1989 - os modelos arima e a abordagem de box-jenkins

7/24/2019 1989 - Os Modelos Arima e a Abordagem de Box-Jenkins

1/8

LJNOTAS E COMENTRIOS

O s M ode lo s A rim a e a A bo rdagem

d e B o x -J e n k in s

U m a A p l ic a o n a P r e v i s o d o IB O V E S P A a C u r t ls s i m o P r a z o

RESUMO:

E ste trabalho analisa os m odelos auto-regressivo-m dias-m 6veis e os com para com os m -

to dos tradiciona is de nom inad os de an lise tcn ica .

A abordagem de Box-Jenkins apresentada em seguida e suas quatro etapas - indentificaCfo, esti-

m ao, validalo e previsilo - silo analisadas.

F inalmente, m ostra com o esta tcnica pode ser im plem entada com excelentes resultados na m odela-

gem e preoiso do ndice da Bolsa de V alores de Silo P aulo (BO VESPA ).

PALAVRAS-CHAVE: AR IMA , Box -I en kin s, p re pis , mode la gem , p ro ce ss os e sto c stic os .

INTRODUAO

F ra n cis c o c a r to s G o m e s

No passado, anlise tcnica foi sinnimo de

anlise grfica. Se analisarmos.os pressupostos a

ela sub~acentes,. identificados por Edwards e

Magee ,observaremos a presuno de que os

D o uto ra n do e P r o fe s s o r n o D e pa rta m e n to d e

In fo rm tic a e d e M to d os Q ua ntita tiv os a plic ad o s

A d m in is tr a o d a E AE S PIF G V .

1. EDWARDS , R .D . e MAGEE JR., [ohn, Technical

Anal]/sis of Stock Trends Springneld, Stock Trend

Servce, 1958(edio revisada).

R e vis ta d e A dm in is tra o d e E m pre sa s

810

P a u l o , 2 9 2 ) 6 3 - 7 0

A b r . / J u n . 1 9 8 9

6


2/8

o

NOTAS E COMENTRIOS

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . , 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 i l l l l l l l l l l

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . l l l l l l , ~ I I I I I I I I I I I I I ~ 1 1 1 1 1 : : l l l l l l l l l l l l l l l

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1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

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I I I I I I I I I I J .

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padres de comportamento passado se reprodu-

ziro no futuro e, portanto, podem ser empre-

gados com propsitos preditivos (este o pres-

suposto da constncia, subjacente maioria das

tcnicas quantitativas de previso).

Embora o termo anlise tcnica abranja atu-

almente algumas ferramentas quantitativas, po-

demos caracteriz-la como um conjunto de m-

todos heursticos, semi quantitativos, que

permitem ao analista introduzir as suas ava-

liaes subjetivas acerca do padro de comporta-

mento dos preos e seus pontos de inflexo (a

antecipao dos

turning points

um aspecto

fundamental dos problemas de previso).

Esta ltima 'caracterstica, a simplicidade e a

facilidade de aprendizado e de implementao

so os principais responsveis pela grande po-

pularidade desses mtodos.

Contudo, a anlise tcnica, enquanto um

conjunto de mtodos de anlise de sries tempo-

rais e/ou tcnicas qualitativas de previso, pode

ser objeto das seguintes restries:

a) possui pouca fundamentao terica e es-

tatstica;

b) vrios de seus mtodos no proporcionam

previses numricas;

c)no estabelece o grau de incerteza associado s

respectivas previses, determinando um inter-

valo de confiana e respectiva probabilidade de

ocorrncia;

d) no sistematiza nem calibra as avaliaes sub-

jetivas, de sorte a corrigir os vieses associados

aos diferentes perfis cognitivos.

64

Tendo em vista as trs primeiras restries ci-

tadas, apresentaremos um mtodo alternativo,

que deve ser encarado como uma abordagem

complementar em lugar de substitutiva da

anlise tcnica.

Os modelos ARIMA foram sistematizados

por Box e Jenkins

2.

