema de contorno: = 0 para p = a, \) — b,o p

•’m-n (P. <f) = ^m n <P) (.

®„(<P) = / C0S'!<Í> (« = 0 , 1 , 2 , . . . ) .\ son n<( ' ’ ’ ”

Jim. n (p) = Jn (M(mn>P) N k (H&M - Jk -V" (tó 'V ). (5)

Ó

«m. n (<>)=■” [/n ( ^ P ) A'k ( l ^ W A (|i<,n)»l A'„ (n£>p). (5')

donde n¡"’ es la raíz número m de la ecuación

^ » W A 'ñ W ,r ,J k (i>|i) Nk (*> •

Los valores propios son

*m.» = (iC')*- II t’m. n II2 == HÉn II R/n. n IIa =

______2*5___ { / , ______ nf___ \ J n- _____ £ ___ (7)

n i t ó ’ i2 ^ ^ t ^ i * 1 J k* ( t í 1*) ' ri‘(mn)]s ! ! '

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En particular, para n = 0 tenemos:

in>m.« i i* = 2m iJ ím, , i i » r m '


c) El tercer problema de contorno: kw = 0 para p = a, J^-t-Av=o

para p = 6,

cos ntp,

sen /iq>,Vm, n(p , »>=rtm.n(P)ii(<li), (<P) = {

flm. n <P) = / n (Mm’p) 8 (a) — A (a) iV„ (8)6

« m . n (P) = f ^ t7 " (H & V) « ( * ) - A (i) A'n (n<” >p)], (9)

donde

77j

6 (a) = ArA(flW a)---6(b) = lV í ( | i£ t y + - j^ <!»£>*)•í*m

Los valores propios se determinan según la fórmula

(10)

donde es la raíz número m de La siguiente ecuación:

« W A W - a w a w - o ó | g - = | g ,

II »m.n II2 = II Kn II2 II «m .a II2 = « e „ II R m.„ II2,„ * m. . [ « ;2 n(6) + ( , _ _ j | _ ) R í n _

• w + O - ^ j r í ^ . - w ] - <»>

Para ft = 0 tenemos:

A (a) J'n («nff’1

A (*> “ -f'n

y las fórmulas (8) y (11) so transforman en las fórmulas (5) y (7).Indicación. Haciendo v (p, <p) = ít (p) cp (q>), obtenemos paral la función

radial R (p) el problema

R (a) = i? (¿) = 0 en ol caso a),

R ' (a) = R ' (fr) = 0 ea el caso b).

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La solución general de la ecuación es de la forma R n (p) = A Jn (pp) + BNn (pp),

p = yT . Utilizando las condiciones do frontera para p = a y p = b, obtenemos para Rn (p) las expresiones dadas en la respuesta.

E l cálculo de la norma se realiza mediante el método habitual.Para || Rm,n |p se obtiene la fórmula general

H « m .n II*—-Y [ j» ¡¡t1 lM r * ) + ( i - t , ¿ ¡Y-) * *» ,'« « p * » ] -

— Y [ * 2 , „ + ( * - a, j £ ñ , ) , ) * * . .n W « ) j .

Para el cálculo de R'm,n (Mm’p) y R'm.n (Pm’p) Par<> P = a y p = i , se debe utilizar la expresión para el determinante de Wronsxl

Jrt (x) N-n (x) - N„ (*) <*) - .

28. Se exige resolver e! problema de contorno

T ^ { * w ) + Í i ’ W + u = 0 para p < f l ' 0 < ’<’

con las condiciones de fronteraa) v — 0 para p = a, cp = 0, qp = <p<>;

b) Para P“ a > _f ^ ' = 0 para <P~0> f = <p»;

c) P»ra P = « i -t—— * 1 = 0 para 9 = 0 ,o p otp

= 0 para 9 = 9,,.

Respuestas:a) El primer problema de contorno para el sector

- ~ - p ) sen~ v (m' “ " 1> 2>

donde pÜ” os la raíz número m de la ecuación


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Vil. Ecuaciones de tipo elíptico 6 4 ^

b) El segundo problema de contorno para ol sector

»m. n (p . <í) = J’ j,n p) c o s ~ - q ) <n = 0, i , 2, . . . ; m = i , 2, . . .)„

(•i* ni \ 2• “•••) , n™’ , la raíz número m de la ecuación J nn (n) = 0*.

La expresión para || J „n p j |J2 véaso on la respuesta al proble

ma 23.c) E l torcer problema de contorno para el sector

Vm, n (p , <P) = v n (- ^ ^T - p ) <<P).

n v n cos vn<p-f hj son vncp

V * l+ ,i!

(u<n> \2

-£=- ) (m, « = 1, 2, . . . ) ,

donde v„ es la raíz positiva de la ecuación tgvip0= - ^ Í ~ ~ ^ - ; IaV « 1 ^ 2

raíz de la ecuación (-t/yn (|0 + aA0/ Vn (ji) = 0,

II vm, n IIa— II IIa |j A?n ( - ^ p )

II <J> na y<> f (^fh^'a)2 2 <vfc + *f) M + h® •

_ a» r a 'h l- v l I „

~ ^ L 1 + T K ? ' ) 4 J n ■>

5n

7 " ^ ‘ ( p ' l ^ ) + ' ^ ' ' ^ ‘ + X u = 0 c ° < p < f’ « o < < p < < p ,)

29. Se busca la solución de la ecuación

1 d2u

que satisface Jas condiciones homogéneas de frontera a) de primer género»b) de segundo género, c) de tercer generó.

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a) El primer problema do contorno: v = 0 para p — a, b; 'l 'n (<f).

•fn (<P) = sen ip ( n = l , 2, . . . ) .‘Po

W m . n ( P ) = -f n n ( i C ’p ) N„„ ( t C ’a )—J » „ (H m > » ) jV n n W * P ) >

v, v0 «r. <p,

•ó

7?m-n ,p ,” 7 ^ i e W (u” >í0íVj ü W 6>_ y ü» &*-’*>‘vü í l w ' 4“ u w, <P. <r,

Vo

n —IHm1’!1 la raíz número m do la ecuación

Njm (|>a)*t>, «fa

^ n n O ^ ) ^ ¡ 7 P > ’

*0 lo

II *•«. n ll’ + ll <t>n ||* II «m . n ||* = 1| „ IIa .

Véanse las expresiones para || Hm,n II2 en el problema 27 (la fórmula (4)

con la sustitución de J„ por J -22-SPo

De modo semejante se obtienen las expresiones para los casos b) y c).30. a) Se requiere bailar las oscilaciones propias para la región

0 < z < /, si i/ = 0 para p = a, p = b y z = 0,

z »= f.


vm-n.k ÍP, <P, *) = «m.n (P) a>» (l>) Z h (*),donde

‘" ' M - i Z Z ( " = 0 . 1 . 2 . - ) .

Z j,(z )=sen iy-z (* — 1, 2, . . . ) .

f ím n (p) = J n ( t í W K (¡i& a) - J ,t (n*»>a) A’„ (n',»'p)

<véase la respuesta al problema 27), p!£> es la raíz do la ecuación

■Mp») ;Vn(u«)

Jn W Nn 0 * i> '

n. d = (| i!í>)2+ ( —— ) >


II "ni, n, k II* = *2 £n II ^m. n ll*i

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Véase la expresión para |[ Rm,n ||s en la respuesta al problema 27 ¡i).

b) En este caso = 0 para p = a, b, ^ = 0 para z = 0, z = /, de modo que

Vil. Ecuaciones de tipo elíptico 661

0 > n (<p) = ( C 0 S " f - ( n — 0 , 1 , 2 , . . . ) ,' rl V sen n<p ' ’ ’ ’ ’

Zk (z)*=cos—j— z (k = 0, 1, 2, . . . ) .

Rm.n (p) se dn on la respuesta al problema 28 b),

II fm. n. k ll1=- y-e j1en II ^m . n II’ .

31. Si Xj es el primer valor propio de la membrana que tiene la forma del anillo (e ^ p < a) con la frontera fija, y ?.{, el primer valor propio de la membrana circular p < a eon la frontera fija, entonces la corrección

AX, = X, —

es siempre positiva y para e pequeños resulta

A X ,- ----,2 ^ -----(- . . . = 7 ,4 1 ---- — ----[- . . . ,< .V ? ( / x £ ) ]n i .

2,4048e

donde los términos de mayor orden de pequenez con respecto a b son omitidos. De esta fórmula se ve que

iim AX,i = 0.E-0

Solución. ILl valor propio menor do la membrana circular con la frontera fija rígidamente p = a se determina de la ecuación

•'o(v'*?5) = U.

y el primer valor propio X, de la membrana que tiene la forma del anillo e < < (> < a con la frontera fija rígidamente se determina de la ecuación

J o ( / * > ) Na (\%a) - / „ N, ( / / ! > ) = 0. (i)Haciendo

V^X, = / X { + « ,

de modo que AX, = 2 V XJa y leaieudo en cuenta que

( / ?-i 0 = 1 — * - •, A 0 ( |/Xj e) = — ln y- X, e -)- . . . ,

A’o ( /X ^ a) = N0 ( j/X Ja ) — A', ( y^XJ a) aa,

S<! (V r XÜ«) = ^ o ( ^ X { a ) — / , ( l ' X “ o)oja = — aa J l (y ^ X fu ).De la ecuación (1) obtenemos

n Ar0 ( /X y a) 1

2a j A V f t a )

V'X? e

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Utilizaremos ahora la expresión para el determinante de Wronakio

662 Respuostas, indicaciones y resoluciones

(*) A'¡ (*) - J't <*) N, (*) ;

dado que /„ (V'Xfa) = 0, entonces de aqu¡ hallamos

N° ^ Y T \ a J , (Y W o )

1 1

l n _ í ___ '/ r ? e

Dado que la primera raíz de la ecuación J 0 (n) — 0 es ji? — 2,4048 y J , (|i?) = = 0,5191, entonces= 0,5191, entonces

AX, » 7,41

2,4048b

32. Si el peso M es pequeño, entonces

a) lira =Jlí-0

b) AX, = X , - * Í ---- í-j-

ln —e

Si el peso jW es grande, entonces

a) lim X, = 0, lim X2 = Xf,M-+oo M — «»

b) kt = 2nC — —{-

donde C es igual a

donde

de modo que

____L _ ____L _ln p ln —

P

2n 1 ,” r~ • •ln —

P

e < p < a ,

y

Solución. La ecuación de las oscilaciones de la membrana es de la forma

T ^ r ( p-S- ) + x6u==0 paradonde 6 es la densidad de masa.

La frontera p = a está fija, de modo que

« lp—o = 0.

‘Denotemos y 'X S a ^ * , y 'X 6 -e = p.r1 P= ~ .

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Para obtener la segunda condición de frontera variamos el problema, sustituyendo el círculo de radio 8 con centro en el punto O por la placa absolutamente rígida do masa M para la cual la ecuación del movimiento es de ia forma

V II. Ecuaciones de iipo elíptico 653

donde

2 n

F = j * L p * p » 2 ™ ■ £ ( . ) ,du

— p a(f=¿7is

o-e

— X, M u ¡p=8 = 2ft8u' (e).

dadu que u ,= —Xu.La solución general es de la forma

u = A/o (vAíJp) + BA'„ (j/'Xóp)

ó

« = ¿Vj (*) / , (-Í- p) (x> N0 (-í-p) .

La condición para p = s uos da la ecuación para determinar

q i \ Sna*S(I)== — '

1 J<¡ (f»0 N<¡ (* )~ J 0 (*) ^0 (P-Q15 { >~ 2p / , (pr) A'o (x)-iV , (px) /„ (x) <1'

donde

x = j/Xóa.

La solución’ de la ecuación de la dispersión (1) se puede hallar gráficamente. El gráfico de la función S (x) es de la forma dada on fig. 59.

Aquí k0, k¡, ftj son las raíces del denominador de la función S (x) y la curva punteada, la parábola

S = — Y z,|n p ‘

Dando ol valor de M (en fig. 59 la horizontal AB ) , hallamos las raíces correspondientes de la ecuación de dispersión.

Para M oo la horizontal A B tiende al eje x, la primera raíz tiende a cero; las restantes raíces, a los valores X?, X3, X°, . . . que son las raíces del numerador de la función S (x). Las magnitudes XJ,'Xg, X!¡, . . . difieren de k„, Aa, . . . a las magnitudes que tienen el orden de la magnitud de la capacidad del círculo de radio e

Para las masas M grandes la primera raíz será pequeña.

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Desarrollemos las funciones cilindricas en el entorno dol coro:

^ i W = T * + N<¡ (*) =

= ln (x) + .. N t ( x ) = -- i!

Sustituyendo oslas expresiones en la igualdad (1), hallamos

2n 1 _ „ 1

X = M — )n p M

idonde C — — -

lu pc

33. Sea que la frontera exterior de la membrana que tiene forma del anillo

s < p < fl eslá libre, es decir,

Entonces

« V j ( / * } « ) ln—= -

-+12,3

a2 ln3,83e

donde = ^ iÍL ^2, es la primera raíz de la ecuación J t (p) = 0, ji{=.3,83.

34. El problema sobre las oscilaciones propias de la membrana circular tendida sobre el hueco de un recipiente de volumen V0 (tambor) conduce a In siguiente ecuación:

u 2n

j ^ vpdpdcp ( á = “ r ) 1 (*>

o b

si suponemos que la velocidad de las ondas transversales es considerablemente menor que la velocidad del sonido en el aire.

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vn

Aquí ó0 es la densidad del aire en el recipiente; c0l la velocidad del sonidoen el aire con presión y temperatura dentro del recipiente correspondientes a la

membrana inmóvil; c — j / ^ ; T, la tensión déla membrana; a , su radio. La

integral a la derecha significa la presión adicional excitada por las oscilaciones del aire en el recipiente (véase [38), pág. 217).

De (i) y de la ortogonaiidad de las funciones trigonométricas sobre (0, 2.n> se deduce que para « > 0 las funciones propias de la membrana

/ cos««r. <2>\ ú r I ( sen n(p

no varían a pesar de la existencia del volumen unido del aire.Las funciones propias que poseen la simetría cilindrica (n = 0) son de la»

forma

ym (P) — p ) — ' o (,um) | X — y (3)*

donde fiTO es la raíz de la ecuación

/ otM)’= - - £ r ^ (p) (4>

... nygq*

X i>0T ’

que se obtiene si sutituimos (3) en la ecuación (1).La serie para /» (p) (la

VII. Ecuaciones de tipo elíptico 655-

J 2 ( p ) _ 1_______ n» . p ‘

p* 8 9(5 ~r 3072 '

Si v, = 2, 4048 es la primera raíz de la ecuación / 0 (v) = 0, entonces

I o (Pi) = —A ('Vi) « = — 0,5191e (e = p , — v,).

De (4) y (5) obtenemos:

<5>

Il 8 9ü 3072 J1* .

A <vi) + |l 48 r 768 1| ^ ~ 6,8619+0,422í)y.

Esta fórmula permite calcular las correcciones al primer valor propio como resultado de] volumen asociado.

Así, por ejemplo,

f 0,0373 para y. = 1,

“ l 0,5570 pora y, = 5

y, respectivamente,Mi = 2,4421,

p, = 2,9618.

35. La frecuencia principal es <d} « 1520 s_l. Puede sor aumentada en un- 45% si agregamos el volumen de] aire

V't, « 2918 cm;l (x = 10).

Indicación. Véase el problema 34.

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§ 3. Propagación y radiación del sonidoComo es sabido*) las ecuaciones de Ja acústica poseen la forma

v t= — ca grad s.

*656 Respuestas, indicaciones y resoluciones

S{-f-div v

«londe v es el vector de la velocidad de las partículas del gas; * = —— — , la ^___ Po

condensación del gas; c = 1 / 22-, la velocidad del sonido; p0 y />„, la densidad ' Píi

y la presión iniciales; y> Ia constante adiabática.Haciendo

v = —grad U o s =

■donde U es el potencial de las velocidades, obtenemos para el potencial la ecuación de las oscilaciones

U„ = c'AV.

La presión total p se expresa simplemente mediante la condensación s:

P = Po (1 + yo).

Designando por P = p — p, la presión excesiva, tenemos

J * »— Po* = Po<*- Po

De aguí se ve que la presión excesiva P satisface también ta ecuación de las oscilaciones

P„ = c’ A P.

Si la frontera X de la región en que se busca la solución se supone absolutamente rigida, entonces sobre ella la componente normal de la velocidad es igual a cero:

SU ¡ OP»n y = 0 ó -3— = 0 , —— = 0 ,

I2- dn |s dn |s

•donde n es la normal a 2 .

La energía cinética del volumen dxdy dz del gas es igual a — p0u2 dx dy dz.

La energía potencial, obviamente, es dada por la expresión

T ' P í ' = - ¿ r P ' -La energía total por unidad do volumen es igual a

W~ T + - ¿ r p'-Utilizando la fórmula de Green, no es difícil escribir el principio de con

servación de la energía on la forma

J Y dS , y = pn,

*) Véase, por ejemplo, [7], cap. I I

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donde T es cierto volumen acotado por la superficie S. El vector Y «= pu es el flujo de la energía a través de una unidad de superficie, y se denomina vector de Umov.

La energía total inradiada'porcierto manantial durante una unidad de tiempo fpotencia total) es igual a

n = f yjdS,

V II. Ecuacionos da tipo elíptico 657

donde 5 es cierta superficie cerrada que circunda al manantial.E n el caso de las oscilaciones establea

P = pe*"1.

donde la amplitud p satisface la ecuación de la onda

A p + k%p = 0.

En lo sucesivo en todas partes trataremos los procesos acústicos estables, es decir, las ecuaciones de Iaa ondas, omitiendo, como regla, el multiplicador que depende

de tiempo eia t. Si s = seia l,v — ve'a l , entonces s y o también satisfacen la ecuación de la onda, además, su amplitud será p = Ikc p„U.

E n ol caso do dependencia armónica con respecto al tiempo, comunmente se utilizan las magnitudes medias del período de las funciones examinadas. Si

tomamos la dependencia del tiempo en la forma eiat, entonces las amplitudes p y d serán complejas (la raya sobre v se omite). Teniendo en cuenta eso, para un fluji de energía medio del período, obtenemos la expresión

? = - 1 -R e (po*)

que se llama también intensidad o fuerza del sonido.En la acústica so utiliza ampliamente la noción de ¡mpedancia. Como es

conocido, la impedancia mecánica del sistema t se define como la razón de la presión y la velocidad. La magnitud p0c se llama resistencia acústica de la radiación. La impedancia adimensional se define por la relación

1. Manantial puntiforme

36. Se oxige hallar la función

o (X, u . *. 1. t], 0 = ^ v'

«•= V ( Í^ ) *+ (y — 1|)*+ (*-£;>’ .donde v os la solución regular do una ecuación de onda que debe ser elegida de

tal modo que para z = 0 se cumpla una de las condiciones: G 12=0 = 0, 11=¡0 =

= 0.

e-tkr e~ihrta) a ( X , „ M, 5 , n . 5 ) = - ^ r - T ñ f ,

ri"= / ( * - S)s+ ( í/- t l)2+ (z+ ?;)a.

18-0942

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La solución (leí primor problema de contorno será

+°° i r

“ <*• »• z>=—¿ 5 Í ( ‘*+_¡r) 1 (?- ’1,)— oo

«= /u-sr-+ t.v-n r-+^;

b ) c (* . , , *, e, n,

La solución dol segundo problema de contorno será

-foo -feo

u (r, y, i) = j j G | ^ 0 / (1, >)) j --jf— I <£• n) d i d<].

-oa — CO

Indicación. Para construir la [unción de manantial G utilizar el método de las reflexiones especulares.

37. a) G(M , /> )=-- i-[//¿»'(fcr)- //5^(ir,)),

h) 5 (Ai, P) = -- [11?' (*r)-f-//Js> (*r,)),

donde


r = V A(*-S )a+ (ff->!)». / ( * - ! ) * + < » + ti)*.

Indicación. Se exige hallar la solución de la ecuación de onda A2i' + k^v = O

que satisfaga para n = O la condición de frontera t> =» O ó|^- = 0; en el infinito,

la condición de radiación

lim \r r (-|p—H * 1’ ) =*O 0)

ó

llZ v 'r ( - w - lkl' ) =n t2)

y que tiene para r O una singularidad logarítmica, es decir, que puede representarse en la forma

C=>--j- i/¿4> (»>•) + (;.

