Disciplina: Estruturas II Universidade Nilton Lins 1

Prof. Winston Zumaeta Processo de Cross 10/06/2012

4 tf

2 tf

2 tf/m

AB C D

E

4 tf/m

2 tf/m

+2,667

-2,667

q.l12

=+

q.l12

=-

AB

2

2

+4p.l8

=+ BC

4tf.m

1

AB -4p.l8

=- BC

2 3

+12,8q.l20

=+CD

2

-8,533q.l30

=- CD

2

+4q.l

8=+

DE

2

-2M2

=+DE

2l

( )3b2

-1

b=0 0...

4,0 m 4,0 m 4,0 m 4,0 m 2,0 m

A B C D E F

8,0 m

2 tf4 tf2 tf/m

4 tf/m

2 tf/m

Exemplo 1: Traçar os diagramas de esforços solicitantes (esforço cortante e momento fletor) por meio do processo

de Cross. considerar EI constante.

1. Momentos de engastamento perfeito (ver tabela)

Disciplina: Estruturas II Universidade Nilton Lins 2

Prof. Winston Zumaeta Processo de Cross 10/06/2012

2. Coeficientes de distribuição

2.1 Nó 1:

���� =���

��� + ���=

4����

4����

+4����

=

4�4

4�4

+4�

8

=�

� + 0,5�=

�

1,5�= 0,667

���� =���

��� + ���=

4����

4����

+4����

=

4�8

4�4

+4�

8

=0,5�

� + 0,5�=

0,5�

1,5�= 0,333

2.2 Nó 2:

���� =���

��� + ���=

4����

4����

+4����

=

4�8

4�8

+4�

8

=0,5�

0,5� + 0,5�=

0,5�

�= 0,500

���� =���

��� + ���=

4����

4����

+4����

=

4�8

4�8

+4�

8

=0,5�

0,5� + 0,5�=

0,5�

�= 0,500

2.3 Nó 3:

���� =���

��� + ���=

4����

4����

+3����

=

4�8

4�8

+3�

4

=0,5�

0,5� + 0,75�=

0,5�

1,25�= 0,400

���� =���

��� + ���=

3����

4����

+3����

=

3�4

4�8

+3�

4

=0,75�

0,5� + 0,75�=

0,75�

1,25�= 0,600

Disciplina: Estruturas II Universidade Nilton Lins 3

Prof. Winston Zumaeta Processo de Cross 10/06/2012

A B C D E0,667 0,333 0,500 0,500 0,400 0,600

- 2,667

Coef. de distribuição

Momento de eng. perfeito+ 4 - 4 + 12,8 - 8,533 + 2

Coef. de distribuição

Momento de eng. perfeito

- 4,4 - 4,4x 0,5 x 0,5- 2,2 - 2,2

2,667

Momentos finais Momentos finais

3. Equilíbrio dos nós

3.1) 1º Equilíbrio do nó C

∆��,� = −4 + 12,8 = 8,8

−8,8 ∙ 0,500 = −4,4

−8,8 ∙ 0,500 = −4,4

Disciplina: Estruturas II Universidade Nilton Lins 4

Prof. Winston Zumaeta Processo de Cross 10/06/2012

A B C D E0,667 0,333 0,500 0,500 0,400 0,600

- 2,667

Coef. de distribuição

Momento de eng. perfeito+ 4 - 4 + 12,8 - 8,533 + 2

Coef. de distribuição

Momento de eng. perfeito

- 4,4 - 4,4

0,145

x 0,5 x 0,5- 2,2 - 2,2

0,2890,578 x 0,5x 0,50,289

2,667

Momentos finais Momentos finais

3.2) 1º Equilíbrio do nó B

∆��,� = −2,667 + 4 − 2,2 = −0,867

0,867 ∙ 0,667 = 0,578

0,867 ∙ 0,333 = 0,289

Disciplina: Estruturas II Universidade Nilton Lins 5

Prof. Winston Zumaeta Processo de Cross 10/06/2012

A B C D E0,667 0,333 0,500 0,500 0,400 0,600

- 2,667

Coef. de distribuição

Momento de eng. perfeito+ 4 - 4 + 12,8 - 8,533 + 2

Coef. de distribuição

