10.º ano de escolaridade

Teste Intermédio de Matemática A

Versão 1

Na sua folha de respostas, indique de forma legível a versão do teste.

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Teste Intermédio

Matemática A

Versão 1

Duração do Teste: 90 minutos | 16.03.2012

10.º Ano de Escolaridade

Decreto-Lei n.º 74/2004, de 26 de março


Formulário

Geometria

Perímetro do círculo: r2r , sendo r o raio do círculo

Áreas

Paralelogramo: Base Altura#

Losango: Diagonal maior Diagonal menor2#

Trapézio: Base maior Base menor Altura2

#+

Círculo: r2r , sendo r o raio do círculo

Volumes

Prisma e cilindro: Área da base Altura#

Pirâmide e cone: Área da base Altura31# #

Relações métricas notáveis

A diagonal de um quadrado de lado a é igual a a2

A diagonal espacial de um cubo de aresta a é igual a a3

A altura de um triângulo equilátero de lado a é igual a 3 a2


GRUPO I

• Os cinco itens deste grupo são de escolha múltipla. Em cada um deles, são indicadas quatro opções, das quais só uma está correta.

• Escreva na sua folha de respostas apenas o número de cada item e a letra correspondente à opção que selecionar para responder a esse item.

• Não apresente cálculos, nem justificações.

• Se apresentar mais do que uma opção, a resposta será classificada com zero pontos, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível.

1. Na Figura 1, está representado, num referencial o.n. Oxyz, o cubo OPQRSTUV6 @ de aresta 2Os pontos, P, R e T pertencem aos semieixos positivos.

Figura 1

x

y

z

O

P Q

R

ST

U V

Numa das opções seguintes estão as coordenadas de um ponto pertencente a uma das arestas do cubo.

Em qual?

(A) (1, 1, 2) (B) (1, 2, 0) (C) (0, 1, 1) (D) (1, 1, 1)

2. Considere, num referencial o.n. Oxyz, a reta t definida por

, , , , , , ,x y z k k1 2 3 0 1 0 R!= − +^ ^ ^h h h

Qual das condições seguintes também define a reta t ?

(A) x = –1 / y = 2 (B) y = 2 / z = 3

(C) x = –1 / z = 3 (D) x = 0 / z = 0


3. Na Figura 2, estão representadas graficamente as funções f e g, de domínio , definidas, respetivamente, por f x x g x xe2 ; ;= =^ ^h h

Figura 2

x

y

O

Qual dos conjuntos seguintes é o conjunto solução da inequação f x g x<^ ^h h?

(A) , 0,11 0 ,- 6 6@ @ (B) , ,1 0 1, 3− +6 6@ @

(C) , ,1 1,3 3− − +6 6@ @ (D) , ,1 0 1,3- - 6 6@ @

4. Na Figura 3, estão representadas, num referencial o.n. xOy, duas semirretas de origem no ponto de coordenadas (-1, 0), cuja união é o gráfico de uma função h, de domínio

Uma das semirretas intersecta o eixo Oy no ponto de ordenada 1

Figura 3

-1

1

x

y

O

Qual das expressões seguintes pode definir a função h ?

(A) 1 0

1 0h x

x xx x

se

se

<$

=− −+

^ h * (B) h xx xx x

1 0

1 0

se

se

<$

=− +−

^ h *

(C) h xx xx x

1 1

1 1

se

se

<$

=− + −− −

^ h * (D) h xx xx x

1 1

1 1

se

se

<$

=− − −+ −

^ h *


5. Na Figura 4, está representado, num referencial o. n. xOy, o gráfico de uma função f , de domínio ,2 2- 6@

Figura 4

x

y

f

-2

2

1

-1

O

Em qual das opções seguintes estão três afirmações verdadeiras acerca da função f ?(A)

• Tem três zeros.• Não tem máximos nem mínimos.• Não é par.

(B) • Tem exatamente dois zeros.• Não tem máximos nem mínimos.• É crescente no seu domínio.

(C) • Tem máximo e tem mínimo.• É crescente no seu domínio.• O contradomínio é ,1 1- 6@

(D) • É par.• Tem exatamente dois zeros.• O contradomínio é ,1 1- 6@


GRUPO II

Nas respostas aos itens deste grupo, apresente todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias.

Atenção: quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente sempre o valor exato.

1. Considere, num referencial o.n. xOy :• a reta r , definida pela equação y x2 1= − • o ponto A de coordenadas (0, -2)

1.1. Escreva uma equação vetorial da reta r

1.2. Escreva a equação reduzida da reta paralela à reta r que passa no ponto A

1.3. Na Figura 5, estão representados a reta r , o ponto A e a circunferência que tem centro no ponto A e que passa em O

Defina, por uma condição, a região representada a sombreado, incluindo a sua fronteira.

2. Na Figura 6, está representada uma peça metálica plana na qual se marcou a tracejado um quadrado ABCD6 @ com 3 dm de lado.