Utilizamos la condición de radiación en la forma (1) en relación con la elec

ción del multiplicador que depende del tiempo en la forma e1®1.38. E l potencial de las velocidades del manantial puntiforme es igual a

„ e-lhr

4ar 1

donde Q0 es el rendimiento del manantial puntiforme.

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La velocidad v = —grad V tiene la componente radial

( ÍA+-Í-) °-

La presión es

p = ike p„U,

La potencia completa irradiada por unidad de tiempo (el valor medio según el tiempo) es

rr _ OÜ^Po 11 “ 8n *

La impedancia acústica «dimensional es

* tkcp„ <

Si r es suficientemente grande, entonces

Indicación, Para calcular la velocidad i> y la presión excesiva p utilizar las fórmulas

SUpr = — — , p = ikcp¡¡U.

El flujo de energía se calcula como el valor medio por el tiempo del producto de la presión y la velocidad

Y = — Re (rr*) —2 {P ' 3Ín*r* *

La potencia completa de radiación es

n = 7 . / .n r » = .8n

39. Sean P„ (0, 0, —a) las coordenadas rectangulares del manantial puntiforme del sonido, P¡ (0, 0, a), de su imagen especular en el plano z = 0.

El potencial de las velocidades es igual a

(g-tkr g- ifir i.

r= y *3+ »> + (« — «)s, r1= l / i !+ í,+ (--+«)‘además

r j = \f r3-}-/ia2-{-4ar cosft

donde 8 es el ángulo entre P 0M y P0P¡mt M (x, y, z), e! punto de observación.

16*

VII. Ecuaciones do tipo elíptico 6 5 9

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A grandes distancias del manantial (en la zona de la onda* tenemos

rj = r + 2a cos 0,

de modo que

U = - ^~ 'rkr (l + «-2ia,ir05#).

La intensidad do irradiación es

Y = 2y38 (eos (2a/í cos 0) + 1]

La potencia total de irradiación es


0

dondo Y 3, y n 3s son la intensidad y la potencia total de radiación del manantial puntiforme examinado en el problema 38.

40. En esto caso para 2 — 0 tendrá lugar la condición de frontera de la igualdad a cero del potencial de las velocidades U = 0, de modo que

/ ,-lhr $-ihrí \

M - 4 — T s d * -

„ /, sen 2a l: \ _ n /, sen 2a* \

,1 = — 8 ^ " l 1----2 = n " l 1--1 ¿ } T I ■

41. Indicación. Se exigo demostrar que

vu ( p ) *= vp (M )<

donde oM (P) es el valor, en el punto P, de la solución de la ecuación de la onda con manantial en ol punto Ai; ¡>p (Af). la solución en el punto M cuando el manantial está en el punto P.

Para la demostración, utilizar la fórmula de Green.42. Se exige hallar las soluciones particulares de la ecuación

con la condición

I = 0 <« es el potencial de la velocidad)dn |E

y la condición de no existencia de las ondas que llegan del infinito (condición de radiación).

Existen soluciones particulares en forma de ondas móviles

un (M, z) = ¿ ní|>n (Ai) (M = A/ (*. !/)),

donde _______

Vn = Y ** - K f

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Xn y i}>„ (A?) son los valores y las funciones propias (le la membrana que tiene forma de sección perpendicular 5 al tubo.

A*i)>n + Xn'¡>n = 0 dentro de S, jc= ® es 1® frontera de S)

Si >.„Q < k z y X„<)+1 > A4, entonces existen n0 ondas móviles. Para n > n0 tenemos:


» = Any n (M) <rp» ' " , Pn =

las ondas amortiguadas. Observemos que en todas partes se supone que las funciones propias son normadas a 1. La máxima longitud admisible de la onda que puede propagarse dentro del tubo es

» _ 2«

má* ~ V K ’

para el tubo circular de radio a Amáx ^ 2,613a.La velocidad de fase es

La presión excesiva es

P = — ike p0«.

La velocidad de las partículas a lo largo del eje z es igual a

vz = ~ íy nu-

El flujo de energía a través de la sección transversal del tubo es

Y n— “‘f j ' 4"! ^ ^ 'l?/x‘¿ *^<rPoYn = “2_ ^ PoYn j ^n| .S

Para el tubo con la sección circular de radio a tenemos:

,<n> va/ ll' " ’ \ aX n ^ m . » — ( —~ ) ,

¡í í » ’) * - " 0

El flujo de energía es

1 , / t » | C “ /eos ( i , n = 0 .'í’m. n — y zr¿ ---- ;---- se "T. en — <2

M Í t f ’) * - » 2 J n W ' ) *n U ’ n * l ‘

V m ,» = 4 - | ^ n j , *cp(1 ( Ü j L y ,

donde ni»1 es la raíz de la ecuación J 'n (n) = 0.

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Para el tubo con sección rectangular tenemos:


1 fcm8 n Jl 1TI JIW . A J O \’l’m. n = ] / - ^ - cos~ 1 0 0 3 (« , m = 0 , 1 , 2 , . . . ) .


Ym. n = \ ¡ Am. „ |‘ *<-p, ] / k* - *= ( ^ T + ^ r ) .

3 .a ) G (M , P , », Q - g «- "» I - t » .

donde xn = — A4; Xn y son loa valores y las funciones propias del primerproblema de contorno: Aa n -f- Xn*J>* - 0 sobre la sección transversal S ;\|>n = 0 sobre la frontera C de la sección S :

n—a 2>ín

donde xn=\^ X~ — k?; X„ y ifn son los valores y funciones propias del segundo problema de contorno

Ajíi'n + Xn^n = 0 sobre S, "■^7L jc = 0

Si S es un círculo de radio a, entonces

i(in (A/) = ijim, „ (r, <p)

__ r ¡ V r \— t / " en " \ a / cos— t na* - /« (n íí’) sen'“p’

_ . I (± J * L A■,/’ Bn Hm_________ ” V » I cos

n a ' V ( l nm) * - n > /-(fíP ) SCn’i’n (M) = tm . n (r,q>)= f / ^ — = - -----^

(í& )2

donde

para n = 0 \2 para /isyfcO,en

- f i

p.}*1* es la raiz de la ecuación J n (fi) = 0 y la raíz de la ecuación J'n (n)= 0.

Indicación. Se debe aplicar el método de separación de variables a la ecuación heterogénea

AI» + fp + * * * ’ = - / W , *).

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Vil. Ecuaciones do tipo elíptico 663

donde / es una función arbitraria, y representar la solución en la forma

+ 00

v

— oo S

-t-oo

= f j j G (M . P. z, Q f (P , £,)d<Jr dt.

Si se busca v(M , z) en la forma

OO

ü{M , z )= ^ ^ri(z) 'í'n(M),

entonces para vn (*) obtenemos la ecuación

«■«-«I»» W = - / » ( * ) . /n — j j /<P. *)V„(/>)dOr

resolviendo la cual, hallamos

00

= « 'Xn,,' U /n(OdC

Ir r e”X711 i J ] --------------------- * n { P ) f ( P ,

44. La función de manantial para ol tubo semiacotadu z > O con sección arbitraria S

a) G (M , P , *, D = S (f>) « - ^ s U x » » ,

n = l

b) G (M , M ' , t , £) = ^ ^ (M) ?'* «-*,ltcli¿n».

H=*l

Aqui <(>„ y >j)n son las funciones propias del primer y segundo problemas de contorno para la membrana S

Xn = l'XT—"P, xn=K í n — *».

Indicación. Aplicar el método de reflexiones a la función

Z n 1 * - t l ,

de modo que

a) Z„ (z) = e ■x" (;-r) — e ~ x" (:+I> ^ 2e"5,',!: sb «i*:,

b ) Z n ( í ) - * ' * " <C' l ) + í ' - n ( : + I ) = 2 e ~ X " C c h X „ z .

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45. La función del manantial puntiforme que da la distribución espacial del potencial de las velocidades es igual a

Oo

G (M , M ', i , Q = ^ 'tn (.M) ip„ (A/') K n (*, ?).

«*=1

ch pnz el» pn (/--£)


donde Kn (z% *) =- -snirsi— para 2<íl. . ± P » A L - : ) c h Pnl p a r a I > £ .

Pn Sh p„l r b

donde p„ = Y ’>-ri — P , ’ l’n <Af) y ?•„ son la función y el valor propios del problema <íc contorno

Aj^'n + Xn^n = 0 dentro de S , -¿~~ = 0 sobre C,

S es la sección transversal del resonador; C, la frontera de S.Indicación. Examinando la ecuación (véase el problema 42) para el poten

cial de las velocidades

**£/ = - / (Ai, z)

con las condiciones de fronteraUz ij. = 0, Uz |2=0 7=l— 0 (2 es la superficie lateral del resonador)

y haciendooo

U (M , z) = 2 °n(«)i|>n {AO.

n = |

obtenemos para vn (z) la ecuación

»n — Pnvn — —in (*)- v'n «*) = v'n (0 = ü- Su solución es de la forma

vn — Kn (z, O /n ííjW s i

donde Kn (z, Q os la función correspondiente de Green paro la ecuación

— Ph»n = °-

En adelante véase el problema 43.

2. Radiación de las membranas, cilindros y esteras

46. La velocidad es

La presión,

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VII. Ecuaciones de tipo elíptico 66&

El flujo de energía (el valor medio según el tiempo) es

Y = 0,5 c w l

La impedancia acústica específica,

1.

47. Si sobre la frontera z = 0 la velocidad resulta

= »« (<•> i = 2 r ) »

m=t

donde es la raíz de la ecuación / 0 (y) — 0» entonces

oo

(r» *) = 2 ("^T" r ) e~ÍVmZ = 2 ^ 0 r ) e~Y™Z (2 > 0 ) ,

a es el radio del tubo La presión es

donde

>0.

oo

p- 2 ( - i r r) e-iVmí (l>0 )’

ym

enionccs

v(r, 0) = A J , ( ^ r ) ,

para m >• 1,

] / ” ** j r

La velocidad media del pistón es

r ;

<opo-4 ,— —---- para m = 1

V = ■ A « 0,428 A.N

La impedancia,

£____l---------*

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El flujo do energía a través de la sección transversal resulta

TT n<jp„«a/ lV ; (,u,)

2 V48. La velucidad radial os


//'.=> (ir)vr — vo ------- —

La presión i

‘v _ "° l r * < (ha) •

H<¡“ (kr)

La impcdanciii es

p I l t ' lkr) .4 p „cv, H [ 21 (kr)

A laa distancias grandes, para fcr > 4, leñemos:

, = ___ ü!___e~( r~ * ) = Í 0C l / — ^ ■ -r • • • ■r U ? ‘ (ka) V nkr 1¡j*5 (*a) K n/rr '

p , i / ~ ~ T ) _* H';*>(ku) Y nkr ^


Y - 0 ,5 puf - nkr]fí,i, (¿a)|> .

Indicación. Se exige resolver la ecuación

Ají; + k?v = 0

sobre la región r Js a con las condiciones adicionalesi> \r= a = w»

y

lím j / r + = 0 (condición de irradiación).r -* co V Or /

49. La presión excesiva es igual a

P « navapol>0/í¿«> (A-r) ( v = ) .

F.n la zona de la onda

------------------ 7 = ---------------------h . . . ,V r

T -----77------+ - " ’£ = i-

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La energía total irradiada por unidad de lungitud del cilindro es igual aproximadamente a

ÍI = íi’poVaVJ.

Indicación. Utilizar el desarrollo

II'la) (*) = - ^ - + . . . para x pequeños,


i/¿2> ( i) = ~ ^ e ^ paro x grando».

p — A cus (kr).

nx

50. La presión es

La velocidad radial es

Vr~ - £ ev$W ' ( * r ) , A - z p P f á .

La impedancia acústica específica es

t i , "i*'<*a)r = a — ' / /< :> '(A-a)-

Si ka 3i

La reacción del aire sobre una unidad de longitud del cilindro en la dirección de su movimiento es

2n

| ap (a, <f) cos (p d<( = tka* ncp„v0 *).

0

Indicación. Tener en cuenta que la condición de frontera es do la forma

vr Ir=a = eos <p.51. Si

cw

f(<t) = -y- 2 (°mCOSm(p-t-¿m senm(p),

mi=i

*) Aquí, como en otras partes, para la presión y la velocidad se ha omitido

el multiplicador e1®*.

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donde

2 ft

“» = — \ = 2^ j / (<P) coSmqid'P (n¡ = l , 2 . . . . ) .

o 0

2k

(j / (cp) sen m<pd<p,

P — 2 t*4” CCS mf + fím sen m<¥) (kr),

m= 0

donde

Or

«Po _ p __ ¿cpo , f_ _. 0 »Tt(2V /. v m’ m ~ rt<‘¿v /» \ m \rr¡ —H%' (ka) (ka)

á — /cp0 fl«i #“ I W (ka) 2 ’

°0 (*r) i ^ v W<m’ (*r)= - + 2 (a- cos m,p+ seQ mtp) i g n s r , •

l’ara

/ (9) = u0= - ^ - , am = bm = 0, m > 0 ,

obtenemos

« i » (kr)„ = p0 = w ,2, (fc(j) ,

es decir, la solución del problema 48. Análogamente se obtienen las soluciones de los problemas 49 y 50.

52. I a presión es

p = yltí2> (kr) P, (cos 0).

I a velocidad radial,

0 — 3^ - l?52' (*r)-2&s> (ir)] l\ (cos 0),

donde

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(x) = x es el polinomio de Legendre de primer grado. Si ka <£ 1, entonces

A — 0,5cpo (ak)3u0.

La fuerza completa que actúa sobro la esfera en la dirección de susoscilaciones resulta

2— io). — ;ipa3t>0.

VII. Ecuaciones do tipo elíptico 6 6 9

La resonancia específica adimensional para r = a es

ASi8» (**)

'W ' (te)i8 tf* ‘ (*<■) ______ L *a +

* 7-<2> __9ti*i (irA\ 2

En la zona de la onda

e~i (hr eos 0,kr

e“ i ^ r“ ^ eos 0,cp0kr

. _ 3cpp0¿____( / « > ) - ( te) ’

El flujo de energía irradiada por el dipolo on la unidad de tiempo es

o , 5 ^ £ ^ = 4 - 0032Q'c p 0 (kr)2 8 (A r)*

La potencia total irradiada por el dípolo acústico es igual a

es decir.

n = — cfVÍja» (ai)4,

53. Si es posible el desarrollo

09

I (0 )= ^ ÁrnPm (cosQ),

TM=aO

entonces la velocidad resulta

la presión excesiva es

STl ( *r) n /CQo Q\

m=ü

donden m ■ — •

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Si ka < 1, entonces la reacción completa del medio sobre la esfera se puede calcular según la fórmula

F = 2na* f (p)r=„ cos 8 sen 6 dO — 4rT," O, : —J 3 j<2> (to)

Si / (6) = «o, entonces

A — f VO Pata m = O, m— l O para m O

yF = 0.

Indicación. Al calcular la fuerza total que actúa sobre la esfera se deben utilizar las fórmulas

í \2)(p ) ~ ^ + . - . ; t(12)' (p) » — J r + • • • Parn n pequeños.

54. Si la velocidad de la superficie do la esfera es igual a coro en todas partes excepto en un área circular pequeñu do radio e en un entorno del punto 0 = 0 (el polo)


i>0 para 0 < 8 — ,

0 para — < 0 < n

donde a es el radio de la esfera, entonces

. \n . £re* ( *r) n / a,p — icp0 Am ^(2)' (ka) (eos 0),

771 ™»0

“ m r (kr)

2 Am "5Í5- (ka) Pm (cOS m-0 ‘m

e/a

= j Pm (cosO) son 0d8 * 2m^~- ~va.

0

La energía total do irradiación es igual a

oo4jt "o 2 m -|-1

32a= (ka)* -¿J D*m m =0

l'ara las frecuencias muy bajas

donde Q„ — netvi> es 1a potencia del manantial puntiforme.

p x i a ~Zwr (TOÍÜ<i) *'*’■=1(0 - jir e" ,r|?o'

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Indicación. La expresión para Drn so obtiene <le la fórmula (1) del problema 62.

55. La componente radial de la velocidad es igual a


La presión es

£(2>' (Ar)»r (r, <t) = ■ ¡.¿a,. (fra) Pt (eos 0).

---------- ¡ c p ^ g ‘.((g Pi(cos6).

Para ka < 1 Ja intensidad y la potencia de radiación del cuadripolo serán iguales a

? = ÍT ^ Í ^ < cos0>'

n=:W cf,ofc*íl8l;S-

Indlcación. Tener en cuenta que t> tr=a puede ser escrita de la forma u „ = = u0P 2 (cos 0) y buscar la presión en la forma

p — R (r) P2 (cos 8).

Para calcular el flujo de energía y la potencia de radiación utilizar las fórmulas

£l2í (x)=¡¡-^- para x pequeñas,

9Z}i)' (*) = — ¡ — para * pequeñas,

y también las fórmulas asintóticas para x grandes.Es interesante comparar las fórmulas

17 = -2- cp0tgal'A1 ~ til* para el dipolo acústico,

n = c p 0 aS i"~ <aí para el cuadripolo acústico.4U5

50. Si la amplitud de la velocidad de la placa (del pistón) es i'0, entonces

P =<faPo»n

2 n i J — R — d^

donde R es la distancia del punto M a (u, ip) al punto de observación M (fig. 00).

Si-^- « 1, entonces

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í 2 J ' (ltSen6) ]2 8r2 H L u sen 0 J ’


E l rlujo de energía irradiada por el pistón es

\.i = ak.

Si |i « 1, entonces

V — “f £ £ í í j i - /, u«sen»e \8ra \ 4 I '

En este caso la potencia total es igual a n = n- X p5 ( l — -¡g-J .

Indicación. El potencial de las velocidades generadas por el movimiento

<lrl pistón se representa en forma de potencial de la capa simple

I) oLa presión es

p «= ikcp0U.

Si /? » a, entonces la función subintegral tomará la forma

¿ -ift ií e-ihr glhyscn 0 co3 rj>( / ? = r— y sen 0 eos \|>)

r — y son Gcos

. - ihr fV = O» 4 ^ - J y dn j C1 <h« « » «>cos * d>i>=

de modo que

-ihr

O

-—ihr

i * * 7» <i!,sene) 2n=t,‘ ^ r 2Ji, (Anse,?- i¿nr J 2r L. l¡a sen Ü J

D-' aquí también se obtienen las fórmulas para p y vr.

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57. La presión sobre la superficie de la piuca os

p | ,_Q = ^ " 8 u — A) (2(i)-f (2)')). |i = a*. (1)

donden/2

M„(x) = ~- j sen (x sen cp) d-T I 1~ i*-3*-5* í ^ - s 2 ?1 ' ' / •

La fuerza de la reacción del cninpo acústico sobre la placa es

donde

x

A í , ( * ) = j A í0 (s)d | = — ( - ¡ j ^ jT .32.5 I- 12.3s ;52 .7 + • • ■ ) •

0

Si la masa de la placa es pequeña, es decir, a es pequeña y por consiguiente p. también (n -C i) , entonces

La impedancia es

t - t J í ._L l í l Í ~ í »

Solución. Para calcular el potencial de la capa simple sobre la placa misma es conveniente elegir las coordenadas polares p, (p de cualquier punto de la circunferencia p =* a' en calidad de polo.

Entonces

n/2 2o' eos q: n/2

L --J j e-‘',(ldp<¿f = ~jL-- j { ) _ e-2«<i'c0s»} ¿y,

- n/2 o O

Teniendo en cuenta que

n/2 m 2i . ^ g-2iha' eos «prf(f ^ sen <p^. =>

h 4 ‘on/2 ji/2

= -- jj eos (2Ara' sen <p) dtp— ^ sen (2*a'sen < f ) # = / 0(2*a')— /A/, (2*a')

donde Af0 (x) es cierta función que se determina por la fórmula

n/2

■V„(x) = ~ \ senOr sen <p) á < f ^ ~ ( * _ 1| l r + — ■— . . . ) .

