teoria matemÁtica das eleiÇÕes 10.º ano de escolaridade cristina simão
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TEORIA MATEMÁTICA DAS ELEIÇÕES
10.º ANO DE ESCOLARIDADE
Cristina Simão
APRESENTAÇÃO
Está prevista a utilização de 7 aulas (7 blocos de 90
minutos) para o ensino do Tema.
Todas as aulas servirão para avaliar os alunos em
termos de comportamento, desempenho e aplicação de
conhecimentos.
A avaliação dos conhecimentos será feita de uma forma
sumativa com o mini teste na aula 7.
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TÓPICOS
Sistemas de votação maioritário: método da maioria simples
ou relativa, método da maioria absoluta;
Sistemas de votação por ordem de preferência: método da
pluralidade, método de eliminação run-off simples, método
de eliminação run-off sequencial, método de borda e
método de Condorcet;
Sistemas de votação por aprovação
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TÓPICOS
Este tema é o módulo inicial previsto no programa
oficial de Matemática Aplicada às Ciências Sociais
elaborado pelo Ministério da Educação e Ciência. Os
conhecimentos que os alunos devem ter terão sido
adquiridos durante o 2.º e 3.º ciclo do ensino básico,
tais como, operações elementares da aritmética, o
cálculo de percentagens e a resolução de equações.
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TÓPICOS
Este tema trata de um assunto frequentemente
abordado na comunicação social e o professor deve
fazer uso desse fato referindo exemplos concretos e
atuais, de modo a captar a atenção dos alunos.
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OBJETIVOS GERAIS PRESENTES NO PROGRAMA OFICIAL DE MACS:
No âmbito deste tópico, os objetivos a atingir são:
perceber que os resultados podem ser diferentes se os
métodos de contabilização dos mandatos forem
diferentes;
estudar algumas situações paradoxais;
analisar algumas condições para ter um sistema
adequado;
perceber que há limitações à melhoria dos sistemas.6
ALGUMAS ESTRATÉGIAS PARA AS AULAS:
Uma vez que a avaliação da disciplina será, em princípio,
uma avaliação continua e que esta disciplina termina com
exame no 11.º ano, o qual incide sobre toda a matéria
lecionada no 10.º e 11.º ano de escolaridade, achei
importante incorporar algumas estratégias que acredito
serem uma mais-valia para os alunos:
todas as aulas serão lecionadas com base no método
interrogativo, de forma a que os alunos participem e se
sintam motivados para a aprendizagem;7
ALGUMAS ESTRATÉGIAS PARA AS AULAS:
todas as aulas, ou pelo menos na sua grande maioria, serão
iniciadas com questões aos alunos, no geral ou em
particular, sobre a matéria lecionada nas aulas anteriores;
os exercícios devem, sempre que possível, pedir para
aplicar aos dados vários métodos de votação diferentes
para que os alunos não esqueçam os métodos lecionados
anteriormente e consigam interiorizar que diferentes
métodos geralmente produzem diferentes resultados;
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ALGUMAS ESTRATÉGIAS PARA AS AULAS:
deve-se, sempre que possível, ditar os conteúdos para os
alunos, uma vez que estes estão na área de humanísticas;
deve-se, sempre que possível, pedir aos alunos que
expliquem por palavras suas, oralmente ou na forma de
relatório escrito, as resoluções dos exercícios;
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ALGUMAS ESTRATÉGIAS PARA AS AULAS:
todos os exercícios resolvidos, independentemente de
serem do manual adotado ou não, devem ser projetados de
forma a que todos os alunos tenham acesso, mesmo que se
tenham esquecido do manual.
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AULA 1
Inserir uma atividade de discussão para discutir com os
alunos alguns métodos de votação que estes conheçam
para eleger um único candidato e tentar compreender a
opinião dos alunos sobre o método que acreditam ser
mais justo.
Introduzir os três sistemas de votação que serão
lecionados ao longo deste tema.
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AULA 1
Iniciar o estudo do sistema de votação maioritário através
da introdução de exemplo da eleição do delegado de turma
e interrogar os alunos sobre se este método é ou não um
sistema de votação de maioria simples ou absoluta.
Questionar os alunos sobre o sistema de votação utilizado
atualmente para eleição do Presidente da República.
Exemplo sobre a eleição para Presidente da República de
1986.
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AULA 1
Atividade: Na eleição para presidente da Recreativa de
Olhão, concorriam duas listas, a lista A e a lista B.
Entretanto a lista B, devido a divergências entre os seus
membros decidiu dividir-se em duas novas listas, a lista B e
a lista C. Desta forma, à eleição concorreram 3 listas. Os
resultados das eleições foram:
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AULA 1
Após a contagem de resultados a lista B decidiu unir-se
com a lista C e voltar a constituir uma única lista,
reclamando para si 55% dos votos e a presidência da
Recreativa. A lista A, por sua vez, argumenta que foi a
justa vencedora das eleições com 45% dos votos e que
por isso a Presidência é sua.
Consultado o regulamento das eleições, este revelou-se
omisso quanto a cisões, coligações e prazos de
reclamação.14
AULA 1
Quem achas que deverá ser o vencedor? Na tua
opinião como deverá ser resolvida esta eleição?
Fundamenta com o teu colega do lado a tua opinião e
elabora uma pequena composição sobre o assunto em
conjunto.
Adaptado de MACS – Texto Editores, Lda.
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AULA 1
Apresentação dos três sistemas de votação
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AULA 1
Sistema maioritário:
o candidato mais votado ganha tudo e os outros
candidatos não ganham nada.