Esses modelos so robustos

do ponto de vista conceitual e estatstico, pro-

porcionam previses probabilsticas e so de

fcil implementao ( desde que tenhamos os

recursos computacionais adequados). De fato,

representm uma generalizao dos diversos

mtodos de anlise de sries temporais.

OS MODELOS ARIMA E A ABORDAGEM

DE BOX-JENKINS

1. Os modelos ARIMA

Tendo em vista os limites desde texto, pode-

mos apresentar sumariamente a forma geral de

um modelo ARIMA (p.d.q) como segue:

=

+

e (B)

c j >

(B)

1

2. BOX, George E. P. e JENKINS, Gwilym. Time

Series Analysis: t orecasting and Controlo Oakland,

Holden-Day, 1976 ( edio revisada). Ver tambm:

MAKRIDAKIS, Spyros e STEVEN, C. Wheelwright.

Forecasting: Metliods and Applications New York,

Wiley, 1978.


3/8

RAE

F IG . 1 - D la gn na d e B lo co s d O s M o d elo s A rtm a

4 1 8

e-

1

8

R u f d o S r i e

.BIW1CO

T em p

- -

F l l I r o d e

F I r o

F l l I r o d e

M d I a s - M 6 v e l 8

AIJto.fagrIssIv

I n t e g r a l o

t

E s I a c I o n r 1 o )

N I o - E s t a c . )

lt

It

onde:

t - ndice do tempo

Wt -

d'sima diferena da varivel de inte-resse z,

Jl -

ponto de referncia do nvel do

processo

8 (B) - operador de mdias-mveis :

8 (B)

=

(1- 8tBl - ~B2 - ..- 8

q

J 3 C 1 )

I

B) - operador auto-regressivo:

t(B) = (1- JBl-i2B2- ...- ~BP)

BP -

operador de retrocesso:

l3 PZ t - ,

Zt.p

tt -

rudo branco ou erro aleatrio

Para maior clareza, o modelo ARI~A (p, d,

q) - diz-se modelo auto-regressivo .mdias-

m6veis integrado de ordem (p, d, q) - acima es-

tabelecido de forma sinttica pode ser expandi-

do, como segue:

2

w

t

=

8

0

+

lh

Wt_l + ...+ f

p

W

t

_

p

+a

t

-8

1

lt_i- -

8cft.q

onde:

De uma forma geral, os modelos ARIMA

postulam que

as

sries temporais

(Zt)

podem ser

representadas por uma seqncia de choques

aleatrios

(lt)

submetidos a trs operaes de

filtragem ( mdias-mveis, auto-regressiva e

integrao), como exemplificado na figura 1.

Intuitivamente, podemos afirmar que os

modelos ARIMA representam as sries tempo-

rais como uma ponderao dos prprios valores

e/ou erros passados da srie.

Um modelo ARIMA (p, d, q) possui p+q+2

parmetros desconhecidos, que devem ser esti-

mados a partir dos dados, a saber:

a)

Jl,

.e. o ponto de referncia do nvel do

processo;

b) p, parmetros au~regressiyos

1 1 ' ~ , . . .,

f~

c)q, parmetros mdas-mves

81' 8

2

, ,

8

q

;

d)

(,2,

a varincia do rudo branco

lt.

2 . A A b o rd ag e m d e B o x-J e nk ln s e o P rin cIp io d a

P a c I m O n I a

Para a construo dos modelos ARIMA,Box-

JenJdns I sugeriram as seguintes etapas ite-

rativas, como ilustrado na figura 2.

a) Identifica~o

A identificao de um modelo AroMA cor-

responde determinao:

do nfvelde diferenciao (d), a partir do qual

a srie se torna estacionria;

da ordem (mxima) dos termos auto-

regressivos (p);

da ordem (mxima) dos termos mdias-

m6veis (q).