ó

17-0942

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Cuando x <x>, para M u (z) tiene lugar la fórmula asintóliea

w - / í ( * — r ) + 4 r + ° ( - p M •

Por consiguiente, para /¡ |r_ n es válida la fórmula (1). Para hallar la fuerza do la reacción que actúa sobre la placa ae debe calcular la integral

u

4 ^ X


f = 2jt j P l r M ' » ' * ' * — •

I)

2m 2|iX{.í (,- /»( ) í -Wo(í)?d|} =donde

.1/, (*) ^ A/0 ( í) iá s .

41

58. En la /una de la onda (para /rr > 1)

e-'hr Zp = tksp0a-— -— 2 j ‘', ’n<r>'»

1/1= ü

,-ikrv — tka- — r— 2 Ani^m (0).

m—ü

donde Am son ios coeficientes del desamólo de v |>»«o — / (p) en serie, con res

pecto a las funciones J 0 p) * iguales a

/((’ )•'» ( “v -p ) p ^p -

<I<m (6) = , s- ka s«ii 0,s m

pm es la raíz de la ecuación (¿0 — 0.Resolución. Utilizando el desarrollo de / (p) en serie

oo

v\z~.()= í (p)— 2 p ) ? m=»0

hallamos:

p — í i a - S /tm j ^ ( i r - p ) P *

wz=*=0 0 0

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— ihH~ ______ Ákfi sen 8 cos V

¡i r 1

(véase el problema 56). Los cálculos dan:

ri 2ji a

í J ' ( i T ‘ p) prfp \ í í*,,5<'necos<,’rf<f = 2" \ J « (-^T-p) A(*P«oO)prfp.o 5 o

l ‘ara hallar esta integral nos servimos de la fórmula

a

Í j v (dp) J v (pp) p dp = pi — n2 [«./¿ !*«) A (pa)- (fía) A («<0!.

ó

hacemos a — p m/a, P — fcsenO. v = 0, en loncos obtenemos:

a

j y0 (*f0 (0P) P ¿P = V — J <> <Hm) (Ji (jAm) = 0),


E n 1» zona dt» la onda

0

de modo que

« ^ V i W ^ i W e ~ ! k r

i ‘ = ‘kW 2 j ---- ¡ r r ¡ r --------r ~m*"U

El primer término {m = 0, f<0 = 0) de esta sene es la solución del problema 56 sobre las oscilaciones de un pistó» rígido en una pantalla infinita

tkcp,\(i2 r 2 J] (s)P = ----2 ® -----------S = ka sen 0

además A „, obviamente, significa la velocidad media del pistón.

3. Difracción sobre el cilindro y la esfera

50. Si la onda plana se propaga a ío largo del eje x que es perpendicular al eje del cilindro (al eje 2), entonces la presión dentro de ella se puede representar en la forma

00= ^ ( - >)mSm(kr) cos m<p] .

m = i

La presión dentro de la onda dispersa es

oo

ft¡= 2 í¡m 003 (kr),m= 0

donde

k _____ / .(* « ) , „ . 2 (— i)m J m (ka) , ,

0 7/<*"(*<0 ’ m « F l ^ j ’ "

17*

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La velocidad en la onda dispersa es

"<r = 7 ^ 2 ffmffín*' WCOSMUP.m=0

En la zona de la onda (a grandes distancias del cilindro kr^>\)

P s = r nkF e 2 j &m‘mcos mq>,Pltesfl

2 *«< “ « » * * — ¿ - f cm=»(J

60. La intensidad de ia onda dispersa es

Y = IF I2 Y* nkr '

oo ^f ¡ = 2 f m sen Ym«nm Cosmif, 8„ = 1 , em — 2, m > 0,

m=0oo oo

2 2 eme„ sen Ym se» y„cos (Ym— Yn) cosmqicos ntf,m*=0 >i=Q

ym se determina de las relaciones

tRV ___ £í_ltO_g ,° /V,(n) »

I (n) — /m»i (rt u. = AflA'nn-i((i)— Arm_, (|i) ’ ^

7Vm es la función de Neumann. La potencia total del sonido disperso por unidad de longitud del cilindro es

n 4K0 ■’TV _ v3~ ¡i ¿Li 8m sen *,?m* *i — ¡¿rpo *

m=0

Indicación. Utilizando las relaciones

J'm — 0,5 (Jm -1 ’ J m+i)» $ m =0 ,5 (A w_-j — Arm+j),

no es d ifíc il expresar los coeficientes Bm en la forma

donde

8q — 1» 6m — 2, ^ l j

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61. Si ka i, entonces en la zona de la onda tendremos:

V II. Ecuaciones do tipo elíptico 67 7

en la zona de la onda~tenemosj

í Yna*k*A

^ = -¿7 Pl'

p‘ ° ~ T v W T t {1 - 2.COS

La intensidad es

— nk3aÁ r r tA 0 „ .c r? A2l- 2 «8 < r )« , >« = - 2 ^ .

La potencia total es igual a

n„ i nw r ll+ . . . = - í í l y ( + . . . I

donde \ es la longitud de la onda (A = 2nA = to/c). La presión total sobre la superficie del cilindro es

°° I \_ _ /<'4 ■n pm eosm<f -U-Vm— ó~)P« = lPo + P,)\r^a = 1 ^ ^ ---* • e. = *.

m=c 0

~2> m 2 i»donde

V |/n,+1 (I*)-/™-! (H>P + [‘Vm*. (n)]»m--- - 5------------- •

La fuerza total que actúa por unidad de longitud del cilindro, dirigida según la línea de propagación de la onda plana, es igual a

2it

0

Si p = ka 1, entonces

C 44 * (y>-4)F = a \ pn cos(pd<p= e ¿ .

0

P ti = A 2í|x cos <j> ,

F — — 2ijia*kA,

Si n = A o> 1, entonces

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Indicación. Se deben utilizar las fórmulas aproximadas:a) para fi » w 1/2

~ V ' V. «M— “"‘ “ 1f - h ’ ' Vm«H-4-n (m + j ) >


jt|*

b) para f.i = ka < m + 1/2

Oto4 Jtu- rn! ¡ 2 \w+l

s-síT ’ v . ^ — • s r ( - ) v» (m!)«

62. Sea que la onda plana so propaga a lo (algo del eje i

F„ - Ae,,u '- k*> = ■= _í/‘r c<« 0.

La presión y la velocidad radial dentro de la onda dispersa se dan por las fórmulas

Cfc.

l>$— ^ ftmZm ( ^ r ) Pm (COS0),

m»»0

1 Ó¡>

ikc p a Or cp0r= -¿T 2 »-»&2V(*'-)',m(cos e>.

donde

&¡’ W - = 1 / ^ ^ r " (2) i (0 .F m-f—

= - X ( - i)* (2m + 1)

+.

« f* (|0

1 00-

ji = ka.

Los coeficientes Bm es convenienle representarlos en la forma

Bm = —A í- i ) <m+u(2m + 1) sen

donde Pm se determina de las ecuaciones*)

(|0 — <m + 1) fm+l (H) = — (2m -i- 1) Dm eos pm —

= — (2ra + 1) rm 00.

(m + í) >pm+1 (|i) — m\\.m _t (n) - — (2m + 1) h m sen pm =

— — (2m 4- 1) i|>/„ (¡i).

Aquí

0)

*) Véase [38J, pá^. 351.

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En la zona de ln onda (r -*■ ^o)

-* (hr~y ) ”

¡>» = ~---—r---- 2 u ">lmpm (COS0), vs^ — P í_

tn= 0

La intensidad de la onda dispersa es

OO

y s = ^ o - p ^ r 2 (2m -f- l)(2» + l> * e n f lm S * n [ (» X

M, ■»= 0X eos (P,„ — p„) Pm (cos 0) P„ (cos 8).

La potencia total es igual a

n , = ñ - $ - 2 (2»+«-*W»Pn.t!«=U

Indicación. Ñuscamos la solución ou forma <h» serie

oo

Ps 2 ^ r ) Pm (eos 0),ma=U

VII. Ecuaciones de tipo elíptico 67 9

donde los coeficientes Dm deben ser determinados de la condición de frontera

ó (po — p»)| _ q para S)1 ^term inación es necesario obtener el desarrolloOr |r_ „

de la onda plana en la serie. Demostremos que tiene lugar la fórmula

e-i|.Q»se_ V í ’m^m (p) Pm (cosO),

<londoCm = (2m -f 1) <-<)m.

En realidad, suponemos:

\

CmVm (P )= ~ 2+ ~ j . - « / • „ (i) d\.

I

La integración por partes para p grandes da:

' sen I P - - 5- ) , , .

J e-‘,,‘ Pn, (|)</£-2 (- ¿ )m ------¡J------ 1-° ( — ) .-1

l ’or otra parte

/ 7/iJl \sen { p--- -— )

* ra<p ) = _ L _ J L Í + 0 ( - L ) ,

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donde O | -i- J son los términos de más alto orden de pequenez que . De la

coincidencia de Jas asinlóticas de ambos miembros se deduce que

Cm = (2m -f 1) í - 0 m.

63. Si p = ka c 1, entonces


1V. — -- p.' cp

en la zona de onda (A r ^ 1).

Y H4o*1 A -~

La intensidad del sonido dispersado por la esfera es

ñ ( l — f-COSfl)2-}-...,

Y —~ó—° 2cp0 ‘

La potencia total del sonido dispersado por la esfera es igual a

_ 149 *tÁj]6 _11» = — g-- y„ + . . . — —y— “ "JS- • •• & es la longitud de onda).

La fuerza que actúa sobre la esfera en la dirección z es

fl

f = 2:taa p|r= 0cos8 sen 0d0 = — 2iúai ¡iA.

n

La presión sobre la superficie de la esfera es igual a

Pe — (Po + P.) lr=o = A ( 1 — y ifi cos 0 ) + - . . para p <«: 1.

jndicaci'tn. Las expresiones para ps, Ys y n s se pueden obtener mediante el cálculo directo, utilizando las fórmulas aproximadas

* í <!*>*— j . f í - y . j r (^ € 1).

o de las fórmulas generales obtenidas en la solución del problema anterior. Cou esto, se deben tener en cuenta las siguientes fórmulas aproximadas para Pm

y Dm-

S i p » m + - y ,

Dm « -jj- , p m w p -- ~ ji (m + 1).

1 I 1Si entonces Do « -p- , {*0 -y H3»

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V il. Ecuaciones de tipo elíptico 68?

1-3-5 . . . (2m — l)(m-f-l)

|im+s

Wj£2m+l

K 1».3S-5S . . . (2m-l)-(2m + l)-(m + l)-

64. Sobre la esfera cao la onda plana

Po = ^^ iftrcose .

La presión en la onda dispersa es igual a

donde

Pa — ¿_¡ ^m±m 0*f) Pm (COS 8) T7Í=0

( - i ) " (2m + f ) ^ 1'm<lt>Om ---------- ----------- Parn '« I .

ím (|4

U - í. i Po'l’i 0 0 — P lf ' (íO-t*

px es la densidad de la esfera.La componente radial de la velocidad es igual a

oo

= 2 Bmt>my (*0 Pm (eos 0)m = 0

(acerca de los valores % y £j2' véase el problema ü2).Resolución. La ecuación de movimiento del centro de gravedad de la esfera

bajo la acción del aire es de la forma

M Í — — f l¡ (p<¡ — p,)r~a eos Ba dil,

4»tdonde M = — a3p, es la masa de la esfera, o

M * - l - a» j [ (p« + ps)r=a cos e dQ . (1)

La condición de frontera para r = a se puede escribir del modo siguiente

(ií+P»)|r->o“ K»»eose. (2)

Multiplicando (1) y (2), eliminamos £ y obtenemos la condición de frontera sobre la superficie de la esfera

2aoi o — — f — —-3— — (Po+Ps)lr=.i=PoCos6 J <p„— Ps)r-a P, (cos 0) sen 9 <¡0, (3)

donde

— <- • “ l|r» a = FoW,sW

5

P i (cos 8) = eos 0.

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Utilizando el desarrollo do ln onda plana con respecto a las funciones esféricas

oc

p„ = 4('-f'‘rC"5 0 = ¿ I A,„i,„(hr) Pm [c osO), /lm — (— 0ra (2»¡ +1) Am =(j

y tomando

OO

Ps= ttm'aW1 í^r) (COS II),ni» 0

<>l>U’iii'tm>$ ilc (S), ou virliKl «lo la ortogonal¡dad de los polinomios de L iendre ,

Po'fi Ü«) — Pi1>!(|0m .---- rr;------ —r-r~.-- .4 para m — 1,

P«í| (I*) — P»Hj (M)


t|0

oo(>*>. l>.~ y , liml'l'(>tr) í 'm (COSÜ),

donde

/J, - — APuti (lO— Pi n'K <f0 0)(,

Poti5' t|0— Pl (!<>

_ . tym (|0 . , .■t (2)' , » O11 ^feto OO

En caso de resonunciu, es decir, para p«. = |x0,

/ , ____ 4 Vi

Si sobre la esfera cae la onda plana. entonces Ax — —3/. Si no existe el campo exterior, entonces obtenemos la ecuación característica

P«ti1' (M> = Pi ( » -----^ - ) lift2’ ’ (M)'

de la cual so determina la frecuencia 6) do las oscilaciones «libres* de la esfera generadas por oí medio exterior.

indicación. Véase el problema anterior.

§ 4. Oscilaciones electromagnéticas estables1. Ecuaciones de Maxwell. Potenciales.

Fórmulas vectoriales de Green—Ostrogradski

CO. Las ecuaciones de Maxwell en un medio no conductor sin manantiales

r o l / / t— - U L , ,| ¡ v S = l|, B = (i / Í ,r 01

r o l l i = — — , d i v ^ ^ O . ü = f Ee Ot

(1)

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en las coordenadas curvilíneas ortogonales tienen la forma

htn i.

¡i hü

2 ■' 01 “ UT., tlJ-,

I , h _ ^ h n _ 0

« 3 » ,“ dx., ‘ 1 ()7Í

k h — ^ j t ¡r _ 0

1 <J ,n ¿ r , "2"4 <>**

.. i. ou. 0 , „ 0

ot 0X3

c 3 1 ,110 /, E ____ í!_

Ojr, ,)r,

li , , d // . 0

0r.x

___/. /¿ u _i_ ^ - h„h // » . J I •/,1 - : 1

^ -i_ ^ - Ji jivx 1 ¿ dx.¿ 1 - 1

(2)

(ds* = h ¡ d* i + h* rf.r| + rf*Ü)

Si la dependencia de los campos con respecto al tiempo, se «la por el m ulti

plicador c~iüU, entonces en oslas eeuuciones so debe realizar la sustitución, u tilizando las relaciones

1 0 E m 1 OU- —

C Ot 01■ = - ik„J¡m ( * , =- -ÍL, - 1, 2, :í ) (3)

En el sistema de coordenadas esféricas

*X — r , i a — tí, x:t — (|* y /¿i — 1, h.¿ — r , h 9 — r sen 0.

En el sistema de coordenadas cilindricas

Zi = p, x2 — <p, .r3 = z y hy = 1 , k2 — r, ha = 1 .

Indicación. Utilizar las expresiones de los operadores div y rot en el sistemade coordenadas curvilíneas (véase Complemento).

67. Si la dependencia con respecto al tiempo se da por el multiplicador

entonces para los potenciales vectorial yjescalar se puede escribir las ecuaciones

4 jtA 4 -\- h-A ----- — ju

Aq> + lc‘< f= — lí- p .frs= .

a- t|l

además

-d i v A ,

(i)

(2)

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es decir, el potencial escolar puede ser eliminado (/' es el vector de densidad de la corriente).

La expresión para &A en el sistema arbitrario curvilíneo ortogonal de coordenadas es de la forma

A-4 = — rot rot i*! -f- grad div-el,

donde

rot rot A = , { ----- — \-f- - ---7~ —h2kn \ óx2 hxh.¿ l. 0xl tíx.¿ J


0X 3 kn hy | dx, ’

+ •_ J_ / _ £ _h3kx \

0 K r - iLOxy h xht |

1 1 / *hj hs l OX\

dr2 h2

j , 1 ó \ ch|> . 1 d<P,grad ' --- — *i -f--r-r— *2 i— r t.— cSv

* hy QXy 1 h2 dx7 “ /i3 ox9

H>=div A “ - h ¿ r [ i ^ r {'b"-l,>A' ) + ('•>'‘^ ^ + - ^ 7 »

donde ¡i, í2, is son los vectores imitarlos directrices del sistema de coordenadas, j4 i, .4,, A a, las componentes del vector A.

158. En el medio homogéneo conductor las ecuaciones de Maxwell son de la forma*)

/str. — 0* p — 0,. . . 4ji , t 0E ,. .,

rot II — -- oE-i----- — , d i v £ = 0,c c dt

OHrot i. = — ■—

c

Suponiendo

rot £ = - - di v fl = 0. c dt

H = ~ r o lA , E = grad íp-- t ^1*

obtenemos para A y (p las ecuaciones

fu (>2.-l , 4rrop HA , , ,

&A = ~ — + - ? ----- á T ’ (4)

*) Véase [17), pág. 420.

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Vil, Ecuaciones do tipo elíptico 685

además A y q> están relacionadas por la condición de Lorentz

(si

Si la dependencia con respecto al tiempo es del tipo entonces

= + (3')

A/H-fc2X = 0 , (4')

<r — div A, (5')

es decir* para o ^ 0 el número de onda fe siempre os complejo.69. Si en el vacio (a = 0, e = i , }i =» l) no hay corrientes ni cargas libres,

entonces, haciendo A <p = —div íl . obtenemos:c Ot

Ha=T r0 ~ót~' b=w¡'¿A"'n - — -7!¿ir . (i)

el potencial polarizado n satisface la ecuación

Para la dependencia temporal de tipo tenemos:

H — tk rot II, E = grad div n + A'2n , (1')y

ad + = o. (2'>

El vector magnético de Hertz H' se introduce asi:

, r - g r a d div — í- ro t * S L , (3)

además

An' 1 ólV— o* dt1 • * *

Para la dependencia temporal de tipo e~,w‘ tenemos:

H' = grad dtv II' + A2n', E' = ¡k rot 11', (3')

An- + fe*n' = o. <4')

Utilizando las ecuaciones (2') y (4') para íl y n', se puede escribir las fórmulas para E y l i ' de otra forma:

E — rot rot II, //' = rot rot n '.

En el medio conductor para los campos estables (~e~imt) n y n' se introducen formalmente del mismo modo quo on el vacío; pero en este caso por A-2 se debe entender la magnitud

*a = J M £ l + ( i™ £ L .

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70. En ef sistema do coordenadas es fóticas tenernos: a) para el campo de tipo eléctrico (//r = 0)

r <)H- t vi,' r 1 * 'U r 1 Ú*L’*-■— 33--HW . E* = -


0rx ' ' r dr ¿jB 1 n* /• sen 8 ,fr <Vq) ’

// - ti // — ilU íl — ik 0l-T •//(•-t'« // A — .. ' « ÍJ ir ~ n «r sen 0 r7<|i * p r «/0

b) para el campo de tipo magnético ( £ r s¿0)

p, ( _ lk OU' jr, _ — ik OL '^ r son 0 </r t?0 5 ^ r sen 0 <)<{> ’ -

además los? potenciales U y W satisfacen la ecuación

o*/? , 1 ¿ / _ * 017 \ , 1 c?3Cr<Ap”

ó

2 <?rAü 4- Aa6* — — 0

r Or

y las funciones u — Ur, u1 — U'r satisfacen la ecuación de la onda

Au ~ h*u = 0.

En el sistema cilindrico de coordenadas (z, <p, p)

a) para el campo de tipo eléctrico (Jíz = 0)

„ 0*u . . . . r 1 0VJ „ 0K7h ^ — - .k ‘U , E,( = -

Iiz* ’ * (> <)q.

