28 campo magnetico(1)

PROBLEMAS RESOLVIDOS DE FÍSICA Prof. Anderson Coser Gaudio Departamento de Física – Centro de Ciências Exatas – Universidade Federal do Espírito Santo http://www.cce.ufes.br/anderson [email protected] Última atualização: 28/11/2006 15:00 H

23 - Campo Magnético

Fundamentos de Física 2 Halliday, Resnick, Walker

4ª Edição, LTC, 1996

Física 2 Resnick, Halliday, Krane

4ª Edição, LTC, 1996

Física 2 Resnick, Halliday, Krane

5ª Edição, LTC, 2003 Cap. 30 - O Campo

MagnéticoCap. 34 - O Campo

MagnéticoCap. 32 - O Campo

Magnético

Prof. Anderson (Itacaré, BA - Fev/2006)

Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES

HALLIDAY, RESNICK, WALKER, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996.

FUNDAMENTOS DE FÍSICA 3

CAPÍTULO 30 - O CAMPO MAGNÉTICO

EXERCÍCIOS E PROBLEMAS

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

[Início documento]

[Início seção] [Início documento]

________________________________________________________________________________________________________ Halliday, Resnick, Walker - Física 3 - 4a Ed. - LTC - 1996. Cap. 30 – O Campo Magnético

2


RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996.

FÍSICA 3


PROBLEMAS

01 02 03 04 05 06 07 08 09 1011 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 5051 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64

[Início documento]

07. Um elétron tem velocidade v = 40i + 35j km/s, num campo magnético uniforme. Sabendo-se

que BBx = 0, calcule o campo magnético que exerce sobre o elétron uma força F = −4,2i + 4,8j fN. (Pág. 149)

Solução. A força magnética é dada pela expressão: q= ×F v BPodemos desenvolver a expressão acima, substituindo-se o valor dado de v e uma expressão genérica para B (lembre-se que BBx = 0): ( ) ( )x y y zq v v B B= + × +F i j j k

k

Operando-se o produto vetorial, teremos: ( )y z x z x yq v B v B v B= − +F i j

Como a expressão da força dada no enunciado não possui componente k, temos: ( )y z x zq v B v B= −F i j

Substituindo-se por valores numéricos:

( ) ( ) ( )19 3 31,60 C 35 m/s 40 m/sz zB B− ⎡ ⎤= − ×10 ×10 − ×10⎣ ⎦F i j

( ) (15 155,60 C.m/s 6, 40 C.m/sz z)B B− −= − ×10 + ×10F i j

) j

Comparando-se com o valor dado de F: ( ) (15 154, 2 N 4,8 N− −= − ×10 + ×10F i

Conclui-se que: ( ) ( )15 154, 2 N 5,60 C.m/s zB− −− ×10 = − ×10

0,75 TzB = ________________________________________________________________________________________________________ Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4a Ed. - LTC - 1996. Cap. 34 – O Campo Magnético

3


Como B só possui componente em z, temos:

( )0,75 T=B k


10. Um elétron tem uma velocidade inicial de 12,0j + 15,0k km/s e uma aceleração constante de

(2,00 × 1012 m/s2)i no interior de uma região onde existem um campo elétrico e um campo magnético uniformes. Determine o campo elétrico E, sabendo-se que B = 400i μT. (Pág. 150)

Solução. A força resultante F sobre o elétron é a soma da força elétrica FE com a força magnética FB. B

E B em= + =F F F a

eq q m+ × =E v B a

emq

= − ×E a v B

Substituindo-se por valores numéricos:

( )( ) ( )

( ) ( ) (

3112 2

19

3 3

9,11 kg2,00 m/s

1,60 C

12,0 m/s 15,0 m/s 400 T

−

−

−

×10= ×10 −

− ×10

⎡ ⎤− ×10 + ×10 × ×10⎣ ⎦

E i

)6j k i

( ) ( ) ( )11,3875 N/C 6,00 N/C 4,80 N/C= − − −⎡ ⎤⎣ ⎦E i j k

( )11,4 6,00 4,80 N/C≈ − − +E i j k


12. Um elétron com 1,22 keV está circulando num plano ortogonal a um campo magnético

uniforme. O raio da órbita é 24,7 cm. Calcule (a) a velocidade escalar do elétron, (b) o campo magnético, (c) a freqüência de revolução e (d) o período. (Pág. 150)

Solução.