Essas determinaes so obtidas a partir- do

exame da funo de autocorrelao e da funto

de autocorrelao parcial, que avaliam o padro

de dependncia temporal da srie. Para tanto,

basta compararmos as funes de autocorrelao

amostrais com os correspondentes paradigmas

ou funes de autocorrelao tercas .

b) EstimaSo

Uma vez determinada a ordem (p. d, q) do

modelo so estimados os seguintes parmetros:

u, o nvel do processo;

3. B OX , George, E. P . e ]EN I< IN S, Gw ilym . O p. c lt.

65


4/8

o

NOTAS E COMENTRIOS

FIG. 2 - Etapas Heratlvas da ConstruAo de ModeloS de PrevlsAo (AbOrdagem de Box-Jenklns)

ldentHlcar

Estimar os

Validar o

o modelo a

Parmetros do

modelo

ser

1 _ _ _ _

modelo

--

estimado

adequa

tentatlvamente

identificado

considerado

Postular

umaclassa

geral de

modelos

os parmetros auto-regressivos

~1' ~2'' ~

os parmetros mdias-mveis e

v

9

2

, , ~ c f

C J2,

a varincia do rudo branco.

Escapa ao escopo deste texto o exame dos

complexos algortmos de estimao. De qual-

quer forma, existem programas em abundncia

para executar essa tarefa.

c Val idao

A verificao da adequao do modelo efe-

tuada em duas dimenses inter-relacionadas, a

saber:

o exame do grau de ajustamento ou aderncia

do modelo - expresso em estatsticas como a

varincia do erro, o MSE (Mean Square Error)

ou o MAPE ( Mean Absolute Percentage Error):

o exame da aleatoriedade dos resduos (erros)

do modelo - expresso nas suas funes de auto-

correlao.

d) Previsa

Validado o modelo, podemos construir uma

funo de previso, que alm de proporcionar as

previses mais verossmeis dentro do horizonte

de planejamento especificado, proporciona tam-

bm os limites inferior e superior do intervalo

de confiana associado a um nvel de confidn-

cia (probabilidade) estabelecido pelo analista.

Finalmente, Box e [enkins

4

sugerem o em-

prego parcimonioso desses modelos, i.e., a sua

utilizao com um nmero mnimo de par-

metros, possvel em virtude do teorema da

dualidade.

66

Utilizar o modelo

para fazer pre-

vises

no

Tendo em vista que a maioria das sries se

torna estacionria aps a segunda diferenciao,

podemos dizer que, usualmente:

p, d, q s 2 (3)

UM EXEMPLO: PREVISO DO IBOVESPA

A ttulo de exemplo, empregamos uma

amostra de 650 observaes do Indice de Fecha-

mento da BOVESPA, abrangendo o perodo de

02/01/85 a 31/00/87.

A figura 3 mostra graficamente que a srie

considerada foi objeto de vrias mudanas na

sua estrutura temporal, tanto no que diz respei-

to a suas tendncias quanto no que concerne a

sua volatilidade, tornando particularmente

difcil a construo de um modelo de previso.

Empregando-se a abordagem de Box-jenkins,

podemos modelar o IBOVESPA, como segue:

1. IdentlficaAo

As figuras 4a e 4b mostram as funes de au-

tocorrelao do lBOVESPA aps a sua diferen-

ciao de primeira ordem, cujo exame permite

concluir que:

a) a srie se toma estacionria aps a primeira

diferenciao, portanto d=l.

b) pe l e q=O,embora no haja uma aderncia

muito clara aos paradigmas (esses valores foram

confirmados atravs do exame dos modelos al-

ternativos).

4. Idem, ibidem.


5/8

RA E

FIG . 3 -IB OV ESP A Fe cha m ento

FECHAMENTO

0

o

. .

I

.

.

i

.

. .

. . .

I

s o o

F IG . 4 a - F unA o d e A uto co rre la A o - P rim e ira D ife re n a IB O VE SP A

COEHCIENTE

I

o

. .

. . . - . ~ .. . :.- .. . . :. o . . .. : .. . . . , . : . .. . . .

.

.

.

.

.

.

.

.

. .

