2a Olimpıada Vicosense de Matematica

Banco de Questoes - Nıvel 2 - 1a Fase OLIMPÍADA VIÇOSENSE DE MATEMÁTICATELIMLIMIMPÍADA VIÇOSENSEIMPÍADA VIÇ SE DE MATMATMAMATMAMAT

1. (OMM-2004) O valor da expressao 1002 − 992 + 982 − 972 + . . .+ 42 − 32 + 22 − 12 e:

(a) ( ) 4050; (b) ( ) 5050; (c) ( ) 5600; (d) ( ) 6200.

2. (OMM-2006) Quantos sao os numeros naturais n, maiores que 0 e menores que 2006, tais

que a expressaon3 − n

6n− 6e um numero natural?

(a) ( ) 668; (b) ( ) 669 (c) ( ) 1336; (d) ( ) 1337.

3. (OMM-2007) Um comerciante comprou m livros, todos pelo mesmo preco, ao custo total nreais. Os dois primeiros livros vendeu pela metade do preco de custo. Na venda dos restantes,obteve um lucro de 6 reais por livro. Se o lucro com a venda total dos livros foi de 47 reais, omenor valor possıvel para m e:

(a) ( ) 10 livros; (b) ( ) 15 livros; 69 (c) ( ) 12 livros; (d) ( ) 17 livros.

4. (OMM-2008) Uma pessoa viaja por uma estrada com velocidade constante. Em certo pontoda viagem, ele passa por um marco de quilometragem que possui dois algarismos. Uma horadepois passa por um marco que contem os mesmos dois algarismos, mas em ordem invertida.Depois de mais uma hora passa por um marco de tres algarismos, que contem os algarismos doprimeiro marco na mesma ordem, mas com um zero entre eles. Pode-se dizer que a velocidadeem que essa pessoa viaja e:

(a) ( ) 45 km/h; (b) ( ) 50 km/h; (c) ( ) 55 km/h; (d) ( ) 60 km/h.

5. (OBM-2007) Um episodio muito conhecido na Matematica foi quando ao visitar o grandematematico Ramanujam no hospital, o outro grande matematico Hardy disse que o numero dotaxi que o trouxe, 1729, era um numero sem graca; Ramanujam respondeu prontamente: “Naodiga isso, Hardy! 1729 e o menor numero inteiro positivo que pode ser escrito como soma dedois cubos perfeitos positivos de duas maneiras diferentes!”

De fato, 1729 = 103 + 93 = 123 + 13.

Um outro episodio nao muito conhecido na Matematica foi quando o pequeno matematicoMuralijam foi visitado pelo outro pequeno matematico Softy, que disse que o numero da lotacaoque o trouxe era um numero sem graca. Muralijam responde imediatamente: “Nao, Softy, elee o menor inteiro positivo que pode ser escrito como soma de dois quadrados perfeitos positivosde duas maneiras diferentes!”

A que numero Muralijam e Softy se referem?

(a) ( ) 18; (b) ( ) 41; (c) ( ) 45; (d) ( ) 50; (e) ( ) 65.

1

6. (OBM-2008) O numero inteiro positivo a e o numero1

alocalizam-se na reta da seguinte

maneira:

Qual e a soma desses dois numeros?

(a) ( )9

81; (b) ( )

9

80; (c) ( )

81

9; (d) ( )

82

9; (e) ( ) 9.

7. (OBM-2008) Uma grande empresa possui 84 funcionarios, e sabe-se que cada funcionariofala pelo menos uma das lınguas entre Portugues e Ingles. Alem disso, 20% dos que falamPortugues tambem falam Ingles e 80% dos que falam Ingles tambem falam Portugues. Quantosfuncionarios falam as duas lınguas?

(a) ( ) 12; (b) ( ) 14; (c) ( ) 15; (d) ( ) 16; (e) ( ) 18.

8. (OBM-2009) Um numero natural A de tres algarismos detona um numero natural B de tresalgarismos se cada algarismo de A e maior do que o algarismo correspondente de B. Porexemplo, 876 detona 345; porem, 651 nao detona 542 pois 1 < 2. Quantos numeros de tresalgarismos detonam 314?

(a) ( ) 120; (b) ( ) 240; (c) ( ) 360; (d) ( ) 480; (e) ( ) 600.

