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10 - SUPERCONDUTIVIDADE

PROF. CESAR AUGUSTO DARTORA - UFPR

E-MAIL: [email protected]

CURITIBA-PR

Prof. Dr. C.A. Dartora

Roteiro do Capıtulo:

• Propriedades gerais de supercondutores

• Equacoes de London e Efeito Meissner

• Teoria Microscopica: Modelo BCS

• Fenomenologia: Teoria de Ginzburg-Landau

• Supercondutores Nao-Convencionais: High-Tc

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Propriedades gerais de supercondutores

⇒ A SC foi descoberta por Heike Kammerlingh Onnes em 1911.(Onnes ganhou o premio Nobel de Fısica em 1913 por suas desco-bertas em fenomenos de baixas temperaturas, que levou a producaodo helio lıquido.)

⇒ Sao caracterısticas gerais dos supercondutores:

• Abaixo de uma temperatura crıtica Tc a resistencia cai abrupta-mente para zero.

• Ha a expulsao total do campo magnetico do interior do materialsupercondutor, conhecido como Efeito Meissner.

• Existencia de correntes persistentes, ou supercorrentes, que naosofrem dissipacao.10 - Supercondutividade 3/32


Comportamento da resistencia eletrica com a temperatura para umcondutor normal e um supercondutor:

⇒ Para um SC a resistencia cai abruptamente para zero abaixo deTc enquanto para um condutor normal ela nunca se anula.10 - Supercondutividade 4/32


Efeito Meissner



Elementos Supercondutores



Equacoes de London⇒ Obtidas pelos irmaos London com base nas eqs. de Maxwell

macroscopicas, para permitir explicar a supercondutividade e o efeitoMeissner.

⇒ Consideremos a equacao de movimento para uma carga q demassa m na presenca do campo eletrico E, sem dissipacao:

dvdt

=qm

E . (1)

⇒ A dens. de corrente e definida como J = nqv onde n e adensidade volumetrica de cargas q. Supondo por simplicidade que nseja constante no tempo, podemos multiplicar toda a equacao acimapor nq para obter:

∂J∂t

=nq2

mE . (2)



⇒ Considerando as equacoes de Maxwell macroscopicas:

∇ ·D = ρ , (3)∇ ·B = 0 , (4)

∇×E = −∂B∂t

, (5)

∇×H = J+∂D∂t

, (6)

podemos calcular o rotacional de (2) para relacionar esta com a leide Faraday (5):

∇×(

∂J∂t

)=

∂

∂t∇×J =

nq2

m∇×E =−nq2

m∂B∂t

. (7)



⇒ Eliminando a derivada temporal ficamos com:

∇×J =−nq2

mB . (8)

⇒ Lembrando que B=∇×A, onde A e o vetor potencial magnetico,podemos obter a relacao de London entre a corrente e o potencial:

J =−nq2

mA . (9)

⇒ Esta ultima equacao quebra a simetria de gauge eletromagnetico,uma vez que para o regime invariante no tempo ∇ ·J = 0⇒∇ ·A =0!



⇒ Levando em conta agora a Lei de Ampere ∇×H = J temos daeq. (8):

∇×J = ∇×∇×H =−nq2

mB

e utilizando ∇×∇×H = ∇(∇ ·H)−∇2H , B = µ0H finalmenteobtemos:

∇2B = k2B , (10)

onde

k2 =µ0nq2

m.



⇒ Para um campo magnetico aplicado tangencial a superfıcie deum supercondutor: condicoes de contorno implicam a continuidadede B na superfıcie devendo B satisfazer a equacao (10).

⇒ Supondo o eixo z perpendicular a superfıcie do supercondutor,considerado semi-infinito na regiao z ≥ 0 e B = B0x para z < 0,temos no interior do supercondutor:

d2Bx(z)dz2 = k2Bx , Bx(0) = B0 . (11)

cuja solucao e da forma:

Bx(z) = B0e−kz , (12)

⇒ Efeito Meissner: o campo magnetico se extingue exponenci-almente para o interior do SC, as linhas de fluxo sao expulsas doSC.10 - Supercondutividade 11/32


⇒ A distancia z = 1/k e o comprimento de penetracao de LondonλL:

λL =

√m

µ0nq2 . (13)

⇒ Tipicament q = −2e e m = 2me levando a ideia de que oseletrons formam pares.