[Início seção] [Início documento] 15. Uma partícula alfa (q = +2e, m = 4,0 u) se move em uma trajetória circular com 4,5 cm de raio,

num campo magnético com B = 1,2 T. Calcule (a) sua velocidade escalar, (b) seu período de revolução, (c) sua energia cinética em eV e (d) a diferença de potencial necessária para que a partícula alcance essa energia. (Pág. 150)

Solução. (a) A força magnética FB que atua sobre a partícula assume a função da força centrípeta FB c do movimento circular. Logo:

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4 c BF F=


2

2mv evBr

=

( )( )( )

( )19

627

2 1,60 C 0,045 m 1, 20 T2 2,6024 m/s6,64 kg

erBvm

−

−

×10= = = ×10

×10

62,6 m/sv ≈ ×10 (b) O período de revolução da partícula vale:

( )( )

76

2 0,045 m2 1,0864 s2,6024 m/s

rTv

ππ −= = = ×10×10

0,11 sT μ≈ (c) A energia cinética da partícula vale:

( )( )22 27 61 1 6,64 kg 2,6024 m/s 2, 2484 J2 2

K mv − −= = ×10 ×10 = ×10 14

14 18 5eV2, 2484 J 6, 242 1, 4034 eVJ

K −= ×10 × ×10 = ×10

0,14 MeVK ≈ (d) A diferença de potencial necessária para que a partícula alfa atinja a energia K é dada pela razão entre a energia da partícula, representada por K e a sua carga q:

( )

( )14

19

2,2484 J70262, V

2 2 1,60 CK KVq e

−

−

×10Δ = = = =

×10

70 kVVΔ ≈

[Início seção] [Início documento] 16. Um feixe de elétrons, cuja energia cinética é K, emerge de uma lâmina fina na “janela” da

extremidade do tubo de um acelerador. Existe uma placa de metal, perpendicular à direção do feixe emergente, a uma distância d desta janela. Veja Fig. 30. (a) Mostre que podemos evitar que o feixe colida com a placa aplicando um campo magnético B, tal que

2 2

2mKBe d

≥ ,

onde m e e são a massa e a carga do elétron. (b) Qual deve ser o sentido de B?


5


x

y

z (Pág. 150)

Solução. (a) Para seguir a trajetória descrita no esquema acima, o feixe de elétrons deve interagir com um campo magnético B que tenha a direção +z. A trajetória será circular com raio d e força centrípeta Fc igual à força magnética FB sobre os elétrons. B

c BF F=

2mv evB

d=

mvBed

=

2 2

22 2

m vBe d

= (1)

A velocidade v dos elétrons pode ser obtida a partir da energia cinética K:

212

K mv=

2 2Kvm

= (2)

Substituindo-se (2) em (1):

2

22 2 2 2

22

KmmKmB

e d e d

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= =

2mKBed

= (3)

Para este valor de campo magnético o feixe de elétrons irá tangenciar a placa metálica. Um valor maior de B aumentará a força centrípeta que, por sua vez, reduzirá o raio da trajetória circular. Isto fará com que o feixe se afaste da placa metálica. Portanto, valores maiores de B, dado por (3) também são soluções para este problema. Logo:

2mKBed

≥

(b) Vetor campo magnético:

2mKed

=B k


6


[Início seção] [Início documento] 22. A Fig. 32 mostra um dispositivo usado para medir as massas dos íons. Um íon de massa m e

carga +q é produzido basicamente em repouso pela fonte S, a partir de uma descarga através do gás no interior de uma câmara. O íon é acelerado por uma diferença de potencial V e penetra um campo magnético B. Ele se move no interior do campo em semicírculo, colidindo com uma chapa fotográfica a uma distância x da fenda de entrada. Mostre que a massa m do íon é dada por

2

2.8B qm xV

= ,

(Pág. 150)

Solução. O movimento do íon no interior da câmara é circular, sendo que a força centrípeta Fc é a força magnética FB: B

c BF F=

2 2 22

2

mv mv mv qvBxr x= = =

2qBm x

v=

2 2

224

q Bmv

= 2x (1)

Agora precisamos determinar a velocidade do íon na câmara. No início do experimento, o íon parte do repouso e é acelerado pela diferença de potencial V. O íon fica sujeito a um movimento com aceleração constante, que pode ser descrito por: (2) 2 2

