1 reflexões acerca da conceituação de número real na educação básica e no ensino superior...
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Reflexões acerca da conceituação de número real na Educação Básica e no
Ensino Superior
Prof. Dr. Rogério Ferreira da Fonseca
São Paulo2014
IME – USPMestrado Profissional em Ensino de
MatemáticaTendências da Educação Matemática
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Início de conversa...Considerem as seguintes questões!1 – 0,999... é igual a 1?2 – Existe algum número entre os números reais 0,1 e 0,2?3 – Os números abaixo são racionais ou irracionais?a) b) 3,14 c) 0,12345...d) 0,123123123...e)2f) 1,41 g) 0,4999... h) (12)/3
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4 – Os conjuntos abaixo, comparados dois a dois tem a mesma cardinalidade? a) Números Pares – Números Naturaisb) Números Naturais – Números Inteirosc) Números Inteiros – Números Paresd) Números Naturais – Números
Racionaise) Números Naturais – Números Reaisf) Números Racionais – Números Reais
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Apresentação
Apresentamos aqui algumas reflexões a respeito do ensino e aprendizagem do conceito de número. Acreditamos que tais reflexões interessam a professores de Matemática em geral.
É fato que o conceito de número é fundamental na Matemática, entretanto o ensino, por exemplo, dos números reais, tem cada vez mais sido deixado para segundo plano, com uma apresentação aligeirada e conceitualmente pobre.
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Apresentação
Nossas reflexões têm dois motivadores: - por um lado a suposição de que o ensino dos
números não considera várias noções constitutivas da conceituação de número, podendo ser fonte de concepções inadequadas dos aprendizes;
- por outro o fato de que existem condições inerentes à atualidade que merecem ser levadas em conta no ensino da Matemática sob pena de tornar obsoletos conceitos fundamentais.
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Algumas reflexões
Na atualidade os diversos recursos tecnológicos da informação, as calculadoras e computadores de modo crescente invadem nosso cotidiano.
Os estudantes vivem e respiram esse ambiente, no qual os números assumem funções e características cada vez mais distantes da conceituação matemática.
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Algumas reflexões
O uso das tecnologias nos dias de hoje sugere, cada vez mais, a busca por novas abordagens para o ensino da Matemática, ou seja, a busca por aplicações da Matemática que dêem sentido ao seu aprendizado, e que incentivem os alunos a participarem da construção de seus próprios conhecimentos.
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Algumas reflexões
Nesse contexto destacam-se os jogos eletrônicos como grandes concorrentes da atenção dos estudantes.
É preciso que a escola se aproxime do interesse e modo de pensar dos estudantes de hoje, sem se descuidar da formação necessária ao desenvolvimento intelectual desses estudantes.
A Matemática tem um papel importante e condições de preencher as diversas funções de interesse dos jovens desde que seu ensino receba abordagens compatíveis a elas.
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Algumas reflexões Apresentaremos reflexões sobre possíveis vantagens de
se utilizar a conceituação de número elaborada pelo matemático inglês John Horton Conway, apresentada à comunidade acadêmica na década de 70.
Essa abordagem, pelo que sabemos não é ensinada na Educação Básica, nem no Ensino Superior exceto pelo próprio Conway.
Talvez a falta de interesse por essa abordagem no ensino justifica-se por sua formalização ser bastante complexa. Mas há várias contribuições que ela pode oferecer a uma compreensão mais conceitual de número, o que é bastante ausente nas abordagens tradicionais.
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Pesquisas sobre o ensino e aprendizagem dos números Pesquisas realizadas na Educação Matemática, nos diversos níveis de ensino, mostram que a compreensão dos números não é tão simples como parece (Tall e Schwarzenberger ,1978, 1996; Baldino, 1994; Bloch, 1995, 2000; Cousquer, 1994; Tall e Pinto, 1996; Igliori e Silva, 2001; Nunes e Borba, 2004; Pasquini, 2007; Dias, 2007) .
As complexidades no desenvolvimento histórico, epistemológico e nas discussões filosóficas, também são evidenciados por vários estudos (Otte, 1993; Artigue, 1989, 1991; Cousquer, 1994; Brolezzi, 1996; Courant, 2000; Caraça, 2005; Cobianchi, 2001; Fonseca, 2010).
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Objetivos da Pesquisa
O objetivo principal desta pesquisa é o de estudar uma nova conceituação de número real, apresentada pelo matemático inglês Jonh Horton Conway da Universidade de Princeton, com intuito de destacar potencialidades dessa conceituação perante as conceituações clássicas de número real.
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A proposta de Conway permite o enfrentamento de questões filosóficas e epistemológicas a respeito da conceituação de número.