//.=o, /rv= — ik úV

_ F 10z 9 dpds 9 I

0 L , ¡ ¡ = J L 3 L ; JrJp ’ p (i í/(f '

l>) para «*l campo de tipo magnético (£2 = H) tenemos:

«- - o . e - ^ o l , E- = - l k m rdp ’ ** p tf<p J

<W ' , , „ r, Tr, 1 r4, W '" r — - "* = - ^ - 7 7 . « i —

(1)

(2)

v l t \ 0 i ¿. OL \ , i í)-C' . . ,.}v— t -\— ?-rr -rsr ( sen 0 —r^r 4 —~-------------- t-tt— =—- 4 k-b = 0, (3)or£ 1 r2 sen 0 <i0 \ r)0 / 1 r4 son* 0 <j<f~ 1

(4)

(5)

0z‘¿ T p ¿cp ¿Jz ’ ^ ^p dz ’

ach-más í/ y V satisfacen la ecuación

dz1 p í/p \ áp 1 p¿ ü<p“ ■

(,

Af/ + k*U = 0.Ro aquí enseguida se ve que

U = n 2. V - II,'.En oj caso «síérico

V IJr y V n^.

Indicación. Para demostrar )a afirmación principal de! problema se deben sustituir las expresiones para las componentes de los campos mediante U (o V )

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en las ecuaciones de Maxwell, ose ritas en el .sistema do coordenada* curvilíneas ortogonales (véase el problema 66) y exigir su cumpJímiimtn; (fe oslo exigencia se deduce la ecuación para U (o 0').

71 E, - k*V I 0iV E - ' °'ü • ÍU)>L 1 111"71. 0I1 1 *■*- !¡1 Oxt drt ' n h.j Ox, '

p 1 f)2U ú»n 1 (W*

' ’* " l t r 041 c h- 0xt *


9 ■ <ou ha tíx 3 1 h.¿ ÓXvtJX± 9

11?** 1 . i w= "TTTT" TT T77“ 'o)|A h2 í>j:2 //3 /Jajj, ’

cloiitU* ¿‘ y Cr' soji las soluciones de la ecuación

— + - ! - [ J L l h - J ¿ L ) 4- J L ( h . J Ü _ \ I - l *!*•=(>(ix'i h.j//3 I \ í>jr¡> / Úxa \ h:i </.r;, / J 1, khü)2 , . 4rrau*2-------- —T.----- h » ------ r- <«>.

í!“ C“

Indicación. Véase el problema 70.72. Sobre la frontera de separación de los dos medios para r — a deben cum

plirse las condiciones

I r ,

srf¿¡i -Ü r.—íi y;Mi !<s'’t-, dü\ 61", 0U'tdr dr 9 rlr tlr ’

donde ios subíndices i ó 2 significan el número del medio (I pora r < «, 2 para r >■ o), /ft y íc.¿ se determinan por las fórmulas

4¡wLj.,u , s = 2/.•- s- 7

Las funciones Uu y satisfacen la ecuación

- ^ ~ + - - - 1 )h — — L — ^ í ¿ + A } t ' , „ o , $ — i f 2.dr- 1 r- sen 0 </t) \ </f> / ' r- sen2 0 T

de modo que

Aus + fr|us = O, « í = (» *= *• 2).

Indicación. Sobre la í ron lera de Jos medios 1 y 2 las componentes tangenciales del vector ríe la intensidad del campo eléctrico y del vector de la intensidad del campo magnético, en el caso dado Eq, £‘t , //q. i l {p, deben ser continuas-

73. Indicación. Utilizar Ja fórmula vectorial

div \db] = (b rot a) — (a rot b) (1)

y Ja fórmula de Ostiogradski.74. liesolución. En la fórmula

(B-r rot. rot U — U rot rot \V}dx^ {[¿7 rot W'l— \W rot CU ndo (1)

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e ^ rsuponemos: W = atp, dondo cp = --- ; a, un vector constante arbitrario. Los

cálculos dan:

rol W = Igrad cp, ah rot rot W — ak^q, -+■ grad (a grad cp),

U rot rot W = a {k'*<pU — grad cp div U] -h div {(a grad cp) £/|,

[\V rol Í/J n = (rol U, n\ W ,

(£/ rot IF| n — [U (grad cp, aj] = (Ua) (grad cp. n) —

— (U grad (an).

En virtud do la fórmula de Ostrogradski

j div [(« grad cp) U\ rfx = ^ (Un) (grad <p, a) ría. (2)

T l

Bajo ol signo de la integral do superficie en la fórmula (l) eslá la expresión de Fa, donde

F = V (grad cp, n) — (U grad cp) n — [rot (J, «| cp -f- (Un) grad «, donde

 = (rot rot U — k2U) q> 4* grad cp div U.

El vector a es, de este modo, el multiplicador común para todos los términos de la fórmula (1), y dado que es arbitrario, entonces se puede simplificar como resultado obtenemos la fórmula

C f F da, (4)

t *

si el punto M q no pertenece a la región T. Si ol punto M 0 está dentro de T, entonces circunscribiremos alrededor de este punto una esfera pequeña 2 e de radio e y utilizaremos la fórmula (4) a la región T — Tt acotada pur las superficies I y 2 B. Estimamos la magnitud F sobre 2 c.

Observemos que

grad<f — ¡k )<T lXen

Por eso

F lc= (i- — ik j q>(8) ((tr«)n-r-(rt — |rotUo\ (t) » ~

y, por consiguiente,

lim í F ito = 4nt/(M<,). e-í) J

£

Dado que lím \ O)dx =*0 obtenemos en el lím ite

8-° í

U M — k í ®«*t— ¿ í Fd°T L


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ó

V (-V0) = J { ( r o l r o l U — k W ) <p + g ra d (p d i v U) d i M —

T

~ ' k Í 8 r»<i t p + ( l ' I ^ l 8 ra <'ip] + [ n r o l f/1 ( f ) ( /o , , , .

E75.

H (M 0) — — — f { — kJq y + g r a d = i- ^ [ygrad cp] J U M l* £ l — 11*//] grad <(/) — («//) grad q>| do,

T ¿

dondeeikr , (o , /— . co

Indicación. En la fórmula general (5) on la respuesta 74 hacer, respectivamente, (J ■= E y £/ = //. En el segundo caso a la derecha aparecerá el sumando

[w/l<pdo, que se debe transformar en integral volumétrica mediante la fór-

£muía

j [í»yl <[>d c r = j { — [y g r a d <pl + i p r o t / ( da. ( I )

£ T

Parn su demostración se deben multiplicar ambas partos por un vector arbitrario a y utilizar las relaciones

[nj\ a<f => n [yo] <p,

d iv [ / , acp] = a q > r o t y — ( j r o t a<p) = a {da= \ div [y, a<j>]dr = a \ {<p rot y — |y grad <p]J <¿t.

í í T

De aquí, en virtud de la arbitrariedad de a y se deduce (1).

2. Propagación do las ondas electromagnéticas y de las oscilaciones en los resonadores

76. Dirigiremos el eje z del sistema cilindrico de coordenadas p, <p, z, a lo largo del eje del cilindro.

Sean e, ji, o íos parámetros del medio ambiente. Existen ondas de la forma

E = I (a > 0),


H = ff0e-tal+i“ '«-e I* 1 (P > 0),

18-U942

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os decir, las ondas amortiguadas. Aquí se adoptan Ins designaciones

1 / " ~\í e3(.i2d)4 4 - lün“o2ji2(o2 -f- ep.ro2 a - \ 2 *

A_i / " \f e2¡.i“0)4 + 1 ( ^ 2a2|j,¿íJ>8 — t‘n.0)2V " 2? >

#0 = (¿opj E tv 0), H u = (Hqp-i ^)t

además,

p w p^ o p = — , " o ^ p -

C* __ ^ J J J J

o1*1"- ¿o op> 7/or>— p ?

donde A y B son unos factores constantes,

t = a - /P .c6 c*

Si c = 1; [i = 1; o — 0 (el vacío); entonces k = — A*fll las ondas a lo largo]de

esle cable se propagan con la velocidad do la luz:

p _ /.* J (G)f-/<0z) p _ M q 7 I* r . — ^ E r>n I j — t j Qt , p ? 11 op — cp»

r j __ i j r i ( ( ú l - h t z ) . __ j j / / — K k tíl i — t i oC * / o p “ p •

77.Resolución. Sean jilt ox las características del cable, «2, u2. o.¿] lascaracterísticas del medio ambiente.

Elegimos ei sistema cilindrico de coordenadas (p. rp, z), dirigiendo el eje z a io targo del eje del cilindro y colocando el origen dt* las coordenadas sobre el eje del cilindro.

Designando fJz — u , = v y suponiendo que ía dependencia de u y u

con respecto a z se da por el multiplicador ¿'4vz, es decir, u = u V vz» o=ifietVZ9 etr., obtenemos despues de simplificar por esle multiplicador

F.o = r*u<, f , = J L -i* P ' '«> p OH' e d(> ’ " Y 'V *Q "P I (1)

j/o =„.„«> i r = '**c a,l“ l $ *"* íz P v ü)}i dp ' p dy y t} o)|i p cty dp f

donde pt = h i — y1, *5 = -í— ---f — ^ r ~ > 5»s funcioiios

u° — a\|> (p, <f) y d° = (Vi|> (p, <f), (2)

donde a y P son constantes; (p, <p). la solución do la ecuación

1 d i \ , 1 ñ1»))


_ L _ » _ ( p 4 ^ ) + =0.p il¡> ^ (?p I ~ ( Ia (/<!>*

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De aquí hallamos las soluciones particulares de la forma

I / „ (pp) dentro del cilindro

>i n (p. <T) | i ) (pp) fuera del cilindro ^

Sustituyendo las expresiones para r|>n en las fórmulas (1) y (2), obtenemos: dentro del cilindro

El - aipVn (PiP) ' in í,

I!\ « PiPÍA (í-iP)

[ — ^ « ,/ n (P,P) + (PiP) J**"*.

£?,= |~ ^ p ”' P|J" (PiP) + *VPi«iJ » (PiP)] t'"9.

ff‘p = [ ( P t P ) + iP ih S Í (P.PÍp"*-

fuera del cilindro

E» = cl,p\H<» (psp)«in*,

^ = [ - - ^ L« í « y ) (pí p ) + - i i ^ - p 1» (n,>'<p2p )]

! /$ = [ ~ ~ (P,P)— ^ - a 4ffí,‘)'(pJp)]

£ ? , = [ P.ffí,” <M>)+ ÍW *,#!,1»' (P»P>]

/ / ° ~ í -- OM> a^//<nl, <PsP) + ‘VPsPa^n’’ (PaP)]

Sobre la frontera p — a deben ser continuas las componentes tangenciales de E y H. Esto da cuatro ecuaciones homogéneas con cuatro incógnitas (*j, o«, Pi, pj. Igualando el determinante del sistema a cero, obtenemos la ecuación de dispersión con respecto a y

r k\ j-n{\)__k\ HW (>i) 1 r h, (S)I H l ' J n (I) P ,v w»” (ti) J I X /« (i) *~

Mt g y ' w i ..., / 1 _l \2 ...

T] / /}j1 {y ) J Y lñ*"~ 6» J ’ ( >donde i =■ piQ\ rj = p 2a\ a , ol radio del cilindro. Esta ecuación tiene un conjunto infinito de raíces“vnm (véase [35?, pág. 460).

VII. Ecuaciones de fipo elíptico 691

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Para la onda principal n — 0 la ecuación de dispersión se descompone en dos ecuaciones:


La primera de ellas determina las ondas admisibles de tipo magnético y la segunda, las ondas de tipo eléctrico.

78. Sean 2 la superficie del tubo; S. su sección perpendicular; C, la frontera de 5. Dirigimos el eje z paralelamente n la directriz del tubo. La dependencia del

tiempo es e~***.Cualquier campo dentro del guíaondas se puede representar en forma de

suina de ios campos de tipos eléctrico (//t = 0) y magnético (C. 0), cadauno de los cuales se determina por la componente z de] correspondiente vector de Hertz (véase el problema G9).

Si I I z — 0, entonces, tomando n, = II, obtenemos el problema para la función escalar

Si?»„ J ip a ran == JV + 1, ¿V + 2..........entonces existen N ondas móviles, cada una de las cuales se propaga con la velocidad de fase

H j/t» (n) _ ftfoi £ /,(£ )

H }*>(.)> *?n, -M5) ’(5)

p . IM g )

u\"(n) “ i>i J A D '(6)

A ll+ k»r i= 0 dentro

ü = 0 sobre 2 .

Si E j = 0, entonces n ' = IT y

AIl'-)-i2n '= 0 dentro do 2,

- ^ - = 0 sobre 2 . dv

Existen soluciones particulares de la forma

n (M , s)=i(>„(M )e<Yn', n ' (Ai, *) = tj>n (Ai) «iYn*>

donde y„ = Yk*— Yn = V » — *n. y 8011 'os valores propios

de los problemas de contorno

Aj’tn+ Xn'l,n = 0 dentro de S, i)>n = 0 sobre C,

= 0 dentro de 5, —!jn = 0 sobre C.

kc c

Si >.j > fc5, entonces en el tubo no pueden haber ondas móviles.

S i.11 (M , z) — /In'pn (Af¡ c~'Vf|2, entonces el flujo de energía a través de la sección transversal es igual a

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VN. Ecuaciones de tipo elíptico 693

Con esto se supone que (Af) están normadas a 1

[ r n d s = t.

Indicación. Si introducir el sistema de coordenadas rectangulares, entonces

p _ dan __ daI I p __ d2Xl . . 8|-jx~ dxdz ' v— W 7 ’ 2— ’

IT -f dll jr ,, dTl ír _* ~dy~' T» JIz - °

El problema obtenido para II ' es análogo al problema 42 sobre la propagación de la9 ondas acústicas dentro de un tubo cilindrico con paredes rígidas (véase [7J, pág. 528).

79. Las ondas móviles pueden existir cuando e cumplen las siguientes condiciones:

a) si Kn,n — < k2, entonces existen tantas ondas móviles como soluciones linealmente indepéndientes de la ecuación de la onda para km.n, que satisfacen a esta desigualdad; aquí es la raíz de la ecuación

J n _ Nn (na) _

J n (|AÍ>) N n (m-6) ’

en este caso pueden haber ondas de tipo eléctrico.

b) Para todos los valores propios Kn. n para los cuales se cumple la desigualdad

*m.n = l i t e ’!1 <

donde es la raíz de la ecuación

J'„ (Ma) N'n (Mi) - J ’n (Mi) N ’n (f>a) = 0, .

existen ondas móviles de tipo magnético (Ez = 0).Para la onda principal de tipo magnético (n = 0) tenemos:

n , = n = 4 mflm (p)«*<Vm*-“ » Vm= f c ) / i - 1Mm--W

donde Am es el coeficiente,

n m fe) = J <¡ (í‘mp) N o (Hma) — / „ (nm«) N c (Hmp),

es la raíz de número m de la ecuación

J Q (pa) N 0 (|li6) ~ J 0 (ph) N 0 fría) = 0.

El flujo do energía a través de la sección transversal es igual a

y __ I a I* -i / " 4 ílm ¿o*“ 4*3 \ A m \ V 1 1 F 7 f { ^ b ) -------

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Las componentes del campo se dan por las fórmulas

£* = J.mn , £<» = 0, E„ = iymAmB ‘m (p)eI<vmz-0)í>,

I I . = 0 , I l v = — AmikR'm (p)í'<vm*-“ í>, //p = 0,

de modo que

i r ^ ~ l L e , .Ym

Indicación. Se deben utilizar los resultados del problema 78, suponiendo

3ue la región S tiene forma de anillo con los radios a y b. Las funciones propias e la membrana en forma de anillo con las fronteras fijas y libres están dadas en la respuesta al problema 27.

80. Sea que el origen del sistema esférico de coordenadas (r, 0, está en el centro del resonador esférico. La dependencia con respecto a] tiempo es del tipo e-1" ' .

Las oscilaciones de tipo eléctrico so determinan por las fórmulas

b \ i u / \ k- 1 (r«) 1 d1 (ru)

ir __a jj __ — ik du __ , du/ r “ ’ ®— sé5T e9> W" “ 'k w

donde u — um,„ os la función propia del problema de contorno

A u + k2u = 0, u = 0 para r — a,

se hallan por la fórmula

um,n (r, 0, q>) = t „ ViT (0, <P) (n = I, 2, . . .; m = 0, ±1,

± 2, . . ., ±h),

donde km,n — es el número propio de onda que es la raíz de la ecuación c

J i (ka) _n + 2 ka , , . •« / " Ji , .

’1,n((’> = ]/ 2 F J j W '


J 1 » -5(ka) n + 1 ’ V 2p

y ^ ' (8, q>) = P '£" (cos 0) mq>, la función esférica.

La frecuencia propia más baja corresponde a n — 0; um,0 (r) ~ 't’o además km se determina de la ecuación

/ , (ka)

2= ka.

J , (ka-)

~2

es decir,tg (ka) = ka

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r _a l' ih dv <tor ' E* i k i d ’

„ & (<•'’> „ 1 ( « O i it* (rv)// ' = - 5 ^ “ + * (r">' lr» ~ ~ ~¿¡7W >

donde” - v,n n = '!>„ (*m.nr) Y'™ (ü, <!■>.

además km „ so determinan de In ecuación

J ,(*<!)=- 0."+2

Para n = 0 obtenemos:

»m,t> = ’to (¿W),donde

, Jim rt

Indicación. Compárase con el problema 25 sobre las oscilaciones acústicas propias de la esfera.

81. Se examina eJ segmento del guíaondas cilindrico de scccidn arbitraria acolado por dos planos s = rt/ (es eje z os paralelo a la directriz del cilindro, véase el problema 78).

Las oscilaciones do tipo eléctrico (//z = 0)

IIz ~ Jlm.n n >7j (M) COS ^ (I — z)t

donde >|>n (M) es la función propia del problema de contorno

“i“ Á-n|>n = 0 dentro de S% = 0 sobre C9

Las frecuencias propias son

<»m. n = « l / r * n + (^T f) •

Las oscilaciono.» de ti ]kj magnético (£ ¡ = ü)

l l1 = flm, n (A-/, z) = Ám, „>))„ (Ai) Sen-^- (I — z),

donde ij’n (Ai) es la función propia del problema de contorno


l ’ara las oscilaciones de tipo magnético (Er — 0) tenemos:

2Í 2-=

L a s fre c u e n c ia s p r o p ia s son

A2'l>nH-Ín'|>n = Ü dentro de S . —I— = 0 sobre C.ov

« » . , * - « ] / -Kn + i^Tll Y-

La energía eléctrica media por el período en la onda estacionaria es igual al valor medio por el período de la onda magnética

$el. = &magn. = I2»

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La energía total en 1» onda estacionaria no varía on el tiempo y es igual a

& — ck2\n | / l n | 2.

Para el resonador con sección circular o rectangular, las fórmulas para n siguen siendo validas; allí se debe sólo sustituir Ja expresión concreta para la función propia

a) para la sección rectangular con los lados a y b:

H’n (A/) — \n, m (*. \¡)— -£j¡¡ sen ~ x sen~ y,

ín('W) = í¡)n,m ( * , » ) = eos parcos £(,=2, fr=£0, e, = 1;

b) para la sección circular de radio a tenemos!

6 96 Respuestas, indicaciones y resofuciones

— / Í J Í S l L r 1

' ” ' a ' c o s ,

«o2 -/ré(lC') sen'U . m (r, f ) = | / £ 3 -- k lí .r n , , ’ ■ Z "«P.

i,m(r.<?}= { / ..:::«v.____________________________ \ a y COS r

] / .r ,.n .P _ n, ' « o * » ’)iMtf’l»-»*luiPM2

donde uñí1* es la raíz de Ja ecuación /„(|.i) = 0, Xmw — la raíz

de la ecuación (|0 — 0 .

Las funciones if>m n y Vm.n dadas m¿ís arriba están normadas a 1.

Indicación. Las funciones TI y 17 satisfacen la ecuación de onda Ai¿ -f- k2u = = 0 y las siguientes condiciones de frontera:

n = 0 sobre 2 ; ^3-=0 para z = =fc/toz

sobre 2 ; 11 = 0 pura *=*:£/•

Para calcular la energía eu todo ei volumen se debe utilizar la fórmuJa deGreen (véase [7], págs. 538*542).

82. Sea que el toroide está acotado por las superficies p = a y p — £> y los planos z — — l y z = 1. Se le puede interpretar como el «segmento» de un coaxial de longitud 21, examinado en el problema 79. Para los potenciales polarizados

II y 1J son validas las fórmulas obtenidas al resolver el problema 81 y para las

funciones propias de la sección transversal y r¡>n se deben tomar las expresiones dadas en la respuesta al problema 79

v r» / \ c<*s mp * . . a , N cos n«>tm.71 (P. qp) - «m.n (p) gen B(p , ’t’m.n (P <W - «m.n <p) seQ n(f .

