2. erro numérico - autenticação · verificação e validação em cfd − erro de...

Verificação e Validação em CFD

− Erro de arredondamento.

− Erro iterativo.

− Erro de discretização.

As três componentes do erro numérico têmcomportamentos diferentes com o aumentodo número de graus de liberdade (refinamentoda malha).

2. Erro numérico


− Erro de arredondamento:

> Devido à precisão finita dos computadores.

> Pode ser minorado utilizando precisão dupla.

> Pode ser o erro dominante em problemas mal condicionados (pequenas diferenças entre númerosvárias ordens de grandeza superiores).

> Aumenta com o aumento do número de graus deliberdade (refinamento da malha).

2. Erro numérico


− Erro de arredondamento, exemplo:

Interpolação polinomial em 2-D (ou 3-D)

(n+1)2 coeficientes determinados a partir de (n+1)2

pontos em se conhece φi(xi,yi)

2. Erro numérico

[ ]n

n

n

n

ybybb

xa

xa

a

yx ...,,,...

),(21

2

1

=φ


− Erro de arredondamento, exemplo:

Interpolação polinomial em 2-D (ou 3-D)

Determinação dos coeficientes do polinómioconduz a um sistema de equações lineares

Primeiro termo da diagonal principal: 1

Último termo da diagonal principal: xnyn

2. Erro numérico


− Erro iterativo:

> Não linearidade das equações a resolver (convecção nas equações de balanço de quantidade de movimento).

> Desacoplamento das equações(modelo de turbulência resolvido para um campo de velocidade fixo e equações de Reynolds resolvidas com viscosidade turbulenta conhecida).

2. Erro numérico


− Erro iterativo:

> Esquemas de discretização com correcçõesexplícitas para os termos de ordem superior.

> Solução dos sistemas de equações algébricos com métodos iterativos(Jacobi, Gauss-Seidel, Gradientes Conjugados,GMRES, ...).

2. Erro numérico


− Erro iterativo:

> Em princípio, pode ser reduzido até ao nível de precisão da máquina (se não existiremproblemas com o erro de arredondamento).

> Aumento do número de graus de liberdade(refinamento da malha) tende a dificultar aredução do erro iterativo. Técnicas “multigrid”podem evitar problemas com a dimensão dosistema de equações a resolver.

2. Erro numérico


− Erro iterativo:

> É importante definir (conhecer) o significadode uma iteração.

> Estimativas do erro iterativo baseadas nas diferenças (resíduo) obtidas na última iteração realizada não são fiáveis.

> Para estimativas do erro iterativo, a norma L∞

é mais indicada que as normas L1e L2.

2. Erro numérico


− Erro iterativo, exemplo:

> Cálculo do escoamento turbulento num canalcom as equações de Navier-Stokes em médiatemporal de Reynolds. Modelo de viscosidade turbulenta de Spalart & Allmaras (uma equação).

> Estimativa inicial da solução é obtida copiandoos perfis de entrada (obtidos dos resultados experimentais) para toda a malha.

> Solução convergida até à precisão da máquina (10-14).

2. Erro numérico


− Erro iterativo, exemplo:

> Critério de convergência baseado na diferençamáxima, L

∞, entre iterações sucessivas, et.

> Erro iterativo calculado pela diferença para a solução convergida até à precisão da máquina.

> Exemplo apresentado corresponde à componente horizontal do vector velocidade, U1.

2. Erro numérico


− Erro iterativo:

Erro iterativomáximo é 2ordens degrandeza maiordo que et!

Para a norma L2,

pode chegar a 3 ordens de grandeza.

2. Erro numérico


− Erro de discretização:

> Consequência da transformação da(s)equação(ões) do meio contínuo para umsistema de equações algébrico.

> Pode ter uma componente geométrica, quepode até ser dominante em domínios com superfícies de elevada curvatura.

2. Erro numérico



> Habitualmente é o erro numérico dominante.

> Determinação do erro de discretização requero conhecimento da solução exacta.

> Tende a diminuir com o aumento do número degraus de liberdade (refinamento da malha).

> Estimativa do erro de discretização pode serfeita com o refinamento sistemático da malha.

2. Erro numérico



> Em estudos de refinamento de malha admite-se

φ – Variável local ou integral.φexacto – Solução exacta.α – Constante relacionada com o nível do erro.hi – Dimensão característica da malha.p – Ordem de convergência.

2. Erro numérico

p

iexacto he αφφφ ≅−=)(



> Região assimptótica, i.e. termos de ordem superiorsão desprezáveis.

> Dimensão típica da malha, hi, pode ser difícil dedefinir (malhas multi-bloco, não estruturadas).

2. Erro numérico

p




> Número mínimo de malhas para estimar α e φexacto : 2.

> Não é aconselhável utilizar apenas duas malhas.Não há garantia que os resultados estão na “regiãoassimptótica”, pelo que p não é conhecido.

Em problemas não lineares a ordem de convergêncianão é necessariamente igual à menor ordem dos esquemas de discretização adoptados.

2. Erro numérico

p




> Número mínimo de malhas para estimar α, p e φexacto : 3.

> Em aplicações práticas pode existir ruído nosresultados (definição de hi, interpolações, integrações,...), pelo que 3 malhas não garantemfiabilidade dos resultados.

p


2. Erro numérico


− Erro de discretização, exemplo:

> Cálculo da área de uma superfície cilíndricacom uma regra de Gauss com 1 ponto pordirecção.