0 2v v ad= +


7

Na Eq. (2), a velocidade inicial v0 é zero, pois o íon parte do repouso. A aceleração a pode ser obtida por meio da seguinte operação, onde FE é a força elétrica que age no íon, E é o campo elétrico na região onde o íon é acelerado e d é a distância que o íon percorre durante o tempo de aceleração:


E

VqF qE qVdam m m md

= = = = (3)


2 22 qV qVv dmd m

= = (4)


2 2

2 2

24

q Bm xqVm

=

2

2

8qBm x

V=


25. Uma partícula neutra está em repouso num campo magnético uniforme de módulo B. No

instante t = 0 ela decai em duas partículas carregadas de massa m cada uma. (a) Se a carga de uma das partículas é +q, qual a carga da outra? (b) As duas partículas saem em trajetórias distintas situadas num plano perpendicular a B. Momentos depois as partículas colidem. Expresse o tempo, desde o decaimento até a colisão, em função de m, B e q. (Pág. 151)

Solução.

[Início seção] [Início documento] 26. Um dêuteron se desloca no campo magnético de um cíclotron percorrendo uma órbita de 50 cm

de raio. Devido à leve colisão com um alvo, o dêuteron se divide em um próton e u nêutron, com uma perda de energia cinética desprezível. Discuta os movimentos subseqüentes de cada partícula. Suponha que, na quebra, a energia do dêuteron seja igualmente dividida pelo próton e pelo nêutron. (Pág. 151)

Solução.

[Início seção] [Início documento] 27. (a) Qual a velocidade escalar que um próton necessitaria para circular a Terra na altura do

equador, se o campo magnético da Terra é sempre horizontal e perpendicular ao equador naquela região? Devem ser considerados os efeitos relativísticos. Admita que o módulo do campo magnético da Terra, na altura do equador é 41 μT. (b) Represente os vetores velocidade e campo magnético que correspondem a essa situação. (Pág. 151)

Solução.

[Início seção] [Início documento] ________________________________________________________________________________________________________ Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4a Ed. - LTC - 1996. Cap. 34 – O Campo Magnético

8


33. Calcule a distância total percorrida por um dêuteron, num cíclotron, durante o processo de aceleração. Suponha que o potencial entre os dês é de 80 kV, o raio dos dês, 53 cm, e a freqüência do oscilador, 12 MHz. (Pág. 151)

Solução. Nossa abordagem consiste em somar o comprimento de cada uma das trajetórias percorridas pelo dêuteron no ciclotron. Considere o seguinte esquema:

v1

v2

v3

v4

r1

r3

r4

r2v0

d

s1s3

s2

s4

A trajetória total (S) do dêuteron consiste na soma de N trajetórias parciais si (s1, s2, ..., sN), que correspondem cada uma delas a meias circunferências, cada qual com raio ri (r1, r2, ..., rN). Logo:

(1) 1 1 1

N N N

i ii i i

S s rπ π= = =

= = =∑ ∑ ∑ ir

O raio de cada trajetória pode ser obtido pela análise da freqüência natural f de rotação da carga no interior do cíclotron, em que T é o período (constante) de rotação:

12vf

T rπ= =

2

vrfπ

=

O valor de cada raio ri (r1, r2, ..., rN) depende do valor correspondente de cada velocidade vi (v1, v2, ..., vN). Logo:

2

ii

vrfπ

= (2)


1 1

12 2

N Ni

ii i

vSf f

ππ= =

= =∑ v∑ (3)

Agora só falta determinar vi e N para completar o cálculo. Supondo que o dêuteron parte do repouso (v0 = 0) a partir do centro do cíclotron, a velocidade v1 será dada por: (4) 2 2

1 0 2v v ad= +

Nesta equação, a é a aceleração sofrida pelo dêuteron a cada passagem pela zona central do cíclotron, onde o campo elétrico atua sobre ele, e d é a distância de separação dos dês. A aceleração pode ser obtida a partir da força elétrica, por aplicação da segunda lei de Newton: ________________________________________________________________________________________________________ Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4a Ed. - LTC - 1996. Cap. 34 – O Campo Magnético

9


EF ma=

VqE q mad

= =

qVamd

= (5)


21 0

2qVv vm

= +

O valor de v1 é:

( )( )