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VII. Ecuaciones de tipo elíptico 697*

donde

Km, n (P) = Jn (|ltf »p) N n (|itf 'a ) iV„ (|i<»»p)f

«m , n (p )= ^ n (fa¡*’P) (¿m ’«)— ^ndírn >a) (í*m’p).

M'm ' y Mm1' se determinan respectivamente do las ecuaciones

Rm .n (b) - 0 . Rrn.n <í>) = 0.

Las frecuencias propias son iguales a

<om.n = c]/ <ím.» = cj/[íínnT + (^)\

Indicación. Véase el problema 81.83. Difracción sobre el cilindro. El eje del cilindro estáj dirigido según el

eje z; la onda plana se propaga a lo largo del eje x. el vector de la intensidad del campo magnético en la onda incidente está dirigido paralelamente al eje del cable. Designamos con e,, ,ut , a¡ los parámetros del cable; e, = 1, u2 = 1, or2 = 0, los parámetros del medio; k¡ y kz, los respectivos números de onda, además,

, , ejm>5 + iínojuú

* ------- * •

La dependencia con respecto al tiempo es del tipo e~""'.Sólo la componente z de] vector E es diferente de cero

B = (0, 0, E),

mediante ella se expresan //„ y

„ _____ic 1 SE

P |Ui> p ¿l(p ’/ / „ = - ! Hz — 0 . v |l(0 op '

l'ara E*=E (p , <f) obtenemos:

c ih2* + 2 j « » ^ >(* íP )«‘m0 Para P > « .7 ? l= — CO

OO

2 *m/m(*iP) « lm<> P»™ P < « .

£ = U>

donde a os el radio del cable,

Mi~ J'm (*!<■) Jm (M ) — M m (*,«) J'm (k2a)

J!n(k,a) //«> ( k ^ - k ^ ' {k2a ) J m (M )

b _ ¡m Jm (*««) //&}' (k.a)

Jm (V> + Jm (Mli m‘

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Si el ai bit? os un conductor ideal, entonces

a — __L™ (¿2*0 .‘ na< (*,«)’ m

Indicación, Se requiere luí llar la solución de la ecuación

AA,”*1) = 0 para r < a,

AE<’¿> -|- h$E<?> = 0 para r > u,demás

£ (2) *= E0 -I- « - elh'x -|- u,

•que satisface sobre la superficie del cabio p = a las condiciones de continuidad


-ijuo satisiace sobre la suj de E z y I I ^ lo que da:

n n 1 úE l' )/í<2) , ----- -- =. — ;--- para p = a.í*i ¿P o?

Además de eso la función u debe satisfacer en el infinito la condición de radiación

r- / dU,‘Í'Ü » ^ ( Í F - ‘^ ) = 0-

La solución se busca en la formo (1). Los coeficientes am y bm se calculan de

Ja condición para p = o, además debe utilizarse el desarrollo de c'k>x en serie:

j íp e o s T _ y />Vm (*sp)W“ «oo

Si el cable es un conductor ideal, entonces lct — oo y las condiciones de írontera se reducen a una:

£r<2 )= e,'‘!"«>9 para p = a .

Por eso para am se obtiene la expresión

„ = _ ¿m ^ m (V )I liX ' (k2<z) ’

84. Difracción sobre la esfera idealmente conductora. La onda plana se propaga en la dirección del eje polar z del sistema de coordenadas esféricas r, (3, <p; el campo eléctrico está polarizado en la dirección del eje x. y el campo magnético, •en la dirección del eje y:

l? x = l l t = e ih’ = e ,k r c ° s e = f ¡ (2n -|-l)!Hn(A'r) (cos 0),71=0

p _ w I r ___ 1 P V F 1 mr d r * ^ ~ U ' 6 “ r d r ó & ’ * r 30 ’ ( )

_ « r i w „ _ J i _ £ £ Lr dr1 ■* ’ 8 r 3r ó8 ’ r 30 » 1 ^

•dondeU = ru, £/' = rv.

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U U'Las funciones u = — y v = —— se hallan de las ecuaciones de onda Au -f-

r r-j- ksu = 0 y Ai> ■+■ k*v = 0, y las condiciones de frontera

-JL(ri*) = 0, i»=0 para r —

que son las consecuencias de las igualdades

1 d2 (ru) A r ik d , v

*■« = — HT5q = 0' s ' = - T ¥ w -! " p" ra ' '= “ -

Para resolver el problema, ante todo se deben hallar los potenciales u° y i?° para la onda incidente. Dado que el campo electromagnético es determinado completamente por las magnitudes Er y #V» entonces calculamos:

ÓX IT0 — A ™ m J h r COS Q _ — COS<p 0 ih r cos 0 _

V il. Ecuaciones de tipo elíptico 6 9 9

n Ocos _

1{ ° = sen 0 sen e= - i E i l 4 r c« r « B « =' d r V ' ile r ¿)0

= 2 (2n-(-l)ín- í ^ ~ - /'n1' (eos 0) eos <p,

sos 0

= 2 (2n + l) f" P'n" feos 0) sen .|.

donde

/>„" (cos 6) = P n (eos 0).

Por otra parte,

E'r" = ~ ^ - + (™ U). H°r =

Haciendo

u° — a (*r) (cos cos ÍP*tj=0

oovy = V £„\|>n (&r) (cos 0) son cp,

n - ü

comparando ambas expresiones para E% y li% y teniendo on cuenta la ecuación

d? / . \ i t<y i n (/i-f-1)•gpr ( n M 4 - = - • fr — ,

obtenernos

2»4~1 t '* " 1an — dn =/x(íi-f-l) k

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Ahora buscamos la solución dol problema en ln forma

oo

u (r, 0. <p)= 2 ] a„ l t » (kr) + a„t'„u (kr)) Pn” (eos 0) cos(p, n = 0

co

v(r, 0, <(.)= V an hl',. {kr) + pnK»* (A 01 P„" (eos 0) Sen <p.n = 0

Las condiciones de frontera para r = a permiten determinar a n y

'*" = 7.""\ka) ’ 'V n(& = 'te l * * n W l . 1fn'(;r) = 27

n" = - - § W ’ w w - s - w w i .

85. Difracción sobre la esfera conductora. Si el sistema de coordenadas y la onda incidente eslán elegidos lo mismo que en el problema anterior, entonces los potenciales incógnitos de Borguins*) U = ru y U’ = ru serán determinados por las expresiones

oo

X flfl (*Jr) + ttn tn1 Pn* &) c<>s a (el aire),«—0

oo

2 4 n ^ it ( * a r ) /^n 1 (c o s 0) c o s 9 Pa ra r < a ,' n=ü

oo

2 !♦» (*<<■) + Pntn ' (*ir>] P'n' (eos0) sen a ,r<=ü

oo

Wn'fn (¿ir) P'ñ' (eos 0) SL><> q> para r < , n.


n=0

donde

* í ... *1-Ifn (*,«) S'„ (*, «)— ( V ) Vn (*,«)

t t n = J Í L ! --------- - Ü1•i

„ k i l'l'n (*,«) Z¡í* (M> t « ‘ (*,«>1 ./ ln — .——------------ ----- «n»

H,A

¿=-~Zn“ <*i«) 4'n ( k ta ) ~ ^ L ' V „ (*««) £tf* (*,»).Mí Hl

análogamente se escriben las expresiones para /2n y fin ; es el número de ondade ia esfera; klt e! número de onda del medio.

*) Véase el problema 70.

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Las componentes de los campos eléctrico y magnético se calculan por las fórmulas (1) y (2) del problema 84. Son excepciones las expresiones para Z?_

y ¿ Vr. í(0|A 9 0 '

--------1„ ik-c V

u * ~ h íT l e •indicación. Se deben utilizar las expresiones, obtenidas en la solución del

problema anterior, para los potenciales u° y v0 do la onda incidente. Los condiciones de frontera sobre la superficie de la esfera son de lo forma

d . . 0 . . Ííjlí| _ (rtl2) = _

(’'v2)— ~ (re,), h1k1 = h,w>

para

3. Radiación de las ondas electromagnéticas

8G. Dipolo eléctrico en el espacio tío acotado. Sea p = o0<r“ iwr el momento del dipolo. Elegiremos el sistema de coordenadas esféricas r, 0, <p; en el origen de las coordenadas colocamos el dipolo y el eje z lo dirigimos a lo largo del vector p0\ entonces se puede escribir:

= 2 cos e £ ) n 0,

E„ = sen 0 ( J L . - . Ü — *« ) I I , ,

H v — ik senO ík-- ir0,

= 0.

Aquí n 0 es la componente del vector de Hertz dirigido a lo Inrg» del eje 2,

. i h r

n o = P o - V í " “’í-

Un la zona de la onda (kr ~s> 1) con exactitud hasta los términos de orden de

-ij- y de mayor orden de pequenez

E r = 0, E¡¡ ~ son e n0.

La energía media durante ol período es

Pok 'c

Indicación. Véase [7], pág. 451.87. Indicación. Sea que ol dipolo está colocado en el origen dol sistema de

coordenadas esféricas r, 0, <p, y su momento p0 está dirigido a lo largo del eje

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2 (9 = 0). Entonces

* r - 4 + * e = T á T 5 o < r“>- ^ = T á r k (ru )= 0-

i ir = 0, //„=(>, //*=¿A Í2-,

donde « = — es la solución de la ecuación r

áu+/c1u = 0 ,además

lim r — í/cu) = 0 (la condición de radiación).r-»oo \ i/r ,

La condición de exitación so puede tomar en la iorma

„ ifeson 0//,, « — p ,,----5--- parar pequeños


11, = — p„fc2-^~ - e'kr para r grandes.

listo da:

« = (kr) e os 0 . í<'> (Ar) ( * _ ± )

donde

(O

A = ik^pQ.

De aquí se deducen las fórmulas dol problema 86 para las componentes del campo Er, A’q. I í rf.

88. Sea que el dlpolo con el momento p = p ,e~ '°‘ está dirigido a lo largo del eje z del sistema do coordenadas r, 0, <p, cuyo origen está colocado en el centro de la esfera de radio a.

La función u = u (r, 0) se determina por la fórmula

u (r, 0) - [A s, (ir) + *|>, (Ar)] Pl (cos 0),

donde

i * - i * * . W ,2

T, (A-a) _ *«+¡ (*«>+♦, (*«) ’ ‘ 2* * ‘ ¿ 1. (*>•

Las componentes dej campo se calculan por las fórmulas (1) del problema 87. Indicación. El problema difiere del anterior en q ue en vez de la condición

de radiación en el infinito aquí aparece la condición de frontera Ü0 — 0 ó

J L (rM) = 0 sobre la superficie de la esfera r — a. Por eso en la solución deben or

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VII. Ecuaciones de iipo elíptico 703-

contenerse dos funciones cilindricas Iincalmenle independientes, por ejemplo,

//<>' , y JH'*’ j , N , y / , , //••’ ! y S , , etc.

n+T " + T n + T M+T n+T M+T

Elegimos las funciones J . y l ! '1' . . La constante A es la misma que en el

"+ T "+ T

problema anterior, la constante D se elige de ia condición para r = a.89. Si elegimos el sistema de coordenadas esféricas r, 0, <p, con origen en^el

centro de la esfera y el eje polar 0 = 0 dirigido a lo largo del dipolo, entonces se puede escribir:

£ r - ^ ( r « ) + * * ( r U), B ' - l J Z j f é . , Mw- 0.

t fP= 0, ^8 = 0, ff<p= - ÍC*í d"

adem ás,

La función

k* =

*** na ~ W ’

pur!i r > „

para r < „ .

__ f U1 Pai‘a

1* u2 para r < «

se determina por las fórmulas

“i **■ CZi1* (Ajr) cos 0,

« ; = i/V fa l í í ” (fc2r)+ »!(', ( i2r)| cos 0.

donde

£*,*> (a*4) Z¡» <ok,>--íM - £;.> („*,) Zm. (a* )ñ = _ - --------------- *2Ü1-----------------

Si1’ (oír,) V, (O*,) — tj), (aA-2) z;*> (a*,)*ÍHi

S i - (» *,) Y , (a/ct ) - vt>, (akt ) Z',‘ > (fl/í2)*' " *«,. -------------------------------- Po*-*,

t i " («*i) V i («**) ~ '\ ( o ^ Z i 11 (a* ,)

Vi(iE)=t i W1> z'<"<*> “ -|r w <*»•2<i»

Par» Oí co C -*■ 0, -- Txr í v <’ » os decir, llegamos a la solución de!

problema 88.

Para a -► oo <7 0, fí -*■ 0, y nosotros obtenemos la solución del problema 86 sobre el di polo en el espacio no acotado.

00. Introducimos el sistema de coordenadas esféricas r, 0, <f, con origen en el centro de la esfera y el eje polar «lirígido a lo largo del dipolo. Al igual que en

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s ,= . f f r = / fe= 0 , ¿?, = -|^.(ru)+ *»(ru), Eg= ±

ick1 du

" » = ~¡^r~w ,'donde

{ Uj para r < a,

u2 para a < r < &,

»R para r > b

-se determina por las expresiones

“ i = iPo>4 11\" (V ) + <1+1 (*0 )i cos 0,

« , = [#4’i (kr) + C í[" (kr) ] cos 0,

“ 3 = DZ\l> (k^) cos 6.

Los coeficientes A, B, C, D, se hallan Je la solución dol sistema de ecuaciones siguientes:

< M I tti*' (**o) + /l<J>i (<>*.)] = • £ - I*>f, («*) + <?£'," (a*)],'‘or

OCI" |Z?** (i6)+ c5 " ’ (tó))-

¡Po** \z\" (fc,«) + ■¿'F, (fc.o)] - BVt (ka) + CZ'}> (ka),

DZ\l> (k0b) = BW^ikb) + CZ\'> (kb).

Aquí se adoptan las designaciones

'¥l (x) = (i))', Z\'< (x) = [*ft“ (z)l'.

Indicación. Los potenciales u¡, u2, u3 satisfaced las ecuaciones

Auj + = 0 {« = 1 , 2, 3), kt = k3 = kc, = ¿i

y las condiciones de frontera


ei problema anterior

Sobre la elección de las expresiones para ul , u.¿. Uj véanse los problemas anteriores.

91. Resolución. Introducimos el sistema de coordenadas esféricas r' , 8, ©, ■con origen en el centro de la esfera, el dipolo está en ol punto r = r ', 0 = 0. El campo no depende del ángulo <p y se determina por el potencial escalar u (r,Oj:

para r — b.

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VII. Ecuaciones de fipo elíptico 705

La función

u = {U| para r < a,

u3 para r > a

satisface Ja ecuación de onda Au + i 4u = 0, donde

para r < a .

para r > a .

En la superficie de la esfera r = a las componentes tangenciales del vector# y del vector H deben ser continuas, es decir, Eo y

La función ru¡, obviamente, tiene en ol manantial una singularidad deJhoR ___________

tipo — ^ — , donde R — y r 'a-|- r*— 2rr' cus 0 « r , 0, q;) es el punto de ob-

1 eik(,Rsorvación), es decir, ut -- ---- ^ — .

— — c¿ & gibüRTomando u, = «,>-(-1>0, donde u0 = — u0= — . — (ct es un multiplica

dor de normación que será determinado más abajo) obtenemos para vt y u2:

Estas condiciono» serán cumplidas si exigimos que sean continuas (ru)

> Para r = « .

“s J

0 para r < < 7, A«2"l"^2wa = Para r > a»

para r = a,(1)

19-0942

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Las soluciones particulares son de la formu

i'in = (*0'-) + x;w>(fc0r)1 p n (cos 8),

utn = IZJnttf* (*T) + (*r)l P„ (COS 0).

En virtud de la acotación de la Junción u, para r = 0, el coeficiente A'n ~ 0; de la condición de radiación para r -*■ <*> se deduce que B'n — 0. Por eso

1V, (<-. 8 ) = 2 / l n ’l n ( V ) P n (COS 6 ) , I

n:° \ <2)

('. 0 ) = 2 /?n£5*»(*r) P„ (cos 8).

n—0 )

Para determinar los coeficientes An y Bn de las condiciones de frontera para r = a utilizamos ol desarrollo de la solución fundamental ue en la serie con respecto a los polinomios de Legendre:

'¡k0R

ik0H ■=

2 a"£n” (V ) Pn (eos 0) para r > r\ rn J

r < r ' , I(3)

2 ( V ) Pn (eos 6) para _ .

n - 0 Jü„ (2n + l ) * n ( V ' ) , bn = (2n + 1) ( V ’>-

Para r' 0 debe cumplirse la condición

— u = ipt¡klí\1' (A'0r) P, (cos 8) (p„ es el momento del dipolo).

Teniendo en cuenta que ol primer sumando para n = 0 en (3) se debe omitir, dado que para el = Er — — 0 y observando que

(j / 0 P*ro » > l ir'~o r i —0,5 para n = 1,

bailamos ct = 2 Sustituyendo en la condición (11 para r — a las expresiones (2) y (3) (para r = a > r'), obtenemos

PanZ'n" (M ) + A„M'n (*,<i) = i?nZ^> (*a).

K K K Í /» (*„«) + > M n (*-o«)] = B„£'n» (ka),

Z J Í 'W - lp W ’ foH'. V n M - IP ’M P ) ! ' . P ^ ~ r = ■ .

Do aquí hallamos

/ln = [ - £ • Z'n” (M ) S« ’ ('<«)- tW’ (M ) «Vi* (*<*)] ,

= hl’r. ( V ) ( V ) - W ’ ( V ) Vn ( V ) l

í-2

a ( v > (*«)— ( ^ v , , (M)-

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Si o —*■ oo (A- —► oo), entonces B H = 0,

, 7/n' (kf¡a) ^A n— * » (* * > •**»

y llegamos a la solución del problema sobre el dipolo colocado on el punto (r*r6, cf) dentro do la esfera idealmente conductora.

!)2. Antena eléctrica vertical sobre la tierra esférica. Ln antena (el dipolo puntiforme) está ubicado on el punto r' — a -f- h (h > 0), 0 = 0 y orientada a lo-

largo del eje 9 = 0. El momento del dipolo es igual g p = Poe ~,a i- El m ulti

plicador que depende dol tiempo e~,al [o omitimos en todos lados.

Para el potencial u — ~ tenemos:

dentro de la tierra (r < a)

OO

u, = 2 '“M 'n (*r). Pn (eos 0),

n— 0

fuera de la tierra (r > o)


u== p i k j r + 2 z?n?" 1 < *» '■ > <cos 0) =n = 0

í2 (p«n + tfn) t ’n" ( V ) Pn (COS 0) ( r > r 'J .

_ j n==0• OO

j 2 [P M V íV O + t fn a '' (*«'•)] Pn (cos 0) f r < r ’>;

{ n«-.0donde

(<o«> l'n (*««) — ’Pn (*o»> (ít0a) 4l , 0)An = ~Ti------------------------------- li P6" ’ * o = — .

vi»' (A'off) ’ l; n (ka) Z'n‘ (k0a) 'i ,-i (ha)

H'n (ka) 'Vn (*„<>)-— p-'l’n (M H 'n (*«)

^n = ~n--- ------ — —---- -— P&n,U ’ • ( M V „ ( k a ) - W (kca) (A-a)

k ---- ¿5----. I1 '

a „ = (2n+ i)i|>„(V ')> í’«= I.2b + 1 i W ’ ( V ) .

Si la tierra es idealmente conductora, entonces

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“ 1 = 0,

s p'‘ (cos0)-n = 0

Véase el problema 91.93. Antena eléctrica vertical sobre la tierra esférica. La antena está colo

cada en el punto r' = a, 0 = 0 sobre la superficie de la tierra.Dentro de la tierra {r < a)

2pt>ko V 1 (2n + l) Vn' (Ay>) „ (cosO)1 a'k* 2 j „ ( * a) IZ '» (k0a )- C n \ ',>n (i<r> ->(CO30)'

71=0

fuera de la tierra ( r > a )

2p0 ^ (2»+ l) f t« > (V >■‘ 2 — ¡ r ¿ I Cn-7~nU M n ( ’ •

n=*»0

Aquí Cn significa la expresión

r _ ‘6 (ha) ^<t> , , .

