2 - racioc nio l gico-matem tico norestriction

RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO

Didatismo e Conhecimento 1


NÚMEROS INTEIROS E RACIONAIS: OPERAÇÕES (ADIÇÃO, SUBTRAÇÃO, MUL-TIPLICAÇÃO, DIVISÃO, POTENCIAÇÃO);

Números Inteiros

É o conjunto formado pelos números inteiros positivos, zero e números inteiros negativos. O conjunto Z é uma ampliação do conjunto N.

Z= {...-3,-2,-1,0,1,2,3...}

Os subconjuntos de Z são:Z*= {... -3, -2, -1, 1, 2, 3...} * = excluir o zero do conjunto.Z+ = {0, 1, 2, 3, 4...}Z- = {... -3, -2, -1, 0}Z*

+= {1, 2, 3, 4...}Z*

-= {..., -3, -2, -1}

Relação de ordem nos números inteiros

Quando estabelecemos uma relação de ordem entre dois números, estamos identificando se eles são iguais, ou qual deles é o maior. Observe a reta numérica.

Dados dois números inteiros, o maior é o que estiver à direita.Ex: -1 é maior que -3, 4 é maior que zero

Módulo ou valor absoluto

É o número sem considerar o seu sinal. Para indicar módulo escrevemos o número entre barras.

Ex: 3− = 3 5+ = 5

Números opostos ou simétricos

São números com o mesmo valor absoluto e sinais contrários.Ex: +4 e -4 são números opostos ou simétricos.

Adição e subtração de números inteiros

Para juntar números com sinais iguais, adicionamos os valores absolutos e conservamos o sinal. Quando o número tem sinais diferentes, subtraímos os valores absolutos e conservamos o sinal do maior.

Ex: +5+7 = +12-5 -7 = -12+5 –7 = -2-5 +7 = +2

Multiplicação e divisão de números inteiros

Para multiplicar ou dividir números inteiros efetuamos a operação indicada e usamos a regra de sinais abaixo:

+ + = + Sinais iguais, resultado positivo.- - = +

+ - = - Sinais diferentes, resultado negativo.- + = -

Ex: (+4) . (+5) = +20 (+30) : (+6) = +5 (-3) . (-6) = +18 (- 20) : (-5) = +4 (+8) . (-3) = -24 (+18) : (-3) = -6 (-6) (+5) = -30 (- 15) : (+5) = -3

Potenciação e radiciação de números inteiros

Potenciação é uma multiplicação de fatores iguais.Ex: 23= 2.2.2=82 é a base, 3 é o expoente e 8 é a potênciaEstamos trabalhando com números inteiros, portanto pode

aparecer base negativa e positiva.Exemplo: (+3)2= (+3). (+3) = +9(+2)3= (+2). (+2). (+2) = +8(-2)2= (-2). (-2) = +4(-2)3= (-2). (-2). (-2) = -8

Se a base é positiva o resultado é sempre positivo.Se a base é negativa e o expoente é par o resultado é positivo.Se a base é negativa e o expoente é impar o resultado é

negativo

Importante: Todo número elevado a zero é sempre igual a 1.

Raiz quadrada de um número quadrado perfeito é um número positivo cujo quadrado é igual ao número dado.

Ex: 25 =5, pois 52=25

OBS:1- Para multiplicar 3 ou mais números inteiros, multiplicamos

os valores absolutos e todos os números e contamos os sinais negativos. Se o número de negativos for impar e resultado terá sinal negativo, se for par o resultado será positivo.

Ex: (-3). (-5). (+2). (-1) = -30 → 3 negativos(impar), resultado

negativo. (-2). (-3). (+6). (-1).( -2) = +72 → 4 negativos(par), resultado

positivo.

2- Para eliminar parênteses usamos a mesma regra de sinais da multiplicação e da divisão.

Ex: -(+4) = -4-(-5) = +5

Expressões Numéricas em Z

Para resolver uma expressão numérica devemos obedecer a seguinte ordem:



1º) Resolver as potenciações e radiciações na ordem em que aparecem

2º) Resolver as multiplicações e divisões na ordem em que elas aparecem

3º) Resolver as adições e subtrações na ordem em elas aparecem

Há expressões em que aparecem os sinais de associação que devem ser eliminados na seguinte ordem:

1º) ( ) parênteses2º) [ ] colchetes3º) { } chaves

Exercícios Resolvidos

1- Calcule as operações indicadas:

a) (+8) + (-6) – (-3) – (-2)

Resolução+8 -6 +3 +2 = +13 - 6 = +7

b) -(-3). (-5) + (-4)

Resolução+3. (-5)-4 = -15 – 4 = -19

c) (+55): (-5) + (-5). (-2)

Resolução-11+(+10) = -11+10 = -1

2- Quais são os números inteiros entre -2 e 1 incluindo esses dois?

Resolução:-2,-1,0,1

3- Calcule as potências e resolva as operações:(-5)1- [(-2)5: 4-7] + (-1)379. (-5)2R

Resolução:

5-[-32:4-7]+(-1).(+25)-5-[-8-7]+(-25)5-[-15]-25-5+15-25+10 -25 -15

Números Racionais - Q

Um número racional é o que pode ser escrito na forma mn

, onde m e n são números inteiros, sendo que n deve ser diferente de zero. Frequentemente usamos m/n para significar a divisão de m por n.

Como podemos observar, números racionais podem ser obti-dos através da razão entre dois números inteiros, razão pela qual, o conjunto de todos os números racionais é denotado por Q. Assim, é comum encontrarmos na literatura a notação:

Q = { mn : m e n em Z, n diferente de zero}

No conjunto Q destacamos os seguintes subconjuntos:

- Q* = conjunto dos racionais não nulos;- Q+ = conjunto dos racionais não negativos;- Q*+ = conjunto dos racionais positivos;- Q _ = conjunto dos racionais não positivos;- Q*_ = conjunto dos racionais negativos.

Representação Decimal das Frações

Tomemos um número racional pq

, tal que p não seja múltiplo

de q. Para escrevê-lo na forma decimal, basta efetuar a divisão do

numerador pelo denominador. Nessa divisão podem ocorrer dois casos:

1º) O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, um número finito de algarismos. Decimais Exatos:

25

= 0,4

14

= 0,25

35 4

= 8,75

153 50

= 3,06

2º) O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, infinitos algarismos (nem todos nulos), repetindo-se periodicamente. Decimais Periódicos ou Dízimas Periódicas:

13

= 0,333...

122

= 0,04545...

167 66

= 2,53030...

Representação Fracionária dos Números Decimais

Trata-se do problema inverso: estando o número racional escrito na forma decimal, procuremos escrevê-lo na forma de fração. Temos dois casos:

1º) Transformamos o número em uma fração cujo numerador é o número decimal sem a vírgula e o denominador é composto pelo numeral 1, seguido de tantos zeros quantas forem as casas decimais do número decimal dado:



0,9 = 910

5,7 = 5710

0,76 = 76100

3,48 = 348100

0,005 = 51000

= 1200

2º) Devemos achar a fração geratriz da dízima dada; para tanto, vamos apresentar o procedimento através de alguns exemplos:

Exemplo 1

Seja a dízima 0, 333... .

Façamos x = 0,333... e multipliquemos ambos os membros por 10: 10x = 0,333

Subtraindo, membro a membro, a primeira igualdade da segunda:

10x – x = 3,333... – 0,333... ⇒ 9x = 3 ⇒ x = 3/9

Assim, a geratriz de 0,333... é a fração 39

.

Exemplo 2

Seja a dízima 5, 1717...

Façamos x = 5,1717... e 100x = 517,1717... .Subtraindo membro a membro, temos:99x = 512 ⇒ x = 512/99

Assim, a geratriz de 5,1717... é a fração 512 99

.

Exemplo 3

Seja a dízima 1, 23434...

Façamos x = 1,23434... 10x = 12,3434... 1000x = 1234,34... .Subtraindo membro a membro, temos:990x = 1234,34... – 12,34... ⇒ 990x = 1222 ⇒ x = 1222/990

Simplificando, obtemos x = 611 495

, a fração geratriz da dízima 1, 23434...

Módulo ou valor absoluto: É a distância do ponto que representa esse número ao ponto de abscissa zero.

Exemplo: Módulo de - 32

é 32

. Indica-se 32

- = 32

Módulo de + 32

é 32

. Indica-se 32

+ = 32

Números Opostos: Dizemos que – 32

e 32

são números

racionais opostos ou simétricos e cada um deles é o oposto do

outro. As distâncias dos pontos – 32

e 32

ao ponto zero da reta são iguais.

Soma (Adição) de Números Racionais

Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito na forma de uma fração, definimos a adição entre os números

racionais ab

e cd

, da mesma forma que a soma de frações,

através de:

ab

+ cd

= ad + bc bd

Propriedades da Adição de Números Racionais

O conjunto Q é fechado para a operação de adição, isto é, a soma de dois números racionais ainda é um número racional.

- Associativa: Para todos a, b, c em Q: a + ( b + c ) = ( a + b ) + c

- Comutativa: Para todos a, b em Q: a + b = b + a- Elemento neutro: Existe 0 em Q, que adicionado a todo q em

Q, proporciona o próprio q, isto é: q + 0 = q- Elemento oposto: Para todo q em Q, existe -q em Q, tal que

q + (–q) = 0

Subtração de Números Racionais

A subtração de dois números racionais p e q é a própria operação de adição do número p com o oposto de q, isto é: p – q = p + (–q)

Multiplicação (Produto) de Números Racionais

Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito na forma de uma fração, definimos o produto de dois números racionais a

be c

d, da mesma forma que o produto de frações,

através de:

ab x c

d = ac

bd

O produto dos números racionais a e b também pode ser indicado por a × b, axb, a.b ou ainda ab sem nenhum sinal entre as letras.

Para realizar a multiplicação de números racionais, devemos obedecer à mesma regra de sinais que vale em toda a Matemática:

(+1) × (+1) = (+1)(+1) × (-1) = (-1)(-1) × (+1) = (-1)(-1) × (-1) = (+1)



Podemos assim concluir que o produto de dois números com o mesmo sinal é positivo, mas o produto de dois números com sinais diferentes é negativo.

Propriedades da Multiplicação de Números Racionais

O conjunto Q é fechado para a multiplicação, isto é, o produto de dois números racionais ainda é um número racional.

- Associativa: Para todos a, b, c em Q: a × ( b × c ) = ( a × b ) × c

- Comutativa: Para todos a, b em Q: a × b = b × a- Elemento neutro: Existe 1 em Q, que multiplicado por todo

q em Q, proporciona o próprio q, isto é: q × 1 = q

- Elemento inverso: Para todo q = ab

em Q, q diferente de zero, existe q-1 =

ba

em Q: q × q-1 = 1 ab

x ba

= 1

- Distributiva: Para todos a, b, c em Q: a × ( b + c ) = ( a × b ) + ( a × c )

Divisão de Números Racionais

A divisão de dois números racionais p e q é a própria operação de multiplicação do número p pelo inverso de q, isto é: p ÷ q = p × q-1

Potenciação de Números Racionais

A potência qn do número racional q é um produto de n fatores iguais. O número q é denominado a base e o número n é o expoente.

qn = q × q × q × q × ... × q, (q aparece n vezes)

Exemplos:

a) 25

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟3

= 25

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ .25

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ .25

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

8125

b) − 12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = − 1

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ . −

12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ . −

12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = − 1

8

c) (–5)² = (–5) . ( –5) = 25

d) (+5)² = (+5) . (+5) = 25

Propriedades da Potenciação: Toda potência com expoente 0 é igual a 1.

+ 25

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟0

= 1

- Toda potência com expoente 1 é igual à própria base.

− 94

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟1

= - 94

- Toda potência com expoente negativo de um número racional diferente de zero é igual a outra potência que tem a base igual ao inverso da base anterior e o expoente igual ao oposto do expoente anterior.

− 35

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟−2

. − 53

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2

= 259

- Toda potência com expoente ímpar tem o mesmo sinal da base.

23

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟3

= 23

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ .23

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ .23

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

827

- Toda potência com expoente par é um número positivo.

− 15

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2

= − 15

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ . −

15

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

125

- Produto de potências de mesma base. Para reduzir um produto de potências de mesma base a uma só potência, conservamos a base e somamos os expoentes.

25

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2

. 25

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟3

= 25.25

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ .25.25.25

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

25

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2+3

= 25

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟5

- Quociente de potências de mesma base. Para reduzir um quociente de potências de mesma base a uma só potência, conservamos a base e subtraímos os expoentes.

32

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟5

. 32

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟3

=

32. 32. 32. 32. 32

32. 32

= 32

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟5−2

= 32

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟3

- Potência de Potência. Para reduzir uma potência de potência a uma potência de um só expoente, conservamos a base e multiplicamos os expoentes

12

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

3

= 12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2

. 12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2

. 12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2

= 12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2+2+2

= 12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟3+2

= 12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟6

Radiciação de Números Racionais

Se um número representa um produto de dois ou mais fatores iguais, então cada fator é chamado raiz do número. Vejamos alguns exemplos:

Exemplo 1

4 Representa o produto 2 . 2 ou 22. Logo, 2 é a raiz quadrada de 4. Indica-se √4= 2.

Exemplo 2

19

Representa o produto 13

. 13

ou 13

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2

. Logo, 13

é a raiz

quadrada de 19

.Indica-se 19

= 13



Exemplo 3

0,216 Representa o produto 0,6 . 0,6 . 0,6 ou (0,6)3. Logo, 0,6 é a raiz cúbica de 0,216. Indica-se 0,2163 = 0,6.

Assim, podemos construir o diagrama:

N Z Q

Um número racional, quando elevado ao quadrado, dá o número zero ou um número racional positivo. Logo, os números racionais negativos não têm raiz quadrada em Q.

O número -100 9

não tem raiz quadrada em Q, pois tanto -10 3

como +10 3

, quando elevados ao quadrado, dão 100 9

.

Um número racional positivo só tem raiz quadrada no conjunto dos números racionais se ele for um quadrado perfeito.

O número 23

não tem raiz quadrada em Q, pois não existe

número racional que elevado ao quadrado dê 23

.

Exercícios

1. Calcule o valor das expressões numéricas:

a) 724

− 512

− 18

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ − − 7

6+ 34

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

b) + 316

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ : − 1

12⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

52

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥− 94− 72

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2. Escreva o produto 73

32.

32

+

+ como uma só potência.

3. Escreva o quociente − 1625

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟12

: − 1625

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟4

como uma só potência.

4. Qual é o valor da expressão −1324

− 12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟3

: + 34

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ?

5. Para encher um álbum de figurinhas, Karina contribuiu com 16

das figurinhas, enquanto Cristina contribuiu com das figurinhas

34

. Com que fração das figurinhas as duas juntas contribuíram?

6. Ana está lendo um livro. Em um dia ela leu 14

do livro e no

dia seguinte leu 16

do livro. Então calcule:

a) A fração do livro que ela já leu.b) A fração do livro que falta para ela terminar a leitura.

7. Em um pacote há 45

de 1 Kg de açúcar. Em outro pacote

há 13

. Quantos quilos de açúcar o primeiro pacote tem a mais que o segundo?

8. A rua onde Cláudia mora está sendo asfaltada. Os 59

da rua

já foram asfaltados. Que fração da rua ainda resta asfaltar?

9. No dia do lançamento de um prédio de apartamentos, 13

desses apartamentos foi vendido e 16

foi reservado. Assim:

a) Qual a fração dos apartamentos que foi vendida e reservada?b) Qual a fração que corresponde aos apartamentos que não

foram vendidos ou reservados?

10. Transforme em fração:a) 2,08b) 1,4c) 0,017d) 32,17

Respostas

1) Solução

a) 724

− 512

− 18

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ − − 7

6+ 34

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥= 724

− 10 − 324

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

−14 + 912

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

724

− 724

+ 512

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

724

− 7 +1024

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

724

− 1724

= − 1024

= − 512

b) + 316

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ : − 1

12⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

52

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥− 94− 72

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

316− 112

+ 52

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥− 9 −14

4⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

3616

− 52

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ − − 5

4⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− 94+ 52+ 54= −9 +10 + 5

4= 64= 32

mmc:(4;2)=4

2) Solução:

+ 23

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟10



3) Solução:

− 1625

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟8

4) Solução:

− 1324

− − 12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟3

: + 34

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

1324

− 18: 34

− 1324

+ 424

= −13+ 424

= − 924

= − 38

5) Resposta 1112Solução:

16

+ 34

= 212

+ 912

= 1112

6) Solução:

a) 14

+ 16

= 312

+ 212

= 512

b) 1- 512

= 1212

- 512

= 712

7) Respostas 715Solução:

45 - 1

3 = 12

15 - 5

15 = 7

15

8) Resposta 49Solução:

1 - 59 = 9

9 - 5

9 = 4

9

9) Solução:

a) 13 + 1

6 = 26

+ 16 = 3

6 = 12

b) 1- 12

= 22

- 12

= 12

10) Solução:

a) 2,08 → 208100

= 5225

b) 1,4 → 1410

= 75

c) 0,017 → 171000

d) 32,17 → 3217100

EXPRESSÕES NUMÉRICAS;

Expressões Algébricas são aquelas que contêm números e letras.

Ex: 2ax²+bx

Variáveis são as letras das expressões algébricas que repre-sentam um número real e que de princípio não possuem um valor definido.

Valor numérico de uma expressão algébrica é o número que obtemos substituindo as variáveis por números e efetuamos suas operações.

Ex: Sendo x =1 e y = 2, calcule o valor numérico (VN) da expressão:

x² + y » 1² + 2 =3 Portando o valor numérico da expressão é 3.

Monômio: os números e letras estão ligados apenas por pro-dutos.

Ex : 4x

Polinômio: é a soma ou subtração de monômios. Ex: 4x+2y

Termos semelhantes: são aqueles que possuem partes literais iguais ( variáveis )

Ex: 2 x³ y² z e 3 x³ y² z » são termos semelhantes pois pos-suem a mesma parte literal.

Adição e Subtração de expressões algébricas Para determinarmos a soma ou subtração de expressões algé-

bricas, basta somar ou subtrair os termos semelhantes. Assim: 2 x³ y² z + 3x³ y² z = 5x³ y² z ou 2 x³ y² z - 3x³ y² z

= -x³ y² z

Convém lembrar dos jogos de sinais. Na expressão ( x³ + 2 y² + 1 ) – ( y ² - 2 ) = x³ +2 y² + 1 – y²

+ 2 = x³ + y² +3

Multiplicação e Divisão de expressões algébricasNa multiplicação e divisão de expressões algébricas, devemos

usar a propriedade distributiva.Exemplos:1) a ( x+y ) = ax + ay 2) (a+b)(x+y) = ax + ay + bx + by 3) x ( x ² + y ) = x³ + xy

Para multiplicarmos potências de mesma base, conservamos a base e somamos os expoentes.

Na divisão de potências devemos conservar a base e subtrair os expoentes



Exemplos:

1) 4x² : 2 x = 2 x

2) ( 6 x³ - 8 x ) : 2 x = 3 x² - 4

3) (x4 - 5x3 + 9x2 - 7x+2) :(x2 - 2x + 1) = x2 - 3x +2

Resolução:

x4 - 5x3 + 9x2 - 7x+2 x2 - 2x + 1-x4 + 2x3 - x2 x2 - 3x + 2 -3x3 + 8x2 -7x 3x3 - 6x2 -3x 2x2 - 4x + 2 -2x2 + 4x - 2 0

Para iniciarmos as operações devemos saber o que são termos semelhantes.

Dizemos que um termo é semelhante do outro quando suas partes literais são idênticas.

Veja:

5x2 e 42x são dois termos, as suas partes literais são x2 e x, as letras são iguais, mas o expoente não, então esses termos não são semelhantes.

7ab2 e 20ab2 são dois termos, suas partes literais são ab2 e ab2, observamos que elas são idênticas, então podemos dizer que são semelhantes.

Adição e subtração de monômios

Só podemos efetuar a adição e subtração de monômios entre termos semelhantes. E quando os termos envolvidos na operação de adição ou subtração não forem semelhantes, deixamos apenas a operação indicada.

Veja: Dado os termos 5xy2, 20xy2, como os dois termos são

semelhantes eu posso efetuar a adição e a subtração deles. 5xy2 + 20xy2 devemos somar apenas os coeficientes e

conservar a parte literal. 25 xy2

5xy2 - 20xy2 devemos subtrair apenas os coeficientes e conservar a parte literal.

- 15 xy2

Veja alguns exemplos: - x2 - 2x2 + x2 como os coeficientes são frações devemos tirar

o mmc de 6 e 9.

3x2 - 4 x2 + 18 x2

1817x2 18

- 4x2 + 12y3 – 7y3 – 5x2 devemos primeiro unir os termos semelhantes. 12y3 – 7y3 + 4x2 – 5x2 agora efetuamos a soma e a subtração.

-5y3 – x2 como os dois termos restantes não são semelhantes, devemos deixar apenas indicado à operação dos monômios.

Reduza os termos semelhantes na expressão 4x2 – 5x -3x + 2x2. Depois calcule o seu valor numérico da expressão. 4x2 – 5x - 3x + 2x2 reduzindo os termos semelhantes. 4x2 + 2x2 – 5x - 3x

6x2 - 8x os termos estão reduzidos, agora vamos achar o valor numérico dessa expressão.

Para calcularmos o valor numérico de uma expressão devemos ter o valor de sua incógnita, que no caso do exercício é a letra x.

Vamos supor que x = - 2, então substituindo no lugar do x o -2 termos:

6x2 - 8x 6 . (-2)2 – 8 . (-2) = 6 . 4 + 16 = 24 + 16 40

Multiplicação de monômios

Para multiplicarmos monômios não é necessário que eles sejam semelhantes, basta multiplicarmos coeficiente com coeficiente e parte literal com parte literal. Sendo que quando multiplicamos as partes literais devemos usar a propriedade da potência que diz: am . an = am + n (bases iguais na multiplicação repetimos a base e somamos os expoentes).

(3a2b) . (- 5ab3) na multiplicação dos dois monômios, devemos multiplicar os coeficientes 3 . (-5) e na parte literal multiplicamos as que têm mesma base para que possamos usar a propriedade am . an = am + n.

3 . ( - 5) . a2 . a . b . b3

-15 a2 +1 b1 + 3 -15 a3b4

Divisão de monômios

Para dividirmos os monômios não é necessário que eles sejam semelhantes, basta dividirmos coeficiente com coeficiente e parte literal com parte literal. Sendo que quando dividirmos as partes literais devemos usar a propriedade da potência que diz: am : an = am - n (bases iguais na divisão repetimos a base e diminuímos os expoentes), sendo que a ≠ 0.

(-20x2y3) : (- 4xy3) na divisão dos dois monômios, devemos dividir os coeficientes -20 e - 4 e na parte literal dividirmos as que têm mesma base para que possamos usar a propriedade am : an = am – n.

-20 : (– 4) . x2 : x . y3 : y3 5 x2 – 1 y3 – 3 5x1y0

5x



Potenciação de monômios

Na potenciação de monômios devemos novamente utilizar uma propriedade da potenciação:

(I) (a . b)m = am . bm (II) (am)n = am . n

Veja alguns exemplos:

(-5x2b6)2 aplicando a propriedade

(I). (-5)2 . (x2)2 . (b6)2 aplicando a propriedade(II) 25 . x4 . b12 25x4b12

Binômio

Denomina-se Binômio de Newton , a todo binômio da forma (a + b)n , sendo n um número natural .

Exemplo: B = (3x - 2y)4 ( onde a = 3x, b = -2y e n = 4 [grau do binô-

mio] ).

Exemplos de desenvolvimento de binômios de Newton :

a) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

b) (a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3ab2 + b3

c) (a + b)4 = a4 + 4 a3b + 6 a2b2 + 4ab3 + b4 d) (a + b)5 = a5 + 5 a4b + 10 a3b2 + 10 a2b3 + 5ab4 + b5

Nota:

Não é necessário memorizar as fórmulas acima, já que elas possuem uma lei de formação bem definida, senão vejamos:

Vamos tomar, por exemplo, o item (d) acima:Observe que o expoente do primeiro e últimos termos são

iguais ao expoente do binômio, ou seja, igual a 5. A partir do segundo termo, os coeficientes podem ser obtidos

a partir da seguinte regra prática de fácil memorização: Multiplicamos o coeficiente de a pelo seu expoente e dividi-

mos o resultado pela ordem do termo. O resultado será o coeficien-te do próximo termo. Assim por exemplo, para obter o coeficiente do terceiro termo do item (d) acima teríamos:

5.4 = 20; agora dividimos 20 pela ordem do termo anterior (2 por se tratar do segundo termo) 20:2 = 10 que é o coeficiente do terceiro termo procurado.

Observe que os expoentes da variável a decrescem de n até 0 e os expoentes de b crescem de 0 até n. Assim o terceiro termo é 10 a3b2 (observe que o expoente de a decresceu de 4 para 3 e o de b cresceu de 1 para 2).