( )19 3

61 27

2 1,60 10 C 80 10 V20 2,76851 10 m/s3,34 10 kg

qVvm

−

−

× ×= + = = ×

×

De forma geral, teremos:

21

2i i

qVv vm−= +

Vamos analisar uma pequena série de valores de v:

22 1 1

2 2 2 4 22 2qV qV qV qV qVv v vm m m m m

= + = + = = =

23 2 1

2 4 2 6 23 3qV qV qV qV qVv v vm m m m m

= + = + = = =

E assim por diante. Logo:

1iv v i= (5)

A maior velocidade que o dêuteron poderá atingir será vN, o que corresponderá a um raio rN, que é conhecido, pois é o próprio raio do cíclotron. Podemos aplicar este raciocínio combinando as Eqs. (2) e (5):

1

2 2N

Nv v Nr

f fπ π= =

( ) ( )

( )

2 22 62 2 2

22 61

4 12 10 Hz 0,53 m4 208,34 meias-voltas2,76851 10 m/s

Nf rNv

ππ ×= = =

×

208 meias-voltasN ≈Finalmente podemos calcular a trajetória total substituindo (5) em (3):

( )

( ) ( )6208

11 6

1 1

2,76851 10 m/s1 2006,89 231,504 m2 2 2 12 10 Hz

N

i i

vS v i if f= =

×= = = =

×∑ ∑

230 mS ≈

[Início seção] [Início documento] 38. Mostre que a razão entre o campo elétrico Hall E e o campo elétrico Ec, responsável pela

corrente, é ________________________________________________________________________________________________________ Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4a Ed. - LTC - 1996. Cap. 34 – O Campo Magnético

10


c

E BE neρ

= ,

onde ρ é a resistividade do material. (b) Calcule numericamente a razão, no Exemplo 3. Veja Tabela 1, no Cap. 32. (Pág. 152)

Solução. Considere o seguinte esquema:

+ + + + +

+ + + + +

+ + + + +

+ + + + +

+ + + + +

+ + + + +

+ + + + +

+ + + + +

−FE FB

vd

E

i

Ec

B

Quando uma corrente elétrica i trafega por uma chapa metálica sujeita a um campo magnético B ortogonal à chapa, uma força magnética FB atua sobre os elétrons, forçando-os para uma das laterais da chapa (direita, no esquema acima), sendo que o lado oposto fica carregado positivamente. A separação das cargas gera um campo elétrico (campo elétrico Hall, E) que também age sobre os elétrons, por meio de uma força elétrica F

B

E, forçando-os no sentido oposto ao da força magnética. No equilíbrio eletromagnético, teremos: E BF F=

deE ev B=

(1) dE v B=

Na expressão acima, e é carga dos elétrons e vd é a velocidade de deriva dos elétrons na chapa metálica, que está relacionada com a densidade de corrente J por meio da seguinte expressão:

cd

EJ nevρ

= =

Na expressão acima, Ec é o campo elétrico que age na direção da corrente elétrica, sendo este campo o responsável pela corrente, n é o número de portadores de carga por unidade de volume e ρ é a densidade de corrente. Resolvendo-se para Ec: cE ne vdρ= (2)

Dividindo-se (1) por (2):

c

E BE neρ

=


39. Uma tira de metal de 6,5 cm de comprimento por 0,88 cm de largura e 0,76 mm de espessura se

desloca, com velocidade constante v, por um campo magnético B = 1,2 mT perpendicular à tira, conforme ilustra a Fig. 34. Uma diferença de potencial de 3,9 μV é medida entre os pontos x e


11


y. Calcule a velocidade escalar v.

(Pág. 152)

Solução. Considere o seguinte esquema:

+ + + + +

+ + + + +

+ + + + +

+ + + + +

+ + + + +

+ + + + +

+ + + + +

+ + + + +

d

−FE FB

v

E

v

V

A ação do campo magnético (B) sobre os elétrons de condução da tira de metal resulta numa força magnética (FB) sobre os mesmos, dada por: B

B B q= ×F v

Pela regra da mão direita, FB tem sentido apontando de x para y, ao longo da largura da fita (lembre-se que elétrons têm carga negativa, que deve ser levado em conta na equação acima). O acúmulo de elétrons do lado direito da tira de metal gera um campo elétrico (E) cuja força (F

