OSG.: 15019/09

ENSINO PRÉ-UNIVERSITÁRIO

TC MATEMÁTICA TURNO DATA

ALUNO(A)

TURMA

Nº

SÉRIE

PROFESSOR(A) JUDSON SANTOS ITA/IME

SEDE

___/___/___

SECÇÃO NÓ CEGO

Esta secção nó cego tem como objetivo principal aprofundar os seus conhecimentos, isto é, todos os problemas aqui contidos

envolvem um raciocínio matemático apurado e uma certa dose de criatividade.

1. (EUA) Ache todos os números complexos z tais que ( )( )( )( )3z 1 4z 1 6z 1 12z 1 2+ + + + =

RESP.:5 33 5 i. 23

z e z24 24

− ± − ±= =

2.

(Peru) Seja

11 i

11 i

11 i

.

.

.z

11 i

11 i

11 i

11 i

.

.

.

− ++ +

− +

=+ +

− ++ +

− +

. Então o valor de z 1+ é igual a:

a) 1 b) 2 c) 2 d) 3 e) 3

RESP.: B 3. (KVANT) Resolva o sistema de equações:

2 2

2 2

3x yx 3

x y

x 3yy 0

x y

⎧ ⎛ ⎞−+ =⎪ ⎜ ⎟⎝ + ⎠⎪⎨

⎛ ⎞+⎪ − =⎜ ⎟⎪ ⎝ + ⎠⎩

RESP.: ( )3 1 2i

z2

± +=

4. (PUTNAM/1989) Prove que se 10 911.z 10.i.z 10.i.z 11 0, então z 1+ + − = = .

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5. (EUA/2002) Sabendo que a equação ( )( )z z i z 3i 2002.i+ + = é da forma a + b ��i tal que a e b são números reais positivos

e diferentes de zero. Então o valor de a é igual a:

a) 118 b) 210 c) 2 210 d) 2002 e) 100 2

RESP.: A

6. (Peru/2005) O valor da expressão 1 3 5 7n n n nC 3.C 9.C 27.C ............................; para n− + − + ∈Ν é igual a:

n n n2 2 n 2 2n 2 2a) b) .sen c) .sen d) sen e) cos

3 3 3 33 3 3

π π π π

RESP.:

QUESTÕES PROBLEMAS 1. Se 0 1 2 n 1P , P , P ,....., P − são vértices de um polígono regular de n lados, inscritos em uma circunferência de raio 1. Então

prove que:

0 1 0 2 0 3 0 n 1P P P P P P ........ P P n−× × × × =

2. (UNB) Um antigo pergaminho continha as seguintes instruções para se encontrar um tesouro enterrado em uma ilha

deserta: Ao chegar à ilha, encontre um abacateiro, uma bananeira e uma forca. Conte os passos da forca até o abacateiro; ao chegar ao abacateiro, gire 90° para a direita e caminhe para frente o mesmo número de passos; neste ponto, crave uma estaca no solo. Volte novamente para a forca, conte o número de passos até a bananeira; ao chegar à bananeira, gire 90° para a esquerda e caminhe para a frente o mesmo número de passos que acabou de contar; neste ponto, crave no solo uma segunda estaca. O tesouro será encontrado no ponto médio entre as duas estacas.

Um jovem aventureiro resolveu seguir as instruções para localizar o tesouro e, sendo um bom conhecedor de números complexos, reproduziu o mapa no plano complexo, identificando a forca com a origem, o abacateiro com o número A = 7 + i e a bananeira com o número B = 1 + 3i. Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem. (JUSTIFIQUE SUA RESPOSTA)

(1) O menor ângulo entre os números complexos A e iA é igual a 90°. (2) O ponto médio entre os números complexos A e B é dado por (A – B)/2. (3) A primeira estaca foi cravada no ponto A – iA. (4) Seguindo as instruções do mapa, o aventureiro encontraria o tesouro no ponto da ilha corresponde ao número complexo

3 – i.

RESP.: 3. (EUA) Find constants 0 1 6a , a ,........, a so that

( ) ( ) ( )66 5 1 0cos a .cos 6 a .cos 5 ..... a .cos aθ = θ + θ + + θ +

RESP.:

4. (EUA) Sa����������é o valor da expressão 2sen2 4sen4 6sen6 ......... 178sen178

cot g1

° + ° + ° + + °°

. Então o valor de ��é

igual a: a) 1 b) 90 c) 178 d) 180 e) 0

RESP.: B

5. (EUA) O valor da expressão 2 3

sen .sen .sen7 7 7

π π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

é igual a:

7 7 7 7a) b) c) d) e) 1

8 4 2 16

RESP.: A 6. (AIME/1996) Sabendo que o produto das raízes da equação z6 + z4 + z3 + z2 + 1 = 0 que admite parte imaginária positiva

� ����������o ���������o). Então o valor de ������� ��é igual a: a) 144 b) 132 c) 204 d) 216 e) 276

RESP.: E

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7. (China/87) Seja n um inteiro positivo. Prove que n 1 nz z 1 0+ − − = tem uma raiz satisfazendo |z| = 1 se, e somente se, n + 2 é divisível por 6.

8. (O.C.M./2003) Uma lista de números complexos distintos 1 2 nz , z , ,...... , z é um ciclo de comprimento n para uma função

2 1 3 2 n n 1 1 nf : C C se z f (z ), z f (z ),....., z f (z ) e z f (z )−→ = = = = . Seja 21 2 2003f (z) z 2003 e z , z ,......., z= + um ciclo de

comprimento 2003. Calcule:

( )2003

i ii 1

f (z ) z onde o símbolo indica o produto=

+ ∏�

RESP.: 9. (Olimpíada Índia/1997) Determine o menor valor real positivo de A, sabendo que:

4 2

21z 3 e A.

z .z 6= ≤

− +

RESP.:

10. (O.B.M.U/2001) Seja ( )xf (x) e .sen x .−= Calcule 2001f (0) .

Obs.: Denotamos por nf (x) a derivada de ordem n no ponto x: assim, 2f (x) f "(x)= .

RESP.: 10002 .

Fm – 05/03/09

Rev.: TM