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Geometria Prof.:Carlinhos. Lista n° 12 20/05/2013

RETAS, PLANOS E POLIEDROS

1. (G1 - ifsp 2013) A figura mostra uma peça feita em 1587 por Stefano Buonsignori, e está exposta no Museu Galileo, em Florença, na Itália. Esse instrumento tem a forma de um dodecaedro regular e, em cada uma de suas faces pentagonais, há a gravação de um tipo diferente de relógio.

Em 1758, o matemático Leonard Euler (1707-1783) descobriu o teorema conhecido por relação de Euler: em todo poliedro convexo com V vértices, A arestas e

F faces, vale a relação V A F 2. Ao se aplicar a relação de Euler no poliedro da figura, o número de arestas não visíveis é a) 10. b) 12. c) 15. d) 16. e) 18. 2. (Uem 2012) Sabendo que r, s e t são três retas no espaço tridimensional com r e s paralelas distintas, assinale o que for correto. 01) Se a reta r é perpendicular a um plano α , então a

reta s também é perpendicular ao plano α .

02) Se a reta t é concorrente com a reta s, então t também é concorrente com a reta r.

04) Se um plano β contém a reta s, então o plano β

também contém a reta r. 08) Se a reta t é perpendicular à reta r, então t é

perpendicular ou ortogonal à reta s. 16) Se as três retas r, s e t são paralelas distintas,

então existe um plano α que contém as três retas.

3. (Espcex (Aman) 2012) Considere as seguintes afirmações:

I. Se dois planos α e β são paralelos distintos, então

as retas 1r α e 2r β são sempre paralelas.

II. Se α e β são planos não paralelos distintos,

existem as retas 1r α e 2r β tal que 1r e 2r são

paralelas. III. Se uma reta r é perpendicular a um plano α no

ponto P, então qualquer reta de α que passa por P

é perpendicular a r. Dentre as afirmações acima, é (são) verdadeira(s) a) Somente II b) I e II c) I e III d) II e III e) I, II e III

4. (Uem 2011) O fulereno é uma molécula de carbono descoberta em 1985, e sua utilização tem sido proposta em muitas áreas, como medicina, bioquímica e física, devido à sua grande estabilidade. O modelo

tridimensional da molécula do fulereno 60C é um

poliedro convexo de faces regulares, que possui 12 faces pentagonais, 20 faces hexagonais e três arestas se encontrando em cada vértice, formando ângulos triédricos. Em cada vértice, está situado um átomo de carbono. Baseando-se nessas informações, assinale o que for correto. 01) O poliedro que representa a molécula possui 120

arestas. 02) Se A é o número de arestas do poliedro e V o

número de vértices do poliedro que representa a molécula, então 3A = 2V.

04) A soma dos ângulos internos de todas as faces é

58 radπ .

08) O fulereno 60C apresenta carbonos com

hibridização 2sp .

16) O poliedro que representa a molécula possui 60 vértices.

5. (Upe 2011) Um poliedro convexo possui 8 (oito) faces, todas triangulares. Nestas condições, assumindo que tal poliedro exista, o número esperado de vértices para este será a) 10 b) 9 c) 8 d) 7 e) 6

6. (Uepg 2010) Considerando dois planos α e β e

uma reta r, assinale o que for correto.

01) Se r é perpendicular a α e a β então α é

paralelo a qualquer plano que contenha r.

02) Se r é perpendicular a α e a β então α e β são

paralelos entre si.

04) Se α e β são perpendiculares e α reta r está

contida em α , então r é também perpendicular a

β .

08) Se r é paralelo a α então todo plano contendo r é

paralelo a α .

16) Se r α = então r e α são paralelos.

7. (Uepg 2010) Dado que um poliedro convexo tem 2

faces pentagonais, 4 faces quadrangulares e n faces

triangulares, assinale o que for correto.

01) Se o número de vértices do poliedro é 11, então n = 4. 02) Se o número de faces do poliedro é 16, então n = 10. 04) O menor valor possível para n é 1. 08) Se a soma dos ângulos de todas as faces do

poliedro é 3600º, então n = 6. 16) Se o número de arestas do poliedro é 25, então n = 8.

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8. (Uerj 2008) Considere o icosaedro a seguir (Fig.1),

construído em plástico inflável, cujos vértices e pontos

médios de todas as arestas estão marcados.