Usando a regra prática acima, o desenvolvimento do binômio de Newton (a + b)7 será:

(a + b)7 = a7 + 7 a6b + 21 a5b2 + 35 a4b3 + 35 a3b4 + 21 a2b5 + 7 ab6 + b7

Como obtivemos, por exemplo, o coeficiente do 6º termo (21 a2b5) ?

Pela regra: coeficiente do termo anterior = 35. Multiplicamos 35 pelo expoente de a que é igual a 3 e dividimos o resultado pela ordem do termo que é 5.

Então, 35 . 3 = 105 e dividindo por 5 (ordem do termo ante-rior) vem 105:5 = 21, que é o coeficiente do sexto termo, conforme se vê acima.

Observações:

1) o desenvolvimento do binômio (a + b)n é um polinômio.2) o desenvolvimento de (a + b)n possui n + 1 termos .3) os coeficientes dos termos equidistantes dos extremos , no

desenvolvimento De (a + b)n são iguais .4) a soma dos coeficientes de (a + b)n é igual a 2n .

Fórmula do termo geral de um Binômio de Newton

Um termo genérico Tp+1 do desenvolvimento de (a+b)n , sendo p um número natural, é dado por

Tp+1 =np

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟.an−p .bp

onde

np

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= Cn.p =

n!p!(n − p)!

é denominado Número Binomial e Cn.p é o número de combi-nações simples de n elementos, agrupados p a p, ou seja, o número de combinações simples de n elementos de taxa p.

Este número é também conhecido como Número Combina-tório.

Exercícios

1. Determine o 7º termo do binômio (2x + 1)9, desenvolvido segundo as potências decrescentes de x.

2. Qual o termo médio do desenvolvimento de (2x + 3y)8?

3. Desenvolvendo o binômio (2x - 3y)3n, obtemos um polinô-mio de 16 termos. Qual o valor de n?

4. Determine o termo independente de x no desenvolvimento de (x + 1/x )6.

5. Calcule: (3x²+2x-1) + (-2x²+4x+2).

6. Efetue e simplifique o seguinte calculo algébrico: (2x+3).(4x+1).

7. Efetue e simplifique os seguintes cálculos algébricos:a) (x - y).(x² - xy + y²)b) (3x - y).(3x + y).(2x - y)



8. Dada a expressão algébrica bc – b2, determine o seu valor numérico quando b = 2,2 e c = 1,8.

9. Calcule o valor numérico da expressão 2x3 – 10y, quando x = -3 e y = -4.

10. Um caderno curta y reais. Gláucia comprou 4 cadernos, Cristina comprou 6 cadernos, e Karina comprou 3. Qual é o monô-mio que expressa a quantia que as três gastaram juntas?

Respostas

1) Resposta “672x3”.Solução: Primeiro temos que aplicar a fórmula do termo geral

de (a + b)n, onde:a = 2x b = 1n = 9 Como queremos o sétimo termo, fazemos p = 6 na fórmula do

termo geral e efetuamos os cálculos indicados.

Temos então:

T6+1 = T7 = C9,6 . (2x)9-6 × (1)6 = 9![(9-6)! x6!]

×(2x)3×1= 9.8.7.6! 3.2.1.6! ×8x³=672x³

Portanto o sétimo termo procurado é 672x3.

2) Resposta “90720x4y4”.Solução: Temos:a = 2x b = 3yn = 8

Sabemos que o desenvolvimento do binômio terá 9 termos, porque n = 8. Ora sendo T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 os termos do desenvolvimento do binômio, o termo do meio (termo médio) será o T5 (quinto termo).

Logo, o nosso problema resume-se ao cálculo do T5. Para isto, basta fazer p = 4 na fórmula do termo geral e efetuar os cálcu-los decorrentes. Teremos:

T4+1 = T5 = C8,4 . (2x)8-4 . (3y)4 = 8![(8-4)! .4!]

. (2x)4 . (3y)4 = 8.7.6.5.4!(4!.4.3.2.1

. 16x4 . 81y4

Fazendo as contas vem:

T5 = 70.16.81.x4 . y4 = 90720x4y4 , que é o termo médio pro-curado.

3) Resposta “5”.Solução: Ora, se o desenvolvimento do binômio possui 16 ter-

mos, então o expoente do binômio é igual a 15. Logo, 3n = 15 de onde se conclui que n = 5.

4) Resposta “20”.Solução: Sabemos que o termo independente de x é aquele

que não depende de x, ou seja, aquele que não possui x.Temos no problema dado:a = x

b = 1x

n = 6.

Pela fórmula do termo geral, podemos escrever:

Tp+1 = C6,p . x6-p . ( 1

x)p = C6,p . x

6-p . x-p = C6,p . x6-2p.

Ora, para que o termo seja independente de x, o expoente des-ta variável deve ser zero, pois x0 = 1.

Logo, fazendo 6 - 2p = 0, obtemos p = 3. Substituindo então p por 6, teremos o termo procurado. Temos então:

T3+1 = T4 = C6,3 . x0 = C6,3 =

6![(6-3)!.3!]

= 6.5.4.3! 3!.2.1

=20

Logo, o termo independente de x é o T4 (quarto termo) que é igual a 20.

5) Solução: (3x²+2x-1) + (-2x²+4x+2)3x² + 2x – 1 – 2x² + 4x + 2 = x² + 6x + 16) Solução:(2x+3).(4x+1)8x² + 2x + 12x + 3 =8x² + 14x + 3

7) a - Solução:(x - y).(x² - xy + y²)x³ - x²y + xy² - x²y + xy² - y³ =x³ - 2x²y + 2xy² - y³ =

b - Solução:(3x - y).(3x + y).(2x - y)(3x - y).(6x² - 3xy + 2xy - y²) =(3x - y).(6x² - xy - y²) =18x³ - 3x²y - 3xy² - 6x²y + xy² + y³ =18x³ - 9x²y - 2xy² + y³

8) Resposta “-0,88”.Solução:bc – b2 = 2,2 . 1,8 – 2,22 = (Substituímos as letras pelos valores passa-

dos no enunciado) 3,96 – 4,84 = -0,88.Portanto, o valor procurado é 0,88.

9) Resposta “-14”.Solução: 2x3 – 10y =2.(-3)² - 10.(-4) = (Substituímos as letras pelos valores do

enunciado da questão)2.(27) – 10.(-4) =



(-54) – (-40) = -54 + 40 = -14.

Portanto -14 é o valor procurado na questão.

10) Resposta “13y reais”.Solução: Como Gláucia gastou 4y reais, Cristina 6y reais e

Karina 3y reais, podemos expressar essas quantias juntas por:

4y + 6y + 3y = (4 + 6 + 3)y = 13y

Importante: Numa expressão algébrica, se todos os monômios ou termos são semelhantes, podemos tornar mais simples a expres-são somando algebricamente os coeficientes numéricos e manten-do a parte literal.

MÚLTIPLOS E DIVISORES DE NÚMEROS NATURAIS;

Sabemos que 30 : 6 = 5, porque 5 x 6 = 30.

Podemos dizer então que:

“30 é divisível por 6 porque existe um numero natural (5) que multiplicado por 6 dá como resultado 30.”

Um numero natural a é divisível por um numero natural b, não-nulo, se existir um número natural c, tal que c . b = a.

Ainda com relação ao exemplo 30 : 6 = 5, temos que:30 é múltiplo de 6, e 6 é divisor de 30.

Conjunto dos múltiplos de um número natural: É obtido multiplicando-se esse número pela sucessão dos números naturais: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,...

Para acharmos o conjunto dos múltiplos de 7, por exemplo, multiplicamos por 7 cada um dos números da sucessão dos naturais:

7 x 0 = 07 x 1 = 77 x 2 = 147 x 3 = 217 x 4 = 287 x 5 = 35

O conjunto formado pelos resultados encontrados forma o conjunto dos múltiplos de 7: M(7) = {0, 7, 14, 21, 28,...}.

Observações:

- Todo número natural é múltiplo de si mesmo.- Todo número natural é múltiplo de 1.- Todo número natural, diferente de zero, tem infinitos

múltiplos.- O zero é múltiplo de qualquer número natural.

- Os múltiplos do número 2 são chamados de números pares, e a fórmula geral desses números é 2 k (k∈N). Os demais são chamados de números ímpares, e a fórmula geral desses números é 2 k + 1 (k∈ N).

Critérios de divisibilidade: São regras práticas que nos possibilitam dizer se um número é ou não divisível por outro, sem efetuarmos a divisão.

Divisibilidade por 2: Um número é divisível por 2 quando termina em 0, 2, 4, 6 ou 8, ou seja, quando ele é par.

Exemplos:

a) 9656 é divisível por 2, pois termina em 6.b) 4321 não é divisível por 2, pois termina em 1.

Divisibilidade por 3: Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos é divisível por 3.

Exemplos:

a) 65385 é divisível por 3, pois 6 + 5 + 3 + 8 + 5 = 27, e 27 é divisível por 3.

b) 15443 não é divisível por 3, pois 1+ 5 + 4 + 4 + 3 = 17, e 17 não é divisível por 3.

Divisibilidade por 4: Um número é divisível por 4 quando seus dois algarismos são 00 ou formam um número divisível por 4.

Exemplos:

a) 536400 é divisível por 4, pois termina em 00.b) 653524 é divisível por 4, pois termina em 24, e 24 é

divisível por 4.c) 76315 não é divisível por 4, pois termina em 15, e 15 não

é divisível por 4.

Divisibilidade por 5: Um número é divisível por 5 quando termina em 0 ou 5.

Exemplos:

a) 35040 é divisível por 5, pois termina em 0.b) 7235 é divisível por 5, pois termina em 5.c) 6324 não é divisível por 5, pois termina em 4.

Divisibilidade por 6: Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3.

Exemplos:

a) 430254 é divisível por 6, pois é divisível por 2 e por 3 (4 + 3 + 0 + 2 + 5 + 4 = 18).

b) 80530 não é divisível por 6, pois não é divisível por 3 (8 + 0 + 5 + 3 + 0 = 16).

c) 531561 não é divisível por 6, pois não é divisível por 2.



Divisibilidade por 7: Um número é divisível por 7 quando a diferença entre o dobro do último algarismo e o número formado pelos demais algarismos resulta um número divisível por 7

Exemplo: 41909 é divisível por 7 conforme podemos confe-rir: 9+9=18 4190-18=4172 2+2=4 417-4=413 3+3=6 41-6=35 que dividido por 7 é igual a 5.

Divisibilidade por 8: Um número é divisível por 8 quando seus três últimos algarismos forem 000 ou formarem um número divisível por 8.

Exemplos:

a) 57000 é divisível por 8, pois seus três últimos algarismos são 000.

b) 67024 é divisível por 8, pois seus três últimos algarismos formam o número 24, que é divisível por 8.

c) 34125 não é divisível por 8, pois seus três últimos algarismos formam o número 125, que não é divisível por 8.

Divisibilidade por 9: Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos formam um número divisível por 9.

Exemplos:

a) 6253461 é divisível por 9, pois 6 + 2 + 5 + 3 + 4 + 6 + 1 = 27 é divisível por 9.

b) 325103 não é divisível por 9, pois 3 + 2 + 5 + 1 + 0 + 3 = 14 não é divisível por 9.

Divisibilidade por 10: Um número é divisível por 10 quando termina em zero.

Exemplos:

a) 563040 é divisível por 10, pois termina em zero.b) 246321 não é divisível por 10, pois não termina em zero.

Divisibilidade por 11: Um número é divisível por 11 quando a diferença entre a soma dos algarismos de posição ímpar e a soma dos algarismos de posição par resulta em um número divisível por 11.

Exemplos:a) 1º 3º 5º Algarismos de posição ímpar.(Soma dos

algarismos de posição impar: 4 + 8 + 3 = 15.) 4 3 8 1 3 2º 4º Algarismos de posição par.(Soma dos algarismos

de posição par:3 + 1 = 4)

15 – 4 = 11 diferença divisível por 11. Logo 43813 é divisível por 11.

b) 1º 3º 5º 7º (Soma dos algarismos de posição ímpar:8 + 4 + 5 + 2 = 19)

8 3 4 1 5 7 2 1 2º 4º 6º 8º (Soma dos algarismos de posição

par:3 + 1 + 7 + 1 = 12)

19 – 12 = 7 diferença que não é divisível por 11. Logo 83415721 não é divisível por 11.


Exemplos:

a) 78324 é divisível por 12, pois é divisível por 3 ( 7 + 8 + 3 + 2 + 4 = 24) e por 4 (termina em 24).

b) 652011 não é divisível por 12, pois não é divisível por 4 (termina em 11).

c) 863104 não é divisível por 12, pois não é divisível por 3 ( 8 + 6 + 3 +1 + 0 + 4 = 22).


Exemplos:

a) 650430 é divisível por 15, pois é divisível por 3 ( 6 + 5 + 0 + 4 + 3 + 0 =18) e por 5 (termina em 0).

b) 723042 não é divisível por 15, pois não é divisível por 5 (termina em 2).

c) 673225 não é divisível por 15, pois não é divisível por 3 ( 6 + 7 + 3 + 2 + 2 + 5 = 25).

Exercícios

1. Escreva os elementos dos conjuntos dos múltiplos de 5 menores que 30.

2. Escreva os elementos dos conjuntos dos múltiplos de 8 compreendidos entre 30 e 50.

3. Qual é o menor número que devemos somar a 36 para obter um múltiplo de 7?

4. Como são chamados os múltiplos de 2?

5. Verifique se os números abaixo são divisíveis por 4.a) 23418 b) 65000 c) 38036 d) 24004 e) 58617

6. Escreva os elementos dos conjuntos dos múltiplos de 7 maiores que 10 e menores que 20.

7. Alguns automóveis estão estacionados na rua. Se você contar as rodas dos automóveis, o resultado pode ser 42? Pode ser 72? Por quê?

8. Escreva os 5 primeiro múltiplos de 9.



9. Escreva as 5 primeiros múltiplos comuns de 8 e de 12.

10. Responda sim ou não:a) 24 é múltiplo de 2? b) 52 é múltiplo de 4? c) 50 é múltiplo de 8? d) 1995 é múltiplo de 133?

Respostas

1) Resposta “0, 5, 10, 15, 20, 25”.Solução:5 x 0 = 05 x 1 = 55 x 2 = 105 x 3 = 155 x 4 = 205 x 5 = 25

2) Resposta “32, 40, 48”.Solução:8 x 4 = 328 x 5 = 408 x 6 = 48

3) Resposta “6”.Solução: 36 + 6 = 42. Pois, o número 42 é divisível por 7.4) Resposta “Pares”. Os Múltiplos de 2 são chamados de pares: 2 k (k∈N)

5) Resposta “Divisíveis: b, c, d”.

Solução:a) 23418: Termina em 18, e 18 não é divisível por 4.b) 65000: Termina em 00, e logo, é divisível por 4.c) 38036: Termina em 36, portanto é divisível por 4.d) 24004: Termina em 4, e assim é divisível por 4.e) 58617: Termina em 17, e 17 não é divisível por 4.

6) Resposta “14”.Solução:7 x 2 = 14.

7) Resposta “72”. Solução: Sabemos que um automóvel tem 4 rodas. Então, o

número que contarmos deve ser múltiplo de 4. Logo, 42 não pode ser o resultado, pois ele não é múltiplo de 4. Já o 72 pode ser.

8) Resposta “0, 9, 18, 27, 36”.Solução:9 x 0 = 09 x 1 = 99 x 2 = 189 x 3 = 279 x 4 = 36

9) Resposta “0, 24, 48, 72, 96”.Solução: Nesse caso todos são os divisores comuns de 8 e 12.

10) Solução:

a) Sim, pois 24 termina em 4, que é um número parb) Sim, pois se dividirmos 52 por 4, dará um número inteiro.c) Não, pois se dividirmos 50 por 8, não dará um número

inteiro.d) Sim, pois se dividirmos 1995 por 133, dará um número

inteiro.

PROBLEMAS.

Os problemas matemáticos são resolvidos utilizando inúmeros recursos matemáticos, destacando, entre todos, os princípios algébricos, os quais são divididos de acordo com o nível de dificuldade e abordagem dos conteúdos.

Primeiramente os cálculos envolvem adições e subtrações, posteriormente as multiplicações e divisões. Depois os problemas são resolvidos com a utilização dos fundamentos algébricos, isto é, criamos equações matemáticas com valores desconhecidos (letras). Observe algumas situações que podem ser descritas com utilização da álgebra.

- O dobro de um número adicionado com 4: 2x + 4;- A soma de dois números consecutivos: x + (x + 1);- O quadrado de um número mais 10: x2 + 10;- O triplo de um número adicionado ao dobro do número: 3x

+ 2x;- A metade da soma de um número mais 15: + 15;- A quarta parte de um número: .

Exemplo 1

A soma de três números pares consecutivos é igual a 96. Determine-os.

1º número: x2º número: x + 23º número: x + 4

(x) + (x + 2) + (x + 4) = 96

Resolução:x + x + 2 + x + 4 = 963x = 96 – 4 – 23x = 96 – 63x = 90

x =

x = 30

1º número: x = 302º número: x + 2 = 30 + 2 = 323º número: x + 4 = 30 + 4 = 34

Os números são 30, 32 e 34.



Exemplo 2

O triplo de um número natural somado a 4 é igual ao quadrado de 5. Calcule-o:

Resolução:3x + 4 = 52

3x = 25 – 43x = 21

x = 213

x = 7

O número procurado é igual a 7.

Exemplo 3

A idade de um pai é o quádruplo da idade de seu filho. Daqui a cinco anos, a idade do pai será o triplo da idade do filho. Qual é a idade atual de cada um?

Resolução:

AtualmenteFilho: xPai: 4x

FuturamenteFilho: x + 5Pai: 4x + 5

4x + 5 = 3 . (x + 5)4x + 5 = 3x + 154x – 3x = 15 – 5X = 10

Pai: 4x = 4 . 10 = 40

O filho tem 10 anos e o pai tem 40.

Exemplo 4

O dobro de um número adicionado ao seu triplo corresponde a 20. Qual é o número?

Resolução

2x + 3x = 205x = 20

x = 205

x = 4

O número corresponde a 4.

Exemplo 5

Em uma chácara existem galinhas e coelhos totalizando 35 animais, os quais somam juntos 100 pés. Determine o número de galinhas e coelhos existentes nessa chácara.

Galinhas: GCoelhos: CG + C = 35

Cada galinha possui 2 pés e cada coelho 4, então:2G + 4C = 100

Sistema de equaçõesIsolando C na 1ª equação:G + C = 35C = 35 – G

Substituindo C na 2ª equação:2G + 4C = 1002G + 4 . (35 – G) = 1002G + 140 – 4G = 1002G – 4G = 100 – 140- 2G = - 40

G =

G = 20Calculando CC = 35 – GC = 35 – 20C = 15

Exercícios

1. A soma das idades de Arthur e Baltazar é de 42 anos. Qual a idade de cada um, se a idade de Arthur é

52 da idade

de Baltazar?

2. A diferença entre as idades de José e Maria é de 20 anos. Qual a idade de cada um, sabendo-se que a idade de José é

59

da idade de Maria?

3. Verificou-se que numa feira 95 dos feirantes são de

origem japonesa e 52 do resto são de origem portuguesa. O

total de feirantes japoneses e portugueses é de 99. Qual o total de feirantes dessa feira?

4. Certa quantidade de cards é repartida entre três

meninos. O primeiro menino recebe 73

da quantidade e o

segundo, metade do resto. Dessa maneira, os dois receberam 250 cards. Quantos cards havia para serem repartidos e quantos cards recebeu o terceiro menino?



5. Num dia, uma pessoa lê os 53

de um livro. No dia seguinte, lê os

43 do resto e no terceiro dia, lê as 20 páginas

finais. Quantas páginas têm o livro?

6. Uma caixa contém medalhas de ouro, de prata e de bronze. As medalhas de ouro totalizam

53 das medalhas

da caixa. O número de medalhas de prata é 30. O total de

medalhas de bronze é 41

do total de medalhas. Quantas são as medalhas de ouro e de bronze contidas na caixa?

7. Uma viagem é feita em quatro etapas. Na primeira

etapa, percorrem-se os 72 da distância total. Na segunda, os

53

do resto. Na terceira, a metade do novo resto. Dessa maneira foram percorridos 60 quilômetros.

Qual a distância total a ser percorrida e quanto se percorreu na quarta etapa?

8. A soma das idades de Lúcia e Gabriela é de 49 anos.

Qual a idade de cada uma, sabendo-se que a idade de Lúcia é

43 da idade de Gabriela?

9. Num dia, um pintor pinta 52

de um muro. No dia

seguinte, pinta mais 51 metros do muro. Desse modo, pintou

97 do muro todo. Quantos metros têm o muro?

10. Um aluno escreve 83

do total de páginas de seu caderno

com tinta azul e 58 páginas com tinta vermelha. Escreveu,

dessa maneira, 97 do total de páginas do caderno. Quantas

páginas possuem o caderno?

Respostas

1) Resposta “Arthur 30; Baltazar 12”.

Solução:A + B = 42 anos

A = 25

. B

(substituindo a letra “A” pelo valor 25

. B)

25

. B + B = 42 (mmc: 5)

2B + 5B = 210

7B = 210

B = 2107

B = 30 A = 12

2) Resposta “Maria 25; José 45”.Solução:J – M = 20

J = 95

M

(substituindo a letra “J” por 95

M

95

M - M = 20 (mmc: 1; 5)

9M - 5M = 1004M=100

M= 1004

M=25 e J=45

3) Resposta “135”.Solução:F = feirantesJ = 5

9.F

J + P = 99

(substituindo a letra “J”por 59

F)

59

F + 25

.(F- 59

F) = 99

59

F + 25

. 9F − 5F9

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= 900

59

F + 25

. 4F9

= 99

59

F + 8F45

= 99 (mmc:9; 45)

2545

F + 8F45

= 445545

33F = 4455F= 4455

33F = 135

4) Resposta “350 cards; 3˚ menino recebeu 100”.

Solução: x = cards1° = 3

7.x



2° = x −3x72

=

7x − 3x72

= 4x14

= 2x7

(substituindo o “1°”e “2°”pelos valores respectivos)37x + 2x

7= 250 (mmc:1; 7)

3x+2x = 17505x = 1750x = 1750

5x = 350 cards portanto:

1° = 37

. 350 = 150

2° = 27

. 350 = 100

3° = 350 - 250 = 100

5) Resposta “200”.Solução: x = Livro1 dia = 3

5x

2 dia = 34(x − 3

5x)

3 dia = 20 páginas1 dia + 2 dia + 3 dia = X35x + 3

4(x − 3

5x)+ 20 = x

35x + 3

4(5x − 3x

5)+ 20 = x

35x + 3

4.2x5

+ 20 = x

35x + 6x

20+ 20 = x(mmc :5;20)

12x + 6x + 400 = 20x20x - 18x = 4002x = 400x = 400

2 = 200 páginas

6) Resposta “Ouro = 120; Bronze = 50”.Solução:T = TotalO = 3

5TP = 30B = 1

4TO + P + B = T35T

+ 30 + 14T

= T (mmc :5;4)

12t20

+ 5t20

+ 60020

= 20t20

17T + 600 = 20T20T - 17T = 6003T = 600T = 600

3 = 200 medalhas

PortantoO = 3

5T= 35

. 200 = 120

B = 14T

= 14

. 200 = 50

7) Resposta “Distancia total: 70 km; Quarta etapa: 10 km”.Solução:T = total1ª = 2

7T2ª = 3

5T − 2

7T⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ =

35. 7T − 2T

7⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

35.5T7

= 3T7

3ª = T − 2T7

− 3T7

2=

7T − 2T − 3T72

=

2T72

= 2T14

1ª + 2ª + 3ª = 60

2T7

+ 3T7

+ 2T14

= 60 (mmc:7;14)

4T + 6T + 2T = 84012T = 840

T = 84012

T = 70

4ª = 70 – 60 = 108) Resposta “Gabriela: 28 anos; Lúcia: 21 anos”.Solução:L + G = 49 anosL = 3

4GSubstitui a letra “L” por 3

4G34G

+ G = 49 (mmc:1; 4)

3G + 4G = 1967G = 196G = 196

7 = 28 anos

L = 49 - 28 = 21 anos

9) Resposta “135 metros”.Solução:M = muro1 dia = 2

5M



2 dia = 51 metros25M + 51= 7

9M (mmc :5;9)

18M45

+ 229545

= 35M45

18M + 2295 = 35M35M – 18M = 229517M = 2295M = 2295

17M = 135 metros.

10) Resposta “144 páginas”.Solução:P = totalAzul = 3

8P

Vermelha = 58

38P + 58 = 7

9P (mmc:8 ; 9)

27P + 4176 = 56P56P - 27P = 417629P = 4176

P = 417629

= 144 páginas

FRAÇÕES E OPERAÇÕES COM FRAÇÕES.

Adição e Subtração

Frações com denominadores iguais:

Exemplo

Jorge comeu 83

de um tablete de chocolate e Miguel 82

desse mesmo tablete. Qual a fração do tablete de chocolate que Jorge e Miguel comeram juntos?