Momento de eng. perfeito

- 4,4 - 4,4

0,145 1,747

x 0,5 x 0,5- 2,2 - 2,2

0,289 3,4930,578 x 0,5x 0,50,289 5,240x 0,5

2,667

Momentos finais Momentos finais

3.3) 1º Equilíbrio do nó D

∆��,� = −8,533 + 2 − 2,2 = − 8,733

8,733 ∙ 0,400 = 3,493

8,733 ∙ 0,600 = 5,240

Disciplina: Estruturas II Universidade Nilton Lins 6

Prof. Winston Zumaeta Processo de Cross 10/06/2012

A B C D E

0,667 0,333 0,500 0,500 0,400 0,600

- 2,667

Coef. de distribuição

Momento de eng. perfeito+ 4 - 4 + 12,8 - 8,533 + 2

Coef. de distribuição

Momento de eng. perfeito

- 4,4 - 4,4

0,145 1,747

- 0,946 - 0,946

x 0,5 x 0,5- 2,2 - 2,2

0,289 3,4930,578 x 0,5x 0,50,289 5,240x 0,5

x 0,5 x 0,5- 0,473 - 0,473

2,667

Momentos finais Momentos finais

3.4) 2º Equilíbrio do nó C

∆��,� = 0,145 + 1,747 = 1,892

−1,892 ∙ 0,500 = − 0,946

−1,892 ∙ 0,500 = − 0,946

Disciplina: Estruturas II Universidade Nilton Lins 7

Prof. Winston Zumaeta Processo de Cross 10/06/2012

A B C D E0,667 0,333 0,500 0,500 0,400 0,600

- 2,667

Coef. de distribuição

Momento de eng. perfeito+ 4 - 4 + 12,8 - 8,533 + 2

Coef. de distribuição

Momento de eng. perfeito

- 4,4 - 4,4

0,145 1,747

- 0,946 - 0,946

0,079

x 0,5 x 0,5- 2,2 - 2,2

0,289 3,4930,578 x 0,5x 0,50,289 5,240x 0,5

x 0,5 x 0,5- 0,473 - 0,473

0,315 0,158 x 0,5x 0,50,158

2,667

Momentos finais Momentos finais

3.5) 2º Equilíbrio do nó B

∆��,� = − 0,473

0,473 ∙ 0,667 = 0,315

0,473 ∙ 0,333 = 0,158

Disciplina: Estruturas II Universidade Nilton Lins 8

Prof. Winston Zumaeta Processo de Cross 10/06/2012

A B C D E0,667 0,333 0,500 0,500 0,400 0,600

- 2,667

Coef. de distribuição

Momento de eng. perfeito+ 4 - 4 + 12,8 - 8,533 + 2

Coef. de distribuição

Momento de eng. perfeito

- 4,4 - 4,4

0,145 1,747

- 0,946 - 0,946

0,079 0,095

x 0,5 x 0,5- 2,2 - 2,2

0,289 3,4930,578 x 0,5x 0,50,289 5,240x 0,5

x 0,5 x 0,5- 0,473 - 0,473

0,315 0,158 x 0,5 0,189 0,284x 0,5x 0,50,158

2,667

Momentos finais Momentos finais

3.6) 2º Equilíbrio do nó D

∆��,� = − 0,473

0,473 ∙ 0,400 = 0,189

0,473 ∙ 0,600 = 0,284

Disciplina: Estruturas II Universidade Nilton Lins 9

Prof. Winston Zumaeta Processo de Cross 10/06/2012

A B C D E

0,667 0,333 0,500 0,500 0,400 0,600

- 2,667

Coef. de distribuição

Momento de eng. perfeito+ 4 - 4 + 12,8 - 8,533 + 2

Coef. de distribuição

Momento de eng. perfeito

- 4,4 - 4,4

0,145 1,747

- 0,946 - 0,946

0,079 0,095

- 0,087 - 0,087

x 0,5 x 0,5- 2,2 - 2,2

0,289 3,4930,578 x 0,5x 0,50,289 5,240x 0,5

x 0,5 x 0,5- 0,473 - 0,473

0,315 0,158 x 0,5 0,189 0,284x 0,5

x 0,5 x 0,5- 0,044 - 0,044

x 0,50,158

2,667

Momentos finais Momentos finais

3.7) 3º Equilíbrio do nó C

