Faculdade de Tecnologia de Lins - “Prof. Antônio Seabra”

Tecnologia em Análise e Desenvolvimento de Sistemas

1º Trabalho de Matemática Discreta

Aluno(a):________________________________________________________________

1. Seja p : “está frio” e seja q : “está chovendo”. Escreva uma sentença verbal que descreva cada proposição. (0,5 ponto)

a) ¬p

b) p ∧ q

c) p ∨ q

d) q ∨ ¬ p

e) ¬p ∧ ¬q

2. Quais os valores-verdade das seguintes sentenças? (0,5 ponto)

a) 8 é par ou 6 é ímpar. b) 8 é par e 6 é ímpar.

c) 8 é ímpar e 6 é ímpar. d) Se 8 é ímpar, então 6 é ímpar.

e) 3 + 4 = 7 se e somente se 53 = 125.

3. Sabendo que os valores lógicos da proposição p, q e r são respectivamente V, F e F, determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições: (0,5 ponto)

a)

b)

c) [ ( p q ) ¬ r ] ( r p ).

d) [ p (¬ q r ) ] ¬ [ ( p ¬ q ) ( q ¬ r ) ].

4. Construir a tabela - verdade das seguintes proposições: (0,5 ponto)

a) [¬ ( p ¬ q )] ↔ (¬q ˅ p) b) ( p ¬ q ) → (p ↔ q) ˄ (¬q ˅ p).

5. Verifique se: (0,5 ponto)

a) a proposição ( p q ) ¬ ( p q ) é uma contradição.

b) a proposição [p ( q ¬ p )] [ ¬p ( p ¬q )] é uma tautologia.

6. Prove que: (0,5 ponto)

a) p ↔ q ≡ (p → q) ∧ ((¬ p) →(¬ q)) b) p ˅ q ≡ (p ∧ ¬q) ∨ ((¬p) ∧ q)

7. Eis outra operação booleana chamada ou-exclusivo. Denota-se pelo símbolo v e é definido pela tabela seguinte:

p q p ˅ q

V V F

V F V

F V V

F F F

a) Prove que p ˅ q é logicamente equivalente a (p ∧ ¬ q) ∨ ((¬ p) ∧ q). (0,25 ponto)

b) Prove que x ˅ y é logicamente equivalente a (p ∨ q) ∧ (¬ (p ∧ q)). (0,25 ponto)

8. Sendo A = {1, 2, 3}, determinar o valor lógico de cada uma das proposições: (0,5 ponto)

a) ( x A) (x2+ x - 6 = 0) d) ( z A) ( x A) (z + 3x 1)

b) ( x A) (x2+ 3x = 1) e) ( x A) ( y A) (x2+ y = 6)

c) (y A) (y2+ 3y = 1)

9. Sendo R o conjunto dos números reais, determine o valor lógico (V ou F) de cada uma das

seguintes proposições: (0,5 ponto)

a) ( x R) ( x + 2 ≠ 3) c) ( x R) (x2 + 6 = 5x)

b) ( x R) ( 3x - 6 = 0) d) ( x R) ( x + 1 > x)

10. Dar a negação de cada uma das seguintes proposições: (0,5 ponto)

a) (x -10 ≥ 98) b) (x2 + 4 > 0)

c) d)

11. Dado o conjunto A = {1, 2, {2}, {3}, Ø}, complete com os símbolos ϵ (pertence), (não pertence), (está contido) ou (não está contido): (1,0 ponto)

a) 1 A f) {Ø} A

b) {3} A g) {{2}, {3}} A

c) {1} A h) {1, {2}} A

d) {2, Ø} A i) {3, {1}}} A

e) 3 A j) {1, 3} A

12. Dados os conjuntos A = {a, b, c}, B = {b, c, d} e C = {a, c, d, e}, determine o conjunto (A - C) U (C - B) U (A ∩ B ∩ C). (0,5 ponto)

13. Considere os seguintes subconjuntos de números naturais:

N = {0,1,2,3,4,...} P = { x ϵ N / 6 ≤ x ≤ 20 }

A = {x ϵ P / x é par} B = {x ϵ P / x é divisor de 48}

C = {x ϵ P / x é múltiplo de 5}

Calcule o número de elementos do conjunto das partes de (A - B) ∩ C. (0,5 ponto)

14. Os conjuntos não-vazios M, N e P estão, isoladamente, representados abaixo. Considere a seguinte figura que estes conjuntos formam.

A região hachurada pode ser representada por: (0,5 ponto)

a) M U (N ∩ P) b) M - (N U P) c) M U (N - P)

d) N - (M U P) e) N U (P ∩ M)

15. Dadas as premissas: (0,5 ponto)

I - Todo matemático é maluco. II - Todo matemático é inteligente.

III - João é maluco. IV - Maria é inteligente.

Podemos concluir que:

a) Maria é maluca. b) João é matemático.

c) Todos os inteligentes são malucos. d) João é inteligente.

e) Existe maluco inteligente.

16. Em uma classe, há 20 alunos que praticam futebol mas não praticam vôlei e há 8 alunos que praticam vôlei mas não praticam futebol. O total dos que praticam vôlei é 15. Ao todo existem 17 alunos que não praticam futebol. Calcule o número de alunos dessa classe. (0,5 ponto)

17. Considere três conjuntos A, B e C, tais que: n(A) = 28, n(B) = 21, N(C) = 20, n(A ∩ B) = 8, n(B ∩ C) = 9, n(A ∩ C) = 4 e n(A ∩ B ∩ C) = 3. Assim sendo, calcule o valor de n((A U B) ∩ C). (0,5 ponto)

18. Numa pesquisa feita com 1000 famílias para verificar a audiência dos programas de televisão, os seguintes resultados foram encontrados: 510 famílias assistem ao programa A, 305 assistem ao programa B e 386 ao programa C. Sabe-se ainda que 180 famílias assistem aos programas A e B, 60 assistem aos programas B e C, 25 assistem a A e C, e 10 famílias assistem aos três programas.

a) Quantas famílias não assistem a nenhum desses programas? (0,5 ponto)

b) Quantas famílias assistem somente ao programa A? (0,5 ponto)