171692859-rl-aula-03

MDULO AFT Raciocnio Lgico

Antnio Geraldo

1

RESUMO TERICO ANLISE COMBINATRIA 1. Introduo A Anlise Combinatria nos ensina como contar a quantidade de agrupamentos feitos com os elementos de um conjunto. Os agrupamentos podem diferenciar pela quantidade, ordem e pela natureza, e os elementos do agrupamento podem ser distintos ou repetidos. 2. Princpio fundamental da contagem (PFC) Se uma ao composta de duas etapas sucessivas e independentes, sendo que a primeira pode ser feita de m modos e, para cada um destes, a segunda pode ser feita de n modos, ento o nmero de maneiras de realizar a ao, isto , a primeira e a segunda etapa m.n. 3. Princpio aditivo Se uma ao composta de duas etapas sucessivas e independentes, sendo que a primeira pode ser feita de m modos e, para cada um destes, a segunda pode ser feita de n modos, ento o nmero de maneiras de realizar a

primeira ou a segunda etapa m n. Repare a diferena: Exemplos: E.1) Se voc tem quatro camisas e seis calas

diferentes, ento ter 4 6 24 maneiras distintas de trajar-se, usando camisa e cala. E.2) Se voc tem quatro pares de sapatos e

seis pares de tnis diferentes, ento ter 4 6 10 maneiras distintas de calar-se, usando sapato ou tnis. 4. Arranjo Simples So agrupamentos de elementos distintos que diferem entre si pela ordem ou pela natureza. Representao:

Obs.: problemas que envolvem arranjos podem ser resolvidos com o Princpio Fundamental da Contagem. 5. Permutaes So agrupamentos realizados com todos os elementos do conjunto. Se os elementos so distintos, ento chamamos Permutao Simples, se existirem elementos repetidos no conjunto, ento chamamos Permutao de Elementos Repetidos. Representao: 5.1. Permutaes Simples Obs.: As permutaes simples so casos

particulares de arranjos simples quando n p, da o nmero de permutaes simples de n elementos :

5.2. Permutaes de Elementos Repetidos l-se permutao de n elementos com a elementos iguais, b elementos iguais e c elementos iguais.

6. Combinao Simples So agrupamentos de elementos distintos que diferem entre si pela natureza. Representao:


Antnio Geraldo

2

Observao: Arranjo ou Combinao? Quando estamos resolvendo problema de anlise combinatria devemos reconhecer quando envolve arranjos ou combinaes. Vamos usar os seguintes passos: a) escolher um agrupamento qualquer que satisfaa as condies do problema; b) trocar as posies dos elementos desse agrupamento escolhido. Se o novo agrupamento for uma nova soluo do problema, ou seja, se a ordem for importante, ento trata-se de ARRANJO, caso contrrio, trata-se de COMBINAO.

2. De quantas maneiras diferentes se pode dispor as letras da palavra CELIBATO? 3. Quantos anagramas apresenta a palavra ARAGUARI? 4. (ESAF) Chico, Caio e Caco vo ao teatro com suas amigas Biba e Beti, e desejam sentar-se, os cinco, lado a lado, na mesma fila. O nmero de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos assentos de modo que Chico e Beti fiquem sempre juntos, um ao lado do outro, igual a:

a) 16 b) 24 c) 32 d) 46 e) 48 5.Considere a palavra VESTIBULAR: a) quantos anagramas podem ser formados? b) quantos anagramas iniciam pela letra E? c) quantos anagramas terminam por R? d) quantos anagramas iniciam por T e terminam por B? e) quantos anagramas comeam pelas letras ATB, nessa ordem? f) quantos anagramas terminam pelas letras BAR, em qualquer ordem? g) quantos anagramas apresentam as letras LAR, juntas nessa ordem? h) quantos anagramas apresentam as letras VEST juntas, em qualquer ordem? 6. Quantos so os nmeros com 3 algarismos diferentes que poderemos formar, empregando os caracteres {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}? 7. Quantos so os nmeros com 3 algarismos que poderemos formar, utilizando o sistema decimal de numerao? 8. (ESAF) Em uma cidade, os nmeros dos telefones tm 7 algarismos e no podem comear por 0. Os trs primeiros nmeros constituem o prefixo. Sabendo-se que em todas as farmcias os quatro ltimos dgitos so zero e o prefixo no tem dgitos repetidos, ento o nmero de telefones que podem ser instalados nas farmcias igual a: a) 504 b) 720 c) 684 d) 648 e) 842 9.Uma empresa possui sete gestores, entre os quais, o presidente e o vice-presidente da empresa. Responda:

RACIOCNIO LGICO ANLISE COMBINATRIA

Profs. Antonio Geraldo e Jos Carlos 72

e 3, que existe tambm em nmero de 5! cada tipo. Temos assim, um total de 3 5! nmeros que precedem o nmero proposto. Este tambm precedido pe-

los nmeros que iniciam por 41 e 42. H 2 4! nmeros deste tipo. Tambm

precedido pelos nmeros que iniciam por 431, em nmero de 3!. Ainda pelos que comeam por 4.321 e 4327 que so em nmero de 2!, para cada tipo.