∆��, = 0,079 + 0,095 = 0,174

− 0,174 ∙ 0,500 = − 0,087

− 0,174 ∙ 0,500 = − 0,087

Disciplina: Estruturas II Universidade Nilton Lins 10

Prof. Winston Zumaeta Processo de Cross 10/06/2012

A B C D E

0,667 0,333 0,500 0,500 0,400 0,600

- 2,667

Coef. de distribuição

Momento de eng. perfeito+ 4 - 4 + 12,8 - 8,533 + 2

Coef. de distribuição

Momento de eng. perfeito

- 4,4 - 4,4

0,145 1,747

- 0,946 - 0,946

0,079 0,095

- 0,087 - 0,087

0,008

x 0,5 x 0,5- 2,2 - 2,2

0,289 3,4930,578 x 0,5x 0,50,289 5,240x 0,5

x 0,5 x 0,5- 0,473 - 0,473

0,315 0,158 x 0,5 0,189 0,284x 0,5

x 0,5 x 0,5- 0,044 - 0,044

0,029 0,015 x 0,5

x 0,50,158

x 0,50,015

2,667

Momentos finais Momentos finais

3.8) 3º Equilíbrio do nó B

∆��, = − 0,044

0,044 ∙ 0,667 = 0,029

0,044 ∙ 0,333 = 0,015

Disciplina: Estruturas II Universidade Nilton Lins 11

Prof. Winston Zumaeta Processo de Cross 10/06/2012

A B C D E0,667 0,333 0,500 0,500 0,400 0,600

- 2,667

Coef. de distribuição

Momento de eng. perfeito+ 4 - 4 + 12,8 - 8,533 + 2

Coef. de distribuição

Momento de eng. perfeito

- 4,4 - 4,4

0,145 1,747

- 0,946 - 0,946

0,079 0,095

- 0,087 - 0,087

0,008 0,009

x 0,5 x 0,5- 2,2 - 2,2

0,289 3,4930,578 x 0,5x 0,50,289 5,240x 0,5

x 0,5 x 0,5- 0,473 - 0,473

0,315 0,158 x 0,5 0,189 0,284x 0,5

x 0,5 x 0,5- 0,044 - 0,044

0,029 0,015 0,018 0,026x 0,5 x 0,5

x 0,50,158

x 0,50,015

2,667

Momentos finais Momentos finais

3.9) 3º Equilíbrio do nó D

∆��, = − 0,044

0,044 ∙ 0,400 = 0,018

0,044 ∙ 0,600 = 0,026

Disciplina: Estruturas II Universidade Nilton Lins 12

Prof. Winston Zumaeta Processo de Cross 10/06/2012

A B C D E0,667 0,333 0,500 0,500 0,400 0,600

- 2,667

Coef. de distribuição

Momento de eng. perfeito+ 4 - 4 + 12,8 - 8,533 + 2

Coef. de distribuição

Momento de eng. perfeito

- 4,4 - 4,4

0,145 1,747

- 0,946 - 0,946

0,079 0,095

- 0,087 - 0,087

0,008 0,009

- 0,009 - 0,009

x 0,5 x 0,5- 2,2 - 2,2

0,289 3,4930,578 x 0,5x 0,50,289 5,240x 0,5

x 0,5 x 0,5- 0,473 - 0,473

0,315 0,158 x 0,5 0,189 0,284x 0,5

x 0,5 x 0,5- 0,044 - 0,044

0,029 0,015 0,018 0,026x 0,5 x 0,5

x 0,50,158

x 0,50,015

2,667

x 0,5 x 0,5- 0,005 - 0,005

Momentos finais Momentos finais

3.10) 4º Equilíbrio do nó C

∆��,! = 0,008 + 0,009 = 0,017

−0,017 ∙ 0,500 = −0,009

−0,017 ∙ 0,500 = −0,009

Disciplina: Estruturas II Universidade Nilton Lins 13

Prof. Winston Zumaeta Processo de Cross 10/06/2012

A B C D E0,667 0,333 0,500 0,500 0,400 0,600

- 2,667

Coef. de distribuição

Momento de eng. perfeito+ 4 - 4 + 12,8 - 8,533 + 2

Coef. de distribuição

Momento de eng. perfeito

- 4,4 - 4,4

0,145 1,747

- 0,946 - 0,946

0,079 0,095

- 0,087 - 0,087

0,008 0,009