Em especial da questão “o que é número?”, e também do debate sobre a dualidade das duas componentes fundamentais da conceituação de número, uma relacionada aos atributos e a outra aos referenciais ou aplicações do conceito.
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Procedimentos metodológicos e fundamentação teóricaOs procedimentos metodológicos para realização
desta pesquisa baseiam-se principalmente no estudo de referências bibliográficas pertinentes à teoria de John H. Conway, à Filosofia da Matemática, a livros de Análise Matemática e a artigos científicos de Filosofia ou Educação Matemática, que abordam o conceito de número.
Trata-se de uma pesquisa de cunho teórico, pois não são utilizadas experiências, dados ou fatos empíricos. A pesquisa está fundamentada na noção de complementaridade no que concerne à análise de aspectos cognitivos e epistemológicos de conceitos matemáticos (Otte, 2003).
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Complementaridade
Uma abordagem complementarista torna-se relevante em razão da impossibilidade de definir a realidade matemática independentemente de suas possíveis representações e da própria atividade cognitiva.
Por um lado, tal abordagem contempla as relações entre os objetos matemáticos (aspectos estruturais, intesionalidade) e por outro ressalta a necessidade de interpretações de tais objetos por meio de aplicações ou modelos (aspectos extensionais).
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ComplementaridadeO debate sobre a relação entre as visões intensional e extensional, de Matemática atinge particularmente e de forma intensa o conceito de número (OTTE, 2003). A dualidade entre essas duas visões é revelada por Russell em seu livro, Filosofia da Matemática, onde trata dos números e tudo o que se relaciona ao número.
A natureza própria do número, e sua aplicabilidade a todas as realidades indicam a importância dessas duas componentes essenciais na conceituação de número.
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Complementaridade (aspectos intensional e extensional )
A noção de intensão de termos matemáticos é caracterizada por descrever as relações entre classes de objetos matemáticos, como suas relações estruturais, refere-se, portanto no caso do conceito de número a uma caracterização axiomática.
A noção de extensão de termos matemáticos caracteriza-se por possíveis referenciais, interpretações ou aplicações dos objetos matemáticos, no caso do número, caracteriza-se pelos modelos de uma teoria axiomática.
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Complementaridade
Como dissemos uma visão complementarista é induzida pela impossibilidade de definir a realidade matemática independente da própria atividade cognitiva.
Um conceito matemático, tal como o conceito de número, não existe independente de suas representações, mas também não deve ser confundido com uma delas.
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Uma nova abordagem em análise
A conceituação de número proposta por John Horton Conway, garante a complementaridade entre a intensionalidade e a extensionalidade, requerida por Russell, e defendida por Otte.A definição de Conway, por um lado, fundamenta-se na teoria de conjuntos contemplando os aspectos estruturais do conceito de número (intensionalidade), e por outro, pode ser interpretada por uma classe de jogos, contemplando também os aspectos extensionais.
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Um número é um jogo: explorando aspectos extensionais da teoria de Conway
Explorando o aspecto extensional da teoria, apresentamos alguns exemplos que ilustram a relação número/jogo de Conway. É importante destacar que o jogo pertence a determinadas classes de jogos.
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A classe de jogos
É aquela que satisfaz as seguintes condições: a) há apenas dois jogadores; b) há sempre um vencedor; c) o jogo deve finalizar num número finito de jogadas; d)são consideradas apenas as “jogadas ótimas” (jogadas que maximizem as chances do jogador).
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O jogo Hackenbush: um exemplo de jogo de Conway
Peças coloridas, por exemplo, azuis e brancas, são dispostas em um plano, de modo que estejam sobrepostas e uma delas esteja conectada a uma linha horizontal. O jogo é jogado por dois jogadores A e B. O jogador A retira peças de cor azul, enquanto o jogador B retira peças de cor branca.
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Os jogadores jogam alternadamente. Cada jogador deve retirar somente uma peça da cor que lhe é atribuída. Quando uma peça for retirada, saem do jogo automaticamente as peças que estiverem sobrepostas a ela. Perderá o jogo aquele jogador que primeiro ficar sem peças de sua cor para retirar. Segue abaixo algumas configurações do jogo Hackenbush:
(a) (b) (c) (d)
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Relação de ordem no conjunto dos jogos (condição para a relação número/jogo)
(i) Um jogo é zero se o jogador que inicia a partida perde, ou seja, o jogo em que quem começa perde.
(ii) Um jogo é positivo (ou maior que zero) se o jogador A ganha independentemente de quem comece a partida.
(iii) Um jogo é negativo (ou menor que zero) se o jogador B ganha independentemente de quem começa a partida.
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número zero/jogo zero
Configurações do jogo zero.
O número zero é o jogo zero.
(a)
(b) (c) (d) (e)
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Representação de um jogo por meio de um conjunto
Um jogo J de Conway pode ser representado por um conjunto composto por um par de conjuntos de números. Indica-se assim: J = {AB}.
