1._aulas_vetores

7/31/2019 1._Aulas_Vetores

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Ministrio da Educao

UNIVERSIDADE TECNOLGICA FEDERAL DO PARAN Campus Cornlio Procpio

MATEMTICA IProf. MsC. Everton J. Goldoni Estevam

[email protected]

Ministrio da Educao

UNIVERSIDADE TECNOLGICA FEDERAL DO PARAN Campus Cornlio Procpio


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Objetivos Estabelecer os conceitos de Geometria

Analtica e lgebra Linear a fim delevar o aluno a se familiarizar com alinguagem matemtica e com osmtodos de construo doconhecimento matemtico, bem como,capacitar os alunos para a resoluo deproblemas relacionados reaespecfica de formao.


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Ementa

Sistemas de coordenadas. Matrizes.

Sistemas de equaes lineares. Vetores. Produto de vetores. Aplicao de vetores ao estudo da reta e do plano.

Espaos vetoriais. Transformaes lineares. Autovalores e autovetores. Espao com produto interno.

Cnicas e Qudricas.


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Critrios de Avaliao Quatro avaliaes dissertativas, com

os seguintes valores:

- Avaliao 1: valor: 9.0 Pontos + APS I ( valor 1,0) - Avaliao 2: valor: 9,0 Pontos + APSII ( valor 1,0) - Avaliao 3: valor: 9,0 Pontos + APSIII ( valor 1,0) - Avaliao 4: valor: 9,0 Pontos + APS IV ( valor 1,0)

Ao final uma substitutiva da menor nota para quem noatingir a nota 6,0 e no exceder as faltas com todo ocontedo da disciplina


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Bibliografia STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo.Geometria Analtica , 2

ed. So Paulo: Makroon Books, 1987. ______________. lgebra Linear. 2 ed. So Paulo. McGraw-Hill,

1987. CAMARGO, l; BOULOS, P. Geometria Analtica: um tratamento

vetorial. 2 ed. So Paulo: Ed. Makroon Books, 1987.

ANTON, H; RORRES, C.lgebra Linear com aplicaes. 8 ed. Porto Alegre: Bookmam, 2001.

BOLDRINI, J. L... [ et al.].lgebra Linear.3 ed. So Paulo: Harbra,

1986. LEITHOLD, Louis.Clculo com Geometria Analtica. 2ed. So

Paulo Harbra, 1994. POOLE, David.lgebra Linear. So Paulo: Pioneira Thomson

Learning, 2004.

SWOKOWSKI, E. W.Clculo com geometria analtica. Vol. 1. 2ed. So Paulo: Makron Books do Brasil,1995.


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origem

1

Coordenadas de um ponto noPlano

0 2-1-2

22

1

Conjuntos Numricos:

N = {0,1,2, ...} Naturais

Z = {... , -2,-1,0,1,2, ....} Inteiros

Q = Racionais

I = R-Q Irracionais

0,,; q Z q p q p


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3 Q 4 Q

2 Q 1 Q

Coordenadas de um pontono Plano

1 2-1-2

1

2

-1

P=(x,y) Par Ordenado

x abscissa

y ordenada

d(0,P)

Exemplos:

(-3,-9)

(50,-1)

(-25,4)

3 Q

4 Q

2 Q


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Retas e Segmentos Orientados

Reta orientada r

AB

Segmento orientado com origemem A e extremidade em B

Existe umsentido AB

1 u.c.

Existe uma direo

Existe um Comprimento ouMdulo ouAB AB


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Segmentos Equipolentes Mesmo mdulo , direo e sentido

A B

C D

Notao: CD AB ~

Propriedades:i. AB ~ AB (reflexiva)ii. Se AB ~ CD, CD ~ AB (simtrica)iii. Se AB ~ CD e CD ~ EF, AB ~ EF (transitiva)iv. Dado um segmento AB e um ponto C, existe um nico

ponto D tal que AB ~ CD


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Vetor

Chama-se vetor determinado por um segmento orientado AB oconjunto de todos os segmentos orientados equipolentes a AB

2

1

1 2-1-2

-1

3

4

6

3 4 5

)3,1(v v

AB AB

Obs: Versor um vetorno nulo e unitrio de

mesma direo esentido do vetor

Ex: .1v v


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Operaes com Vetores:SOMA

A B

C

?v u AC AB v

u

Propriedades:i. Comutativa:ii. Associativa:iii. Elemento Neutro:iv. Oposto:

u v v u )()( w v u w v u

v v v 000)( v v v v


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Operaes com Vetores:DIFERENA