B

0

E) sobre os elétrons, no equilíbrio, deve ser igual à força magnética. +E B =F F 0q q+ × =E v B = − ×E v BO módulo do campo elétrico, que é a razão entre a diferença de potencial V entre as laterais da tira de largura d, é dado por:

VE vBd

= =

Logo:

VvBd

=


12


-6

-3 -3

3,9×10 V 0,3693 /(1,2×10 T).(8,8×10 m)

v m= = s

37 cm/sv ≈

[Início seção] [Início documento] 41. Um fio rígido de 62,0 cm de comprimento e 13,0 g de massa está suspenso por um par de fios

flexíveis, num campo magnético de 440 mT. Determine a intensidade e o sentido da corrente no fio rígido, necessários para anular a tensão nos fios flexíveis de suporte. Veja Fig. 35.

(Pág. 152)

Solução.

[Início seção] [Início documento] 42. Um fio de metal de massa m desliza, sem atrito, sobre dois trilhos horizontais separados por

uma distância d, conforme vemos na Fig. 36. Os trilhos estão num campo magnético uniforme vertical B. Uma corrente constante i, fornecida por um gerador G, passa de um trilho para o outro através do fio de metal, retornando ao gerador. Determine a velocidade (módulo e sentido) do fio em função do tempo, supondo que em t = 0 ele está em repouso.

x y

z

(Pág. 152)

Solução. Considere o esquema abaixo:

i x y

zdF

B

A velocidade do fio em função do tempo é dada por: (1) t= +0v v a

Para o cálculo da aceleração a, primeiro precisamos da força magnética F que age sobre o fio: ________________________________________________________________________________________________________ Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4a Ed. - LTC - 1996. Cap. 34 – O Campo Magnético

13


i= ×F l B ( ) ( )i d B= ×F i k idB= −F jAgora a aceleração pode ser obtida por meio da segunda lei de Newton:

idBm m

−= =

Fa j (2)

Lembrando que o fio parte do repouso, v0 = 0, e substituindo-se (2) em (1):

0 idB tm

−⎛ ⎞= + ⎜ ⎟⎝ ⎠

v j

idBtm

= −v j

Obs.: Neste cálculo foi desprezada a fem induzida devido à variação do fluxo do campo magnético através do circuito, que é provocada pelo movimento do fio. A fem induzida tem sinal contrário à fem do gerador, o que provoca a atenuação da corrente no circuito. O resultado disso é a diminuição da intensidade da força sobre o fio, com as conseqüentes alterações na aceleração e na velocidade do fio.

[Início seção] [Início documento] 43. Considere o projeto de um novo trem elétrico. A máquina seria impulsionada pela força da

componente vertical do campo magnético da Terra sobre um eixo do condutor. a corrente passaria de um trilho para o outro através das rodas e do eixo condutor, retornando à fonte. (a) Qual a corrente necessária para fornecer a modesta força de 10 kN? Considere que a componente vertical do campo magnético da Terra é 10 μT e o comprimento do eixo é de 3,0 m. (b) Qual a potência dissipada em cada ohm de resistência dos trilhos? (c) Esse projeto é totalmente absurdo ou está nos limites de realização? (Pág. 152)

Solução.

[Início seção] [Início documento] 44. A Fig. 37 mostra um fio de uma forma qualquer, que conduz uma corrente i entre os pontos a e

b. O plano do fio é ortogonal a um campo magnético uniforme B. Prove que a força sobre o fio é a mesma, caso a corrente i fluísse entre a e b por um fio reto. (Sugestão: Substitua o fio por uma série de “degraus” paralelos e perpendiculares, à linha reta que une a e b.)

(Pág. 152)


14


Solução.

[Início seção] [Início documento] 46. Um bastão de cobre de 1,15 kg repousa sobre dois trilhos horizontais, separados de 95,0 cm, e

conduz uma corrente de 53,2 A de um trilho para o outro. O coeficiente de atrito estático é 0,58. Determine o menor campo magnético (não necessariamente vertical) que seria capaz de fazer o bastão deslizar. (Pág. 152)

Solução. Considere o esquema abaixo:

N

PFa

Fm

ii

l

xyz

i

Para que a barra horizontal deslize, a força magnética deve ser maior do que a força de atrito estático máxima. No limiar do movimento, teremos: 0+ =a mF F

A força de atrito estático sobre o bastão é descrita pela seguinte equação, onde μe é o coeficiente de atrito estático, m é a massa do bastão de cobre e g a aceleração da gravidade: emgμ= −aF j