Os elementos de A são números associados aos jogos obtidos com a retirada de peças pelo jogador A e serão indicados do lado esquerdo da barra. Da mesma forma, serão elementos de B os números obtidos com a jogada de B e serão indicados do lado direito da barra.
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número zero/jogo zero
Representação do jogo zero por conjunto.
(a)
O jogo zero de configuração (a) é representado por: 0 = {}, pois nenhum dos jogadores têm peças para retirar.
Números/jogos
0(a) (b)0
{{0}}; {{0}};
1 = {{0}} e – 1= {{0}};
(c)
Analisando o jogo temos (–1) + 2x = 0, ou seja x = 1/2 . Assim 1/2 = {01};
0
-1 -1
(d) (e) (f)
{01};
1
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Números/jogos
(a) (d)(b) (c)
1 2 -1 -2
0
1
0 0
-1
0
1 = {{0}}; 2 = {{0, 1}}; - 1 = { {0}}; 2 = { {0, 1}};
1/2
0
1
1/4
1/2
1
0
1/2 = {{0}{1}}; 1/4 = {{0}{1/2, 1}}; 3/4 = {{0, 1/2}{1}}; 7/8={{0, 1/2, 3/4}{1}}
3/4
0
1
1/2
7/8
0
1
1/2
3/4
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números reais/ jogos
Um números real (com representação decimal infinita) é associado a um jogo Hackenbush que tem a seguinte configuração : o primeiro par de peças de cores distintas, contando de baixo para cima, indica o lugar da “vírgula binária”; a parte inteira do número é igual ao número de peças que aparece antes da vírgula; a parte não inteira do número é representada por peças azuis ou brancas (respectivamente dígito 1 ou 0).
0
1
1
0
..
.
..
.
0
1
1
0
2
.
0
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O conceito de número para Conway: aspectos intensionais
Na definição de corte de Dedekind os conjuntos A e B que constituem o corte são conjuntos de números racionais e satisfazem a quatro condições:D1) Todo número racional pertence a um e a somente um dos conjuntos A ou B..
D2) Os conjuntos A e B são não vazios.D3) Qualquer elemento do conjunto A é estritamente inferior a qualquer elemento do conjunto B.D4) O conjunto A não possui maior elemento.Conway se inspira nessa ideia de corte de Dedekind e generaliza-a de modo a não ter que pressupor a existência dos racionais.
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A noção de corte generalizado: o axioma D1
O axioma D1) garante a definição do conjunto A, de maneira única, pelo conjunto B. Conway mantém a ideia de par, e generaliza D1) considerando que é o par de conjuntos que engendra o número, e não o contrário, como propôs Dedekind.
Com esse pensamento, Conway rejeita o axioma D1) abrindo a possibilidade de definir número de várias maneiras.
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A noção de corte generalizado: axiomas D2 e D4
O axioma D4) está na teoria de Dedekind para impedir que um número real seja representado por dois cortes distintos. Se essa exigência de representação única para um número for abandonada, então o axioma D4) passa a ser supérfluo.
Na teoria de Dedekind, em virtude do axioma D2) o par de conjuntos (Q, ) não é um corte. Mas para Conway esse par poderia ser pensado como um número positivo infinito.
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A noção de corte generalizado: o axioma D3
A ordem total satisfeita pelo corpo dos reais é garantida pelo axioma D3). Conway precisa dessa propriedade, e para tanto ele transforma o axioma D3) no axioma D3*) enunciando-o assim:D3*) Nenhum elemento do conjunto B é menor
ou igual a algum elemento do conjunto A.Em resumo, Conway, assim como Dedekind, define os números como um par de conjuntos de números. O par de Dedekind é um par de números racionais admitidos, já construídos anteriormente. O par de Conway é um par de conjuntos de números constituídos por números já construídos por seu método.
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Em ambos os casos, a formação do par é limitada pela restrição indicada em D3*). Para Dedekind os axiomas D3) ou D3*) fazem sentido, pois Q é um conjunto ordenado. Na generalização de Conway é preciso supor que uma relação de ordem esteja definida. É com a associação número/jogo que Conway obtém essa relação.
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Os postulados de Conway
Conway utiliza os seguintes axiomas para construir os números: (CI) Se z = {zE zD}, em que zE e zD são dois conjuntos de números, e se zD não é menor ou igual a zE , então z é um número.(C2) Para todo par x = {xE xD} e y = {yE yD}, as duas asserções seguintes são equivalentes: x é menor ou igual y; yD não é menor ou igual a x e y não é menor ou igual a xE .O desenvolvimento da teoria de Conway é feito tomando por base esses dois axiomas.