A figura abaixo representa o tablete de chocolate. Nela também estão representadas as frações do tablete que Jorge e Miguel comeram:

3/8 2/8

5/8

Observe que 83

+ 82 =

85

Portanto, Jorge e Miguel comeram juntos 85 do tablete de

chocolate.Na adição e subtração de duas ou mais frações que têm

denominadores iguais, conservamos o denominador comum e somamos ou subtraímos os numeradores.

Outro Exemplo:

21

2753

27

25

23

=−+

=−+

Frações com denominadores diferentes:

Calcular o valor de 65

83+ . Inicialmente, devemos reduzir as

frações ao mesmo denominador comum:

mmc (8,6) = 24 65

83+ =

2420

249+

24 : 8 . 3 = 924 : 6 . 5 = 20Devemos proceder, agora, como no primeiro caso,

simplificando o resultado, quando possível:

2420

249+ =

2429

24209

=+

Portanto: 65

83+ = 24

20249+ =

2429

24209

=+

Na adição e subtração de duas ou mais frações que têm os denominadores diferentes, reduzimos inicialmente as frações ao menor denominador comum, após o que procedemos como no primeiro caso.

Multiplicação

Exemplo

De uma caixa de frutas, 54

são bananas. Do total de bananas,

32

estão estragadas. Qual é a fração de frutas da caixa que estão estragadas?

Representa 4/5 do conteúdo da caixa

Representa 2/3 de 4/5 do conteúdo da caixa.

Repare que o problema proposto consiste em calcular o valor de 3

2 de 54 que, de acordo com a figura, equivale a

158 do total de

frutas. De acordo com a tabela acima, 32

de

54

equivale a

32 .

54 .

Assim sendo:

32 .

54 =

158



Ou seja:

32 de

54 =

32 .

54 =

5.34.2 =

158

O produto de duas ou mais frações é uma fração cujo numerador é o produto dos numeradores e cujo denominador é o produto dos denominadores das frações dadas.

Outro exemplo:

32 .

54 .

13556

9.5.37.4.2

97

==

Observação: Sempre que possível, antes de efetuar a multiplicação, podemos simplificar as frações entre si, dividindo os numeradores e os denominadores por um fator comum. Esse processo de simplificação recebe o nome de cancelamento.

1

1

32 .

54 .

2512

109

5

3

=

Divisão

Duas frações são inversas ou recíprocas quando o numerador de uma é o denominador da outra e vice-versa.

Exemplo

32

é a fração inversa de 23

5 ou 15 é a fração inversa de

51

Considere a seguinte situação:

Lúcia recebeu de seu pai os 54

dos chocolates contidos em uma caixa. Do total de chocolates recebidos, Lúcia deu a terça parte para o seu namorado. Que fração dos chocolates contidos na caixa recebeu o namorado de Lúcia?

A solução do problema consiste em dividir o total de chocolates que Lúcia recebeu de seu pai por 3, ou seja, 5

4 : 3.Por outro lado, dividir algo por 3 significa calcular

31 desse

algo.Portanto:

54 : 3 =

31 de

54

Como 31

de 54

= 31

. 54

= 54 .

31 , resulta que

54 : 3 =

54

: 13 =

54 .

31

São frações inversas

Observando que as frações 13 e

31 são frações inversas,

podemos afirmar que:Para dividir uma fração por outra, multiplicamos a primeira

pelo inverso da segunda.

Portanto 54

: 3 = 54

: 13

= 54

. 31

= 154

Ou seja, o namorado de Lúcia recebeu 154

do total de

chocolates contidos na caixa.

Outro exemplo: 65

85.

34

58:

34

2

1

==

Observação:

Note a expressão:

5123

. Ela é equivalente à expressão 51:

23 .

Portanto 5123

= 51:

23 =

15.

23 =

215

Números Decimais

Adição e Subtração

Vamos calcular o valor da seguinte soma:

5,32 + 12,5 + 0, 034Transformaremos, inicialmente, os números decimais em

frações decimais:

5,32 + 12,5 + 0, 034 = =++1000

3410125

100352

100017854

100034

100012500

10005320

=++= = 17, 854

Portanto: 5,32 + 12,5 + 0, 034 = 17, 854Na prática, a adição e a subtração de números decimais são

obtidas de acordo com a seguinte regra:- Igualamos o número de casas decimais, acrescentando zeros.- Colocamos os números um abaixo do outro, deixando vírgula

embaixo de vírgula.- Somamos ou subtraímos os números decimais como se eles

fossem números naturais.- Na resposta colocamos a vírgula alinhada com a vírgula dos

números dados.

Exemplo2,35 + 14,3 + 0, 0075 + 5

Disposição prática:2,350014,30000,00755,000021,6575

Multiplicação

Vamos calcular o valor do seguinte produto: 2,58 x 3,4.Transformaremos, inicialmente, os números decimais em

frações decimais:

2,58 x 3,4 = 772,810008772

1034.

100258

==

Portanto 2,58 x 3,4 = 8,772



Na prática, a multiplicação de números decimais é obtida de acordo com as seguintes regras:

- Multiplicamos os números decimais como se eles fossem números naturais.

- No resultado, colocamos tantas casas decimais quantas forem as do primeiro fator somadas às do segundo fator.

Exemplo: 652,2 x 2,03

Disposição prática: 652,2 → 1 casa decimalx 2,03 → 2 casas decimais 19 5661 304 41 323,966 → 1 + 2 = 3 casas decimais

DIVISÃO

Numa divisão em que:

D é o dividendod é o divisor temos: D d D = q . d + rq é o quociente r qr é o resto

Numa divisão, o resto é sempre menor que o divisor

Vamos, por exemplo, efetuar a seguinte divisão: 24 : 0,5.

Inicialmente, multiplicaremos o dividendo e o divisor da divisão dada por 10.

24 : 0,5 = (24 . 10) : (0,5 . 10) = 240 : 5

A vantagem de tal procedimento foi a de transformarmos em número natural o número decimal que aparecia na divisão. Com isso, a divisão entre números decimais se transforma numa equivalente com números naturais.

Portanto: 24 : 0,5 = 240 : 5 = 48Na prática, a divisão entre números decimais é obtida de

acordo com as seguintes regras:

- Igualamos o número de casas decimais do dividendo e do divisor.

- Cortamos as vírgulas e efetuamos a divisão como se os números fossem naturais.

Exemplo 1

24 : 0,5

Disposição prática: 24,0 0,5 40 48 0

Nesse caso, o resto da divisão é igual à zero. Assim sendo, a divisão é chamada de divisão exata e o quociente é exato.

Exemplo 29,775 : 4,25

Disposição prática: 9,775 4,250 1 275 2

Nesse caso, o resto da divisão é diferente de zero. Assim sendo, a divisão é chamada de divisão aproximada e o quociente é aproximado.

Se quisermos continuar uma divisão aproximada, devemos acrescentar zeros aos restos e prosseguir dividindo cada número obtido pelo divisor. Ao mesmo tempo em que colocamos o primeiro zero no primeiro resto, colocamos uma vírgula no quociente. 9,775 4,250 9,775 4,250 1 2750 2, 1 2750 2,3 0000

Acrescentamos um zero Colocamos uma ao primeiro resto. vírgula no quociente.

Exemplo 30,14 : 28

0,14000 28,00 0000 0,005

Exemplo 4

2 : 16 20 16 40 0,125 80 0

Exercícios

1. Indique as divisões em forma de fração:a) 14 : 7b) 18 : 8c) 5 : 1d) 15 : 5 e) 18 : 9 f) 64 : 8

2. Efetue as adições:a) 3/6 + 2/6 b) 13/7 + 1/7 c) 2/7+ 1/7 + 5/7 d) 4/10 + 1/10 + 3/10

3. Efetue as subtrações:a) 7/9 – 5/9 b) 9/5 – 2/5 c) 2/3 – 1/3 d) 8/3 – 2/3



Respostas

1) Solução:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

2) Solução:

a)

b)

c)

d)

3) Solução

a)

b)

c)

d)

NÚMEROS E GRANDEZAS PROPORCIO-NAIS: RAZÕES E PROPORÇÕES;

Razão

Sejam dois números reais a e b, com b ≠ 0. Chama-se razão entre a e b (nessa ordem) o quociente a b, ou .

A razão é representada por um número racional, mas é lida de modo diferente.

Exemplos

a) A fração 53 lê-se: “três quintos”.

b) A razão 53 lê-se: “3 para 5”.

Os termos da razão recebem nomes especiais.

O número 3 é numerador

a) Na fração 53

O número 5 é denominador

O número 3 é antecedente

a) Na razão 53

O número 5 é consequente

Exemplo 1

A razão entre 20 e 50 é 2050

= 25

; já a razão entre 50 e 20 é 5020

= 52

.

Exemplo 2

Numa classe de 42 alunos há 18 rapazes e 24 moças. A razão

entre o número de rapazes e o número de moças é 1824

= 34

, o que

significa que para “cada 3 rapazes há 4 moças”. Por outro lado,

a razão entre o número de rapazes e o total de alunos é dada por

1842

= 37

, o que equivale a dizer que “de cada 7 alunos na classe,

3 são rapazes”.

Razão entre grandezas de mesma espécie

A razão entre duas grandezas de mesma espécie é o quociente dos números que expressam as medidas dessas grandezas numa mesma unidade.

Exemplo

Uma sala tem 18 m2. Um tapete que ocupar o centro dessa sala mede 384 dm2. Vamos calcular a razão entre a área do tapete e a área da sala.

Primeiro, devemos transformar as duas grandezas em uma mesma unidade:

Área da sala: 18 m2 = 1 800 dm2

Área do tapete: 384 dm2

Estando as duas áreas na mesma unidade, podemos escrever a razão:

384dm2

1800dm2 =3841800

= 1675



Razão entre grandezas de espécies diferentes

Exemplo 1

Considere um carro que às 9 horas passa pelo quilômetro 30 de uma estrada e, às 11 horas, pelo quilômetro 170.

Distância percorrida: 170 km – 30 km = 140 kmTempo gasto: 11h – 9h = 2h

Calculamos a razão entre a distância percorrida e o tempo gasto para isso:

140km2h

= 70km / h

A esse tipo de razão dá-se o nome de velocidade média.

Observe que: - as grandezas “quilômetro e hora” são de naturezas diferentes;- a notação km/h (lê-se: “quilômetros por hora”) deve

acompanhar a razão.

Exemplo 2

A Região Sudeste (Espírito Santo, Minas Gerais, Rio de Janeiro e São Paulo) tem uma área aproximada de 927 286 km2 e uma população de 66 288 000 habitantes, aproximadamente, segundo estimativas projetadas pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) para o ano de 1995.

Dividindo-se o número de habitantes pela área, obteremos o número de habitantes por km2 (hab./km2):

6628000927286

≅ 71,5hab. / km2

A esse tipo de razão dá-se o nome de densidade demográfica.

A notação hab./km2 (lê-se: ”habitantes por quilômetro quadrado”) deve acompanhar a razão.

Exemplo 3

Um carro percorreu, na cidade, 83,76 km com 8 L de gasolina. Dividindo-se o número de quilômetros percorridos pelo número de litros de combustível consumidos, teremos o número de quilômetros que esse carro percorre com um litro de gasolina:

83,76km8l

≅ 10,47km / l

A esse tipo de razão dá-se o nome de consumo médio.A notação km/l (lê-se: “quilômetro por litro”) deve

acompanhar a razão.

Exemplo 4Uma sala tem 8 m de comprimento. Esse comprimento é

representado num desenho por 20 cm. Qual é a escala do desenho?

Escala = comprimento i no i desenhocomprimento i real

= 20cm8m

= 20cm800cm

= 140ou1: 40

A razão entre um comprimento no desenho e o correspondente comprimento real, chama-se Escala.

Proporção

A igualdade entre duas razões recebe o nome de proporção.Na proporção 3

5= 610

(lê-se: “3 está para 5 assim como 6

está para 10”), os números 3 e 10 são chamados extremos, e os números 5 e 6 são chamados meios.

Observemos que o produto 3 x 10 = 30 é igual ao produto 5 x 6 = 30, o que caracteriza a propriedade fundamental das proporções:

“Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos”.

Exemplo 1

Na proporção 96

32= , temos 2 x 9 = 3 x 6 = 18;

e em 14= 416

, temos 4 x 4 = 1 x 16 = 16.

Exemplo 2

Na bula de um remédio pediátrico recomenda-se a seguinte dosagem: 5 gotas para cada 2 kg do “peso” da criança.

Se uma criança tem 12 kg, a dosagem correta x é dada por:

5gotas2kg

= x12kg

→ x = 30gotas

Por outro lado, se soubermos que foram corretamente ministradas 20 gotas a uma criança, podemos concluir que seu “peso” é 8 kg, pois:

5gotas2kg

= 20gotas / p→ p = 8kg

(nota: o procedimento utilizado nesse exemplo é comumente chamado de regra de três simples.)

Propriedades da ProporçãoO produto dos extremos é igual ao produto dos meios: essa

propriedade possibilita reconhecer quando duas razões formam ou não uma proporção.

43e129 formam uma proporção, pois

Produtos dos extremos ← 4.936 = 3.12

36→ Produtos dos meios.

A soma dos dois primeiros termos está para o primeiro (ou para o segundo termo) assim como a soma dos dois últimos está para o terceiro (ou para o quarto termo).

52= 104⇒ 5 + 2

5⎧⎨⎩

= 10 + 410

⇒ 75= 1410



ou52= 104⇒ 5 + 2

2⎧⎨⎩

= 10 + 44

⇒ 72= 144

A diferença entre os dois primeiros termos está para o primeiro (ou para o segundo termo) assim como a diferença entre os dois últimos está para o terceiro (ou para o quarto termo).

82

41

868

434

68

34

=⇒−

= −

⇒=

ou

62

31

668

334

68

34

=⇒−

= −

⇒=

A soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes assim como cada antecedente está para o seu consequente.

128

= 32⇒ 12 + 3

8 + 2⎧⎨⎩

= 128⇒ 1510

= 128

ou128

= 32⇒ 12 + 3

8 + 2⎧⎨⎩

= 32⇒ 1510

= 32

A diferença dos antecedentes está para a diferença dos consequentes assim como cada antecedente está para o seu consequente.

315

= 15⇒ 3−1

15 − 5⎧⎨⎩

= 315

⇒ 210

= 315

ou315

= 15⇒ 3−1

15 − 5⎧⎨⎩

= 15⇒ 210

= 15

Exercícios

1. Em um mapa verifica-se que a escala é 1 : 22 000 000. Duas cidades estão distantes de São Paulo, respectivamente, 4 e 6 cm. Se fosse feita uma estrada ligando as três cidades, qual seria o mínimo de extensão que ela teria?

2. Em um mapa, a distância em linha reta entre Brasília e Palmas, no Tocantins é de 10 cm. Sabendo que a distância real entre as duas cidades é de 700 km, qual a escala utilizada na confecção do mapa?

3. Uma estátua de bronze tem 140 kg de massa e seu volume é de 16 dm³. Qual é a sua densidade?

4. Um trem percorreu 453 km em 6 horas. Qual a velocidade média do trem nesse percurso?

5. O estado de Tocantins ocupada uma área aproximada de 278 500 km². De acordo com o Censo/2000 o Tocantins tinha uma população de aproximadamente 1 156 000 habitantes. Qual é a densidade demográfica do estado de Tocantins?

6. A diferença entre a idade de Ângela e a idade de Vera é 12 anos. Sabendo-se que suas idades estão uma para a outra assim como

25 , determine a idade de cada uma.

7. Um segmento de 78 cm de comprimento é dividido em duas partes na razão de 4

9 . Determine o comprimento de cada uma das

partes.

8. Sabe-se que as casas do braço de um violão diminuem de largura seguindo uma mesma proporção. Se a primeira casa do braço de um violão tem 4 cm de largura e a segunda casa, 3 cm, calcule a largura da quarta casa.

9. Água e tinta estão misturadas na razão de 9 para 5. Sabendo-se que há 81 litros de água na mistura, o volume total em litros é de:

a) 45b) 81c) 85d) 181e) 126

10. A diferença entre dois números é 65. Sabe-se que o primeiro está para 9 assim como o segundo está para 4. Calcule esses números.

Respostas

1) Resposta “1320 km”.Solução: 1cm (no mapa) = 22.000.000cm (na realidade)

*SP ---------------------- cidade A ------------------------ cidade B 4cm 6cm

O mínimo de extensão será a da cidade mais longe (6cm)22.000.000 x 6 = 132.000.000 cm = 1320 km.

Logo, o mínimo de extensão que ela teria corresponde à 1320 km.

2) Resposta “1: 7 000 000”.Solução: Dados:Comprimento do desenho: 10 cmComprimento no real: 700 km = (700 . 100 000) cm = 70 000

000 cmEscala = comprimentododesenho

comprimentoreal= 1070000000

= 17000000

ou1: 7000000

A escala de 1: 7 000 000 significa que:- 1 cm no desenho corresponde a 7 000 000 cm no real;- 1 cm no desenho corresponde a 70 000 m no real;- 1 cm no desenho corresponde a 70 km no real.

3) Resposta “8,75 kg/dm³”.Solução: De acordo com os dados do problema, temos:

densidade = 140kg16dm3 = 8,75kg / dm

3

Logo, a densidade da estátua é de 8,75 kg/dm³, que lemos como: 8,75 quilogramas por decímetro cúbico.



4) Resposta “75,5 km/h”.Solução: De acordo com que o enunciado nos oferece, temos:

velocidademédia = 453km6h

= 75,5km / h

Logo, a velocidade média do trem, nesse percurso, foi de 75,5 km/h, que lemos: 75,5 quilômetros por hora.

5) Resposta “4,15 hab./km²Solução: O problema nos oferece os seguintes dados:

Densidadedemográfica = 1156000hab.278500km2 = 4,15hab. / km2

6) Resposta “Ângela 20; Vera 8”.Solução:A – V = 12 anosA = 12 + V

AV

= 52→ 12 +V

V= 52

2 (12+V) = 5V24 + 2V = 5V5V – 2V = 243V = 24V = 24

3V (Vera) = 8A – 8 = 12A = 12 + 8A (Ângela) = 20

7) Resposta “24 cm; 54 cm”.Solução:x + y = 78 cmx = 78 - yxy= 49→ 78 − y

y= 49

9 (78 - y) = 4y702 – 9y = 4y702 = 4y + 9y13y = 702y = 702

13y = 54cm

x + 54 = 78x = 78 - 54x = 24 cm

8) Resposta “ 2716

cm ”.

Solução: Caso a proporção entre a 2ª e a 1ª casa se mantenha constante nas demais, é só determinar qual é esta proporção existente entre elas: no caso, = 0,75, ou seja, a largura da 2ª casa

é 75% a largura da 1ª; Portanto a largura da 3ª casa é (3 . 0,75) = 2,25 cm.

Logo, a largura da 4ª casa é de (2,25 . 0,75) = 1,69 cm.

Portanto a sequência seria: (4...3... ... ...) e assim por diante. Onde a razão de proporção é ... e pode ser representada pela

expressão:Ti . P elevado à (n - 1)

Onde:Ti = termo inicial, neste caso: 4P = proporção entre Ti e o seguinte (razão), neste caso: n = número sequencial do termo que se busca, neste caso: 4

Teremos:

(Ti = 4; P = ; n – 1 = 3)

4 . =

9) Resposta “E”.Solução:A = 81 litrosAT= 95→ 81

T= 95

9T = 405T =

T = 45A + T = ?81 + 45 = 126 litros

10) Resposta “117 e 52”.Solução:x – y = 65x = 65 + y

xy= 94→ 65 + y

y= 94

9y = 4 (65 + y)9y = 260 + 4y9y – 4y = 2605y = 260y =

y = 52

x – 52 = 65x = 65 + 52x = 117



DIVISÃO EM PARTES PROPORCIONAIS;

Divisão em duas partes diretamente proporcionais

Para decompor um número M em duas partes A e B diretamente proporcionais a p e q, montamos um sistema com duas equações e duas incógnitas, de modo que a soma das partes seja A+B=M, mas

A solução segue das propriedades das proporções:

O valor de K é que proporciona a solução pois: A = K p e B = K q

Exemplo: Para decompor o número 100 em duas partes A e B diretamente proporcionais a 2 e 3, montaremos o sistema de modo que A+B=100, cuja solução segue de:

Segue que A=40 e B=60.

Exemplo: Determinar números A e B diretamente proporcionais a 8 e 3, sabendo-se que a diferença entre eles é 60. Para resolver este problema basta tomar A-B=60 e escrever:

Segue que A=96 e B=36.

Divisão em várias partes diretamente proporcionais

Para decompor um número M em partes X1, X2, ..., Xn diretamente proporcionais a p1, p2, ..., pn, deve-se montar um sistema com n equações e n incógnitas, sendo as somas X1+X2+...+Xn=M e p1+p2+...+pn=P.


Exemplo: Para decompor o número 120 em três partes A, B e C diretamente proporcionais a 2, 4 e 6, deve-se montar um sistema com 3 equações e 3 incógnitas tal que A+B+C=120 e 2+4+6=P. Assim:

logo A=20, B=40 e C=60.

Exemplo: Determinar números A, B e C diretamente proporcionais a 2, 4 e 6, de modo que 2A+3B-4C=120.


logo A=-30, B=-60 e C=-90. Também existem proporções com números negativos.

Divisão em duas partes inversamente proporcionais

Para decompor um número M em duas partes A e B inversamente proporcionais a p e q, deve-se decompor este número M em duas partes A e B diretamente proporcionais a 1/p e 1/q, que são, respectivamente, os inversos de p e q.

Assim basta montar o sistema com duas equações e duas incógnitas tal que A+B=M. Desse modo:

O valor de K proporciona a solução pois: A=K/p e B=K/q.Exemplo: Para decompor o número 120 em duas partes A e B

inversamente proporcionais a 2 e 3, deve-se montar o sistema tal que A+B=120, de modo que:

Assim A=72 e B=48.Exemplo: Determinar números A e B inversamente

proporcionais a 6 e 8, sabendo-se que a diferença entre eles é 10. Para resolver este problema, tomamos A-B=10. Assim:

Assim A=40 e B=30.

Divisão em várias partes inversamente proporcionais

Para decompor um número M em n partes X1, X2, ..., Xn inversamente proporcionais a p1, p2, ..., pn, basta decompor este número M em n partes X1, X2, ..., Xn diretamente proporcionais a 1/p1, 1/p2, ..., 1/pn.

A montagem do sistema com n equações e n incógnitas, assume que X1+X2+...+ Xn=M e além disso

cuja solução segue das propriedades das proporções:



Exemplo: Para decompor o número 220 em três partes A, B e C inversamente proporcionais a 2, 4 e 6, deve-se montar um sistema com 3 equações e 3 incógnitas, de modo que A+B+C=220. Desse modo:

A solução é A=120, B=60 e C=40.

Exemplo: Para obter números A, B e C inversamente proporcionais a 2, 4 e 6, de modo que 2A+3B-4C=10, devemos montar as proporções:

logo A=60/13, B=30/13 e C=20/13.

Existem proporções com números fracionários!

Divisão em duas partes direta e inversamente proporcionais

Para decompor um número M em duas partes A e B diretamente proporcionais a c e d e inversamente proporcionais a p e q, deve-se decompor este número M em duas partes A e B diretamente proporcionais a c/q e d/q, basta montar um sistema com duas equações e duas incógnitas de forma que A+B=M e além disso:

O valor de K proporciona a solução pois: A=Kc/p e B=Kd/q.

Exemplo: Para decompor o número 58 em duas partes A e B diretamente proporcionais a 2 e 3, e, inversamente proporcionais a 5 e 7, deve-se montar as proporções:

Assim A=(2/5).70=28 e B=(3/7).70=30.

Exemplo: Para obter números A e B diretamente proporcionais a 4 e 3 e inversamente proporcionais a 6 e 8, sabendo-se que a diferença entre eles é 21. Para resolver este problema basta escrever que A-B=21 resolver as proporções:

Assim A=(4/6).72=48 e B=(3/8).72=27.

Divisão em n partes direta e inversamente proporcionais

Para decompor um número M em n partes X1, X2, ..., Xn diretamente proporcionais a p1, p2, ..., pn e inversamente proporcionais a q1, q2, ..., qn, basta decompor este número M em n partes X1, X2, ..., Xn diretamente proporcionais a p1/q1, p2/q2, ..., pn/qn.

A montagem do sistema com n equações e n incógnitas exige que X1+X2+...+Xn=M e além disso


Exemplo: Para decompor o número 115 em três partes A, B e C diretamente proporcionais a 1, 2 e 3 e inversamente proporcionais a 4, 5 e 6, deve-se montar um sistema com 3 equações e 3 incógnitas de forma de A+B+C=115 e tal que:

logo A=(1/4)100=25, B=(2/5)100=40 e C=(3/6)100=50.Exemplo: Determinar números A, B e C diretamente

proporcionais a 1, 10 e 2 e inversamente proporcionais a 2, 4 e 5, de modo que 2A+3B-4C=10.

A montagem do problema fica na forma:

A solução é A=50/69, B=250/69 e C=40/69.