Logo: emgμ= − =m aF F j (1)

A força magnética sobre a barra é dada por: , (2) i= ×F l Bonde

. (3) l=l iNa equação acima, l é o comprimento da barra de cobre. Extraindo-se B de (2):

2i

i×

= − ml FBl

(4)

Substituindo-se (1) e (3) em (4)

( ) ( )( )2

eil mgilμ×

= −i j

B

( )2

eil mgilμ

= −B k

emgil

μ= −B k

0,12946 TB =

0,13 TB ≈


15


[Início seção] [Início documento] 47. Um condutor rígido, comprido, está na direção do eixo x e transporta uma corrente de 5,0 A, no

sentido negativo de x. Um campo magnético B = 3i + 8x2j, com x em metros e B em mT, é estabelecido. Calcule a força num segmento de 2,0 m do condutor, entre os pontos x = 1,2 m e x = 3,2 m. (Pág. 153)

Solução.

[Início seção] [Início documento] 49. Uma bobina de uma única espira forma um triângulo retângulo de lados iguais a 50 cm, 120 cm

e 130 cm e conduz uma corrente de 4,00 A. A espira está num campo magnético uniforme de 75,0 mT que tem sentido idêntico ao da corrente na hipotenusa da espira. (a) Determine a força magnética em cada um dos três lados da espira. (b) Mostre que a força magnética total sobre a espira é nula. (Pág. 153)

Solução.

[Início seção] [Início documento] 50. O raio da face de um relógio de parede circular tem 15 cm. Em volta dessa face são enroladas

seis voltas de fio, que conduz uma corrente de 2,0 A no sentido horário. O relógio está dentro de um campo magnético uniforme, constante, de 70 mT (mas continua funcionando perfeitamente). Exatamente às 13:00 h, o ponteiro das horas aponta no sentido do campo magnético externo. (a) Depois de quantos minutos o ponteiro dos minutos apontará no sentido do torque provocado pelo campo magnético sobre o enrolamento? (b) Qual o módulo desse torque? (Pág. 153)

Solução. (a) Considere o esquema abaixo:

12 12

3θB

R

i

x

y

z μx

y

z +

O torque do campo magnético sobre o enrolamento é dado por: (1) = ×τ μ BO enunciado do problema nos revela que o vetor campo magnético B aponta para o marcador “1” do relógio e, portanto, faz um ângulo de θ = 60o com a horizontal. Vetor campo magnético: cos senB Bθ θ= +B i j

O momento magnético das espiras μ (direção e sentido segundo a regra da mão direita) é função no número de espiras N, da corrente i e da área do enrolamento A: NiA= −μ k

Substituindo-se as expressões de μ e B em (1): ________________________________________________________________________________________________________ Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4a Ed. - LTC - 1996. Cap. 34 – O Campo Magnético

16



17

) ( ) ( cos senNiA B Bθ θ= − × +τ k i j

( )sen cosNiAB θ θ= −τ i j

Considerando-se que θ = 60o, percebe-se que τ aponta para a marca “4” do relógio (veja esquema abaixo). Logo, serão necessários 20 min para que o ponteiro dos minutos atinja esta direção.

12 12

3τ

4

(b) O módulo do torque vale:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2sen cos sen cos 1NiAB NiAB NiAB Ni r Bτ θ θ θ θ π= + = + =

( )( ) ( )22 36 2,0 A 0,15 m 70 10 T 0,05937 N.mN ir Bτ π π −= = × =

0,059 N.mτ ≈

[Início seção] [Início documento] 51. Um fio de comprimento L conduz uma corrente i. Mostre que se o fio forma uma bobina

circular, o torque máximo desenvolvido por um determinado campo magnético acontece quando a bobina tem apenas uma espira e seu módulo é dado por

214

L iBτπ

= .

(Pág. 153) Solução. Como o comprimento do fio é fixo, quanto maior o número de espiras menor será a área de cada uma. O comprimento do fio (L) deve ser igual ao número de voltas (N) vezes o comprimento de cada volta (2πr). 2L rNπ=

2

LrNπ

= (1)

O torque da força magnética sobre a espira vale: = ×τ μ B senNiABτ θ= 2( ) senNi r Bτ π θ=

Naturalmente o ângulo θ deverá ser igual a π/2 para maximizar o torque: (2) 2Nir Bτ π=Substituindo-se (1) em (2):

2

2LNi BN

τ ππ

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠


2

4iL B

Nτ

π=

Como τ ∝ 1/N, conclui-se que para maximizar o torque o número de espiras deverá ser o menor possível, ou seja, igual a 1 (N = 1).