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AULA 1
Exemplo: Eleições para Presidência da República de 1986.
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AULA 2
Resolução de exercícios.
Introduzir o sistema preferencial, começando pelas
formas de representação dos votos e terminando com
o método da pluralidade, que será introduzido através
da resolução de um exercício em conjunto com os
alunos.
Resolver exercícios sobre os métodos já lecionados.
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AULA 2
Sistema preferencial:
Neste sistema cada eleitor vota em todos os
candidatos de acordo com as suas preferências.
No final resulta um e um só vencedor.
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AULA 2
Método da Pluralidade:
Exemplo: Os 33 alunos das turmas do 10.º ano, vão
organizar uma visita de estudo mas, não conseguem
chegar a acordo quanto ao local a escolher, entre o
Visionarium, o Pavilhão do Conhecimento e o Museu
Serralves.
Resolvem fazer uma votação na qual, pediram aos
votantes para colocar à frente dos locais o número da
sua preferência. Os resultados obtidos estão
representados na tabela seguinte:21
AULA 2
Método da Pluralidade:
Visionarium – VI; Pavilhão do Conhecimento – C; Museu Serralves - S
Determine quantos votos na 1.ª preferência teve cada um
dos locais a visitar. Conclua pelo método da pluralidade a
que local foi a visita de estudo. 22
AULA 2
(Ditar aos alunos)
No método da pluralidade, vence o candidato com
maior número de primeiras preferências, ou seja, aquele
que tem maioria simples na contagem das primeiras
preferências.
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AULA 3
Introduzir o método de eliminação run-off simples com
um exemplo e utilizando o Excel.
Em seguida, e utilizando o mesmo exemplo e o Excel,
introduzir o método de eliminação run-off sequencial.
Resolver exercícios sobre os métodos já lecionados.
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AULA 3
Método de eliminação run-off simples: são eliminados
todos os candidatos à exceção dos 2 que reúnem maior
número de primeiras preferências, caso não existe vencedor
com maiorira absoluta na primeira contagem.
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AULA 3
Método de eliminação run-off sequencial:
inicialmente são eliminados todos os candidatos que
não obtenham nenhuma primeira preferência. Em
seguida, é eliminado o candidato que obtiver menor
número de primeiras preferências (ou candidatos em
caso de empate) e reorganiza-se o esquema das
preferências; repete-se o processo até restarem
apenas 2 candidatos e vence o que obtiver maior
número de primeiras preferências.26
AULA 3
Método de eliminação run-off sequencial:
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AULA 4
Explicar o método de Borda.
Resolver um exemplo com os alunos sobre este
método.
Resolver exercícios sobre os métodos já lecionados.
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AULA 4
Exemplos de questões:
Expliquem o método de maioria absoluta.
Quando é que o sistema de maioria pode ser
considerado o método da pluralidade?
No que consiste o método de eliminação run-off
simples? E sequencial?
É possível ter exemplos de esquemas de preferências
onde o método da pluralidade, o método de eliminação
run-off simples e o método de eliminação run-off
sequencial devolvam resultados diferentes? 29
AULA 4
Método de Borda: o eleitor após ordenar as suas
preferências, atribui 1 ponto à última preferência, 2 pontos
à penúltima preferência e assim sucessivamente, até à
primeira preferência.
O vencedor é o candidato que contabilizar o maior número
de pontos, pela contagem e Borda.
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AULA 4
Método de Borda:
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AULA 5
Explicar o método de Condorcet e ditar a definição
para os alunos escreverem no caderno.
Resolver um exemplo com os alunos sobre este
método.
Explicar o paradoxo de Condorcet através da
resolução de um exercício.
Resolver exercícios sobre os métodos já lecionados.
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AULA 5
Método de Condorcet (ou método de
comparação par a par): neste método é feita uma
“eleição” entre cada par de candidatos (confrontos
diretos): se um candidato vence todos os outros em
confronto direto, então deverá ser o vencedor.
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AULA 5
Método de Condorcet:
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AULA 5
A utilização deste método pode dar origem a um
paradoxo – o paradoxo de Condorcet, não sendo
possível determinar o vencedor.
Por exemplo, com 3 candidatos A, B e C:
A ganha a B, B ganha a C e C ganha a A.
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AULA 6
Explicar o sistema de aprovação e as suas vantagens
e ditar para os alunos escreverem no caderno.
Resolver um exemplo com os alunos sobre este
método.
Resolver exercícios sobre o sistema de aprovação.
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AULA 6
Sistema de Aprovação:
Neste processo os votantes podem votar em tantos
candidatos quantos quiserem. Cada candidato
escolhido recebe um voto e o candidato com mais
votos ganha.
Ex: eleição do Secretário-Geral das Nações Unidas.
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AULA 6
Exemplo: Os netos da avó Carminha decidem fazer-lhe um jantar de
homenagem num restaurante com toda a família. Para esse efeito
encontraram apenas 4 restaurantes suficientemente grandes: O
Garfo, A Faca, A Colher e O Talher. Decidiram votar entre si pelos
restaurantes preferidos, os resultados foram:
quatro escolheram: A Faca e A Colher;
seis escolheram: O Garfo, O Talher e A Colher;
três escolheram: O Talher e A Faca;
cinco escolheram: A Colher, A Faca e O Garfo.
Qual será o restaurante onde se irá realizar o jantar de homenagem?
Adaptado de MACS – Texto Editores, Lda.38
AULA 6
Resolução:
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AULA 7
Iniciar a aula com questões sobre todos os sistemas
lecionados.
Resolver exercícios sobre todos os sistemas.
Mini teste.
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