Resumindo, antes do citado nmero h

3 5! 2 4! 3! 2 2! 418 + + + = nmeros.

Ele ocupa, assim, o lugar de ordem 419.

8. Em uma sala h 9 moas e 16 rapazes. De quantos modos poderemos fazer uma comisso composta por 4 moas e 7 rapazes?

Resoluo:

As 4 moas podero ser escolhidas dentre as 9, o que d um total de

9,4C 126= modos diferentes. Os 7 rapazes podero ser escolhidos dentre os 16,

o que d um total de 16,7C 11.440= modos diferentes. Como a comisso com-

posta pelos 4 rapazes e pelas 7 moas, o resultado pedido ser:

E

126 11.440 1.441.440 =

SRIE REPETECO

1. Calcular:

a) 5!

b) 8!

7!

c) 16!

14!

d) 12!

9!3!


Antnio Geraldo

3

Quantas comisses diferentes, com 3 membros, poderemos constituir empregando os sete gestores dessa empresa? a) Em quantas comisses no figura o presidente da empresa? b) Em quantas aparecem juntos, o presidente e o vice-presidente da empresa? 10. (ESAF) Uma comisso de trs membros vai ser escolhida ao acaso dentre um grupo de quinze pessoas, entre as quais esto Alice e Brbara. Calcular o nmero de diferentes comisses que podero ser formadas, de tal forma que Alice e Brbara participem dessas comisses. a) 13 b) 39 c) 420 d) 210 e) 840 11. Considera-se um conjunto de 4 rapazes e 7 moas. Responda: a) Quantas comisses de 4 elementos podem ser formadas? b) Quantas destas comisses contero 2 rapazes e 2 moas? 12. (ESAF) Uma classe tem 10 alunos e 5 alunas. Formam-se comisses de 4 alunos e 2 alunas. O nmero de comisses em que participa o aluno X e no participa a aluna Y : a) 1260 b) 2100 c) 840 d) 504 e) 336 13. (ESAF) Um grupo de dana folclrica formado por sete meninos e quatro meninas foi convidado a realizar apresentaes de dana no exterior. Con- tudo, o grupo dispe de recursos para custear as passagens de apenas seis dessas crianas. Sabendo-se que nas apresentaes do programa de danas devem participar pelo menos duas meninas, o

nmero de diferentes maneiras que as seis crianas podem ser escolhidas igual a: a) 286 b) 756 c) 468 d) 371 e) 752 14. (ESAF) Um grupo de estudantes encontra-se reunido em uma sala para escolher aleatoriamente, por sorteio, quem entre eles ir ao Simpsio de Matemtica do prximo ano. O grupo composto de 15 rapazes e de um certo nmero de moas. Os rapazes cumprimentam-se, todos e apenas entre si, uma nica vez; as moas cumprimentam-se, todas e apenas entre si, uma nica vez. H um total de 150 cumprimentos. O nmero de moas , portanto, igual a: a) 10 b) 14 c) 20 d) 25 e) 45

EXERCCIOS PROPOSTOS ANLISE COMBINATRIA

Nas questes de 1 a 4 calcule o que se pede. 1.(UFPA) Quantos so os anagramas da palavra BRASIL comeados por B e terminados por L? a)24 b)120 c)720 d)240 e)1.440 2.Quantas so as permutaes distintas das letras da palavra ARARUTA? 3.Encontrar o nmero de nmeros diferentes que obteremos permutando os algarismos do nmero 2.718.281.828.