9. (OBM-2010) Um quadrado PQRS tem lados medindo x. T e o ponto medio de QR e U e ope da perpendicular a QS que passa por T . Qual e a medida de TU?

(a) ( )x

2; (b) ( )

x

3; (c) ( )

x√2; (d) ( )

x

2√2; (e) ( )

x

4.

10. (OBM-2010) Ana comecou a descer uma escada no mesmo instante em que Beatriz comecoua subi-la. Ana tinha descido da escada quando cruzou com Beatriz. No momento em que Anaterminar de descer, que fracao da escada Beatriz ainda tera que subir?

(a) ( )1

4; (b) ( )

1

3; (c) ( )

1

12; (d) ( )

5

12; (e) ( )

2

3.

2

11. (OBM-2010) Quatro amigos, Arnaldo, Bernaldo, Cernaldo e Dernaldo estao jogando cartas.Sao 20 cartas diferentes, cada carta tem uma entre 4 cores (azul, amarelo, verde, vermelho)e um numero de 1 a 5. Cada amigo recebe cinco cartas, de modo que todas as cartas saodistribuıdas. Eles fazem as seguintes afirmacoes: Arnaldo: “Eu tenho quatro cartas com omesmo numero.” Bernaldo: “Eu tenho as cinco cartas vermelhas.” Cernaldo: “As minhascinco cartas sao de cores que comecam com a letra V.” Dernaldo: “Eu tenho tres cartas deum numero e duas cartas de outro numero.” Sabe-se que somente uma das afirmacoes e falsa.Quem fez essa afirmacao?

(a) ( ) Arnaldo; (b) ( ) Bernaldo; (c) ( ) Cernaldo; (d) ( ) Dernaldo;

(e) ( ) Nao e possıvel definir.

12. (OBM-2011) A figura abaixo representa um mapa de estradas. Os numeros escritos nas setasindicam quanto de pedagio um viajante deve pagar ao passar pela estrada. Todas as estradassao de mao unica, como indicam as setas. Qual o valor mınimo de pedagio pago por um viajanteque sai da cidade A e chega na cidade B?

B

6

7

5

4 8

9

4 3

1

A

1

(a) ( ) 11; (b) ( ) 14; (c) ( ) 12; (d) ( ) 10; (e) ( ) 15.

13. (OBM-2011) Por conta de uma erupcao de um vulcao, 10% dos voos de um aeroporto foramcancelados. Dos voos restantes, 20% foram cancelados pela chuva. Que porcentagem do totalde voos deste aeroporto foram cancelados?

(a) ( ) 28%; (b) ( ) 30%; (c) ( ) 35%; (d) ( ) 38%; (e) ( ) 70%.

14. (OBM-2011) Numa padaria, uma lata de 200g de achocolatado em po CHOCOBM custaR$3, 00, uma lata de 400g custa R$5, 00 e a de 800g custa R$9, 00. Lara precisa de 1, 2kg deCHOCOBM para fazer um enorme bolo. Qual das opcoes a seguir e a maneira mais economicade comprar 1, 2kg de CHOCOBM nessa padaria?

(a) ( ) 6 latas de 200g; (b) ( ) 1 lata de 400g e 1 lata de 800g;

(c) ( ) 4 latas de 200g e 1 lata de 400g; (d) ( ) 2 latas de 200g e 1 lata de 800g;

(e) ( ) 2 latas de 200g e 2 latas de 400g

3

15. Numa sala ha bancos e pessoas. Se 12 pessoas sentarem em cada banco sobrarao 4 lugares;se 10 pessoas sentarem em cada banco 196 pessoas ficarao sem lugar. Quantas pessoas ha nasala?

(a) 1190 pessoas; (b) 1196 pessoas; (c) ( ) 1192 pessoas;

(d) ( ) 1180 pessoas; (e) ( ) 1180 pessoas.

16. Um retangulo e dividido em quatro retangulos por meio de dois segmentos paralelos aos seuslados, conforme a figura abaixo:

6 14

35

Se os numeros acima indicam a area dos respectivos retangulos, qual a area do quarto retangulo?

(a) ( ) 10; (b) ( ) 15; (c) ( ) 20; (d) ( ) 21; (e) ( ) 25.