> Dois tipos de malha:

A. Distâncias equidistantes ao longo do diâmetro, Z.

B. Distâncias equidistantes ao longo da superfície, θ.

2. Erro numérico

( )11 −= ii Nh


XZ

Y

XZ

Y


Malha ZZt-3 digítos para ∆x

Malha θ

2. Erro numérico



2. Erro numérico

Malha θ

Malha Z

Malha Zt


3. Verificação de códigos

− Garantir que o programa não tem erros.

− Contrariamente ao que pode ser assumido, não éuma responsabilidade exclusiva de quem desenvolveo programa (qualquer utilizador de um popular sistemaoperativo para computadores pessoais percebe esta realidade...).

− Avaliação de erros, pelo que requer o conhecimentoda solução exacta.

− Problema exclusivamente matemático.


− A solução exacta não é conhecida.

− Estimativa do erro numérico admite habitualmenteque o erro de discretização é dominante (o que requer um erro iterativo pelo menos duas ordensde grandeza inferior).

− Métodos baseados em estudos de refinamentode malha são uma das alternativas para a estimativa doerro/incerteza de discretização.

− Problema exclusivamente matemático.

4. Verificação de soluções/cálculos


− Estimar a incerteza, U, de um cálculo numérico da quantidade φ para a qual a solução exacta é desconhecida

Objectivo:

)()( φφφφφ UU exact +≤≤−

com um grau de confiança de 95%

( )φφ eFU S=)( →SF

( ) →φe

Factor de segurança

Estimativa do erro



φi � Solução numérica de uma variável local ou integral

φo � Estimativa da solução exacta

δRE � Estimativa do erro

αj � Constante relacionada com o nível de erro

hi � Dimensão característica da malha

pj � Ordem de convergência observada

p

iREoii he αδφφφ ==−=)(



X

X

X

hi

φ

φo

− 3 Malhas necessárias para calcular φo, α, p

p

iREoii he αδφφφ ==−=)(

( )

( )( )

01

1

1

12

23

1

2

12

23

12

12

1

=−

−

−

−

−

−

−==−

p

pp

pREo

hh

hh

h

h

hh

φφ

φφ

φφδφφ

REδoφ



− Convergência ou divergência aparente paratrês malhas com h2/h1=h3/h2.

Razão de Convergência :

0 < R <1 � Convergência Monotónica-1 < R <0 � Convergência OscilanteR > 1 � Divergência MonotónicaR <-1 � Divergência Oscilante

23

12

φφ

φφ

−

−=R



− Estimativa do erro de modelação por comparaçãocom resultados experimentais.

− Método para a avaliação do erro de modelaçãoproposto recentemente pela ASME:

> Diferença entre a solução numérica e a mediçãoexperimental, |E|, que se denomina erro de comparação (comparison error)

> Incerteza de validação, Uval, (validation uncertainty)obtida da combinação das incertezas numérica, experimental e dos parâmetros que definem o problema (condições fronteira, número de Reynolds,...)

5. Validação


− Método para a avaliação do erro de modelaçãoproposto recentemente pela ASME:

S → Resultado numéricoD → Medição experimental

Unum → Incerteza numéricaUD → Incerteza experimental Uinput → Incerteza dos parâmetros que definem o

problema (condições fronteira, número de Reynolds,...)

DSE −=

( ) ( ) ( )222

inputDnumval UUUU ++=

5. Validação


− Estimar com 95% de confiança o intervalo que contém o erro de modelação

− Erro de modelação é provavelmente semelhante a|E|, pelo há uma indicação de que o modelo precisade ser melhorado.

− Erro de modelação inferior ao ruído originado pelas incertezas experimental, numérica e dos dados do problema.

valUE <

valUE >>

5. Validação

[ ]valval UEUE +− ,


− Exemplo: escoamento no plano do hélice de um petroleiro à escala do modelo.

> Equações de Reynolds em média temporal como modelo de turbulência k-ω SST sem leis da parede.

> Estudo de refinamento de malha com 6 malhasque variam entre 0,8×106 e 6,4×106 nós.

> Incerteza experimental obtida da assimetria dosvalores medidos (estimativa por defeito).

> Incerteza dos parâmetros de entrada nula (“modeloforte”).

5. Validação


y/LPP

z/L

PP

-0.01 0 0.01 0.02

-0.065

-0.06

-0.055

-0.05

-0.045

-0.04

-0.035

-0.03

Ux

0.90.850.80.750.70.650.60.550.50.450.40.350.30.250.20.150.1

Experimental Numérico


5. Validação


ϕ

Ux

0 30 60 90 120 150 180-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1ExperimentalSST Comparação

habitual: “qualidade”do resultado depende do tamanho dos símbolos e da espessura da linha...


5. Validação


ϕ

Ux

0 30 60 90 120 150 180-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1ExperimentalSST Introdução da

incerteza experimental(estimada por defeito)


5. Validação


ϕ

Ux

0 30 60 90 120 150 180-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1ExperimentalSST Introdução da incerteza

numérica


5. Validação


ϕ

Ux

0 30 60 90 120 150 1800

0.1

0.2

0.3E=|S-D|U

val=(U

2

num+U

2

D)

1/2 Erro de comparação émaior do que a incerteza de validação para a maior parte dos locaisanalisados. Avaliação doerro de modelação requer menores incertezas numérica e experimental.


5. Validação

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