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4

4.Quantos nmeros diferentes acharemos, permutando de todos os modos possveis, os algarismos do nmero 37.774.373? 5.Quantos nmeros com 5 algarismos poderemos formar empregando os algarismos mpares 1, 3, 5, 7 e 9? Em quantos aparecem os algarismos 5 e 7 juntos? Em quantos deles comparece o agrupamento 357, nessa ordem? 6.De quantos modos podemos sentar-se 6 pessoas em linha, admitindo-se que dois indivduos A e B estejam sempre juntos? 7.Num determinado setor de um hospital trabalham 5 mdicos e 10 enfermeiros. Quantas equipes distintas, constitudas cada uma de um mdico e 4 enfermeiros, podem ser formadas nesse setor? a) 210 b) 1.050 c) 5.050 d) 10.080 e) 25.200 8.(VUNESP) Um certo nmero de garrafas distinguveis foi arranjado de 3 em 3, de todas as maneiras possveis. O nmero desses arranjos foi 120. Ento, o nmero de garrafas era: a)12 b)10 c)6 d)5 e)4 9.(FUVEST) O nmero de anagramas da palavra FUVEST que comeam e terminam por vogal : a)24 b)48 c)96 d)120 e)144 10.(PUC) Alfredo, Armando, Ricardo, Renato e Ernesto querem formar uma sigla com cinco

smbolos, onde cada smbolo a primeira letra de cada nome. O nmero total de siglas possveis : a)10 b)24 c)30 d)60 e)120 11.Dadas as letras A, B, C, p, q e r determinar o nmero de permutaes das mesmas que: a)comeam por maiscula; b)comeam e finalizam por maiscula. 12.(FGV) Um viajante, partindo da cidade A, deve chegar cidade D, passando obrigatoriamente pelas cidades B e C. Para viajar de A e B existem 3 meios de transporte: avio, navio e trem; de B para C, 2 meios; txi e nibus; e de C para D, 3 meios: carroa, moto e bicicleta. Quantas maneiras diferentes existem para viajar de A para D? a)8 b)3 c)mais de 15 d)menos de 10 e)n.r.a 13.(PUC) Com os algarismos do sistema decimal formam-se todos os nmeros de 4 algarismos distintos, sendo que x deles possuem um algarismo mpar na ordem das centenas. O Valor de x : a)336 b)567 c)2.240 d)3.335 e)3.403 14.(UFRN) A quantidade de nmeros pares de 5 algarismos, sem repetio, que podemos formar com os dgitos 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8 igual a: a)720


Antnio Geraldo

5

b)1.440 c)2.160 d)2.880 e)3.600 15.(MACK) Usando-se 5 dos algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7, e sem repeti-los, podemos formar: a)1.080 nmeros pares; b)2.160 nmeros pares; c)2.520 nmeros pares; d)5.040 nmeros pares; e)360 nmeros pares. 16.Um grupo de 10 pessoas revolve jogar na MEGA SENA, formando todos os cartes possveis, cada um com seis dezenas, usando 10 dezenas distintas, previamente escolhidas pelos mesmos. Depois de efetuado o jogo, dividiu-se o nmero de cartes igualmente pelo jogadores. Quantos cartes coube a cada um deles? 17.De quantas formas diversas podemos escolher um romance, uma revista e um jornal entre 7 romances, 5 revistas e 10 jornais? 18.(FGV) Um restaurante oferece no cardpio 2 saladas distintas, 4 tipos de pratos de carne, 5 variedades de bebidas e 3 sobremesas diferentes. Uma pessoa deseja uma salada, um prato de carne, uma bebida e uma sobremesa. De quantas maneiras a pessoa poder fazer seu pedido? a)120 b)144 c)14 d)60 e)12 19.(CESPE) Uma pessoa faz uma relao de nomes de 9 pessoas amigas. De quantas maneiras distintas ela poder convidar 5 dessas pessoas, sabendo que na relao h um nico casal inseparvel?

20.(PUC) O nmero de anagramas da palavra ALUNO que tm as vogais em ordem alfabtica : a)20 b)30 c)60 d)80 e)100 21.(FGV) As placas de automveis constam de duas letras e quatro algarismos. O nmero de placas que podem ser fabricadas com as letras P, Q, R e os algarismos 0, 1, 7 e 8 : a)2.412 b)2.304 c)144 d)216 e)1.536 22.(CESPE) Em uma empresa existem 9 diretores, sendo 3 desses de uma mesma famlia. Quantas comisses de 3 diretores podem ser formadas contendo cada uma, no mximo, 2 diretores da mesma famlia? 23.(CESPE) Sete pessoas trabalham num setor de uma fbrica que funciona em trs turnos dirios. No primeiro turno trabalham 2 pessoas, no segundo trabalham 2 e no terceiro 3. Calcule de quantas maneiras pode-se fazer a escala do dia, sabendo-se que as duas nicas mulheres da equipe no podem trabalhar no terceiro turno. 24. (CESPE) Ao final de uma festa, ocorrem 28 apertos de mo para as despedidas. Considere que cada participante despediu-se de todos os demais. Calcule o nmero de pessoas que estavam presentes.