Na Figura 7, está representada a peça metálica que se obteve a partir da primeira peça, cortando e retirando o quadrado EFGH6 @

Figura 6

A D

CB

A E D

H

CGB

F

Figura 7

Relativamente à Figura 7, sabe-se que:

• cada vértice do quadrado EFGH6 @ pertence a um lado do quadrado ABCD6 @ • os quatro triângulos retângulos EDH HCG GBF FAE, , e6 6 6 6@ @ @ @ são geometricamente iguais e,

em cada um deles, o cateto maior é igual ao dobro do cateto menor.

2.1. Mostre que a área do quadrado EFGH6 @ é 5 dm2

x

y

O

A

r

Figura 5


2.2. Na Figura 8, está representada uma pirâmide quadrangular regular IJKLV6 @ cuja base tem 45 dm2 de área e cuja altura é 12 dmSobre esta pirâmide deixou-se descair a peça metálica representada na Figura 7, de tal modo que esta peça ficou paralela à base da pirâmide e os vértices do quadrado EFGH6 @ ficaram sobre as arestas laterais da pirâmide.

Determine a distância, d , em dm, entre a peça metálica e a base da pirâmide.

Nota – Admita que a espessura da peça metálica é desprezável e tenha em conta que a área do quadrado EFGH6 @ é 5 dm2

3. Na Figura 9, está representada, num referencial o.n. xOy , parte da parábola que é o gráfico de uma função f

Figura 9

V

O x

y

-1

2

f

Sabe-se que:• a parábola intersecta o eixo Oy no ponto de coordenadas (0, 1) • o ponto V, vértice da parábola, tem coordenadas (2, -1)

3.1. Sejam g h j, e as funções, de domínio R , definidas, respetivamente, por

g x f x= −^ ^h h, h x f x 3= +^ ^h h e j x f x 1= −^ ^h h

Indique os contradomínios das funções ,f g h j, e

Nota – Não necessita de apresentar cálculos.

3.2. A função f pode ser definida por uma expressão do tipo f x a x h k2= − +^ ^h h , onde a, h e k são números reais.

Indique o valor de h e o valor de k, e determine o valor de a

Figura 8

45 dm2

5dm2

J K

LI

V


4. Na Figura 10, estão representadas, num referencial o.n. xOy , as retas r e t Os pontos A e B são, respetivamente, os pontos de intersecção das retas r e t com o eixo OxO ponto C é o ponto de intersecção das retas r e t

Sabe-se que:• a reta r é definida pela equação x = -1• a reta t é definida pela equação y = -2x + 8

y

x

Figura 10

C

Q

A O B

P

r t

Considere que um ponto P se desloca ao longo do segmento de reta [BC ] , nunca coincidindo com o ponto B, nem com o ponto C, e que um ponto Q se desloca ao longo do segmento de reta [AC ] , acompanhando o movimento do ponto P, de forma que a ordenada do ponto Q seja sempre igual à ordenada do ponto P

Seja x a abcissa do ponto P

Resolva os dois itens seguintes, usando exclusivamente métodos analíticos.

4.1. Mostre que a área do trapézio [ABPQ ] é dada, em função de x , por

1,4S x x x x2 242 != − − + −^ `h j6@

4.2. Determine os valores de x para os quais a área do trapézio [ABPQ ] é superior a 21

Apresente a sua resposta na forma de um intervalo de números reais.

Nota – Tenha em conta que 2 24 ,S x x x x 1 42 != − − + −^ `h j6@

FIM


COTAÇÕES

GRUPO I

1. ........................................................................................................... 10 pontos

2. ........................................................................................................... 10 pontos

3. ........................................................................................................... 10 pontos

4. ........................................................................................................... 10 pontos

5. ........................................................................................................... 10 pontos

50 pontos

GRUPO II

1. 1.1. .................................................................................................. 15 pontos1.2. .................................................................................................. 15 pontos1.3. .................................................................................................. 20 pontos

2. 2.1. .................................................................................................. 15 pontos2.2. .................................................................................................. 15 pontos

3. 3.1. .................................................................................................. 15 pontos3.2. .................................................................................................. 15 pontos

4. 4.1. .................................................................................................. 20 pontos4.2. .................................................................................................. 20 pontos

150 pontos

TOTAL ......................................... 200 pontos

TI de Matemática A – Resolução – Versão 1 • Página 1/ 4

RESOLUÇÃO

GRUPO I

1. Resposta (B)

As opções (A), (C) e (D) devem ser excluídas, pois os pontos (1, 1, 2), (0, 1, 1) e (1, 1, 1) não pertencem a qualquer aresta do cubo porque o ponto (1, 1, 2) é o centro da face STUV6 @, o ponto (0, 1, 1) é o centro da face ORST6 @ e o ponto (1, 1, 1) é o centro do cubo.

A opção correta é a (B), porque o ponto (1, 2, 0) é o ponto médio da aresta QR6 @

2. Resposta (C)

A reta t passa no ponto (–1, 2, 3) e é paralela ao eixo OyA opção (A) deve ser rejeitada, pois define uma reta paralela ao eixo OzA opção (B) deve ser rejeitada, pois define uma reta paralela ao eixo OxA opção (D) deve ser rejeitada, pois define o eixo Oy, que não passa no ponto (–1, 2, 3)

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Matemática A

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3. Resposta (A)

Na figura, estão representadas as funções f e g

x

y

f

g

O�1 1

Como se pode observar, , ,f x g x x 1 0 0 1< + ,! −^ ^h h 6 6@ @

4. Resposta (D)

As duas semirretas cuja união é o gráfico da função h têm origem no ponto de abcissa -1 e não no ponto de abcissa 0. Tal facto permite excluir as opções (A) e (B).