- 0,009 - 0,009

x 0,5 x 0,5- 2,2 - 2,2

0,289 3,4930,578 x 0,5x 0,50,289 5,240x 0,5

x 0,5 x 0,5- 0,473 - 0,473

0,315 0,158 x 0,5 0,189 0,284x 0,5

x 0,5 x 0,5- 0,044 - 0,044

0,029 0,015 0,018 0,026x 0,5 x 0,5

x 0,50,158

x 0,50,015

2,667

x 0,5 x 0,5- 0,005 - 0,005

0,003 0,002x 0,50,002

Momentos finais Momentos finais

0,001x 0,5

3.11) 4º Equilíbrio do nó B

∆��,! = − 0,005

0,005 ∙ 0,667 = 0,003

0,005 ∙ 0,333 = 0,002

Disciplina: Estruturas II Universidade Nilton Lins 14

Prof. Winston Zumaeta Processo de Cross 10/06/2012

A B C D E

0,667 0,333 0,500 0,500 0,400 0,600

- 2,667

Coef. de distribuição

Momento de eng. perfeito+ 4 - 4 + 12,8 - 8,533 + 2

Coef. de distribuição

Momento de eng. perfeito

- 4,4 - 4,4

0,145 1,747

- 0,946 - 0,946

0,079 0,095

- 0,087 - 0,087

0,008 0,009

- 0,009 - 0,009

x 0,5 x 0,5- 2,2 - 2,2

0,289 3,4930,578 x 0,5x 0,50,289 5,240x 0,5

x 0,5 x 0,5- 0,473 - 0,473

0,315 0,158 x 0,5 0,189 0,284x 0,5

x 0,5 x 0,5- 0,044 - 0,044

0,029 0,015 0,018 0,026x 0,5 x 0,5

x 0,50,158

x 0,50,015

2,667

x 0,5 x 0,5- 0,005 - 0,005

0,003 0,002x 0,5 0,002 0,0030,002

-1,742 1,7423,131 - 9,210 9,210 - 7,553 7,553Momentos finais Momentos finais

0,001 0,001x 0,5 x 0,5

3.12) 4º Equilíbrio do nó D (último equilíbrio)

∆��,! = −0,005

0,005 ∙ 0,400 = 0,002

0,005 ∙ 0,600 = 0,003

Disciplina: Estruturas II Universidade Nilton Lins 15

Prof. Winston Zumaeta Processo de Cross 10/06/2012

4,0 m 4,0 m 4,0 m 4,0 m

A

B C D

E

8,0 m

2 tf4 tf

3,131 1,742 1,742 9,209 9,209 7,553 7,553 4,0

8 tfRESULTANTE

16 tfRESULTANTE

2,667 m 5,333 m

8 tfRESULTANTE

82

82

42

42

16 x8

5,333 16 x8

2,667

43,131

43,131

81,742

81,742

89,209

89,209

47,553

47,553

82

82

41,742

41,742

89,209

89,209

87,553

87,553

44,0

44,0

4,347 tf 4,719 tf 13,806 tf 10,015 tf 5,112 tf

+ 2

4. Cálculo das reações

Disciplina: Estruturas II Universidade Nilton Lins 16

Prof. Winston Zumaeta Processo de Cross 10/06/2012

4,0 m 4,0 m 4,0 m 4,0 m 2,0 m

A B C D E F

8,0 m

2 tf4 tf2 tf/m

4 tf/m

2 tf/m

x1 x2 x3 x4 x5 x6

4,347 tf 4,720 tf 13,806 tf 10,015 tf 5,112 tf

3,131

5. Esforço cortante

5.1 Equações

"�#$�% = 4,347 − 2$� 0 ≤ $� ≤ 4

"�#$�% = 1,067 0 ≤ $� ≤ 4

" #$ % = −2,933 0 ≤ $ ≤ 4

"!#$!% = 10,873 − 4$! +$!

�

4 0 ≤ $! ≤ 8

"'#$'% = 4,888 − 2$' 0 ≤ $' ≤ 4

"(#$(% = 2 0 ≤ $( ≤ 2

Disciplina: Estruturas II Universidade Nilton Lins 17

Prof. Winston Zumaeta Processo de Cross 10/06/2012

5.2 Posição (x) da seção de cortante nulo

5.2.1 Trecho 1

"�#$�% = 4,347 − 2$� 0 ≤ $� ≤ 4

0 = 4,347 − 2$�

2$� = 4,347

$� = 2,174 )

5.2.2 Trecho 4

"!#$!% = 10,873 − 4$! +$!

�

4 0 ≤ $! ≤ 8

0 = 10,873 − 4$! +$!