Indicación. En la resolución del problema anterior es necesario realizar el paso al limite para h 0. Durante los cálculos utilizar la expresión para el wronskiano

<*) Vn"’ (x)-U '> (*) r » (*> = -p-.

E l paso al lím ite para h-*0 da:

lim (flnp + fln) = - ^ . _ —h-0 “2 Cn ~ z n (*o“)

4. Antena sobre la tierra plana

94. Se introduce el vector de Hertz n dirigido a lo largo de la antena. En el sistema de coordenadas cilindricas p, q>, z, tenemos:

tip = nT ■ o, Hz = fi.Dado que el problema posee simetría axial,

* ■ - - & + « ' - - i * ( p -S - ) .

Sobre la superficie terrestre para 2= 0

.-.r. ,.,n í,n0 _ «n


Como resultado tenemos:

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donde

ri0, -jj- corresponde a 2 > 0 (la atmósfera),

n,fe2= £0) +^mao) correSj,Jn()e a z < o (la tierra)

(H = 1).

El momento de) dipolo p = p0e~‘a l , p t — 1; el multiplicador e~,'ú‘ está omitido en todas partes.

95. El campo electromagnético se expresa mediante el vector maenético de Heilz en el cual es diferente de coro sólo la componente a lo largo dol eje de lo antena I I , = n , pur eso E 2 = 0. En virtud de la simetría axial


= 0, £ * = 1 —tú <5n

c dp '

u '= k%n+-i£-

El potencial n satisface la ecuación

All-f-&2n = 0, donde &a =‘“I*5 = —j- para z > 0,

y las condiciones de conjugación sobro la superficie terrestre

n rI 3n0 c*JT .n0=n, ——2-=— -. para í = 0,

además

e\kH

lio== ^ hn^seg.*

JhR

n —— 7,— I- n SCg.,

_ xpre_________can el potencial de Hertz para el dipolo en el medio no acotado con el número de onda correspondiente (fc o Ar0); n„ ar.g. y IL e(?,, la radiación secundaria.

96. Introducimos el sistema de coordenadas x, y, t, dirigiendo el oje i perpendicularmente a la superficie terrestre y el eje x, a lo largo de la antena,

lie 2C£ = grad div n + A2n, = — ~ r o t n , XI = (Tlx, O, 11*),

donde 17* y flz satisfacen la ecuación de onda

p _1.2]r i ^ / dfly i \ „ d / dXlx i d ílx \B* ~ k u * + — ( "5 7 - + - 3T 7 » B» ~ 5 r \ S Z " + ~ ) ’

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e* -k*n* + -5- (%+%■)»,, _ id;* an. ¡c4> /t?nx <?nz \ íí-a2 ¿>ny" r _ " " -------aT) >

ILas condiciones de frontera para j = 0 (sobre la superficie terrestre) son:

*|n0l-w n „

¿sn — tan ^^Íqx i dU<¡:__ QUX . dll^

ÍHabitualmenle, en lugar de n r se introduce la función F :

n - 9F° n — 0FU l~ l¿ r - f r -

ILa primera y la última condiciones de frontera dan;

f . = f . n ox+ ^ i = n , + i f f - .

97. Sea que el cuadro con la corriente eléctrica está colocado cu el plano x,a, de modo que la normal al cuadro está dirigida a lo largo del eje y. Los vectores del campo se expresan mediante ol vector magnético de Hertz

£ = í- ^- ro tn , H = AsIl + grad div II,c

«1 vector I I tiene las componentes n¡, y n ¿ diferentes de cero, de modo que

„ (ü> /dnz an» \ ¡a> anz . &> an¡,b r — s r j « * * = - - r - s r * £ *= í — i r >

— - +

f í ^ m I+ - L ( ^ + ^ ) .

t a s condiciones de frontera para z = 0 son

n 02= n it Ar3n 0y=A'3n^,


anov _ dfifl ó n ou l e n 0z __dUu | dn¿

tfz ds ’ dy dz dy dz

Si tomamos

n - ü nu °! U T '

«entonces, en vez de la primera y cuarta condiciones obtenemos:

F '- r . n»i' + - = 11!/ +4 r -

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98. Colocamos dentro do la antena el origen del sistema de coordenadas. Entonces, sobre de la tierra

2 k2 cihoü .«-.-s—pr" o = - g — 4 - j lo PO U (>■<■)'- V W -"Vd\ ( t > 0 ),

0

en la tierra

n=-%+& "~¡r~ J / <x> Jo (*r>e t'XÍ~kiz (* <o».0

donde

VII. Ecuaciones de jipo elíptico 711

f ».s 2k^ k Y w - k i- Y w - k *

0 *3+ *’ />■*-*? *S+ *íV rx|— *•’ ’

H + ■/).» — *! fc2 l/?.’ — + Ag />.* — h1 ’

R = / r * + s“.

Resolución. Introducimos de acuerdo con el problema 94 el vector eléctrico de Hertz n — (0, 0, n . = II), además

2¡.2 .ilion 2k‘ eikRn - * T F F — + n — • » = ^ — + n -

Utilizaremos el desarrollo integral del potencia) primario

eik R ? e- V Xa-AS u ij. <yv- = j J 0 (Xr) ■

y buscaremos la excitación secundaria en la forma

OO

n„ »c = J /o (M /o <>.r) *- {* > 0),o00

n Sec = f / (X) K (Xr) « VT¡rry:i:i}. (z < 0).

o

I l0 sec. Y Osee- expresadas por estas integrales, obviamente, satisfacen las ecuaciones

An0 sec H- fiCC=0, Anfiec -{- k2ris*c=o.

Exigiendo el cumplimiento de las condiciones de frontera

7 2n ian ^ n^0*1 o = **FI, - ^ L= — para 2 = 0,

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obtenemos:


00

í(Jio/o W + M/ (X)| /<, (Xr) dX = 0

donde fta = X»— **, (iJ = Xa- *{ .

De aqui y bailamos

/ ■" * m,— |th W - k i+ k t )lo Ic ^+ k fr . '

l i 2fepA-* X Hq — t*/ W *3 + A» n A-n„ + A > *

Casos particulares:1) k=oo , la tierra es un conductor

/<X) = 0, U W =r í

H 0 = 2 j / „ (Xr) «-•*» I ' I - ^ - = 2 ,

¿ihQÍt- = 2 -

Pou

n — O (dentro de la tierra).

La excitación primaria se refleja de la superficie terrestre.2) k = A*0, la antena en un medio homogéneo (en el aire). En este caso

/o (X) = O, / (X) = O,

g'lhQÍi11= — — en todo el espacio.

99. El vector magnético de Hertz n = (O, O, TI) se determina del modo siguiente:

sobre la tierra

ifco n .n 0 = j /o (X) / 0 (Xr) <- y°zdX (* > 0) t

o

dentro de la tierra

m\hR ~

donde

M X ) = A ü £ = í l , m ) = _ L ñ = E £ ,n m>+t* i* it+ p . ’

(!„= / X 3- * ; , | i= y T * - * 1,

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Las expresiones para n„ y TI se puedo escribir de otro modo:

oo

n o“ j g~M°rX dX para x > 0 ,

ooo

n = j p a r a í < 0 .

0

En el coso de la tierra idealmente conductora k = co, ¿i = oo y II = i l0 =— 0. La acción de la antena magnética se compensa por las corrientes vertiginosas que surgen dentro de la tierra.

Indicación. Véanse los problemas 95 y 98.100. Si la antena está dirigida a lo largo del eje x, entonces en corresponden

cia con el problema 96 el vector de Hertz es II = (nx, 0, nz), donde

oo

n „ x = f e-WKd\ para z > 0,

0oo

" * = §■ J *J-jp r) para z < 0.

0oo •

Hoz = 2 ( i * - k%) eos y j “ »'?.= d\, » > 0,

0oo

" * = - (V - k l) eos * d i. i < 0,

o

donde

•‘v ' — M-H~ Mo. ¿V = Jr2|i0+ * j ! l > |i = l / V2— A.3, |t„ = l / X a — ftj.

Indicación. La función ü x se determina por la ecuación A li* + /:2n v = 0 y las condiciones de frontera

AÍn03C = A-»n„ *} = & = * * J E * para :==0.

ffíDe aqui se ve que las funciones n c¡* y -77 11* coinciden con las expresiones

para 1J0 y n en la solución del problema anterior.

Para la función ü 2= tenemos:

p i- n i S F 0 n d F4 = • n “ + l i 2==n:' + i r 7 7 Para 2 = 0-

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Tomandooo

F, = J lo (X) U (Xr) e - ^ ’d). ( * > 0).

OO

F = [ / (X) (Xr) <WídX ( « < 0)

0y utilizando las expresiones ya halladas para n0l y fIT, obtenemos

/.(>•) = /

La (unción FU se calcula según la (órmula

n á f 0 o a r , ri *J

, I = _ d í* = Cj° 'f'~ W • ri’ = l F cos '>' — •

10í - Utilizamos todas las notaciones del problema 97. Bn este caso los campos E y // se expresan mediante el vector magnético de Hertz TI *= (0, Hj,, Í I2), donde

52 fcst- y (Xr) <r ¿X para z > 0»

C 2kxn y/— \ (Xr) eU!\ dX para z < 0,

ooo

11 J£ = 2 (AJ - *5) sen 0,

J) 'OO

n t = 2 (A3 — A§) sen q ^ e>'2 ‘ d^ Para 2 < O-

o

Los valores de N y A" se dan en la respuesta al problema anterior.102. El potencial polarizado n = (O. 0. 11, =■ n) determina las compo

nentes del campo electromagnético mediante las fórmulas

E = grad div II + fr'II, II = — ¡A- rot 11.

Para el potencial

[( f l l i para t > a,

\ n 2 para 0 < z < aobtenemos

n 1 = ü t prlm. + D! 8ee.» lis = n 2 prlni.-í-nz seo.»donde

OO

II, p rim .- \ /„ (X r )e- ^ l ' - " > ' ^ ,

Jo 111

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oo

n ,« c .= fJ p,

00

n íP rim .= j /,(>■)/

000

n 2 Se c .= ^ Í . w / . M e -M (*+*«).

VII. Ecuaciones de Upo elíptico 715

ÁdX

O

H i= v I<2 = Y T J ^ k i .

Utilizando las condiciones de frontera

an, an,^ r i . ^ f r jn . , para » = a,

y también ^ ^ -= 0 para s = 0, bailamos

, k"m¡- ft?n3 th n 8a

71 W A rSm -M í^th jM ’

li ,kU - t*lJ»+M “ + M '0

t03. Sea / = I 0 f ($) e~i<ot (/ (s) ^ 1) la intensidad de la corriente en el conductor rectilíneo — l ^ s < l de longitud 21. E l sistema de coordenadas cilindricas está elegido^ de tal modo que la corriente de línea está dirigida a lo largo del eje z y es simétrica con respecto al origen de las coordenadas. El vector de Hertz ¡n = (O, O, ü ) se determina por la fórmula

tn (p, <p, z )= j no |p, cp, 2; 5 , y , ^ 1 / &) ¿ i ,

eikHdonde n<> = — ^ — ; H, la distancia entre los puntos [M (p, <p), :| y lM 0r(|,

* ). {].

B «= grad div n + t JH, H = — ik rot II.

La resistencia de radiación es igual a

1 (

R = - - L { J n {/* + *»/] dz— n f | } ,

si

/ ( - 1) = / ( / ) = 0.21

Indicación. La normación de n se obtiene de la condición H ú> m — cercacp

de la corriente.

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La resistencia de entrada de la corriente de línea se determina por ia siguiente fórmula del método de las fuerzas electromotrices inducidas

l

« = — ^ J Ez (.1 i) / « dz.

Sustituyendo íiqui E¡ por la expresión


c integrando por partes, obtenemos la expresión dada mis arribo para fí.104.'Si el dipolo es semiondular, entonces / = I J (2) para — / ^ 2 < /,

donde

n = í n° {M' iW°’ , _ í ) cos ktdí'

la resistencia de entrada del dipolo semiondular es

2* 2n

* = 4 { . J J S L * * * } .

0 o

La componente activa de la resistencia"de entrada~o resistencia de irradiación es

o

La componente reactiva o reactancia es

2n~ 1 f sena ,R r = -----\ ------ da,

c J ao

~ giHResolución. 1’nra calcular R se utiliza Ez= donde

l

E * = -z j¿ k \ (" . "0; *-t)J / (E) <*£■-I

Teniendo en cuenta que = - - 2 ■ e integrando por partes, obtenemos:

i

(.M, .VÍo,*)= j no (A/, A/0; *-£) (/' (£) + *2 / (£)] d£ +

Jtí.; <+*) f (- ;)-n » i - z ) r (/)}.Esto es posible si ¡" (z) es continua a trozos.

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v il. Ecuaciones de tipo elíptico 717

Para ei dipolo semiondular

r « + a-v = o, / (±i) + o, y ( - o = - / • (¡) = k.

Por eso,

= {no (M , Aí0, i + «) + n» (M , A/„¡ í- z)} .

La sustitución’ de este valor de Et en la fórmula

n = - J - \ E z (A/0, Af0; z) / (z) dz

da:

« = - -y- j n» (,Wo, Af0; í + s) / (z) dz,

donde

n» (>V/0; A/0;

Tomando l + z = a, después de transformaciones simples obtenemos la

fórmula dada más arriba para li. En particular, en el sistema de unidades prácticas

105. Sea que ol eje 2 coincide con el eje del guíaondas y el dipolo está on el plano z — £ en el punto A/0 y se halla dirigido paralelamente al eje 2. El campo se determina sólo por la componente z del vector oléctrico de Hertz

n = (0, 0, n),

— k%, k=Q /c; Xn , el valor propio, y 'as funciones propias

normadas del problema de contorno

^a'l’n + = 0 en 5, i¡i„ = 0 sobre C,

S la sección transversal del guíaondas; C, la frontera de S.

donde

H = —ikc W , " o , z— Q es 6l momento del dipolo,

M y Aí„ son los puntos on el plano de la sección perpendicular,

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La resistencia de radiación

es igual

zvfí<a>_._£íL Ü W

c * 2 l / k s— ?.n ’

donde A' es el número máximo de las ondas móviles dentro del guíaondas de modo que

Xjv < A’ , Xat+j > fc*-

Si el dipolo está sobre el eje del guíaondas circular de radio a, entonces

N

/?!■■>_ ¿. ( ± \ 2 - y ----------ck*a> \a ¿ J /

m = l / ? (t*m ) ] / 1

donde es la raíz de la ecuación J 0 (ju) = 0.

Indicación. La fórmula FI = n 0 es consecuencia de la fórmula gene

ral para n dada en la respuesta al problema 103. La función del manantial IIo para la ecuación de onda

A u + k^u = 0

en una región cilindrica arbitraria con las condiciones de frontera nulas fue construida en el problema 45.

Para calcular R (a> so utilizó la fórmula

í?“»=]im 4 ¿|- j \{BxH l - E vH i) d x d y

y la primera fórmula de Green.106. Para una corriente arbitraria de línea I = I J (z) cuando — l s í z /,

In función de Hertz es

14n7,

donde TI0 {M , Af0; t — t) se da por la fórmula (1) de la respuesta al problema (interior.

La potencia de radiación Wr — donde

= S ^ 2 * 0 * ° - { [ \/ ( í)c o s x „ íd £ ] 2+ [ ^ /{ £ )sonKnS^í |2} i

n- l " -¡ -I

Xn = Xn.

*l Víase 7, pág. 526.

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En ol caso general, para el dipolo semiondular dentro del guíaondas do sección arbitraria S se obtienen las fórmulas

N , _______ _

Pia, _ ± L V (Wn) (1 eos ix Y i- y j )~ ' ¿ x Xn l / T ^ r

N _________

»ir. _ _ Í £ V í ! i ( ^ i ) S C l l ^ V l — 1-ji |

” C ¿ >-n VM-Y'h +

^ T~ ¿ i


71=1

4n_ V f e W H + r ” ^ " - 1)

M-JV+I X ,‘ v 'v *n— 1

A»|>n + ~ 0 en S; i|in = 0 sobre C\

C X \|)f,rfS = l; y‘n = -^--, C es la frontera de S; Viv < li Yíí+i > •. Véanse los

problemas 45 y 103.107. Para el dipolo semiondular que está sobre el eje del guíaondas circu

lar tenemos:la parto activa de la resistencia do entrada es

mtT| J > (Hm) l'&> V 1 —7m

la reactancia es

p ,r. 4 y i sen a \. — y-m 4 l — c~” Yym— I

C m-í J ‘ fü. V i = y £ c , / f ((im) ’

Ll5*donde ym— ' ^ E I 08 *a ra“z do 1° ecuación / , (|i) = 0; o, el radio del guía-

ondas.108. Sea S (0 x < a, 0 < y < 6) la sección del guíaondas.a) E l dipolo Infinitésimo está orientado a lo largo del oje y se halla en el

punto M 0 (d, Un). La resistencia de radiación de este dipolo se da por la fórmula

N N’P

“ 'a> ~ 2 S -------4 S r - iL+ " ^ S J- - orrta=?l n = 1 m = 0 w = 0 ^ w n ^ m n

r *> n í r i| ™ n (A /) i

______1 ÉÜ2_______ L j . ....;i V V * dx° J

. . .____ _______ ___________ _ 2/<wnX

donde

. /1 * > , / » i / 4 Jim 3TÍ2$ n (Ai) = ijhnn (*♦ y) = | / *»n x sen -y- y,

i , (« 1 - * mn (X, „) = l - ^ ^ T c o s ^ , eos ^ y ( „ _ { £ I ~ l ) ,

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, „ / m2 . n2 \ , .= (-¿T-l-p-J (w, * — 1 ,

X *n = n* ) <"». « = 0, 1 , 2, . . . ) ,

—Xnjm *mn — k"— Xmn>

Los límites /V y JV', Ar, y N't son tales, quo Xw¡v., L Y]fí/ son los valorss

propios máximos para los cuales xmn y 5Cmn son reales.En el caso, más interesante en la práctica, de la onda H ,t tenemos

'l>io = ° . V-'io {-r, « ) = } / ~ j¡ (o s-^-x’ ^•io=‘ ( v ) í

y para Rtli obtenemos la fórmula de Sleter.


& Y T (2)

(ias fórmulas (1) y (2) están dadas en el sistema do unidades prácticas).b) Sea que el dipolo semiondular está orientado a lo largo del eje y y sus

extremos so hallan en los puntos M x (d, yt) y (d, ¡/21 además y, — yj =

=-^- • La distribución de la corriente dentro del dipolo se do por la fórmula

I = /„ son k (y — y¡).

La resistencia de radiación es igual a

N N'-x . . 8)1 , -n v i 2tn

sen*---d eos*a T 1 ( ' ■ + * )

« Jin

cosSw

abPmn |"

(^mn < h*)

= 1 n-\ / 1 ,¡> « — ■!m = 0,

A.mT» > *» \2, « 0.

m = l n=»0

donde

P m r t ~ 1 n

Los límites superiores de sumación ;V y N’ se hallan de la condición

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C O M P L E M E N TO

1. Diferentes sistemas ortogonales de coordenadas

Sean x, y, z las coordenadas cartesianas de cierto punto y x,. x2, x3* las coordenadas curvilíneas ortogonales de este punto. El cuadrado del elemento de longitud se expresa por la fórmula

ds2 — dx2 -f- dy2 + dz2 = 4" h\dx\ -p h1dx%,

donde

son los coeficientes métricos o Jos coeficientes de Lamé. El sistema ortogonal de coordenadas se caracteriza completamente por tres coeficientes métricos Alt

^2* 9*Damos la expresión general para los operadores grad, divT rot y el operador

de Laplace A en eJ sistema curvilíneo ortogonal de coordenadas:

i

J iv -1 = iíX j h {h*h'A¿ + ~ é ;

irot A ==

h,i¡ h2¡¡ h¡¡3

_0____ d____Ar, 0x2 dx

hiAj h,A¿ h^An

. 1 r 0 ¡ ft2J>3 Ou \ |_t> / h,h, Ou \

‘ = *1^ 2*3 i <**1 \ l‘ ¡ 9Xi I dx, V h, d.t.¿ )

,__ £_ / M a du 'i ~|óx-t \ II, áx, I i '

donde i i 3, son los vectores unitarios básicos; A = {A,. A ,, A a), un vector arbitrario, « — escalar, ,4¡¡ = A , U¡. x¡. x3); s ~ 1, 2, 3; u = u (ar,, x¡, x8).