A B

C

?v u AC AB v

u

Portanto:u v v u v u )(

v


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SOMA e DIFERENA de Vetores

Geometricamente podemos representar a soma e a diferena devetores por meio de um paralelogramo:

A B

C

v

u

D

A B

C

v

u

D


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1 2 3

1

2

3

u

v

4

5

4 5

v u v u

.vuevurepresenteecalcule,planonoeeIdentifiqu v u


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Produto de um escalar (R)por um vetor

v 3

v

v 3

v 21

v 21

Portanto:

i. Mdulo:

ii. Direo: a mesma de

iii. Sentido: o mesmo de se k>0 e o contrrio se k


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Norma de um Vetor

x

y

),( 11 y x v

1y

1x

21

21 y x v

21

21

21 z y x u


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Versor de um Vetor

v

u

11v v

v v

v v v

v v

u


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Propriedades da Multiplicao deVetor por Escalar

Dados e vetores quaisquer e a e b nmeros reais, temos:

i. Associativa:

ii. Distributiva (escalares):

iii. Distributiva (vetores):

iv. Identidade:

v ab v b a )()(

v b v a v b a )(

v a u a v u a )(

v v 1

v u


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Exerccios

STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo.Geometria Analtica , 2 ed. So Paulo:Makroon Books, 1987.

P. 13 e 14: ex. 1, 2 e 3


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Vetor no Sistema deCoordenadas

x

y

z

),,( 111 z y x v

1x

1y

1z


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Operaes com vetores noEspao

x

y

z

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

u v u

v

v u

.vuevurepresente ecalcule,RnoveuRepresente

),4,6,2(e)2,3,5(Dados3

v u


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Produto Escalar Chama-se Produto Escalar (ou produto interno

usual) de dois vetores e , e serepresenta por ou ainda , l- se uescalar v, o nmero real:

v u

11, y x u 22 , y x v v u ,

2121 y y x x v u


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Propriedades do Produto Escalar

Dados , e vetores quaisquer e , temos:

i.

ii. Comutativa:

iii. Distributiva (vetores):

iv.

v.

)0,...,0,0,0(0sesomente,0e0 u u u u u

u v v u

w u v u w v u )(

)()()( kv u v u k v ku

v u w R k

2u u u

???e???22

v u v u


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ngulo entre dois vetores

u

v u

v

0


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Clculo de nguloentre dois vetores

A B

C

v

u

D

coscos v u v u v u v u


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Paralelismo eOrtogonalidade de Vetores

Se dois vetores e so paralelos (ou colineares), existe um nmero k tal que:

),( 11 y x u ),( 22 y x v

k y y y k y kv u

2

1

2

12211 x

x),(x),(x ou

Se dois vetores e so ortogonais ,o ngulo por eles formado de 90 :),( 11 y x u ),( 22 y x v

vu 0)()x(x ou 0 2121 y y v u


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Projeo de um Vetor

v v v

v u

u

vproj.

Dados e , com e , e o ngulopor eles formado, queremos calcular o vetorque a projeo de sobre .

u

u

v

v

0v 0u

w

v

u

W


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Definio: Dados n vetores .

Dizemos que so LinearmenteDependente (L.D.), se existirem escalares

, no todos nulos, tais que:

Caso contrrio, so Linearmente

Independente (L.I.) .

Dependncia eIndependncia Linear

n v v v v ,...,,, 321n v v v v ,...,,, 321

n a a a a ,...,,, 321

0...332211 n n v a v a v a v a

n v v v v ,...,,, 321


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L.D.?ouL.I.so)3,3(e)2,1( 21 v v

1 2 3

1

2

3

1v

2v


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L.D.?ouL.I.so)2,4(e)1,2( 21 v v

1 2 3

1

2

3

1v

2v

4


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ngulos Diretores eCossenos Diretores

x

y

z

v

i j

k

zk yj xi v

v x

v z y x

i v i v

1)0,0,1(),,(cos

v z

k v k v

cos

v y

j v j v

cos


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Propriedades

I. Quais as componente do versor de um vetor

II. Qual a relao existente entre

),,( z y x v

222 cosecos,cos


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Combinao Linear

k a 1

j a 2

i a 3

v

i j

k

Escrever o vetor v em funo dos

vetores i,j e k

O vetor v umacombinao linear dosvetores i,j e k, a partirdo coeficientes a1,a2e a3

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