17. (OBM-2006) Tres quadrados sao colados pelos seus vertices entre si e a dois bastoes verticais,como mostra a figura.

30° 126°

75° x

(a) ( ) 39◦; (b) ( ) 41◦; (c) ( ) 43◦; (d) ( ) 44◦; (e) ( ) 46◦.

18. Considere a funcao f , definida no conjunto dos numeros reais e satisfazendo f(x) =cx

2x+ 3,

para todo x = 32. Determine o numero de tais funcoes f para as quais f

(f(x)

)= x, para todo

x tal que f(f(x)

)esta bem definida.

(a) ( ) 0; (b) ( ) 1; (c) ( ) 2; (d) ( ) 4; (e) ( ) infinitas.

19. (OBM-1999) O quociente de 5050 por 2525 e igual a:

(a) ( ) 2525; (b) ( ) 1025; (c) ( ) 10025; (d) ( ) 225; (e) ( ) 2× 2525.

20. (OBM-1998) Qual e o dıgito das unidades do numero 31998?

(a) ( ) 1; (b) ( ) 3; (c) ( ) 5; (d) ( ) 7; (e) ( ) 9.

4

21. (OBM-2000) Na figura temos que os triangulos ABC e A′B′C ′ sao equilateros e a regiaodestacada e um hexagono regular. A razao entre a area da regiao destacada e a area dotriangulo ABC e igual a:

A

C

B

C’

B’

O

A’

(a) ( ) 1; (b) ( )2

3; (c) ( )

4

5; (d) ( )

√2

2; (e) ( )

√3

2.

22. (OBM-2002) Seja f uma funcao real de variavel real que satisfaz a condicao:

f(x) + f

(2002

x

)= 3x, para x > 0.

O valor de f(2) e igual a:

(a) ( ) 100; (b) ( ) 2000; (c) ( ) 3000; (d) ( ) 4000; (e) ( ) 6000.

23. (Banco de questoes da OBMEP-2010) A figura mostra um pedaco de papelao que seradobrado e colado ao longo das bordas para formar uma caixa retangular. Os angulos nos cantosdo papelao sao todos retos. Qual sera o volume, em cm3, da caixa?

(a) ( ) 1500; (b) ( ) 3000; (c) ( ) 4500; (d) ( ) 6000; (e) ( ) 12000.

24. (Banco de questoes da OBMEP-2010) Uma casa pega fogo. Um bombeiro se mantem nodegrau do meio de uma escada, jogando agua sobre o incendio. As chamas diminuem e ele sobecinco degraus. O vento sopra e o bombeiro desce sete degraus. Um pouco depois, ele sobe oitodegraus e fica la ate acabar o incendio. Entao, ele sobe os ultimos sete degraus e entra na casa.Quantos degraus tem a escada do bombeiro?

(a) ( ) 25; (b) ( ) 26; (c) ( ) 27; (d) ( ) 28; (e) ( ) 29.

5

25. (Banco de questoes da OBMEP-2010) O codigo secreto de um grupo de alunos e umnumero de tres algarismos distintos diferentes de 0. Descubra o codigo utilizando as informacoesa seguir.

• 1 2 3 Nenhum algarismo correto.

• 4 5 6 So um algarismo correto na posicao certa.

• 6 1 2 So um algarismo correto, mas na posicao errada.

• 5 4 7 So um algarismo correto, mas na posicao errada.

• 8 4 3 So um algarismo correto na posicao certa.

(a) ( ) 137; (b) ( ) 876; (c) ( ) 768; (d) ( ) 678; (e) ( ) 576.

GABARITO

Questao 1 - (b) Questao 2 - (c) Questao 3 - (a) Questao 4 - (a)

Questao 5 - (d) Questao 6 - (d) Questao 7 - (a) Questao 8 - (b)

Questao 9 - (d) Questao 10 - (e) Questao 11 - (b) Questao 12 - (a)

Questao 13 - (a) Questao 14 - (b) Questao 15 - (b) Questao 16 - (b)

Questao 17 - (a) Questao 18 - (b) Questao 19 - (c) Questao 20 - (e)

Questao 21 - (b) Questao 22 - (b) Questao 23 - (b) Questao 24 - (c)

Questao 25 - (b)

6