A partir dos pontos médios, quatro triângulos

equiláteros congruentes foram formados em cada face

do icosaedro.

Admita que o icosaedro é inflado até que todos os

pontos marcados fiquem sobre a superfície de uma

esfera, e os lados dos triângulos tornem-se arcos de

circunferências, como ilustrado na figura 2.

Observe agora que, substituindo-se esses arcos por

segmentos de reta, obtém-se uma nova estrutura

poliédrica de faces triangulares, denominada

geodésica. (Fig. 3)

O número de arestas dessa estrutura é igual a:

a) 90 b) 120 c) 150 d) 180 9. (Ufc 2008) O número de faces de um poliedro

convexo com 20 vértices e com todas as faces

triangulares é igual a:

a) 28 b) 30 c) 32 d) 34 e) 36 10. (Fatec 2007) A reta r é a intersecção dos planos á

e â, perpendiculares entre si. A reta s, contida em á,

intercepta r no ponto P. A reta t, perpendicular a

â, intercepta-o no ponto Q, não pertencente a r.

Nessas condições, é verdade que as retas

a) r e s são perpendiculares entre si. b) s e t são paralelas entre si. c) r e t são concorrentes. d) s e t são reversas. e) r e t são ortogonais. 11. (Uel 2007) Sobre os conhecimentos de geometria

tridimensional, considere as afirmativas:

I. Se duas retas distintas não são paralelas, então elas

são concorrentes.

II. Três pontos distintos entre si determinam um único

plano.

III. Duas retas paralelas distintas determinam um

plano.

IV. Se duas retas r e s são reversas, então existe um

único plano á que contém r e é paralelo a s.

A alternativa que contém todas as afirmativas corretas

é:

a) I e II b) I e IV c) III e IV d) I, II e III e) II, III e IV

12. (Ueg 2005) Observe e

classifique as afirmações abaixo

como sendo verdadeiras ou falsas:

I. Se um plano intercepta dois outros planos paralelos,

então as interseções são retas paralelas.

II. Se dois planos são paralelos, qualquer reta de um

deles é paralela a qualquer reta do outro.

III. Se uma reta é paralela a dois planos, então esses

planos são paralelos.

IV. Se dois planos são paralelos, uma reta de um

deles pode ser reversa a uma reta do outro.

Marque a alternativa CORRETA:

a) Apenas as afirmações I e II são verdadeiras. b) Apenas as afirmações I e III são verdadeiras. c) Apenas as afirmações I e IV são verdadeiras. d) Apenas as afirmações II e IV são verdadeiras. e) Apenas as afirmações III e IV são verdadeiras. 13. (Uerj 2005)

O poliedro acima, com exatamente trinta faces

quadrangulares numeradas de 1 a 30, é usado como

um dado, em um jogo.

Admita que esse dado seja perfeitamente equilibrado

e que, ao ser lançado, cada face tenha a mesma

probabilidade de ser sorteada.

Calcule:

a) a probabilidade de obter um número primo ou

múltiplo de 5, ao lançar esse dado uma única vez;

b) o número de vértices do poliedro.

14. (Pucpr 2005) O tetra-hexaedro é um sólido

convexo limitado por 4 faces triangulares e 6

hexagonais, todas regulares.

O número de arestas e vértices desse sólido é:

a) A = 21 V = 13 b) A = 24 V = 16 c) A = 48 V = 40 d) A = 32 V = 24 e) A = 34 V = 24 15. (G1 - cftce 2004) Observe as afirmações:

I) O espaço é o conjunto de todos os pontos.

II) Dois pontos distintos determinam uma reta.

III) Três pontos não-pertencentes a uma mesma reta

definem um plano.

É correto concluir que:

a) somente I é verdadeira b) apenas I e II são verdadeiras c) apenas II e III são verdadeiras d) todas são falsas e) todas as afirmações são verdadeiras

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16. (Ufc 2004) Um poliedro convexo só tem faces

triangulares e quadrangulares. Se ele tem 20 arestas e

10 vértices, então, o número de faces triangulares é:

a) 12 b) 11 c) 10 d) 9 e) 8 17. (Pucpr 2004) Um poliedro convexo é formado por

faces quadrangulares e 4 faces triangulares. A soma

dos ângulos de todas as faces é igual a 12 retos.