O

3 0

DEFASAGEM

F IG . 4b - FunA o d e A uto co rre la lo P arc ia l- IB OVE SPA P rim e ira D ife re na

COEHCIENTE t

o

.

. .

. o : f : ~: ~ :

o

DEFASAGEM

67


6/8

o

NOTAS E COMENTRIOS

Logo, o IBOVESPApode ser representado por

um modelo ARIMA (1, 1,

O )

ou, mais sumaria-

mente, por um modelo auto-regressivo de

primeira ordem com um nvel' de integrao

[AR (1,1)

l,

como segue:

4

00

onde:

Zt - ndice Bovespa (Fechamento)

w

t

-

Primeira Diferena de Zt, i. e,

Wt = Zt-

Zt-l

J l . -

Ponto de Referncia do Nvel do Processo

80 -

Constante, i.e.,

80

=

Jl .

(1- ~)

a

t

- Rudo Branco

S - Operador de Integrao

2 . E s t lm a A o

As estimativas obtidas dos parmetros do

modelo identificado foram as seguintes:

IB OVESPA F EC H AM ENTO M O DEL O AR IMA 1, 1,

O

P a r metr o

Notao

Estimativa

E rr o P a dr o

P r o b .

Auto-regressivo

t

0,2;3584

0,0384

0,0000

N iv e l d o p ro c e s so

J. L

15 ,234 13

0,87854 0,3800

C o n s t a n t e

~

11,fJ3700

V a r i nci a

c P -

114 .64 8

A tabela acima mostra que obtivemos uma

estimativa extremamente confivel do terino

auto-regressivo de primeira ordem

< 1 > 1 )

j que o

seu erro padro bastante pequeno (notem que

esse termo se mostra estatisticamente diferente

de zero a um nvel de probabilidade de aproxi-

madamente 100 ). .

Por outro lado, a estimativa do nvel do

processo

(Jl.)

no to confivel, pois possui um

erro padro mais elevado (notem que esse ter-

mo se mostra estatisticamente diferente de zero

a um nvel de probabilidade de apenas 62 ) 5.

Finalmente, a estimativa da varincia do erro

aleatrio

0 2)

relativamente pequena, mostran-

do - como veremos - a excelente aderncia do

modelo (notem que a estimativa do desvio

padro

a),

i.e., o erro-padro, extremamente

pequena, J =338,60).

68

Portanto, o modelo estimado para o ndice

Bovespa (Fechamento) foi o seguinte:

1\

w

t

= 11,88789+ 0,23584w

t

_

1

5

00

1\ ~

~ =

L w

t-

o J

J-

A figura 5 apresenta os valores estimados do

ndice Bovespa (Fechamento) pelo modelo ARI-

MA (1,1,0) acima.

3 . V a l id a o

A figura 6 apresenta os resduos (erros) do

modelo estimado.

a)

derncia

Um sumrio das estatsticas bsicas dos

resduos (erros) do modelo apresentado

abaixo:

Mdia: 0,14

Desvio-Padro: 338,60

Mnimo: -1.264,69(7,10 ; 16/04/86)

Mxim.p: 1.997,81(19,67 ;04/03/86)

MAPE : 2,67

Constatamos, portanto, que o modelo apre-

sentou uma excelente aderncia, com um erro

percentual mdio da ordem de apenas 2,67 .

b le ato rie dade dos Resd uo s

A figura 7 mostra a funo de autocorrelao

dos resduos (erros).

Alguns poucos coeficientes se encontram

alm da regio de aceitao, embora apresentem

uma magnitude relativamente pequena. Prova-

velmente, a crescente volatilidade (varincia) da

srie tenha provocado alguns vieses de esti-

mao, indicando uma provvel necessidade de

transformao (logartmica ou raiz quadrada)

5. Neste caso, o procedimento mais adequado seria

a estimao de um modelo sem constante; entretan-

to, manteremos o modelo inalterado, tendo em vista

os propsitos ilustrativos deste artigo.