2

4iL Bτπ

=


53. A Fig. 40 mostra um fio em anel de raio a, perpendicular à direção de um campo magnético

divergente, radialmente simétrico. O campo magnético tem a mesma intensidade B em todos os pontos do anel, e seu sentido faz um ângulo θ com a normal ao plano do anel em todos os pontos. A ponta torcida do fio não têm nenhum efeito sobre o problema. Se o anel conduz uma corrente i, determine o módulo e o sentido da força que o campo exerce sobre ele, conforme mostrado na figura.

(Pág. 153)

Solução. Considere o seguinte esquema, que mostra a vista lateral do sistema:

dl

BθdF

x y

z

O elemento de força magnética dF que age no anel pode ser decomposta em três componentes, dFx, dFy e dFz: x y zd dF dF dF= + +F i j k

A força total F é obtida por integração ao longo da circunferência do anel: x y zdF dF dF= + +∫ ∫ ∫F i j k

As duas primeiras integrais são nulas devido à simetria envolvida no problema. Logo: sendF θ= ∫F k

B

k

(1)

O elemento de força dF sobre um elemento de fio dl vale: d id= ×F l (2) dF idlB=Substituindo-se (2) em (1):

( )2

0sen sen

aidlB iB dl

πθ θ= =∫ ∫F k

2 senaiBπ θ=F k ________________________________________________________________________________________________________ Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4a Ed. - LTC - 1996. Cap. 34 – O Campo Magnético

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55. A Fig. 41 mostra um cilindro de madeira com massa m = 262 g e comprimento L = 12,7 cm,

com um fio enrolado longitudinalmente em volta dele, de maneira que o plano do enrolamento, com N = 13 voltas, contém o eixo do cilindro e é paralelo a um plano que tem uma inclinação θ com a horizontal. O cilindro está sobre esse plano inclinado, e o conjunto está sendo submetido a um campo magnético uniforme, vertical, de 477 mT. Qual a menor corrente que deve circular no enrolamento, de forma a evitar que o cilindro role para baixo?

(Pág. 153)

Solução. Considere o seguinte esquema, que mostra as forças externas que agem sobre o cilindro:

Fa

N

Fm

−Fm

P

x

y

z

No esquema, foram omitidas as duas forças magnéticas em z, que agem sobre os lados das espiras paralelos à pagina. Para que o cilindro não role rampa abaixo ou acima, o torque resultante em relação ao centro de massa, ou em relação ao ponto de contato do cilindro com a rampa, deve ser zero. Em relação ao centro de massa do cilindro agem apenas os torques devido à força magnética τm e à força de atrito estático τa. Logo:

(1) 0+ =m aτ τ

Note que nem a força peso nem a normal exercem torques em relação ao centro de massa. O torque da força magnética em relação ao eixo do cilindro em z vale:

senNiAB θ= × =mτ μ B k

a

(2) O torque da força de atrito em relação ao mesmo eixo é dado por:

(3) = ×a aτ r F

O cálculo da força de atrito pode ser feito pelas componentes das forças em x e y. Forças em x:

0x axN F− =


19


sen cos 0aN Fθ θ− =

cos

senaFN θ

θ=

(4) Forças em y:

0y ayN F P+ − =

cos senaN F mgθ θ+ = (5) Substituindo-se (4) em (5):

cos cos sen

sena

aF F mgθ θ θ

θ+ =

2 2cos sensenaF mθ θ

θ⎛ ⎞+

=⎜ ⎟⎝ ⎠

g

senaF mg θ= (6) Pode-se agora resolver (3):

senrmg θ= −aτ k (7) Substituindo-se (2) e (7) em (1): sen sen 0NiAB rmgθ θ− =k k (2 )Ni rL B rmg=

2NiLB mg=

( )( )( )( )( )

20, 262 kg 9,81 m/s1,6318 A

2 2 13 0,127 m 0, 477 TmgiNLB

= = =

1,63 Ai ≈



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RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 5.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 2003.

FÍSICA 3


EXERCÍCIOS

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

PROBLEMAS

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[Início documento]



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