Antnio Geraldo

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GABARITO EXERCICIOS DE ANALISE COMBINATRIA 1.A 2.420 3.12.600 4.280 5.120, 48 E 6 6.240 7.B 8.C 9.B 10.C 11.360 E 144 12.C 13.C 14.B 15.A 16.21 17.350 18.A 19.56 20.A 21.B 22.83 23.60 24.8 GABARITO COMENTADO

01.So 6 letras distintas e duas destas esto

presas em certas posies, ento sobram 4 letras

livres para trocarem (permutao simples)

4P 4! 24

Letra A

02.ARARUTA

A R

3 2

7

7!PR 420

3! 2!

03.O raciocnio dessa questo idntico ao de se perguntar: Quantos anagramas tem a palavra ARARA? S que nesta questo ao invs de letras na composio da palavra, temos algarismos na

composio do nmero. E como os elementos (algarismos) repetem, trata-se de uma permutao com repetio:

2 3 4

10

10!PR 12.600

2!3!4!

1 2 8

04. 37.774.373 (mesmo raciocnio da anterior)

3 4

8

8!PR 280

3! 4!

3 7

05.Observe que so pedidas 3 coisas: (1 Parte) Cada troca entre algarismos na composio do nmero, forma-se um novo nmero. Como pedido o total de nmeros, ento tem de se fazer o total de trocas

(permutaes): 5P 5! 120

(2 Parte) V raciocnio da questo 3 de aula, letra (f). Entende-se 5 e 7 como um nico algarismo, uma vez que eles devem ficar juntos, totalizando, ento, 4 algarismos para permutar (permutao externa). Lembrando tambm que eles podem trocar entre si (permutao interna).

P4

permutaoexterna

P

2

permutaoint erna

= 24 2 = 48

(3 Parte) V raciocnio da questo 3 de aula, letra (e). Entende-se 3, 5 e 7 como um nico algarismo, uma vez que eles devem ficar juntos, totalizando, ento, 3 algarismos para permutar (permutao externa). Nesse caso esses 3 algarismos no podem trocar entre si, pela restrio do problema, j que eles devem ficar nessa ordem.

P3

permutaoexterna

= 6

06.So 6 pessoas, mas como A e B devem ficar juntos, imagina-se que AB ocupa apenas um lugar, ficando, ento, uma permutao de 5 elementos (permutao externa). Observe ainda que se A e B trocarem entre si, muda-se a composio da fila (permutao interna)


Antnio Geraldo

7

P5

permutaoexterna

P

2

permutaoint erna

=120 2 = 240

07.Precisa-se escolher 1 mdico, dentre 5; e 4

enfermeiros dentre 10

E

5,1 10,4C C 5 210 1.050

Letra B

08. n,3A 120 n (n 1) (n 2) 120

Testando as alternativas, temos:

a) n 12 12 11 10 1.320 120

b) n 10 10 9 8 720 120

c) n 6 6 5 4 120 120 (funcionou!)

Letra C

09.Nesse caso vale a pena montar aquele

esquema, sempre lembrando de comear o

preenchimento pela(s) restrio(es):

Restries

vogal vogal

Total de

opes

2 4 3 2 1 1 = 48

Letra B

10.A sigla , ento, formada pelas letras:

A,A,R,R,E , portanto o total de siglas diferentes

igual ao total de possveis trocas (permutao

com elementos repetidos):

A R

2 2

5

5!PR 30

2! 2!

Letra C

11.a) Restrio: Comear por maiscula.

Restrio

A,B,C

Total de

opes

3 5 4 3 2 1 = 360

b) Restrio: Comear e terminar por maiscula.

Restrio

A,B,C A,B,C

Total de

opes

3 4 3 2 1 2 = 144

12. A 3 B 2 C 3 D

3 2 3 18

Letra C

13.Formar nmeros de 4 algarismos distintos,

escolhidos do sistema decimal

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 e com a restrio de o

algarismo das centenas ser mpar:

Restries

0 no

mpar

Total de

opes

8 5 8 7 = 2.240

Obs. O primeiro algarismo nunca pode ser 0.

Letra C

14.Formar nmeros pares de 5 algarismos

distintos, escolhidos do conjunto 2,3,4,5,6,7,8 .