REGRA DE TRÊS;

Regra de Três Simples

Os problemas que envolvem duas grandezas diretamente ou inversamente proporcionais podem ser resolvidos através de um processo prático, chamado regra de três simples.

Exemplo 1: Um carro faz 180 km com 15L de álcool. Quantos litros de álcool esse carro gastaria para percorrer 210 km?

Solução:O problema envolve duas grandezas: distância e litros de

álcool.Indiquemos por x o número de litros de álcool a ser consumido.Coloquemos as grandezas de mesma espécie em uma mesma

coluna e as grandezas de espécies diferentes que se correspondem em uma mesma linha:

Distância (km) Litros de álcool 180 15 210 x

Na coluna em que aparece a variável x (“litros de álcool”), vamos colocar uma flecha:

Distância (km) Litros de álcool 180 15 210 x



Observe que, se duplicarmos a distância, o consumo de álcool também duplica. Então, as grandezas distância e litros de álcool são diretamente proporcionais. No esquema que estamos montando, indicamos esse fato colocando uma flecha na coluna “distância” no mesmo sentido da flecha da coluna “litros de álcool”:

Distância (km) Litros de álcool 180 15 210 x mesmo sentido

Armando a proporção pela orientação das flechas, temos:

x15

210180

7

6

=

6x = 7 . 15 6x = 105 x = 6

105 x = 17,5

Resposta: O carro gastaria 17,5 L de álcool.

Exemplo 2: Viajando de automóvel, à velocidade de 60 km/h, eu gastaria 4 h para fazer certo percurso. Aumentando a velocidade para 80 km/h, em quanto tempo farei esse percurso?

Solução: Indicando por x o número de horas e colocando as grandezas de mesma espécie em uma mesma coluna e as grandezas de espécies diferentes que se correspondem em uma mesma linha, temos:

Velocidade (km/h) Tempo (h) 60 4 80 x

Na coluna em que aparece a variável x (“tempo”), vamos colocar uma flecha:


Observe que, se duplicarmos a velocidade, o tempo fica reduzido à metade. Isso significa que as grandezas velocidade e tempo são inversamente proporcionais. No nosso esquema, esse fato é indicado colocando-se na coluna “velocidade” uma flecha em sentido contrário ao da flecha da coluna “tempo”:


sentidos contrários

Na montagem da proporção devemos seguir o sentido das flechas. Assim, temos:

3

4

60804

=x 4x = 4 . 3 4x = 12 x =

412 x = 3

Resposta: Farei esse percurso em 3 h.

Exemplo 3: Ao participar de um treino de Fórmula 1, um competidor, imprimindo velocidade média de 200 km/h, faz o percurso em 18 segundos. Se sua velocidade fosse de 240 km/h, qual o tempo que ele teria gasto no percurso?

Vamos representar pela letra x o tempo procurado.Estamos relacionando dois valores da grandeza velocidade

(200 km/h e 240 km/h) com dois valores da grandeza tempo (18 s e x s).

Queremos determinar um desses valores, conhecidos os outros três.

Velocidade Tempo gasto para fazer o percurso

200 km/h 18 s240 km/h x

Se duplicarmos a velocidade inicial do carro, o tempo gasto para fazer o percurso cairá para a metade; logo, as grandezas são inversamente proporcionais. Assim, os números 200 e 240 são inversamente proporcionais aos números 18 e x.

Daí temos:200 . 18 = 240 . x 3 600 = 240x 240x = 3 600 x =

2403600

x = 15

O corredor teria gasto 15 segundos no percurso.

Regra de Três Composta

O processo usado para resolver problemas que envolvem mais de duas grandezas, diretamente ou inversamente proporcionais, é chamado regra de três composta.

Exemplo 1: Em 4 dias 8 máquinas produziram 160 peças. Em quanto tempo 6 máquinas iguais às primeiras produziriam 300 dessas peças?

Solução: Indiquemos o número de dias por x. Coloquemos as grandezas de mesma espécie em uma só coluna e as grandezas de espécies diferentes que se correspondem em uma mesma linha. Na coluna em que aparece a variável x (“dias”), coloquemos uma flecha:

Máquinas Peças Dias 8 160 4 6 300 x

Comparemos cada grandeza com aquela em que está o x.

As grandezas peças e dias são diretamente proporcionais. No nosso esquema isso será indicado colocando-se na coluna “peças” uma flecha no mesmo sentido da flecha da coluna “dias”:


Mesmo sentido



As grandezas máquinas e dias são inversamente proporcionais (duplicando o número de máquinas, o número de dias fica reduzido à metade). No nosso esquema isso será indicado colocando-se na coluna (máquinas) uma flecha no sentido contrário ao da flecha da coluna “dias”:


Sentidos contrários

Agora vamos montar a proporção, igualando a razão que

contém o x, que é x4

, com o produto das outras razões, obtidas

segundo a orientação das flechas

300160.

86 :

5

1

15

8

1

2

300160.

864

=x

524

=x => 2x = 4 . 5 a x = 1

2

25.4

=> x = 10

Resposta: Em 10 dias.

Exercícios

1. Completamente abertas, 2 torneiras enchem um tanque em 75 min. Em quantos minutos 5 torneiras completamente abertas encheriam esse mesmo tanque?

2. Um trem percorre certa distância em 6 h 30 min, à velocidade média de 42 km/h. Que velocidade deverá ser desenvolvida para o trem fazer o mesmo percurso em 5 h 15 min?

3. Usando seu palmo, Samanta mediu o comprimento e a largura de uma mesa retangular. Encontrou 12 palmos de comprimento e 5 palmos na largura.

Depois, usando palitos de fósforo, mediu novamente o comprimento do tampo da mesa e encontrou 48 palitos. Qual estratégia Samanta usou para obter largura do tampo da mesa em palitos de fósforo?

4. Ao participar de um treino de fórmula Indy, um competidor, imprimindo a velocidade média de 180 km/h, faz o percurso em 20 segundos. Se a sua velocidade fosse de 200 km/h, que tempo teria gasto no percurso?

5. Com 3 pacotes de pães de fôrma, Helena faz 63 sanduíches. Quantos pacotes de pães de fôrma ela vai usar para fazer 105 sanduíches?

Respostas

1) Resposta “30min”. Solução:Como aumentar as torneiras diminui o tempo, então a regra

de três é inversa:5 tor. ------ 75min2 tor. ------ x

5x = 2 . 75 = 5x = 150 =

x =

2) Resposta “52 km/h”.Solução:Como diminuir o tempo aumentaria a velocidade, então a

regra de três é inversa:6h30min = 390min5h15min = 315min315min ------ 42km/h390min ------ x315x = 390 . 42 = 315x = 16380 = X = km/h.

3) Resposta “20 palitos de fósforo”.Solução: Levando os dados dado no enunciado temos:Palmos: 12 palmos de comprimento e 5 palmos de largura.Palitos de Fósforo: 48 palitos de comprimento e x palitos de

largura.Portanto temos:

Comprimento Largura12 palmos 5 palmos48 palitos X palitos

Observe que o comprimento da mesa aumentou 4 vezes quando passamos de “palmo” para “palito”. O que ocorre da mesma forma na largura.

As grandezas são diretamente proporcionais. Daí podemos fazer:

Logo, concluímos que o tampo da mesa tem 20 palitos de fósforo de largura.

4) Resposta “18 segundos”.Solução: Levando em consideração os dados:Velocidade média: 180 km/h → tempo do percurso: 20sVelocidade média: 200 km/h → tempo do percurso: ?

Vamos representar o tempo procurado pela letra x. Estamos relacionando dois valores de grandeza “velocidade” (180 km/h e 200 km/h) com dois valores de grandeza “tempo” ( 20s e xs).

Conhecido os 3 valores, queremos agora determinar um quarto valor. Para isso, organizamos os dados na tabela:

Velocidade km/h Tempo (s)180 20200 x

Observe que, se duplicarmos a velocidade inicial, o tempo gasto para percorrer o percurso vai cair para a metade. Logo, as grandezas são “inversamente proporcionais”. Então temos:



180 . 20 = 200 . x → 200x = 3600 →

Conclui-se, então, que se o competidor tivesse andando em 200 km/h, teria gasto 18 segundos para realizar o percurso.

5) Resposta “5 pacotes”.Solução: Analisando os dados dado no enunciado temos:Pacotes de Pães: 3 pacotes → Sanduíches: 63.Pacotes de Pães: x pacotes → Sanduíches: 105.

Pacotes de Pães Sanduíches3 63x 105

Basta fazermos apenas isso:

63 . x = 3 . 105 → 63x = 315 →

Concluímos que ela precisará de 5 pacotes de pães de forma.

PORCENTAGEM E PROBLEMAS.

PorcentagemÉ uma fração de denominador centesimal, ou seja, é uma

fração de denominador 100. Representamos porcentagem pelo símbolo % e lê-se: “por cento”.

Deste modo, a fração 50100

é uma porcentagem que podemos representar por 50%.

Forma Decimal: É comum representarmos uma porcentagem na forma decimal, por exemplo, 35% na forma decimal seriam representados por 0,35.

75% = 75100

= 0,75

Cálculo de uma Porcentagem: Para calcularmos uma porcentagem p% de V, basta multiplicarmos a fração

100p por V.

P% de V = 100p

. V

Exemplo 1

23% de 240 = 23100

. 240 = 55,2

Exemplo 2Em uma pesquisa de mercado, constatou-se que 67% de uma

amostra assistem a um certo programa de TV. Se a população é de 56.000 habitantes, quantas pessoas assistem ao tal programa?

Resolução: 67% de 56 000 = 67100

.56000 = 37520

Resposta: 37 520 pessoas.

Porcentagem que o lucro representa em relação ao preço de custo e em relação ao preço de venda

Chamamos de lucro em uma transação comercial de compra e venda a diferença entre o preço de venda e o preço de custo.

Lucro = preço de venda – preço de custoCaso essa diferença seja negativa, ela será chamada de

prejuízo.Assim, podemos escrever:Preço de custo + lucro = preço de vendaPreço de custo – prejuízos = preço de venda

Podemos expressar o lucro na forma de porcentagem de duas formas:

Lucro sobre o custo = lucro/preço de custo. 100%Lucro sobre a venda = lucro/preço de venda. 100%

Observação: A mesma análise pode ser feita para o caso de prejuízo.

Exemplo

Uma mercadoria foi comprada por R$ 500,00 e vendida por R$ 800,00.

Pede-se:- o lucro obtido na transação;- a porcentagem de lucro sobre o preço de custo;- a porcentagem de lucro sobre o preço de venda.

Resposta:Lucro = 800 – 500 = R$ 300,00

Lc = 500300 = 0,60 = 60%

Lv = 800300 = 0,375 = 37,5%

Aumento

Aumento Percentual: Consideremos um valor inicial V que deve sofrer um aumento de p% de seu valor. Chamemos de A o valor do aumento e VA o valor após o aumento. Então, A = p% de V =

100p . V

VA = V + A = V + 100p

. V

VA = ( 1 + 100p

) . V

Em que (1 + 100p

) é o fator de aumento.

Desconto

Desconto Percentual: Consideremos um valor inicial V que deve sofrer um desconto de p% de seu valor. Chamemos de D o valor do desconto e VD o valor após o desconto. Então, D = p% de V =

100p . V

VD = V – D = V – 100

p . V



VD = (1 – 100

p ) . V

Em que (1 – 100

p) é o fator de desconto.

Exemplo

Uma empresa admite um funcionário no mês de janeiro sabendo que, já em março, ele terá 40% de aumento. Se a empresa deseja que o salário desse funcionário, a partir de março, seja R$ 3 500,00, com que salário deve admiti-lo?

Resolução: VA = 1,4 . V 3 500 = 1,4 . V

V = 25004,1

3500=

Resposta: R$ 2 500,00

Aumentos e Descontos Sucessivos: Consideremos um valor inicial V, e vamos considerar que ele irá sofrer dois aumentos sucessivos de p1% e p2%. Sendo V1 o valor após o primeiro aumento, temos:

V1 = V . (1 + 100

1p )

Sendo V2 o valor após o segundo aumento, temos:V2 = V1 . (1 +

1002p )

V2 = V . (1 + 100

1p ) . (1 + 100

2p )

Sendo V um valor inicial, vamos considerar que ele irá sofrer dois descontos sucessivos de p1% e p2%.

Sendo V1 o valor após o primeiro desconto, temos:V1 = V. (1 –

1001p )

Sendo V2 o valor após o segundo desconto, temos:

V2 = V1 . (1 – 100

2p )

V2 = V . (1 – 100

1p ) . (1 – 100

2p )

Sendo V um valor inicial, vamos considerar que ele irá sofrer um aumento de p1% e, sucessivamente, um desconto de p2%.

Sendo V1 o valor após o aumento, temos:V1 = V . (1+

1001p )

Sendo V2 o valor após o desconto, temos:V2 = V1 . (1 –

1002p )

V2 = V . (1 + 100

1p ) . (1 – 100

2p )

Exemplo(VUNESP-SP) Uma instituição bancária oferece um rendi-

mento de 15% ao ano para depósitos feitos numa certa modalidade de aplicação financeira. Um cliente deste banco deposita 1 000 reais nessa aplicação. Ao final de n anos, o capital que esse cliente terá em reais, relativo a esse depósito, são:

Resolução: VA = vp n

.100

1

+

VA = 1. 15100

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟n

.1000

VA = 1 000 . (1,15)n

VA = 1 000 . 1,15n

VA = 1 150,00n

Exercícios

1. (Fuvest-SP) (10%)2 =a) 100%b) 20%c) 5%d) 1%e) 0,01%

2. Quatro é quantos por cento de cinco?

3. (PUC-SP) O preço de venda de um bem de consumo é R$ 100,00. O comerciante tem um ganho de 25% sobre o preço de custo deste bem. O valor do preço de custo é:

a) R$ 25,00b) R$ 70,50c) R$ 75,00d) R$ 80,00e) R$ 125,00

4. (VUNESP-SP) O dono de um supermercado comprou de seu fornecedor um produto por x reais (preço de custo) e passou a revendê-lo com lucro de 50%. Ao fazer um dia de promoções, ele deu aos clientes do supermercado um desconto de 20% sobre o preço de venda deste produto. Pode-se afirmar que, no dia de promoções, o dono do supermercado teve, sobre o preço de custo:

a) Prejuízo de 10%.b) Prejuízo de 5%.c) Lucro de 20%.d) Lucro de 25%.e) Lucro de 30%.

5. (Mackenzie-SP) Um produto teve um aumento total de preço de 61% através de 2 aumentos sucessivos. Se o primeiro aumento foi de 15%, então o segundo foi de:

a) 38%b) 40%c) 42%d) 44%e) 46%

6. (FUVEST-SP) Barnabé tinha um salário de x reais em janeiro. Recebeu aumento de 80% em maio e 80% em novembro. Seu salário atual é:

a) 2,56 xb) 1,6xc) x + 160d) 2,6xe) 3,24x

7. (PUC-SP) Descontos sucessivos de 20% e 30% são equivalentes a um único desconto de:



a) 25%b) 26%c) 44%d) 45%e) 50%

8. (FUVEST-SP) A cada ano que passa o valor de um carro diminui em 30% em relação ao seu valor do ano anterior. Se V for o valor do carro no primeiro ano, o seu valor no oitavo ano será:

a) (0,7)7 Vb) (0,3)7 Vc) (0,7)8 Vd) (0,3)8 Ve) (0,3)9 V

9. Numa cidade, havia cerca de 25 000 desempregados para uma população economicamente ativa de 500 000 habitantes. Qual era a taxa percentual de desempregados nessa cidade?

10. Se 4% do total de bolinhas de uma piscina correspondem a 20 unidades, qual o total de bolinhas que está na piscina?

Respostas

1) Resposta “D”.Solução:

10100

. 10100

= 1100

= 1%

2) Resposta “80%”.Solução:05 ----------- 100%04 ----------- x

5 . x = 4 . 100 → 5x = 400 → x =4005

= 80%

3) Resposta “D”.Solução:Pcusto = 100,00

O Pcusto mais 25% do Pcusto = 100,00

Pc + 0,25Pc = 100,001,25Pc = 100,00

Pc =

4) Resposta “C”.Solução:X reais (preço de custo)

Lucro de 50%: x + 50% =

x + 50100

= 100x + 50100

= 10x + 510

= 2x +12

(dividimos por 10 e de-

pois dividimos por 5).

Suponhamos que o preço de custo seja 1, então substituindo o x da equação acima, o preço de venda com 50% de lucro seria 1,50.

Se 1,50 é 100% X 20% fazemos esta regra de três para achar os 20%:

20.1,50 100 = 0,30Então no dia de promoção o valor será de 1,20. Isto é, 20% de

lucro em cima do valor de custo. Alternativa C.

5) Resposta “B”.Solução: Se usarmos a fórmula do aumento sucessivo citada

na matéria será:

V2 = V.(1 + 100

1p ).(1 – 100

2p ).

Substituindo V por um valor: 1, então no final dos dois aumentos esse valor será de 1,61=V2.

1,61 = 1.(1 + 15100

).(1 – 100

2p )

1,61 = (1 + 15100

).(1 – 100

2p ) (mmc de 100)

1,61 = (100115 ).(1 –

1002p )

1,61 = - 10000

)2100(115 P−

16100 = -11.500 + 115P2

115P2 = -11.500 + 16100P2 = 4600/115P2 = 40%

6) Resposta “E”.Solução:

SA = 1+ 80100

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ . 1+

80100

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ .x = 1,8.1,8.x = 3,24x

7) Resposta “C”.Solução: Se usarmos a fórmula do desconto sucessivo citada

na matéria será:

V2 = V.(1 - 100

1p ).(1 – 100

2p )

Substituindo V por um valor: 1, ficará:

V2 = 1.(1 - 20100

).(1 – 30100

)

V2 = ( 100 − 20100

).( 100 − 30100

)

V2 = ( 80100

).( 70100

)

V2 = 100005600

V2 = 56100

que é igual a 56%

100% - 56% = 44%



8) Resposta “A”.Solução:1º ano = 12º ano = 0,70 – 30% (0,21)3º ano = 0,49 – 30% (0,147)4º ano = 0,343 – 30 % (0,1029)5º ano = 0,2401 – 30% (0,07203)6º ano = 0,16807 – 30% (0,050421)7º ano = 0,117649 – 30% (0,0352947)8º ano = 0,08235430,0823543 = (0,7)7V

9) Resposta “5%”.

Solução: Em 500 000 habitantes → 25 000 desempregados Em 100 000 habitantes → 5 000 desempregados Em 100 habitantes → 5 desempregados

5100

= 5%ou 25000500000

= 5100

= 5%

Portanto, 5% da população da cidade é desempregada.

10) Resposta “500 unidades”.Solução: 4% → 20 bolinhas. Então:20% → 100 bolinhas100% → 500 bolinhas

Ou, ainda, representando por x o total de bolinhas: 4% de x equivalem a 20.

Como 4% = 4100

= 0,004 , podemos escrever:

0,04 . x = 20 → x = 200,04

→ x = 500.

Logo, o total de bolinhas na piscina são 500 unidades.

ESTATÍSTICA DESCRITIVA: MÉDIA ARIT-MÉTICA SIMPLES E PONDERADA.

Noção Geral de Média

Considere um conjunto numérico A = {x1; x2; x3; ...; xn} e efetue uma certa operação com todos os elementos de A.

Se for possível substituir cada um dos elementos do conjunto A por um número x de modo que o resultado da operação citada seja o mesmo diz-se, por definição, que x será a média dos elementos de A relativa a essa operação.

Média Aritmética

Definição

A média dos elementos do conjunto numérico A relativa à adição é chamada média aritmética.

Cálculo da média aritméticaSe x for a média aritmética dos elementos do conjunto

numérico A = {x1; x2; x3; ...; xn}, então, por definição:

n parcelase, portanto,

x = x1;x2;x3;...;xnn

ConclusãoA média aritmética dos n elementos do conjunto numérico A é

a soma de todos os seus elementos, dividida por n.

ExemploCalcular a média aritmética entre os números 3, 4, 6, 9, e 13.

Resolução

Se x for a média aritmética dos elementos do conjunto (3, 4, 6, 9, 13), então x será a soma dos 5 elementos, dividida por 5. Assim:

x = 3+ 4 + 6 + 9 +1315

↔ x = 355

↔ x = 7

A média aritmética é 7.

Média Aritmética Ponderada

Definição

A média dos elementos do conjunto numérico A relativa à adição e na qual cada elemento tem um “determinado peso” é chamada média aritmética ponderada.

Cálculo da média aritmética ponderada

Se x for a média aritmética ponderada dos elementos do conjunto numérico A = {x1; x2; x3; ...; xn} com “pesos” P1; P2; P3; ...; Pn, respectivamente, então, por definição:

P1 . x + P2 . x + P3 . x + ... + Pn . x == P1 . x1 + P2 . x2 + P3 . x3 + ... + Pn . xn (P1 + P2 + P3 + ... + Pn) . x == P1 . x1 + P2 . x2 + P3 . x3 + ... + Pn . xn e, portanto,

x = P1.x1;P2.x2;P3.x3;...PnxnP1 + P2 + P3 + ...+ Pn

Observe que se P1 = P2 = P3 = ... = Pn = 1, então:

x = x1;x2;x3;...;xnn

que é a média aritmética simples.

Conclusão

A média aritmética ponderada dos n elementos do conjunto numérico A é a soma dos produtos de cada elemento multiplicado pelo respectivo peso, dividida pela soma dos pesos.



Exemplo

Calcular a média aritmética ponderada dos números 35, 20 e 10 com pesos 2, 3, e 5, respectivamente.

ResoluçãoSe x for a média aritmética ponderada, então:

x = 2.35 + 3.20 + 5.102 + 3+ 5

↔ x = 70 + 60 + 5010

↔ x = 18010

↔ x = 18

A média aritmética ponderada é 18.

Observação: A palavra média, sem especificar se é aritmética, deve ser entendida como média aritmética.

Exercícios

1. Determine a média aritmética entre 2 e 8.

2. Determine a média aritmética entre 3, 5 e 10.

3. Qual é a média aritmética simples dos números 11, 7, 13 e 9?

4. A média aritmética simples de 4 números pares distintos, pertences ao conjunto dos números inteiros não nulos é igual a 44. Qual é o maior valor que um desses números pode ter?

5. Calcule a média aritmética simples em cada um dos seguin-tes casos:

a) 15; 48; 36b) 80; 71; 95; 100c) 59; 84; 37; 62; 10d) 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9

6. Qual é a média aritmética ponderada dos números 10, 14, 18 e 30 sabendo-se que os seus pesos são respectivamente 1, 2, 3 e 5?

7. Calcular a média ponderada entre 3, 6 e 8 para os respecti-vos pesos 5 , 3 e 2.

8. Numa turma de 8ª série 10 alunos possuem 14 anos, 12 alunos possuem 15 anos e oito deles 16 anos de idade. Qual será a idade média dessa turma?

9. Determine a média salarial de uma empresa, cuja folha de pagamento é assim discriminada:

Profissionais → Quantidade → SalárioServentes → 20 profissionais → R$ 320,00Técnicos → 10 profissionais → R$ 840,00Engenheiros → 5 profissionais → R$ 1.600,00

10. Calcule a média ponderada entre 5, 10 e 15 para os respec-tivos pesos 10, 5 e 20.

Respostas

1) Resposta “5”.Solução:M.A. ( 2 e 8 ) = 2 + 8 / 2 = 10 / 2 = 5 → M.A. ( 2 e 8 ) = 5.

2) Resposta “6”.Solução: M.A. ( 3, 5 e 10 ) = 3 + 5 + 10 / 3 = 18 / 3 = 6 → M.A. ( 3, 5

e 10 ) = 6.

3) Resposta “10”.Solução: Para resolver esse exercício basta fazer a soma dos

números e dividi-los por quatro, que é a quantidade de números, portanto:

M .A = 11+ 7 +13+ 94

= 404

= 10

Logo, a média aritmética é 10.

4) Resposta “164”. Solução: Quando falamos de média aritmética simples, ao di-

minuirmos um dos valores que a compõe, precisamos aumentar a mesma quantidade em outro valor, ou distribuí-la entre vários outros valores, de sorte que a soma total não se altere, se quisermos obter a mesma média.

Neste exercício, três dos elementos devem ter o menor valor possível, de sorte que o quarto elemento tenha o maior valor dentre eles, tal que a média aritmética seja igual a 44. Este será o maior valor que o quarto elemento poderá assumir.

Em função do enunciado, os três menores valores inteiros, pa-res, distintos e não nulos são:2, 4 e 6. Identificando como x este quarto valor, vamos montar a seguinte equação:

2 + 4 + 6 + x4

= 44

Solucionando-a temos:

Logo, o maior valor que um desses números pode ter é 164.