Qual o número de arestas desse poliedro?

a) 8 b) 6 c) 4 d) 2 e) 1 18. (Pucrs 2003) Um poliedro convexo possui duas

faces pentagonais e cinco quadrangulares. O número

de vértices deste poliedro é

a) 4 b) 6 c) 8 d) 9 e) 10 19. (Uel 2001) Considere uma reta s, contida em um

plano , e uma reta r perpendicular a s. Então,

necessariamente:

a) r é perpendicular a .

b) r e s são coplanares. c) r é paralela a .

d) r está contida em .

e) Todas as retas paralelas a r interceptam s. 20. (Pucpr 2001) Um poliedro convexo tem 7 faces.

De um dos seus vértices partem 6 arestas e de cada

um dos vértices restantes partem 3 arestas.

Quantas arestas tem esse poliedro?

a) 8 b) 10 c) 12 d) 14 e) 16 21. (Ufc 2000) Um poliedro convexo de nove vértices

possui quatro ângulos triédricos e cinco ângulos

tetraédricos. Então o número de faces deste poliedro

é:

a) 12 b) 11 c) 10 d) 9 e) 8

22. (Fatec 1999) Seja A um ponto pertencente à reta

r, contida no plano á.

É verdade que

a) existe uma única reta que é perpendicular à reta r no ponto A.

b) existe uma única reta, não contida no plano á, que é paralela à reta r.

c) existem infinitos planos distintos entre si, paralelos ao plano á, que contêm a reta r.

d) existem infinitos planos distintos entre si, perpendiculares ao plano á e que contêm a reta r.

e) existem infinitas retas distintas entre si, contidas no plano á e que são paralelas à reta r.

23. (Ufal 1999) Analise as afirmativas a seguir.

( ) Duas retas que não têm pontos comuns sempre

são paralelas.

( ) Duas retas distintas sempre determinam um

plano.

( ) Uma reta pertence a infinitos planos distintos.

( ) Três pontos distintos sempre

determinam um plano.

( ) Duas retas coplanares distintas são paralelas ou

concorrentes.

24. (Uel 1999) As afirmações seguintes podem ser

verdadeiras ou falsas.

I . A projeção ortogonal de uma reta num plano é uma

reta.

II. Distância entre duas retas reversas é a

perpendicular comum a essas retas.

III. A distância entre dois planos só é definida se esses

planos são paralelos.

É correto afirmar que SOMENTE

a) II é verdadeira. b) III é verdadeira. c) I e II são verdadeiras. d) I e III são verdadeiras. e) II e III são verdadeiras. 25. (Fuvest 1999) O número de faces triangulares de

uma pirâmide é 11. Pode-se, então, afirmar que esta

pirâmide possui

a) 33 vértices e 22 arestas. b) 12 vértices e 11 arestas. c) 22 vértices e 11 arestas. d) 11 vértices e 22 arestas. e) 12 vértices e 22 arestas. 26. (Pucpr 1999) Quantas arestas tem um poliedro

convexo de faces triangulares em que o número de

vértices é 3/5 do número de faces?

a) 60 b) 30 c) 25 d) 20 e) 15 27. (Uerj 1999) Um icosaedro regular tem 20 faces e

12 vértices, a partir dos quais retiram-se 12 pirâmides

congruentes. As medidas das arestas dessas

pirâmides são iguais a 1

3 da aresta do icosaedro. O

que resta é um tipo de poliedro usado na fabricação

de bolas. Observe as figuras.

Para confeccionar uma bola de futebol, um artesão

usa esse novo poliedro, no qual cada gomo é uma

face. Ao costurar dois gomos para unir duas faces do

poliedro, ele gasta 7 cm de linha.

Depois de pronta a bola, o artesão gastou, no mínimo,

um comprimento de linha igual a:

a) 7,0 m b) 6,3 m c) 4,9 m d) 2,1 m 28. (Ufsm 1999) Um poliedro convexo tem 12 faces

triangulares e as demais, pentagonais. Sabendo que o

número de arestas é o triplo do número de faces

pentagonais, então a soma dos ângulos de todas as

faces pentagonais é, em radianos, igual a

a) 3 π b) 12 π c) 36 π d) 64 π e) 108 π

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29. (Uff 1997) Marque a opção que indica quantos

pares de retas reversas são formados pelas retas

suportes das arestas de um tetraedro.

a) Um par. b) Dois pares. c) Três pares. d) Quatro pares. e) Cinco pares.