⇒ No interior do supercondutor J = −k2A, ja que para camposestaticos e uniformes A = B× r/2.

⇒ O campo magnetico externo deve ser exatamente compensadono interior do supercondutor, para que Bx(z >> λL) = 0. Lem-brando que B = µ0(H+M), verificamos que M = −H, o que dauma susceptibilidade diamagnetica ideal χm =−1!



Variacao do Campo Magnetico no Interior de um Supercon-dutor: Efeito Meissner



Teoria Microscopica: O Modelo BCS

⇒ Descrita por Bardeen, Cooper e Schrieffer em 1957: premio Nobelde Fısica por essa teoria. Os ingredientes essenciais sao os seguintes:

• Existencia de uma interacao atrativa entre eletrons devido a in-teracao eletron-fonon.

• A interacao promove a formacao de pares de Cooper (estados dedois eletrons ”ligados”) que e energeticamente favoravel em relacaoaos eletrons nao correlacionados.

• Preve a existencia do gap supercondutor, permite inferir a tem-peratura crıtica abaixo da qual o material se torna supercondutor, ocampo magnetico crıtico que destroi a supercondutividade e o com-portamento do calor especıfico.



⇒ Representacao diagramatica da interacoes eletron-fonon:



⇒ O modelo BCS mais simples negligencia interacao coulombianaeletron-eletron. Nos metais considera um gas de eletrons represen-tados por ondas planas uniformes, interagindo com o gas de fononsda rede cristalina:

H =∑kσ

εkσc†kσ

ckσ+∑q

hωqa†qaq+∑

kqσ

(Dqc†k−qσ

ckσa†q+D∗qc†

k+qσckσaq) .

(14)

onde ckσ(c†kσ) sao operadores fermionicos que aniquilam(criam)

eletrons de momento hk e spin σ = (↑,↓), aq(a†q) sao operadores

bosonicos que aniquilam(criam) fonons de momento hq.

⇒ Por simplicidade pode-se assumir que na ausencia de camposmagneticos εkσ = h2k2/(2m) e na presenca do campo um termo deZeeman da forma σµBB0 deve ser acrescentado.



⇒ O termo

He = ∑kσ

εkσc†kσ

ckσ

e a energia do gas de eletrons;

⇒ O termo seguinte no hamiltoniano,

Hph = ∑q

hωqa†qaq

representa o gas de fonons;

⇒ Ja o ultimo termo e o de interacao eletron-fonon:

Hel−ph = (Dqc†k−qσ

ckσa†q+D∗qc†

k+qσckσaq)

representa troca de energia e momento entre eletrons e fonons,com emissao e absorcao de fonons.10 - Supercondutividade 17/32


⇒ Aplicando uma transformacao de similaridade descrita em:

C. Kittel, The Quantum Theory of Solids.

eliminam-se as variaveis de fonons em baixas temperaturas, dei-xando o Hamiltoniano apenas com termos eletronicos. Restam aenergia dos eletrons livres e a interacao e-e mediada por troca defonons virtuais:

H = ∑kσ

εkσc†kσ

ckσ−V ∑kk′qσσ′

c†k−qσ

ckσc†k′+qσ′ck′σ′ . (15)

onde assume-se que V > 0, dando origem a uma interacao atrativaeletron-eletron.

⇒ O modelo BCS assume a existencia de medias nao nulas paraoperadores da forma:

c†k↑c

†−k↓ e ck↑c−k↓.



⇒ Uma nova simplificacao coloca o hamiltoniano de BCS na formaa seguir:

H = ∑k

εk(c†k↑ck↑+ c†

−k↓c−k↓)−V ∑kk′

c†k′↑c

†−k′↓c−k↓ck↑ . (16)

⇒ Admite-se uma teoria do campo medio definido:

∆ =V ∑k′〈ck′↑c−k′↓〉 .

resultando em:

H = ∑k

εk(c†k↑ck↑+ c†

−k↓c−k↓)−∑k(∆c†

k↑c†−k↓+∆

∗c−k↓ck↑) . (17)

⇒ Deve-se diagonalizar o Hamiltoniano acima atraves das transf.de Bogoliubov. O parametro ∆ resulta ser a energia de ligacao dopar de Cooper, formado por um eletron k ↑ e outro −k ↓.10 - Supercondutividade 19/32


⇒ Da analise deduz-se que:

∆(0) = 1.76kBTc ,

e ainda proximo de Tc

∆(T )∆(0)

= 1.74(

1− TTc

)1/2

, (18)

e ainda existe um campo crıtico cuja energia de Zeeman associadapromove a quebra do par de Cooper, cujo comportamento e dadopor:

Hc(T )Hc(0)

≈ 1−(

TTc

)2

.