5) Solução:a) (15 + 48 + 36)/3 =99/3 = 33

b) (80 + 71 + 95 + 100)/4=346/4 = 86,5

c) (59 + 84 + 37 + 62 + 10)/5== 252/5= 50,4

d) (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9)/9=45/9 == 5

6) Resposta “22”.Solução: Neste caso a solução consiste em multiplicarmos

cada número pelo seu respectivo peso e somarmos todos estes pro-dutos. Este total deve ser então dividido pela soma total dos pesos:

10.1+14.2 +18.3+ 30.51+ 2 + 3+ 5

= 10 + 28 + 54 +15011

= 24211

= 22

Logo, a média aritmética ponderada é 22.



7) Resposta “4,9”.Solução:

MP = 3.5 + 6.3+ 8.25 + 3+ 2

= 15 +18 +1610

= 4910

= 4,9

8) Resposta “ ±14,93 ”Solução:

MP = 14.10 +15.12 +16.810 +12 + 8

= 140 +180 +12830

= 44830

= ±14,93

9) Resposta “ ≅ R$651,43 ”Solução: Estamos diante de um problema de média aritmética

ponderada, onde as quantidades de profissionais serão os pesos. E com isso calcularemos a média ponderada entre R$ 320,00 , R$ 840,00 e R$ 1 600,00 e seus respectivos pesos 20 , 10 e 5. Portanto:

MP = 320.20 + 840.10 +1600.520 +10 + 5

= 22.80035

≅ R$651,43

10) Resposta “11,42”.Solução:

MP = 5.10 +10.5 +15.2010 + 5 + 20

= 50 + 50 + 30035

= 40035

= 11,42

Média Geométrica

Este tipo de média é calculado multiplicando-se todos os valo-res e extraindo-se a raiz de índice n deste produto.

Digamos que tenhamos os números 4, 6 e 9, para obtermos o valor médio geométrico deste conjunto, multiplicamos os elemen-tos e obtemos o produto 216.

Pegamos então este produto e extraímos a sua raiz cúbica, chegando ao valor médio 6.

Extraímos a raiz cúbica, pois o conjunto é composto de 3 ele-mentos. Se fossem n elementos, extrairíamos a raiz de índice n.

Neste exemplo teríamos a seguinte solução:

4.6.93 ⇒ 2163 ⇒ 6

Utilidades da Média Geométrica

Progressão GeométricaUma das utilizações deste tipo de média é na definição de uma

progressão geométrica que diz que em toda PG., qualquer termo é média geométrica entre o seu antecedente e o seu consequente:

an = an−1.an+1Tomemos como exemplo três termos consecutivos de uma

PG.: 7, 21 e 63.Temos então que o termo 21 é média geométrica dos termos

7 e 63.

Vejamos:

7.63⇒ 441⇒ 21

Variações Percentuais em Sequência

Outra utilização para este tipo de média é quando estamos tra-balhando com variações percentuais em sequência.

Exemplo

Digamos que uma categoria de operários tenha um aumento salarial de 20% após um mês, 12% após dois meses e 7% após três meses. Qual o percentual médio mensal de aumento desta ca-tegoria?

Sabemos que para acumularmos um aumento de 20%, 12% e 7% sobre o valor de um salário, devemos multiplicá-lo sucessivamente por 1,2, 1,12 e 1,07 que são os fatores correspondentes a tais percentuais.

A partir dai podemos calcular a média geométrica destes fatores:

1,2.1,12.1,073 ⇒ 1,438083 ⇒1,128741

Como sabemos, um fator de 1, 128741 corresponde a 12, 8741% de aumento.

Este é o valor percentual médio mensal do aumento salarial, ou seja, se aplicarmos três vezes consecutivas o percentual 12, 8741%, no final teremos o mesmo resultado que se tivéssemos aplicado os percentuais 20%, 12% e 7%.

Digamos que o salário desta categoria de operários seja de R$ 1.000,00, aplicando-se os sucessivos aumentos temos:

Salário Inicial

+ % Informado

Salário final

Salário inicial

+ % médio

Salário final

R$ 1.000,00

20%R$

1.200,00R$

1.000,0012, 8417

R$ 1.128,74

R$ 1.200,00

12%R$

1.334,00R$

1.287,7412, 8417

R$ 1.274,06

R$ 1.334,00

7%R$

1.438,00R$

1.274,0612, 8417

R$ 1.438,08

Observe que o resultado final de R$ 1.438,08 é o mesmo nos dois casos. Se tivéssemos utilizado a média aritmética no lugar da média geométrica, os valores finais seriam distintos, pois a média aritmética de 13% resultaria em um salário final de R$ 1.442,90, ligeiramente maior como já era esperado, já que o percentual de 13% utilizado é ligeiramente maior que os 12, 8417% da média geométrica.

Cálculo da Média Geométrica

Em uma fórmula: a média geométrica de a1, a2, ..., an é

aii=1

n

∏⎛⎝⎜⎞⎠⎟

1/n

= (a1.a2...an )1/n = a1.a2...ann



A média geométrica de um conjunto de números é sempre menor ou igual à média aritmética dos membros desse conjunto (as duas médias são iguais se e somente se todos os membros do conjunto são iguais). Isso permite a definição da média aritmética geométrica, uma mistura das duas que sempre tem um valor inter-mediário às duas.

A média geométrica é também a média aritmética harmôni-ca no sentido que, se duas sequências (an) e (hn) são definidas:

an+1 =an + hn2

,a1= x + y2

E

hn+1 =2

1an

+ 1hn

,h1 =2

1x+ 1y

então an e hn convergem para a média geométrica de x e y.

Cálculo da Media Geométrica Triangular

Bom primeiro observamos o mapa e somamos as áreas dos quadrados catetos e dividimos pela hipotenusa e no final pegamos a soma dos ângulos subtraindo o que esta entre os catetos e dividi-mos por PI(3,1415...) assim descobrimos a media geométrica dos triângulos.

Exemplo

A média geométrica entre os números 12, 64, 126 e 345, é dada por:

G = R4[12 ×64×126×345] = 76,013

Aplicação Prática

Dentre todos os retângulos com a área igual a 64 cm², qual é o retângulo cujo perímetro é o menor possível, isto é, o mais econômico? A resposta a este tipo de questão é dada pela média geométrica entre as medidas do comprimento a e da largura b, uma vez que a.b = 64.

A média geométrica G entre a e b fornece a medida desejada.G = R[a × b] = R[64] = 8

RespostaÉ o retângulo cujo comprimento mede 8 cm e é lógico que

a altura também mede 8 cm, logo só pode ser um quadrado! O perímetro neste caso é p = 32 cm. Em qualquer outra situação em que as medidas dos comprimentos forem diferentes das alturas, teremos perímetros maiores do que 32 cm.

Interpretação gráfica

A média geométrica entre dois segmentos de reta pode ser obtida geometricamente de uma forma bastante simples.

Sejam AB e BC segmentos de reta. Trace um segmento de reta que contenha a junção dos segmentos AB e BC, de forma que eles formem segmentos consecutivos sobre a mesma reta.

Dessa junção aparecerá um novo segmento AC. Obtenha o ponto médio O deste segmento e com um compasso centrado em O e raio OA, trace uma semi-circunferência começando em A e terminando em C. O segmento vertical traçado para cima a partir de B encontrará o ponto D na semi-circunferência. A medida do segmento BD corresponde à média geométrica das medidas dos segmentos AB e BC.

Exercícios

1. Determine a média proporcional ou geométrica entre 2 e 8.

2. Determine a média geométrica entre 1, 2 e 4.

3. Determine a média geométrica entre dois números sabendo que a média aritmética e a média harmônica entre eles são, respec-tivamente, iguais a 4 e 9.

4. A média geométrica entre 3 números é 4. Quanto devo multiplicar um desses números para que a média aumente 2 uni-dades ?

5. Qual é a média geométrica dos números 2, 4, 8, 16 e 32?

6. Dados dois números quaisquer, a média aritmética simples e a média geométrica deles são respectivamente 20 e 20,5. Quais são estes dois números?

7. A média geométrica entre dois números é igual a 6. Se a eles juntarmos o número 48, qual será a média geométrica entre estes três números?

8. Calcule a média geométrica entre 4 e 9.

9. Calcule a média geométrica entre 3, 3, 9 e 81

10. Calcule a média geométrica entre 1, 1, 1, 32 e 234.

Respostas

1) Resposta “4”.Solução:

M .G.(2e8) = 2 × 82 = 16 = 4⇒M .G.(2e8) = 4

2) Resposta “2”.Solução:

M .G.(1,2e4) = 1× 2 × 43 = 83 = 2⇒M .G.(1,2e4) = 2

Observação: O termo média proporcional deve ser, apenas, utilizado para a média geométrica entre dois números.



3) Resposta “6”.Solução: Aplicando a relação: g2 = a.h, teremos:

g2 = 4.9 → g2 = 36 → g = 6 → MG. (4, 9) = 6.

4) Resposta “278

”

Solução: Se a média geométrica entre 3 números é 4, pode-mos escrever:

M .G.= x.y.z3 ⇒ 4 = x.y.z3 ⇒ x.y.z = 64

Se multiplicarmos um deles por m, a nova média será:

4 + 2 = x.y.z.m3 ⇒ 6 = x.y.z.m3 ⇒ x.y.z.m = 216e como x . y . z = 64 → 64 . m = 216 → m = 216

64= 278

5) Resposta “8”. Solução: Se dispusermos de uma calculadora científica, este

exercício pode ser solucionado multiplicando-se todos os números e extraindo-se do produto final, a raiz de índice cinco, pois se tra-tam de cinco números:

2.4.8.16.325 ⇒ 327685 ⇒ 8

Se não dispusermos de uma calculadora científica esta solução ficaria meio inviável, pois como iríamos extrair tal raiz, isto sem contar na dificuldade em realizarmos as multiplicações?

Repare que todos os números são potência de 2, podemos en-tão escrever:

2.4.8.16.325 ⇒ 2.22.23.24.255

Como dentro do radical temos um produto de potências de mesma base, somando-se os expoentes temos:

2.22.23.24.255 ⇒ 2155

Finalmente dividindo-se o índice e o expoente por 5 e resol-vendo a potência resultante:

2155 ⇒ 231 ⇒ 23 ⇒ 8

Logo, a média geométrica deste conjunto é 8.

6) Resposta “16, 25”.Solução: Chamemos de a e b estes dois números. A média

aritmética deles pode ser expressa como:

a + b2

= 20,5

Já média geométrica pode ser expressa como:

a.b = 20Vamos isolar a na primeira equação:

a + b2

= 20,5⇒ a + b = 20,5.2⇒ a = 41− b

Agora para que possamos solucionar a segunda equação, é ne-cessário que fiquemos com apenas uma variável na mesma. Para conseguirmos isto iremos substituir a por 41 - b:

a.b = 20⇒ (41− b).b = 20⇒ 41b − b2( )2 = 202⇒ 41b − b2 = 400⇒−b2 + 41b − 400 = 0

Note que acabamos obtendo uma equação do segundo grau:-b2 + 41b - 400 = 0

Solucionando a mesma temos:

−b2 + 41b − 400 = 0⇒ b = −41± 412 − 4.(−1).(−400)2.(−1)

⇒b1 =

−41+ 81−2

⇒ b1 =−41+ 9−2

⇒ b1 =−32−2

⇒ b1 = 16

b2 =−41− 81

−2⇒ b2 =

−41+ 9−2

⇒ b2 =−50−2

⇒ b2 = 25

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

O número b pode assumir, portanto os valores 16 e 25. É de se esperar, portanto que quando b for igual a 16, que a seja igual a 25 e quando b for igual a 25, que a seja igual a 16. Vamos conferir.

Sabemos que a = 41 - b, portanto atribuindo a b um de seus possíveis valores, iremos encontrar o valor de a.

Para b = 16 temos:

a = 41 - b ⇒ 41 - 16 ⇒ a = 25

Para b = 25 temos:

a = 41 - b ⇒ a = 41 - 25 ⇒ a = 16Logo, os dois números são 16, 25.

7) Resposta “12”.Solução: Se chamarmos de P o produto destes dois números,

a partir do que foi dito no enunciado podemos montar a seguinte equação:

P = 6Elevando ambos os membros desta equação ao quadrado, ire-

mos obter o valor numérico do produto destes dois números:

P = 6⇒ ( P)2= 62 ⇒ P = 36

Agora que sabemos que o produto de um número pelo outro é igual 36, resta-nos multiplicá-lo por 48 e extraímos a raiz cúbica deste novo produto para encontrarmos a média desejada:

M = 36.483 ⇒M = (22.32 ).(24.3)3 ⇒M = 26.333

⇒M = 22.3⇒M = 4.3⇒M = 12Note que para facilitar a extração da raiz cúbica, realizamos

a decomposição dos números 36 e 48 em fatores primos. Acesse a página decomposição de um número natural em fatores primos para maiores informações sobre este assunto.



Logo, ao juntarmos o número 48 aos dois números iniciais, a média geométrica passará a ser 12.

8) Resposta “6”.Solução: G = 4.92 = 6

9) Resposta “9”.Solução: G = 3.3.9.814 = 9

10) Resposta “6”.Solução:G = 1.1.1.32.243= 65

GRÁFICOS: BARRAS, SETORES, LINHAS, INFOGRÁFICOS.

Tipos de gráficos: Os dados podem então ser representados de várias formas:

Diagramas de Barras

Diagramas Circulares

Histogramas

Pictogramas

1ª (10)

2ª (8)

3ª (4)

4ª (5)

5ª (4)= 1 unidade

Tabela de Frequências: Como o nome indica, conterá os va-lores da variável e suas respectivas contagens, as quais são deno-minadas frequências absolutas ou simplesmente, frequências. No caso de variáveis qualitativas ou quantitativas discretas, a tabela de freqüência consiste em listar os valores possíveis da variável, numéricos ou não, e fazer a contagem na tabela de dados brutos do número de suas ocorrências. A frequência do valor i será repre-sentada por ni, a frequência total por n e a freqüência relativa por fi = ni/n.

Para variáveis cujos valores possuem ordenação natural (qua-litativas ordinais e quantitativas em geral), faz sentido incluirmos também uma coluna contendo as frequências acumuladas f ac, ob-tidas pela soma das frequências de todos os valores da variável, menores ou iguais ao valor considerado.

No caso das variáveis quantitativas contínuas, que podem as-sumir infinitos valores diferentes, é inviável construir a tabela de frequência nos mesmos moldes do caso anterior, pois obteríamos praticamente os valores originais da tabela de dados brutos. Para resolver este problema, determinamos classes ou faixas de valores e contamos o número de ocorrências em cada faixa. Por ex., no caso da variável peso de adultos, poderíamos adotar as seguintes faixas: 30 |— 40 kg, 40 |— 50 kg, 50 |— 60, 60 |— 70, e assim por diante. Apesar de não adotarmos nenhuma regra formal para esta-belecer as faixas, procuraremos utilizar, em geral, de 5 a 8 faixas com mesma amplitude.

Eventualmente, faixas de tamanho desigual podem ser con-venientes para representar valores nas extremidades da tabela. Exemplo:

Gráfico de Barras: Para construir um gráfico de barras, re-presentamos os valores da variável no eixo das abscissas e suas as frequências ou porcentagens no eixo das ordenadas. Para cada valor da variável desenhamos uma barra com altura corresponden-do à sua freqüência ou porcentagem. Este tipo de gráfico é interes-sante para as variáveis qualitativas ordinais ou quantitativas dis-cretas, pois permite investigar a presença de tendência nos dados. Exemplo:



Diagrama Circular: Para construir um diagrama circular ou gráfico de pizza, repartimos um disco em setores circulares corres-pondentes às porcentagens de cada valor (calculadas multiplican-do-se a frequência relativa por 100). Este tipo de gráfico adapta-se muito bem para as variáveis qualitativas nominais. Exemplo:

Histograma: O histograma consiste em retângulos contíguos com base nas faixas de valores da variável e com área igual à fre-quência relativa da respectiva faixa. Desta forma, a altura de cada retângulo é denominada densidade de frequência ou simplesmente densidade definida pelo quociente da área pela amplitude da faixa. Alguns autores utilizam a frequência absoluta ou a porcentagem na construção do histograma, o que pode ocasionar distorções (e, con-sequentemente, más interpretações) quando amplitudes diferentes são utilizadas nas faixas. Exemplo:

Gráfico de Linha ou Sequência: Adequados para apresentar observações medidas ao longo do tempo, enfatizando sua tendên-cia ou periodicidade. Exemplo:

Polígono de Frequência:Semelhante ao histograma, mas construído a partir dos pontos

médios das classes. Exemplo:

Gráfico de Ogiva:Apresenta uma distribuição de frequências acumuladas, utili-

za uma poligonal ascendente utilizando os pontos extremos.

JUROS SIMPLES E COMPOSTOS.

Juros Simples

Toda vez que falamos em juros estamos nos referindo a uma quantia em dinheiro que deve ser paga por um devedor, pela utilização de dinheiro de um credor (aquele que empresta).

- Os juros são representados pela letra j.- O dinheiro que se deposita ou se empresta chamamos de

capital e é representado pela letra C.- O tempo de depósito ou de empréstimo é representado pela

letra t.- A taxa de juros é a razão centesimal que incide sobre um

capital durante certo tempo. É representado pela letra i e utilizada para calcular juros.

Chamamos de simples os juros que são somados ao capital inicial no final da aplicação.

Devemos sempre relacionar taxa e tempo numa mesma unidade:

Taxa anual --------------------- tempo em anosTaxa mensal-------------------- tempo em mesesTaxa diária---------------------- tempo em dias

Consideremos, como exemplo, o seguinte problema:

Uma pessoa empresta a outra, a juros simples, a quantia de R$ 3. 000,00, pelo prazo de 4 meses, à taxa de 2% ao mês. Quanto deverá ser pago de juros?



Resolução:

- Capital aplicado (C): R$ 3.000,00- Tempo de aplicação (t): 4 meses- Taxa (i): 2% ou 0,02 a.m. (= ao mês)

Fazendo o cálculo, mês a mês:- No final do 1º período (1 mês), os juros serão: 0,02 x R$

3.000,00 = R$ 60,00- No final do 2º período (2 meses), os juros serão: R$ 60,00 +

R$ 60,00 = R$ 120,00- No final do 3º período (3 meses), os juros serão: R$ 120,00

+ R$ 60,00 = R$ 180,00- No final do 4º período (4 meses), os juros serão: R$ 180,00

+ R$ 60,00 = R$ 240,00

Desse modo, no final da aplicação, deverão ser pagos R$ 240,00 de juros.

Fazendo o cálculo, período a período:- No final do 1º período, os juros serão: i.C- No final do 2º período, os juros serão: i.C + i.C- No final do 3º período, os juros serão: i.C + i.C + i.C------------------------------------------------------------------------ No final do período t, os juros serão: i.C + i.C + i.C + ... + i.CPortanto, temos:

J = C . i . t

Observações:

1) A taxa i e o tempo t devem ser expressos na mesma unidade. 2) Nessa fórmula, a taxa i deve ser expressa na forma decimal.3) Chamamos de montante (M) a soma do capital com os

juros, ou seja: Na fórmula J= C . i . t, temos quatro variáveis. Se três delas forem valores conhecidos, podemos calcular o 4º valor.

M=C+ j

ExemploA que taxa esteve empregado o capital de R$ 20.000,00 para

render, em 3 anos, R$ 28.800,00 de juros? (Observação: Como o tempo está em anos devemos ter uma taxa anual.)

C = R$ 20.000,00t = 3 anosj = R$ 28.800,00i = ? (ao ano)

j = C.i.t100

28 800 = 20000..i.3100

28 800 = 600 . i

i = 28.800600

i = 48

Resposta: 48% ao ano.

Juros Compostos

O capital inicial (principal) pode crescer, como já sabemos, devido aos juros, segundo duas modalidades, a saber:

Juros simples - ao longo do tempo, somente o principal rende juros.

Juros compostos - após cada período, os juros são incorporados ao principal e passam, por sua vez, a render juros. Também conhecido como “juros sobre juros”.

Vamos ilustrar a diferença entre os crescimentos de um capital através juros simples e juros compostos, com um exemplo: Suponha que $100,00 são empregados a uma taxa de 10% a.a. (ao ano) Teremos:

Observe que o crescimento do principal segundo juros simples é LINEAR enquanto que o crescimento segundo juros compostos é EXPONENCIAL, e, portanto tem um crescimento muito mais “rápido”. Isto poderia ser ilustrado graficamente da seguinte forma:

Na prática, as empresas, órgãos governamentais e investidores particulares costumam reinvestir as quantias geradas pelas aplicações financeiras, o que justifica o emprego mais comum de juros compostos na Economia. Na verdade, o uso de juros simples não se justifica em estudos econômicos.

Fórmula para o cálculo de Juros compostos

Considere o capital inicial (principal P) $1000,00 aplicado a uma taxa mensal de juros compostos ( i ) de 10% (i = 10% a.m.). Vamos calcular os montantes (principal + juros), mês a mês:

Após o 1º mês, teremos: M1 = 1000 x 1,1 = 1100 = 1000(1 + 0,1)Após o 2º mês, teremos: M2 = 1100 x 1,1 = 1210 = 1000(1 + 0,1)2

Após o 3º mês, teremos: M3 = 1210 x 1,1 = 1331 = 1000(1 + 0,1)3 ................................................................................................. Após o nº (enésimo) mês, sendo S o montante, teremos

evidentemente: S = 1000(1 + 0,1)n

De uma forma genérica, teremos para um principal P, aplicado a uma taxa de juros compostos i durante o período n : S = P (1 + i)n

onde S = montante, P = principal, i = taxa de juros e n = número de períodos que o principal P (capital inicial) foi aplicado.

Nota: Na fórmula acima, as unidades de tempo referentes à taxa de juros (i) e do período (n), tem de ser necessariamente iguais. Este é um detalhe importantíssimo, que não pode ser esquecido! Assim, por exemplo, se a taxa for 2% ao mês e o período 3 anos, deveremos considerar 2% ao mês durante 3x12=36 meses.



Exemplos

1 – Expresse o número de períodos n de uma aplicação, em função do montante S e da taxa de aplicação i por período.

Solução: Temos S = P(1+i)n

Logo, S/P = (1+i)n

Pelo que já conhecemos de logaritmos, poderemos escrever:n = log (1+ i ) (S/P) . Portanto, usando logaritmo decimal (base

10), vem:

n = log(S / P)log(1+ i)

= logS − logPlog(1+ i)

Temos também da expressão acima que: n.log(1 + i) = logS – logP

Deste exemplo, dá para perceber que o estudo dos juros compostos é uma aplicação prática do estudo dos logaritmos.

2 – Um capital é aplicado em regime de juros compostos a uma taxa mensal de 2% (2% a.m.). Depois de quanto tempo este capital estará duplicado?

Solução: Sabemos que S = P (1 + i)n. Quando o capital inicial estiver duplicado, teremos S = 2P.

Substituindo, vem: 2P = P(1+0,02)n [Obs: 0,02 = 2/100 = 2%]Simplificando, fica: 2 = 1,02n , que é uma equação exponencial simples.Teremos então: n = log1,022 = log2 /log1,02 = 0,30103 /

0,00860 = 35

Nota: log2 = 0,30103 e log1,02 = 0,00860; estes valores podem ser obtidos rapidamente em máquinas calculadoras científicas. Caso uma questão assim caia no vestibular, o examinador teria de informar os valores dos logaritmos necessários, ou então permitir o uso de calculadora na prova, o que não é comum no Brasil.

Portanto, o capital estaria duplicado após 35 meses (observe que a taxa de juros do problema é mensal), o que equivale a 2 anos e 11 meses.

Resposta: 2 anos e 11 meses.

Exercícios

1. Uma Loja de eletrodomésticos apresenta a seguinte oferta para a venda de um DVD player:

À vista R$ 539,00 ou12x 63,60 = R$ 763,20.

De quanto será o acréscimo sobre o preço à vista se o produto for comprado em 12 vezes?

2. Calcule o juros simples gerado por um capital de R$ 2 500,00, quando aplicado durante 8 meses a uma taxa de 3,5% a.m.

3. Uma aplicação financeira, feita durante 2 meses a uma taxa de 3% ao mês, rendeu R$ 1 920,00 de juro. Qual foi a quantia aplicada?

4. Um capital de $ 4.000,00 foi aplicado durante 3 meses, à juros simples, à taxa de 18% a.a. Pede-se:

a) Jurosb) Montante.

5. Calcular o juro simples referente a um capital de $ 2.400,00 nas seguintes condições:

Taxa de Juros Prazoa) 21% a.a. 1 anob) 21% a.a. 3 anos

6. Qual o montante de uma aplicação de $16.000,00, a juros compostos, pelo prazo de 4 meses, à taxa de 2,5% a.m.?

7. Calcule o montante e os juros da aplicação abaixo, considerando o regime de juros compostos:

Capital Taxa de Juros Prazo de AntecipaçãoR$ 20.000,00 3,0% a.m. 7 meses

8. O capital R$ 500,00 foi aplicado durante 8 meses à taxa de 5% ao mês. Qual o valor dos juros compostos produzidos?

9. Qual a aplicação inicial que, empregada por 1 ano e seis meses, à taxa de juros compostos de 3% ao trimestre, se torna igual a R$ 477,62?

