Teorema: O n total de subconjuntos ou partes de um conjunto com n elementos 2n.

Dem (mtodo de induo) Provar que a afirmao verdadeira para n=1. O n total de subconjuntos de um conjunto com 1 elemento 21. (Os nicos subconjuntos so o { } e o prprio conjunto.

Dem (mtodo de induo):

Provar que a afirmao verdadeira para n=1. O n total de subconjuntos de um conjunto com 1 elemento 21. (Os nicos subconjuntos so o { } e o prprio conjunto. Hiptese de induo: O n de subconjuntos de um conjunto com p elementos 2p. Tese: O n de subconjuntos de um conjunto com p+1 elementos 2p+1 Seja A um conjunto com p+1 elementos e B um subconjunto de A com p elementos. Seja a o elemento de A que no est em B. Por hiptese de induo, o conjunto B tem 2p subconjuntos que tambm so subconjuntos de A. Assim, 2px2= 2p+1 subconjuntos de A. Provamos que o teorema se verifica para n=1, admitimos a validade para p e provmos que vlida para p+1, logo universal em IN,

Mtodo de induo um processo demonstrar propriedades vlidas no conjunto IN.

Basta demonstrar 2 factos: 1) Mostrar que a propriedade vlida para n=1, para o 1 elemento do conjunto; 2) Provar que se a propriedade vlida para n ento tambm valida para n+1. (hereditariedade)

Exemplo: Verificar o teorema anterior para V={a,e,i,o,u} Quantos subconjuntos podemos formar com: 5C = 1 (vazio) 0 elementos 0 1 elemento? 2 elementos? 3 elementos? 4 elementos?5C = 1 5C 2 5C 3

5

= 10 = 10 5

5C = 4 5C = 5

5 elementos?

1 ( conj. V)

1 +5 + 10 +10 + 5 +1 = 32 = 25.5C 0

+ 5C1+ 5C2 + 5C3 + 5C4 + 5C5 = 25

TRINGULO DE PASCALO tringulo de Pascal um tringulo numrico dispondo-se nmeros inteiros em linhas de atravs do seguinte algoritmo: 1. Na linha 0, escreve 1; 2. Na prxima linha, linha 1, escreve o numero 1 duas vezes; 3. Na linha seguinte, linha 2, escreve o numero 1, um espao em branco, e novamente o nmero um. No espao em branco, soma os dois elementos imediamente acima; 4. Na linha 3, comea escrevendo o nmero 1, depois dois espaos em branco, e por fim o nmero 1 novamente. Em cada espao em branco, escreve a soma dos dois elementos imediatamente acima; 5. Continua o processo aumentando o nmero de espaos em branco a cada linha. O resultado desse algoritmo :

Preenchendo os espaos em branco temos

1

1

1 2 6

1

1

11 4

3

34

11

1 1

5 6 15

10

10

5 15 6

1 1

20

Os nmeros que constituem o tringulo de Pascal resultam do clculo dos valores de nCp, com n,p IN0 e 0pn.

Linhan=0 n=1 n=2 n=33C 4C 0 4C 2C 1C 0 2C 3C 1 4C 1C 0

1C

1

0

1 3C 2

2C

2 3C

2 4C

1 4C

n=4

0

1

3

3

O tringulo de Pascal pode apresentar-se da seguinte forma:

Linhan=00C 0

n=1 n=2

1C

0

1C

1

2C

0

2C

1

2C

2

n=3

3C

0

3C

1

3C

2

3C

1

n=4

4C

0

4C

1

4C

2

4C

3

4C

3

Nota:

nC tambm podem ser escritas k k

n

LINHA0 1 2 3 4 5 6 70 0 1 1 0 1 2 2 2 0 1 2

Coluna 0 Coluna 1

Coluna 2 Coluna 3Coluna 4 Coluna 5 Coluna 6 Coluna 7 Coluna 8

3 3 3 3 0 1 2 3 4 4 4 4 4 0 1 2 3 4 5 5 5 5 5 5 0 1 2 3 4 5 6 6 6 6 6 6 6 0 1 2 3 4 5 6 7 7 7 7 7 7 7 7 0 1 2 3 4 5 6 7 8 8 8 8 8 8 8 8 8 0 1 2 3 4 5 6 7 8

8

Propriedades!) Soma dos elementos de uma linha

2)

nC

0=

1

nC

n=1

Todas as linhas comeam e acabam em 1 Esta propriedade est relacionada com a simetria existente em cada linha do tringulo

3)

nC

p=

nC

n-p

4)

nC + nC nC + nC n+1C n+1C p p p+1= p+1= p+1 p+1

Ex:7C + 7C = 8C 4 5 5

Esta propriedade permite obter os nmeros de cada linha atravs dosvizinhos de cima, somando dois nmeros consecutivos de uma linha obtm-se um nmero da linha seguinteA soma dos nmeros de cada linha o dobro da soma dos nmeros da linha anterior

5)

n

p 0

n+1C

p=

n

p 0

n+1C

p+1

6)

O n de elementos de uma linha n n+1

Aplicaes do Tringulo de Pascal ao estudo das Probabilidades

Lanamento de moedas

Cada fila do tringulo integra o nmero de possibilidades para cada um dos resultados da experincia

1 Moeda 2 Moedas 3 Moedas 4 Moedas EEE EE

1 1 1

1 2

E

N

1

5 Moedas

EEEEE EEEEN EEENN EENNN ENNNN NNNNN

1

EEEE NEEE

1

4

EEN

3

EN

5

10

EENN

6

NNE

3

NN

1

10

ENNN

4

NNN

1

NNNN

1

5

1

Perguntas:

1. O que indica o nmero sobre cada combinao de faces europeia e nacional?2. Se somarmos todos os valores de uma fila, o que indica esse resultado?

respostas:1. Indica o nmero de vezes que se repete essa combinao(recorda que no importa a ordem, s o nmero de faces europeia e nacional. Isto pode interpretar se como o total de possibilidades de obter uma determinada combinao. 2. Indica o total de combinaes possveis de obter ao realizar-se a experincia, ou seja, o nmero total de elementos presentes no espao amostral.

Binmio de Newton Dados a, b R e n N, a expresso (a + b)n chamada binmio de Newton.

De um modo geral, cada linha do Tringulo de Pascal d os coeficientes do desenvolvimento (a+b)n. (a+b)n = nC0 anb0+nC

1

an-1b1 +

nC

2

an-2b2 +.+

nC

p

an-p bp + nCn a0bn

Por exemplo, se quisermos saber o desenvolvimento de (x+y)4, olhando para a Linha 4, temos:

Calculadora Y1= 12 nCp X

2nd Table

Combinaes de 12 p a p