Universidade Federal de São João Del Rei - Campus Alto Paraopeba

Cálculo 1Eng. Quimica

Individual e sem consulta. Permitido o uso de calculadora, caneta, lapis e borracha. Observação:

2 prova questões de 1 a 5, 2 prova com substitutiva da primeira, questões de 3 a 7.

1) Encontre uma função f e um número a tais que

f ′(a) = limh−→0

8(2 + h)3 − 64h

.

Como a f ′(a) = limh−→0

f(a+ h)− f(a)h

, podemos, a menos de uma constante, identi�car f(a+h) = 8(2+h)3, assim

temos f(x) = 8(x+ b)3 + k, onde b, k ∈ R, logo a = 2 + b. Uma solução particular seriab = 0, k = 0, o que implica em a = 2 e f(x) = 8(x)3. Outra solução b = 2, assim a = 0 e f(x) = 8(x + 2)3, assim

para cada valor de b, temos uma nova função e um novo valor para a.

2) Considere que existe o limx−→a

f(x), mas limx−→a

f(x) 6= f(a). O que você pode a�rmar a respeito de f(x)? Justi�que

sua resposta com um exemplo.

Se existe o limx−→a

f(x), mas limx−→a

f(x) 6= f(a) então a função não é contínua.

Por exemplo

f(x) =x− 1x2 − 1

,

@f(−1) mas limx−→1

f(x) = 1/2.

3) Determine α para que o limite exista e calcule o limite.

limh−→0

√(9 + h)− α

h

Não podemos usar a propriedade limh−→0

f(h)h

=limh−→0

f(h)

limh−→0

h, já que lim

h−→0h = 0. Mas se escolhemos α tal que

limh−→0

√(9 + h)−α = 0, então o limite estará indeterminado, e possivelmente haverá uma solução, assim para

√9−α =

0, então α = 3. Fazendo α = 3, temos

L = limh−→0

√(9 + h)− α

h= limh−→0

√(9 + h)− 3

h

= limh−→0

√(9 + h)− 3

h

√(9 + h) + 3√(9 + h) + 3

= limh−→0

(9 + h)− 9h

1√(9 + h) + 3

= limh−→0

h

h

1√(9 + h) + 3

= limh−→0

1√(9 + h) + 3

= 1/6

2

4)Usando a de�nição de derivada f ′(a) = limh−→0

f(a+ h)− f(a)h

, encontre f ′(a).

a) f(x) = 3 + 4x3

limh−→0

f(a+ h)− f(a)h

= limh−→0

3 + 4(a+ h)3 − 3− 4a3

h= limh−→0

4[3ha2 + 3ah2 + h3]h

= 12a2

b)f(x) = xx+2

limh−→0

f(a+ h)− f(a)h

= limh−→0

a+ha+h+2 −

aa+2

h

= limh−→0

1h

[(a+ 2) (a+ h)− a (a+ h+ 2)

(a+ h+ 2) (a+ 2)

]= limh−→0

1h

[(a2 + 2a+ ah+ 2h

)−(a2 + ah+ 2a

)(a+ h+ 2) (a+ 2)

]

= limh−→0

1h

[2h

(a+ h+ 2) (a+ 2)

]=

2(a+ 2)2

5) Calcule o limite, se existir.

a) limx−→3

x2 + 2x− 3x2

2− x=

limx−→3

x2 + 2x− 3x2

limx−→3

2− x=

9 + 6− 39

−1= −132

9= −44

3

b) limx−→∞

4x4 + 2x2 − 5x4

(2x− 1)3= limx−→∞

x4(4 + 2

x2 − 5x8

)x3(2− 1/x)3

= limx−→∞

4x8

=∞

c) limx−→1

x2 + x− 2x− 1

= limx−→1

(x− 1)(x+ 2)x− 1

= 3

6.1) Resolva as equações abaixo.

a) log2(2x)− 2 log2(x− 2) = 2

temos que ter x > 0 pelo primeiro termo e pelo segundo termo x− 2 > 0 ou seja x > 2. Assim a restrição é x > 2.log2(2x)− 2 log2(x− 2) = 2 =⇒ log2(

2x(x−2)2 ) = 2, então 2

2log2(2x

(x−2)2) = 22 =⇒ 2x

(x−2)2 = 4, ou x = 2(x− 2)2 = 2(x2 − 4x+ 4) então temos que

2x2 − 9x+ 8 = 0

e x = 9±√

174 , com x>2 então a única solução é x = 9+

√17

4 .

b) sen2(x3 ) + sen(x3 ) = 0

seja z = sen(x3 ), então �camos com z2 + z = 0, que tem como solução z=0 ou z=-1.Assim sen(x3 ) = 0 =⇒ x

3 = nπ, n ∈ Z, ou x = 3nπ. A outra possibilidade é sen(x3 ) = −1, que implica emx3 = 3π

2 + 2nπ, n ∈ Z, ou x = 9π2 + 6nπ.

c) 5x2−5x+6 = 25 = 52, portanto x2 − 5x+ 6 = 2, e x2 − 5x+ 4 = 0, que tem como soluções x = 1,ou x = 4.

6.2) Determine o domínio das funções:d) y = cot(2x− 3π/2)

3

Dy = {2x− 3π/2 6= nπ, n ∈ Z}= {x ∈ R | x 6= nπ/2 + 3π/4, n ∈ Z

e)y = x1−sen(x+π

2 )

Dy = {1− sen(x+π

2) 6= 0}

então sen(x+ π2 ) 6= 1, ou x+ π

2 6= π/2 + 2nπ, logo

Dy = {x ∈ R | x 6= 2nπ, n ∈ Z}

f)y = log[x2−5x+4(x−2)2

]

Dy = {x ∈ R | x 6= 2,x2 − 5x+ 4

(x− 2)2> 0}

As raízes po polinomio x2 − 5x+ 4, são 4 e 1. Logo x2−5x+4(x−2)2

> 0 para x>4 ou x<1. Então a solução é

Dy = {x ∈ R | x < 1 ∪ x > 4}

7) Em um certo país, o imposto de renda é taxado da maneira a seguir. Não há taxa para rendimentos até $800,00.Qualquer renda acima de $800,00 e abaixo ou igual a $2.000,00 é taxada em 5% no valor que excede a $800,00. Pararendas superiores a 2.000,00 é cobrado a taxa de 10% sobre a renda total, entretanto é dado um desconto D, de talforma que a função que exprime o imposto seja uma função contínua.

a) Qual o valor do desconto D?I(R) = 0 se R ≤ 800

I(R) = 5100 (R− 800) se 800 < R ≤ 2000

I(R) = 10100R −Dse R > 2000

Para ser contínua, I(2000−) = I(2000+)Então 5

100 (2000− 800) = 101002000 −D,

Logo D = 140.

b)Qual função melhor exprime o imposto (I) devido em função da renda (R).

I(R) = 0 se R ≤ 800

I(R) = 5100 (R− 800) se 800 < R ≤ 2000

I(R) = 10100R −D se R > 2000

I(R) =

0 se R ≤ 800

5100 (R− 800) se 800 < R ≤ 2000

I(R) = 10100R−D seR > 2000

c) Faça um grá�co de IxR.