I. Las coordenadas rectangulares

xt =* x, x , = y, xa — 2. h\ = t, h2 = l . hs — i,

div A-ar ■ oy - oz

l / 5 20 -0952

Ox ' Oy ' dz

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722 Complemento

rol A —

i i k

d ñ 0

dx dy dz

Ax At

/ ()AZ QAy \ . ,

\ 'ty </í / _r •**»

Au = uxx + uv„ + u „ ,

donde i, /'. fr, «on los vectores unitarios directores de los ejes x, y, z.

2. Las coordenadas cilindricas

xx = r, ^ — (p. *3 = ¿

están relacionadas con las coordenadas rectangulares por las ecuaciones

x = r cos cp, y = r sen if\ s = z.

Las superficies de coordenadas: r = const son cilindros; <p = const, planos; z — const. planos.

Los coeficientes métricos son iguales a

de modo que

k¡ = 1 , fl2 ~ r, — 1 ,

du .4-1

duí.4-

Ou .grna u

dr 1, + 7 ¿cp 1 T ‘3’

div Ai o

r dr ■ M .) - 4

m 2

¿K) in.

( 1 OAi W j \ i + ( \V r r«p i1 I + l dt dr J

+ r JL 4 -W J _ J . " l i ta,I r ¡ir 2 r i«|) J J

_ 1 i) / <?u \ , 1 <’>3« , i.)2u

U r 7r” \r ¿/r / ' ra ¿>cp4 ~r t>z- *

3. Las coordenadas esféricas

xx = r, — 0, * 3 = cp

so relacionan con los coordenadas rectangulares por Jas fórmulas

x = r sen 0 cos cp, y = r sen 6 sen cp, z = r eos B,

Las superficies do coordenadas: esferas concéntricas r — const; planos r sen 0,

du . . 1 du . - 1 dngra u — ^ tj-f- r ^ rseng ^

,l iv Á = ~ ? r 7 7 (r2 i4 l)'\ _d_

r sun 6 ¿0 (sen 0 /12) + óAs

r sen 6 d<f ’

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rot/1= -n ¿ n rL ~ ir (?on6^ )- ^ ] ¿>+

1 0 / 2 Oh \ , 1 a i A ou \ 1 02u

Au = — 7 ? ( r ^ r ) + 7^ 77T mT (* • " « - 3 5 - J K - r f o ! ? -

4. Las coordenadas elípticas

JTi = X, Xt = H , J-J = 2

se determinan mediante las fórmulas de transformación

-C = CAJl, y = £ /(? .* — t) (1 — fi2), 3 = 2.

donde c es el multiplicador de escala.Los coeficientes métricos son ¡guales a

* » - ! •

La? superficies <lc coordenadas: X = const son cilindros de sección elíptica con los focos on los puntos x = ±c, ¡/ — 0; ¡i = const, una familia de cilindros hiperbólicos confocales; z = const, unos planos.

5. Las coordenadas parabólicas

Si r, 8, son las coordenadas polares de 1111 punto sobre el plano entonces las coordenadas parabólicas pueden ser introducidas mediante Jas fórmulas

r l ~ X = Y 2r sen , 1 = 1! = Y 2r eos y , x3 = i .

Las superficies de coordenadas X = const y ji - const representan cilindros parabólicos intersecados con las directrices paralelas al eje z.

La relación con las coordenadas cartesianas se da por las fórmulas

* = Y (ns— Xa) v — Xu, z = z.

Los coeficientes métricos son

h 1 = 64 = Y'/-' + n2, h , = 1.

6. Las coordenadas elipsoidales

Se introducen mediante las ecuaciones (o > b > c). x2 y2 j2

a'- + X ~l~ l r +T + 7 i~ x ' — 1 > c~) (ecuación del elipsoide)

jr2 ( Jf2 -2¿ . 4- / s , 4~ ~o-r— — 1 (—cs> ^ > — />2) (ecuación del hiperboloide do■fi* t M c • ll una hoja)

j2„ , + . -|— s r — = 1 ( — v > — a-) (ecuación del hiperboloide de

- f V 0 ~ t- V t- . V J ()S h d j- ig j

Complemento 723

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A cada punto (x, y. i) le correspondo sólo un sistema de valores Á, ji, v. Los parámetros

x, = )., X, = n , x , = V

se llaman coordenadas elipsoidales. Las coordenadas x, y. z se expresan explí- citamente mediante /i, v:

, •. / " (X + a2) (fl-i-a2) (v + a3)* = ± 1/ --- ---------------- ’

t / (X + ft8) (n + i*/ (v 4- h2) '» — == K (c2— ¡>2) (a2 — 6=) *

> / (>.+c>)tn+<-S)(v + c*)

- = K (a*— c«)(6* — c*J

Los coeficientes de Lame son iguales a

, 1 ■ , / (X — n ) ( X — v P 1 i / ~ (n — v ) Q t — >•>1 2 K ‘ ~ 2 V « 3(m) ’

1 , /■ (V — X )(V — |i)y v — p m — ’

donde

R (s)== y (í+ a») (* + (>*) (i + i*) (« = ).. M, v).

El operador de Laplace “e puede represen lar en la forma

-ir=rttdW=vrfa-v)nw ( * w £ ) ++ ( V _ X ) f l (10 £ ( * 0 4 - g - ) + < * - „ > S (V ) £ ( A W * L ) ] .

La solución particular de la ecuación de Laplace que depende sólo de X, U = U (X) se da por la fórmula

° - A 5 w + s -donde A y B son constantes arbitrarias.

724 Complemento

7. Coordenadas elipsoidales degeneradas

a) Las coordenadas elipsoidales degeneradas (a, P, (p) para el elipsoide alargado de revolución se determinan mediante las fórmulas

x =» c sen p cos «p, y =* c sen a sen (5 sen z = c c h a cos p,donde c es el multiplicador de escala, 0 a < oo, 0 < P n ,— n <1 <p < n. Las superficies de coordenadas: elipsoides alargados de revolución <x = const; hiperboloides de dos hojas de revolución p = const; planos <p = const.

El cuadrado del operador lineal se da por la expresión

ds- = c2 (sil2 a -f- sen2 P) (da2 dp2) -J- c2 sh2 a sen2 P d($z.

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Complemento 725

de dondo para los coeficientes métricos se obtienen los valores

Ai = h2 = c j/$ h a a -+- sen* p. hs ■+- /¿v = c sli a sen p.

La ecuación de Laplace es de la forma

A“ = e»(shaa + sena tí) ["3Ta l a ( sh “ l a ) ^ sen p ~J¡T ( * '" ^"ájT ) +

/ I . 1 \ ¿»»u -] _ .

\ shs<x pen2 p I á<f2 J

b) E l sistema de coordenadas elipsoidales degeneradas (a, p, <p) para el elipsoide aplastado de revolución se determinan mediante las igualdades

x — e ch a sen p cos (j\ y — c ch a sen p ten <}', z = e sh o. eos <p,

0 sg a < c», 0 < n.

Las superficies de coordenadas: unos elipsoides aplastados de revolucióno. — const, unos hiperboloides de una hoja de revolución p — const y unos planos <p = const que pasan por el eje j.

El cuadrado del elemento lineal y el operador de Laplace en el sistema examinado de coordenadas son de la forma

c¡s1 — r- (ch2 ol — sen2 P) ida- -|- t/p-} -i- cz ch2 a x sen2 p dq",

. ____________1_________f i d / , du ,u —' c2 (ch2a — sen2p) I ch ol l a \ f 1 a l a ) '

1 0 / du \ . / 1 1 \ <?2« 1

sen p t)p \ sen <?p / \ sen2 o: chz a / dip J 18. Coordenadas toroidalcs

El sistema de coordenadas toroidales (a, p. <{.) se determinan mediante las fórmulas

c sh a coa <p c sh a sen y c sen P

x chce — c o s p ’ ^ “ c h a — cos p ’ c h a — cos p ’

donde c es el multiplicador de escala, 0 ^ ol < oo, — :t < p < rr, — a C <p < Jt. Las superficies de coordenadas son en esencia toros a = const

< p- í c th íí)2-(-í 2= ( - I - ) 3 (p =

esferas, p = const

(z - c c tKp)2 + P2^ ( l s l r ) í ;

planos rp = const.El cuadrado del elemento lineal en el sistema toroldal de coordenadas es de

la forma

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los coeficientes métricos son iguales a

j ) £ h eshaí a = c h a — cosfl 9 <í— c h a — cosp

y el operador de Laplace so dn por la expresión siguiente

726 Complemento

it / sh a Ou \11 11 i

[ sh a Ou \

oa \ c h a — cos ¡í <)r¿ )M ¿p 1[ ch a — cos p c?p /

, 1 i?2u' (ch a — cos (5) sh a flep® '

Es conveniente introducir en vez de u una función nueva v mediante larelación _________________

ü = \f'¿ ch ct — '2 cos P* i?t

con esto la ecuación Aa = 0 conduce a la ecuación

4- l7pp+ vc t a + -£* v 4“ ?Vp ~ •

9. Coordenadas bipolares

a) Coordenadas bipolares sobre el plano.Las variables

= a, :r2 = p, *3 — z

se llaman las coordenadas bipolares si tiene lugar la igualdad

a sh a a sen ft _

X c h a — cosp * cha — cosP *


a/l I " ^ 4 — . _" ■ ií Jí — 1 >1 2 c h a — cos p > 3

b) Las coordenadas b i esféricasX i — V., X i = p , X¡f = (J,

se determinan mediante tus fórmulas

<• se» « coa cp c sen a gen <p ^______ c sh p

c h p — c o s a ’ ! /— c h p — c o s a ’ c l i p — c o s a ’

d o n d e c es e l m u l t ip l ic a d o r do e s c a la , 0 ^ a < ; p : — oo /'xa+¡íí ).

Superficies de coordenadas: superficies de forma de huso de revolución, a = const:

( p - c c t g a ^ ^ - ^ ) 2 ;

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p.-r i , - . « t h p p - = ( - 1 £ j r )\

fíanos, {> — const.La expresión para el cuadrado del elemento lineal en las coordenadas bipo

lares esféricas es de la forma

is * = (el,

<k* donde so deduce

, _ . ________£______ , c sen a

1 l ¿ ~~ ch fi — cos a ’ a = ch (i — cos a 7

y la ecuación de Laplace lo mu la forma

d i sena du \ d ¡ sen a du \ ,

da I c h j i — cosa da úfi \ c lip — cosa / '

-j___________!_________ Ü ü . = 0 .' son a (ch p — cos a) úy-

Para resolver la ecuación de Laplace es cómoda la sustitución

u — 1^2 ch p — 2 cos av.

Entonces, para la función v se obtiene la ecuación

\ \kclc+ m + o a c ie ' j— T v+ s¡in.,a um ^ o .

10. Coordenadas esferoidales

a) Las coordenadas esferoidales alargadas

*l = X, = (i, r a = (f,

2 = cX|t, y = c — l ) ( t — u'-)cos<f, := ¡ t / ( l ! — l ) ( l — na)senif,

X5>1, —

A< = c V h*“ c Y T = $ > h* = c / ( Á '- D d - M 2)-

b) Las coordenadas esferoidales aplastadas

= X, ÍJ = ¡I, *3 tf>,

x = ckpi sen <ft y ~ c Y (/•'“ — 1) (1 — n2), z — c/.ji eos <f.

Las superficies X = const son esferoides aplastados; = const, hiperboloides de una hoja.

Los coeficientes métricos son

ft, = c j / L j —!i-, / ,= - P y ^ L _ i L i /ia = cXn.

Complemento 727

esferas, ft=eonst:

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11. Coordenadas parabololdales

Las variables

x, = X, xa = n, i , — f

que se determinan por las ranclones

t. = X|i cos (f, y = X|i sen tf, t = >/s (Xa — ns)

se llaman coordenadas paraboioidaies. Los coeficientes métricos son iguales a

*, = * , = V?.'- -(- |i», h3 = Xp.

Las superficies de coordenadas X = const, p = const, son parabolas de revolución alrededor del eje d« simetría Oz.

II. Algunas fórmulas del análisis vectorial

Notaciones: a , función vectorial, u, función escalar.

[[06] c] = (ac) b — (6c) a,

[« [ócll = 6 (ac) — c («6),

Errad (ui>) — u grad v + v grad u,

div (uo) = a grad u + u div a,

rot (ua) =» |a grad u] + « rota,

div («6| = b rot a — a rot b.

rot rot a = grad div a — Aa.

grad {(ib) — a div b + 6 div a + [a rot ó| ■+■ [6 rot a],

rot («&) =■ a div b — b div « ■+• (6V1 a — (aV) 6,

donde

, Oa . . !>a , da( K ) a = b x-s - + bu— Jr bl - ^ .

III. Funciones especiales

1. Funciones irígonomóíircas

eos := 1 — -i- s; + = ~Y (elz + <r_lE) = cb (i:),

sen s = z— 23+ -gj- s‘ — . . . = (‘ ¡I — > ' i=) = — t sli (Is),

cos (x+.'/)=cos x eos y — sen x sen y,

sen (x+y) = scn x cos y + cos x sen y,

cos x cos ¡/ = -l-cos (x-r (/) + -7- coa (x— y),

1 1sen xsen y = -- — cos (x + y)H— eos (x— y).

728 Complemento

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Complemento 729

2. Funciones hiperbólicas

ch z = \ 4* -Tjp 2* + z*4- • • • — -g- (<?* + «?“*) = cos (¿*),

slíj2 = 2 -f- -i- s34* — -TJ- (e* — e~¿) = — Í sen («*),

ch2z— sh2 z=»l,

ch (.r 4" y) = ch x ch y 4“ sh x sh y,

sh (x 4* y) “ sh x ch y 4- ch x sh y.

3. Integral de los errores

z

<!>(«) = — f e~'*~da. Y n J

Desarrollo cu serio para z peijueílos

_2

YDesarrollo asintótico pura z grandes

0 ( « ) = í _____ f i — )u V 'ñ ~ v 2z* 1 (2z)> (2:)’

En^la tabla 1 están dados los valores de ® (z) para ( )< z ^ 2 , ; ) .

4. Función gamma

OO

r ( z ) = j- e-‘tz- 'd i (fio j > 0 ) , i- (= + i)= s r (j),

U

r(n + l)=n!, r ( i ) = j, r ( - i - ) = /í¡,

r “ > r <2‘> r ( í> r ( 2+ Í ) -!

* “ or(z)-*-|/2nz 2í~ * para 2> 1 ,

La función beta

* < * ,* )- f i 1' " 1

= 2 ^ son2* " 1 (peos2 -1 <pd(p(ÍÍOx>0), R e ;/> 0 ).

21-8942

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730 Complemento

S. Funciones elípticas

f — — = s n - ] (t , k),J / ( l — x 2) ( l- A - 2-r“-)

f — í!x = f ln - i (x, k),J / ( I — i'2) (x*+k* — 1)

1

í — '7 — ^X — = i:n - ‘ (ar, k),J V (1 — **>(• — k3 + k V )

■ o l " - ' (x , A),J /(1-i-y2) (l + ft'53j

K _ f _________ <¡z

J Y ( l — x*) (l — k*x*) '

I

! (¡X■ ■ - -- ^ = senct, A-'=cosa.

6. Funciones de Bessel

j w _ 1 ( j _ r I i - - í i £ + _ Ü ¿ _ _J n W l ú \ - ¿ ) 1! («+ t ) ^ ü l (n-|-l)(n + 2) • • •

00 ( o*1 ( z ) ^ +n

= 2 r {k+1) r ()<+« + i) 7Z Z V ~ñTcos [* T n (" +*~ )»Jt= 0

(Re J > 0 ) ,

N n (z) = -^-[21n (-|-)+Y-’t> (»H-1)J (*) —

/ z xn*imn-* 00 l l

L 5> (« — w - n j L y ( * 2 ‘n Zl , / 2 \ n-*« n mí <« + m)l

m=0 "*•' ( — J m=i

* [ 2 ( 4 - + r p r ) ] .

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donde 'h (”>=-r77íy »r (/»)

Complemento 731

jV0 ( z ) ^ » — (ln 2 — 0,11503), n = 0

” - ' 2-3.......

A'"<í)^ V /" ^ - se,,[ z_ 4- ’l ( " + - r ) ] (Re!>( í ) = ( _ l ) ' > / n A ‘_ n ( * ) = ( — 1 )nA fn (2) .

0),

Jn (2) A'¡, (2) - J ' n (2) A’„ (2) = A ( / „ , . V „ ) = ~

, V (el wronskiano), A'n_, (2) /„ (2)-.Vn (2) <z) = A(J„, -V„) = - , 1

OO XV

'«■= 2 •M z)*- *" '', / „ (2 )= - ^ J «-**«■><»+«»»«*<r$cn o _

n=-oo -«

(n es mi número entero),

U '¿' (z) = /„ (z) + í<v„ (2)- » l / " -1- e’ I 2- T n‘ T l i2 — oo r nz

rrn“ (z)= / „ (z)-üvn (2) i / " A e" i l '- T n “ t I .I-o o l Í12

Las fórmulas recurrentes

Í Í Z n ( z ) = Z , + Z , 2 Z f* ( a ) = Z — Z t4z ' ' n — 1 n+1* ' n -1 n+1

Ó

d r , V, n >7 d r Zn (x) 1 Zn+i_ [ * • * » — 1_— ^¡— j = — j j - ,

— Z lT [jcZi (a)) = x ¿ q (x )T

I’ Zl(ux)xdx*=-^x* |Zg(ouc) + Z}(a*)),

^ = [ZJ, (a*) — ZmM (a i) Z m+- («*)].

Aqui Z n (z )= j4 /n (*) 4- Z?¿Y„ (x) es cualquier solución de la ecuación de Bessel

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( t ) « t í 7 B 5 - • ' ■ < * > - 2 T

732 Complemento

Las funciones del argumento imaginario

( f ) 'A-0

« ^ T ntn" N^ x)-xZ z Y - £ °-X’ ( # ) " + . .n > 0,

/_n (*) = /n (*), K „ ( i) = /C n (i),

Kq (x) —> — íln 7T + ) -f- • ••, C = 0,5772 es la constante de Euler,X-.0 \ ¿ I

*n{z)K'n (*)-Ik ( * ) Kn ( * ) - A ( / „ , Kn) « — | ,

/ n (*) « n - i (*) + / n - i (x) Kn [x) = - A ( /n , * n ) = i ,

/ 71-1 (a:) “ * n4-t (*) (*)» ^n-i (a:)4"Jrn+i (*) — (*)»

| ^ %h“~~ = ^ ’ Zn = - n ó Zn — n*

Algunas integrales

CO

j e-“< / „ ( 6 0 ^ = -5p r [Vri¡M: b3- a] '1.

0

« (2¡>)nr ( rt+4-)] e~atJn(bt)tn i l = ------------rt r. / 1

r ( 4 ) («’ +*») » H r ’

¡ JV. ( « ) * = — ln " ± / .g ,+ ^J ov i/V + fc* «yo*H-fca

fa y b son reales y positivos)

7. Polinomios de Legendre

La ecuación 1(1— *9) y’J' + n (» + i) tf*=0, (—1 < z < 1 ) ,CO

2 ( 7 7 ) 71 Pn *cos 0) para

Y r§ + ra—2 rr0 cos 02 7 ( - ~ ) n Pn icos 0) para

r < r0.

r > <0 .

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Complemento

(n-f 1) i (* )-x (2« + d) Pn (*) + n/>n-i (*) = 0,

' « M - a f c r & H * ' - ! ) " ! -

La ecuación de las funciones asociadas

<« + 1 ) - - ^ ) „ = 0,

1, fc = n,

k z¿ n.

ikR

P « " (X ) = (l — r«) 2 Pn (*),

OO

eío cos 0 = V p B + 1) Én ^ „ (p ) P n ( c o s 8 ) ,n=0

l f n (P )= y r - i . / n+ t(p ) ,

2 (2n + l) ft í ’ (Po) ’U (P) Pn (eos 9), r < r0l71=0

OO

V (2«-H) Mfn (Po) £n ' (P) (cosQ), r > r„, «=0

w <p) = ) /

Ü = — 2rr0 eos 0,

p = kr, p0 = kr0.