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Exemplos de números de Conway A definição de Conway para um número x = {ED} supõe que as classes E e D sejam classes de números construídas anteriormente a x. Ou seja, a construção dos números se dá por recorrência.
O conjunto vazio é utilizado para construir o primeiro número {}. Tal conjunto de classes satisfaz o primeiro postulado de Conway. Esse número é o zero, isto é, {} = 0. A partir dele obtêm-se outros números encontrando-se suas duas classes: a da esquerda e a da direita. O número 1, por exemplo, será o número {{0}}, o número 2, o número {{0,1}} e, assim por diante, obtêm-se todos os números.
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Correntes Filosóficas e a natureza dos números
Filósofos e matemáticos buscaram responder a questão: “O que é número?”.As respostas apresentadas por diversas correntes filosóficas são insuficientes do ponto de vista da complementaridade. Na verdade, o que ocorre é uma forma de “reducionismo” (KuyK, 1977), ou seja, nas tentativas de respostas são considerados apenas os aspectos intensionais ou apenas os extensionais do conceito de número, e não a complementaridade entre eles.
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Número é um jogo
A teoria de Conway fornece uma resposta à questão. Podemos afirmar que número é um “jogo”, assim como fez Conway (1999, p. 300).
Certamente Conway não estava buscando responder a pergunta “O que é número?” do ponto de vista filosófico, mas podemos utilizar suas ideias para apresentar uma resposta a essa questão, visto que garante a complementaridade na conceituação de número.
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Números reais: abordagens clássicas e a noção de complementaridade
Uma abordagem axiomática dos números reais considera apenas as relações estruturais dos números.
No bojo de uma abordagem axiomática não há qualquer tipo de descrição, interpretação ou aplicação para o objeto matemático. Apenas as relações entre os objetos são enfatizadas, caracterizando de forma unilateral o aspecto intensional dos números.
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Números reais: abordagens clássicas e a noção de complementaridade
A construção dos números, dos naturais aos reais, tradicionalmente é feita de forma genética (extensão dos conjuntos numéricos).
Os cortes de Dedekind e as classes de equivalência de sequências de Cauchy de racionais pressupõem os números racionais e suas propriedades. E apenas favorecem o aspecto intensional do conceito de número.
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Números reais: abordagens clássicas e a noção de complementaridade
Normalmente, neste tipo de abordagem não são explorados possíveis modelos, aplicações ou interpretações dos números, os aspectos extensionais não são contemplados e a desejada complementaridade não ocorre.
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Potencialidades da Teoria de Conway frente às abordagens clássicas
Permite explorar o aspecto intensional do conceito de número.
Apresenta um modelo para os números, contemplando o aspecto extensional do conceito de número.
Possibilita uma definição única para o conceito de número.
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Considerações finais
Os números, dos naturais aos reais, são classicamente construídos passo a passo: com uma introdução axiomática obtém-se os naturais, cuja definição não abrange a essência do conceito de número; na continuação obtém-se os inteiros e racionais com organização estrutural.
E por fim há uma ruptura que marca a passagem dos números racionais aos reais, feita de forma axiomática, ou por meio de classes de equivalências de sequências de Cauchy de números racionais, ou por cortes de Dedekind.
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Considerações finais
Como se pode obter uma ideia única de número por meio de tal processo? Todas essas abordagens envolvendo as extensões dos conjuntos privilegiam apenas os aspectos operacionais do conceito de número, em outras palavras podemos dizer que apenas o aspecto intensional do conceito de número é explorado e o aspecto extensional não é contemplado.
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Considerações finais
Nosso objetivo com este estudo não é propor a utilização do método de Conway como substituição das conceituações clássicas no processo de ensino e aprendizagem dos números reais, mas sim acrescentar argumentos que possam subsidiar as reflexões em relação às problemáticas que envolvem o conceito de número real, como, a constituição epistemológica de tal conceito.
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Considerações finais
Acreditamos que este estudo poderá ser relevante à Educação Matemática sob dois prismas, o primeiro refere-se ao contexto epistemológico explicitando a diversidade de formas conceituais que traduz as noções matemáticas, mais especificamente o conceito de número real.
O segundo, de caráter mais prático, na medida em que pode subsidiar algumas reflexões acerca da conceituação de número real, em especial novas abordagens para introduzir o conceito de número no Ensino Superior.
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Desdobramentos da pesquisaFinalmente apontamos alguns desdobramentos da nossa pesquisa. Uma possibilidade de desdobramento deste estudo baseia-se na organização de uma sequência didática com base na teoria de Conway para abordar os números de forma única (dos naturais aos reais), no Ensino Superior.
Outro projeto que nos interessa, versa sobre a possibilidade de desenvolver um programa computacional para o jogo Hackenbush, com o objetivo de subsidiar a construção dos números por meio dos jogos.
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