Antnio Geraldo

8

Restrio: terminar com algarismo par (para o

numero ser par)

Restries

par

Total de

opes

6 5 4 3 4 = 1.440

Letra B

15.Formar nmeros pares (observar as

alternativas) de 5 algarismos distintos, escolhidos

do conjunto 1,2,3,4,5,6,7 . Restrio: terminar

com algarismo par (para o numero ser par)

Restries

par

Total de

opes

6 5 4 3 3 = 1.080

Letra A

16.Das 10 dezenas, escolhem-se 6 para montar

um carto da mega-sena, ento o total de

diferentes cartes dado por:

10,6C 210

Como h 10 pessoas para dividirem os 210

cartes, ento sobram-se 21 cartes para cada

pessoa.

17.Dos 7 romances, escolhe-se um e das 5 revistas, escolhe-se uma e dos 10 jornais, escolhe-se uma:

E E

7,1 5,1 10,1C C C 7 5 10 350

18.Das 2 saladas, escolhe-se uma e dos 4 tipos

de carne, escolhe-se um e das 5 bebidas,

escolhe-se uma e das 3 sobremesas, escolhe-se

uma:

E E E

2,1 4,1 5,1 3,1C C C C 2 4 5 3 120

Letra A

19.Tem-se 9 pessoas, 2 inseparveis e 7 outras

que no tm restrio. Como o referido casal

inseparvel, ento ou o casal convidado (das 5

pessoas convidadas, sobram-se 3 vagas,

disputadas entre as 7 pessoas), ou o casal no

convidado (as 5 vagas so disputadas entre as 7

pessoas).

OU

7,3 7,5C C 35 21 56

20.Anagramas da palavra ALUNO com as vogais

em ordem alfabtica. Uma vez que essa ordem

for estabelecida elas (as vogais) no podem

trocar entre si. Entenda, no que as vogais no

possam permutar, mas que elas no podem

trocar entre si.

como se fosse pedido para calcular os

anagramas da palavra ALANA, pois nesse caso,

trata-se de uma permutao com repetio da

letra A, uma vez que mesmo que esses As

troquem entre si a palavra continua a mesma, ou

seja, para calcular esse anagrama de 5 letras,

calcula-se 5! e divide o resultado por 3!,

originando a formula que j se conhece para

permutao com repetio:

A

3

5

5!PR 20

3!

A diviso por 3! deve ser entendida como uma

correo que se faz, pois queles As no podem

trocar entre si (da mesma maneira que quelas

vogais no podiam trocar entre si), uma vez que

essa troca no altera o anagrama.


Antnio Geraldo

9

Letra A

21.Note que um problema de arranjo, pois ao

se mudar a ordem das letras ou nmeros, muda-

se a placa do carro. Note tambm que se pode

repetir os elementos. Observe o esquema:

P, Q, R

0, 1, 7, 8

Total de

opes

3 3 4 4 4 4 = 2.304

Letra B

22.Tem-se 9 diretores, sendo 3 de uma famlia A

e 6 outros. Quer-se montar comisses de 3

diretores com, no mximo, 2 diretores da famlia

A, isto , dos 3 escolhidos, pode-se 2 ser da

famlia A ou 1 ser da famlia A ou no ter diretor

da famlia A, observe:

C3,2

dos 3 de A,escolhe-se 2

E

C6,1

dos 6 outros,escolhe-se 1

+

OU

C3,1

dos 3 de A,escolhe-se 1

E

C6,2


+

OU

C6,3


=

= 36+315+ 20 = 83

23.Das 7 pessoas, 5 so homens e 2 so

mulheres. Temos 3 turnos de trabalho (com 2

pessoas trabalhando no 1 turno; 2 no 2 e 3 no

3) e no 3 as mulheres no podem trabalhar.

Iniciemos o trabalho montando a equipe para o 3

turno (dos 5 homens, escolhem-se 3 para esse

turno), pois o nico que tem restrio, e depois

para o 2 (dos 4 funcionrios, 2 mulheres e os 2

homens no escolhidos, escolhem-se 3 para

esse turno) e para o 1 (dos 2 funcionrios

restantes, escolhem-se 2 para esse turno).

Observe:

C5,2

dos 5 homens,escolhem-se 2

E

C4,2

dos 4 funcionrios,escolhem-se 2

E

C2,2

dos 2 funcionrios,escolhem-se 2

=

=10 6 1= 60

24.Cada aperto de mo dado entre duas

pessoas, ou seja, escolhe-se duas pessoas da

festa e elas se cumprimentam. Como na festa h

n pessoas e todos os apertos de mos possveis

so dados totalizando 28, faz-se o seguinte:

n,2das n pessoas, escolhem se 2para darem um aperto de mo

2 2

n n 1C 28 28

2

n n 56 n n 56 0

n 8

ou

n 7 no serve

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