�

4

0,25$!� − 4$! + 10,873 = 0

$′! = 3,471 )

$′′! = 15,529 ) #�+,-./0.�1, 213, +,0á 51/. �1 360+/7.�1%

Disciplina: Estruturas II Universidade Nilton Lins 18

Prof. Winston Zumaeta Processo de Cross 10/06/2012

5.2.3 Trecho 5

"'#$'% = 4,888 − 2$' 0 ≤ $' ≤ 4

0 = 4,888 − 2$'

2$' = 4,888

$' = 2,444 )

5.3 Cálculo “prático” dos cortantes para o traçado do diagrama

O Cálculo dos cortantes pode ser realizado por meio das equações encontradas no item 5.1, inserindo o valor de x da

seção desejada na respectiva equação do trecho em estudo.

O Cálculo também poder ser realizado sem as equações, de maneira direta, por isso chamado de cálculo prático. Este

cálculo é mostrado a seguir.

Legenda:

"8 → �1/0.60+ 61 36í-31 �1 0/+-ℎ1

"< → �1/0.60+ 61 53) �1 0/+-ℎ1

"<,=>? → �1/0.60+ 61 53) �1 0/+-ℎ1 .60+/31/

Disciplina: Estruturas II Universidade Nilton Lins 19

Prof. Winston Zumaeta Processo de Cross 10/06/2012

5.3.1 Trecho 1

"8 = @� = 4,347 05

"< = "8 − A+,B�0�� = 4,347 − 2 ∙ 4 = −3,653 05

5.3.2 Trecho 2

"8 = "<,=>? + @� = −3,653 + 4,720 = 1,067 05

"< = "8 = 1,067 05

5.3.3 Trecho 3

"8 = "<,=>? − 4 = 1,067 − 4 = −2,933 05

"< = "8 = −2,933 05

5.3.4 Trecho 4

"8 = "<,=>? + @� = −2,933 + 13,806 = 10,873 05

"< = "8 − A+,B�0�� = 10,873 −4 ∙ 8

2= −5,127 05

5.3.5 Trecho 5

"8 = "<,=>? + @� = −5,127 + 10,015 = 4,888 05

"< = "8 − A+,B�0�� = 4,888 − 2 ∙ 4 = −3,112 05

5.3.6 Trecho 6

"8 = "<,=>? + @� = −3,112 + 5,112 = 2,0 05

"< = "8 = 2,0 05

Disciplina: Estruturas II Universidade Nilton Lins 20

Prof. Winston Zumaeta Processo de Cross 10/06/2012

4,0 m 4,0 m 4,0 m 4,0 m 2,0 m

A B C

DE F

4,347

3,653

1,067

2,933 2,933

10,873

Horiz.

Parábolado 2º grau

4q.l

8=CD

5,127

4,888

3,112

2,00

2,174 m 3,471 m

1,067

2,444 m

8,0 m

5.4 Traçado do diagrama de esforço cortante (DEC) em tf

Disciplina: Estruturas II Universidade Nilton Lins 21

Prof. Winston Zumaeta Processo de Cross 10/06/2012

6. Momento fletor

6.1 Momentos máximos

6.1.1 Trecho 1

��#$�% = −3,131 + 4,347$� − 2 ∙$�

�

2 0 ≤ $� ≤ 4

�CáD#$� = 2,174% = −3,131 + 4,347 ∙ 2,174 − 2 ∙2,174�

2

�CáD = 1,593 05. )

6.1.2 Trecho 4

�!#$!% = −9,209 + 10,873$! − 4 ∙$!

�

2+

$!

12 0 ≤ $! ≤ 8

�CáD#$! = 3,471% = −9,209 + 10,873 ∙ 3,471 − 4 ∙3,471�

2+

3,471

12

�CáD = 7,920 05. )

6.1.3 Trecho 5

�'#$'% = −7,553 + 4,888$' − 2 ∙$'

�

2 0 ≤ $' ≤ 4

�'#$' = 2,444% = −7,553 + 4,888 ∙ 2,444 − 2 ∙2,444�

2

�' = −1,580 05. ) #6+,0+ -.,1 +) 2./03-B�./, +,0+ é 1 )1)+601 )í63)1%

Disciplina: Estruturas II Universidade Nilton Lins 22

Prof. Winston Zumaeta Processo de Cross 10/06/2012

4,0 m 4,0 m 4,0 m 4,0 m 2,0 m

A B C D E F

8,0 m

16q.l16

=CD

2

3,1311,742

9,209

7,553

4,0

7,920

1,593

4q.l8

=AB

2

8P.l

4=BC

Parábola

4q.l8

=DE

2

do 2º grau

Parábolado 3º grau

1,580

2,174 m

3,471 m

2,444 m

M =máx

M =máx

2,525

Parábolado 2º grau

6.2 Traçado do diagrama de momento fletor (DMF) em tf.m