⇒ O modelo BCS preve o efeito isotopico verificado experimental-mente, onde a temperatura crıtica varia com a massa do isotopo.10 - Supercondutividade 20/32


Comportamento da energia do gap supercondutor Eg em funcao datemperatura:



Fenomenologia de Ginzburg-Landau

⇒ Proposta por Vitaly Ginzburg e Lev Landau nos anos 1950, paraexplicar a supercondutividade no espırito da teoria de transicoes defase de Landau.

⇒ Supoe-se a existencia de um parametro de ordem ψ, que deverepresentar o condensado macroscopico de pares de Cooper. A Ha-miltoniana desse sistema e dada por:

H =1

2m|(−ih∇−2eA)ψ|2+α|ψ|2+ β

2|ψ|4+Hn+

B2

2µ0, (19)

onde Hn e o hamiltoniano da fase normal.



A densidade de corrente e dada por:

J =iem(ψ∗∇ψ−∇ψ

∗ψ)− 4e2

m|ψ|2A . (20)

⇒ O parametro |ψ|2 descreve a densidade de pares de Cooper noestado supercondutor.

⇒ Considerando a energia potencial do estado supercondutor, naausencia de campos eletromagneticos, temos:

U = α|ψ|2+ β

2|ψ|4 .

Minimizando esta energia temos:

dUd|ψ|

= |ψ|(α+β|ψ|2) = 0



• As solucoes que minimizam U sao:

• |ψ| = 0 sera um mınimo local se α > 0 e β >. Nesse caso oestado normal e favorecido.

• |ψ|=√−α/β se−α/β> 0. Nesse caso o estado supercondutor

e favorecido.

• Pode-se supor a expansao do parametro de ordem em torno datemperatura crıtica Tc, que em primeira ordem resulta em:

|ψ|2 =−α/β = ψ0(T −Tc)



• A teoria de G-L descreve satisfatoriamente a SC do tipo I (transicaoabrupta entre estado normal e SC) e do tipo II (permite existenciade linhas de fluxo quantizada e vortices).



Elementos Supercondutores e suas temperaturas crıticas:



Supercondutores Nao-Convencionais e High-Tc

A Teoria BCS e tambem denominada convencional e preve:

• a existencia de pares de Cooper mediada por fonons

• os pares estao no estado singleto de spin

• e incompatıvel com ordem magnetica e idealmente apresentamdiamagnetismo perfeito.

• preve como maxima temperatura crıtica admissıvel Tc ∼ 35K.

⇒ Os supercondutores que nao se encaixam nas definicoes dateoria BCS sao ditos Nao-Convencionais, dentre os quais existemos de High-Tc.



⇒ Principais Tipos de Supercondutividade Nao-Convencional

• Supercondutores de Altas Temperaturas, ou High-Tc: os paresde Cooper nao podem ser formados atraves de interacao por fononsvirtuais, que limita Tc a aproximadamente 35K. Todos os supercon-dutores de Tc > 35K sao denominados High-Tc.

• Os High-Tc foram descobertos por Bednorz e Muller, que ga-nharam o premio Nobel de Fısica em 1987 pela descoberta. Saoexemplos de High-Tc materiais ceramicos chamados cupratos:

HgBa2Ca2Cu3Ox tem a mais alta temperatura ate agora com 135K.

• Alem disso os supercondutores que envolvem ordem magnetica,estado tripleto e pareamento por outros mecanismos que nao sejamfonons. Exemplos sao os supercondutores Iron-based. Podem ser ounao de high-Tc.



⇒ Evolucao da descoberta de Supercondutores High-Tc



Temperaturas crıticas para alguns supercondutores



Referencias deste Capıtulo

[1] Ashcroft/Mermin, Solid State Physics

[2] C. Kittel, Introduction to Solid State Theory.

[3] C. Kittel, The Quantum Theory of Solids.

[4] O. Madelung, Introduction to Solid State Theory.


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