30. (Ufrgs 1997) Um poliedro convexo de onze faces

tem seis faces triangulares e cinco faces

quadrangulares. O número de arestas e de vértices do

poliedro é, respectivamente,

a) 34 e 10 b) 19 e 10 c) 34 e 20 d) 12 e 10 e) 19 e 12 31. (Unirio 1997) Um geólogo encontrou, numa de

suas explorações, um cristal de rocha no formato de

um poliedro, que satisfaz a relação de Euler, de 60

faces triangulares. O número de vértices deste cristal

é igual a:

a) 35 b) 34 c) 33 d) 32 e) 31 32. (Faap 1996) A única proposição FALSA é:

a) no espaço, duas retas paralelas a uma terceira são paralelas entre si

b) uma reta ortogonal a duas retas de um plano é ortogonal ao plano

c) dois planos perpendiculares à mesma reta são paralelos entre si

d) um plano perpendicular a uma reta de outro plano é perpendicular a este plano

e) um plano perpendicular a dois planos que se interceptam é perpendicular à reta de intersecção destes

33. (Mackenzie 1996) r, s e t são retas distintas tais

que s é perpendicular a r e t é perpendicular a r.

Relativamente às retas s e t, podemos afirmar que:

a) elas podem ser unicamente paralelas ou concorrentes.

b) elas podem ser unicamente paralelas ou reversas. c) elas podem ser unicamente concorrentes ou

reversas. d) elas podem ser paralelas, concorrentes ou

reversas. e) elas podem ser unicamente reversas. 34. (Faap 1996) Duas retas são reversas quando:

a) não existe plano que contém ambas b) existe um único plano que as contém c) não se interceptam d) não são paralelas e) são paralelas, mas pertencem a planos distintos 35. (Puccamp 1996) Sobre as sentenças:

I - Um octaedro regular tem 8 faces quadradas.

II - Um dodecaedro regular tem 12 faces pentagonais.

III - Um icosaedro regular tem 20 faces triangulares.

é correto afirmar que APENAS

a) I é verdadeira. b) II é verdadeira. c) III é verdadeira. d) I e II são verdadeiras. e) II e III são verdadeiras. 36. (Puccamp 1995) Considere as afirmações a

seguir.

I. Duas retas distintas determinam um plano.

II. Se duas retas distintas são paralelas a um plano,

então elas são paralelas entre si.

III. Se dois planos são paralelos, então toda reta de

um deles é paralela a alguma reta do outro.

É correto afirmar que

a) apenas II é verdadeira. b) apenas III é verdadeira. c) apenas I e II são verdadeiras. d) apenas I e III são verdadeiras. e) I, II e III são verdadeiras. 37. (Ufpe 1995) Um poliedro convexo possui 10 faces

com três lados, 10 faces com quatro lados e 1 face

com dez lados. Determine o número de vértices deste

poliedro.

38. (Unitau 1995) A soma dos ângulos das faces de

um poliedro convexo vale 720°. Sabendo-se que o

número de faces vale 2/3 do número de arestas, pode-

se dizer que o número de faces vale.

a) 6. b) 4. c) 5. d) 12. e) 9. 39. (Cesgranrio 1995) Um poliedro convexo tem 14

vértices. Em 6 desses vértices concorrem 4 arestas,

em 4 desses vértices concorrem 3 arestas e, nos

demais vértices, concorrem 5 arestas. O número de

faces desse poliedro é igual a:

a) 16 b) 18 c) 24 d) 30 e) 44 40. (Cesgranrio 1992) Um poliedro convexo é

formado por 4 faces triangulares, 2 faces

quadrangulares e 1 face hexagonal. O número de

vértices desse poliedro é de:

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 41) (UNIFESO) Um poliedro convexo é formado por 2 faces triangulares, 2 quadrangulares e 10 pentagonais. O número de vértices desse poliedro é: (A) 20 (B) 22 (C) 24 (D) 30 (E) 32