U (p) Ü tY (P )- ?(n > (P> (P )=-^-,

'P o (P )=-~ ■— , H’i (P)=-^ ( J ^ - P — cosp ) ,

(P)= f — ---, t ..» (P)= f _ _ ( ± _ , ) .

8. Función hipergeométrka F (a, |J, \>)

La ecuación

*<1— *)y'+lv— («+P+1)*I y ' — <»py=o,

^ — Pl Yl 1-21 ( 7 + 1) * + " "

733

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y = Hi — »l_vf (a — Y + l. P—7 + 1. 2 —y. *),

J>n (*) = /'' ( - » , n + 1, 1, ( - » . « + 1, 1, ^ P ~ ) ,

« — * ^ F [m- ...... ... . .. . » + <• ^ - ) ■

La función hipergeomélrica confluente (degenerada)

F - F ( « . y p) — I -1- a t> 1 « ( « + * ) P* I, v 1 , V (Y + 1)I, r- • • »

d*F , , . dF „ -

p - a p r + ^ - r t- S p — “ F = 0 -

73 4 Complemento

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IV . Tablas

Tabla 1

Complemento 735

La ¡olegral de los errores O (z) = —7= - ( d a f 0 ^ z ^ 2 , 31 / n J

o

t z z d> tz) r <D Ui

0,00 0,0000 0,40 0,4284 0,81) 0,7421 i ,20 0,91(130,01 0,0113 0,41 0,4380 0,81 0,7480 1.21 0,01300,02 0,0226 0,42 0,4475 0,82 0,7538 1,22 0,91550,03 0,0338 0,43 0,4569 0,83 0,7595 1,23 0,91810,04 0,0451 0,44 0,4662 0,84 0,765! 1,24 0,92050,05 0,11564 0,45 0,4755 0,85 0,7707 1,25 0,92290,06 0,0676 0,46 0.4S47 0,86 0,7761 1,26 0,92520,07 0,0789 0,47 0,4937 0,87 0,7814 1,27 0,92750,08 0,0901 0,48 0,5027 0,88 0,7867 1.28 0,92970,09 0,1013 0,49 0,5117 0,89 0,7918 i ,29 0,93190,10 0,1125 0,50 0,5205 0,90 0,7969 1,30 0,93400,11 0,1236 0,51 0,5292 0,91 0,8019 1,31 0,93610,12 0,1348 0,52 0,5379 0,92 0,8068 1,32 0,93810,13 0,1459 0,53 0,5465 0,93 0,8116 1,33 0,9401)0,14 0,1569 0,54 0,5549 0,94 0,8163 1,34 0,9419

0,15 0,1680 0,55 0,5633 (1,95 0,8209 1,35 0,94380,16 0,1790 0,56 0,5716 0,96 0,8254 1,36 0,94560,17 0 ,1900 0,57 0,5798 0,97 0,8299 1,37 0,94730,13 0,2009 0,58 0,5879 0,98 0,8342 1,38 0,94900,19 0,2118 0,59 0,5959 0.99 0,8385 1,39 0,95070,20 0,2227 0,60 0,6030 1,03 0,8427 1,40 0,95230,21 0,2335 0,61 0.6117 1,01 0,8468 1,41 0,95390,22 0,2443 0,62 0,6194 1,02 0,8508 1,42 0,95540,23 0,2550 0,63 0,6170 1,03 0,8548 1,43 0,95690,24 0,2657 0,64 0,6346 1,04 0,8586 1,44 0,95830,25 0,2763 0,65 0,6420 1,05 0,8624 1,45 0,95970,26 0,2869 0.66 0,6494 1,06 0,8661 1,46 0,96110,27 0,2974 0,67 0,6566 1,07 0,8698 1,47 0,96240,28 0,3079 0,68 0,6633 1,08 0,8733 1,48 0,96370,29 0,3183 0,69 0,6708 1,09 0,8768 1,49 0,96490,30 0,3286 0,70 0,6778 1,10 0,88*2 1,50 0.96610,31 0,3389 0,71 0,6847 1,11 0,8335 1,51 0,96610,32 0,3491 0,72 0,6914 1,12 0,8868 1,6 0,97630,33 0,3593 0,73 0,6981 1,13 0.8900 1,7 0,98380,34 0,3694 0,74 0,7047 1,14 0,8931 1,8 0,93910,35 0,3794 0,75 0,7112 1,15 0,8961 1,9 0,99280,36 0,3893 0,76 0,7175 1,16 0,8991 2,0 0,99530,37 0,3992 0,77 0.7238 1,17 0,9020 2,1 0,99700,38 0,4090 0,78 0,7300 1,18 0,9048 2,2 0,99810,39 0,4187 0.79 0,7301 1,19 0,9076 2.3 0,9939

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T abla 2

7 3 6 Complemento

Raíces di» las ecuaciones características / 0 (ii)—0 y (|i) = 0

JJ

Raícos n„ de la e c u a c i ó n

Raíces nn de la ^cuncidn J i (| i) = 0

.

Raíces d<* la ecuación

J o ( M ) = 0

Raicra nn i ? la (•ctiacitai

J j <n) = 0

1 2,4048 3,8317 6 18,0711 19,61592 5,5201 7,0156 7 21,2116 21,76013 8,6537 10,1735 8 24,3525 25,90374 11,7915 13,3237 0 27,4035 29.04685 14,9309 16,4706 10 30,6346 32,1897

T ab la 3

Ralees de la ecuación característico — -i- il/ i(H ) l h '

lh - h Ul (•2 ys Mi n» He

0,0 0,0000 3,8317 7,0156 10,1735 13,3237 16,47060,01 0,1412 3,8343 7,0170 10,1745 13,3244 16,47120,02 0,1995 3,8369 7,0184 10,1754 13,3252 16,47180,03 0,2814 3,8421 7,0213 10,1774 13,3267 16,47310,06 0,3438 3,8473 7,0241 10,1794 13,3282 16,47430,08 0,3960 3,8525 7,0270 10,1813 13,3297 16,47550,10 0,4417 3,8577 7,0298 10,1833 13,3312 10,47670,15 0,5376 3,8706 7,0369 10,1882 13,3349 16,47970,20 0,6170 3,8835 7,0440 10,1931 13,3387 16,48280,30 0,7465 3,0091 7,0582 10,2029 13,3462 10,48880,40 0,8516 3.9344 7,0723 10,2127 13,3537 16,49490,50 0,9408 3,9594 7,0864 10,2225 13,3611 16,50100,60 1,0184 3,9841 7,1004 10,2322 13,3686 10,50700,70 1,0873 4,0085 7,1143 10,2419 13,3761 16,51310,80 1,1490 4,0325 7,1282 10,2519 13,3835 16,51910,90 1,2048 4,0562 7,1421 10,2613 13,3910 16,52511,0 1,2558 4,0795 7,1558 10,2710 13,3984 16,53121,5 1,4569

1,59944,1902 7,2223 10,3188 13,4353 16,5012

2,0 4,2910 7,2884 10,3658 13,4719 16,59103,0 1,7887 4,4634 7,4103 10,4566 13,5434 16,64994,0 1,9081 4,6018 7,5201 10,5423 13,6125 16,70735,0 1,9898 4,7131 7,6177 10,6223 13,6786 16,76306,0 2,0490 4,8033 7,7039 10,6964 13,7414 16,81687,0 2,0937 4,8772 7,7797 10,7646 13,8008 16,86848,0 2,1286 4,9384 7,8464 10,8271 13,8566 16,91799,0 2,1566 4,9897 7,9051 10,8842 13,9090 16,9650

10,0 2,1795 5,0332 7,9569 10,9363 13,9580 17,009»15,0 2,2509 5,1773 8,1422 11,1367 14,1576 17,200820,0 2,2880 5,2568 8,2534 11,2677 14,2983 17,344230,0 2,3261 5,3410 8,3771 11,4221 14,4748 17,534840,0 2,3455 5,3846 8,4432 11,5081 14,5774 17,650850,0 2,3572 5,4112 8,4840 11,5621 14,6433 17,727260,0 2,3651 5,4291 8,5116 11,5990 14,6889 17,780780,0 2,3750 5,4516 8,5466 11,6461 14,7475 17,8502

100,0 2.3S09 5,4652 8,5078 11,6747 14,7834 17,8931oo 2,4048 5,5201 8,6537 11,7915 14,9309 18,0711

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Complemento 737"

Tabla 4

Raíces fin de la ecuación característica J„ (n) N 0 (4j¿) — N , (|i)/0 (Ají)=0

k M-l H3 H -1 >*»

1,2 15,7014 31,4126 47,1217 62,8304 78,53851.5 6,2702 12,5598 18,8451 25,1294 31,41332,0 3,123(1 6,2734 9,4182 12.5014 15,70402,5 2,0732 ■4,1773 6,2754 8,3717 10,46723,0 (,5485 3,1291 4,7038 6.2767 7,84873,5 1,2339 2,5002 3,7608 5,0190 6,2776<4,0 1,0244 2,0809 3,1322 4,1816 5,2301

Tabla 5

Raíces de ta ecuación característica t g jx = —

h V-l Uz M3 1*0 Mt

0 1,5708 4,7124 7,8540 10,9956 14,1372 17,27880,1 1,6320 4,7335 7,8667 11,0047 14,1443 17,28450,2 1,6887 4,7544 7,8794 11,0137 14,1513 17,29030,3 1,7414 4,7751 7,8920 11,0228 14,1584 17,29610,4 1 ,7906 4,7956 7,9046 11,0318 14,1654 17,30190,5 1,8366 4,8158 7,9171 11,0409 14,1724 17,30700,6 1,8798 4,8358 7,9295 11,0498 14,1795 17,31340,7 1,9203 4,8556 7,9419 11,0588 14,1865 17,31920,80,9

1,9586 4,8751 7,9542 11,0677 •14,1935 17,32491,9947 4,8843 7,9665 11,0767 14,2005 17,7306-

1.0 2,0288 4,9132 7,9787 11,0856 14,2075 17,33641,5 2,1746 5,0037 8,0382 11,1296 14,2421 17,36492,0 2,2889 5,0870 8,0965 11,1727 14,2764 17,39323,0 2,4557 5,2329 8,2045 11,2560 14,3434 17,44904,0 2,5704 5,3540 8,3029 11,3349 14,4080 17,50345,0 2,6537 5,4544 8,3914 11,4086 14,4699 17,5562-6,0 2,7165 5,5378 8,4703 11,4773 14.5288 17,60727,0 2,7654 5,6078 8,5406 11,5408 14.5S47 17,65628,0 2,8044 5,6669 8,6031 11,5994 14,6374 17,70329,0 2,8363

2,86285,7172 8,6587 11,6532 14,6860 17,7481

10,0 5,7606 8,7083 <1,7027 14,7335 17,790815,0 2,9476 5,9080 8,8898 11,8959 14,9251 17,974220,0 2,9930 5,9321 9,0019 12,0250 15,0625 18,113630,0 3,0406 6,0831 9,1294 12,1807 15,238" 18,301840,0 3,0651 6,1311 9.198G 12,2688 15,3417 18,418050.060.0

3,0801 6,1606 9,2420 12,3247 15,4090 18,49533,0901 6,1805 9,2715 12,3632 15,4559 18,5497

80,0 3,1028 6,2058 9,3089 12,4124 15,5164 18,6209100,0 3,1105 6,2211 9,3317 12,4426 15,5537 18.6650oo 3,1416 6,2832 9,4248 12,5664 15,7080 18,8.496

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Tabla 6

Las seis primeras raíces*) <xn de la ecuación a t g a = C

7 3 8 Complemento

c ai <*2 03 «4 «5 a»

0 0 3,1416 6,2832 9,4248 12,5664 15,7080

0,0(11 0,0316 3,1419 5,2833 9,4249 12,5fiü5 15,70800,002 0,0147 3,1422 6,2835 9,4250 12.5605 15.70810,004 0,0632 3,1429 6,2838 9,4252 12,5667 15,70820,006 11,0774 3,1435 6,2841 9,4254 12,5608 16,70830,008 0,0893 3,1441 6,2845 9,4256 12,5670 15,7085

0,U1 0,0998 3,1448 6,2848 9,4258 12,5672 15,70860,02 0,1410 3,1479 6,2864 9,4269 12,5680 15,70920,04 0,1987 3,1543 6,2895 9,4290 12,5696 15,71050,t'6 0,242.0 3,1606 6,2927 9,4311 12.5711 15.71180,08 0,2791 3,1668 6,2959 6,4333 12,5727 15,7131

0,1 0,3111 3,1731 6,2991 9,4354 12,5743 15,71430,2 0,4328 3,2039 6,3148 9,4459 12,5823 15,72070,3 0,5218 3,2341 6,3305 9,4505 12,5902 15,72700.4 0,5932 3,2636 6,3461 9,4670 12,5981 15,73340,5 0.Ü533 3,2923 6,3616 9,4775 12,6000 15,7397

0,0 0,7051 3,3204 6,3770 9,4879 12,6139 45,74600,7 0,7506 3,3477 6,3923 9,4983 12,6218 15,Í5240,8 0,7910 3,3744 6,4074 9,5087 12,6296 15,75870,9 0,8274 3,4003 6,4224 9,5190 12,6375 15,76501,0 0,8603 3,4256 6,4373 9,5293 12,6453 15,7713

1,5 0,9882 3,5422 6,5097 9,5801 12,6841 15,80262,0 1,0769 3,6436 6,5783 9,6296 12,7223 15,83363,0 1,1925 3,8088 6,7040 9,7240 12,7966 15,89454,0 1,2646 3,9352 6,8140 9,8119 12,8678 15,95365.0 1,3138 4,0336 6,9096 9,8928 12,9352 16,0107

6,0 1,3496 4,1116 6,9924 9,9667 12,9988 16,06547,0 1,3766 4,1746 7,0640 10,0339 13,0584 16,11778,0 1,3978 4,2264 7,1263 10,0949 13,1141 16,16759,0 1,4149 4,2694 7,180» 1U,1502 13,1660 10,2147

10,0 1,4289 4,3058 7,2281 10,2003 13,2142 16,2594

15,0 1,4729 4,4255 7,3959 10,3898 13,4078 16,447420,0 1,4961 4,4915 7,4954 10,5117 13,5420 16,586430,11 1.5202 4,5616 7,61157 10,6543 13,7085 16,769140,0 1,5325 4,5979 7,6647 10,7334 13,8048 16,879450,0 1,54110 4,6202 7,7012 10,7832 13,8666 16,9519

60,0 1,5451 4,6353 7,7259 10,8172 13,9094 17,002680, u 1,5514 4,6543 7,7573 10,8606 13,9644 17,0686

100,11 1,5552 4,6658 7,7704 10,8871 13,9081 17,1093oo 1,5708 4,7124 7,8540 10,9950 14,1372 17,2788

*¡ Tortas las raíces de *sta ecuación son reales si C > 0.

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Tabla 7

Complemento 739

Lag sets primeros raíces*) ccu du la ecuación a ctgc “ i « í <w Ot»

—1.0 0 4,4934 7,7253 1ii,9041 14,0602 17,2208—0,995 0,1224 4,4045 7,7259 10,9046 14,0666 17,2210-0,99 0.173(1 4,4956 7.7265 10 9050 14,0609 17,2213-0,98 0,2445 4,4979 7,7278 10,9000 14,(1676 17.2219—0,97 0,2991 4,5001 7,7291 10,9069 14,0683 17,2225-0,96 0,3450 4.5023 7,7304 10,9078 14,0690 17,2231—0,95 0,3854 4,5045 7,7317 10,9087 14,0097 17,2237—0,94 0,4217 4,5068 7,7330 10,9096 14,0705 17,2242—0.93 0,4551 4,5090 7,7343 10,9105 14,0712 17,2248—0,92 0,4860 4,5112 7,7356 10,9115 14,0719 17,2254-0.91 0,5150 4,5134 7,7369 10,9124 14,0720 17,2260—o; »> 0,5423 4,5157 7,7382 10,9133 14,0733 17,2200—0,85 0,6009 4,5268 7,7447 10,9179 14,0769 17,2295-0 ,8 0,7593 4,5379 7,7511 10,9225 14,0804 17,2324—0,7 0,9208 4,5601 7,7641 10,93)6 14,0875 17,2382—0,l¡ •1,0528 4,5822 7,7770 10,9408 14,0940 17,2440—0,5 1,1«56 4,6042 7.7899 10,9499 14,1017 17,2498—0,4 1,2644 4,6201 7.8028 10,9591 14,1088 17,2556- 0 ,3 1,3525 4,0479 7,8156 10,9082 14,1159 17,2614—0,2 1,4320 4,6090 7,8284 10.9774 14,1230 17,2072-0,1 1,5044 4,0911 7,8412 10,9865 14,1301 17,2730

0 1.5708 4,7124 7.8540 10,9956 14,1372 17,27880.1 1,0320 4,7335 7,8607 11,0047 14,1443 17,28450,2 1,6887 4,7544 7,8794 11,0137 14,1513 17.29030,3 1,7414 4.7751 7,8920 11,0228 14,1584 17,29010,4 1,7906 4.7956 7,9046 11,0318 14,1054 17,30190,5 1,8306 4,8158 7,9171 11,0409 14,1724 17,30760,8 1,8798 4,8358 7,9295 I 1,0498 14,1795 17,31340.7 1,9203 4,8556 7,9419 11,0588 14,1805 17,31920,8 1,9580 4,8751 7,9542 11,0677 14,1935 17,32490.9 1,9947 4,8943 7,9665 11,0767 14,2005 17,33061.0 2,0288 4,9132 7,9787 11,0856 14,2075 17,33641,5 2,1746 5,0037 8,0385 11,1296 14,2421 17,36492,0 2,2889 5,0870 8,0962 11.1727 14,2764 17,39323.0 2,4557 5,2329 8,2045 11,2560 14,3434 17,44904,0 2,5704 5,3540 8,3029 11,3349 14,4080 17,50345,0 2,6537 5,4544 8,3914 11,4086 14,4699 17,5502(1,0 2,7165 5,5378 8,4703 11,4773 14,5288 17,60727,0 2,7654 5,6078 8,5406 11,5408 14,5847 17,65028.0 2,8044 5,0669 8,6031 11,5994 14,6374 17,70329,0 2,8363 5,7172 8,6587 11,6532 14,6870 17,7481

10,0 2,8628 5,7606 8,7083 11,7027 14,7335 17,790815,0 2,9476 5,9080 8,8898 11,8959 14,9251 17,974220,0 2,9930 5,9921 9,0019 12,0250 15,0625 18,113030,0 3,0406 6.0831 9,1294 12.1807 15,2380 18,3U1840,0 3,0651 6,1311 9,1987 12,2688 15,3417 18,418050,0 3,0801 6,1606 9,2420 12.3247 15,4090 18,495360,0 3,0901 0,1805 9,2715 12,3032 15,4559 18,549780,0 3,1028 6,2058 9,3089 12,4124 15,5164 18,6209

100,0 3,1105 6,2211 9,3317 12,4426 15,5537 18,6650co 3,1410 6,2632 9,4248 12,5664 15,7080 18.8490*) Todas las raíces d? esta ecuación son reales si C > — 1 Loa valores negativos de

C aparecen a l exam in ar la esfera (v íase § 2 cap . V).

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742 Bibliografía

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el autor, destacado matemático, miembro correspondiente de la Academia de Ciencias de la URSS, en la facultad de mecánica

y matemáticos de la Universidad Estatal de Moscú.

En el libro, además de las cuesliones clásicas, do las propiedades

generales de los polinomios y de las relaciones binarias, de los grupos de transformación, do las propiedades estructurales de los

grupos más simples, etc., se incluyen otras de orden práctico

«orno, por ejemplo, información sobre campos finitos, sobre cam

pos de números algebraicos, cuestiones de divisibilidad do ani

llos, elementos de la teoría de imágenes.

En un tercer grado do complejidad y especificidad, pueden ha

llarse algunas “exquisiteces" tales como la presentación del

teorema do Silov, los grupos lineales invariantes, imágenes de

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