Na opção (C), a imagem de 0 é -1. Tal facto permite excluir esta opção, pois, de acordo com o gráfico, h 0 1=^ h

5. Resposta (A)

Na opção (B), só a segunda afirmação é verdadeira. Nas opções (C) e (D), apenas a terceira afirmação é verdadeira.

GRUPO II

1.1. Como a reta r tem declive 2 e ordenada na origem -1, as coordenadas de um vetor diretor da reta r são (1, 2) e as coordenadas de um ponto da reta são (0, -1)

Portanto, uma equação vetorial da reta r é: , , , ,x y k k0 1 1 2 R!= − +^ ^ ^h h h

1.2. Seja s a reta paralela à reta r que passa no ponto A. A reta s tem declive 2, pois é paralela à reta r, e tem ordenada na origem -2, pois passa no ponto A

Portanto, a equação reduzida da reta s é: y x2 2= −

1.3. A região representada a sombreado é limitada pela circunferência que tem centro no ponto ,A 0 2-^ h e raio 2, pelo eixo Oy e pela reta r

Uma condição que define esta região, incluindo a sua fronteira, é:4 0x y x y x2 2 12 2 / /# $ #+ + −^ h


2.1. Este item pode ser resolvido por, pelo menos, dois processos.

1.º Processo

Como 3dmAD ED AE2e= = , conclui-se que 1 2dm dmAE EDe= =

A área do quadrado é 9dmABCD 26 @ e a área dos quatro triângulos é 4 4 ( )× dm2

2 1× 2=

Portanto, a área do quadrado EFGH6 @ é 5dm2

2.º Processo

Como 3dmAD ED AE2e= = , conclui-se que 1 2dm dmAE EDe= =

O triângulo EDH6 @ é retângulo, pelo que EH DH ED= +2 2 2

Como 1 2 , 1 4dm dm dmDH AE ED EH EH 5e += = = = + =2 ^ h

Portanto, a área do quadrado EFGH6 @ é 5 dm5 22=` ^j h

2.2. As pirâmides de vértice V e bases EFGH6 @ e IJKL6 @ são semelhantes.

Como a área do quadrado EFGH6 @ é 5 dm2 e a área do quadrado IJKL6 @ é 45 dm2, e como

455

91

312

= = , concluímos que a pirâmide EFGHV6 @ é uma redução de razão 31 da pirâmide

IJKLV6 @. Logo, a altura da pirâmide EFGHV6 @ é 31 da altura da pirâmide IJKLV6 @, ou seja, 4 dm

Assim, d = 12 - 4 = 8

Portanto, a distância, d, entre a peça metálica e a base da pirâmide é 8 dm

3.1. Tem-se f = ,D 1 3− +l 6 6

Portanto, j= = =, , , ,D D D1 2 1eg h3 3 3− + − +l l l6 6 6 6@ @

3.2. Como o gráfico da função f é uma parábola de vértice no ponto (2, -1), tem-se 2 1h ke= = − Tem-se, então, f x a x 2 12= − −^ ^h h , sendo a um número real.

Como o ponto (0, 1) pertence ao gráfico da função f, tem-se

a a a a1 0 2 1 1 4 1 4 2212 + + += − − = − = =^ h

Assim, h = 2, k = -1 e a21=

4.1. Para ,x 1 4! - 6@ , o quadrilátero ABPQ6 @ é um trapézio de base maior AB , base menor QP e altura QA

Tem-se: x x2 8 0 4+− + = = . Portanto, AB 4 1 5= + =

O ponto P tem abcissa x, logo, 1QP x x x1 1= − − = + = +^ h (para x 1> − , tem-se x 1 0>+ )

O ponto P tem ordenada x2 8− + e, como a ordenada do ponto Q é igual à ordenada do ponto P, tem-se QA x2 8= − +


Assim, a área do trapézio ABPQ6 @ é dada, em função de x, por

S x x x x x x x x x x2

5 1 2 82

12 48 2 82

2 4 48 2 24×2 2

2= + + − + = − + − + = − − + = − − +^ ^h h

4.2. Uma condição que traduz o problema é:

,x x x2 24 21 1 4>2 / !− − + − 6@

Tem-se:

x x x x x x2 24 21 2 24 21 0 2 3 0> > >2 2 2+ +− − + − − + − − − +

Como 2x x x x3 0 3 12 + 0− − + = = − = , vem

2x x x3 0 3 1> < <2 +− − + −

Então,

2 24 21 , , ,x x x x1 4 3 1 1 4>2 +/ +! !− − + − − −6 6 6@ @ @

-3 �1 1 4

Portanto, o conjunto dos valores de x para os quais a área do trapézio ABPQ6 @ é superior a 21 é ,1 1- 6@

-3 1

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