10. Calcular o montante gerado a partir de R$ 1.500,00, quando aplicado à taxa de 60% ao ano com capitalização mensal, durante 1 ano.

Respostas

1) Resposta “R$ 224,20”.Solução: Basta apenas tirar o valor à prazo sobre o à vista:R$ 763,20 – R$ 539,00 = R$ 224,20.

2) Resposta “R$ 700,00”.Solução: Dados:Capital (quantia aplicada): R$ 2 500,00Taxa de juros: 3,5 a.m.Tempo de aplicação: 8 mesesJuro: ?

Representando o juro por x, podemos ter:x = (3,5% de 2 500) . 8x = (0,035 . 2 500) . 8x = 700Conclui-se que o juro é de R$ 700,00.

3) Resposta “R$ 32 000,00”.Solução: Dados:Capital (quantia plicada) ?Taxa de juro: 3% a.m.Tempo de aplicação: 2 mesesJuro: R$ 1 920,00



Calculando a quantia que a aplicação rendeu juro ao mês:1 920 2 = 960

Representando o capital aplicado por x, temos:3% de x dá 9600,03 . x = 9600,03x = 960

x =

Logo, o capital aplicado foi de R$ 32 000,00.

4) Resposta “Juros: R$ 180,00; Montante R$ 4 180,00”.Solução: a → J = CinJ = 4000 {[(18/100)/12]x3}J = 4000 {[0,18/12]x3}J = 4000 {0,015 x 3}J = 4000 x 0,045J = 180,00

B → M = C + JM = 4000 + 180M = 4.180,00

5) Resposta “ R$ 504,00; R$ 1 512,00 ”Solução: a → J = CinJ = 2400 [(21/100)x1]J = 2400 [0,21 x 1]J = 2400 x 0,21J = 504,00

b → J = Cin J = 2400 [(21/100)x3]J = 2400 [0,21x3]J = 2400 0,63J = 1.512,00

6) Resposta “17 661,01”.Solução: Dados:C: 16000i: 2,5% a.m.n: 4 meses.

M = C 1+ i( )n

M =16000 1+ 2,5100( )⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

4 → M =16000 1+0,025[ ]4 →

M =16000 1,025[ ]4 →

M =16000 x 1,103812891 → M = 17.661,01

7) Resposta “24 597,48”.Solução: Dados:C: 20000

i: 3,0% a.m.n: 7 meses.M = C 1+ i( )n

M = 20000 1+ 3100( )⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

7 → M = 20000 1+0,03[ ]7 →

M = 20000 1,03[ ]7 → M = 20000 x 1,229873685 →

M = 24.597,48

8) Resposta “R$ 238,73”.Solução: Dados:C = R$ 500i = 5% = 0,05n = 8 (as capitalizações são mensais)M = C . (1 + i)n => M = 500 × (1,05)8 => M = R$ 738,73O valor dos juros será:J = 738,73 – 500J = R$ 238,73

9) Resposta “ R$ 400,00”.Solução: M = R$ 477,62i = 3% = 0,03n = 6 (as capitalizações são trimestrais)M = C × (1 + i)n 477,62 = C × (1,03)6

C = 477,621,19405

C = R$ 400,00.

10) Resposta “R$ 2.693,78”.Solução:Observamos que 60% ao ano é uma taxa nominal; a capitali-

zação é mensal.

A taxa efetiva é, portanto, 60% 12 = 5% ao mês.C = R$ 1.500i = 5% = 0,05n = 12M = C . (1 + i)n M = 1.500 × (1,05)12 M = 1.500 × 1,79586M = R$ 2.693,78

EQUAÇÕES E SISTEMAS DO 1º GRAU.

Equação do 1º Grau

Veja estas equações, nas quais há apenas uma incógnita:3x – 2 = 16 (equação de 1º grau)

2y3 – 5y = 11 (equação de 3º grau)

1 – 3x + 25

= x + 12

(equação de 1º grau)



O método que usamos para resolver a equação de 1º grau é isolando a incógnita, isto é, deixar a incógnita sozinha em um dos lados da igualdade. Para conseguir isso, há dois recursos:

- inverter operações;- efetuar a mesma operação nos dois lados da igualdade.

Exemplo1Resolução da equação 3x – 2 = 16, invertendo operações.

Procedimento e justificativa: Se 3x – 2 dá 16, conclui-se que 3x dá 16 + 2, isto é, 18 (invertemos a subtração). Se 3x é igual a 18, é claro que x é igual a 18 : 3, ou seja, 6 (invertemos a multiplicação por 3).

Registro3x – 2 = 16 3x = 16 + 2 3x = 18 x = 18

3

x = 6

Exemplo 2Resolução da equação 1 – 3x + 2

5 = x + 12

, efetuando a

mesma operação nos dois lados da igualdade.

Procedimento e justificativa: Multiplicamos os dois lados da equação por mmc (2;5) = 10. Dessa forma, são eliminados os denominadores. Fazemos as simplificações e os cálculos necessários e isolamos x, sempre efetuando a mesma operação nos dois lados da igualdade. No registro, as operações feitas nos dois lados da igualdade são indicadas com as setas curvas verticais.

Registro1 – 3x + 2/5 = x + 1 /210 – 30x + 4 = 10x + 5-30x - 10x = 5 - 10 - 4-40x = +9(-1)40x = 9x = 9/40x = 0,225

Há também um processo prático, bastante usado, que se baseia nessas ideias e na percepção de um padrão visual.

- Se a + b = c, conclui-se que a = c + b.

Na primeira igualdade, a parcela b aparece somando no lado esquerdo; na segunda, a parcela b aparece subtraindo no lado direito da igualdade.

- Se a . b = c, conclui-se que a = c + b, desde que b ≠ 0.Na primeira igualdade, o número b aparece multiplicando no

lado esquerdo; na segunda, ele aparece dividindo no lado direito da igualdade.

O processo prático pode ser formulado assim: - Para isolar a incógnita, coloque todos os termos com

incógnita de um lado da igualdade e os demais termos do outro lado.

- Sempre que mudar um termo de lado, inverta a operação.

Exemplo

Resolução da equação 5(x+2) 2 = (x+2) . (x-3)

3 - x2

3, usando o

processo prático.

Procedimento e justificativa: Iniciamos da forma habitual, multiplicando os dois lados pelo mmc (2;3) = 6. A seguir, passamos a efetuar os cálculos indicados. Neste ponto, passamos a usar o processo prático, colocando termos com a incógnita à esquerda e números à direita, invertendo operações.

Registro

5(x+2) 2

- (x+2) . (x-3) 3 = x

2

36. 5(x+2)

2 - 6. (x+2) . (x-3)

3 = 6. x

2

315(x + 2) – 2(x + 2)(x – 3) = – 2x2

15x + 30 – 2(x2 – 3x + 2x – 6) = – 2x2

15x + 30 – 2(x2 – x – 6) = – 2x2

15x + 30 – 2x2 + 2x + 12 = – 2x2

17x – 2x2 + 42 = – 2x2

17x – 2x2 + 2x2 = – 4217x = – 42 x = - 42

17

Note que, de início, essa última equação aparentava ser de 2º grau por causa do termo - x2

3 no seu lado direito. Entretanto,

depois das simplificações, vimos que foi reduzida a uma equação de 1º grau (17x = – 42).

Exercícios

1. Resolva a seguinte equação: x - 1 2 - x + 3

4 = 2x - x - 4

3

2. Resolva: x - 3 5 - 2x + 3

2 - 5 =

3x + 1 2 - 4x + 2

5

3. Calcule:a) -3x – 5 = 25

b) 2x - 1 2

= 3

c) 3x + 24 = -5x

4. Existem três números inteiros consecutivos com soma igual a 393. Que números são esses?

5. Determine um número real “a” para que as expressões (3a + 6)/ 8 e (2a + 10)/6 sejam iguais.

Respostas

1) Resposta “ x = -31 17 ”

Solução:

x - 1 2

- x + 3 4 = 2x - x - 4

3



6(x - 1) - 3(x + 3) = 24x - 4(x - 4) 12

6x – 6 – 3x – 9 = 24x – 4x + 166x – 3x – 24x + 4x = 16 + 9 + 610 x – 27x = 31(-1) - 17x = 31x = -31

17

2) Resposta “ x = -32 15

”Solução:

x - 3 5 - 2x + 3

2 - 5 = 3x - 1

2 - 4x + 2 5

2(x - 3) - 5(2x - 3) - 50 = 5(3x - 1) - 2(4x + 2) 102x – 6 – 10x + 15 – 50 = 15x – 5 – 8x – 42x – 10x – 15x + 8x = -5 – 4 + 50 – 15 + 610x – 25x = 56 – 24(-1) -15x = 32x =

-32 15

3) Solução:a) -3x – 5 = 25-3x = 25 + 5(-1) -3x = 303x = -30x = - 30

3 = -10

b) 2x - 1 2

= 3

2(2x) - 1 = 6 24x – 1 = 64x = 6 + 14x = 7

x = 7 4

c) 3x + 24 = -5x3x + 5x = -248x = -24

x = - 24 8

= -3

4) Resposta “130; 131 e 132”.Solução:x + (x + 1) + (x + 2) = 3933x + 3 = 3933x = 390x = 130

Então, os números procurados são: 130, 131 e 132.

5) Resposta “22”.Solução: (3a + 6) / 8 = (2a + 10) / 66 (3a + 6) = 8 (2a + 10)18a + 36 = 16a + 802a = 44a = 44/2 = 22

Sistema de Equações do 1° Grau

Definição

Observe o raciocínio: João e José são colegas. Ao passarem por uma livraria, João resolveu comprar 2 cadernos e 3 livros e pagou por eles R$ 15,40, no total dos produtos. José gastou R$ 9,20 na compra de 2 livros e 1 caderno. Os dois ficaram satisfeitos e foram para casa.

No dia seguinte, encontram um outro colega e falaram sobre suas compras, porém não se lembrava do preço unitário de dos livros. Sabiam, apenas que todos os livros, como todos os cadernos, tinham o mesmo preço.

Bom, diante deste problema, será que existe algum modo de descobrir o preço de cada livro ou caderno com as informações que temos ? Será visto mais à frente.

Um sistema de equação do primeiro grau com duas incógnitas x e y, pode ser definido como um conjunto formado por duas equações do primeiro grau. Lembrando que equação do primeiro grau é aquela que em todas as incógnitas estão elevadas à potência 1.

Observações geraisEm tutoriais anteriores, já estudamos sobre equações do

primeiro grau com duas incógnitas, como exemplo: X + y = 7 x – y = 30 x + 2y = 9 x – 3y = 15

Foi visto também que as equações do 1º grau com duas variáveis admitem infinitas soluções:

x + y = 6 x – y = 7

x y x y0 6 0 -71 5 1 -62 4 2 -53 3 3 -44 2 4 -35 1 5 -26 0 6 -1... ...

Vendo a tabela acima de soluções das duas equações, é possível checar que o par (4;2), isto é, x = 4 e y = 2, é a solução para as duas equações.

Assim, é possível dizer que as equações

X + y = 6X – y = 7

Formam um sistema de equações do 1º grau.



Exemplos de sistemas:x + y = 4x − y = 7

⎧⎨⎩2x + 3y + 2z = 104x − 5y + z = 15

⎧⎨⎩2x + y = 105x − 2y = 22

⎧⎨⎩

∑ Observe este símbolo. A matemática convencionou neste caso para indicar que duas ou mais equações formam um sistema.

Resolução de sistemasResolver um sistema significa encontrar um par de valores das

incógnitas X e Y que faça verdadeira as equações que fazem parte do sistema.

Exemplos:a) O par (4,3 ) pode ser a solução do sistemax – y = 2x + y = 6Para saber se estes valores satisfazem ao sistema, basta

substituir os valores em ambas as equações:x - y = 2 x + y = 64 – 3 = 1 4 + 3 = 71 ≠ 2 (falso) 7 ≠ 6 (falso)A resposta então é falsa. O par (4,3) não é a solução do sistema

de equações acima.

b) O par (5,3 ) pode ser a solução do sistemax – y = 2x + y = 8

Para saber se estes valores satisfazem ao sistema, basta substituir os valores em ambas as equações:

x - y = 2 x + y = 85 – 3 = 2 5 + 3 = 82 = 2 (verdadeiro 8 = 8 (verdadeiro)

A resposta então é verdadeira. O par (5,3) é a solução do sistema de equações acima.

Métodos para solução de sistemas do 1º grau.- Método de substituição

Esse método de resolução de um sistema de 1º grau estabelece que “extrair” o valor de uma incógnita é substituir esse valor na outra equação.

Observe:x – y = 2x + y = 4

Vamos escolher uma das equações para “extrair” o valor de uma das incógnitas, ou seja, estabelecer o valor de acordo com a outra incógnita, desta forma:

x – y = 2 ---> x = 2 + y

Agora iremos substituir o “X” encontrado acima, na “X” da segunda equação do sistema:

x + y = 4(2 + y ) + y = 42 + 2y = 4 ----> 2y = 4 -2 -----> 2y = 2 ----> y = 1

Temos que: x = 2 + y, entãox = 2 + 1x = 3

Assim, o par (3,1) torna-se a solução verdadeira do sistema.

- Método da adiçãoEste método de resolução de sistema do 1º grau consiste

apenas em somas os termos das equações fornecidas.Observe:x – y = -23x + y = 5

Neste caso de resolução, somam-se as equações dadas:x – y = -23x + y = 5 +4x = 3x = 3/4

Veja nos cálculos que quando somamos as duas equações o termo “Y” se anula. Isto tem que ocorrer para que possamos achar o valor de “X”.

Agora, e quando ocorrer de somarmos as equações e os valores de “x” ou “y” não se anularem para ficar somente uma incógnita ?

Neste caso, é possível usar uma técnica de cálculo de multiplicação pelo valor excludente negativo.

Ex.:3x + 2y = 42x + 3y = 1

Ao somarmos os termos acima, temos:5x + 5y = 5, então para anularmos o “x” e encontramos o valor

de “y”, fazemos o seguinte:» multiplica-se a 1ª equação por +2» multiplica-se a 2ª equação por – 3

Vamos calcular então:3x + 2y = 4 ( x +2)2x + 3y = 1 ( x -3)6x +4y = 8-6x - 9y = -3 +-5y = 5y = -1

Substituindo:2x + 3y = 12x + 3.(-1) = 12x = 1 + 3x = 2

Verificando:3x + 2y = 4 ---> 3.(2) + 2(-1) = 4 -----> 6 – 2 = 42x + 3y = 1 ---> 2.(2) + 3(-1) = 1 ------> 4 – 3 = 1



LÓGICA MATEMÁTICA DE UMA PLANILHA ELETRÔNICA.

LÓGICA E INFORMÁTICA

Para se compreender o desenvolvimento da Informática no mundo e do uso de computadores na sala de aula, bem como sua relação com a Matemática, faz-se necessário um histórico da Lógi-ca Matemática e do avanço da Tecnologia da Informação.

Lógica e pensamento matemático: O estudo da computação está fundamentado no estudo da Lógica, que foi objeto de inves-tigação de filósofos desde a Grécia, onde estudosorganizados de Geometria e de cálculo foram criados ainda que de forma incipien-te. Houve evolução de formas de pensamento matemático e crises de teorias desde a Grécia.

As discussões sobre infinidade de números são históricas e permite incursões na Lógica Matemática. Os conceitos de infini-to e limitado foram por vários momentos históricos considerados paradoxais.

“Os gregos foram, pelo testemunho literário, não só pioneiros em tratar processos convergentes ilimitados por meios matemáti-cos, como na dicotomia descrita por Zenão de Eléia, mas também no emprego de demonstrações para suas proposições matemáti-cas, tendo com isso descoberto a incomensurabilidade recíproca entre certas grandezas geométricas. Mas o senso comum da época considerava paradoxal um processo ilimitado de crescimento po-der atingir resultado limitado e definido.” (REZENDE, 1999).

Situações de sala de aula envolvendo conceito de infinito só seriam trabalhadas pelos alunos, até o final da década de 70, em séries iniciais do Ensino Médio ou em cursos superiores. Hoje, um aluno do Ensino Fundamental depara-se com valores considerados não inteiros e que parecem finitos. Essa questão da finitude ou não dos números é antiga e vale a pena conhecê-la.

O conceito de infinito foi abordado por Aristóteles: como acréscimo de um elemento a uma coleção, não acreditava na sua possibilidade, pois o mundo estaria limitado pela abóbada celeste (a esfera de estrelas fixas), mas existe, em certo sentido, o infinito por divisão. Esse conceito se refere ao famoso paradoxo de Zenão onde um segmento de reta pode ser dividido indefinidamente.

Nosso contato com o mundo da computação envolve formu-lações matemáticas que estão organizadas através de argumentos lógicos. A Lógica como formalização de conceitos matemáticos também é antiga e sofreu críticas e transformações através das cha-madas crises de consistência, uma palavra comum em linguagens de programação.

O estudo das condições em que pode-se afirmar que um dado raciocínio é correto, foi desenvolvido por filosófos como Parmé-nides e Platão. Mas foi Aristóteles quem o sistematizou e definiu a Lógica como a conhecemos, constituindo-a como uma ciência autônoma. Falar de Lógica durante séculos, era o mesmo que falar da lógica aristotélica que apesar dos enormes avanços da lógica, sobretudo a partir do século XIX, persiste até nossos dias.

Foram múltiplas as contribuições de Aristóteles ao desenvol-vimento da lógica:

1) A identificação dos conceitos básicos da lógica. 2) A introdução de letras mudas para denotar os termos. 3) A criação de termos fundamentais para análise: “Válido”,

“Não Válido”, “Contraditório”, “Universal”, “Particular”.

Na palestra “A Crise nos fundamentos da Matemática e a teo-ria da Computação” proferida em 1999 no Seminário de Filosofia, em Brasília o Professor Pedro Antonio Dourado Rezende afirmou: “A Lógica de Aristóteles tinha um objetivo eminentemente meto-dológico. Tratava-se de mostrar o caminho correto para a investi-gação, o conhecimento e a demonstração científica”. O método de Aristóteles baseava-se nas seguintes fases:

1) Observação de fenômenos particulares. 2) Intuição dos princípios gerais (universais) a que os mesmos

obedeciam. 3) Dedução a partir deles das causas dos fenômenos particu-

lares. Aristóteles estava convencido de que, se estes princípios ge-

rais fossem adequadamente formulados, e as suas consequências corretamente deduzidas, as explicações só poderiam ser verda-deiras.

“Refletindo sobre o que há de universal na matemática, em “Metafísica”, Aristóteles afirma que o matemático contempla aquilo que existe por abstração, em que vê coisas diferentes do ponto de vista quantitativo e contínuo (pontos, linhas, superfícies, corpos), enquanto o “filósofo primeiro” (o metafísico) contempla todas as coisas do ponto de vista do ser.” (REZENDE, 1999)

A partir do século XVI a Lógica aristotélica começa a ser criticada. Os métodos dedutivos para a investigação científica co-meçam a ser questionados, com o aparecimento da ciência experi-mental. O estudo do particular geraria o conhecimento do geral. A Lógica formal entra num período de descrédito, devido às criticas de filósofos como Francis Bacon (1561-1626) e René Descartes (1596-1650), esse considerado um precursor da Escola Intuicio-nista do Pensamento Matemático.

“Essa Escola do Pensamento atribui primazia à intuição intelectual ao invés de atrbuí-la à Lógica. Descartes atribuiu à intuição intelectual de clareza e distinção a fonte precípua do co-nhecimento.” (BASTOS e FILHO, 2003).

Com relação às críticas de Bacon, REZENDE (1999) expli-cita:

“O aforismo forjado por Sir Francis Bacon, “Naturam renun-ciando vincimus” (pela renúncia venceremos a natureza), reflete a essência da revolução ocorrida no espírito renascentista que ferti-lizou o pensamento matemático, promovendo seu desenvolvimento ao estado atual. Por paradoxal que possa parecer, o processo para arrancar à natureza seus mistérios e dominar suas forças é renun-ciar ao conhecimento de sua “essência”.

As ferramentas de cálculo propiciam momentos de experi-mentações em que os alunos com pequenos cálculos concluem algumas propriedades das operações aritméticas.

Para uma interação eficaz do aluno com a máquina é necessá-rio que haja uma reflexão constante sobre a “resposta” dada pelo aparelho. O estudante precisa conhecer que a Matemática desen-volvida através do tempo permitiu a criação de conceitos que nor-tearam a criação das máquinas e que a formalização desses con-ceitos estão subjacentes à Lógica Computacional. Palavras como verdadeiro, falso, ou, e, se...então estão presentes nas linhas de uma programação e o retorno do sistema é resultado de uma ação mental do indivíduo. Como se deu essa necessidade de formali-zação?

Vários pensadores e matemáticos discordaram entre si sobre como fundamentar a matemática. O ponto nodal das discussões quase sempre incluía a noção de infinito.



Acredita-se que os pitagóricos já conheciam a impossibilidade de se medir a diagonal de um quadrado em relação a seu lado, atra-vés do processo da diminuição recíproca (antanairesis).

A versão aritmética deste processo de medição é descrita por Euclides em “Elementos”, hoje conhecida como algoritmo de Eu-clides para divisão inteira.

“O conceito de infinito em potencial de Aristóteles desempe-nha também papel essencial na doutrina das antinomias de Kant, empregado para solucionar as primeiras antinomias cosmológi-cas sobre a finitude ou não da extensão e da divisibilidade do mun-do no tempo e no espaço, cuja “crítica da razão pura” desempe-nha importante papel na releitura epistemológica contemporânea da matemática.” (REZENDE,1999).

As questões acima teriam, ainda, muitas vertentes durante o desenvolvimento do cálculo diferencial por Newton(1643-1727) e Leibniz(1646-1717). Soluções contraditórias instigavam os ma-temáticos a buscar explicações que resolvessem esses paradoxos. Abaixo um exemplo:

1-1+1-1+1-1 ... = (1-1)+(1-1)+(1-1)...= 0

Ou

1-1+1-1+1-1 ... = 1-(1-1)-(1-1)-(1-1)...= 1

Surge então, na passagem do século XVIII para o XIX, uma atitude crítica ao pensamento matemático – em paralelo, e não por acaso, ao desaparecimento do dogmatismo racionalista dos suces-sores de Leibniz e ao surgimento da critica da razão por Kant(1724-1804) – que começa por investigar, com Saccheri(1667-1733) e Lambert(1728-1777), o status do axioma das paralelas na geome-tria euclideana, e com Lagrange(1736-1813), os fundamentos de um “cálculo diferencial” que pudesse omitir o uso de “elementos infinitesimais”.

Na verdade o problema do infinito foi, como depois se cons-tatou na investigação de “casos patológicos” de convergência, apenas transferido para a construção do domínio sobre o qual tal predicado está sendo definido (os números reais). A esta próxima tarefa, historicamente conhecida como “a aritmetização da aná-lise”, dedicamse algumas mentes brilhantes da geração seguinte, como Dedekind, Weierstrass e Cantor. (REZENDE, 1999)

George Cantor(1845-1918), com sua teoria dos conjuntos, enriqueceu a discussão sobre os príncipios lógicos devido aos pa-radoxos encontrados. Na busca de uma matematização “perfeita” algumas escolas de pensamento em Matemática se destacaram.

“Ao romper radicalmente, em sua teoria dos conjuntos, com toda a tradição filosófica e matemática de tratar o infinito segundo a tese aristotélica do ser em potencial, Georg Cantor permite que paradoxos – até então cuidadosamente confinados ao uso impre-ciso da linguagem natural – reapareçam com força insofismável na fundação basilar do edifício do conhecimento matemático, que tantos triunfos trouxera às ciências da natureza, pondo em mar-cha, de forma dramática, uma jornada de profícua investigação filosófica sobre seus fundamentos. (REZENDE, 1999).

O objetivo do pensamento matemático sempre foi a descober-ta de regularidade e de invariantes, buscando uma demonstração baseada no raciocínio lógico e mediado tão somente pelos axiomas de fundamentação da estrutura e teoremas já destes deduzidos. É investigação no plano puramente matemático.

A história da evolução da Geometria mostra bem este duplo aspecto da Matemática. Na Antiguidade surge como ciência prá-tica na solução de problemas de medidas. Com os gregos torna-se conhecimento de caráter abstrato, tomando como ponto de partida axiomas indiscutíveis sob o ponto de vista intuitivo, inspirados que são pelo mundo físico.

No final do século XIX os estudos da Lógica Matemática evoluíram, no sentido da formalização dos conceitos e processos demonstrativos. Entre os matemáticos e filósofos que mais contri-buíram para os avanços destacam-se Gottlob Frege(1848-1925), Peano(1858-1932), Bertrand Russell(1872-1970), Alfred N. Whi-tehead(1861-1947) e David Hilbert(1862-1943).