6. O MAPE ( Mean Absolute Percentage Error), ou

erro percentual mdio, definido como:

1

1\

~ I Zt - 4 I 100

Zt

APE

n


7/8

R A E

F IG . 5 - IB O V E S P A : e s tim ativ a s d o M o d e lo A rtm a 1 ,1 , O)

ESTIMATIVA

................

.

~ - 'o '.'

.

.

. .

.................. : 0

.

.

. .

I I

F IO . 6 - IB O V E S P A : E n o e d o M o d e lo A rIm a 1 ,1 ,

O)

a x > 400 600

T

ERRO (X100)

...................

I

,o ,

60 0

80 0

T

F IG . 7 - F un A o d e A u to c o rre la a o d o s E rro s d o M od e lo A rlm a 1 ,1 ,

O)

COEFICIENTE

1

0 . 5

O

- O . ,

-1

O

.

. .

. . .

00 o e 00 00

0

. . .

.

.

;

.

.

.

. .

- .

.

. . . . . . . .

~ ;

: :. ; - :

.

.

.

.

. .

. . .

.

.

.

. .

.

. . .

50

DEfASAGEM

69


8/8

C J

NOTAS E COMENTRIOS

dos dados para lhes estabilizar a varincia. En-

tretanto, dado o escopo deste texto, a tima ade-

rncia do modelo e a pequena magnitude desses

coeficientes, no estimaremos o modelotrans-

formado e consideraremos os resduos como ra-

zovelmente aleatrios. .

4. Prevls6es

Na figura 8, encontramos a seguinte funo

de previso do ndice Bovespa:

'

W 650+m

= 11,88789

+

0,23584

W U9+m

m

Z 650+m

=

11.476,76 +

LW

650+j

l I

onde:

m - horizonte de planejamento (m

= =

1, 2, 3~...)

Ao lado, apresentamos as previses do

IBOVESPA para os cinco dias teis subseqentes

ltima observao, bem como os respectivos

intervalos de confiana associados a um nvel

de probabilidade de 95% (por simplicidade

deixamos de apresentar a expresso descritiva

desses limites probabilsticos).

t

lt

l im i t e i n f e r io r

l im i t e s u p e ri o r

651

11.288,3

10.622,8

11.949,9

652

11.253,0

10.197,9

12.308,0

653 11.256,7 9.897,4 12.616,0

654

11.269,3

9.657,7

12.880,9

655 11.283,9

9.453,4

13.114,3

6

importante notar que essas previses so e-

fetuadas no instante t = 650; Tendo em vista o

carter auto-ajustvel do mtodo, obteramos

uma maior preciso se essas previses fossem

efetuadas passo a passo (i.e., previso para o

prxiinO perodo -+ observao -+ previso

para o perodo subseqente -+ etc.).

CONCLUSOES

Apresentamos uma abordagem alternativa e

complementar aos mtodos tradicionais de

~se tcnica, que proporciona previses quan-

titativas e probabilsticas robustas do ponto de

vista conceitual e estatstico.

No experimento efetuado, constatamos que

essa abordagem. apresentou resultados extrema-

mente satisfatrios, em que pese

instabilidade

e

volatilidade da srie empregada.

Q .

FECHAMENTO

FIG.

8

-IBOVESPA : Funlode Prevlslo do Modelo Arlma(1,1,O)

T

ABSTRACT: This paper review s the Autorregressive - M oving Average M odels and com pares ihem

w ith the traditional m ethods know n by the term tech nica l a na ly sis .

The Box-lenkins approach is presented next and its four steps - ldentification, Estim ation, Check-

ing and Forecasting - are review ed.

Finally, it is shown how this technique is easily implem ented with satisfactory results in the mo-

elling and forecasting of ihe lnex of the Bolsa de Valores de Silo Paulo (BO VESPA).

KEY WORDS: Arima , Box- Je nk in s, p re dic ti on , mode lli ng , s to cf :a sti c p ro ce ss es .

7

1989 - os modelos arima e a abordagem de box-jenkins

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