Frege (1848-1925), introduziu a função proposicional, o uso de quantificadores e a formação de regras de inferência primitivas. Procurou, em síntese, criar todo um sistema capaz de transformar em raciocínios dedutivos todas as demonstrações matemáticas. Para isso todas as demonstrações foram traduzidas num vocabulá-rio fixo: um certo conjunto de modos de tradução. Nesta notação, a construção de cada frase, seu significado e o modo como no ra-ciocínio se deduziam os novos passos a partir dos anteriores, tudo devia ser devidamente explicitado. Com Frege passa-se da álgebra da lógica (matematização do pensamento) ao logicismo (redução das matemáticas à lógica).

Estudos do biólogo Jean Piaget(1896-1980) sobre como o ser humano desenvolve sua forma de pensar nortearam de forma equi-vocada estratégias didática onde o professor confundiu-se com um psicólogo que deveria em sala provocar o desenvolvimento de estruturas em lugar de trabalhar conteúdos escolares. Piaget, em nenhum momento, propôs-se a elaborar metodologias de en-sino que favorecem professores em sala. Seus estudos sobre o de-senvolvimento das estruturas cognitivas é que podem auxiliar na compreensão de comportamentos de alunos frente a um conteúdo.

“Encontramo-nos em presença de um dos problemas mais di-fíceis da Psicologia Genética contemporânea...a Neurologia tem permanecido quase muda no que respeita às fases efetivas dessa estruturação endógena, salvo no que se refere aos primeiros me-ses de existência. Mas, de fato, nada sabemos e não conhecemos, sobretudo, qualquer estrutura cognitiva que se possa demonstrar ser resultante, exclusivamente, de fatores endógenos ligados à ma-turação.” PIAGET (1983, p.16).

A questão da maturação dos alunos não pode ser ignorada, mas não é com repetições de experiências do cientista suíço que o ensino deve ser pautado. As atividades propostas em sala de aula precisam buscar a compreensão do conteúdo a ser aprendido. Esse objetivo será alcançado na medida em que for gradualmente apre-sentado pelo professor, debatido em sala com outros alunos e ava-liado através das estratégias especificadas pela escola.

LENER(1995, p.91) aponta que: “Passar de um estado de menor conhecimento para o de

maior conhecimento” e “passar de um estado de menor conheci-mento para o de maior conhecimento com relação a cada um dos conteúdos ensinados na escola”, são questões vinculadas à pro-dução do conhecimento, mas diferentes: “A primeira está orienta-da para a compreensão do desenvolvimento cognitivo, a segunda, para a análise do aprendizado sistemático”.

Os conselhos de classe ao final de cada período letivo discu-tem entre professores de disciplinas diferentes o crescimento do estudante de forma global. É comum divergências entre professo-res que avaliam o núcleo comum e os que avaliam primordialmen-te o aspecto formativo. Um estudante que desenvolveu habilidades nas formas plástica e artística ou apresente facilidade em ativida-



des esportivas, nem sempre apresenta o mesmo desempenho na área de expressão formal escrita ou na lógica matemática. Cabe ao professor identificar como a aquisição do interesse em uma área auxilia no desenvolvimento em outras esferas. A forma de apresen-tar e registrar o conhecimento difere, mas não indica nulidade na aprendizagem. Uma expressão plástica em Geometria com cons-truções de estruturas proporcionais ou uma sucessão de histórias em quadrinhos em tela sugere uma forma alternativa de avaliação sem abrir mão do conhecimento esperado pela escola.

Não é surpresa que, apesar de vários estudos sobre a teoria piagetiana, a escola ainda apresente dificuldades no desempenho matemático e o medo da disciplina tenha caráter cultural e crie crenças e fantasias entre estudantes, pais e professores. Em seu li-vro “LOGO: COMPUTADORES E EDUCAÇÃO”, Seymour Pa-pert, criador da linguagem de programação LOGO que trabalhou com Piaget, cita o termo “Matofobia” como medo de aprender e, com relação à Matemática, acrescenta:

“O aparecimento de uma matemática humanista, que não seja entendida como sendo tão distante do estudo do homem e das áreas humanas, pode ser o prenúncio de que uma mudança está acontecendo. Não é raro que adultos inteligentes se tornem obser-vadores passivos de sua própria incompetência em qualquer coisa além da matemática mais rudimentar”. (PAPERT, 1988)

A contribuição da Psicologia à didática é aceita como verda-deira pela comunidade pedagógica, mas é preciso evitar confusões com seus objetivos e implicações nas atividades escolhidas pela escola. Os sentimentos que a Matemática provoca nos indivíduos é estudo recente de autores que relacionam emoção e aprendizado matemático sugerindo ações que facilitem o trabalho escolar.

O aspecto construtivista do conhecimento trabalhado na es-cola não sugere uma aplicação didática da teoria piagetiana ou do saber psicológico. Isto implica que “tanto porque desvirtuam o sentido das pesquisas psicogenéticas quanto porque desconhecem a natureza da instituição escolar”. LERNER (1995, p.92).

Uma abordagem cognitiva de aprendizagem privilegia a ex-ploração das potencialidades do estudante como protagonista de seu desenvolvimento. A teoria de Lerner é fundamentada na ma-turação biológica do indivíduo, onde em cada etapa de sua vida há mudanças significativas que permitem compreender o mundo em que vive. Essa concepção não trata a criança como um adulto em miniatura. Desde seu nascimento o ser humano interage com o mundo gradualmente com uma visão infantil e vai modificando até uma compreensão adulta, resultado do acúmulo de experiências e de maturidade que vem com o desenvolvimento das estruturas cognitivas. Experiências adultas não aceleram o processo de matu-ração infantil. As etapas do desenvolvimento psicológico precisam acompanhar o biológico.

A pergunta motivadora nos estudos de Piaget foi como o indi-víduo atinge os graus mais elevados de desenvolvimento de pen-samento. O conhecimento e sua origem no ser humano sempre foi sua preocupação. “A inteligência é uma adaptação. Para apren-dermos as suas relações com a vida, em geral, é preciso, pois, de-finir que relações existem entre o organismo e o meio ambiente”. PIAGET (1987, p.14).

A condição natural de ser ativo propicia o indivíduo a conhe-cer o mundo através de experimentações próprias de manipulação ou observação e através de esquemas denominados por Piaget, de assimilação e acomodação nos quais a aprendizagem vai evoluin-do juntamente com seu agente explorador.

Como esquema de assimilação, entende-se a ação física cons-tante desde o nascimento como agitar os braços, mover olhos, sugar o leite materno e a ação mental como reunir, separar, clas-sificar, estabelecer relações. Essas atitudes, bem entendidas, po-dem auxiliar o trabalho escolar no desenvolvimento de atividades didáticas.

A acomodação implica numa modificação de esquemas assi-milados para uma adaptação natural. Uma assimilação de sugar, por exemplo, será modificada futuramente para o de mastigar, beber, constituindo assim, um novo aprendizado. “O relativismo biológico prolonga-se, destarte, na doutrina da interdependência do sujeito e do objeto, da assimilação do objeto pelo sujeito e da acomodação deste àquele”. PIAGET (1987, p.26).

Embora a motivação de aprendizagem seja externa, a mu-dança se faz internamente. Esses dois esquemas se repetem con-tinuamente durante a vida inteira, em diversos momentos e situa-ções. Um conhecimento novo é incorporado ao antigo e, através dos esquemas acima mencionados, modifica o comportamento do indivíduo. Devido a essa proximidade entre estudo psicológico e educação, LERNER(1995, p.93) alerta:

“Algumas interpretações educativas da teoria piagetiana têm considerado possível deduzir da psicologia Genética consequên-cias imediatas para a prática na sala de aula. Isso é o que sucede, por exemplo, quando o desenvolvimento operatório é proposto como objetivo (e mesmo como conteúdo) da educação”.

Nas séries iniciais do Ensino Fundamental a construção do número é trabalhada com atividades que utilizam estruturas cogni-tivas de classificação, ordenação e comparação. O profes-sor deve estar atento para interferir no momento em que sua ação for de “informante do saber” sem medo de interromper a aquisição de conhecimento. A atitude passiva do professor é equivocada e motivada pela interpretação do real papel da escola no desenvolvi-mento da criança. Em seu artigo “Pedagogias de las matemáticas y psicologia: análisis de algunas relaciones. Faculdade de Psicologia e Ciências da Educação, Universidade de Genebra”, de 1979, J. Brun faz uma crítica a essa condição: “Ao deduzir os objetivos educacionais da psicologia, esquecemo-nos que a escola está inse-rida em uma sociedade e que as finalidades da educação só podem emanar da realidade social”.

Cabe á escola preparar seus professores para planejar ativi-dades que propiciem discussões, enriquecimento, conjecturas e motivações na investigação matemática. O tempo da sala de aula é precioso e fecundo. Há vários alunos, cada um com seus conhe-cimentos prévios, expectativas, vivências e o trabalho em dupla ou pequenos grupos produz interação social. O conhecimento dos aspectos psicológicos é auxiliar na abordagem afetiva dos alunos, no reconhecimento das limitações e gerenciamento das diferentes emoções envolvidas e surgidas durante a atividade. Como adverte LERNER(1995, p.95):

“O conhecimento didático não pode ser deduzido diretamente das contribuições da psicologia. Ao estudar a situação didática, é preciso levar em consideração, além da natureza do processo cog-nitivo da criança, a natureza do saber que se tenta comunicar e a ação exercida pelo professor para garantir a comunicação desse saber, para cumprir a função social a ele atribuída e que o torna responsável pelo aprendizado dos seus alunos.”

Ilustrando esse comentário, o ensino de frações na 4ª série do Ensino Fundamental introduz o conceito de números racionais e requerem do professor um conhecimento específico sobre o tema e suas implicações futuras na representação decimal e cálculo de



porcentagens. Crianças nessa faixa etária experimentaram situa-ções de divisões em partes iguais, mas ainda não realizou levan-tamentos estatísticos que envolvam porcentagens. O professor, no entanto aproveita a observação em mídias impressas de gráficos de setores para justificar o aspecto informativo desse tipo de resultado e relacionar com a Matemática de sala de aula. As planilhas eletrô-nicas constroem gráficos desse tipo a partir de frações. O desen-volvimento cognitivo dosestudantes não garante a compreensão real de uma situação abstrata ainda não vivida nessa idade.

A teoria de Piaget não diferencia crianças, embora seja claro que num meio sem uso constante de estímulos visuais e de lin-guagem o conhecimento será aproveitado de forma diferente por indivíduos que o habitem. A capacidade e liberdade de expressar--se através de desenhos, mímicas e fala facilita o desenvolvimento e requer cuidados na formação de limites e valores.

No Estágio Operatório concreto (período aproximado de 7 a 11 anos), a criança está entrando em contato com a comunicação escrita através de códigos que envolvem letras e os números. É o início de uma matematização que a acompanhará criando praze-res ou frustrações devido sua característica abstrata e dependen-te de um pensamento lógico ainda não construído. Nesse perío-do a criança está com habilidades de classificar, agrupar, aplicar a reversibilidade, comunicar-se com clareza e realizar atividades concretas com objetos e observar comportamentos e resultados. A Matemática como disciplina é colocada frente ao estudante de for-ma lúdica, mas formalizações aritméticas como adição, ordenação e contagem já são apresentadas. Nesse estágio, as noções de con-servação experimentadas por Piaget ainda não estão completas. A noção de mais, menos, maior e menor funcionam mais como lin-guagem do que como pensamento matemático. As observações re-latadas por Piaget indicam que a representação ainda é insuficiente para garantir a noção de número e suas propriedades. Número é um conceito construído internamente e através dos esquemas de assimilação e acomodação, não adiantando, portanto, criar exercí-cios repetitivos na tentativa de acelerar o processo. Não é possível garantir que todas as relações numéricas sejam contempladas para essa construção. Em seu livro “A Criança e o Número”, CONS-TANCE KAMII (1982, p.39) afirma: “Ainda é um mistério o como precisamente a criança constrói o número, assim como também o é o processo de aprendizagem da linguagem. Contudo, existe bastante evidência teórica e empírica de que as raízes do número têm uma natureza muito geral”.

A relação entre linguagem e Matemática aparece aqui como dois conhecimentos que devem conter algumas características co-muns em relação a outros ramos do conhecimento escolar. Mais uma vez o conhecimento da psicologia é um aditivo na dinâmica das estratégias didáticas. Como explicita LERNER (1995): “Efe-tivamente quando se fala da relação entre teoria e prática, com frequência se está pensando na teoria psicológica e na prática didática”.

O professor deve aproveitar o início dessas aquisições e pro-mover o hábito entre os alunos de verbalizar e argumentar sobre suas observações matemáticas. A linguagem matemática difere na simbologia, mas sua natureza atual é de comunicar, esclarecer, re-presentar e diferenciar situações. Os problemas matemáticos são apresentados aos alunos nas séries iniciais do 1º Segmento do En-sino Fundamental como se eles fossem exclusivos das aulas de Matemática.

Uma atividade aplicada nas escolas em crianças no estágio operatório concreto é o de observar materiais estruturados e não estruturados. São considerados materiais estruturados aqueles

que possuem características comuns na sua confecção e podem ser classificados segundo atributos combinatórios: os blocos lógi-cos são materiais de madeira ou não com quatro formas de faces diferentes (triângulo, quadrado, círculo e retângulo), três cores (vermelho, azul e amarelo), duas espessuras (grosso e fino) e dois tamanhos (pequeno e grande). Os estudantes são estimulados a ob-servarem as semelhanças e diferenças e separar os objetos pelos diferentes atributos. As noções piagetianas de classificação e in-clusão são trabalhadas com várias repetições.

“As operações lógicas (na espécie de classificação e seria-ção, aditivas ou multiplicativas) estão ligadas, por uma evolução surpreendentemente contínua, a certo número de ações elementa-res (por em pilhas, dissociar, alinhar etc.) e, em seguida, às regu-lações cada vez mais complexas que preparam e, depois, assegu-ram a sua interiorização e a sua genaralização”. PIAGET (1983, p.352)

Já os materiais não estruturados são aqueles compostos por material sucata: chapinhas, palitos, botões etc. O fato de utilizar tais materiais impele o professor a buscar desenvolver a capaci-dade de verbalização, por meio da investigação, levantamento de hipóteses e não memorizar termos. A formação de conceitos virá dessa interação. Os materiais são os recursos que auxiliam nes-sa tarefa. Essa preocupação é mostrada na observação de KAMII (1982, p.118):

“Hoje em dia, os educadores da educação pré-primária fre-quentemente definem seus objetivos dizendo que as crianças de-vem aprender os chamados conceitos, tais como número, letras, cores, formas geométricas, em cima, embaixo, entre, etc. Eu me oponho a esta maneira de definir objetivos porque conduz o pro-fessor a ensinar uma palavra desconexa depois da outra, em vez de encorajar as crianças a construírem o conhecimento em rela-ção com o que já conhecem”.

Ao confrontar suas observações com de seus pares o estudante exercita a capacidade de ouvir, argumentar e interagir com o objeto apresentado pela atividade, com a mediação do professor que não deve hesitar no auxílio com receio de antecipar respostas.

As experiências vividas por cada estudante é enriquecedora. As diferenças de educação, família, nível sócio-econômico, voca-bulário, favorecem o ambiente sócio-interativo onde o conheci-mento é construído através de vivências anteriores. O que é novo para um, nem sempre é para o outro e o significado dos conceitos apresentados toma visões variadas além daquela proposta pelo professor. Mediar e organizar essa pluralidade de informações é a tarefa do professor para depois, sim, ampliar esses conhecimentos prévios.

O educador César Coll (1990) afirma: “Assim, na maioria das aplicações pedagógicas de base pia-

getiana, o aluno é percebido como um ser socialmente isolado que deve descobrir por si mesmo as propriedades dos objetos e in-clusive das suas próprias ações, vendo-se privado de toda ajuda ou apoio originado em outros seres humanos. A centração quase exclusiva nas interações entre o aluno e um meio essencialmen-te físico provoca menosprezo pelas interações do aluno com seu meio social e, naturalmente, pelos possíveis efeitos destas últimas sobre a aquisição do conhecimento”.

O comprometimento do professor com a abordagem cognitiva provoca uma mudança na postura de encaminhamento dos con-ceitos e no controle do desenvolvimento das aulas. A valorização dos conhecimentos prévios dos alunos, o respeito as vivências e o acompanhamento dos progressos devem ser elementos presentes no ambiente de aprendizagem significativa.



A avaliação do desenvolvimento dos alunos e a observação de seus estágios de abstração serão indicadores de controle do pro-cesso de aquisição de conhecimentos trabalhados em sala de aula.

Aos 6 anos, as crianças já viram letras e números em suas casas, ruas e televisão. O código é conhecido, mas necessita de maturação biológica para ser absorvido. E a linguagem? Pouco se aproveita dela nas séries iniciais. Ler Matemática é reconhe-cer a utilidade dos códigos numéricos em vários contextos. Nú-meros não estão sempre contando coisas. Estão informando datas, números de casas, placas de trânsito, calorias em recipientes de alimentos etc. Ler e escrever Matemática são tão significativos e necessários quanto ler e escrever textos.

Nas aulas os estudantes só lêem números para resolver pro-blemas com operações aritméticas. Mas gráficos, preços, idades e medidas estão nos textos literários como informação. Reconhe-cendo essa função, os estudantes também a utilizarão e os questio-namentos serão significativos. A opinião qualitativa é tão válida quando a quantitativa e a oportunidade de expressão valida o uso dos números.

Essa gama de informação prévia sendo tratada de forma cole-tiva poderá contribuir de forma positiva para o enriquecimento das aulas. A construção social do conhecimento é defendida por alguns estudiosos que acreditam no crescimento através de um conflito de ideias e debate de opiniões. Experimentações desse tipo são citadas em LERNER (1995, p.100):

“Experiências didáticas realizadas a partir dessa perspec-tiva, na América Latina, desde o início também outorgaram um lugar central à elaboração cooperativa do conhecimento sobre a língua escrita. Desse modo, postula-se como um princípio peda-gógico fundamental propiciar permanentemente a cooperação en-tre as crianças, dado que a confrontação entre distintas hipóteses e conhecimentos específicos desempenha um papel preponderante no desenvolvimento do processo”.

O matemático Seymour Papert que trabalhou com o psicólogo Jean Piaget desenvolveu sua teoria do ambiente LOGO, onde o computador é programado pelo estudante de qualquer idade atra-vés de um personagem representado por uma tartaruga capaz de movimentar-se na tela do computador comandada pela linguagem LOGO que se assemelha com a linguagem do estudante.

Essas sistematizações estão subjacentes ao pensamento no momento da construção de linhas de programação. Seymour Pa-pert, na defesa da programação do computador pelas crianças, ressalta a importância do comando da máquina pelo estudante, colocando-se no lugar da “tartaruga” do LOGO executando a ação pedida.

Um ponto euclidiano está em algum lugar. Tem uma posição, e isso é tudo que se pode dizer sobre ele. Uma tartaruga está em algum lugar. Ela também tem uma posição, mas além disso está voltada para alguma direção, sua orientação. (...) As crianças podem identificar-se com a Tartaruga e, no processo de apren-der geometria formal, são assim capazes de usar o conhecimento sobre o seu corpo e de como ele se move. (PAPERT, 1988, p.78).

A linguagem e a Lógica são os elos entre um comando e su-cesso deste. Nas operações aritméticas envolvendo ações e con-sequências a Lógica Matemática está presente também nas pla-nilhas eletrônicas num momento incipiente do aluno, mas com resposta imediata.

A Lógica Matemática caracteriza-se por ter construído uma linguagem artificial, simbólica, para representar o pensamento de uma forma unívoca. Cada signo possui apenas um único signifi-cado.

Esta linguagem possui as seguintes propriedades: 1) Não exige qualquer tradução numa linguagem natural. 2) A escrita é ideográfica ( não fonética). As ideias são repre-

sentadas por sinais. 3) A forma gramatical é substituída pela forma Lógica. As relações entre a Lógica e a Matemática geraram três Esco-

las de Pensamento: a) Os Logiscistas, que defendiam que a Lógica era um ramo

da matemática. b) Os Formalistas, que defendia que ambas as ciências eram

independentes, mas formalizadas ao mesmo tempo. c) Os Intuicionistas, para os quais a Lógica era um derivado da

matemática porque era axiomatizada. A familiaridade do estudante com um linguagem simbólica

é natural, já que nas teorias de aprendizagem o símbolo aparece como um dos mediadores do conhecimento.

Embora sem unanimidade a Escola Formalista influenciou, pela sua preocupação com a consistência da linguagem matemática e na busca de maior rigor nas deduções e definições, o surgimento das criações das ciências chamadas computacionais. A Lógica es-truturada de organizar o pensamento em cada paço de uma progra-mação é fator de encadeamento de ações coerentes para um resul-tado positivo. As linguagens estruturadas seguem uma cadeia de algoritmos bem delimitados. Essa disciplina favorece o estudante nas revisões de seus erros. A interação do estudante com a máquina transforma o erro em possibilidade de feedback constante.

A proposta formalista foi apresentada por David Hilbert em 1904, e ganhou ímpeto a partir de 1920 com a contribuição de Ber-nays, Ackermann, Von Neumann e outros. Em 1900, Hilbert havia provado a consistência interna da geometria elementar e, em 1925, Ackermann mostrou a consistência interna da aritmética elemen-tar. Buscava-se, então, pelos mesmos meios, provas de consistên-cia interna para a teoria elementar dos números, para a análise real, e para a teoria axiomática dos conjuntos de Zermelo & Fraenkel, quando em 1930 Kurt Gödel dificultou os rumos do projeto forma-lista, ao publicar seus dois famosos teoremas de incompletude, que apontavam novos limites na natureza do pensamento matemático, relativos ao uso do método axiomático. Uma questão técnica, que logo atraiu os pensadores envolvidos, diz respeito aos efeitos da escolha dos métodos dedutivos admissíveis para uma teoria ter no seu poder de alcance.

Toda essa construção e discussão mostram o percurso do pensamento matemático, mais especificamente da Lógica, que re-sultou na formalização que encontramos hoje nas máquinas e nas semelhanças que há entre os sistemas operacionais mesmo que de empresas diferentes. (Texto adaptado: Walter Tadeu Nogueira da Silveira).

3. Problemas de Programação Matemática (PPM)

A característica comum aos denominados Problemas de Pro-gramação Matemática (PPM) é que todos envolvem o conceito de otimização. Tipicamente, deseja-se maximizar ou minimizar uma determinada grandeza. Entende-se por PPM o problema da deter-minação de x* ∈ X tal que f (x*) = Max/Min {f(x): x ∈ S}. O



conjunto S é denominado conjunto de soluções viáveis do proble-ma e, em geral é representado por um grupo de restrições

: 1,2,...,0,S x X gi mi≤

=

= ∈ ≥ =

onde gi denota uma função real cujo domínio é X. Se o con-junto viável é definido por um conjunto de restrições lineares e a função objetivo também é linear, temos então definido um Pro-blema de Programação Linear (PPL). Assim, a definição completa de um PPL é caracterizada pela especificação de uma medida de eficiência do sistema, que deverá ser expressa em função das variá-veis de decisão que, por sua vez, correspondem às grandezas sobre as quais possuímos controle e, finalmente, pela especificação do conjunto de relações que restringem os valores que as variáveis de decisão podem assumir.

A existência de um único critério torna o problema de decisão, trivial, no sentido em que se resume a uma mensuração, não sendo realmente necessária nenhuma decisão. Observemos, no entanto, que o problema em questão pode ser absolutamente nada simples, implicando em considerações técnicas elaboradas.

CONCEITOS FUNDAMENTAIS: ELEMENTOS DA PROGRAMAÇÃO LINEAR MULTICRITÉRIO – “PRO-BLEMAS DE DECISÃO NÃO TRIVIAIS”

A tomada de decisão constitui uma tarefa básica e crítica da gestão. Em situações onde a pressão do tempo é grande, opta-se com frequência por modelos em que apenas um critério de deci-são assume caráter fundamental. Contudo, a complexidade dos problemas reais é essencialmente caracterizada

pela existência de múltiplos critérios, muitas vezes conflitan-tes, que refletem aspectos econômicos, sociais, políticos, físicos, psicológicos, éticos, etc., num dado contexto (e interligados). A percepção que a PM está focada na otimização de um único obje-tivo faz com que muitas vezes tenhamos que adotar a ideia simpli-ficadora da aproximação monocritério. Entretanto, se os diferentes aspectos da realidade forem considerados, a compreensão dos pro-blemas e os modelos matemáticos que lhe dão suporte, tornam-se mais realistas.

O PLMO

A denominação genérica Multicritério(Roy e Bouysson, 1993) engloba dois tipos básicos de problemas: os problemas Multiob-jetivo e os problemas Multiatributo (Clímaco et al, 2003, 2005) (Alves 2000)(Dias et al, 1996).

Um problema Multiatributo caracteriza-se pela existência de um número finito de alternativas e os atributos, bem como as al-ternativas, são conhecidos explicitamente (Gomes et al., 2009), enquanto os Multiobjetivo, pela existência de um conjunto de soluções admissíveis definidas através de um conjunto de restri-ções e onde os objetivos são explicitados através de FO, utilizam a estrutura da programação matemática (Luque et al., 2009). Nos problemas multiobjetivo várias funções objetivo têm de ser otimi-zadas simultaneamente (Luque et al., 2009), entretanto, em geral, nos problemas multiobjetivos não existe uma solução que otimize simultaneamente todas as FO (Alves, 2000).

Este trabalho trata apenas da Programação Linear Multiobje-tivo, cuja descrição passa-se agora a apresentar.

Formulação Matemática (sem perda de generalidade, iremos considera-se que as FO são todas de maximização):

Max

1 1 11

( )n

j jj

Z Z x c x=

= = ∑...

1( )

n

p p pj jj

Z Z x c x=

= = ∑s.a.

11,...,

0

n

ij j ij

ji

a x b i

x=

= =

≥

∑

M

Onde:p = nº de critérios;i = nº de restrições do modelo;j = nº de variáveis de decisão.

Problemas multiobjetivos consistem na otimização de um vetor composto por funções escalares, escolhidas como forma de avaliar o impacto das decisões factíveis do problema, de acordo com diferentes índices de desempenho (Oliveira e Ferreira, 2003).

Na resolução de modelos com um único objetivo, deseja-se encontrar a solução ótima, isto é, que torna máximo (mínimo) o valor da FO. É neste ponto que a Programação Multiobjetivo se diferencia dos demais problemas de otimização, ou seja, quanto ao sentido que o conceito de solução do problema assume (Steuer, 1977, 1986) (Steuer e Gardiner, 1994). O conceito tradicional não é mais aplicável. A menos, é claro, do caso trivial em que exis-te uma solução que otimiza todos os objetivos ao mesmo tempo. Usualmente, é necessário ponderar os objetivos conflitantes e ten-tar encontrar uma solução de compromisso satisfatória (Buchanan e Gardiner, 2003). É importante destacarmos a mudança no para-digma de otimalidade até então vigente.

A “otimização” multiobjetivo busca encontrar o conjunto de pontos “ótimos”, os componentes de uma função objetivo vetorial (o vetor é composto pelas varias funções objetivos a serem “oti-mizadas”) em que, diferentemente da otimização monobjetivo, a solução do problema é um conjunto de pontos (soluções) eficien-tes. Cada solução eficiente é ótima no sentido de que nenhuma me-lhoria pode ser alcançada em um componente da função vetorial sem que haja piora de pelo menos um dos componentes restantes da função vetorial (Shi, 2001). Dentro do conjunto de soluções eficientes o decisor escolherá a que julgue mais satisfatória.

Definições básicas

Alternativa Dominada: uma solução é dominada se e somente se existe uma outra melhor em pelo menos um critério, sem ser pior em algum dos outros.



Alternativa Não-Dominada (Eficiente ou Ótima de Pareto): uma solução é eficiente se e somente se não é dominada por algu-ma solução admissível (Korhonen e Wallenius, 1988). Na formu-lação multiobjetivo uma solução não dominada seria uma solução que superasse outra solução em todos os objetivos. Como isto não acontece não se encontra a alternativa eficiente.

Solução Ideal: solução em geral não viável definida no espaço dos atributos. É constituída pelos ótimos individuais das funções objetivo (ou possui simultaneamente a classificação máxima pos-sível em todos os critérios de avaliação).

Curva de Indiferença: lugar geométrico (espaço dos atributos) das soluções a que o agente de decisão (AD) dá o mesmo valor. Também denominada região de indiferença conduzem à mesma solução, ou conjunto de soluções não dominadas (Alves, 2000).

Trade-Off (Valor de Compensação entre dois atributos X e Y): relação entre o que é preciso perder em X para ganhar em uma unidade em Y, sem sair da curva de indiferença.

Pesos de Importância relativa dos atributos: se houver inde-pendência aditiva nas preferências entre atributos, os Trade-Offs permitem deduzir pesos de importância relativa. Se, além disso, os “trade-offs” foram constantes, os pesos também serão constantes.

Em resumo, pode-se dizer que o conceito chave da progra-mação linear monocritério é obter a solução ótima, enquanto na programação multicritério é encontrar a solução não dominada (ou conjunto das melhores ações não dominadas). Na formulação multiobjetivo torna-se necessário encontrar uma solução de com-promisso.

CLASSIFICAçãO DOS PRINCIPAISMÉTODOS DEDI-CADOS à PLMO: GRANDES LINHAS PARA A SUA ABOR-DAGEM

Há diversas classificações para os métodos de resolução de PLMO. Clímaco et al (2003) e Alves (2000) destacam as seguintes abordagens: classificação baseada no grau de intervenção do agen-te de decisão, baseada no tipo de estruturação de preferências do agente de decisão do agente de decisão, no número de agentes de decisão, no grau de incerteza na determinação dos parâmetros do modelo e, finalmente, a classificação baseada nas entradas requeri-das e/ou resultados obtidos.

Em função da natureza da proposta apresentada neste artigo, apenas a primeira abordagem será destacada.

Classificação baseada no grau de intervenção do agente de decisão

Opção Normativa ou agregação a priori: é feita uma agrega-ção a priori de preferências. O agente de decisão começa por in-dicar suas preferências, a partir das quais é possível transformar o problema inicial em uma modelagem monocritério. Utiliza concei-tos como função de valor, teoria da utilidade ou distância ao ideal.

Agregação progressiva de preferências do agente de decisão: alternam fase de cálculo de soluções eficientes com fases de diálo-go com o AD (métodos interativos). Esse diálogo gera indicações do AD que servem de base para o cálculo de novas soluções efi-cientes.

Agregação a posteriori de preferências: é o que ocorre quan-do se usam métodos geradores de todo o conjunto das soluções efi-cientes, sendo a agregação de preferências do AD feita a posteriori.

MÉTODOS INTERATIVOS PLMO

As abordagens de PLMO que ignoram ou restringem o papel do AD são bastante populares, mas essas abordagens podem ser questionadas, na medida em que problemas de decisão não podem ser completamente definidos por leis categóricas.

Os métodos interativos permitem que o AD acompanhe passo--a-passo as consequências que suas preferências vão acarretando nas soluções geradas. Deste modo, o AD pode conduzir a direção da busca na região das soluções admissíveis, evoluindo para a so-lução preferida a partir de decisões parciais que vão sendo apre-sentadas. Assim, a estrutura de preferências do decisor é gradual-mente descoberta ao longo do processo.

São procedimentos interativos (Sun et al, 1996 e 2000) que intercalam uma iteração de cálculo da solução com uma fase de diálogo com o AD que recebe a solução proposta e, a partir de seu juízo de valores, pode propor novas condições necessárias para o processamento de uma nova iteração.

Os procedimentos interativos podem ser basicamente catego-rizados em função da estratégia de redução do âmbito da pesquisa, do tipo de função escalar substituta utilizada e pelo nível de flexi-bilidade dada ao decisor de intervir no processo: se livre ou aos uma sequência pré-determinada de fases de cálculo e diálogo. Deve-se destacar que estas classificações não são mutuamente exaustivas.

Em 1971, Benayoun et al. apresentaram o Step Method (STEM), que realiza uma redução progressiva da região viável e que na sua fase de decisão solicita que o AD indique qual a quan-tidade que está disposto a sacrificar nas FOs que considera mais satisfatórias de modo a melhorar as demais. O método TRIMAP (Clímaco eT al, 1987, 2002) é constituído por um conjunto de procedimentos que permite uma pesquisa livre, com base em uma aprendizagem progressiva e seletiva do conjunto de soluções não dominadas. O TRIMAP está restrito a problemas com três FOs, mas esta limitação por outro lado permite o uso de meios gráficos adequados ao diálogo com o decisor. Outros métodos interativos são: Zionts e Wallenius (1976, 1983) – realiza redução do espaço paramétrico, Método Pareto Race (Korhonen e Wallenius 1988) – realiza pesquisa linear, ICW (Steur, 1977, 1986 ) – contração do cone dos critérios.

Deve-se observar que a implementação do algoritmo aqui pro-posto em ambiente de planilha Excel se enquadra no grupo Opção Normativa ou agregação a priori: quando atribuem importância às FO. O uso da programação por metas (Romero, 2004), bem como a possibilidade de mudança das importâncias atribuídas as FO, permite a implementação proposta ser enquadrada como método interativo.

Considerando os métodos de classificações em PLMO acima descritos, pode-se classificar o algoritmo proposto para imple-mentação em planilha eletrônica como será visto adiante pode ser classificado como um método de articulação a priori visto que o decisor estabelece as preferências antes da primeira iteração; e de articulação progressiva pois permite que o decisor altere suas pre-ferências na solução de cálculos na busca de soluções eficientes. O algoritmo cria uma função de utilidade global e utiliza uma for-mulação determinística.

LÓGICA NEBULOSA

A Lógica Nebulosa (Fuzzy) se preocupa com os princípios formais do raciocínio aproximado. O objetivo é modelar os mo-dos imprecisos do raciocínio que têm um papel fundamental na



habilidade humana de tomar decisões. Lógica Nebulosa é uma fer-ramenta capaz de capturar informações imprecisas, descritas em linguagem natural, e convertê-las para um formato numérico. Sua potencialidade está em fornecer os fundamentos para efetuar um raciocínio aproximado, com proposições imprecisas, usando a teo-ria de conjuntos nebulosos como ferramenta principal. A Lógica Nebulosa foi desenvolvida por Lofti A. Zadeh da Universidade da Califórnia em Berkeley na década de 60 para poder representar o pensamento humano, ou seja, ligar a linguística e a inteligência humana, pois muitos conceitos são melhores definidos por pala-vras do que pela matemática.

A Teoria de Conjuntos Nebulosos sustenta a lógica nebulo-sa, assim como a ógica binária tradicional sustenta a Teoria dos Conjuntos. A lógica nebulosa permite que um elemento pertença parcialmente a um determinado conjunto de acordo com um valor entre 0 e 1 chamado grau de pertinência. Observações de natureza qualitativa, conceitos inerentemente vagos e conhecimento impre-ciso e incompleto são algumas motivações para esta lógica.

A Teoria de Conjuntos Nebulosos lida com a incerteza e a imprecisão sob um ponto de vista não probabilístico. Elas estão presentes nas definições de um conceito ou no significado de uma expressão linguística tais como local seguro, produto bonito, sen-do mais fáceis de serem interpretadas.

A teoria dos conjuntos nebulosos é baseada no uso de aproxi-mações, chegando a um valor “fuzzificado”. Este valor não precisa ser necessariamente 0 (zero) ou 1 (um). O grau de pertinência dos elementos deste conjunto é especificado da seguinte forma:

- 1 (um), indica que o elemento é compatível com o conjunto nebuloso;

- 0, (zero) indica que o elemento é incompatível com o con-junto nebuloso; e

- (0, 1), indica que o elemento é parcialmente compatível com o conjunto nebuloso.

A teoria da lógica nebulosa foi a que permitiu o maior refina-mento na modelagem dos dados; as funções nebulosas possibili-taram a incorporação do conhecimento de forma bastante realista, resultando em objetivos mais coerentes e menos sujeitos a erros. Outra vantagem da modelagem Nebulosa é a maior quantidade de operadores o que representa maior flexibilidade na combinação das evidências.

MODELAGEM COM RELAçãO DE PREFERÊNCIA NEBULOSA

Ao conduzir-se a solução interativa de um PLMO é preciso estabelecer como esclarecer as preferências do decisor sobre o conjunto de soluções viáveis, definir uma representação para esta estrutura de preferência identificada, assim como, apresentar um procedimento para condução da busca por melhores soluções. Quando se têm diferentes fatores que contribuem para uma decisão encontramos dificuldade na determinação da contribuição relativa de cada um. Ekel (2002) mostra que problemas com coeficientes nebulosos apenas na FO podem ser resolvidos realizando algumas modificações em métodos tradicionais de PM.

Em particular, para problemas de otimização, destaca van-tagens pela possibilidade de obtenção de soluções mais efetivas (menos “cautelosas”) e de caráter computacional.

Em Ekel e Galperin (2003) um sistema interativo adaptativo é desenvolvido para aplicações práticas relacionadas com gerencia-mento de cargas com uso da abordagem de Bellman-Zadeh para

tomada de decisões em ambiente fuzzy. (Sun et all (2000), pro-põem um Feed-Forward Artificial Neural Networks utilizando os pontos ZiMax e ZiNad (ponto Nadir), criando o seguinte “indica-dor”: Zi’ = (Zi – ZiNad) ÷ (ZiMax – ZiNad); proposta semelhante é encontrada em Chen e Lin (2003) que substituem o termo Zinad por Zmin, ou seja, o menor valor que FO pode assumir.

Inspirado nos resultados expostos, optou-se pela elaboração de uma função de pertinência baseada nos valores máximos e mí-nimos que a FO pode assumir, e criar uma extensão ao algoritmo inicialmente proposto (Gomes e Chaves, 2006).

PROPOSTA PARA IMPLEMENTAÇÃO DO ALGORIT-MO EM PLANILHA ELETRÔNICA

Na proposta descrita em Gomes e Chaves (2004 e 2005) o decisor verifica o quanto as FO se aproximavam do ponto máximo (ou mínimo); entretanto a fronteira de eficiência era determinada pela soma ponderada dos valores obtidos pelas FO. Nesta exten-são, a fronteira eficiente será determinada pelo grau de aproxima-ção das FO do ponto máximo, e o grau de aproximação (indicador) será uma função de pertinência. Utilizando este indicador como um coeficiente Fuzzy, poder-se-á propor a busca da maximização deste coeficiente. Esta abordagem é um processo iterativo que rea-liza uma pesquisa livre e vai gradualmente restringindo a região admissível. Não há, portanto, uma convergência matemática no sentido estrito. O processo termina quando o decisor encontrar uma solução satisfatória. Este método é uma ampliação da pro-posta de Ragsdale (2003). Ragsdale propõe o uso de planilhas na busca de soluções eficientes, entretanto foca a modelagem em pro-blemas com uma única função objetivo. Esta proposta permite o uso de mais de uma função objetivo, bem como a interação do decisor, alterando a importância das FOs, e assim fazendo uma análise de sensibilidade dos resultados.

Cada iteração deste algoritmo envolve uma resolução do PPL subjacente. O que é por si só, uma evolução em relação ao STEM (Climaco et al, 2003). Para uma explanação detalhada do conceito da minimização da distância ponderada de Tchebycheff do Step Method (STEM) e o conceito de escalonamento das funções ob-jetivo do Método Lexicográfico consulte Clímaco et al (2003) e Knoblauch (2000). Existem varias linguagens de programação dis-poníveis no mercado, que permitem a implementação de modelos de Programação Matemática, e linguagens que permite programa-ção algébrica. Todas requerem por parte do modelador o consu-mo tempo na modelagem e implementação do programa. Não é o propósito deste artigo fazer a comparação das mesmas. Salienta-se que a popularidade do uso de planilhas eletrônicas no meio empre-sarial, a familiaridade com a interface e o baixo custo operacional do uso de planilhas eletrônicas, e a facilidade de implementar os modelos de programação na própria planilha, com o uso do Solver, não requerendo assim a necessidade de se criar linhas de progra-mação, e nem a necessidade de contratar um programador, para futuras aplicações reais na empresa, nos fez decidir pelo uso da ferramenta Solver disponível no Excel da Microsoft. Além disso, a ferramenta também está disponível no meio acadêmico o que facilita o ensino e o aprendizado deste novo modelo e ferramenta de apoio à tomada de decisão.



Passo 1: Inicialmente, o decisor institui sua ordenação de pre-ferência de modo a estabelecer uma hierarquia entre os objetivos; em seguida, determinamos os ótimos individuais de cada um dos objetivos;

Passo 2: Introduzir uma nova FO que minimiza o somatório das diferenças para cada objetivo entre o ótimo idealizado e o al-cançável (Max). Entretanto, no caso de min, desejamos minimizar a diferença entre o mínimo alcançável e o mínimo ideal. Este é o conceito adaptado da minimização ponderada de Tchebycheff.

10 ( )

p

i i ii

MIN F MAXZ Zλ=

= −∑Análise da solução pelo decisor.Passos 3, 4 e 5: Através de alterações nas restrições, é obtida

uma solução “meta-ótima”. Análise da solução pelo decisor, que explicita suas preferências, altera os valores de λi de forma iterati-va. Admite-se a inclusão de novas restrições, como por exemplo, uma FO assumir um valor mínimo e/ou uma FO ter de assumir valor superior/inferior a outra (encontra-se aqui a adaptação do conceito do escalonamento das funções objetivo e da Programação por Metas). Retorna ao Passo 2. Identifica as soluções não domina-das. Toma-se a decisão.

O método proposto possui assim a vantagem de:a) facilmente implementável em uma planilha eletrônica, o

que permite seu uso em ambiente acadêmico e empresarial;b) possibilita que o decisor estabelece suas preferências com

o uso de pesos;c) possibilita alterar as restrições, refazendo alocação de re-

cursos;d) permite quantificar, por uso de um índice, o quanto uma FO

foi atingida, considerando que a satisfação máxima é igual a um, quando a função objetivo atinge seu valor máximo (a obtenção do valor máximo de uma FO é limitado pelo atendimento das de-mais). (Texto adaptado: Carlos Francisco Simões Gomes e Maria Cecília Chaves).

INTERPRETAÇÃO DE INFORMAÇÕES DE NATUREZA MATEMÁTICA EM TEXTOS DE

JORNAIS, REVISTAS E MANUAIS.

Interpretação de Problemas Matemáticos

A Língua Materna e a Matemática

Machado (1998) pondera que impregnação entre a Matemáti-ca e a Língua Materna é caracterizada pelo paralelismo, pela com-plementariedade e pela imbricação nas questões básicas relativas ao ensino de ambas. Logo, quando se leva em consideração apenas uma das duas disciplinas há um comprometimento de possíveis ações pedagógicas consistentes.

Segundo o autor a Matemática é um sistema de representação original; apreendê-lo tem o significado de um mapeamento da rea-lidade, como no caso da Língua. Mais do que a aprendizagem de técnicas para operar com símbolos, a Matemática está relacionada

intimamente com o desenvolvimento da capacidade de interpretar, analisar, sintetizar, significar, conceber, extrapolar e projetar. Para Machado é absoluta a necessidade da mediação da Língua no en-sino da Matemática.

Kleiman (2002) pondera que muitos professores preocupam--se por que seus alunos não gostam de ler, porém, ao mesmo tem-po, não sabem como promover situações em sala de aula que levem o aluno a desenvolver a competência leitora. A autora argumenta que isto acontece porque os professores, em sua maioria, não pos-suem o conhecimento teórico sobre a natureza da leitura, o que ela é e que tipo de engajamento intelectual é necessário para tornar a leitura uma competência. Considera a leitura como uma atividade a ser ensinada na escola que não deve servir somente como pano de fundo para o ensino de gramática ou outro mero pretexto para outros tipos de aprendizagem.

Assim, Kleiman (2002) considera o ensino da leitura funda-mental para dar solução a problemas relacionados ao pouco apro-veitamento escolar: ao fracasso na formação de leitores podemos atribuir o fracasso geral do aluno no primeiro e segundo graus.

Processo Cognitivo da Leitura e Textos Matemáticos

Kleiman (2002) explica que a leitura está embasada em mo-delos sobre como processamos as informações. Estes tratam de aspectos cognitivos da leitura que relacionam o sujeito leitor e o texto (enquanto objeto), a linguagem escrita e compreensão, me-mória, inferência e pensamento. O esquema da Figura 3 apresenta os mecanismos e capacidades envolvidos no processamento de texto (KLEIMAN, 2000, p.32).

Figura 3: Mecanismos e capacidades envolvidos no processa-mento do texto.

Estes modelos se voltam para complexos aspectos psicológi-cos da atividade de leitura, apontando para as regularidades do ato de ler, para atividade intelectual em que o leitor ideal se engajaria, atividades estas que começam pela apreensão do objeto por meio dos olhos com objetivo de interpretá-lo.

O processamento do objeto começa com os olhos, que fazem a percepção do material escrito. Este material passa, então, a uma memória de trabalho que o organiza em unidades significativas, sendo ajudada por uma memória intermediaria. Esta, por sua vez, torna acessível, como num estado de alerta, aqueles conhecimen-tos relevantes para a compreensão do texto em questão, dentre todo o conhecimento que estaria organizado na memória de lon-



go prazo, também chamada de memória semântica ou profunda (KLEIMAN, 2002).

Ainda considerando aspectos significativos na leitura, Salma-zo (2005) aponta em seus estudos o Modelo Contemporâneo de Compreensão na Leitura. Esse modelo apresenta como variáveis o leitor, texto e contexto, sendo que a Figura 4 apresenta um esque-ma que mostra a articulação entre os três componentes do modelo.

Figura 4: Modelo contemporâneo de compreensão na leitura (SALMAZO 2005).

Salmazo (2005) coloca que a variável leitor compreende es-truturas do sujeito e os processos de leitura que ele utiliza. Já a variável texto se refere ao material a ler e pode ser considerada sob três aspectos principais: a intenção do autor, a estrutura do texto e o conteúdo. A intenção do autor determina a orientação dos outros dois elementos. Esclarece, ainda, que a estrutura refere-se ao modo como o autor organizou as ideias no texto, enquanto que o conteúdo remete para os conceitos, conhecimentos e vocabulário que o autor decidiu transmitir.

O contexto, por sua vez, compreende elementos que não fa-zem parte do texto e que não dizem respeito diretamente às estru-turas ou processos de leitura, mas que influenciam na compreensão do texto. Distinguem-se três contextos: o psicológico (intenção de leitura, interesse pelo texto), o contexto social (as intervenções dos professores e dos colegas) e o contexto físico (o tempo disponível, o barulho).

Assim, na presente investigação deu-se atenção, principal-mente a variável texto, ou seja, na organização e estruturação dos textos a serem trabalhados com os estudantes objetivando inter-ferir na variável leitor, no sentido de proporcionar situações em que os alunos tivessem a oportunidade de ler, refletir, trocar ideias, buscar significados e soluções.

Com relação a textos matemáticos, Cardoso e Fonseca (2005) consideram alguns recursos para um trabalho com leitura nas aulas de matemática como: atividades textuais para ensinar matemática e textos que demandam conhecimentos matemáticos para serem lidos.

Para Rabelo (2002) esse seria o ambiente por meio do qual a criança poderia tornar-se um indivíduo “letrado”, isto é, um ambiente onde, efetivamente, ela construísse sua competência na leitura, interpretação e produção de todos os tipos de textos das diversas áreas do conhecimento humano, sejam textos literários, científicos, jornalísticos, matemáticos, etc.

O autor classifica, em seus estudos, cinco grupos diferentes de textos matemáticos: Histórias Matemáticas, Histórias da Matemá-tica, Personalidades da Matemática, Curiosidades Matemáticas, Matemática do Cotidiano (RABELO, 2002). Esta classificação, na presente investigação serviu como norte na organização e se-leção de atividades para a construção da competência de leitura, interpretação e produção de textos matemáticos. (Texto adaptado: Vânia Gomes da Silva Ribeiro e Carmen Teresa Kaiber).

Linguagem Matemática

Ao relacionarmos a Matemática com o cotidiano, observamos sua presença em jornais, revistas e panfletos de propaganda. O li-cenciado em educação deve criar mecanismos capazes de explo-rar esses materiais auxiliares, mostrando ao aluno a importância da Matemática no dia a dia da sociedade, consistindo numa im-portante forma de linguagem. A utilização desse tipo de material enfoca os estudos na leitura, interpretação de textos, análise de informações e leitura de gráficos, promovendo uma Matemática interdisciplinar, pois as revistas, jornais e panfletos fornecem tex-tos informativos ligados a diversos assuntos.

Os gráficos contribuem na elaboração de um argumento des-critivo e interpretativo, colaborando na organização de dados; se o aluno possui um dinamismo no momento da leitura gráfica, ele consegue criar relações entre os dados informados e a situa-ção abordada. Os panfletos informativos são caracterizados pela utilização da Matemática financeira, por exemplo, os informes de supermercados, papelarias, revendas de carros, lojas de eletro-domésticos entre outros, trazem em seu conteúdo as mercadorias acompanhadas de seu valor comercial. Esse material será introdu-zido no âmbito escolar a fim de estudar os conceitos percentuais, através da comparação de preços.

Os jornais e as revistas constituem uma fonte de pesquisas textuais, correlacionadas ao contexto matemático atual. A leitura e a interpretação dos artigos auxiliam na resolução dos problemas matemáticos, cooperando na formulação de situações resolutivas e criação de novos problemas.

A linguagem Matemática abordada até o momento é relacio-nada a materiais concretos. Outro tipo de linguagem é pertinente à interação entre professor e aluno, onde a comunicação verbal é o principal objetivo de um resultado educacional satisfatório. Par-tindo dessa ideia de ensino por meio da linguagem Matemática, utilizaremos a contextualização e a interdisciplinaridade visando o desenvolvimento de técnicas, competências e habilidades, no in-tuito de capacitá-lo a compreender e interpretar novas situações. (Texto adaptado: Marcos Noé).

ANOTAÇÕES

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ANOTAÇÕES

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2 - racioc nio l gico-matem tico norestriction

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